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Algunas Distribuciones de Probabilidad Discreta

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José Roberto Iboy Sicuir 0910-10-4883 Brayan Eduardo Ramírez R. 0910-15-14395 Ingeniería en Sistemas UMG Antigua Guatemala Estadística I Sección D

Algunas Distribuciones de Probabilidad Discreta

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José Roberto Iboy Sicuir 0910-10-4883
Brayan Eduardo Ramírez R. 0910-15-14395
 La distribución de probabilidad discreta describe el
comportamiento de una variable aleatoria,
independientemente de si se representa de forma
grafica o mediante un histograma, en forma tabular o
con una formula.
 Distribuciones discretas: Corresponden a aquellas
variables aleatorias X que sólo toman un conjunto
finito o infinito contable de valores
 Se verán las distribuciones de probabilidad discretas
de uso más frecuente, su fórmula, media y varianza,
y sus aplicaciones en ramas dela ciencia, ingeniería,
negocios y economía.
Este conjunto de distribuciones en realidad
describe varios fenómenos aleatorios de la vida
real.
 Distribución uniforme discreta
 Distribución hipergeométrica
 Distribución binomial geométrica
 Experimentos cuya variable aleatoria asociada
toma un número finito de resultados, todos
ellos con la misma probabilidad de ocurrencia.
Definición:
 Una variable aleatoria discreta X tiene la
distribución uniforme con parámetro k ,si su
función masa de probabilidad es:
 Cuando se selecciona un foco al azar de una caja que
contiene un foco de 40 watts, uno de 60, uno de 75 y
uno de 100, cada elemento del espacio muestral
S={40,60,75,100} ocurre con probabilidad 1/4. Por
tanto, tenemos una distribución uniforme con:
X=seleccionar foco al azar
 X: S R, ranX= {40,60,75,100}
 f(40) =f(60) . . . f(100)=1/4 , y fx=0, para ≠ 40,60,75,100.
 Entonces, X es uniforme discreta con parámetro k=4.
Bibliografía probabilidad-y-estadistica-para-ingenieros-6ta-
edicion-ronald
 Teorema: Si X es v. a. uniforme discreta con
parámetro k, entonces:
Ejemplo:
𝝁(media)=
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  • 1. José Roberto Iboy Sicuir 0910-10-4883 Brayan Eduardo Ramírez R. 0910-15-14395
  • 2.  La distribución de probabilidad discreta describe el comportamiento de una variable aleatoria, independientemente de si se representa de forma grafica o mediante un histograma, en forma tabular o con una formula.  Distribuciones discretas: Corresponden a aquellas variables aleatorias X que sólo toman un conjunto finito o infinito contable de valores  Se verán las distribuciones de probabilidad discretas de uso más frecuente, su fórmula, media y varianza, y sus aplicaciones en ramas dela ciencia, ingeniería, negocios y economía.
  • 3. Este conjunto de distribuciones en realidad describe varios fenómenos aleatorios de la vida real.  Distribución uniforme discreta  Distribución hipergeométrica  Distribución binomial geométrica
  • 4.  Experimentos cuya variable aleatoria asociada toma un número finito de resultados, todos ellos con la misma probabilidad de ocurrencia. Definición:  Una variable aleatoria discreta X tiene la distribución uniforme con parámetro k ,si su función masa de probabilidad es:
  • 5.  Cuando se selecciona un foco al azar de una caja que contiene un foco de 40 watts, uno de 60, uno de 75 y uno de 100, cada elemento del espacio muestral S={40,60,75,100} ocurre con probabilidad 1/4. Por tanto, tenemos una distribución uniforme con: X=seleccionar foco al azar  X: S R, ranX= {40,60,75,100}  f(40) =f(60) . . . f(100)=1/4 , y fx=0, para ≠ 40,60,75,100.  Entonces, X es uniforme discreta con parámetro k=4. Bibliografía probabilidad-y-estadistica-para-ingenieros-6ta- edicion-ronald
  • 6.  Teorema: Si X es v. a. uniforme discreta con parámetro k, entonces: Ejemplo: 𝝁(media)= 1 4 (40+60+75+100)= 275 4 = 68.75 Var(X)= 1 4 [(40−68.75) 2 +(60−68.75) 2 +….+(100−68.75) 2 = 7675 16 = 479.69
  • 7.  Ejemplo clásico: Muestreo de N artículos, de los cuales k son defectuosos y N-K son no defectuosos.  Se selecciona una muestra aleatoria de n artículos (sin reposición) ¿Cuál es la probabilidad de obtener x artículos defectuosos y n-x no defectuosos en la muestra de tamaño n ?  Se diferencia de la distribución binomial en que el muestreo se realiza SIN REEMPLAZO, es decir, implica probabilidad condicional, mientras que en el primero es CON REEMPLAZO, es decir, implica eventos independientes.
  • 8.  Número de artículos defectuosos en la muestra de tamaño n, sin reposición, se llama variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N, n, k.  La distribución de probabilidad de X está dada por la formula:  Donde NCn indica las maneras totales de elegir una muestra de la población.  Formula: La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:
  • 9. Si se toman 5 personas en forma aleatoria de un conjunto de 5 hombres y 7 mujeres, cuál es la probabilidad de tener 2 hombres y 3 mujeres? Resolviendo tendríamos: X: No. de mujeres en la muestra de 7 sin reposición. X es v.a. hipergeométrica con parámetros: Datos: N=12 (total de personas); n=5 (tamaño de la muestra); k=5 (Número de éxitos – tener mujeres)
  • 10. P (X=3)= 5 3 12−5 5−3 12 5 = 5 3 7 2 12 5 = 175 72 P(x=3)=2.43 Entonces la probabilidad de tener 2 hombres y 3 mujeres es 2.43. La media y la varianza de este problema son: 𝝁= 𝑛𝑘 𝑁 = 5∗5 12 = 25 12 = 2.083 𝝈 𝟐 = 12−5 12−1 ∗ 5∗5 12 1 − 5 12 = 7 11 ∗ 25 12 ( 7 12 ) = 1225 1584 = 0.773
  • 11.  Control de Calidad y Muestreo de aceptación. Determinar si se acepta o no el lote completo de artículos, dado que se muestrea un  En un ejemplo en una industria, cuando se prueba una muestra de artículos seleccionados de un lote de producción, el numero de productos defectuosos en la muestra por lo general se puede representar como una variable aleatoria hipergeométrica subconjunto del total.
  • 12. Se basa en experimentos con condiciones binomiales, pero en este caso no se calcula la probabilidad de x éxitos en n-pruebas, con n fija, sino la probabilidad que ocurra el primer éxito en la x-ésima prueba. Definición: Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1-p, entonces la fmp de la v. a. X, número de la prueba en la que ocurre el primer éxito es: g(x ; p) = 𝒑𝒒 𝒙−𝟏 , x = 1, 2, 3, . . .
  • 13.  Se sabe que en cierto proceso de fabricación uno de cada 100 artículos, en promedio, resulta defectuoso. .Cual es la probabilidad de que el 5to articulo que se inspecciona, en un grupo de 100, sea el primer defectuoso que se encuentra? Resolviendo: Si utilizamos la distribución geométrica con x = 5 y p = 0.01, tenemos sustituyendo valores: g(5; 0.01) = (0.01)(0.99) 𝟒 = 0.0096.
  • 14.  La media y la varianza de una variable aleatoria que sigue la distribución geométrica son: μ = 1 𝑝 𝝈 𝟐 = 1−𝑝 𝑝2 Aplicando al ejemplo anterior: μ = 1 𝑝 = 1 0.01 = 100 𝝈 𝟐 = 1−𝑝 𝑝2 = 1−0.01 0.012 = 9900
  • 15. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener una licencia de piloto privado es 0.7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante aprobará el examen. a) En el tercer intento, donde: P=0.7, q=0.3, x=3 P(X=3)=g(3;0.7)=(0.7) (𝟎. 𝟑) 𝟐 = 0.0630 = 6.3 % b) Antes del cuarto intento: Se nos da una restricción donde P(X<4), es decir que puede tomar el valor P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3) P(X<4)=0.7*0.30 +0.7*0.31+0.7*0.32=0.973 = 97.3%
  • 16.  En un estudio en el que se probo la eficacia de un nuevo fármaco, de todos los pacientes que lo utilizaron, el numero de pacientes que se curaron se aproximo a una distribución binomial (sección 5.2).  En un ejemplo en una industria, cuando se prueba una muestra de artículos seleccionados de un lote de producción, el numero de productos defectuosos en la muestra por lo general se puede representar como una variable aleatoria hipergeométrica (sección 5.3).  En un problema estadístico de control de calidad el experimentador señalara un cambio en la media del proceso cuando los datos observacionales excedan ciertos limites.  El numero de muestras requeridas para generar una falsa alarma sigue una distribución geométrica, que es un caso especial de distribución binomial negativa (sección 5.4).
  • 17.  Probabilidad y estadística para ingenieros Sexta Edición, Ronald E. Walpole Capitulo 5 pag. 114 “Algunas distribuciones de probabilidad discreta”  Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Novena edición, Ronald E. Walpole, Roanoke College Capitulo 5 pag. 143 “Algunas distribuciones de probabilidad discreta”