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GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 2 )
PRESENTACION
Con el beneplácito de mantener una continuidad anual destacable, lanzamos la versión No 13 de esta
“GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS” para las materias de Calculo Diferencial e Integral Nivel I y
Nivel II.
El propósito de esta Guía es que sirva como material de apoyo bibliográfico a los estudiantes de las
Facultades de Contaduría Pública y Ciencias Económicas, y del mismo modo a los estimados colegas
que han visto en este medio una herramienta más para el desempeño eficiente en la parte práctica del
proceso de enseñanza a impartir.
Esta Guía cada año cuenta con la recepción de numerosas ideas de los profesores que figuran líneas
abajo, todas relativas a la materia, y para el mejoramiento continuo de la misma, y de esta manera
lograr un consenso de uniformidad mínimo en cuanto se refiere a los contenidos en el momento de
impartir las materias de referencia.
A los estimados alumnos respetuosamente se les pide:
 Ser tolerantes es sus observaciones
 Colaborar en el proceso de mejoramiento de la presente guía.
 Contactos: jmoron@bolivia.com www.jmoronr.blogspot.com
Material de Apoyo para los Docentes::
 Ing. José Morón R
 Ing. Jorge Antelo
 Ing. Osvaldo Koller.
 Ing. Víctor Hugo Vaca D.
 Lic. Ramiro Limón. (Vgde).
 Lic. Roberto castro.
 Lic. Víctor Romero
 Lic. Alfredo M. Osinaga C
 Lic. Mario Limón.
 ……………………………..
ALUMNO: GRUPO:
SANTA CRUZ - MARZO – 2015
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 3 )
UNIVERSIDAD AUTONOMA: “GABRIEL RENÉ MORENO”
FACULTAD: “CONTADURÍA PUBLICA”
FACULTAD: CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA ANALITICO
IDENTIFICACIÓN:
CARRERA: CICLO COMUN FACULTATIVO
GRADO ACADEMICO: LICENCIATURA
NOMBRE DE LA MATERIA: CALCULO I
SIGLA DE MATERIA: MAT 100
PRERREQUISITOS: PAB/PSA
SE DICTA EN EL: PRIMER SEMESTRE
No DE CREDITOS: 5
No DE HORAS SEMANALES: 4 HT + 2HP
SANTA CRUZ - MARZO - 2015
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 4 )
CONTENIDO MINIMO:
Aritmética – Álgebra - Conjuntos – Ecuaciones – Inecuaciones - Relaciones y Funciones en dos
variables - Limites y continuidad – funciones derivadas con dos variables.
OBJETIVOS GENERALES: Al finalizar el curso el estudiante será capas de:
- Nivelar y Consolidar sus conocimientos previos de colegio.
- Manejar, Interpretar y analizar las funciones básicas en dos variables.
- Calcular y analizar la continuidad de funciones en dos variables.
- Determinar funciones derivadas con dos variables.
METODOLOGÍA Y MEDIOS DE ENSEÑANZA:
- Se empleara la clase magistral y prácticas grupales como esencia del aprendizaje..
- Los medios a emplear serán la pizarra, el marcador y la vos.
JUSTIFICACIÓN DE LA MATERIA:
La materia forma parte de las herramientas básicas para el desarrollo y formación de los
estudiantes de la Facultad de Contaduría Pública y la Facultad de Ciencias Económicas
Administrativas y Financieras. Estas herramientas constituyen los temas correspondientes de
aritmética, álgebra, análisis y aplicación de funciones básicas y finalmente la determinación e
interpretación de una función derivada.
EVALUACIÓN:
 PARTE “PRACTICA”.- Por cada capitulo se tomaran practicas grupales, u otro modalidad.
con una calificación de 25 puntos. La ponderación será el resultado de la suma total de las
pruebas del semestre. En esta calificación se considerara la asistencia para efectos de notas
finales.
 PARTE “EXAMENES PARCIALES”.- Se evaluaran tres exámenes parciales:
o El 1ro de las unidades uno y dos
o El 2do de las unidades tres
o El 3ro de la unidad Cuatro con aplicación de conceptos de las unidades anteriores.
PONDERACIÓN:
Exámenes % Obs.
Exámenes prácticos 25 Practicas grupales
1er Examen parcial 25 Unid. 1,2
2do Examen parcial 25 Unid. 3,4
3er Examen parcial 25 Und. 4(aplicaciones)
CRONOGRAMA PARA UN SEMESTRE ACADEMICO 2015
16 semanas calendario
MES MES 4
SEMANA S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18
TEMA
FECHA
(Lunes)
1 ARITMETICA Y ALGEBRA BASICA
2 RELACIONES Y FUNCIONES y=F(x)
3 LIMITES Y CONTINUIDAD
4 FUNCIONES DERIVADAS
SEMESTRES 2011 (16 Semanas)
MES 1 MES 2 MES 3 MES 5
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 5 )
DESARROLLO DE LAS UNIDADES PROGRAMATICAS:
UND. No1
“CONOCIMIENTOS PREVIOS” TIEMPO 18 Horas - aula
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 Lograr que los alumnos nivelen los conocimientos previos de colegio.
 Lograr que los alumnos se adapten a la metodología del docente.
CONTENIDO:
1.1.0 Aritmética y Álgebra Básica
1.1.1 Propiedades básicas de la Potenciación, radicación y logaritmos.
1.1.2 Expresiones algebraicas, factorización y ecuaciones.
1.1.3 Conjuntos: Definición y operaciones con conjuntos (finitos e infinitos)
1.1.4 Ecuaciones: Solución de ecuaciones lineales y cuadráticas.
1.1.5 Inecuaciones: Solución de inecuaciones lineales, cuadráticas y con fracción.
UND. No 2
“RELACIONES Y FUNCIONES” TIEMPO 42 Horas - aula
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 Lograr que los alumnos identifiquen los tipos de funciones básicas.
 Aprendan a determinar e interpretar el dominio, imagen y la grafica de las funciones básicas
mediante técnicas matemáticas.
 Hacer aplicaciones de funciones básicas a las ciencias económicas.
CONTENIDO:
2.1.0 Conceptos básicos:
2.1.1. Par ordenado.
2.1.2. Producto cartesiano.
2.1.3. Relaciones con elementos finitos, Dominio e imagen.
2.2.0 Función definidas por extensión y comprensión en conjuntos finitos:
2.2.1 Concepto y notación.
2.2.2 Dominio e imagen o rango.
2.2.3 Grafica
2.3.0 Análisis de los tipos de funciones algebraicas básicas definidas por comprensión en los
números reales.
2.3.1 Funciones lineales.
2.3.2 Funciones cuadráticas, Cúbicas, (conceptos de simetría).
2.3.3 Funciones con fracciones: (conceptos de simetría asimetría y, asíntotas).
2.3.4 Funciones con radicales:
2.3.5 Funciones exponenciales:
2.3.6 Funciones logarítmicas:
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 6 )
2.4.0 Funciones especiales:
2.4.1 Función Inversa:
2.4.2 Función compuesta (composición de funciones):
2.4.3 Función implícita
2.4.4 Función definida por secciones:
2.5.0 Funciones de aplicación: Relación básica de las diferentes funciones algebraicas con las
funciones de aplicación a las ciencias económicas:
2.5.1 Ecuación de la Recta. Relaciones con la oferta:
2.5.2 Relaciones de Oferta y Demanda:
2.5.3 Punto de equilibrio de mercado (oferta y demanda)
2.5.4 Relaciones de Ingreso, costo y Beneficio
UND. No 3
“FUNCIONES DERIVADAS CON DOS VARIABLES” TIEMPO 24Horas - aula
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 Comprender intuitivamente el concepto de limite para analizar la continuidad de funciones:
 Relacionar y Comprender el concepto geométrico de tangente (pendiente) con el valor de la
derivada en un punto.
 Lograr destreza y habilidades para determinar funciones derivadas:
 Calcular el valor de las funciones derivadas en un punto.
 Relacionar la función derivada en un punto como la razón de cambio de la variable Y por
unidad de X, con el concepto marginal aplicado en ciencias económicas:
 Interpretar en valor marginal de las funciones de aplicación a las ciencias económicas.
CONTENIDO:
3.1.0 Conceptos básicos:
3.1.1 Noción intuitiva de límite.
3.1.2 Relación entre valor de límite y valor de una función en un punto:
3.1.3 Propiedades de los límites.
3.1.4 Calculo de límites sin y con indeterminación
3.1.5 Aplicaciones de límites: Asíntotas y continuidad.
3.2.0 Conceptos básicos de funciones derivadas:
3.2.1 Definición y notación:
3.2.2 Derivadas de funciones básicas por definición.
3.2.3 Propiedades.
3.3.0 Funciones derivadas:
3.3.1 Funciones derivadas aplicando tablas de derivación básicas.
3.3.2 Funciones derivadas aplicando tablas de derivación Estándar (De tipo general):
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 7 )
UND. No 4
“FUNCIONES DERIVADAS CON DOS VARIABLES” TIEMPO 12 Horas - aula
4.1.0 Derivada de Funciones Especiales:
4.1.1 Derivada de orden superior
4.1.2 Derivada de una Función inversa
4.1.3 Derivada de una Función Compuesta.
4.1.4 Derivada de una Función Implícita.
4.2.0 Aplicaciones a las ciencias económicas:
4.2.1 Definición de la función oferta y oferta marginal
4.2.2 Definición de la función demanda y demanda marginal
4.2.3 Definición de la función ingreso e ingreso marginal.
4.2.4 Definición de la función costo y costo marginal
4.2.5 Definición de la función costo promedio y costo promedio marginal
4.2.6 Determinación de funciones de utilidad o beneficio y benéfico marginal.
BIBLIOGRAFÍA (1)
1. WEBER, JEAN,; 1984, MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA,
Editorial. Harla, México D.F.
CHUNGARA, Victor , 1995, CALCULO I, Editorial UMSA.
2. ALLENDORF y OAKLEY, 1993 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
UNIVERSITARIAS, Editorial Mc Graw Hill, México D.F.
3. GUTIERREZ P.A.,1989, LA PRACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL, Editorial El
Jisunú, Santa Cruz de la Sierra
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 8 )
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 9 )
UNIVERSIDAD AUTONOMA: “GABRIEL RENÉ MORENO”
FACULTAD: “CONTADURÍA PUBLICA”
FACULTAD: CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
SECCION
GUIA DE EJERCICIOS:
CALCULO I
MAT 100
Material de Apoyo para los Docentes::
 Ing. José Morón R
 Ing. Jorge Antelo
 Ing. Osvaldo Koller.
 Ing. Víctor Hugo Vaca D.
 Lic. Ramiro Limón. (Vgde.).
 Lic. Roberto castro.
 Lic. Víctor Romero
 Lic. Alfredo M. Osinaga C
 Lic. Mario Limón.
 ……………………………..
ALUMNO: GRUPO:
SANTA CRUZ - MARZO - 2015
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 10 )
CONTIENE
CONCEPTOS, EJEMPLOS Y EJERCICIOS
DE:
 CONOCIMIENTOS PREVIOS
o ARITMÉTICA BASICA
o ALGEBRA BASICA y conceptos
 RELACIONES Y FUNCIONES
o CONCEPTOS BÁSICOS
o RELACIONES (En conjuntos finitos e infinitos)
o FUNCIONES BASICAS (En conjuntos finitos e infinitos)
o ÁLGEBRA DE FUNCIONES
o FUNCIONES ESPECIALES
o APLICACIONES
 FUNCIONES DERIVADAS (Derivadas)
o CONCEPTOS BÁSICOS Y PROPIEDADES DE LIMITES
o CÁLCULO Y APLICACIONES DE LÍMITES. (Asíntotas y continuidad)
o CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICION DE DERIVADAS.
o DERIVADAS POR DEFINICIÓN Y POR TABLAS
o DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES
o APLICACIONES
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 11 )
UND. 1
CONOCIMIENTOS PREVIOS
1.0.0 OBJETIVO.- El objetivo en este capitulo es recordar y practicar nociones elementales de
aritmética y algebra básica para disponer de una herramienta imprescindible antes de iniciar curso.
1.10.- ARITMETICA: Resolver los siguientes tipos de ejercicios:
TIPO T1: Operaciones con fracciones.
1a)
6
5
−2
1−
6
5
− 1 =?; 2a)
1
3
÷
(−1)(2
3
+1)
(2
3
−
1
2
)2
=? 1b)
7
5
−2
1−
6
5
+ 1 =? 2b)
2
1
3
−1
3
2
4
3
−
1
2
÷ (
5
2
)
−1
−
3
2
=?
3a)
2[2
3
−2(7
3
−2)]
(2
3
−2
1
2
)
=?; 4a)
(1
5
)÷(2
1
3
−2
1
5
)
2
3
÷(2−
7
3
)
−
5
4
=? 3b)
3[2(7
3
−2)−
3
2
]
2(2
3
−
1
2
)
=? 4b) 1 −
[
3
2
−3(−
1
3
+1)]
5(
2
5
−
1
2
)
=?
5a)
4
3
[1−
3
4
(7
3
−2)]
(2
1
2
−3)
− 2 =?; 6a)
4[3
2
−(−3
5
)(5
4
−5)+1]
2
5
−
1
2
+
3
5
=? 5b)
[3(1
3
−1)−
3
2
]
2
5
−
1
2−
1
2
3 =? 6b)
1
3
[8−
3
4
(7
3
−5)]
(1
2
−
2
3
)(2
1
2
−5)
− 2 =?
Soluciones pares: (2ª=-1/3): (4ª=-2): (2b=-1): (4b=0):
TIPO T2: Operaciones con fracciones y exponenciales:
7a)
(3−
7
3
)
(−1)
(3−
5
3
)
(−1) =?; 8a)
√2−5√2
3
√1+
5
4
−2
=? 7b)
(3−
5
3
)
(−1)
(3−
7
3
)
(−1) =? 8b)
√4√4
3
√3−
3
4
−2
=?
9a)
(3−1÷(3
5
)
−1
)
(−1)
(50−
2
3
)
(−1) =?; 10a)
√1−
7
8
−3
5
√4
−5(3−(
3
4
)
−1
)
(−1) =? 9b)
(30
÷
2
3
)
(−1)
(3−1÷(
3
5
)
−1
)
(−1) =? 10b)
√
3
3−1−9÷((
3
5
)
−1
−2)
−2
√1−
7
8
−3
=?
Soluciones: (8a=-3): (10a=-1/4): (8b=3): (10b=1):
TIPO T2: Operaciones con logaritmos. Soluciones: (12ª=-3): (14ª=1): (12b=-2): (14b=-1):
11a) 𝑙𝑜𝑔3(27) =?; 12a) 𝑙𝑜𝑔3−1(27) =? 11b) 𝑙𝑜𝑔16(2) =? 12b) 𝑙𝑜𝑔2−3(64) =?
13a)
1
3
−
3
2
𝑙𝑜𝑔2 √2
3
=?; 14a) 2𝑙𝑜𝑔4 ( √√2
3
)
5
+
1
6
=? 13b) 5 − 𝑙𝑜𝑔2 (√ √2
3
)
2
=?; 14b)
1
2
−
3
2
𝑙𝑜𝑔2 √8
3
=?
Soluciones: (12ª=-3): (14ª=1): (12b=-2): (14b=-1):
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 12 )
1.2.0.- ALGEBRA: Operaciones con y sin indeterminación.
TIPO T1: Hallar el valor de las expresiones para el valor de x indicado 
2 2
2
2
9 5
15 ) ?; : 2; 15 ) ?; : 5
2 6 2
5 6
16 ) ?; : 1
3 4
x x x
a para x b para x
x x
x x
a para x
x x
 
   
 
 
  
 
2
2
2 2
5 6
16 ) ?; : 1
4 5
9 5
17 ) ?; : 2 17 ) ?; : 3
2 6 2
18 )
x x
b para x
x x
x x x
a para x b para x
x x
a
 
  
 
 
    
 
4 2
?; : 1 18 ) ?; : 4
41
x x
para x b para x
xx
 
   

TIPO T2: Hallar el valor de las expresiones para el valor de x indicado 
-1
2
3 3
2
2 1 8 1 4 1 8
19 ) 3 2 ; 19 ) ;
3 8 2 3
3; .: 10,
x x
a x b x
x x x x x x x
para x Sol

      
                          
  3; .: 2para x Sol 
TIPO T3: Hallar el valor de las siguientes expresiones algebraicas, en el punto indicado. 
2 2
9 1 5 2
20 ) ?; 7 ) ?; 20 ) ?; 7 ) ?
3 10 2 4+1
3 1
x x x x x
a a b b
x x xx
x x
   
   
  
  
2 2 2
2 2 2
5 4
6 5 6 3 4
21 ) ?; 9 ) ?; 21 ) ?;
4 5 2 7 6 5 6
x x
x x x x x x
a a b
x x x x x x
  
     
  
     
2
2
2
2
2 6
9 ) ?
6 5
1 2 1 2
2 5 11
22 ) ?;
3 5 2
x x
b
x x
x x x x
x x
a
x x
 

 
     
 

 
2 2 2
2 2 2
6 5 1 4 3 5 6
11 ) ?; 22 ) ?; 11 ) ?
11 4 6 3 2 5 4 5 6
2 2
x x x x x x
a b b
x x x x x x
x x
     
  
     
   1 2x x 
TIPO T4: Hallar el valor de las siguientes expresiones algebraicas, en el punto indicado. 
- 4 3 3 3 2 - 5 3
23 ) ?; 13 ) ?; 23 ) ?; 13 ) ?
2 13- 5 3 2 3
4; ( ) 2; ( ) 1;
x x x x
a a b b
x xx x
x Sol x Sol x So
   
   
   
      
2 2 2 2
( ) 3; ( )
2 9 5 2 3 1 9
24 ) ?; 15 ) ?; 24 ) ?; 15 ) ?;
4 3 1 4 9 5 - 2 4 3 -
5; ( ) 3;
l x Sol
x x x x x x
b b b b
x x x x x x
x Sol x
   
     
   
     
    ( ) 1; ( ) 3; ( )Sol x Sol x Sol     
Algunas soluciones pares: (8ª=-3): (10ª=-1/4): (8b=3): (10b=-1/3):
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 13 )
1.3.0 CONJUNTOS.
El objetivo es comprender y aplicar el concepto de conjuntos por comprensión y extensión,
para plantear y resolver operaciones con conjuntos finitos e infinitos.
Definición: Se denomina conjunto a una serie de elementos (Objetos o sujetos) reunidos y
además que tienen una o más características en común.
1.3.1 Operaciones con conjuntos:- Dados dos conjuntos A,B,C,D…, se definen las siguientes
operaciones entre dos conjuntos finitos o infinitos:
   
   
1. : / ; 4. : /
2. : / ; 5. : / ( ....)
3. :
x x
x x
Unión A B x A y B Complemento A U A x U x A
Intersección A B x A y B Conjunto Universo x A B C D
Diferencia A B
          
         
      / ; 6. : /x x
x A x B Conjunto Vacio A A x A x A          
Conjuntos numéricos finitos.- Son tal que sus elementos se los puede establecer o determinar;
Estos, generalmente son el resultado de resolver un tipo de ecuación.
Ej. T1.- Resolver las siguientes ecuaciones: Hallar los conjuntos expresados por extensión.
   
   
2 2
3 2 3
1 ) / 2 8 0 , 1 ) /2 5 3 0
2 ) / 5 6 0 2 ) D= / 7 6 0
x x
x x
a A x x b B x x
a C x x x b x x
       
       
Ej. T2.- Con los siguientes conjuntos:      2,4,5 ; 3,4,6 ; 1,3,5A B C  
Resolver las siguientes operaciones entre conjuntos.
3 ) B ; 4 ) ; 3 ) ; 4 )
5 ) ( ) ; 6 ) ( ) - ; 5 ) ( ) - ; 6 ) ( )
a A a C B b C A b A B
a C B A a B C A b C B A b B C A
   
        
Conjuntos numéricos infinitos.- Son tal que sus elementos no se los puede establecer o
determinar; Estos, generalmente son el resultado de resolver un tipo de inecuación.
Ej. T3.- Resolver las siguientes inecuaciones, luego expresar el intervalo o conjunto solución
en forma conjuntista y grafica, en la recta real.
   
   
 2
6 ) /6 3 3 , 6 ) / 1 2 3
7 ) /6 3 3 , 7 ) / 1 3
8 ) /12 6 0 ,
x x
x x
x
a A x x b B x x
a A x x b B x x
a E x x
      
      
     2
8 ) / 4 3 0
1 2 2
9 ) / 2 , 9 ) / 3
5 1 1 3
2 4
10 ) /1 4 ,
3 2
x
x x
x
b D x x
x x x
a H b I
x x x x
x
a C x
   
   
        
      
 
    
 
2
10b) / 4
3
x x
G x
x
 
   
 
Ej. T4 -Con los conjuntos infinitos:        2,3 ; 2,6 ; 1,4 ; ,5A B C D     
Resolver las siguientes operaciones entre conjuntos, luego expresar el intervalo o conjunto
solución en forma conjuntista y grafica, en la recta real.
11 ) ; 11 )
12 ) ; 12 )
13
a A C b B C
a C B b A B
a
 
  
) ( ) 13 ) A-( )C B A b C B  
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( )x A 
( )y B 
A B
UND. 2
RELACIONES Y FUNCIONES
2.0.0.- El objetivo del presente capitulo es relacionar los elementos (x,y), de dos conjuntos A٨B, para
comprender analítica y gráficamente el concepto de lo que significa una función.
Además se pretende que el alumno entienda la diferencia entre producto cartesiano, relación y
función conocidos los elementos de dos conjuntos.
2.1.0 Conceptos Básicos:
 Sistema de ejes de coordenadas.- convencionalmente se adopta el
sistema ortogonal de ejes horizontales X y de ejes verticales Y, donde
se localizan diferentes representaciones.
 Par ordenado.- Es un elemento binario que representa un punto en el
plano o sistema de ejes coordenados
Se denota por (a,b) donde: a es un lugar en el eje X
b es un lugar en el eje Y



 Producto cartesiano.- Dados dos conjuntos A y B, se define el
producto de A por B como:

El conjunto de pares ordenados resultado de la combinación
de todos los elementos del conjunto A con todos los elementos
del conjunto B.   , /A B x y x A y B    
Ejercicios: Resolver los siguientes tipos de ejercicios de producto cartesiano.
Ej. TI -Dados los conjuntos finitos:        2,3,5 ; 2,4,6 ; 3,4,5 ; 2A B C D    Se pide
hallar los siguientes productos cartesianos, luego graficarlos en el plano (x,y).
1 ) , 1 )
2 ) , 2
a A B b A C
a C B b
 

   
)
3 ) ( ), 3 ) ( )
B C
a D C B A b C D A B

     
Ej. T2 - Dados los conjuntos infinitos:        2,4 ; 1,4 ; 4,6 ; ,5A B C D      graficar
en el plano de coordenadas (x,y) los siguientes productos cartesianos.
 
4 ) ; 4 )
5 ) ; 5 )
6 ) ;
a A B b C A
a C D b D A
a C B A
 
 
   6 )b A C B 
 ,x y
( )x A 
( )y B 
 ,x y
( )x A 
( )y B 
 ,x y
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 Relaciones entre dos conjuntos.- Dados dos conjuntos A (Partida) y B (llegada), se define la
relación de A en B como:
- El conjunto de pares ordenados incluidos en un producto
cartesiano, y definidos por una determinada característica.
  , / ( );A BR x y y f x x A y B A B       
- La dependencia convencional de la variable Y respecto a la
Variable X; es decir ( )y f x , (se lee f depende de x,)
donde f(x) es una expresión algebraica, dependiente de x.
- Una grafica, representada en el plano de coordenadas (x,y) en forma de líneas, círculos
parábolas, elipses, hipérbolas, y otros tipos de figura.
Ejercicios de Relaciones entre (x, y):
Ej. T3 - Dados los conjuntos finitos:      2,4,5 ; 3,4,6 ; 1,3,5A B C   Se pide expresar
por extensión las siguientes relaciones, luego la grafica de pares ordenados.
   
   
 
( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) 2
( , )
7 ) / 1 ; 7 ) / 1
8 ) / 1 ; 8 ) / 1
9 ) / 4 ;
x y x y
x y x y
x y
a R y x A B b R y x B A
a R y x C A b R y x C B
a R y C B
         
         
     ( , )
9 ) / 2x y
b R y C A   
NOTA.-
- Los ejercicios de relaciones entre dos conjuntos infinitos, se analizara en el estudio de
funciones, una ves que se considera que toda función es una relación.
- En la competencia del curso se tiene previsto la aplicación de ejercicios prácticos lo que
implica estudiar relaciones funcionales.
2.2.0.- Funciones entre dos conjuntos.- Dados dos conjuntos A (Partida) y
B (llegada), se define la función de A en B, como:
( )x A 
( )y B 
Relacion
( )x A 
( )y B 
Funcion
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 Una relación o conjunto de pares ordenados (x,y),
  , / ( );A BF x y y f x x A y B A B       
 Una relación que cumple con las condiciones de: Unicidad y Existencia.
a) Unicidad.- Se cumple esta condición si:
 ;x A un unico valor deY,ovalor dela funcion.    (condición necesaria.)
 (criterio grafico)Cualquier línea vertical corta a la grafica en un solo punto
b) Existencia.- Se cumple esta condición si:
 El dominio es igual al conjunto de partida.
 (criterio grafico) Cualquier línea vertical trazada por el conjunto de partida
corta la grafica por lo menos una sola ves.
 Una representación grafica (líneas o curvas no cerradas), en el plano de coordenadas (x,y)
y que tienen sentido en aplicaciones practicas, o estudios de caso.
Nota: Hacemos notar que toda funcione es relación y no toda relación es función
Características de las relaciones y funciones.- Dada una función definida entre los conjuntos A 
B, se definen las siguientes características básicas.
a) Dominio.-
i. Es el conjunto formado por los valores de x que hacen posible obtener uno de y en
una determinada relación:
ii. En notación conjuntista se define como:  /RD x A A   :
iii. Gráficamente es el conjunto que forma la proyección de la grafica al eje X
b) Imagen.-
i. Es el conjunto formado por los valores de y que hacen posible obtener uno de x en
una determinada relación:
ii. En notación conjuntista se define como:  /y
RI y B B   :
iii. Gráficamente es el conjunto que forma la proyección de la grafica al eje Y.
c) La grafica Teniendo en cuenta la definición una función toma variadas formas como ser:
i. Lineales
ii. Todo tipo de curvas no cerradas.
Ejemplos de Funciones (x, y): Con conjuntos de elementos finitos:
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Ejemplo 1: Dada la relación definida entre los conjuntos AB.
          
 
 
1
3,1,2, 1, 2
1,0 ; 2,4 ; 2,4 ; 1,0 ; 3,8 .. A B ;
0,4,8,5
A
R
B
  
      

Solución:
a) Hallar el Dominio e Imagen: Rep.:    1,2, 2, 1,3 ; 0,4,8R RD I   
b) Indicar si la relación es función:
Rep.: Cumple la condición necesaria de la unicidad; Por lo tanto la relación R2 es
función
Ejemplo 2: Dada la relación definida entre los conjuntos AB.
        
 
 
2
3,2,6,4
3,1 ; 2,0 ; 6,2 ; 3, 1 .. A B ;
1,0,2
A
R
B

     
 
Solución:
a) Hallar el dominio: Rep.:     3,2,6 ; 1,0,2 1 ;R RD I  
b) Indicar si la relación es función:
Rep.: No Cumple la condición necesaria de la unicidad, y tampoco la condición de
existencia; Por lo tanto la relación R1 no es función
Ejercicios de funciones: (x, y).
Ej. T4 - Con conjuntos finitos:    2, 1,0,1,2 1,2,4,5A y B    y las relaciones de A en B.
                     
                
1 1
2 2
10 ) 2,5 ; 1,2 ; 0,1 ; 1,2 ; 2,5 .. A B 10 ) 2,1 ; 1,4 ; 0,5 ; 1,4 ; 2,1 ;. A B
11 ) 2,2 ; 1,4 ; 0,5 ; 1,4 ; 1,5 .. A B 11 ) 2,4 ; 0,1 ; 1,0 ; 0
a R b R
a R b R
         
            
                     3 3
,1 ; 1,2 ;.. A B
12 ) 1,2 ; 0,2 ; 1,5 ; 0,1 ; 2,2 .. A B 12 ) 2,2 ; 1,4 ; 0,5 ; 1,4 ; 1,5 ;. A Ba R b R
 
        
Determinar:
- El dominio e imagen.
- Indicar si las relaciones son funciones (justificar su respuesta, aplicando las
condiciones de unicidad y existencia)
Conclusión para los ejercicios T2:
*La primera relación cumple la unicidad condición suficiente para ser función
*La segunda relación no cumple la unicidad, condición suficiente para concluir que no
es una función.
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2.3.0.- Análisis de funciones básicas en R×R.-
El objetivo en esta sección es analizar, graficar los distintos tipos de funciones básicas en el
conjunto de los números reales para hacer aplicaciones a las ciencias económicas.
El propósito además es:
- Relacionar la dependencia convencional de la variable (Y) respecto a la variable (X), es
decir: ( )y f x lo que significa que la función o variable y depende de la variable x
- Distinguir y analizar el tipo y las características más importantes de las funciones básicas,
como ser: Su dominio, imagen y su respectiva grafica:
- Distinguir los siguientes tipos de funciones básicas: Funciones lineales, cuadráticas o
polinomicas, raíces cuadradas, fraccionarias, exponenciales y logarítmicas:
Nota: En todos los casos del curso de MAT100, se debe hacer notar la necesidad de
analizar funciones básicas.
Tipos de funciones en RR:
En todos los casos tipos y aplicando conocimientos previos indique si la función analizada una
aplicación para Oferta ó demanda.
Función lineal:
Son del tipo: ( )y f x ax b  
Dónde: a, b, son valores constantes.
Ej. T1 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica:
1 ) ( ) 3 1 ) ( ) +2
2 ) ( ) 2 1 2 ) ( ) 5 2
3 ) ( ) 3(1 ) ;
a F x x b F x x
a F x x b F x x
a F x x x
  
   
   3 ) ( ) 2 3( 1)
4 ) ( ) 5 4 ) ( ) 3
2 2
5 ) ( ) 2 (1 ) 5 ) ( ) 2
2 2
b F x x x
x x
a F x b F x
x x
a F x x b F x
  
   
     ( 3)
2
6 ) ( ) (8 ) (3 ) 6 ) ( ) ( 4) 2( 1)
2 3 2
x
x x x
a F x x b F x

       
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Funciones Cuadráticas o de segundo grado:
Son del tipo: 2
( )y f x ax bx c   
Donde: a, b, c, son valores constantes.
Ej. T2 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica:
7a) 𝑓( 𝑥) = 6 − 𝑥2
7b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 1
8a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 6 8b) 𝑓( 𝑥) = 4𝑥 − 𝑥2
+ 2
9a) 𝑓( 𝑥) = ( 𝑥 + 2)2
− 1 9b) 𝑓( 𝑥) = (1 + 𝑥)2
+ 6
10a) 𝑓( 𝑥) = (2 − 𝑥)2
+ 4𝑥 10b) 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 − ( 𝑥 − 1)2
11a) 𝑓( 𝑥) = 4 − (
𝑥
2
− 1)
2
11b) 𝑓( 𝑥) = 1 + (1 +
𝑥
2
)
2
12a) 𝑓( 𝑥) = (1 − 𝑥)2
− 2𝑥2
+ 6 12b) 𝑓( 𝑥) = 2𝑥2
− ( 𝑥 − 1)2
+ 4
Funciones Raíz cuadrada:
Son del tipo: ( ) ( )y f x p x c  
Donde: a, b, c son valores constantes, y la expresión sub-radical una expresión algebraica de
primer grado. ( )p x .
Ej. T3 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica:
13a) 𝑓( 𝑥) = √5 − 𝑥 13b) 𝑓( 𝑥) = √6 − 𝑥
14a) 𝑓( 𝑥) = 2 + √1 + 𝑥 14b) 𝑓( 𝑥) = 5 − √ 𝑥 + 1
15a) 𝑓( 𝑥) = 2√6 − 2𝑥 − 2 15b) 𝑓( 𝑥) = 2√4 − 𝑥 − 1
16a) 𝑓( 𝑥) = 6 − √2 + 𝑥 16b) 𝑓( 𝑥) = 1 + √ 𝑥 + 2
17a) 𝑓( 𝑥) = 4 − √1 + 𝑥 17b) 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥 + 1 + 2
18a) 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥 + 1 − 3√1 + 𝑥 + 4 18b) 𝑓( 𝑥) = 3√ 𝑥 + 1 − √1 + 𝑥
Funciones fraccionarias:
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Son del tipo:
( )
( )
( )
p x
y f x
q x
 
Donde: ( ) ( )p x q x son expresiones algebraicas de primer grado  ( ) 0q x 
Ej. T4 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica
19a) 𝑓( 𝑥) =
2
𝑥
19b) 𝑓( 𝑥) = −
2
𝑥
20a) 𝑓( 𝑥) = 6 −
4
𝑥
20b) 𝑓( 𝑥) = 4 +
4
𝑥
21a) 𝑓( 𝑥) =
6𝑥+1
𝑥+1
21b) 𝑓( 𝑥) =
3𝑥+7
1+𝑥
22a) 𝑓( 𝑥) =
𝑥−12
𝑥−6
22b) 𝑓( 𝑥) =
30−6𝑥
6−𝑥
23a) 𝑓( 𝑥) =
3−𝑥
𝑥+1
23b) 𝑓( 𝑥) =
6+𝑥
2+𝑥
24a) 𝑓( 𝑥) =
3(𝑥−4)
6−𝑥
24b) 𝑓( 𝑥) =
3𝑥+6
𝑥+1
Funciones exponenciales:
Son del tipo: ( )
( ) p x
y f x k 
Donde: k, es una constante y ( )p x es una expresión algebraica de primer grado.
Ej. T5 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica:
25a) 𝑓( 𝑥) = 3−𝑥
25b) 𝑓( 𝑥) = 2 𝑥
26a) 𝑓( 𝑥) = 2(1+𝑥)
26b) 𝑓( 𝑥) = 3(2−𝑥)
27a) 𝑓( 𝑥) = 2 + 3(2−𝑥)
27b) 𝑓( 𝑥) = 2(𝑥−2)
+ 1
28a) 𝑓( 𝑥) = 9 − 2(3−𝑥)
28b) 𝑓( 𝑥) = 9 − 2(𝑥−2)
29a) 𝑓( 𝑥) = 8 −
1
2(1−𝑥) 29b) 𝑓( 𝑥) = 8 −
2
2(𝑥−1)
30a) 𝑓( 𝑥) = 3 𝑥
− 2 × 3( 𝑥−1)
+ 1 30b) 𝑓( 𝑥) = 5 × 2(1−𝑥)
− 2(1−𝑥)
+ 1
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Funciones logarítmicas:
Son del tipo: ( ) lg( ) 1y f x ax b   
Donde: Donde: a, b, son valores constantes y la variable x de 1er grado.
Ej. T6 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica:
31a) 𝑓( 𝑥) = −ln(𝑥) 31b) 𝑓( 𝑥) = ln(𝑥)
32a) 𝑓( 𝑥) = 5 − 2ln(5 − 𝑥) 32b) 𝑓( 𝑥) = 3 + 2ln(5 − 𝑥)
33a) 𝑓( 𝑥) = 2 + lg(4 − 𝑥) 33b) 𝑓( 𝑥) = 5 − lg(4 − 𝑥)
34a) 𝑓( 𝑥) = 3 + 2ln(𝑥 + 1) 34b) 𝑓( 𝑥) = 5 − 2ln(𝑥 + 1)
35a) 𝑓( 𝑥) = 3 + 4ln √3 − 𝑥 35b) 𝑓( 𝑥) = 4 − 4𝑙𝑛√3 − 2𝑥
18a) 𝑓( 𝑥) = 1 + 𝑙𝑛√ 𝑥 + 1 + 3𝑙𝑛√1 + 𝑥 18b) 𝑓( 𝑥) = 5 − 3𝑙𝑛√ 𝑥 + 1 − 𝑙𝑛√1 + 𝑥
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2.4.0.- Funciones especiales:
Son aquellas que resultan de hacer una aplicación particular a una o más funciones básicas, para
determinar una nueva o tercer función con características diferentes.
Las funciones especiales a estudiar son las siguientes:
i). Función inversa,
ii). Función compuesta.
iii).Función implícita, y
iv). Función definida por secciones o seccionada.
1.- Funciones Inversas:
Definición: Dadas la función y= f(x) (directa), entonces se define la función inversa como:
y=f-1
(x), resultado de cambiar la variable dependiente por la independiente o viceversa.
(Recuerde que no toda inversa es función, y que la grafica en simétrica a una mediatriz entre el
1er y 2do cuadrante)
Ejemplo.- Con las función:
1
2
x
y
x



: Hallar:
a) Invirtiendo las variables X por Y,
1
2
y
x
y



l
b) Luego despejando la nueva ( 1)
( ) ?y f x
  se tiene
2 1
,
1
y
y
y



la nueva F. que es inversa.
c) El valor de la función inversa en x=3: ( 1) ( 1)2 3 1 5
( 3) ; ( 3) ;
1 3 4
y f x y f x  
     

Ej. T1.- Con las funciones enunciadas se pide hallar la función inversa y su valor en el punto
indicado.
1 1
2
1 1
1 ) ( ) 6 2 , ;
( ) ?; : ( 1) ?
2 ) ( ) +2, :
( ) ?; : ( 2) ?
3 ) ( ) 4 , :
a f x x Hallar
f x luego f x
a g x x Hallar
g x luego g x
a h x x Hallar
 
 
  
  
 
  
   
1 1
1 1
( ) ?; : ( 5) ?
2 1
4 ) ( ) , :
1
( ) ?; : ( 2) )
h x luego h x
x
a j x Hallar
x
j x luego j x
 
 
   

 

  
1 1
2
1 1
1 1
1 ) ( ) 2 , :
2
( ) ?; : ( 3) ?
2 ) ( ) 4 , :
( ) ?; : ( 2) ?
3 ) ( ) 4 , :
( ) ?; : (
x
b f x Hallar
f x luego f x
b g x x Hallar
g x luego g x
b h x x Hallar
h x luego h x
 
 
 
  
  
  
   
   

1 1
4) ?
3 2
4 ) ( ) , :
1
k ( ) ?; : ( 2) )
x
b k x Hallar
x
x luego k x 
  

 

  
Nota: En todos los casos el alumno deberá hacer la respectiva grafica inversas (cuando sean
básicas), para justificar si la misma es función.
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2.- Función compuesta:
Definición: Dadas las funciones y=f(w)  w=g(x), se define la composición de f con g, como
la dependencia de la función F respecto de la función G; ó que Y depende de W  W depende
de X.
Simbólicamente se define como:  ( )( ) ( )y f g x F g x  ;(Recuerde que g fI D ); ó f gD D
Ejemplo.- Con las funciones enunciadas a continuación: 2
( ) 3 ; ( ) 4F x x G x x   
a) Hallar la composición  ( )( ) ( )y f g x F g x 
𝑦 = 𝑓[ 𝑔(𝑥)] = 𝑓[√4 − 𝑥] = 3 − (√4 − 𝑥)
2
; → 𝑦 = 𝑥 + 1 (𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧)
b) El valor de la función resultante para x=5
𝑦 = ( 𝑓 𝑔)(5) = 3 − (√4 − 5)
2
= 3 − ∄= ∄; → 𝑦 = ∄, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 5 ∋ 𝐷 𝑔
Justificación: el valor para x=5; seria: 𝑔( 𝑥 = 5) = √4 − 5 = √−1 = ∄
Ejercicios:
Ej. T2.- Con las funciones enunciadas a continuación: Hallar: La función resultante de la
composición entre dos funciones, luego su valor en el punto indicado.
5a) 𝑓( 𝑥) = 3 − 𝑥, ˄ 𝑔( 𝑥) = 𝑥 + 2 5b) 𝑓( 𝑥) = 2 + 𝑥, ˄ 𝑔( 𝑥) = 3 − 𝑥
Hallar: (fg)(x), aplicar para x=1 Hallar: (g f)(x), aplicar para x=2
6a) ℎ( 𝑥) = √4 − 𝑥, ˄ 𝑗( 𝑥) = 𝑙𝑛( 𝑥 − 1) 6b) ℎ( 𝑥) = 𝑙𝑛( 𝑥 − 1), ˄ 𝑗( 𝑥) = √4 − 𝑥
Hallar: (h o j) (x), aplicar para x=2 Hallar: (h o j) (x), aplicar para x=0
Dada las funciones Y que depende de la función W. se pide hallar la función resultante
7a) Si 𝑦 = 2 −
2
𝑤
, ˄ 𝑤 = 𝑥2 + 1 7b) Si 𝑦 = 𝑤2 + 1, ˄ 𝑤 = 2 −
2
𝑥
Hallar: f(x), luego f(x=1)=? Hallar: f(x), luego f(x=1)=?
8a) Si 𝑦 =
2−𝑤
1+𝑤
, ˄ 𝑤 = 𝑥 + 1 8b) Si 𝑦 = 𝑤2 + 1, ˄ 𝑤 = 2 −
2
𝑥
Hallar: f(x), luego f(x=1)=? Hallar: f(x), luego f(x=1)=?
Nota: Opcionalmente y en caso de que la función resultante sea básica hallar el dominio, la
imagen y la gráfica.
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CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 24 )
x
( )y f x
( )h x
( )j x
. 1Secc . 2Secc
3.- Funciones Implícitas:
Definición: Si ( )y f x , es una función explicita, (La variable independiente (Y), esta
despejada), entonces ( , ) 0f x y  , es una función implícita (la variable independiente (Y), no
esta despejada),
Nota: Recuerde que no toda función implícita se hace explicita como ser las trascendentes.
Ejemplo. 1: Con la función implícita: 2𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦 + 3, Hallar
a) La función explicita:
Despejando la variable Y=?,
𝑥𝑦 − 𝑦 = 2𝑥 − 3; → 𝑦( 𝑥 − 1) = 2𝑥 − 3 ∴ 𝑦 = 𝑓( 𝑥) =
2𝑥−3
𝑥−1
; Función Explicita.
b) El valor de la función es: 𝑌 = 𝑓( 𝑥 = 2) =
2×2−3
2−1
; → 𝑦 = 1
Ejercicio:
Ej. T3.- Con las funciones enunciadas a continuación: Hallar: La función explicita resultante y =
f(x), luego su valor ene el punto indicado (en caso de ser posible hallar el Dominio y la imagen)
9a) 𝑦 − 3𝑥 = ((2𝑥𝑦 − 1); 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓( 𝑥 = 1) =? 9b) 2𝑥𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 + 2; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓( 𝑥 = 1) =?
10a)
𝑥2 𝑦+3
𝑥
=
𝑦
2
; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓( 𝑥 = 2) =? 10b) 2 − 3𝑥 =
𝑥+𝑦
𝑦
; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟:𝑓( 𝑥 = 2) =?
11a) 2 − 𝑥 = √2 − 𝑦; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓(−2) =? 11b) 1 + 2𝑥 = √3 − 𝑦; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓(−1) =?
12a) 𝑥𝑦 = 2 − 𝑙𝑛(2 − 𝑦); 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓(1) =? 12b) 2 − 𝑥𝑦 = 𝑙𝑛( 𝑦 + 1); 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓(1) =?
4.- Funciones definidas por secciones:
Definición: Son funciones que dependen de dos o más funciones y
que actúan en un mismo plano de coordenada.
Este tipo de funciones son la base para comprender el concepto
de límites laterales.
( ) ?; ; 1
( ) ;
( ) ?; ; 2
h x x a Seccion
y f x
j x x a Seccion
 
  
 
Ej. T4.- Con las funciones enunciadas a continuación: se pide analizarlas completamente (Hallar:
Dominio, imagen y grafica)
13a) 𝑓( 𝑥) = {
5 +
𝑥
2
, 𝑆𝑖 𝑥 < 1
2 − 𝑥, 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 1
13b) 𝑓( 𝑥) = {
5 +
𝑥
2
, 𝑆𝑖 𝑥 > 1
2 − 𝑥, 𝑆𝑖 𝑥 ≤ 1
14a) 𝑓( 𝑥) = {
𝑥2
+ 1, 𝑆𝑖 𝑥 < 2
9 − 𝑥2
, 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 1
14b) 𝑓( 𝑥) == {
𝑥2
+ 1, 𝑆𝑖 𝑥 > 2
9 − 𝑥2
, 𝑆𝑖 𝑥 ≤ 1
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Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 25 )
2.5.0.- APLICACIONES DE FUNCIONES.-
En esta sección vamos a considerar que toda aplicación tiene sentido en el 1er cuadrante del plano
de coordenadas XY.
El objetivo es relacionar los diferentes tipos de funciones básicas estudiadas hasta ahora, para
hacer aplicaciones a las Ciencias Económicas, como ser: Las funciones de oferta, demanda,
ingreso, costo, utilidad, etc.
1.- Ecuaciones de la recta.- La ecuación o función de la línea recta es la más aplicada en las
materias básicas de economía.
Definición de la ecuación genérica para la línea recta:
0ax by c   : Ó como una función lineal: ( )
a c
y f x x
b b
   
Características básicas:
La pendiente (m): Es un coeficiente que mide la variación de y por unidad de x. /m a b 
Angulo de inclinación ( 𝛼): Es la abertura medida en grados o radianes, entre la recta y el eje x.
1
( )tag m 
 .
Relaciones para determinar la ecuación de una recta:
a).- Conocidos dos puntos 1 1 2 2( , ) ( , )P x y P x y , entonces:
b).- Conocidos un punto: 1 1( , )P x y y su pendiente m k , entonces: 1 1( )y y m x x   
Relación entre dos rectas: Conocida la pendiente, entre dos puntos: 2 2
2 1
y y
m
x x



 Dos rectas son paralelas sii: 1 2m m
 Dos rectas son perpendiculares sii: 1
2
1
m
m
 
2 2
1 1
2 1
( )
y y
y y x x
x x
 
    
 
x
y 1m
2m
1m
2m
x
y
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Ej. T1.- Ejercicios. Dados dos puntos del plano de coordenadas:
1 2 1 2
1 2 1 2
1 ) (1,2); (5,4); 1 ) (0,9); (4,1)
2 ) ( 1,6); (5,3); 2 ) ( 2,3); (4,6)
a P P b P P
a P P b P P 
Determinar e interpretar el valor de la pendiente (m=?)
Ej. T2.- Ejercicios. Dados dos: a) Dos puntos, b) Un punto y su pendiente, halar las respectivas
ecuaciones de la recta e indicar si su grafica es aplicable a una función de oferta o demanda.
1 2
1 2
1 2
1
1
1
3 ) (0,9); (4,1);
4 ) ( 1,6); (5,3);
5 ) (7,3); (2,1);
6 ) (1,6); 2;
7 ) (1,6); 3 / 2
8 ) (6,4); 1/ 2
a P P
a P P
a P P
a P m
a P m
a P m

 
 
 
1 2
1 2
1 2
1
1
1
3 ) (1,2); (5,4)
4 ) ( 2,3); (4,6)
5 ) (1,4); (7,1)
6 ) (1,3); 2
7 ) (2,2); 1 / 2
8 ) (6,5); 1 / 2
b P P
b P P
b P P
b P m
b P m
b P m

 
 
 
Ej. T3.- Problemas
9ª) Determinar la ecuación de la línea
recta que pasa por el punto 1P (2,6) y
es paralela a la resta definida por:
3 3 0x y  
10ª) Determinar la ecuación de la línea
recta que pasa por el punto 1P (1,1) y es
perpendicular a la resta definida por:
2 1 0x y  
9b) Determinar la ecuación de la línea
recta que pasa por el punto 1P (6,1) y es
paralela a la resta definida por:
2 3 4 0x y  
10b) Determinar la ecuación de la línea
recta que pasa por el punto 1P (1,1) y es
perpendicular a la resta definida por:
3 2 1 0x y  
2.- Funciones de Oferta y demanda:
Si se analiza dos puntos en el primer cuadrante de una función entonces:
o La función es oferta si la pendiente es positiva. O la relación entre cantidades y precios
(x,y), es directa
o La función es demanda si la pendiente es negativa. O la relación entre cantidades y precios
(x,y), es inversa
Ej. T4.- Ejercicios: Mediante el calculo de pendientes o la comparación de las relaciones
(inversa o directa), indicar justificadamente cual función es oferta y cual demanda.
11a) 𝑓( 𝑥) = 7 − 𝑥 11b) 𝑓( 𝑥) = 1 + 𝑥
12a) 𝑓( 𝑥) = 10 − 0.5(1 + 𝑥)2 12b) 𝑓( 𝑥) = 1 + 0.5(1 + 𝑥)2
13a) 𝑓( 𝑥) =
7−𝑥
𝑥+1
13b) 𝑓( 𝑥) =
2𝑥+1
𝑥+1
14a) 𝑓( 𝑥) = 2( 𝑥−2)
+ 1 14b) 𝑓( 𝑥) = 5 − 2( 𝑥−2)
15a) 𝑓( 𝑥) = 1 + 𝑙𝑔(1 + 𝑥)3 15b) 𝑓( 𝑥) = 7 − 3𝑙𝑔( 𝑥 + 1)
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3.- Punto de equilibrio de mercado entre la F. Oferta y la F. demanda.-
El punto de equilibrio de mercado, es un lugar del plano (x,y), donde los precios de la cantidad
ofertada son igual al de la cantidad demandada.
El objetivo es resolver en forma analítica y gráficamente el sistema de las ecuaciones de oferta
y demanda para determinar las cantidades y precios de equilibrio.
Ejercicios:
Ej. T5.- Ejercicios: Con los siguientes pares de funciones de oferta y demanda se pide: hallar
el punto de equilibrio y las respectivas gráficas.
16a) 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 1; 𝑓( 𝑥) = 7 − 𝑥 16b) 𝑓( 𝑥) = 11 − 2𝑥; 𝑓( 𝑥) = 2 + 𝑥
17a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 1; 𝑓( 𝑥) = 7 − 𝑥2 17b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 + 1; 𝑓( 𝑥) = 7 − 𝑥
18a) 𝑓( 𝑥) =
12−𝑥2
2
; 𝑓( 𝑥) =
𝑥
2
+ 3 18b) 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 1; 𝑓( 𝑥) =
24−𝑥2
4
19a) 𝑓( 𝑥) =
6𝑥+2
𝑥+1
; 𝑓( 𝑥) = 6 −
𝑥
3
19b) 𝑓( 𝑥) =
2𝑥+6
𝑥+1
; 𝑓( 𝑥) =
𝑥
3
+ 2
Ejercicioscon solución:
20a) {
𝑓( 𝑥) = 2(3−𝑥)
+ 2
𝑓( 𝑥) = 5 + 2(2−𝑥)
; {
𝑥 = 2;
𝑦 = 4
20b) {
𝑓( 𝑥) = 5 − 2( 𝑥−2)
𝑓( 𝑥) = 2 + 2( 𝑥−1)
; {
𝑥 = 2;
𝑦 = 4
21a) {
𝑓( 𝑥) = lg( 𝑥 + 1) + 1
𝑓( 𝑥) = 3 − lg( 𝑥 + 1)
; {
𝑥 = 9;
𝑦 = 2
21b) {
𝑓( 𝑥) = lg( 𝑥 + 1) + 1
𝑓( 𝑥) = 5 − 3 lg( 𝑥 + 1)
; {
𝑥 = 9
𝑦 = 2
Ej. T6.- Problema de planteamiento: Ecuaciones de funciones de Oferta o Demanda.
22a) Se dispone de los siguientes datos
de una librería: Cuando el precio es de
50Bs. se venden 60 libros y 80 libros si
el precio unitario baja 30Bs.
Determinar la ecuación de la demanda,
luego el precio para x=70 libros (Rep.:
40 libros).
23a) Un productor tiene los siguientes
datos respecto a sus productos: Se
venden 20 sillas cuando el precio de
oferta es de 60Bs. Pero si el precio
unitario sube a 70Bs se venden 40 sillas.
Determinar la ecuación de la oferta,
luego el precio para tener ventas de 30
(Rep.: 65 sillas).
22b) Se dispone de los siguientes datos de
una librería: Cuando el precio es de 50Bs.
se venden 60 libros y 40 libros si el precio
unitario sube a 90. Determinar la ecuación
de la demanda, luego el precio para x=50
libros (Rep.: 70 libros).
23b) Un productor tiene los siguientes
datos respecto a sus productos: Se venden
20 sillas cuando el precio de oferta es de
60Bs. y si el precio unitario sube 10bs se
venden 40 sillas. Determinar la ecuación
de la oferta, luego el precio para tener
ventas de 50 (Rep.: 75 sillas libros).
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UND 3
LÍMITES Y CONTINUIDAD
3.0.0.- El objetivo de este capitulo es distinguir, analizar y calcular el valor de una función y su
respectivo limite en un punto de la gráfica, para entender y aplicar el concepto de funciones derivadas.
Dada una función ( )y f x y se analiza en un punto se tiene que:
 El valor de la función .- Se lo define como el valor que toma la variable Y para un
determinado valor de X:
Si x a ,  y k ó ( )f x a k  ; Donde: x a (a; es el valor de x)
 El limite de la función: Se lo define cono el valor entero próximo que tiende a tomar la
variable Y cuando la variable X tiende a tomar un valor entero en una función.
,Si x a y k   , ó lim ( )
x a
f x k

 , Donde: x a (x tiende).
3.1.0 VALOR DE UNA FUNCION Y SUS LÍMITES.
1.- Análisis intuitivo y conceptual a partir de una grafica seccionada. El objetivo es que a partir
de una función esquemática se distinga el concepto de valor de la función y sus respectivos límites
en un punto.
x
y
x
y
Fig. (a) Fig. (b)
Ejemplo 1: En base a las figuras a)  b), determine el valor de la función y sus respectivos límites
laterales en el punto indicado.
33 3
+ -
1) .( ) 3: : ( 3) 1; lim ( ) 1; lim ( ) 1; lim ( ) /
2) .( ) lim ( ) 2; lim ( )
xx x
x x
Fig a Si x f x f x f x F x
Fig b f x f x
    
   
            
  
Ejercicios: En los puntos indicados de las figuras a)  b), determine por simple inspección el valor
de la función y sus respectivos límites (si x es un numero real calcule los limites laterales)
.( ) 1 ) 3; .( ) 1 ) 5
2 ) 1; 2 ) 2
3 )
Fig a a En x Fig b b En x
a En x b En x
a
   
   
1; 3 ) 1
4 ) 2; 4 ) 4
5 ) lim
x
En x b En x
a En x b En x
a
 
 
 
( ) ____; 5 ) lim ( ) ____
6 ) lim ( ) ____ 6 ) lim ( ) ____
x
x x
f x b f x
a f x b f x

   
 
 
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3.2.0.- Calculo de límites. Se dan dos casos:
El primero cuando la operación es determinada.
El segundo cuando la operación es indeterminada.
1.- Límite de funciones algebraicas (sin indeterminación).- Se presentan dos casos:
- Si el valor de X pertenece al dominio el cálculo del límite es igual que calcular el valor de
una función
- Si el valor de X no pertenece al dominio y la función no existe, entonces se calculan límites
laterales (Por izquierda y por derecha)
Nota: Existe un limite si y solo si sus limites laterales existen y son iguales)
Ejercicios: Con cada una de las funciones determine el valor de la función y sus respectivos
límites laterales en el punto indicado.
 
2 2
2
7 ) ( ) 4 ; 2; ) ( ) 2 ; 1
3
8 ) ( ) ; : 2 3; 8 ) ( ) ; : 1 2
3 2
9 ) ( )
a g x x x para x b f x x x para x
x
a h x Para x x b h x Para x x
x x
a i x x
     
       
 
  2
2
4; : 2 1; 9 ) ( ) 8 ; : 2 3
10 ) ( ) 5 1 2; 10 ) ( ) lg(5 ); 4;
3
11 ) ( ) ;
2
x
Para x x b i x x Para x x
a j x para x b j x x para x
a f x p
x

        
     


3
; 11 ) k( ) ;
3
ara x b x para x
x
    

*Para funciones seccionadas:
3 1 21 14 112 12
2 3 11 1 2 1
x Si x x xx Si xa f x Para b h x Para
x xx Si x x Si x
           
       
; ;) ( ) ; : ; ) ( ) ; :
; ;
2.- Límites de funciones algebraicas (con indeterminación): Este caso se da cuando para un
determinado valor de X el valor del límite da una operación indeterminada.
Tipos de indeterminaciones para estudiar:
0
; ; ; 0
0

    

Para salvar estas indeterminaciones se aplican propiedades del algebra hasta conseguir un limite
equivalente sin indeterminación.
Ejercicios: Con cada una de las funciones se pide resolver y verificar el resultado.
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Tipo:
0
0
2
2
2
2
2 1 2
13 ) lim ; 13 ) lim 6
2 24 22 4
2 7 12 4 1
14 ) lim 3; 14 ) lim
3 43 72 9 4
15 )
x x x
a b
x x xx x
x x x
b b
x xx x x
a
   
          
    
         
6 2 5 2 1
lim 6; 15 ) lim
3 1 1 43 2 3
x x
b
x x xx
    
           
Tipo:


2
2
3 5 2 3
16 ) lim 3; 16 ) lim 0
1 1
3 1 3 1
17 ) lim ; 17 ) lim 1
2 2 1
18
x x
a b
x xx x
x x x
a b
x xx x
   
        
     
    
      
2
2
2
1 2 1
) lim 0; 18 ) lim
21 26 2
x x
a b
x xx x
   
            
Tipo: ;
0
  

 
   
   2 2
20 ) lim 2 ; 20 ) lim 3 4
21 ) lim 2 1 ; 21 ) lim 7 3
3
22 ) lim 2 (1 ) ;
0
a x x b x x
x x
a x x b x x
x x
a x
x x
     
 
       
 
 
     
2 2
22 ) lim (3 ) 0
0
b x
x x
 
    
3.3.0 Continuidad de funciones (Aplicaciones de limites): En esta sección se pretende que el
alumno aprenda a:
- Distinguir y determinar, los valores de x (puntos de estudio), donde la grafica de una
función deja de ser continua.
- Analizar y aplicar la condición para demostrar si la función es continua o discontinua
en un punto de estudio (PE), o punto crítico (PC).
Definición de continuidad:- Dada una función y=f(x), esta es continua e un punto de estudio
x=a; si y solo si se cumplen las siguientes condiciones.
a) El valor de la función en el punto debe existir. F(x=a)=K
b) El valor del límite en el punto debe existir. lim ( )
x a
f x k


c) El valor de la función y del límite deben ser iguales ( ) lim ( )
x a
F x a f x k

   en
el punto de estudio.
Ejercicios: Con las siguientes funciones líneas abajo:
2
2 2
2
1 2
23 ) ( ) , 23 ) ( )
3 4
4 4
24 ) ( ) , 24 ) ( )
2 2
2 ; 1
25 ) ( )
;
x
a f x b f x
x x
x x
a f x b f x
x x x x
x x
a f x
x

 
 
 
 
 
 

2
2
8 ; 2
25 ) ( )
1 1 ; 1
2
x x
b f x xx x
  
 
 
   

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Determinar:
a) Los puntos de estudio
b) Demostrar justificadamente si la función es o no continúa en los puntos de estudio
c) Graficar cada una de ellas. ( ) lim ( )
x a
F x a f x k

  
UND. 3
FUNCIONES DERIVADAS
3.0.0.- Limites y continuidad.- El objetivo de este capitulo es distinguir, analizar y calcular el valor
de una función y su respectivo limite en un punto de la gráfica, para entender y aplicar el concepto de
funciones derivadas.
Dada una función ( )y f x y se analiza en un punto se tiene que:
 El valor de la función .- Se lo define como el valor que toma la variable Y para un
determinado valor de X:
Si x a ,  y k ó ( )f x a k  ; Donde: x a (a; es el valor de x)
 El limite de la función: Se lo define cono el valor entero próximo que tiende a tomar la
variable Y cuando la variable X tiende a tomar un valor entero en una función.
,Si x a y k   , ó lim ( )
x a
f x k

 , Donde: x a (x tiende).
3.1.0 VALOR DE UNA FUNCION Y SUS LÍMITES.
1.- Análisis intuitivo y conceptual a partir de una grafica seccionada. El objetivo es que a partir
de una función esquemática se distinga el concepto de valor de la función y sus respectivos límites
en un punto.
x
y
x
y
Fig. (a) Fig. (b)
Ejemplo 1: En base a las figuras a)  b), determine el valor de la función y sus respectivos límites
laterales en el punto indicado.
33 3
22 2
1) .( ) 3: : ( 3) 1; lim ( ) 1; lim ( ) 1; lim ( ) /
2) .( ) 2: : ( 2) 2; lim ( ) 1; lim ( ) 1; lim ( ) /
xx x
xx x
Fig a Si x f x f x f x F x
Fig a Si x f x f x f x F x
    
   
            
         
+ -
3) .( ) lim ( ) 2; lim ( )
x x
Fig b f x f x
   

  
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Ejercicios: En los puntos indicados de las figuras a)  b), determine por simple inspección el valor
de la función y sus respectivos límites (si x es un numero real calcule los limites laterales)
.( ) 1 ) 3; .( ) 1 ) 5
2 ) 1; 2 ) 2
3 )
Fig a a En x Fig b b En x
a En x b En x
a
   
   
1; 3 ) 1
4 ) 2; 4 ) 4
5 ) lim
x
En x b En x
a En x b En x
a
 
 
 
( ) ____; 5 ) lim ( ) ____
6 ) lim ( ) ____ 6 ) lim ( ) ____
x
x x
f x b f x
a f x b f x

   
 
 
3.2.0.- Calculo de límites. Se dan dos casos:
El primero cuando la operación es determinada.
El segundo cuando la operación es indeterminada.
1.- Límite de funciones algebraicas (sin indeterminación).- Se presentan dos casos:
- Si el valor de X pertenece al dominio el cálculo del límite es igual que calcular el valor de
una función
- Si el valor de X no pertenece al dominio y la función no existe, entonces se calculan límites
laterales (Por izquierda y por derecha)
Nota: Existe un limite si y solo si sus limites laterales existen y son iguales)
Ejemplos: Con cada una de las funciones determine el valor de la función y sus respectivos límites
laterales en el punto indicado.
Ej1) si 𝑔( 𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2
Solución:
a) Valor de la función: 𝑔( 𝑥 = 1) = 2 × (1) − (1)2
=1
b) Valor del limite:
lim
𝑥→1−
(2𝑥 − 𝑥2) = 2 × (1) − (1)2
=1
lim
𝑥→1+
(2𝑥 − 𝑥2) = 2 × (1) − (1)2
=1
lim
𝑥→1−
(2𝑥 − 𝑥2) = 2 × (1) − (1)2
=1
c) Conclusión.- Dado que los limites laterales son iguales se concluye que el limite
general existe, y es igual a 1 ó ( 𝑦 → 1)
Ej2) si 𝑔( 𝑥) =
2𝑥−𝑥2
4−𝑥
{𝐷 𝑔 = 𝑅 − {4}
Solución:
a) Valor de la función: 𝑔( 𝑥) =
2𝑥−𝑥2
4−𝑥
=
2(4)−(4)
2
4−4
=
2(4)−(4)
2
4−4
=
−8
0
= ∄
b) Valor del limite: en x=4 dado que el 4 no pertenece al dominio
𝑦 → lim
𝑥→4−
(
2𝑥 − 𝑥2
4 − 𝑥
) =
2(4) − (4)2
4 − 3.99
=
−8
≅ +0
= −∞
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CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 33 )
𝑦 → lim
𝑥→4+
(
2𝑥 − 𝑥2
4 − 𝑥
) =
2(4) − (4)2
4 − 4.01
=
−8
≅ −0
= ∞
𝑦 → lim
𝑥 →4
(
2𝑥 − 𝑥2
4 − 𝑥
) =
2(4) − (4)2
4 − 4
=
−8
0
= ∄
c) Conclusión.- Dado que los limites laterales son distintos se concluye que el limite
general no existe
Ejercicios: Con cada una de las funciones determine el valor de la función y sus respectivos
límites laterales en el punto indicado.
 
2 2
2
7 ) ( ) 4 ; 2; ) ( ) 2 ; 1
3
8 ) ( ) ; : 2 3; 8 ) ( ) ; : 1 2
3 2
9 ) ( )
a g x x x para x b f x x x para x
x
a h x Para x x b h x Para x x
x x
a i x x
     
       
 
  2
2
4; : 2 1; 9 ) ( ) 8 ; : 2 3
10 ) ( ) 5 1 2; 10 ) ( ) lg(5 ); 4;
3
11 ) ( ) ;
2
x
Para x x b i x x Para x x
a j x para x b j x x para x
a f x p
x

        
     


3
; 11 ) k( ) ;
3
ara x b x para x
x
    

*Para funciones seccionadas:
3 1 21 14 112 12
2 3 11 1 2 1
x Si x x xx Si xa f x Para b h x Para
x xx Si x x Si x
           
       
; ;) ( ) ; : ; ) ( ) ; :
; ;
2.- Límites de funciones algebraicas (con indeterminación): Este caso se da cuando para un
determinado valor de X el valor del límite da una operación indeterminada.
Tipos de indeterminaciones para estudiar:
0
; ; ; 0
0

    

Para salvar estas indeterminaciones se aplican propiedades del algebra hasta conseguir un limite
equivalente sin indeterminación.
Ejercicios: Con cada una de las funciones se pide resolver y verificar el resultado.
Tipo:
0
0
2
2
2
2
2 1 2
13 ) lim ; 13 ) lim 6
2 24 22 4
2 7 12 4 1
14 ) lim 3; 14 ) lim
3 43 72 9 4
15 )
x x x
a b
x x xx x
x x x
b b
x xx x x
a
   
          
    
         
6 2 5 2 1
lim 6; 15 ) lim
3 1 1 43 2 3
x x
b
x x xx
    
           
Tipo:


2
2
3 5 2 3
16 ) lim 3; 16 ) lim 0
1 1
3 1 3 1
17 ) lim ; 17 ) lim 1
2 2 1
18
x x
a b
x xx x
x x x
a b
x xx x
   
        
     
    
       
2
2
2
1 2 1
) lim 0; 18 ) lim
21 26 2
x x
a b
x xx x
   
            
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CALCULO I MAT 100
Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 34 )
Tipo: ;
0
  

 
   
   2 2
20 ) lim 2 ; 20 ) lim 3 4
21 ) lim 2 1 ; 21 ) lim 7 3
3
22 ) lim 2 (1 ) ;
0
a x x b x x
x x
a x x b x x
x x
a x
x x
     
 
       
 
 
     
2 2
22 ) lim (3 ) 0
0
b x
x x
 
    
3.4.0 Continuidad de funciones (Aplicaciones de limites): En esta sección se pretende que el
alumno aprenda a:
- Distinguir y determinar, los valores de x (puntos de estudio), donde la grafica de una
función deja de ser continua.
- Analizar y aplicar la condición para demostrar si la función es continua o discontinua
en un punto de estudio (PE), o punto crítico (PC).
Definición de continuidad:- Dada una función y=f(x), esta es continua e un punto de estudio
x=a; si y solo si se cumplen las siguientes condiciones.
a) El valor de la función en el punto debe existir. F(x=a)=K
b) El valor del límite en el punto debe existir. lim ( )
x a
f x k


c) El valor de la función y del límite deben ser iguales ( ) lim ( )
x a
F x a f x k

   en
el punto de estudio.
Ejercicios: Con las siguientes funciones líneas abajo:
2
2 2
2
1 2
23 ) ( ) , 23 ) ( )
3 4
4 4
24 ) ( ) , 24 ) ( )
2 2
2 ; 1
25 ) ( )
;
x
a f x b f x
x x
x x
a f x b f x
x x x x
x x
a f x
x

 
 
 
 
 
 

2
2
8 ; 2
25 ) ( )
1 1 ; 1
2
x x
b f x xx x
  
 
 
   

Determinar:
d) Los puntos de estudio
e) Demostrar justificadamente si la función es o no continúa en los puntos de estudio
f) Graficar cada una de ellas. ( ) lim ( )
x a
F x a f x k

  
3.5.0 Funciones derivadas Objetivo.- En este capitulo el objetivo es que el alumno aprenda el
concepto y la determinación de funciones derivadas como una herramienta para el análisis de
funciones con nivel dificultad superior al de la materia calculo I, y sus aplicaciones a la
Economía.
3.5.1 Notación y definición del concepto de la Función Derivada.
Definición.- Una función derivada se interpreta como un coeficiente genérico que mide la
variación de (y) por unidad de (x), en un punto.
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CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 35 )
Notación: Dada la función Y = f(x), entonces la función derivada, la designaremos:
( ) o
dy
y f x y
dx
   
Definición geométrica.- Es la pendiente de una recta tangente en un punto cualquiera de una
curva:
Si Y = f(x), entonces:  
( ) ( )
lim
dy f x x f x
y m tag K
xdx x
           

Propiedades básicas: Dadas las funciones y = f(x) y=g(x), y una constante K; entonces se
consideran necesarias la aplicación de as siguientes propiedades.
) ( ); ( )
( ) ( )
) ;
) ( ) ( ) ( );
dy
a Si y K f x K f x
dx
f x dy f x
b Si y
K dx K
dy
c Si y f x g x h x f
dx
    

  
     ( ) ( ) ( )x g x h x  
3.5.2 Funciones Derivadas: Su determinación.
3.5.1.- Aplicando las formulas básicas demostradas por definición.(ver formulario adjunto):
El objetivo en esta sección es aplicar formulas básicas, (demostradas por definición) para
determinar funciones derivadas.
Ejercicios: Aplicando las formulas básicas estudiadas por definición (Ver formulario de la
presente guía), se pide determinar las funciones derivadas.
   
  
2 2
1 3 2 1 3
2 3 1 2 2 2 2 1
3 1 2 2 3
a f x x x b f x x x
a f x x x b f x x x
a f x x x
   
  
 
;
;
;
) ( ) ) ( )
) ( ) ) ( ) -
) ( ) -   
   
2
3 2 3 2 1
4 3 2 4 2 1
3 2
5
b f x x x
a f x x b f x x
x
a f x
x
 
  


2 2
;
;
) ( ) -
) ( ) ) ( ) -
) ( )
2
3 2
5
2
x
b f x
x

) ( )
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Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 36 )
1 1
1 3 3 1
6 3 2 6 2 3
2 2
4 4
7 7
8
x x
a f x x x b f x x x
x x
a f x e b f x e
x x
a
 
     
         
     
   
;
;
) ( ) - ) ( )
) ( ) ) ( ) ,
2 8 3
4 2
9 2 3 9 3 3
2
10 2
f x x x b f x x x
a f x x b f x x
x x
a f x x
x
   
   
 
;
) ( ) lg( ) ; ) ( ) lg( )
) ( ) ( )( ) ) ( ) ( )( ),
) ( )
2
1 10 2 1x b f x x x
x
   ( ); ) ( ) ( )
3.5.2 .- Funciones derivadas: Aplicando las tablas estandar:(ver formulario adjunto):
El objetivo en esta sección es aplicar formulas tipo estándar para la determinación de
funciones derivadas donde la función original tiene características no básicas o relativamente
complejas.
Ejemplo: Dada la función:   3 2 1f x x x ( ) -
Hallar: a) la función derivada, b) El valor de la función en el punto x=-2
Solución:
  
 
23 2 1 2 5 3 4 5
2 4 2 5 2 13
a Si f x x x f x x x por lo tanto la derivada sera f x x
Aplicacion f x f x
         
           
) ( ) - ; ( ) , ( )
( ) ; ( )
Ejercicios: Aplicando las formulas Estándar (Ver formulario de la presente guía)
Se pide hallar: a) La función derivada. b) El valor de la función derivada en el punto indicado.
1
,
(
1) ( ) ( )
2 ) ( ) ( ) ln( ); 2 ) ( ) ; ( )
3 ) ( ) log( ); ( )
n n
u u u u
f x u f x nu u
a f x k f x u k k b f x e f x u e
u
a f x u f x
u

   
        
  
FORMULAS DE DERIVADAS ESTANDAR)
,
2
log( ); 3 ) ( ) ln( ) ( )
4) ( ) ( ) ; 5) ( ) ( )
6) ( ) ;v
u
e b f x u f x
u
u u v uv
f x uv f x u v uv f x f x
v v
f x u
  
 
         
  1 , ,
( ) ln( )v v
f x vu u v u u
 
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CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 37 )
T1.- Si
-1( ) ; ( )n nf x u f x nu u   
 2
311 2 1
12 2 1 2
4
13 3 2
314 2 8
a Si f x x x Hallar F
a Si f x x x Hallar F
a Si f x x x Hallar F
a Si f x x Hallar F
  
   
   
   
) ( ) ; : (- ) ?
) ( ) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
 2
311 2 4 1
212 4 2
3
13 3 2
14 2 9
b Si f x x x Hallar F
b Si f x x x Hallar F
b Si f x x Hallar F
b Si f x x Hallar F
   
   
   
 
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
 
3
2
2
15 2 7
4
16 3
1 3
4
17 2
3
a Si f x x Hallar F
a Si f x Hallar F
x
a Si f x Hallar F
x
   
 

 

) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ( ) ; : ( ) ?
 
2
3
2315 3 2
2
16 2
3
2
17 9
1
b Si f x x Hallar F
b Si f x Hallar F
x
b Si f x Hallar F
x
  
 

 

) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
T2.- Si
u u u uf x k f x u k k f x e f x u e        ( ) , ( ) ln( ) ; ( ) , ( )
 
 
2
18 2 1
219 2 2
2
1 2
20 1
2
3 2
21 2
322
3
xa Si f x Hallar F
x xa Si f x Hallar F
x
a Si f x Hallar F
x
a Si f x Hallar F
xa Si f x e
e
   
   

 

 

) ( ) , : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
) ( )
3 2
4
423 2
Hallar F
xa Si f x e Hallar F
 
   
, : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
 
 
2
218 3 1
319 2 2
2
3 2
20 2 2
2
2 2
21 1
22
xb Si f x Hallar F
xb Si f x Hallar F
x
b Si f x Hallar F
x
b Si f x Hallar F
b Si
e
  
  

 

 
) ( ) , : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
)
3
2
2 8
523 3
xf x e Hallar F
xb Si f x e Hallar F
   
  
( ) , : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
T3.- Si
( ) log( ) ( ) log( ) ; ( ) ln( ) ( )
u u
f x u f x e f x u f x
u u
 
      
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   
   
 
   
24 5 2
25 2 4 3
1
26 1
2 4
27 6 2 2
28
a Si f x x Hallar f
a Si f x x Hallar f
a Si f x Hallar f
x
a Si f x x x Hallar f
a Si f x
 
  
 
   
  

2
) ( ) log , : ?
) ( ) log , : ?
) ( ) log , : ?
) ( ) ln , : ?
) ( ) ln  
 
3
2 2
7 2
29 3
8
x x Hallar f
x
a Si f x Hallar f
x
 
 
   
 
2
2
, : ?
) ( ) ln , : ?
   
   
 
   
4 2 5
25 6 2 2
1
26 2
5 2
27 3 1
28
b Si f x x Hallar f
b Si f x x Hallar f
b Si f x Hallar f
x
b Si f x x x Hallar f
b Si f x
 
   
 
   
   

2
) ( ) log , : ?
) ( ) log ( ) , : ?
) ( ) log , : ?
) ( ) ln , : ?,
) ( ) l  
 
3 1
5
29 2
3 5
x x Hallar f
x
b Si f x Hallar f
x
 
 
   
 
 
3
2
n , : ?
) ( ) ln , : ?
T4.- Si 𝑓( 𝑥) = 𝑈(𝑥). 𝑉(𝑥);  𝑓´( 𝑥) = 𝑢´
𝑣 + 𝑢𝑣´
 
   
     
 
2
2
2
2
30 3 1 2 1
31 3 2 2
32 7 3 3 2
31 1 8 2
a Si f x x x Hallar f
xa Si f x x Hallar f
a Si f x x x Hallar f
a Si f x x x Hallar f
e
    
   
   
    
) ( ) ( )( ); : ?
) ( ) ( ); : ?
) ( ) ln ; : ?
) ( ) ; :
 
 
3
34 1 1 2
2 4
35 2 3 2
a Si f x x x Hallar f
a Si f x x Hallar f
x x
    
  
     
  
?
) ( ) ; : ?
) ( ) ; : ?
 
   
     
   
2
2
2
2
30 2 1 3 2
231 3 2 2
3 3 2
33 5 2 3 2
b Si f x x x Hallar f
xb Si f x x x Hallar f
b Si f x x x x Hallar f
b Si f x x x Hallar f
e
   
    
   
  
32
) ( ) ( )( ) , : ?
) ( ) ( ) , : ?
) ( ) ln , : ?
) ( ) - , :
 
 
3
34 5 5 2
1 4
35 2 3 1
b Si f x x x Hallar f
b Si f x x Hallar f
x x

    
  
     
  
?
) ( ) , : ?
) ( ) , : ?
T5.- Si 𝑓( 𝑥) =
𝑈(𝑥)
𝑉(𝑥)
;  𝑓´( 𝑥) = 𝑢´ 𝑣+𝑢𝑣´
𝑣2
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2
2
2
2
36 3
2
3 1
37
2 3 2
3 2
38 2
5
2 3
39 1
40
x
a f x Hallar f
x
a f x Hallar f
x
x
a f x Hallar f
x
x
a f x Hallar
x
a f x
 

  

  

  

) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : f ( ) ?
) ( )
3
2
1
7 3
7 3
3 1
41 33
1
x
Hallar
x
x
a f x Hallar
x
  

  

; : f ( ) ?
) ( ) ; : f ( ) ?
2
2
2
2
36 1
4 5
3 1
37
2 2 2
3 2
38 2
1
1
39 2
3 2
40
3
x
b f x Hallar f
x
b f x Hallar f
x
x
b f x Hallar f
x
x
b f x Hallar
x
x
b f x
 

  

   

   



) ( ) , : ( ) ?
) ( ) : ( ) ?
) ( ) : ( ) ?
) ( ) , : f ( ) ?
) ( )
3
3
2
2
2
5 3
41 1
9 1
Hallar
x
x
b f x Hallar
x
 
   

: f ( ) ?
) ( ) : f ( ) ?
T6.- Si 𝑓( 𝑥) = 𝑈(𝑥)
𝑉(𝑥)
;  𝑓´( 𝑥) = 𝑣. 𝑢 𝑣−1
. 𝑢´
+ 𝑣´
. 𝑢 𝑣
. 𝑙𝑛( 𝑢)
   
 
2 2
2 2
42 2 1 42 2 1
6 2
43 3
x x
a Si f x x x Hallar F b Si f x x x Hallar F
x
a Si f x x Hallar F
 
       

 
) ( ) ; : ( ) ?; ) ( ) , : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?;
 
   
4 2
43 3 2
1 32 3 244 3 44 3 2
2
x
b Si f x x Hallar F
x x
a Si f x Hallar F b Si f x x allar F
x

  
  
        
 
H
) ( ) ( ) , : ( ) ?
ln
) ( ) ; : ( ) ?; ) ( ) , : ( ) ?
T7.- Miscelánea: En esta serie de ejercicios el alumno deberá:
- Analizar el tipo de formula que aplicará
- Derivar y luego hallar el valor de la primera derivada en el punto indicado.
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CALCULO I MAT 100
Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 40 )
 
 
2
3
2
3
2
2
45 2 1 1
4 4246 2
47 3 2 2
2
48 3 2
a Si f x x x Hallar F
x
a Si f x x Hallar F
x x
a Si f x x Hallar F
a Si f x x
x
       
 
      
 
   
 
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ln( );
   
1
2 2
49 3
3
50 0
1
51 4 2 5 3
52
Hallar F
a Si f x x x Hallar F
x x
x
a Si f x Hallar F
x
a Si f x x x Hallar F
a S
 
  
     
  

 

   
: ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ln ; : ( ) ?
)
  
 
 
3
2 5
2 23
2
3
2 5
53 4 3
2 3
6
54 2 2
55 5 5
x
x
i f x Hallar F
x
a Si f x x Hallar F
x
a Si f x x Hallar F
x
a Si f x x x Hallar


 

  

     
 
   
( ) ln ; : ( ) ?
) ( ) ln ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; :  2f   ?
 
 
2
23
2
2
45 2 1 2
3
4 2 246 1
47 3 4
48
2
b Si f x x x Hallar F
x
b Si f x x Hallar F
x x
b Si f x x Hallar F
x
b Si f x
      
 
       
 
  

) ( ) , : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
) ( ) : ( ) ?
) ( ) ln
   
2
2
2
8 3
6 6
49 1
5
50 2
5
51 2 5 4 3
x Hallar F
b Si f x x x Hallar F
x x
x
b Si f x Hallar F
x
b Si f x x x Hallar F
 
         
  

 

   
( ); : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
) ( ) , : ( ) ?
) ( ) ln ; : ( )
  
 
 
3
4
2
2 2
3 2
3
2 5
52 3
2
53 2 5 3
54 2 1
55 3 2 3 2
x
x
x
b Si f x Hallar F
x
b Si f x x Hallar F
b Si f x x x Hallar F
b Si f x x x

 
 
 


 

  
  
   
?
) ( ) ln ; : ( ) ?
) ( ) ln ; : ( ) ?
) ( ) : ( ) ?
) ( ) ,
,
 1Hallar f  : ?
UND. 4
DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES Y APLICACIONES
4.0.0.- DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES.
En esta sección vamos a considerar la derivada de funciones Especiales al proceso de:
- Derivar n veces una función que ya fue derivada “Derivada de segundo orden”
- Derivar una función Inversa
- Derivar una función Compuesta
- Derivar una función implícita.
4.1.0.- Derivadas de orden superior.
Si ( ) ; ( ); ( ); ( ); ................... ( );n n
y f x y f x y f x y f x y f x
Son la primer,segunda y n - esima derivada de y con respecto a x respectivamente
          
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CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 41 )
Ejercicios: Hallar la segunda derivada de las funciones y su valor en lugar indicado
3 3 21 5 2 2 1 3 1
3 2
2 2
2
a Si f x x Hallar f b Si f x x Hallar f
x
a Si f x Hallar f
x
      

  

) ( ) ( ) ; : ( ) ?; ) ( ) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?;
1 3
2 1
1 2
2 3 3 23 1 3 1
4
x
b Si f x Hallar f
x
x xa Si f x e Hallar f b Si f x e Hallar f
a Si f x

 

      
) ( ) ; : ( ) ?
) ( ) ; : ( ) ?; ) ( ) ; : ( ) ?
) ( )
3
1 13 2 35 2 1 4 9 2 13
6 6
4 25 4 3 1 13 5 6 2
9
x Verificar f b Si f x x Verificar f
a Si f x x Verificar f b Si f x x x
         
     
ln ; : ( ) ; ) ( ) ln ; : ( )
) ( ) ; : ( ) ; ) ( )
3
1 4Verificar f  ; : ( )
4.2.0.- Función Inversa. 𝑋 = 𝑓( 𝑥); 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
Ejercicios.-Hallar la derivada de y respecto a x, luego el valor para Y=1 en todos los casos
33 36 3 2 2
2 33 27 3 2 2 4
3 2
8
3 1
a x f y y y b x f y y
y
a x f y y y y b x f y y y y
y y
y
a x f y
y
     
       

 

6
7
) ( ) ; ) ( )
) ( ) ( ); ) ( ) ( )
) ( )
2 23 3
3 2
3 1
9 2 2 9 2 2
22
10 3 2
y
b x f y
y
a x f y y y y b x f y y y y
y y
a x f y y b x f y e

 

       

    
8
10
) ( )
) ( ) ; ) ( )
) ( ) ln( ); ) ( )
4.3.0.- Función Compuesta. dy dy dw
Si y f w y ademas w f x
dx dw dx
    ( ) ; ( );
Ejercicios.-Hallar la derivada de las funciones compuestas. Luego su valor en el punto
indicado
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CALCULO I MAT 100
Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 42 )
 
 
2 2
3
3
11 3 2
1
4
12 3 2
2
2
13 7 3 2
a Si y p p p x
Hallar dy dx para x
a Si y w w
t
Hallar dy dt para t
a Si y p p q
Hallar dy dq p
    
  
   
  
    
 
) ;
: / ?,
) ;
: / ?,
) ;
: / ?,
3
2
2
2 4
14
2
4 1
15
2
ara q
a Si y p
p q
Hallar dy dq para q
a Si Si y p
p q
Hallar dy dq para q

  
   
 
     
 
  
) ; ;
: / ?,
) ;
: / ?,
 
 
2 2
2 2
3
11 2 2
1
5 3
2
2
13 3 2 7
1
1
b Si y p p p x
Hallar dy dx para x
Si y w w t t
Hallar dy dt para t
b Si y q q p
Hallar dy dp para q
    
  
    
   
    
   
12b
) ; ;
: / ?,
) ;
: / ?,
) ;
: / ?,
3
2
2 4
4
1
4 1
15
2
a Si y p
p q
Hallar dy dq para q
a Si Si y p
p q
Hallar dy dq para q
  
   
 
    
 
   
) ;
: / ?,
) ;
: / ?,
4.4.0.- Función Implícita. Ejercicios:
Ejercicios.-Hallar la derivada de la variable y (dependiente), respecto a la x (independiente,
luego su valor en el punto indicado

2 2
16 4 3 5 16 3 2 3 5
1 1 1
a y x x y b y y x y xy
Hallar dy dx para x y Hallar dy dx para x y
     
      
) ; ) ;
: / ? : : / :

2
17 2 2 6 17 3 2 5 2 6
1 1 1
a yx xy x y b xy x y y x
Hallar dy dx para x y Hallar dy dx para x
      
    
3) ( ) ; ) ( )
: / : : / :
  

2
218 2 18 2 3 3
1 2
y
y x
a x y b x y yx xy
y x
Hallar dy dx para x y Hallar dy dx par
 

    

  
) )
: / : : / 

2 1
3 3
19 4 2 19 4 2
1 2
a x y
a y x x y y b y x x y y
x x
Hallar dy dx para x y Hallar dy dx p
  
       
  
:
) ( )( ) ) ( )( );
: / : : / 

1 1
2 320 2 4 2 3 20 3 4 5 2
1 2
ara x y
a xy x y x b yx x y
Hallar dy dx para x y Hallar dy dx
   
     
  
:
) ln( ) ) ln( )
: / : : /  1 2para x y  :

∂F
dy ∂xSi f(x, y)= 0 ; = -
∂Fdx
∂y
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CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 43 )
5.0.0.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DERIVADAS A LAS CIENCIAS ECONOMICAS.-
El objetivo es relacionar e interpretar académicamente una función algebraica con su
derivada, para resolver casos de aplicación a las ciencias económicas:
En este nivel, la función marginal es la primera aplicación de una función económica ya que es
el resultado de derivar una de las siguientes funciones económicas básicas detalladas a
continuación.
FUNCIÓN ORIGINAL FUNCIÓN DERIVADA
Función oferta ( )y O x Función Oferta marginal ( )mgy O x 
Función Demanda ( )y D x Función Demanda marginal ( )mgy D x 
Función Ingreso. ( )y I x Función Ingreso marginal ( )mgy I x 
Función Costo. ( )y C x Función Costo marginal ( )mgy C x 
Función Utilidad o beneficio. ( )y U x Función Utilidad marginal ( )mgy U x 
La función marginal se interpreta como la variación del valor de la función por unidad de
cambio en la cantidad o el precio
Convencionalmente se considerara a la variable (y) como dependiente de la cantidad (x) y
además con una unidad de medida en (unidades monetarias); $, Bs. etc.
5.1.0.- Función Oferta O(x):
 Si ( )y f x =O(x), Es Función de Oferta, que depende de la cantidad; Entonces se define:
 La Fusión Oferta marginal como la derivada de la función oferta: ( ) 0mg
dy
y O x k
dx
    
Para todo x>0
 Interpretación de la Oferta marginal: Por cada unidad adicional Ofertada el precio de la
Oferta aumenta k unidades monetarias.
Ejercicios.- Con las siguientes funciones de oferta se pide:
a).- Hacer la respectiva grafica
b).- Determinar e interpretar el valor de la oferta marginal en los puntos indicados.
1 1 2 2 1 2 2 2
2 22 2 2 1 2 2 1 1
3 1 1
a O x x en x b O x x en x
a O x x x en x b O x x x en x
a O x x en
     
       
  
) ( ) , ; ) ( ) / ,
) ( ) , ; ) ( ) ,
) ( ) ln( ), 2 3 2 1 3
7 1 3 1
4 5 4 3
1 1
x b O x x en x
x x
a O x en x b O x en x
x x
    
 
   
 
; ) ( ) ln( );
) ( ) , ; ) ( ) ,
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CALCULO I MAT 100
Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 44 )
5.2.0.- Función Demanda D(x):
 Si ( ) ( )y f x D x  , Es Función Demanda que depende de la cantidad; Entonces se define:
 La función Demanda marginal como la derivada dela F. demanda ( ) 0mg
dy
y D x k
dx
    
para x>0
 Interpretación de la demanda marginal: Por cada unidad adicional demandada el precio de
la demanda disminuye k unidades monetarias, o viceversa.
Ejercicios.- Con las siguientes funciones de demanda se pide:
a).- Hacer la respectiva grafica,
b).- Determinar e interpretar el valor de la demanda marginal en los puntos indicados.
2
2
4 2
5 5 2 2 5 8 2 2
1
6 4 0 6 24 2 2
4
7
a D x x en x b D x x en x
x x
a D x en x b D x x x en x
a D
     
       
) ( ) , ; ) ( ) ,
) ( ) , ; ) ( ) ( );
) ( 1 4 2 7 2 3 3
2 8 6
8 2 8 3 3
1 1
x x en x b D x x en x
x
a D x en x b D x en x
x x
       

    
 
) ln( ), ; ) ( ) ln( );
) ( ) , ; ) ( ) ,
5.3.0.- Función ingreso I(x)
Básicamente se la define como el producto entre una cantidad vendida por el precio
unitario de demanda, es decir que el ingreso es nulo si no existe cantidad para vender.
 Función ingreso: ( ) . ( ) :
x Cantidad a la venta de un bien
I x x f x Donde
f(x) Funcion precio unitario de demanda

 

 Función ingreso marginal.- ( ) ;mg x
dI
I Derivada del ingreso
dx

 Interpretación de la demanda marginal: Por cada unidad adicional vendida el monto del
ingreso aumenta (+) ó disminuye (-); k unidades monetarias.
Ejercicios.- Dadas las funciones de ingreso, se pide:
a) Graficar la función.
b) Hallar e interpretar el valor del ingreso marginal en los puntos indicados.
2 29 6 1 5 9 4 1 3
10 4 1 3 10 3
a I x x x en x x b I x x x en x x
a I x x x en x x b I x x x
         
      
) ( ) , ; ) ( ) ,
) ( ) ( ), ; ) ( ) ( ),
 
1 4
11 4 1 3 1 3 2 4
2 2
2
12 2 4 1 3
en x x
x x
a I x x en x x b I x x en x x
a I x x en x x
  
         
     
1) ( ) ( ), ; ) ( ) ( ),
) ( ) , ;  21
2 12 2 9
3
b I x x x en x x    1 ) ( ) ,
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Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 45 )
5.4.0.- Función costo: Costo total: y costo promedio.-
El costo total C(x).- Se define como la suma de dos componentes básicos en el proceso productivo
que son un costo fijo más un costo variable que depende de las unidades producidas.
 Función costo total: ( ) ( ) ;T VC x C x CF  Costo variable más costo fijo
 Función costo marginal: ( )
( ) T
Tmg
dC x
C x
dx
 Derivada del costo respecto a (x).
 Interpretación del costo marginal: Por cada unidad adicional producida el monto del costo de
aumenta k unidades monetarias.
Ejercicios.- Dadas las funciones de costo, se pide:
a) Graficar la función.
b) Hallar e interpretar el valor del costo marginal en los puntos indicados.
2 2
13 ) ( ) 2 2 , 1 , 13 ) ( ) 1 , 2
2
14 ) ( ) 1, 0, 14 ) ( ) 3 , 1
2 2
15 ) ( ) 1,
x
a C x x en x b C x en x
t t
x x
a C x x en x b C x en x
t t
a C x x
t
     
      
  0, 15 ) ( ) 3 , 1en x b C x x en x
t
   
El costo promedio Cp(x).- Se define como el cociente entre el costo total y el número de unidades
producidas en un proceso.
 Función costo promedio:
( )
( ) ;T
p
C x
C x
x
 Costo total dividido la cantidad (x)
 Función costo promedio marginal: ( )
( ) ;P
pmg
dC x
C x Derivada del costo promedio respecto a(x)
dx

 Interpretación del costo promedio marginal: Por cada unidad adicional producida el monto del
costo promedio de aumenta (+), ó disminuye (-); k unidades monetarias.
Ejercicios.- Dadas las funciones de costo, se pide:
a) Graficar la función.
b) Hallar e interpretar el valor del costo promedio marginal en los puntos indicados.
 
 
2 2
2
2
16 ) ( ) 1, 0, 16 ) ( ) 3 , 1
2 2
11
17 ) ( ) 1 , 0, 17 ) ( ) , 1
4 4
1
18 ) ( ) 1 ,
4
x x
a C x x en x b C x en x
t t
x
a C x x en x b C x en x
t t
xx
a C x en
p x
      

    

  
1 23
, 18 ) ( ) ,
3 43
xx
b C x en
px xx
 
  
  
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5.5.0.- Función Beneficio o Utilidad U(x):
Se define como la diferencia de dos componentes básicos, es decir el ingreso menos costo total,
los mismos que dependen de las unidades vendidas y las unidades producidas
.
 Función utilidad: ( ) ( ) ( ) ( )TU x B x I x C x   función ingreso menos función costo total
 Función utilidad marginal: ( ) ( ) ( ) ( )mg mg mg TmgU x B x I x C x   ingreso menos costo total
marginal.
 Interpretación de la Utilidad o Beneficio marginal: Por cada unidad adicional producida y
vendida el monto de la utilidad o Beneficio aumenta (+), ó disminuye (-); k unidades
monetarias.
Ejercicios (T1).- Dadas las funciones de utilidad o beneficio se pide:
a) Graficar la función.
b) Hallar e interpretar el valor de la utilidad o beneficio marginal en los puntos indicados.
2
2 12 217 ) ( ) 6 1; ; 17 ) ( ) 4 1;
4 3
3
18 ) ( ) 4 ( 4) ; ; 18 ) ( ) 7 (
4
x x
a B x x x en b B x x x en
x x
x
a U x x en b U x x
x
  
      
  

     

2 4
4) ;
5
215 1 219 ) ( ) 1; 5; 19 ) ( ) 2 -1; 3
2 2 3
x
en
x
x x
a U x en x b U x x x en x



      
Ejercicios (T2).- Con las funciones de ingreso y costo total:
Hallar las Utilidades marginales en el punto. Indicado.
2
2
2
107 3 3220 ) ; ; 20 ) ;
5 52 3
2
4
x
I xI x x x xTTa en b en
x xC x
T C x
T

        
   
       
Recomendación: Dado que todas las funciones de aplicación planteadas son del tipo BASICO, se
recomienda trazar las respectivas graficas.
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 47 )
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 48 )
ANEXOS
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 49 )
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 50 )
FORMULARIO PARA CALCULO DIFENCIAL E INTEGRAL
A) PROPIEDADES DEL ALGEBRA: Exponentes, Logaritmos, Álgebra y Ecuaciones
B) TABLAS DE DERIVACION. Si k es un valor constante y además U, V, W,...dependen de x, entonces
C) DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES.
Donde
F
x


: 
F
y


son las
derivadas
Parciales de la función
igualada
a cero F.
1) ; 2) ; 3)
u u
Si y ku y ku Si y y Si y u v y u v
k k

              PROPIEDADES :
2
2
1) ( ) ; ( ) 0 2) ( ) ; ( ) 1 3) ( ) ; ( ) 2 ;
1 1 1
4) ( ) ; ( ) ; 5) ( ) ln( ); ( ) ; 6)
f x k f x f x x f x f x x f x x
f x f x f x x f x f
x xx
          
       
DERIVADA DE FUNCIONES BASICAS
1
( ) ; ( )
1) ( ) ( )
2 ) ( ) ( ) ln( ); 2 ) ( ) ; ( )
3 ) ( ) log( )
x x
n n
u u u u
x e f x e
f x u f x nu u
a f x k f x u k k b f x e f x u e
a f x u

  
   
        

TABLA ESTANDAR DE DERIVACION
, ,
2
; ( ) log( ); 3 ) ( ) ln( ) ( )
4) ( ) ( ) ; 5) ( ) ( )
6)
u u
f x e b f x u f x
u u
u u v uv
f x uv f x u v uv f x f x
v v
     
 
         
1 , ,
( ) ; ( ) ln( )v v v
f x u f x vu u v u u
   
:
0 n
n m n×m n n n
n
n m n+m n-m
m
- n
n
1) a = 1; : 2) 1 = 1;
3) (a ) = a 4) (ab) = a ×b
a
5) a × a = a ; : 6) = a
a
1
7) a = 1;
a
PROPIEDADESDELOSEXPOMENCIALES
m nm n
a a
b
   
   
   
  ..
n -n n
n
1
mn nn
b b
b
a b a
: 8) = = ;
b a b
9) 3) a = a; : 10) a
1) lg (1) = 0; : 2) lg ( ) = 1
3) lg (a
PROPIEDADESDELOSLOGARITMOS.
       






n
n n
b b bb
b b b b b b
b
c
b
1
) = nlg (a); : 4) lg (a) = lg a = lg (a)
n
5) lg ( l) = lg ( ) + lg ( ); : 6) lg ( / ) = lg ( ) - lg ( )
c = bace desconocidalg ( )
7) lg ( ) = ; Donde
lg (c) b = bace conocida
8
lg (a)
b) b = a

PRODUCTOS NOTABLES
2 2 2 3 3 2 2 3
2 2 3 3 2 2
n n
n-1 n-2 n-2 2 n-1
1) (a ± b) = a ± 2ab + b ; 2) (a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b
COCIENTES NOTABLES.
1) a - b = (a + b)(a - b); 2) a ± b = (a b)(a ab + b )
a + b
3) = (a - a b + a b - .....- b )
a + b

n n
n-1 n-2 n-2 2 n-1
n n
n-1 n-2 n-2 2 n-1
n n
2
;n = impar
a - b
4) = (a + a b + a b + .....- b );n = par o impar
a - b
a - b
5) = (a - a b + a b - .....- b );n = par
a + b
a + b
6) = Nunca es divisible si n = par
a b
1) si ax + bx + c =
ECUACIONES CUADRATICAS.
 



INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
2
1,2
22
1
0; x = (-b ± b - 4ac)
2a
1) si P(x) < a; - a < P(x) < a :
2) si P(x) > a; P(x) > -a y P(x) < a;
3) si P(x) = P(x)
( )1
( ) ; ;
( ))
y f wdy dy dy dw
Si x f y Si
dx w f xdx dx dw dx
dy

    

Derivada de funciones Inversas. Derivada de funciones compuestas.
Deriv
( ); , :
( ); 1 ( )
( ); -n n
.
Si y f x es una funcion luego
y f x Es la er derivada de f x
y f x Es la n ecina derivad

 

ada de funciones de Orden superior. Derivada de funciones implicitas
( , ) 0 ; ;
( )
F
dy xSi f x y
Fdx
a de f x y

   


GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 51 )
D) TABLAS DE INTEGRALES: Si k es un valor constante y además U, V, W,...dependen de x, entonces:
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) -
xb
b
da
a
A f x dx F x F b F a EC f x dx x y
A
     
Integral definida Excedente del consumidor y productor
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )
xb c b
of
a a c
f x dx f x dx f x dx EP x y f x dx       
E) PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA LINEAL: Matrices, y sistemas de ecuaciones lineales
FORMATOS PARA LAS DIFERENTES
1
2 2
2 2
1) ; -1
1
2) ;
ln( )
1
3) ln( )
1 1
4) ln
2
1
5)
n
n
u
u
u
y u du c n
n
a
y a du c
a
y du u
u
u a
y du c
a u au a
y du
a u

   

  
 

  








TABLAS ESTANDAR DE INTEGRACION (metodo de sustitucion)
2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
1
ln ;
2
1
6) ln
7) ln
2 2
a u
c
a a u
y du u u a c
u a
u a
y u a du u a u u a c

 

    

       


( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3
1) ;
2) ( )
1) ;
1
2) ;
2
1
3) ;
3
x x
x x x x
y ku dx k u dx
y u v dx u dx u dx
y dx x c
y xdx x c
y x dx x c
 
   
  
  
  
 
  



PROPIEDADES
NTEGRALES BACICAS
:
I
2
1 1
4) ;
1
5) ln( ) ;
6) x x
y dx c
xx
y dx x c
x
y e dx e c
   
  
  



1
2
3
4
5
m n m n m n m n
m n m n m n m n
m r r n r n m r r n m r r n m n
m r r n m r m r m n
A B B A
k A B kB kA
A B C A B A B R
k A B kA B R
A
   
   
       
    
  
  
     
   
)
) ( )
) ( )
) ( ) ( )
)
ALGEBRA de MATRICES
si las dimensiones son = .
(Resultado)
(Resultado)
0 16
m r r n r n m rB B A
A I A A A I A
     
   ) ; ;
si las dimensiones son dif.
1
2
1 13
4
5
m n m n
m n m n
m n m n
m n m n n m n m n m
m r r n n r r m n m
t tA A
t tkA kA
t tA A
t t tA B A B R
t t tA B B A R
 
 
 
    
    



   
   
) ( )
) ( )
- -) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
PROP. DE LA MATRIZ TRANSPUESTA
1
1 11
113
1 1 14
5
m m m m
m n m n
m r r n m r r n
m m m m m m
A A
kA A
k
A B B A
A B I B es inversa de A
 

 
   
  


  
  
- -) ( )
-) ( )
- - -) ( ) ( ) ( )
) ;
PROP.DELA MATRIZ INVERSA
1 1
11
2
3
m m m mDado el sistma matricial : A X B
las soluciones son
Metodo de la inversa X A B
Metodo de Gaus
Metodo de la matriz adjunta
   

 
:
-) ;
)
)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 100
Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 52 )
PRESENTACIONES Y ACTIVIDADES
MAT100 (.…) Fecha: ……………………
Trabajo Práctico No…….
ALUMNO: ………………..…………………………… Registro …………………..
TEMA: ………………………………………………………………………………………………...
MAT100 (…..) Fecha: ……………………
Trabajo Individual No…….
ALUMNO: …………………………..……………………… Registro: …………………..
TEMA: ………………………………………………………………………………………………...
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Trabajo Grupal No…….
INTEGRANTES: ……………………..…………………………… Nota ……………………..
……………………..…………………………… Nota ……………………..
TEMA: ………………………………………………………………………………………………..
MAT100 (……) Fecha: …………………
Examen parcial No…….
ALUMNO: …………………..…………………………… Registro …………………..
TEMA: ………………………………………………………………………………………………...
NOTA: El alumno en todos los casos deberá:
- Emplear uno de los encabezados de identificación personal
- Emplear hojas tamaño CARTA, pudiendo ser de traper o cuadernillo
- El docente tiene libertad de adoptaro no estos formatos
Firma
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CALCULO I MAT 100
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 53 )
NOTAS IMPORTANTES
SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014
SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014
SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014
SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014
SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014
SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014
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CALCULO I MAT 100
Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 54 )
AGENDA RAPIDA
No Nombre Teléfono Correo
1 Docente 3242823 jmoron@bolivia.com
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
FIRMAS DE PARTICIPACION
Nombre del Alumno: …………………………………..………………………….. Firma:……..…………….

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Nivel 1)

  • 1.
  • 2. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 2 ) PRESENTACION Con el beneplácito de mantener una continuidad anual destacable, lanzamos la versión No 13 de esta “GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS” para las materias de Calculo Diferencial e Integral Nivel I y Nivel II. El propósito de esta Guía es que sirva como material de apoyo bibliográfico a los estudiantes de las Facultades de Contaduría Pública y Ciencias Económicas, y del mismo modo a los estimados colegas que han visto en este medio una herramienta más para el desempeño eficiente en la parte práctica del proceso de enseñanza a impartir. Esta Guía cada año cuenta con la recepción de numerosas ideas de los profesores que figuran líneas abajo, todas relativas a la materia, y para el mejoramiento continuo de la misma, y de esta manera lograr un consenso de uniformidad mínimo en cuanto se refiere a los contenidos en el momento de impartir las materias de referencia. A los estimados alumnos respetuosamente se les pide:  Ser tolerantes es sus observaciones  Colaborar en el proceso de mejoramiento de la presente guía.  Contactos: jmoron@bolivia.com www.jmoronr.blogspot.com Material de Apoyo para los Docentes::  Ing. José Morón R  Ing. Jorge Antelo  Ing. Osvaldo Koller.  Ing. Víctor Hugo Vaca D.  Lic. Ramiro Limón. (Vgde).  Lic. Roberto castro.  Lic. Víctor Romero  Lic. Alfredo M. Osinaga C  Lic. Mario Limón.  …………………………….. ALUMNO: GRUPO: SANTA CRUZ - MARZO – 2015
  • 3. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 3 ) UNIVERSIDAD AUTONOMA: “GABRIEL RENÉ MORENO” FACULTAD: “CONTADURÍA PUBLICA” FACULTAD: CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA ANALITICO IDENTIFICACIÓN: CARRERA: CICLO COMUN FACULTATIVO GRADO ACADEMICO: LICENCIATURA NOMBRE DE LA MATERIA: CALCULO I SIGLA DE MATERIA: MAT 100 PRERREQUISITOS: PAB/PSA SE DICTA EN EL: PRIMER SEMESTRE No DE CREDITOS: 5 No DE HORAS SEMANALES: 4 HT + 2HP SANTA CRUZ - MARZO - 2015
  • 4. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 4 ) CONTENIDO MINIMO: Aritmética – Álgebra - Conjuntos – Ecuaciones – Inecuaciones - Relaciones y Funciones en dos variables - Limites y continuidad – funciones derivadas con dos variables. OBJETIVOS GENERALES: Al finalizar el curso el estudiante será capas de: - Nivelar y Consolidar sus conocimientos previos de colegio. - Manejar, Interpretar y analizar las funciones básicas en dos variables. - Calcular y analizar la continuidad de funciones en dos variables. - Determinar funciones derivadas con dos variables. METODOLOGÍA Y MEDIOS DE ENSEÑANZA: - Se empleara la clase magistral y prácticas grupales como esencia del aprendizaje.. - Los medios a emplear serán la pizarra, el marcador y la vos. JUSTIFICACIÓN DE LA MATERIA: La materia forma parte de las herramientas básicas para el desarrollo y formación de los estudiantes de la Facultad de Contaduría Pública y la Facultad de Ciencias Económicas Administrativas y Financieras. Estas herramientas constituyen los temas correspondientes de aritmética, álgebra, análisis y aplicación de funciones básicas y finalmente la determinación e interpretación de una función derivada. EVALUACIÓN:  PARTE “PRACTICA”.- Por cada capitulo se tomaran practicas grupales, u otro modalidad. con una calificación de 25 puntos. La ponderación será el resultado de la suma total de las pruebas del semestre. En esta calificación se considerara la asistencia para efectos de notas finales.  PARTE “EXAMENES PARCIALES”.- Se evaluaran tres exámenes parciales: o El 1ro de las unidades uno y dos o El 2do de las unidades tres o El 3ro de la unidad Cuatro con aplicación de conceptos de las unidades anteriores. PONDERACIÓN: Exámenes % Obs. Exámenes prácticos 25 Practicas grupales 1er Examen parcial 25 Unid. 1,2 2do Examen parcial 25 Unid. 3,4 3er Examen parcial 25 Und. 4(aplicaciones) CRONOGRAMA PARA UN SEMESTRE ACADEMICO 2015 16 semanas calendario MES MES 4 SEMANA S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 TEMA FECHA (Lunes) 1 ARITMETICA Y ALGEBRA BASICA 2 RELACIONES Y FUNCIONES y=F(x) 3 LIMITES Y CONTINUIDAD 4 FUNCIONES DERIVADAS SEMESTRES 2011 (16 Semanas) MES 1 MES 2 MES 3 MES 5
  • 5. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 5 ) DESARROLLO DE LAS UNIDADES PROGRAMATICAS: UND. No1 “CONOCIMIENTOS PREVIOS” TIEMPO 18 Horas - aula OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Lograr que los alumnos nivelen los conocimientos previos de colegio.  Lograr que los alumnos se adapten a la metodología del docente. CONTENIDO: 1.1.0 Aritmética y Álgebra Básica 1.1.1 Propiedades básicas de la Potenciación, radicación y logaritmos. 1.1.2 Expresiones algebraicas, factorización y ecuaciones. 1.1.3 Conjuntos: Definición y operaciones con conjuntos (finitos e infinitos) 1.1.4 Ecuaciones: Solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. 1.1.5 Inecuaciones: Solución de inecuaciones lineales, cuadráticas y con fracción. UND. No 2 “RELACIONES Y FUNCIONES” TIEMPO 42 Horas - aula OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Lograr que los alumnos identifiquen los tipos de funciones básicas.  Aprendan a determinar e interpretar el dominio, imagen y la grafica de las funciones básicas mediante técnicas matemáticas.  Hacer aplicaciones de funciones básicas a las ciencias económicas. CONTENIDO: 2.1.0 Conceptos básicos: 2.1.1. Par ordenado. 2.1.2. Producto cartesiano. 2.1.3. Relaciones con elementos finitos, Dominio e imagen. 2.2.0 Función definidas por extensión y comprensión en conjuntos finitos: 2.2.1 Concepto y notación. 2.2.2 Dominio e imagen o rango. 2.2.3 Grafica 2.3.0 Análisis de los tipos de funciones algebraicas básicas definidas por comprensión en los números reales. 2.3.1 Funciones lineales. 2.3.2 Funciones cuadráticas, Cúbicas, (conceptos de simetría). 2.3.3 Funciones con fracciones: (conceptos de simetría asimetría y, asíntotas). 2.3.4 Funciones con radicales: 2.3.5 Funciones exponenciales: 2.3.6 Funciones logarítmicas:
  • 6. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 6 ) 2.4.0 Funciones especiales: 2.4.1 Función Inversa: 2.4.2 Función compuesta (composición de funciones): 2.4.3 Función implícita 2.4.4 Función definida por secciones: 2.5.0 Funciones de aplicación: Relación básica de las diferentes funciones algebraicas con las funciones de aplicación a las ciencias económicas: 2.5.1 Ecuación de la Recta. Relaciones con la oferta: 2.5.2 Relaciones de Oferta y Demanda: 2.5.3 Punto de equilibrio de mercado (oferta y demanda) 2.5.4 Relaciones de Ingreso, costo y Beneficio UND. No 3 “FUNCIONES DERIVADAS CON DOS VARIABLES” TIEMPO 24Horas - aula OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Comprender intuitivamente el concepto de limite para analizar la continuidad de funciones:  Relacionar y Comprender el concepto geométrico de tangente (pendiente) con el valor de la derivada en un punto.  Lograr destreza y habilidades para determinar funciones derivadas:  Calcular el valor de las funciones derivadas en un punto.  Relacionar la función derivada en un punto como la razón de cambio de la variable Y por unidad de X, con el concepto marginal aplicado en ciencias económicas:  Interpretar en valor marginal de las funciones de aplicación a las ciencias económicas. CONTENIDO: 3.1.0 Conceptos básicos: 3.1.1 Noción intuitiva de límite. 3.1.2 Relación entre valor de límite y valor de una función en un punto: 3.1.3 Propiedades de los límites. 3.1.4 Calculo de límites sin y con indeterminación 3.1.5 Aplicaciones de límites: Asíntotas y continuidad. 3.2.0 Conceptos básicos de funciones derivadas: 3.2.1 Definición y notación: 3.2.2 Derivadas de funciones básicas por definición. 3.2.3 Propiedades. 3.3.0 Funciones derivadas: 3.3.1 Funciones derivadas aplicando tablas de derivación básicas. 3.3.2 Funciones derivadas aplicando tablas de derivación Estándar (De tipo general):
  • 7. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 7 ) UND. No 4 “FUNCIONES DERIVADAS CON DOS VARIABLES” TIEMPO 12 Horas - aula 4.1.0 Derivada de Funciones Especiales: 4.1.1 Derivada de orden superior 4.1.2 Derivada de una Función inversa 4.1.3 Derivada de una Función Compuesta. 4.1.4 Derivada de una Función Implícita. 4.2.0 Aplicaciones a las ciencias económicas: 4.2.1 Definición de la función oferta y oferta marginal 4.2.2 Definición de la función demanda y demanda marginal 4.2.3 Definición de la función ingreso e ingreso marginal. 4.2.4 Definición de la función costo y costo marginal 4.2.5 Definición de la función costo promedio y costo promedio marginal 4.2.6 Determinación de funciones de utilidad o beneficio y benéfico marginal. BIBLIOGRAFÍA (1) 1. WEBER, JEAN,; 1984, MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA, Editorial. Harla, México D.F. CHUNGARA, Victor , 1995, CALCULO I, Editorial UMSA. 2. ALLENDORF y OAKLEY, 1993 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS, Editorial Mc Graw Hill, México D.F. 3. GUTIERREZ P.A.,1989, LA PRACTICA DEL CALCULO DIFERENCIAL, Editorial El Jisunú, Santa Cruz de la Sierra
  • 8. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 8 )
  • 9. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 9 ) UNIVERSIDAD AUTONOMA: “GABRIEL RENÉ MORENO” FACULTAD: “CONTADURÍA PUBLICA” FACULTAD: CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS SECCION GUIA DE EJERCICIOS: CALCULO I MAT 100 Material de Apoyo para los Docentes::  Ing. José Morón R  Ing. Jorge Antelo  Ing. Osvaldo Koller.  Ing. Víctor Hugo Vaca D.  Lic. Ramiro Limón. (Vgde.).  Lic. Roberto castro.  Lic. Víctor Romero  Lic. Alfredo M. Osinaga C  Lic. Mario Limón.  …………………………….. ALUMNO: GRUPO: SANTA CRUZ - MARZO - 2015
  • 10. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 10 ) CONTIENE CONCEPTOS, EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE:  CONOCIMIENTOS PREVIOS o ARITMÉTICA BASICA o ALGEBRA BASICA y conceptos  RELACIONES Y FUNCIONES o CONCEPTOS BÁSICOS o RELACIONES (En conjuntos finitos e infinitos) o FUNCIONES BASICAS (En conjuntos finitos e infinitos) o ÁLGEBRA DE FUNCIONES o FUNCIONES ESPECIALES o APLICACIONES  FUNCIONES DERIVADAS (Derivadas) o CONCEPTOS BÁSICOS Y PROPIEDADES DE LIMITES o CÁLCULO Y APLICACIONES DE LÍMITES. (Asíntotas y continuidad) o CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICION DE DERIVADAS. o DERIVADAS POR DEFINICIÓN Y POR TABLAS o DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES o APLICACIONES
  • 11. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 11 ) UND. 1 CONOCIMIENTOS PREVIOS 1.0.0 OBJETIVO.- El objetivo en este capitulo es recordar y practicar nociones elementales de aritmética y algebra básica para disponer de una herramienta imprescindible antes de iniciar curso. 1.10.- ARITMETICA: Resolver los siguientes tipos de ejercicios: TIPO T1: Operaciones con fracciones. 1a) 6 5 −2 1− 6 5 − 1 =?; 2a) 1 3 ÷ (−1)(2 3 +1) (2 3 − 1 2 )2 =? 1b) 7 5 −2 1− 6 5 + 1 =? 2b) 2 1 3 −1 3 2 4 3 − 1 2 ÷ ( 5 2 ) −1 − 3 2 =? 3a) 2[2 3 −2(7 3 −2)] (2 3 −2 1 2 ) =?; 4a) (1 5 )÷(2 1 3 −2 1 5 ) 2 3 ÷(2− 7 3 ) − 5 4 =? 3b) 3[2(7 3 −2)− 3 2 ] 2(2 3 − 1 2 ) =? 4b) 1 − [ 3 2 −3(− 1 3 +1)] 5( 2 5 − 1 2 ) =? 5a) 4 3 [1− 3 4 (7 3 −2)] (2 1 2 −3) − 2 =?; 6a) 4[3 2 −(−3 5 )(5 4 −5)+1] 2 5 − 1 2 + 3 5 =? 5b) [3(1 3 −1)− 3 2 ] 2 5 − 1 2− 1 2 3 =? 6b) 1 3 [8− 3 4 (7 3 −5)] (1 2 − 2 3 )(2 1 2 −5) − 2 =? Soluciones pares: (2ª=-1/3): (4ª=-2): (2b=-1): (4b=0): TIPO T2: Operaciones con fracciones y exponenciales: 7a) (3− 7 3 ) (−1) (3− 5 3 ) (−1) =?; 8a) √2−5√2 3 √1+ 5 4 −2 =? 7b) (3− 5 3 ) (−1) (3− 7 3 ) (−1) =? 8b) √4√4 3 √3− 3 4 −2 =? 9a) (3−1÷(3 5 ) −1 ) (−1) (50− 2 3 ) (−1) =?; 10a) √1− 7 8 −3 5 √4 −5(3−( 3 4 ) −1 ) (−1) =? 9b) (30 ÷ 2 3 ) (−1) (3−1÷( 3 5 ) −1 ) (−1) =? 10b) √ 3 3−1−9÷(( 3 5 ) −1 −2) −2 √1− 7 8 −3 =? Soluciones: (8a=-3): (10a=-1/4): (8b=3): (10b=1): TIPO T2: Operaciones con logaritmos. Soluciones: (12ª=-3): (14ª=1): (12b=-2): (14b=-1): 11a) 𝑙𝑜𝑔3(27) =?; 12a) 𝑙𝑜𝑔3−1(27) =? 11b) 𝑙𝑜𝑔16(2) =? 12b) 𝑙𝑜𝑔2−3(64) =? 13a) 1 3 − 3 2 𝑙𝑜𝑔2 √2 3 =?; 14a) 2𝑙𝑜𝑔4 ( √√2 3 ) 5 + 1 6 =? 13b) 5 − 𝑙𝑜𝑔2 (√ √2 3 ) 2 =?; 14b) 1 2 − 3 2 𝑙𝑜𝑔2 √8 3 =? Soluciones: (12ª=-3): (14ª=1): (12b=-2): (14b=-1):
  • 12. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 12 ) 1.2.0.- ALGEBRA: Operaciones con y sin indeterminación. TIPO T1: Hallar el valor de las expresiones para el valor de x indicado  2 2 2 2 9 5 15 ) ?; : 2; 15 ) ?; : 5 2 6 2 5 6 16 ) ?; : 1 3 4 x x x a para x b para x x x x x a para x x x                2 2 2 2 5 6 16 ) ?; : 1 4 5 9 5 17 ) ?; : 2 17 ) ?; : 3 2 6 2 18 ) x x b para x x x x x x a para x b para x x x a                 4 2 ?; : 1 18 ) ?; : 4 41 x x para x b para x xx        TIPO T2: Hallar el valor de las expresiones para el valor de x indicado  -1 2 3 3 2 2 1 8 1 4 1 8 19 ) 3 2 ; 19 ) ; 3 8 2 3 3; .: 10, x x a x b x x x x x x x x para x Sol                                      3; .: 2para x Sol  TIPO T3: Hallar el valor de las siguientes expresiones algebraicas, en el punto indicado.  2 2 9 1 5 2 20 ) ?; 7 ) ?; 20 ) ?; 7 ) ? 3 10 2 4+1 3 1 x x x x x a a b b x x xx x x               2 2 2 2 2 2 5 4 6 5 6 3 4 21 ) ?; 9 ) ?; 21 ) ?; 4 5 2 7 6 5 6 x x x x x x x x a a b x x x x x x                   2 2 2 2 2 6 9 ) ? 6 5 1 2 1 2 2 5 11 22 ) ?; 3 5 2 x x b x x x x x x x x a x x                 2 2 2 2 2 2 6 5 1 4 3 5 6 11 ) ?; 22 ) ?; 11 ) ? 11 4 6 3 2 5 4 5 6 2 2 x x x x x x a b b x x x x x x x x                   1 2x x  TIPO T4: Hallar el valor de las siguientes expresiones algebraicas, en el punto indicado.  - 4 3 3 3 2 - 5 3 23 ) ?; 13 ) ?; 23 ) ?; 13 ) ? 2 13- 5 3 2 3 4; ( ) 2; ( ) 1; x x x x a a b b x xx x x Sol x Sol x So                    2 2 2 2 ( ) 3; ( ) 2 9 5 2 3 1 9 24 ) ?; 15 ) ?; 24 ) ?; 15 ) ?; 4 3 1 4 9 5 - 2 4 3 - 5; ( ) 3; l x Sol x x x x x x b b b b x x x x x x x Sol x                         ( ) 1; ( ) 3; ( )Sol x Sol x Sol      Algunas soluciones pares: (8ª=-3): (10ª=-1/4): (8b=3): (10b=-1/3):
  • 13. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 13 ) 1.3.0 CONJUNTOS. El objetivo es comprender y aplicar el concepto de conjuntos por comprensión y extensión, para plantear y resolver operaciones con conjuntos finitos e infinitos. Definición: Se denomina conjunto a una serie de elementos (Objetos o sujetos) reunidos y además que tienen una o más características en común. 1.3.1 Operaciones con conjuntos:- Dados dos conjuntos A,B,C,D…, se definen las siguientes operaciones entre dos conjuntos finitos o infinitos:         1. : / ; 4. : / 2. : / ; 5. : / ( ....) 3. : x x x x Unión A B x A y B Complemento A U A x U x A Intersección A B x A y B Conjunto Universo x A B C D Diferencia A B                            / ; 6. : /x x x A x B Conjunto Vacio A A x A x A           Conjuntos numéricos finitos.- Son tal que sus elementos se los puede establecer o determinar; Estos, generalmente son el resultado de resolver un tipo de ecuación. Ej. T1.- Resolver las siguientes ecuaciones: Hallar los conjuntos expresados por extensión.         2 2 3 2 3 1 ) / 2 8 0 , 1 ) /2 5 3 0 2 ) / 5 6 0 2 ) D= / 7 6 0 x x x x a A x x b B x x a C x x x b x x                 Ej. T2.- Con los siguientes conjuntos:      2,4,5 ; 3,4,6 ; 1,3,5A B C   Resolver las siguientes operaciones entre conjuntos. 3 ) B ; 4 ) ; 3 ) ; 4 ) 5 ) ( ) ; 6 ) ( ) - ; 5 ) ( ) - ; 6 ) ( ) a A a C B b C A b A B a C B A a B C A b C B A b B C A              Conjuntos numéricos infinitos.- Son tal que sus elementos no se los puede establecer o determinar; Estos, generalmente son el resultado de resolver un tipo de inecuación. Ej. T3.- Resolver las siguientes inecuaciones, luego expresar el intervalo o conjunto solución en forma conjuntista y grafica, en la recta real.          2 6 ) /6 3 3 , 6 ) / 1 2 3 7 ) /6 3 3 , 7 ) / 1 3 8 ) /12 6 0 , x x x x x a A x x b B x x a A x x b B x x a E x x                    2 8 ) / 4 3 0 1 2 2 9 ) / 2 , 9 ) / 3 5 1 1 3 2 4 10 ) /1 4 , 3 2 x x x x b D x x x x x a H b I x x x x x a C x                                  2 10b) / 4 3 x x G x x         Ej. T4 -Con los conjuntos infinitos:        2,3 ; 2,6 ; 1,4 ; ,5A B C D      Resolver las siguientes operaciones entre conjuntos, luego expresar el intervalo o conjunto solución en forma conjuntista y grafica, en la recta real. 11 ) ; 11 ) 12 ) ; 12 ) 13 a A C b B C a C B b A B a      ) ( ) 13 ) A-( )C B A b C B  
  • 14. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 14 ) ( )x A  ( )y B  A B UND. 2 RELACIONES Y FUNCIONES 2.0.0.- El objetivo del presente capitulo es relacionar los elementos (x,y), de dos conjuntos A٨B, para comprender analítica y gráficamente el concepto de lo que significa una función. Además se pretende que el alumno entienda la diferencia entre producto cartesiano, relación y función conocidos los elementos de dos conjuntos. 2.1.0 Conceptos Básicos:  Sistema de ejes de coordenadas.- convencionalmente se adopta el sistema ortogonal de ejes horizontales X y de ejes verticales Y, donde se localizan diferentes representaciones.  Par ordenado.- Es un elemento binario que representa un punto en el plano o sistema de ejes coordenados Se denota por (a,b) donde: a es un lugar en el eje X b es un lugar en el eje Y     Producto cartesiano.- Dados dos conjuntos A y B, se define el producto de A por B como:  El conjunto de pares ordenados resultado de la combinación de todos los elementos del conjunto A con todos los elementos del conjunto B.   , /A B x y x A y B     Ejercicios: Resolver los siguientes tipos de ejercicios de producto cartesiano. Ej. TI -Dados los conjuntos finitos:        2,3,5 ; 2,4,6 ; 3,4,5 ; 2A B C D    Se pide hallar los siguientes productos cartesianos, luego graficarlos en el plano (x,y). 1 ) , 1 ) 2 ) , 2 a A B b A C a C B b        ) 3 ) ( ), 3 ) ( ) B C a D C B A b C D A B        Ej. T2 - Dados los conjuntos infinitos:        2,4 ; 1,4 ; 4,6 ; ,5A B C D      graficar en el plano de coordenadas (x,y) los siguientes productos cartesianos.   4 ) ; 4 ) 5 ) ; 5 ) 6 ) ; a A B b C A a C D b D A a C B A        6 )b A C B   ,x y ( )x A  ( )y B   ,x y ( )x A  ( )y B   ,x y
  • 15. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 15 )  Relaciones entre dos conjuntos.- Dados dos conjuntos A (Partida) y B (llegada), se define la relación de A en B como: - El conjunto de pares ordenados incluidos en un producto cartesiano, y definidos por una determinada característica.   , / ( );A BR x y y f x x A y B A B        - La dependencia convencional de la variable Y respecto a la Variable X; es decir ( )y f x , (se lee f depende de x,) donde f(x) es una expresión algebraica, dependiente de x. - Una grafica, representada en el plano de coordenadas (x,y) en forma de líneas, círculos parábolas, elipses, hipérbolas, y otros tipos de figura. Ejercicios de Relaciones entre (x, y): Ej. T3 - Dados los conjuntos finitos:      2,4,5 ; 3,4,6 ; 1,3,5A B C   Se pide expresar por extensión las siguientes relaciones, luego la grafica de pares ordenados.           ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) 7 ) / 1 ; 7 ) / 1 8 ) / 1 ; 8 ) / 1 9 ) / 4 ; x y x y x y x y x y a R y x A B b R y x B A a R y x C A b R y x C B a R y C B                          ( , ) 9 ) / 2x y b R y C A    NOTA.- - Los ejercicios de relaciones entre dos conjuntos infinitos, se analizara en el estudio de funciones, una ves que se considera que toda función es una relación. - En la competencia del curso se tiene previsto la aplicación de ejercicios prácticos lo que implica estudiar relaciones funcionales. 2.2.0.- Funciones entre dos conjuntos.- Dados dos conjuntos A (Partida) y B (llegada), se define la función de A en B, como: ( )x A  ( )y B  Relacion ( )x A  ( )y B  Funcion
  • 16. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 16 )  Una relación o conjunto de pares ordenados (x,y),   , / ( );A BF x y y f x x A y B A B         Una relación que cumple con las condiciones de: Unicidad y Existencia. a) Unicidad.- Se cumple esta condición si:  ;x A un unico valor deY,ovalor dela funcion.    (condición necesaria.)  (criterio grafico)Cualquier línea vertical corta a la grafica en un solo punto b) Existencia.- Se cumple esta condición si:  El dominio es igual al conjunto de partida.  (criterio grafico) Cualquier línea vertical trazada por el conjunto de partida corta la grafica por lo menos una sola ves.  Una representación grafica (líneas o curvas no cerradas), en el plano de coordenadas (x,y) y que tienen sentido en aplicaciones practicas, o estudios de caso. Nota: Hacemos notar que toda funcione es relación y no toda relación es función Características de las relaciones y funciones.- Dada una función definida entre los conjuntos A  B, se definen las siguientes características básicas. a) Dominio.- i. Es el conjunto formado por los valores de x que hacen posible obtener uno de y en una determinada relación: ii. En notación conjuntista se define como:  /RD x A A   : iii. Gráficamente es el conjunto que forma la proyección de la grafica al eje X b) Imagen.- i. Es el conjunto formado por los valores de y que hacen posible obtener uno de x en una determinada relación: ii. En notación conjuntista se define como:  /y RI y B B   : iii. Gráficamente es el conjunto que forma la proyección de la grafica al eje Y. c) La grafica Teniendo en cuenta la definición una función toma variadas formas como ser: i. Lineales ii. Todo tipo de curvas no cerradas. Ejemplos de Funciones (x, y): Con conjuntos de elementos finitos:
  • 17. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 17 ) Ejemplo 1: Dada la relación definida entre los conjuntos AB.                1 3,1,2, 1, 2 1,0 ; 2,4 ; 2,4 ; 1,0 ; 3,8 .. A B ; 0,4,8,5 A R B            Solución: a) Hallar el Dominio e Imagen: Rep.:    1,2, 2, 1,3 ; 0,4,8R RD I    b) Indicar si la relación es función: Rep.: Cumple la condición necesaria de la unicidad; Por lo tanto la relación R2 es función Ejemplo 2: Dada la relación definida entre los conjuntos AB.              2 3,2,6,4 3,1 ; 2,0 ; 6,2 ; 3, 1 .. A B ; 1,0,2 A R B          Solución: a) Hallar el dominio: Rep.:     3,2,6 ; 1,0,2 1 ;R RD I   b) Indicar si la relación es función: Rep.: No Cumple la condición necesaria de la unicidad, y tampoco la condición de existencia; Por lo tanto la relación R1 no es función Ejercicios de funciones: (x, y). Ej. T4 - Con conjuntos finitos:    2, 1,0,1,2 1,2,4,5A y B    y las relaciones de A en B.                                        1 1 2 2 10 ) 2,5 ; 1,2 ; 0,1 ; 1,2 ; 2,5 .. A B 10 ) 2,1 ; 1,4 ; 0,5 ; 1,4 ; 2,1 ;. A B 11 ) 2,2 ; 1,4 ; 0,5 ; 1,4 ; 1,5 .. A B 11 ) 2,4 ; 0,1 ; 1,0 ; 0 a R b R a R b R                                             3 3 ,1 ; 1,2 ;.. A B 12 ) 1,2 ; 0,2 ; 1,5 ; 0,1 ; 2,2 .. A B 12 ) 2,2 ; 1,4 ; 0,5 ; 1,4 ; 1,5 ;. A Ba R b R            Determinar: - El dominio e imagen. - Indicar si las relaciones son funciones (justificar su respuesta, aplicando las condiciones de unicidad y existencia) Conclusión para los ejercicios T2: *La primera relación cumple la unicidad condición suficiente para ser función *La segunda relación no cumple la unicidad, condición suficiente para concluir que no es una función.
  • 18. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 18 ) 2.3.0.- Análisis de funciones básicas en R×R.- El objetivo en esta sección es analizar, graficar los distintos tipos de funciones básicas en el conjunto de los números reales para hacer aplicaciones a las ciencias económicas. El propósito además es: - Relacionar la dependencia convencional de la variable (Y) respecto a la variable (X), es decir: ( )y f x lo que significa que la función o variable y depende de la variable x - Distinguir y analizar el tipo y las características más importantes de las funciones básicas, como ser: Su dominio, imagen y su respectiva grafica: - Distinguir los siguientes tipos de funciones básicas: Funciones lineales, cuadráticas o polinomicas, raíces cuadradas, fraccionarias, exponenciales y logarítmicas: Nota: En todos los casos del curso de MAT100, se debe hacer notar la necesidad de analizar funciones básicas. Tipos de funciones en RR: En todos los casos tipos y aplicando conocimientos previos indique si la función analizada una aplicación para Oferta ó demanda. Función lineal: Son del tipo: ( )y f x ax b   Dónde: a, b, son valores constantes. Ej. T1 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica: 1 ) ( ) 3 1 ) ( ) +2 2 ) ( ) 2 1 2 ) ( ) 5 2 3 ) ( ) 3(1 ) ; a F x x b F x x a F x x b F x x a F x x x           3 ) ( ) 2 3( 1) 4 ) ( ) 5 4 ) ( ) 3 2 2 5 ) ( ) 2 (1 ) 5 ) ( ) 2 2 2 b F x x x x x a F x b F x x x a F x x b F x             ( 3) 2 6 ) ( ) (8 ) (3 ) 6 ) ( ) ( 4) 2( 1) 2 3 2 x x x x a F x x b F x         
  • 19. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 19 ) Funciones Cuadráticas o de segundo grado: Son del tipo: 2 ( )y f x ax bx c    Donde: a, b, c, son valores constantes. Ej. T2 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica: 7a) 𝑓( 𝑥) = 6 − 𝑥2 7b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 + 1 8a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 6 8b) 𝑓( 𝑥) = 4𝑥 − 𝑥2 + 2 9a) 𝑓( 𝑥) = ( 𝑥 + 2)2 − 1 9b) 𝑓( 𝑥) = (1 + 𝑥)2 + 6 10a) 𝑓( 𝑥) = (2 − 𝑥)2 + 4𝑥 10b) 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 − ( 𝑥 − 1)2 11a) 𝑓( 𝑥) = 4 − ( 𝑥 2 − 1) 2 11b) 𝑓( 𝑥) = 1 + (1 + 𝑥 2 ) 2 12a) 𝑓( 𝑥) = (1 − 𝑥)2 − 2𝑥2 + 6 12b) 𝑓( 𝑥) = 2𝑥2 − ( 𝑥 − 1)2 + 4 Funciones Raíz cuadrada: Son del tipo: ( ) ( )y f x p x c   Donde: a, b, c son valores constantes, y la expresión sub-radical una expresión algebraica de primer grado. ( )p x . Ej. T3 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica: 13a) 𝑓( 𝑥) = √5 − 𝑥 13b) 𝑓( 𝑥) = √6 − 𝑥 14a) 𝑓( 𝑥) = 2 + √1 + 𝑥 14b) 𝑓( 𝑥) = 5 − √ 𝑥 + 1 15a) 𝑓( 𝑥) = 2√6 − 2𝑥 − 2 15b) 𝑓( 𝑥) = 2√4 − 𝑥 − 1 16a) 𝑓( 𝑥) = 6 − √2 + 𝑥 16b) 𝑓( 𝑥) = 1 + √ 𝑥 + 2 17a) 𝑓( 𝑥) = 4 − √1 + 𝑥 17b) 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥 + 1 + 2 18a) 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥 + 1 − 3√1 + 𝑥 + 4 18b) 𝑓( 𝑥) = 3√ 𝑥 + 1 − √1 + 𝑥 Funciones fraccionarias:
  • 20. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 20 ) Son del tipo: ( ) ( ) ( ) p x y f x q x   Donde: ( ) ( )p x q x son expresiones algebraicas de primer grado  ( ) 0q x  Ej. T4 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica 19a) 𝑓( 𝑥) = 2 𝑥 19b) 𝑓( 𝑥) = − 2 𝑥 20a) 𝑓( 𝑥) = 6 − 4 𝑥 20b) 𝑓( 𝑥) = 4 + 4 𝑥 21a) 𝑓( 𝑥) = 6𝑥+1 𝑥+1 21b) 𝑓( 𝑥) = 3𝑥+7 1+𝑥 22a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥−12 𝑥−6 22b) 𝑓( 𝑥) = 30−6𝑥 6−𝑥 23a) 𝑓( 𝑥) = 3−𝑥 𝑥+1 23b) 𝑓( 𝑥) = 6+𝑥 2+𝑥 24a) 𝑓( 𝑥) = 3(𝑥−4) 6−𝑥 24b) 𝑓( 𝑥) = 3𝑥+6 𝑥+1 Funciones exponenciales: Son del tipo: ( ) ( ) p x y f x k  Donde: k, es una constante y ( )p x es una expresión algebraica de primer grado. Ej. T5 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica: 25a) 𝑓( 𝑥) = 3−𝑥 25b) 𝑓( 𝑥) = 2 𝑥 26a) 𝑓( 𝑥) = 2(1+𝑥) 26b) 𝑓( 𝑥) = 3(2−𝑥) 27a) 𝑓( 𝑥) = 2 + 3(2−𝑥) 27b) 𝑓( 𝑥) = 2(𝑥−2) + 1 28a) 𝑓( 𝑥) = 9 − 2(3−𝑥) 28b) 𝑓( 𝑥) = 9 − 2(𝑥−2) 29a) 𝑓( 𝑥) = 8 − 1 2(1−𝑥) 29b) 𝑓( 𝑥) = 8 − 2 2(𝑥−1) 30a) 𝑓( 𝑥) = 3 𝑥 − 2 × 3( 𝑥−1) + 1 30b) 𝑓( 𝑥) = 5 × 2(1−𝑥) − 2(1−𝑥) + 1
  • 21. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 21 ) Funciones logarítmicas: Son del tipo: ( ) lg( ) 1y f x ax b    Donde: Donde: a, b, son valores constantes y la variable x de 1er grado. Ej. T6 - Analizar las siguientes funciones: Hallar el dominio, la imagen y grafica: 31a) 𝑓( 𝑥) = −ln(𝑥) 31b) 𝑓( 𝑥) = ln(𝑥) 32a) 𝑓( 𝑥) = 5 − 2ln(5 − 𝑥) 32b) 𝑓( 𝑥) = 3 + 2ln(5 − 𝑥) 33a) 𝑓( 𝑥) = 2 + lg(4 − 𝑥) 33b) 𝑓( 𝑥) = 5 − lg(4 − 𝑥) 34a) 𝑓( 𝑥) = 3 + 2ln(𝑥 + 1) 34b) 𝑓( 𝑥) = 5 − 2ln(𝑥 + 1) 35a) 𝑓( 𝑥) = 3 + 4ln √3 − 𝑥 35b) 𝑓( 𝑥) = 4 − 4𝑙𝑛√3 − 2𝑥 18a) 𝑓( 𝑥) = 1 + 𝑙𝑛√ 𝑥 + 1 + 3𝑙𝑛√1 + 𝑥 18b) 𝑓( 𝑥) = 5 − 3𝑙𝑛√ 𝑥 + 1 − 𝑙𝑛√1 + 𝑥
  • 22. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 22 ) 2.4.0.- Funciones especiales: Son aquellas que resultan de hacer una aplicación particular a una o más funciones básicas, para determinar una nueva o tercer función con características diferentes. Las funciones especiales a estudiar son las siguientes: i). Función inversa, ii). Función compuesta. iii).Función implícita, y iv). Función definida por secciones o seccionada. 1.- Funciones Inversas: Definición: Dadas la función y= f(x) (directa), entonces se define la función inversa como: y=f-1 (x), resultado de cambiar la variable dependiente por la independiente o viceversa. (Recuerde que no toda inversa es función, y que la grafica en simétrica a una mediatriz entre el 1er y 2do cuadrante) Ejemplo.- Con las función: 1 2 x y x    : Hallar: a) Invirtiendo las variables X por Y, 1 2 y x y    l b) Luego despejando la nueva ( 1) ( ) ?y f x   se tiene 2 1 , 1 y y y    la nueva F. que es inversa. c) El valor de la función inversa en x=3: ( 1) ( 1)2 3 1 5 ( 3) ; ( 3) ; 1 3 4 y f x y f x          Ej. T1.- Con las funciones enunciadas se pide hallar la función inversa y su valor en el punto indicado. 1 1 2 1 1 1 ) ( ) 6 2 , ; ( ) ?; : ( 1) ? 2 ) ( ) +2, : ( ) ?; : ( 2) ? 3 ) ( ) 4 , : a f x x Hallar f x luego f x a g x x Hallar g x luego g x a h x x Hallar                    1 1 1 1 ( ) ?; : ( 5) ? 2 1 4 ) ( ) , : 1 ( ) ?; : ( 2) ) h x luego h x x a j x Hallar x j x luego j x                1 1 2 1 1 1 1 1 ) ( ) 2 , : 2 ( ) ?; : ( 3) ? 2 ) ( ) 4 , : ( ) ?; : ( 2) ? 3 ) ( ) 4 , : ( ) ?; : ( x b f x Hallar f x luego f x b g x x Hallar g x luego g x b h x x Hallar h x luego h x                         1 1 4) ? 3 2 4 ) ( ) , : 1 k ( ) ?; : ( 2) ) x b k x Hallar x x luego k x            Nota: En todos los casos el alumno deberá hacer la respectiva grafica inversas (cuando sean básicas), para justificar si la misma es función.
  • 23. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 23 ) 2.- Función compuesta: Definición: Dadas las funciones y=f(w)  w=g(x), se define la composición de f con g, como la dependencia de la función F respecto de la función G; ó que Y depende de W  W depende de X. Simbólicamente se define como:  ( )( ) ( )y f g x F g x  ;(Recuerde que g fI D ); ó f gD D Ejemplo.- Con las funciones enunciadas a continuación: 2 ( ) 3 ; ( ) 4F x x G x x    a) Hallar la composición  ( )( ) ( )y f g x F g x  𝑦 = 𝑓[ 𝑔(𝑥)] = 𝑓[√4 − 𝑥] = 3 − (√4 − 𝑥) 2 ; → 𝑦 = 𝑥 + 1 (𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧) b) El valor de la función resultante para x=5 𝑦 = ( 𝑓 𝑔)(5) = 3 − (√4 − 5) 2 = 3 − ∄= ∄; → 𝑦 = ∄, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 5 ∋ 𝐷 𝑔 Justificación: el valor para x=5; seria: 𝑔( 𝑥 = 5) = √4 − 5 = √−1 = ∄ Ejercicios: Ej. T2.- Con las funciones enunciadas a continuación: Hallar: La función resultante de la composición entre dos funciones, luego su valor en el punto indicado. 5a) 𝑓( 𝑥) = 3 − 𝑥, ˄ 𝑔( 𝑥) = 𝑥 + 2 5b) 𝑓( 𝑥) = 2 + 𝑥, ˄ 𝑔( 𝑥) = 3 − 𝑥 Hallar: (fg)(x), aplicar para x=1 Hallar: (g f)(x), aplicar para x=2 6a) ℎ( 𝑥) = √4 − 𝑥, ˄ 𝑗( 𝑥) = 𝑙𝑛( 𝑥 − 1) 6b) ℎ( 𝑥) = 𝑙𝑛( 𝑥 − 1), ˄ 𝑗( 𝑥) = √4 − 𝑥 Hallar: (h o j) (x), aplicar para x=2 Hallar: (h o j) (x), aplicar para x=0 Dada las funciones Y que depende de la función W. se pide hallar la función resultante 7a) Si 𝑦 = 2 − 2 𝑤 , ˄ 𝑤 = 𝑥2 + 1 7b) Si 𝑦 = 𝑤2 + 1, ˄ 𝑤 = 2 − 2 𝑥 Hallar: f(x), luego f(x=1)=? Hallar: f(x), luego f(x=1)=? 8a) Si 𝑦 = 2−𝑤 1+𝑤 , ˄ 𝑤 = 𝑥 + 1 8b) Si 𝑦 = 𝑤2 + 1, ˄ 𝑤 = 2 − 2 𝑥 Hallar: f(x), luego f(x=1)=? Hallar: f(x), luego f(x=1)=? Nota: Opcionalmente y en caso de que la función resultante sea básica hallar el dominio, la imagen y la gráfica.
  • 24. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 24 ) x ( )y f x ( )h x ( )j x . 1Secc . 2Secc 3.- Funciones Implícitas: Definición: Si ( )y f x , es una función explicita, (La variable independiente (Y), esta despejada), entonces ( , ) 0f x y  , es una función implícita (la variable independiente (Y), no esta despejada), Nota: Recuerde que no toda función implícita se hace explicita como ser las trascendentes. Ejemplo. 1: Con la función implícita: 2𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦 + 3, Hallar a) La función explicita: Despejando la variable Y=?, 𝑥𝑦 − 𝑦 = 2𝑥 − 3; → 𝑦( 𝑥 − 1) = 2𝑥 − 3 ∴ 𝑦 = 𝑓( 𝑥) = 2𝑥−3 𝑥−1 ; Función Explicita. b) El valor de la función es: 𝑌 = 𝑓( 𝑥 = 2) = 2×2−3 2−1 ; → 𝑦 = 1 Ejercicio: Ej. T3.- Con las funciones enunciadas a continuación: Hallar: La función explicita resultante y = f(x), luego su valor ene el punto indicado (en caso de ser posible hallar el Dominio y la imagen) 9a) 𝑦 − 3𝑥 = ((2𝑥𝑦 − 1); 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓( 𝑥 = 1) =? 9b) 2𝑥𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 + 2; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓( 𝑥 = 1) =? 10a) 𝑥2 𝑦+3 𝑥 = 𝑦 2 ; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓( 𝑥 = 2) =? 10b) 2 − 3𝑥 = 𝑥+𝑦 𝑦 ; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟:𝑓( 𝑥 = 2) =? 11a) 2 − 𝑥 = √2 − 𝑦; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓(−2) =? 11b) 1 + 2𝑥 = √3 − 𝑦; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓(−1) =? 12a) 𝑥𝑦 = 2 − 𝑙𝑛(2 − 𝑦); 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓(1) =? 12b) 2 − 𝑥𝑦 = 𝑙𝑛( 𝑦 + 1); 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑓(1) =? 4.- Funciones definidas por secciones: Definición: Son funciones que dependen de dos o más funciones y que actúan en un mismo plano de coordenada. Este tipo de funciones son la base para comprender el concepto de límites laterales. ( ) ?; ; 1 ( ) ; ( ) ?; ; 2 h x x a Seccion y f x j x x a Seccion        Ej. T4.- Con las funciones enunciadas a continuación: se pide analizarlas completamente (Hallar: Dominio, imagen y grafica) 13a) 𝑓( 𝑥) = { 5 + 𝑥 2 , 𝑆𝑖 𝑥 < 1 2 − 𝑥, 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 1 13b) 𝑓( 𝑥) = { 5 + 𝑥 2 , 𝑆𝑖 𝑥 > 1 2 − 𝑥, 𝑆𝑖 𝑥 ≤ 1 14a) 𝑓( 𝑥) = { 𝑥2 + 1, 𝑆𝑖 𝑥 < 2 9 − 𝑥2 , 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 1 14b) 𝑓( 𝑥) == { 𝑥2 + 1, 𝑆𝑖 𝑥 > 2 9 − 𝑥2 , 𝑆𝑖 𝑥 ≤ 1
  • 25. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 25 ) 2.5.0.- APLICACIONES DE FUNCIONES.- En esta sección vamos a considerar que toda aplicación tiene sentido en el 1er cuadrante del plano de coordenadas XY. El objetivo es relacionar los diferentes tipos de funciones básicas estudiadas hasta ahora, para hacer aplicaciones a las Ciencias Económicas, como ser: Las funciones de oferta, demanda, ingreso, costo, utilidad, etc. 1.- Ecuaciones de la recta.- La ecuación o función de la línea recta es la más aplicada en las materias básicas de economía. Definición de la ecuación genérica para la línea recta: 0ax by c   : Ó como una función lineal: ( ) a c y f x x b b     Características básicas: La pendiente (m): Es un coeficiente que mide la variación de y por unidad de x. /m a b  Angulo de inclinación ( 𝛼): Es la abertura medida en grados o radianes, entre la recta y el eje x. 1 ( )tag m   . Relaciones para determinar la ecuación de una recta: a).- Conocidos dos puntos 1 1 2 2( , ) ( , )P x y P x y , entonces: b).- Conocidos un punto: 1 1( , )P x y y su pendiente m k , entonces: 1 1( )y y m x x    Relación entre dos rectas: Conocida la pendiente, entre dos puntos: 2 2 2 1 y y m x x     Dos rectas son paralelas sii: 1 2m m  Dos rectas son perpendiculares sii: 1 2 1 m m   2 2 1 1 2 1 ( ) y y y y x x x x          x y 1m 2m 1m 2m x y
  • 26. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( PAG 26 ) Ej. T1.- Ejercicios. Dados dos puntos del plano de coordenadas: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) (1,2); (5,4); 1 ) (0,9); (4,1) 2 ) ( 1,6); (5,3); 2 ) ( 2,3); (4,6) a P P b P P a P P b P P  Determinar e interpretar el valor de la pendiente (m=?) Ej. T2.- Ejercicios. Dados dos: a) Dos puntos, b) Un punto y su pendiente, halar las respectivas ecuaciones de la recta e indicar si su grafica es aplicable a una función de oferta o demanda. 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 ) (0,9); (4,1); 4 ) ( 1,6); (5,3); 5 ) (7,3); (2,1); 6 ) (1,6); 2; 7 ) (1,6); 3 / 2 8 ) (6,4); 1/ 2 a P P a P P a P P a P m a P m a P m        1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 ) (1,2); (5,4) 4 ) ( 2,3); (4,6) 5 ) (1,4); (7,1) 6 ) (1,3); 2 7 ) (2,2); 1 / 2 8 ) (6,5); 1 / 2 b P P b P P b P P b P m b P m b P m        Ej. T3.- Problemas 9ª) Determinar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto 1P (2,6) y es paralela a la resta definida por: 3 3 0x y   10ª) Determinar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto 1P (1,1) y es perpendicular a la resta definida por: 2 1 0x y   9b) Determinar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto 1P (6,1) y es paralela a la resta definida por: 2 3 4 0x y   10b) Determinar la ecuación de la línea recta que pasa por el punto 1P (1,1) y es perpendicular a la resta definida por: 3 2 1 0x y   2.- Funciones de Oferta y demanda: Si se analiza dos puntos en el primer cuadrante de una función entonces: o La función es oferta si la pendiente es positiva. O la relación entre cantidades y precios (x,y), es directa o La función es demanda si la pendiente es negativa. O la relación entre cantidades y precios (x,y), es inversa Ej. T4.- Ejercicios: Mediante el calculo de pendientes o la comparación de las relaciones (inversa o directa), indicar justificadamente cual función es oferta y cual demanda. 11a) 𝑓( 𝑥) = 7 − 𝑥 11b) 𝑓( 𝑥) = 1 + 𝑥 12a) 𝑓( 𝑥) = 10 − 0.5(1 + 𝑥)2 12b) 𝑓( 𝑥) = 1 + 0.5(1 + 𝑥)2 13a) 𝑓( 𝑥) = 7−𝑥 𝑥+1 13b) 𝑓( 𝑥) = 2𝑥+1 𝑥+1 14a) 𝑓( 𝑥) = 2( 𝑥−2) + 1 14b) 𝑓( 𝑥) = 5 − 2( 𝑥−2) 15a) 𝑓( 𝑥) = 1 + 𝑙𝑔(1 + 𝑥)3 15b) 𝑓( 𝑥) = 7 − 3𝑙𝑔( 𝑥 + 1)
  • 27. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 27 ) 3.- Punto de equilibrio de mercado entre la F. Oferta y la F. demanda.- El punto de equilibrio de mercado, es un lugar del plano (x,y), donde los precios de la cantidad ofertada son igual al de la cantidad demandada. El objetivo es resolver en forma analítica y gráficamente el sistema de las ecuaciones de oferta y demanda para determinar las cantidades y precios de equilibrio. Ejercicios: Ej. T5.- Ejercicios: Con los siguientes pares de funciones de oferta y demanda se pide: hallar el punto de equilibrio y las respectivas gráficas. 16a) 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 1; 𝑓( 𝑥) = 7 − 𝑥 16b) 𝑓( 𝑥) = 11 − 2𝑥; 𝑓( 𝑥) = 2 + 𝑥 17a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 1; 𝑓( 𝑥) = 7 − 𝑥2 17b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 + 1; 𝑓( 𝑥) = 7 − 𝑥 18a) 𝑓( 𝑥) = 12−𝑥2 2 ; 𝑓( 𝑥) = 𝑥 2 + 3 18b) 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 1; 𝑓( 𝑥) = 24−𝑥2 4 19a) 𝑓( 𝑥) = 6𝑥+2 𝑥+1 ; 𝑓( 𝑥) = 6 − 𝑥 3 19b) 𝑓( 𝑥) = 2𝑥+6 𝑥+1 ; 𝑓( 𝑥) = 𝑥 3 + 2 Ejercicioscon solución: 20a) { 𝑓( 𝑥) = 2(3−𝑥) + 2 𝑓( 𝑥) = 5 + 2(2−𝑥) ; { 𝑥 = 2; 𝑦 = 4 20b) { 𝑓( 𝑥) = 5 − 2( 𝑥−2) 𝑓( 𝑥) = 2 + 2( 𝑥−1) ; { 𝑥 = 2; 𝑦 = 4 21a) { 𝑓( 𝑥) = lg( 𝑥 + 1) + 1 𝑓( 𝑥) = 3 − lg( 𝑥 + 1) ; { 𝑥 = 9; 𝑦 = 2 21b) { 𝑓( 𝑥) = lg( 𝑥 + 1) + 1 𝑓( 𝑥) = 5 − 3 lg( 𝑥 + 1) ; { 𝑥 = 9 𝑦 = 2 Ej. T6.- Problema de planteamiento: Ecuaciones de funciones de Oferta o Demanda. 22a) Se dispone de los siguientes datos de una librería: Cuando el precio es de 50Bs. se venden 60 libros y 80 libros si el precio unitario baja 30Bs. Determinar la ecuación de la demanda, luego el precio para x=70 libros (Rep.: 40 libros). 23a) Un productor tiene los siguientes datos respecto a sus productos: Se venden 20 sillas cuando el precio de oferta es de 60Bs. Pero si el precio unitario sube a 70Bs se venden 40 sillas. Determinar la ecuación de la oferta, luego el precio para tener ventas de 30 (Rep.: 65 sillas). 22b) Se dispone de los siguientes datos de una librería: Cuando el precio es de 50Bs. se venden 60 libros y 40 libros si el precio unitario sube a 90. Determinar la ecuación de la demanda, luego el precio para x=50 libros (Rep.: 70 libros). 23b) Un productor tiene los siguientes datos respecto a sus productos: Se venden 20 sillas cuando el precio de oferta es de 60Bs. y si el precio unitario sube 10bs se venden 40 sillas. Determinar la ecuación de la oferta, luego el precio para tener ventas de 50 (Rep.: 75 sillas libros).
  • 28. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 28 ) UND 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD 3.0.0.- El objetivo de este capitulo es distinguir, analizar y calcular el valor de una función y su respectivo limite en un punto de la gráfica, para entender y aplicar el concepto de funciones derivadas. Dada una función ( )y f x y se analiza en un punto se tiene que:  El valor de la función .- Se lo define como el valor que toma la variable Y para un determinado valor de X: Si x a ,  y k ó ( )f x a k  ; Donde: x a (a; es el valor de x)  El limite de la función: Se lo define cono el valor entero próximo que tiende a tomar la variable Y cuando la variable X tiende a tomar un valor entero en una función. ,Si x a y k   , ó lim ( ) x a f x k   , Donde: x a (x tiende). 3.1.0 VALOR DE UNA FUNCION Y SUS LÍMITES. 1.- Análisis intuitivo y conceptual a partir de una grafica seccionada. El objetivo es que a partir de una función esquemática se distinga el concepto de valor de la función y sus respectivos límites en un punto. x y x y Fig. (a) Fig. (b) Ejemplo 1: En base a las figuras a)  b), determine el valor de la función y sus respectivos límites laterales en el punto indicado. 33 3 + - 1) .( ) 3: : ( 3) 1; lim ( ) 1; lim ( ) 1; lim ( ) / 2) .( ) lim ( ) 2; lim ( ) xx x x x Fig a Si x f x f x f x F x Fig b f x f x                          Ejercicios: En los puntos indicados de las figuras a)  b), determine por simple inspección el valor de la función y sus respectivos límites (si x es un numero real calcule los limites laterales) .( ) 1 ) 3; .( ) 1 ) 5 2 ) 1; 2 ) 2 3 ) Fig a a En x Fig b b En x a En x b En x a         1; 3 ) 1 4 ) 2; 4 ) 4 5 ) lim x En x b En x a En x b En x a       ( ) ____; 5 ) lim ( ) ____ 6 ) lim ( ) ____ 6 ) lim ( ) ____ x x x f x b f x a f x b f x         
  • 29. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 29 ) 3.2.0.- Calculo de límites. Se dan dos casos: El primero cuando la operación es determinada. El segundo cuando la operación es indeterminada. 1.- Límite de funciones algebraicas (sin indeterminación).- Se presentan dos casos: - Si el valor de X pertenece al dominio el cálculo del límite es igual que calcular el valor de una función - Si el valor de X no pertenece al dominio y la función no existe, entonces se calculan límites laterales (Por izquierda y por derecha) Nota: Existe un limite si y solo si sus limites laterales existen y son iguales) Ejercicios: Con cada una de las funciones determine el valor de la función y sus respectivos límites laterales en el punto indicado.   2 2 2 7 ) ( ) 4 ; 2; ) ( ) 2 ; 1 3 8 ) ( ) ; : 2 3; 8 ) ( ) ; : 1 2 3 2 9 ) ( ) a g x x x para x b f x x x para x x a h x Para x x b h x Para x x x x a i x x                   2 2 4; : 2 1; 9 ) ( ) 8 ; : 2 3 10 ) ( ) 5 1 2; 10 ) ( ) lg(5 ); 4; 3 11 ) ( ) ; 2 x Para x x b i x x Para x x a j x para x b j x x para x a f x p x                   3 ; 11 ) k( ) ; 3 ara x b x para x x       *Para funciones seccionadas: 3 1 21 14 112 12 2 3 11 1 2 1 x Si x x xx Si xa f x Para b h x Para x xx Si x x Si x                     ; ;) ( ) ; : ; ) ( ) ; : ; ; 2.- Límites de funciones algebraicas (con indeterminación): Este caso se da cuando para un determinado valor de X el valor del límite da una operación indeterminada. Tipos de indeterminaciones para estudiar: 0 ; ; ; 0 0        Para salvar estas indeterminaciones se aplican propiedades del algebra hasta conseguir un limite equivalente sin indeterminación. Ejercicios: Con cada una de las funciones se pide resolver y verificar el resultado.
  • 30. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 30 ) Tipo: 0 0 2 2 2 2 2 1 2 13 ) lim ; 13 ) lim 6 2 24 22 4 2 7 12 4 1 14 ) lim 3; 14 ) lim 3 43 72 9 4 15 ) x x x a b x x xx x x x x b b x xx x x a                               6 2 5 2 1 lim 6; 15 ) lim 3 1 1 43 2 3 x x b x x xx                  Tipo:   2 2 3 5 2 3 16 ) lim 3; 16 ) lim 0 1 1 3 1 3 1 17 ) lim ; 17 ) lim 1 2 2 1 18 x x a b x xx x x x x a b x xx x                                2 2 2 1 2 1 ) lim 0; 18 ) lim 21 26 2 x x a b x xx x                  Tipo: ; 0              2 2 20 ) lim 2 ; 20 ) lim 3 4 21 ) lim 2 1 ; 21 ) lim 7 3 3 22 ) lim 2 (1 ) ; 0 a x x b x x x x a x x b x x x x a x x x                           2 2 22 ) lim (3 ) 0 0 b x x x        3.3.0 Continuidad de funciones (Aplicaciones de limites): En esta sección se pretende que el alumno aprenda a: - Distinguir y determinar, los valores de x (puntos de estudio), donde la grafica de una función deja de ser continua. - Analizar y aplicar la condición para demostrar si la función es continua o discontinua en un punto de estudio (PE), o punto crítico (PC). Definición de continuidad:- Dada una función y=f(x), esta es continua e un punto de estudio x=a; si y solo si se cumplen las siguientes condiciones. a) El valor de la función en el punto debe existir. F(x=a)=K b) El valor del límite en el punto debe existir. lim ( ) x a f x k   c) El valor de la función y del límite deben ser iguales ( ) lim ( ) x a F x a f x k     en el punto de estudio. Ejercicios: Con las siguientes funciones líneas abajo: 2 2 2 2 1 2 23 ) ( ) , 23 ) ( ) 3 4 4 4 24 ) ( ) , 24 ) ( ) 2 2 2 ; 1 25 ) ( ) ; x a f x b f x x x x x a f x b f x x x x x x x a f x x               2 2 8 ; 2 25 ) ( ) 1 1 ; 1 2 x x b f x xx x            
  • 31. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 31 ) Determinar: a) Los puntos de estudio b) Demostrar justificadamente si la función es o no continúa en los puntos de estudio c) Graficar cada una de ellas. ( ) lim ( ) x a F x a f x k     UND. 3 FUNCIONES DERIVADAS 3.0.0.- Limites y continuidad.- El objetivo de este capitulo es distinguir, analizar y calcular el valor de una función y su respectivo limite en un punto de la gráfica, para entender y aplicar el concepto de funciones derivadas. Dada una función ( )y f x y se analiza en un punto se tiene que:  El valor de la función .- Se lo define como el valor que toma la variable Y para un determinado valor de X: Si x a ,  y k ó ( )f x a k  ; Donde: x a (a; es el valor de x)  El limite de la función: Se lo define cono el valor entero próximo que tiende a tomar la variable Y cuando la variable X tiende a tomar un valor entero en una función. ,Si x a y k   , ó lim ( ) x a f x k   , Donde: x a (x tiende). 3.1.0 VALOR DE UNA FUNCION Y SUS LÍMITES. 1.- Análisis intuitivo y conceptual a partir de una grafica seccionada. El objetivo es que a partir de una función esquemática se distinga el concepto de valor de la función y sus respectivos límites en un punto. x y x y Fig. (a) Fig. (b) Ejemplo 1: En base a las figuras a)  b), determine el valor de la función y sus respectivos límites laterales en el punto indicado. 33 3 22 2 1) .( ) 3: : ( 3) 1; lim ( ) 1; lim ( ) 1; lim ( ) / 2) .( ) 2: : ( 2) 2; lim ( ) 1; lim ( ) 1; lim ( ) / xx x xx x Fig a Si x f x f x f x F x Fig a Si x f x f x f x F x                                 + - 3) .( ) lim ( ) 2; lim ( ) x x Fig b f x f x        
  • 32. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 32 ) Ejercicios: En los puntos indicados de las figuras a)  b), determine por simple inspección el valor de la función y sus respectivos límites (si x es un numero real calcule los limites laterales) .( ) 1 ) 3; .( ) 1 ) 5 2 ) 1; 2 ) 2 3 ) Fig a a En x Fig b b En x a En x b En x a         1; 3 ) 1 4 ) 2; 4 ) 4 5 ) lim x En x b En x a En x b En x a       ( ) ____; 5 ) lim ( ) ____ 6 ) lim ( ) ____ 6 ) lim ( ) ____ x x x f x b f x a f x b f x          3.2.0.- Calculo de límites. Se dan dos casos: El primero cuando la operación es determinada. El segundo cuando la operación es indeterminada. 1.- Límite de funciones algebraicas (sin indeterminación).- Se presentan dos casos: - Si el valor de X pertenece al dominio el cálculo del límite es igual que calcular el valor de una función - Si el valor de X no pertenece al dominio y la función no existe, entonces se calculan límites laterales (Por izquierda y por derecha) Nota: Existe un limite si y solo si sus limites laterales existen y son iguales) Ejemplos: Con cada una de las funciones determine el valor de la función y sus respectivos límites laterales en el punto indicado. Ej1) si 𝑔( 𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2 Solución: a) Valor de la función: 𝑔( 𝑥 = 1) = 2 × (1) − (1)2 =1 b) Valor del limite: lim 𝑥→1− (2𝑥 − 𝑥2) = 2 × (1) − (1)2 =1 lim 𝑥→1+ (2𝑥 − 𝑥2) = 2 × (1) − (1)2 =1 lim 𝑥→1− (2𝑥 − 𝑥2) = 2 × (1) − (1)2 =1 c) Conclusión.- Dado que los limites laterales son iguales se concluye que el limite general existe, y es igual a 1 ó ( 𝑦 → 1) Ej2) si 𝑔( 𝑥) = 2𝑥−𝑥2 4−𝑥 {𝐷 𝑔 = 𝑅 − {4} Solución: a) Valor de la función: 𝑔( 𝑥) = 2𝑥−𝑥2 4−𝑥 = 2(4)−(4) 2 4−4 = 2(4)−(4) 2 4−4 = −8 0 = ∄ b) Valor del limite: en x=4 dado que el 4 no pertenece al dominio 𝑦 → lim 𝑥→4− ( 2𝑥 − 𝑥2 4 − 𝑥 ) = 2(4) − (4)2 4 − 3.99 = −8 ≅ +0 = −∞
  • 33. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 33 ) 𝑦 → lim 𝑥→4+ ( 2𝑥 − 𝑥2 4 − 𝑥 ) = 2(4) − (4)2 4 − 4.01 = −8 ≅ −0 = ∞ 𝑦 → lim 𝑥 →4 ( 2𝑥 − 𝑥2 4 − 𝑥 ) = 2(4) − (4)2 4 − 4 = −8 0 = ∄ c) Conclusión.- Dado que los limites laterales son distintos se concluye que el limite general no existe Ejercicios: Con cada una de las funciones determine el valor de la función y sus respectivos límites laterales en el punto indicado.   2 2 2 7 ) ( ) 4 ; 2; ) ( ) 2 ; 1 3 8 ) ( ) ; : 2 3; 8 ) ( ) ; : 1 2 3 2 9 ) ( ) a g x x x para x b f x x x para x x a h x Para x x b h x Para x x x x a i x x                   2 2 4; : 2 1; 9 ) ( ) 8 ; : 2 3 10 ) ( ) 5 1 2; 10 ) ( ) lg(5 ); 4; 3 11 ) ( ) ; 2 x Para x x b i x x Para x x a j x para x b j x x para x a f x p x                   3 ; 11 ) k( ) ; 3 ara x b x para x x       *Para funciones seccionadas: 3 1 21 14 112 12 2 3 11 1 2 1 x Si x x xx Si xa f x Para b h x Para x xx Si x x Si x                     ; ;) ( ) ; : ; ) ( ) ; : ; ; 2.- Límites de funciones algebraicas (con indeterminación): Este caso se da cuando para un determinado valor de X el valor del límite da una operación indeterminada. Tipos de indeterminaciones para estudiar: 0 ; ; ; 0 0        Para salvar estas indeterminaciones se aplican propiedades del algebra hasta conseguir un limite equivalente sin indeterminación. Ejercicios: Con cada una de las funciones se pide resolver y verificar el resultado. Tipo: 0 0 2 2 2 2 2 1 2 13 ) lim ; 13 ) lim 6 2 24 22 4 2 7 12 4 1 14 ) lim 3; 14 ) lim 3 43 72 9 4 15 ) x x x a b x x xx x x x x b b x xx x x a                               6 2 5 2 1 lim 6; 15 ) lim 3 1 1 43 2 3 x x b x x xx                  Tipo:   2 2 3 5 2 3 16 ) lim 3; 16 ) lim 0 1 1 3 1 3 1 17 ) lim ; 17 ) lim 1 2 2 1 18 x x a b x xx x x x x a b x xx x                                 2 2 2 1 2 1 ) lim 0; 18 ) lim 21 26 2 x x a b x xx x                 
  • 34. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 34 ) Tipo: ; 0              2 2 20 ) lim 2 ; 20 ) lim 3 4 21 ) lim 2 1 ; 21 ) lim 7 3 3 22 ) lim 2 (1 ) ; 0 a x x b x x x x a x x b x x x x a x x x                           2 2 22 ) lim (3 ) 0 0 b x x x        3.4.0 Continuidad de funciones (Aplicaciones de limites): En esta sección se pretende que el alumno aprenda a: - Distinguir y determinar, los valores de x (puntos de estudio), donde la grafica de una función deja de ser continua. - Analizar y aplicar la condición para demostrar si la función es continua o discontinua en un punto de estudio (PE), o punto crítico (PC). Definición de continuidad:- Dada una función y=f(x), esta es continua e un punto de estudio x=a; si y solo si se cumplen las siguientes condiciones. a) El valor de la función en el punto debe existir. F(x=a)=K b) El valor del límite en el punto debe existir. lim ( ) x a f x k   c) El valor de la función y del límite deben ser iguales ( ) lim ( ) x a F x a f x k     en el punto de estudio. Ejercicios: Con las siguientes funciones líneas abajo: 2 2 2 2 1 2 23 ) ( ) , 23 ) ( ) 3 4 4 4 24 ) ( ) , 24 ) ( ) 2 2 2 ; 1 25 ) ( ) ; x a f x b f x x x x x a f x b f x x x x x x x a f x x               2 2 8 ; 2 25 ) ( ) 1 1 ; 1 2 x x b f x xx x             Determinar: d) Los puntos de estudio e) Demostrar justificadamente si la función es o no continúa en los puntos de estudio f) Graficar cada una de ellas. ( ) lim ( ) x a F x a f x k     3.5.0 Funciones derivadas Objetivo.- En este capitulo el objetivo es que el alumno aprenda el concepto y la determinación de funciones derivadas como una herramienta para el análisis de funciones con nivel dificultad superior al de la materia calculo I, y sus aplicaciones a la Economía. 3.5.1 Notación y definición del concepto de la Función Derivada. Definición.- Una función derivada se interpreta como un coeficiente genérico que mide la variación de (y) por unidad de (x), en un punto.
  • 35. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 35 ) Notación: Dada la función Y = f(x), entonces la función derivada, la designaremos: ( ) o dy y f x y dx     Definición geométrica.- Es la pendiente de una recta tangente en un punto cualquiera de una curva: Si Y = f(x), entonces:   ( ) ( ) lim dy f x x f x y m tag K xdx x              Propiedades básicas: Dadas las funciones y = f(x) y=g(x), y una constante K; entonces se consideran necesarias la aplicación de as siguientes propiedades. ) ( ); ( ) ( ) ( ) ) ; ) ( ) ( ) ( ); dy a Si y K f x K f x dx f x dy f x b Si y K dx K dy c Si y f x g x h x f dx               ( ) ( ) ( )x g x h x   3.5.2 Funciones Derivadas: Su determinación. 3.5.1.- Aplicando las formulas básicas demostradas por definición.(ver formulario adjunto): El objetivo en esta sección es aplicar formulas básicas, (demostradas por definición) para determinar funciones derivadas. Ejercicios: Aplicando las formulas básicas estudiadas por definición (Ver formulario de la presente guía), se pide determinar las funciones derivadas.        2 2 1 3 2 1 3 2 3 1 2 2 2 2 1 3 1 2 2 3 a f x x x b f x x x a f x x x b f x x x a f x x x          ; ; ; ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) - ) ( ) -        2 3 2 3 2 1 4 3 2 4 2 1 3 2 5 b f x x x a f x x b f x x x a f x x        2 2 ; ; ) ( ) - ) ( ) ) ( ) - ) ( ) 2 3 2 5 2 x b f x x  ) ( )
  • 36. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 36 ) 1 1 1 3 3 1 6 3 2 6 2 3 2 2 4 4 7 7 8 x x a f x x x b f x x x x x a f x e b f x e x x a                             ; ; ) ( ) - ) ( ) ) ( ) ) ( ) , 2 8 3 4 2 9 2 3 9 3 3 2 10 2 f x x x b f x x x a f x x b f x x x x a f x x x           ; ) ( ) lg( ) ; ) ( ) lg( ) ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( )( ), ) ( ) 2 1 10 2 1x b f x x x x    ( ); ) ( ) ( ) 3.5.2 .- Funciones derivadas: Aplicando las tablas estandar:(ver formulario adjunto): El objetivo en esta sección es aplicar formulas tipo estándar para la determinación de funciones derivadas donde la función original tiene características no básicas o relativamente complejas. Ejemplo: Dada la función:   3 2 1f x x x ( ) - Hallar: a) la función derivada, b) El valor de la función en el punto x=-2 Solución:      23 2 1 2 5 3 4 5 2 4 2 5 2 13 a Si f x x x f x x x por lo tanto la derivada sera f x x Aplicacion f x f x                       ) ( ) - ; ( ) , ( ) ( ) ; ( ) Ejercicios: Aplicando las formulas Estándar (Ver formulario de la presente guía) Se pide hallar: a) La función derivada. b) El valor de la función derivada en el punto indicado. 1 , ( 1) ( ) ( ) 2 ) ( ) ( ) ln( ); 2 ) ( ) ; ( ) 3 ) ( ) log( ); ( ) n n u u u u f x u f x nu u a f x k f x u k k b f x e f x u e u a f x u f x u                  FORMULAS DE DERIVADAS ESTANDAR) , 2 log( ); 3 ) ( ) ln( ) ( ) 4) ( ) ( ) ; 5) ( ) ( ) 6) ( ) ;v u e b f x u f x u u u v uv f x uv f x u v uv f x f x v v f x u                  1 , , ( ) ln( )v v f x vu u v u u  
  • 37. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 37 ) T1.- Si -1( ) ; ( )n nf x u f x nu u     2 311 2 1 12 2 1 2 4 13 3 2 314 2 8 a Si f x x x Hallar F a Si f x x x Hallar F a Si f x x x Hallar F a Si f x x Hallar F                ) ( ) ; : (- ) ? ) ( ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ?  2 311 2 4 1 212 4 2 3 13 3 2 14 2 9 b Si f x x x Hallar F b Si f x x x Hallar F b Si f x x Hallar F b Si f x x Hallar F               ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ?   3 2 2 15 2 7 4 16 3 1 3 4 17 2 3 a Si f x x Hallar F a Si f x Hallar F x a Si f x Hallar F x           ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ( ) ; : ( ) ?   2 3 2315 3 2 2 16 2 3 2 17 9 1 b Si f x x Hallar F b Si f x Hallar F x b Si f x Hallar F x          ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ? T2.- Si u u u uf x k f x u k k f x e f x u e        ( ) , ( ) ln( ) ; ( ) , ( )     2 18 2 1 219 2 2 2 1 2 20 1 2 3 2 21 2 322 3 xa Si f x Hallar F x xa Si f x Hallar F x a Si f x Hallar F x a Si f x Hallar F xa Si f x e e                ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) 3 2 4 423 2 Hallar F xa Si f x e Hallar F       , : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ?     2 218 3 1 319 2 2 2 3 2 20 2 2 2 2 2 21 1 22 xb Si f x Hallar F xb Si f x Hallar F x b Si f x Hallar F x b Si f x Hallar F b Si e             ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? ) 3 2 2 8 523 3 xf x e Hallar F xb Si f x e Hallar F        ( ) , : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? T3.- Si ( ) log( ) ( ) log( ) ; ( ) ln( ) ( ) u u f x u f x e f x u f x u u         
  • 38. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 38 )               24 5 2 25 2 4 3 1 26 1 2 4 27 6 2 2 28 a Si f x x Hallar f a Si f x x Hallar f a Si f x Hallar f x a Si f x x x Hallar f a Si f x                2 ) ( ) log , : ? ) ( ) log , : ? ) ( ) log , : ? ) ( ) ln , : ? ) ( ) ln     3 2 2 7 2 29 3 8 x x Hallar f x a Si f x Hallar f x           2 2 , : ? ) ( ) ln , : ?               4 2 5 25 6 2 2 1 26 2 5 2 27 3 1 28 b Si f x x Hallar f b Si f x x Hallar f b Si f x Hallar f x b Si f x x x Hallar f b Si f x                  2 ) ( ) log , : ? ) ( ) log ( ) , : ? ) ( ) log , : ? ) ( ) ln , : ?, ) ( ) l     3 1 5 29 2 3 5 x x Hallar f x b Si f x Hallar f x             3 2 n , : ? ) ( ) ln , : ? T4.- Si 𝑓( 𝑥) = 𝑈(𝑥). 𝑉(𝑥);  𝑓´( 𝑥) = 𝑢´ 𝑣 + 𝑢𝑣´               2 2 2 2 30 3 1 2 1 31 3 2 2 32 7 3 3 2 31 1 8 2 a Si f x x x Hallar f xa Si f x x Hallar f a Si f x x x Hallar f a Si f x x x Hallar f e                   ) ( ) ( )( ); : ? ) ( ) ( ); : ? ) ( ) ln ; : ? ) ( ) ; :     3 34 1 1 2 2 4 35 2 3 2 a Si f x x x Hallar f a Si f x x Hallar f x x                  ? ) ( ) ; : ? ) ( ) ; : ?                 2 2 2 2 30 2 1 3 2 231 3 2 2 3 3 2 33 5 2 3 2 b Si f x x x Hallar f xb Si f x x x Hallar f b Si f x x x x Hallar f b Si f x x x Hallar f e                 32 ) ( ) ( )( ) , : ? ) ( ) ( ) , : ? ) ( ) ln , : ? ) ( ) - , :     3 34 5 5 2 1 4 35 2 3 1 b Si f x x x Hallar f b Si f x x Hallar f x x                   ? ) ( ) , : ? ) ( ) , : ? T5.- Si 𝑓( 𝑥) = 𝑈(𝑥) 𝑉(𝑥) ;  𝑓´( 𝑥) = 𝑢´ 𝑣+𝑢𝑣´ 𝑣2
  • 39. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 39 ) 2 2 2 2 36 3 2 3 1 37 2 3 2 3 2 38 2 5 2 3 39 1 40 x a f x Hallar f x a f x Hallar f x x a f x Hallar f x x a f x Hallar x a f x                ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : f ( ) ? ) ( ) 3 2 1 7 3 7 3 3 1 41 33 1 x Hallar x x a f x Hallar x         ; : f ( ) ? ) ( ) ; : f ( ) ? 2 2 2 2 36 1 4 5 3 1 37 2 2 2 3 2 38 2 1 1 39 2 3 2 40 3 x b f x Hallar f x b f x Hallar f x x b f x Hallar f x x b f x Hallar x x b f x                    ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) : ( ) ? ) ( ) : ( ) ? ) ( ) , : f ( ) ? ) ( ) 3 3 2 2 2 5 3 41 1 9 1 Hallar x x b f x Hallar x        : f ( ) ? ) ( ) : f ( ) ? T6.- Si 𝑓( 𝑥) = 𝑈(𝑥) 𝑉(𝑥) ;  𝑓´( 𝑥) = 𝑣. 𝑢 𝑣−1 . 𝑢´ + 𝑣´ . 𝑢 𝑣 . 𝑙𝑛( 𝑢)       2 2 2 2 42 2 1 42 2 1 6 2 43 3 x x a Si f x x x Hallar F b Si f x x x Hallar F x a Si f x x Hallar F              ) ( ) ; : ( ) ?; ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ?;       4 2 43 3 2 1 32 3 244 3 44 3 2 2 x b Si f x x Hallar F x x a Si f x Hallar F b Si f x x allar F x                   H ) ( ) ( ) , : ( ) ? ln ) ( ) ; : ( ) ?; ) ( ) , : ( ) ? T7.- Miscelánea: En esta serie de ejercicios el alumno deberá: - Analizar el tipo de formula que aplicará - Derivar y luego hallar el valor de la primera derivada en el punto indicado.
  • 40. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 40 )     2 3 2 3 2 2 45 2 1 1 4 4246 2 47 3 2 2 2 48 3 2 a Si f x x x Hallar F x a Si f x x Hallar F x x a Si f x x Hallar F a Si f x x x                          ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ln( );     1 2 2 49 3 3 50 0 1 51 4 2 5 3 52 Hallar F a Si f x x x Hallar F x x x a Si f x Hallar F x a Si f x x x Hallar F a S                       : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ln ; : ( ) ? )        3 2 5 2 23 2 3 2 5 53 4 3 2 3 6 54 2 2 55 5 5 x x i f x Hallar F x a Si f x x Hallar F x a Si f x x Hallar F x a Si f x x x Hallar                      ( ) ln ; : ( ) ? ) ( ) ln ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; :  2f   ?     2 23 2 2 45 2 1 2 3 4 2 246 1 47 3 4 48 2 b Si f x x x Hallar F x b Si f x x Hallar F x x b Si f x x Hallar F x b Si f x                        ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) : ( ) ? ) ( ) ln     2 2 2 8 3 6 6 49 1 5 50 2 5 51 2 5 4 3 x Hallar F b Si f x x x Hallar F x x x b Si f x Hallar F x b Si f x x x Hallar F                        ( ); : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) , : ( ) ? ) ( ) ln ; : ( )        3 4 2 2 2 3 2 3 2 5 52 3 2 53 2 5 3 54 2 1 55 3 2 3 2 x x x b Si f x Hallar F x b Si f x x Hallar F b Si f x x x Hallar F b Si f x x x                       ? ) ( ) ln ; : ( ) ? ) ( ) ln ; : ( ) ? ) ( ) : ( ) ? ) ( ) , ,  1Hallar f  : ? UND. 4 DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES Y APLICACIONES 4.0.0.- DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES. En esta sección vamos a considerar la derivada de funciones Especiales al proceso de: - Derivar n veces una función que ya fue derivada “Derivada de segundo orden” - Derivar una función Inversa - Derivar una función Compuesta - Derivar una función implícita. 4.1.0.- Derivadas de orden superior. Si ( ) ; ( ); ( ); ( ); ................... ( );n n y f x y f x y f x y f x y f x Son la primer,segunda y n - esima derivada de y con respecto a x respectivamente           
  • 41. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 41 ) Ejercicios: Hallar la segunda derivada de las funciones y su valor en lugar indicado 3 3 21 5 2 2 1 3 1 3 2 2 2 2 a Si f x x Hallar f b Si f x x Hallar f x a Si f x Hallar f x             ) ( ) ( ) ; : ( ) ?; ) ( ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ?; 1 3 2 1 1 2 2 3 3 23 1 3 1 4 x b Si f x Hallar f x x xa Si f x e Hallar f b Si f x e Hallar f a Si f x            ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) ; : ( ) ?; ) ( ) ; : ( ) ? ) ( ) 3 1 13 2 35 2 1 4 9 2 13 6 6 4 25 4 3 1 13 5 6 2 9 x Verificar f b Si f x x Verificar f a Si f x x Verificar f b Si f x x x                 ln ; : ( ) ; ) ( ) ln ; : ( ) ) ( ) ; : ( ) ; ) ( ) 3 1 4Verificar f  ; : ( ) 4.2.0.- Función Inversa. 𝑋 = 𝑓( 𝑥);  𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Ejercicios.-Hallar la derivada de y respecto a x, luego el valor para Y=1 en todos los casos 33 36 3 2 2 2 33 27 3 2 2 4 3 2 8 3 1 a x f y y y b x f y y y a x f y y y y b x f y y y y y y y a x f y y                   6 7 ) ( ) ; ) ( ) ) ( ) ( ); ) ( ) ( ) ) ( ) 2 23 3 3 2 3 1 9 2 2 9 2 2 22 10 3 2 y b x f y y a x f y y y y b x f y y y y y y a x f y y b x f y e                   8 10 ) ( ) ) ( ) ; ) ( ) ) ( ) ln( ); ) ( ) 4.3.0.- Función Compuesta. dy dy dw Si y f w y ademas w f x dx dw dx     ( ) ; ( ); Ejercicios.-Hallar la derivada de las funciones compuestas. Luego su valor en el punto indicado
  • 42. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 42 )     2 2 3 3 11 3 2 1 4 12 3 2 2 2 13 7 3 2 a Si y p p p x Hallar dy dx para x a Si y w w t Hallar dy dt para t a Si y p p q Hallar dy dq p                       ) ; : / ?, ) ; : / ?, ) ; : / ?, 3 2 2 2 4 14 2 4 1 15 2 ara q a Si y p p q Hallar dy dq para q a Si Si y p p q Hallar dy dq para q                      ) ; ; : / ?, ) ; : / ?,     2 2 2 2 3 11 2 2 1 5 3 2 2 13 3 2 7 1 1 b Si y p p p x Hallar dy dx para x Si y w w t t Hallar dy dt para t b Si y q q p Hallar dy dp para q                           12b ) ; ; : / ?, ) ; : / ?, ) ; : / ?, 3 2 2 4 4 1 4 1 15 2 a Si y p p q Hallar dy dq para q a Si Si y p p q Hallar dy dq para q                     ) ; : / ?, ) ; : / ?, 4.4.0.- Función Implícita. Ejercicios: Ejercicios.-Hallar la derivada de la variable y (dependiente), respecto a la x (independiente, luego su valor en el punto indicado  2 2 16 4 3 5 16 3 2 3 5 1 1 1 a y x x y b y y x y xy Hallar dy dx para x y Hallar dy dx para x y              ) ; ) ; : / ? : : / :  2 17 2 2 6 17 3 2 5 2 6 1 1 1 a yx xy x y b xy x y y x Hallar dy dx para x y Hallar dy dx para x             3) ( ) ; ) ( ) : / : : / :     2 218 2 18 2 3 3 1 2 y y x a x y b x y yx xy y x Hallar dy dx para x y Hallar dy dx par             ) ) : / : : /   2 1 3 3 19 4 2 19 4 2 1 2 a x y a y x x y y b y x x y y x x Hallar dy dx para x y Hallar dy dx p               : ) ( )( ) ) ( )( ); : / : : /   1 1 2 320 2 4 2 3 20 3 4 5 2 1 2 ara x y a xy x y x b yx x y Hallar dy dx para x y Hallar dy dx              : ) ln( ) ) ln( ) : / : : /  1 2para x y  :  ∂F dy ∂xSi f(x, y)= 0 ; = - ∂Fdx ∂y
  • 43. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 43 ) 5.0.0.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DERIVADAS A LAS CIENCIAS ECONOMICAS.- El objetivo es relacionar e interpretar académicamente una función algebraica con su derivada, para resolver casos de aplicación a las ciencias económicas: En este nivel, la función marginal es la primera aplicación de una función económica ya que es el resultado de derivar una de las siguientes funciones económicas básicas detalladas a continuación. FUNCIÓN ORIGINAL FUNCIÓN DERIVADA Función oferta ( )y O x Función Oferta marginal ( )mgy O x  Función Demanda ( )y D x Función Demanda marginal ( )mgy D x  Función Ingreso. ( )y I x Función Ingreso marginal ( )mgy I x  Función Costo. ( )y C x Función Costo marginal ( )mgy C x  Función Utilidad o beneficio. ( )y U x Función Utilidad marginal ( )mgy U x  La función marginal se interpreta como la variación del valor de la función por unidad de cambio en la cantidad o el precio Convencionalmente se considerara a la variable (y) como dependiente de la cantidad (x) y además con una unidad de medida en (unidades monetarias); $, Bs. etc. 5.1.0.- Función Oferta O(x):  Si ( )y f x =O(x), Es Función de Oferta, que depende de la cantidad; Entonces se define:  La Fusión Oferta marginal como la derivada de la función oferta: ( ) 0mg dy y O x k dx      Para todo x>0  Interpretación de la Oferta marginal: Por cada unidad adicional Ofertada el precio de la Oferta aumenta k unidades monetarias. Ejercicios.- Con las siguientes funciones de oferta se pide: a).- Hacer la respectiva grafica b).- Determinar e interpretar el valor de la oferta marginal en los puntos indicados. 1 1 2 2 1 2 2 2 2 22 2 2 1 2 2 1 1 3 1 1 a O x x en x b O x x en x a O x x x en x b O x x x en x a O x x en                  ) ( ) , ; ) ( ) / , ) ( ) , ; ) ( ) , ) ( ) ln( ), 2 3 2 1 3 7 1 3 1 4 5 4 3 1 1 x b O x x en x x x a O x en x b O x en x x x              ; ) ( ) ln( ); ) ( ) , ; ) ( ) ,
  • 44. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 44 ) 5.2.0.- Función Demanda D(x):  Si ( ) ( )y f x D x  , Es Función Demanda que depende de la cantidad; Entonces se define:  La función Demanda marginal como la derivada dela F. demanda ( ) 0mg dy y D x k dx      para x>0  Interpretación de la demanda marginal: Por cada unidad adicional demandada el precio de la demanda disminuye k unidades monetarias, o viceversa. Ejercicios.- Con las siguientes funciones de demanda se pide: a).- Hacer la respectiva grafica, b).- Determinar e interpretar el valor de la demanda marginal en los puntos indicados. 2 2 4 2 5 5 2 2 5 8 2 2 1 6 4 0 6 24 2 2 4 7 a D x x en x b D x x en x x x a D x en x b D x x x en x a D               ) ( ) , ; ) ( ) , ) ( ) , ; ) ( ) ( ); ) ( 1 4 2 7 2 3 3 2 8 6 8 2 8 3 3 1 1 x x en x b D x x en x x a D x en x b D x en x x x                 ) ln( ), ; ) ( ) ln( ); ) ( ) , ; ) ( ) , 5.3.0.- Función ingreso I(x) Básicamente se la define como el producto entre una cantidad vendida por el precio unitario de demanda, es decir que el ingreso es nulo si no existe cantidad para vender.  Función ingreso: ( ) . ( ) : x Cantidad a la venta de un bien I x x f x Donde f(x) Funcion precio unitario de demanda      Función ingreso marginal.- ( ) ;mg x dI I Derivada del ingreso dx   Interpretación de la demanda marginal: Por cada unidad adicional vendida el monto del ingreso aumenta (+) ó disminuye (-); k unidades monetarias. Ejercicios.- Dadas las funciones de ingreso, se pide: a) Graficar la función. b) Hallar e interpretar el valor del ingreso marginal en los puntos indicados. 2 29 6 1 5 9 4 1 3 10 4 1 3 10 3 a I x x x en x x b I x x x en x x a I x x x en x x b I x x x                  ) ( ) , ; ) ( ) , ) ( ) ( ), ; ) ( ) ( ),   1 4 11 4 1 3 1 3 2 4 2 2 2 12 2 4 1 3 en x x x x a I x x en x x b I x x en x x a I x x en x x                    1) ( ) ( ), ; ) ( ) ( ), ) ( ) , ;  21 2 12 2 9 3 b I x x x en x x    1 ) ( ) ,
  • 45. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 45 ) 5.4.0.- Función costo: Costo total: y costo promedio.- El costo total C(x).- Se define como la suma de dos componentes básicos en el proceso productivo que son un costo fijo más un costo variable que depende de las unidades producidas.  Función costo total: ( ) ( ) ;T VC x C x CF  Costo variable más costo fijo  Función costo marginal: ( ) ( ) T Tmg dC x C x dx  Derivada del costo respecto a (x).  Interpretación del costo marginal: Por cada unidad adicional producida el monto del costo de aumenta k unidades monetarias. Ejercicios.- Dadas las funciones de costo, se pide: a) Graficar la función. b) Hallar e interpretar el valor del costo marginal en los puntos indicados. 2 2 13 ) ( ) 2 2 , 1 , 13 ) ( ) 1 , 2 2 14 ) ( ) 1, 0, 14 ) ( ) 3 , 1 2 2 15 ) ( ) 1, x a C x x en x b C x en x t t x x a C x x en x b C x en x t t a C x x t                0, 15 ) ( ) 3 , 1en x b C x x en x t     El costo promedio Cp(x).- Se define como el cociente entre el costo total y el número de unidades producidas en un proceso.  Función costo promedio: ( ) ( ) ;T p C x C x x  Costo total dividido la cantidad (x)  Función costo promedio marginal: ( ) ( ) ;P pmg dC x C x Derivada del costo promedio respecto a(x) dx   Interpretación del costo promedio marginal: Por cada unidad adicional producida el monto del costo promedio de aumenta (+), ó disminuye (-); k unidades monetarias. Ejercicios.- Dadas las funciones de costo, se pide: a) Graficar la función. b) Hallar e interpretar el valor del costo promedio marginal en los puntos indicados.     2 2 2 2 16 ) ( ) 1, 0, 16 ) ( ) 3 , 1 2 2 11 17 ) ( ) 1 , 0, 17 ) ( ) , 1 4 4 1 18 ) ( ) 1 , 4 x x a C x x en x b C x en x t t x a C x x en x b C x en x t t xx a C x en p x                  1 23 , 18 ) ( ) , 3 43 xx b C x en px xx        
  • 46. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 46 ) 5.5.0.- Función Beneficio o Utilidad U(x): Se define como la diferencia de dos componentes básicos, es decir el ingreso menos costo total, los mismos que dependen de las unidades vendidas y las unidades producidas .  Función utilidad: ( ) ( ) ( ) ( )TU x B x I x C x   función ingreso menos función costo total  Función utilidad marginal: ( ) ( ) ( ) ( )mg mg mg TmgU x B x I x C x   ingreso menos costo total marginal.  Interpretación de la Utilidad o Beneficio marginal: Por cada unidad adicional producida y vendida el monto de la utilidad o Beneficio aumenta (+), ó disminuye (-); k unidades monetarias. Ejercicios (T1).- Dadas las funciones de utilidad o beneficio se pide: a) Graficar la función. b) Hallar e interpretar el valor de la utilidad o beneficio marginal en los puntos indicados. 2 2 12 217 ) ( ) 6 1; ; 17 ) ( ) 4 1; 4 3 3 18 ) ( ) 4 ( 4) ; ; 18 ) ( ) 7 ( 4 x x a B x x x en b B x x x en x x x a U x x en b U x x x                      2 4 4) ; 5 215 1 219 ) ( ) 1; 5; 19 ) ( ) 2 -1; 3 2 2 3 x en x x x a U x en x b U x x x en x           Ejercicios (T2).- Con las funciones de ingreso y costo total: Hallar las Utilidades marginales en el punto. Indicado. 2 2 2 107 3 3220 ) ; ; 20 ) ; 5 52 3 2 4 x I xI x x x xTTa en b en x xC x T C x T                       Recomendación: Dado que todas las funciones de aplicación planteadas son del tipo BASICO, se recomienda trazar las respectivas graficas.
  • 47. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 47 )
  • 48. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 48 ) ANEXOS
  • 49. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 49 )
  • 50. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 50 ) FORMULARIO PARA CALCULO DIFENCIAL E INTEGRAL A) PROPIEDADES DEL ALGEBRA: Exponentes, Logaritmos, Álgebra y Ecuaciones B) TABLAS DE DERIVACION. Si k es un valor constante y además U, V, W,...dependen de x, entonces C) DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES. Donde F x   :  F y   son las derivadas Parciales de la función igualada a cero F. 1) ; 2) ; 3) u u Si y ku y ku Si y y Si y u v y u v k k                PROPIEDADES : 2 2 1) ( ) ; ( ) 0 2) ( ) ; ( ) 1 3) ( ) ; ( ) 2 ; 1 1 1 4) ( ) ; ( ) ; 5) ( ) ln( ); ( ) ; 6) f x k f x f x x f x f x x f x x f x f x f x x f x f x xx                    DERIVADA DE FUNCIONES BASICAS 1 ( ) ; ( ) 1) ( ) ( ) 2 ) ( ) ( ) ln( ); 2 ) ( ) ; ( ) 3 ) ( ) log( ) x x n n u u u u x e f x e f x u f x nu u a f x k f x u k k b f x e f x u e a f x u                   TABLA ESTANDAR DE DERIVACION , , 2 ; ( ) log( ); 3 ) ( ) ln( ) ( ) 4) ( ) ( ) ; 5) ( ) ( ) 6) u u f x e b f x u f x u u u u v uv f x uv f x u v uv f x f x v v                   1 , , ( ) ; ( ) ln( )v v v f x u f x vu u v u u     : 0 n n m n×m n n n n n m n+m n-m m - n n 1) a = 1; : 2) 1 = 1; 3) (a ) = a 4) (ab) = a ×b a 5) a × a = a ; : 6) = a a 1 7) a = 1; a PROPIEDADESDELOSEXPOMENCIALES m nm n a a b               .. n -n n n 1 mn nn b b b a b a : 8) = = ; b a b 9) 3) a = a; : 10) a 1) lg (1) = 0; : 2) lg ( ) = 1 3) lg (a PROPIEDADESDELOSLOGARITMOS.               n n n b b bb b b b b b b b c b 1 ) = nlg (a); : 4) lg (a) = lg a = lg (a) n 5) lg ( l) = lg ( ) + lg ( ); : 6) lg ( / ) = lg ( ) - lg ( ) c = bace desconocidalg ( ) 7) lg ( ) = ; Donde lg (c) b = bace conocida 8 lg (a) b) b = a  PRODUCTOS NOTABLES 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 n n n-1 n-2 n-2 2 n-1 1) (a ± b) = a ± 2ab + b ; 2) (a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b COCIENTES NOTABLES. 1) a - b = (a + b)(a - b); 2) a ± b = (a b)(a ab + b ) a + b 3) = (a - a b + a b - .....- b ) a + b  n n n-1 n-2 n-2 2 n-1 n n n-1 n-2 n-2 2 n-1 n n 2 ;n = impar a - b 4) = (a + a b + a b + .....- b );n = par o impar a - b a - b 5) = (a - a b + a b - .....- b );n = par a + b a + b 6) = Nunca es divisible si n = par a b 1) si ax + bx + c = ECUACIONES CUADRATICAS.      INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. 2 1,2 22 1 0; x = (-b ± b - 4ac) 2a 1) si P(x) < a; - a < P(x) < a : 2) si P(x) > a; P(x) > -a y P(x) < a; 3) si P(x) = P(x) ( )1 ( ) ; ; ( )) y f wdy dy dy dw Si x f y Si dx w f xdx dx dw dx dy        Derivada de funciones Inversas. Derivada de funciones compuestas. Deriv ( ); , : ( ); 1 ( ) ( ); -n n . Si y f x es una funcion luego y f x Es la er derivada de f x y f x Es la n ecina derivad     ada de funciones de Orden superior. Derivada de funciones implicitas ( , ) 0 ; ; ( ) F dy xSi f x y Fdx a de f x y       
  • 51. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 51 ) D) TABLAS DE INTEGRALES: Si k es un valor constante y además U, V, W,...dependen de x, entonces: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - xb b da a A f x dx F x F b F a EC f x dx x y A       Integral definida Excedente del consumidor y productor 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) xb c b of a a c f x dx f x dx f x dx EP x y f x dx        E) PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA LINEAL: Matrices, y sistemas de ecuaciones lineales FORMATOS PARA LAS DIFERENTES 1 2 2 2 2 1) ; -1 1 2) ; ln( ) 1 3) ln( ) 1 1 4) ln 2 1 5) n n u u u y u du c n n a y a du c a y du u u u a y du c a u au a y du a u                        TABLAS ESTANDAR DE INTEGRACION (metodo de sustitucion) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ln ; 2 1 6) ln 7) ln 2 2 a u c a a u y du u u a c u a u a y u a du u a u u a c                     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1) ; 2) ( ) 1) ; 1 2) ; 2 1 3) ; 3 x x x x x x y ku dx k u dx y u v dx u dx u dx y dx x c y xdx x c y x dx x c                        PROPIEDADES NTEGRALES BACICAS : I 2 1 1 4) ; 1 5) ln( ) ; 6) x x y dx c xx y dx x c x y e dx e c              1 2 3 4 5 m n m n m n m n m n m n m n m n m r r n r n m r r n m r r n m n m r r n m r m r m n A B B A k A B kB kA A B C A B A B R k A B kA B R A                                      ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ALGEBRA de MATRICES si las dimensiones son = . (Resultado) (Resultado) 0 16 m r r n r n m rB B A A I A A A I A          ) ; ; si las dimensiones son dif. 1 2 1 13 4 5 m n m n m n m n m n m n m n m n n m n m n m m r r n n r r m n m t tA A t tkA kA t tA A t t tA B A B R t t tA B B A R                            ) ( ) ) ( ) - -) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) PROP. DE LA MATRIZ TRANSPUESTA 1 1 11 113 1 1 14 5 m m m m m n m n m r r n m r r n m m m m m m A A kA A k A B B A A B I B es inversa de A                     - -) ( ) -) ( ) - - -) ( ) ( ) ( ) ) ; PROP.DELA MATRIZ INVERSA 1 1 11 2 3 m m m mDado el sistma matricial : A X B las soluciones son Metodo de la inversa X A B Metodo de Gaus Metodo de la matriz adjunta        : -) ; ) ) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
  • 52. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 52 ) PRESENTACIONES Y ACTIVIDADES MAT100 (.…) Fecha: …………………… Trabajo Práctico No……. ALUMNO: ………………..…………………………… Registro ………………….. TEMA: ………………………………………………………………………………………………... MAT100 (…..) Fecha: …………………… Trabajo Individual No……. ALUMNO: …………………………..……………………… Registro: ………………….. TEMA: ………………………………………………………………………………………………... MAT100 (……) Fecha: …………………… Trabajo Grupal No……. INTEGRANTES: ……………………..…………………………… Nota …………………….. ……………………..…………………………… Nota …………………….. TEMA: ……………………………………………………………………………………………….. MAT100 (……) Fecha: ………………… Examen parcial No……. ALUMNO: …………………..…………………………… Registro ………………….. TEMA: ………………………………………………………………………………………………... NOTA: El alumno en todos los casos deberá: - Emplear uno de los encabezados de identificación personal - Emplear hojas tamaño CARTA, pudiendo ser de traper o cuadernillo - El docente tiene libertad de adoptaro no estos formatos Firma
  • 53. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág. 53 ) NOTAS IMPORTANTES SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014 SC……/……./2014
  • 54. GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION CALCULO I MAT 100 Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 54 ) AGENDA RAPIDA No Nombre Teléfono Correo 1 Docente 3242823 jmoron@bolivia.com 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 FIRMAS DE PARTICIPACION Nombre del Alumno: …………………………………..………………………….. Firma:……..…………….