1. O documento descreve a formalização do conceito de limite para funções de uma ou mais variáveis, apresentando as definições formais de limite. 2. Inicialmente, é revisado o conceito intuitivo de limite para funções de uma variável e apresentada a definição formal proposta por Cauchy no século XIX. 3. Em seguida, a definição é generalizada para limite de funções de duas ou mais variáveis, utilizando os conceitos de intervalos em torno do limite e do ponto.

1. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 1
Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite
2.3.1 - Limite de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel 2.3.3 - Limite de uma fun¸c˜ao de n vari´aveis
2.3.2 - Limite de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis
Este cap´ıtulo ´e dedicado `a formaliza¸c˜ao do conceito de limite, tanto daquele visto para fun¸c˜oes de uma
vari´avel real quanto para fun¸c˜oes de duas ou mais vari´aveis reais. ´E
um cap´ıtulo de aprofundamento, com
conceitos um pouco mais complexos do que normalmente ´e ensinado em alguns cursos de C´alculo.
2.3.1 - Limite de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel
Para definir de forma mais rigorosa o que ´e um limite de fun¸c˜oes de duas ou mais vari´aveis ´e necess´ario
aprofundar o conceito de limite visto at´e ent˜ao. Antes de mostrar a defini¸c˜ao formal do limite de uma fun¸c˜ao
f = f(x) quando x → x0, ´e bom lembrar que, embora o C´alculo Diferencial e Integral tenha surgido com Isaac
Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1717) no s´eculo XVII, foi somente no s´eculo XIX
que essa defini¸c˜ao foi formalizada pelo francˆes Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e pelo alem˜ao Karl Theodor
Wilhelm Weierstrass (1815-1897).
Dado um limite lim
x!x0
f(x) = L, a defini¸c˜ao formal baseia-se em construir dois intervalos abertos: um em
torno do limite L e outro em torno do ponto x0, como mostra a primeira figura a seguir. O intervalo em torno
de x0 tem que ser pequeno o suficiente para que a sua imagem esteja contida no intervalo em torno do limite
L (segunda figura a seguir).
x
y
x0
L
bc
bc
y
bc
bcbc x
x0
L
bc
bcbc
Prova-se que o limite ´e verdadeiro se, para qualquer intervalo em torno de L, n˜ao importa o qu˜ao pequeno
ele seja, for sempre poss´ıvel encontrar um intervalo em torno de x0 de modo que a imagem desse intervalo esteja
contida no intervalo em torno de L. A figura a seguir mostra um caso em que isto n˜ao ´e poss´ıvel, mostrando
que o limite ´e falso.
bc
Lb
bc
bc
bcbc x
x
g(x)
bc
Lb
bc
bc
0 x0
g(x)
bcbc
0 x0
Determinando que o intervalo em torno de L ´e dado por (L − ǫ,L + ǫ) e o intervalo em torno de x0 ´e dado
por (x0 − δ, x0 + δ), onde ǫ (´epsilon) e δ (delta) s˜ao ambos maiores que zero, podemos dizer que o limite est´a

2. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 2
correto se, para y ∈ (L−ǫ,L+ǫ), existir sempre um δ > 0 tal que x ∈ (x0−δ, x0 +δ). Isto tem que ser verdade
para qualquer valor de ǫ que escolhermos. Um exemplo mais espec´ıfico ´e dado a seguir.
Isaac Newton (1642-1727): Newton foi um dos maiores gˆenios da humanidade. Nasceu na pequena cidade
de Woolsthorpe, na Inglaterra, e estudou na Universidade de Cambridge, tornando-se depois professor nessa
mesma universidade. Ele era f´ısico, matem´atico, astrˆonomo e alquimista, tendo contribu´ıdo significativamente
para todos esses campos. Ele foi o criador da mecˆanica racional e da lei da gravita¸c˜ao universal. Foi um dos
criadores do C´alculo Diferencial e Integral, juntamente com Leibniz. Desenvolveu v´arios trabalhos em ´optica,
tendo revolucionado essa ´area da F´ısica. Tamb´em foi dele a inven¸c˜ao do telesc´opio refletor, que ´e usado em
observat´orios do mundo inteiro e no espa¸co. Newton tamb´em exerceu importantes cargos p´ublicos e foi sagrado sir
(cavalheiro) pela rainha da Inglaterra na ´epoca. Morreu como uma celebridade em seu pa´ıs, embora j´a mostrasse
v´arios sinais de demˆencia senil.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1717): matem´atico, fil´osofo, f´ısico e estudioso das leis alem˜ao. Nasceu
em Leipzig e estudou na prestigiosa universidade de mesmo nome. Junto com Newton, foi o criador do C´alculo
Diferencial e Integral. Tamb´em foi respons´avel por boa parte da nota¸c˜ao matem´atica usada at´e hoje. Al´em disso,
foi um grande fil´osofo, tendo tecido uma vis˜ao de um universo baseado em princ´ıpios fundamentais e racionais, sem
rejeitar as concep¸c˜oes crist˜as. Sua convic¸c˜ao de que tudo podia ser demonstrado racionalmente quando utilizada
uma nota¸c˜ao coveniente levou-o a organizar v´arias express˜oes matem´aticas em termos de s´ımbolos. Leibniz sofreu
revezes com a rivalidade entre ele e Newton devida `a controv´ersia sobre quem teria sido o criador do C´alculo
Diferencial e Integral.
Exemplo 1: tentaremos mostrar que limx → 1x2 = 1 usando o novo crit´erio que acaba de ser descrito. Tomando
um
intervalo que inclui todos os n´umeros que est˜ao a distˆancias menores que ǫ = 1 do ponto y = 1, temos que esse intervalo
vai de y = 0 at´e y = 2. Este intervalo tem comprimento 2ǫ = 2 e pode ser escrito como (0, 2). Se considerarmos
agora um intervalo centrado em x = 1 de comprimento 2δ = 0, 4, isto ´e, o intervalo (1 − 0, 2 , 1 + 0, 2) = (0, 8 , 1, 2),
este produzir´a a seguinte imagem em y: para x = 0, 8 temos f(0, 8) = 0, 64; para x = 1, 2, f(1, 4) = 1, 44. Portanto,
a imagem produzida pelo intervalo em x centrado em x = 1 e de comprimento 2δ = 0, 4 produz uma imagem em y
dada pelo intervalo (0, 64 , 1, 44), que est´a contido no intervalo (0, 2).
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
2ǫ = 2
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
bcbc
2ǫ = 2
2δ = 0, 4
Do mesmo modo como escolhemos 2δ = 0, 4 ⇒ δ = 0, 2, poder´ıamos ter escolhido δ = 0, 1 ou δ = 0, 4, que a
imagem produzida pelo intervalo (1−δ, 1+δ) ainda estaria contida no intervalo (0, 2). Na verdade, contanto que δ
seja menor ou igual a √2 − 1 ≈ 0, 414, o intervalo produzido em x leva a uma imagem que est´a contida em (0, 2).
Vamos mostar que tamb´em para valores menores de ǫ conseguimos encontrar valores de δ satisfazendo essas
condi¸c˜oes. Escolhendo ǫ = 0, 5, temos o intervalo (1 − 0, 5 , 1 + 0, 5) = (0, 5 , 1, 5) em y. O que temos que fazer
agora ´e encontrar um valor de δ para o qual o intervalo (1−δ, 1+δ) em x produza uma imagem que esteja contida
no intervalo em y. Tomando δ = 0, 2, teremos o intervalo (1 − 0, 2 , 1 + 0, 2) = (0, 8 , 1, 2) em x que, como j´a
vimos, produz a imagem (0, 64 , 1, 44), que est´a contida no intervalo (0, 5 , 1, 5).

3. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 3
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
2ǫ = 1
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
bcbc
2ǫ = 1
2δ = 0, 4
Tomemos agora um valor ainda menor para ǫ: 0,25. Para este valor, temos o intervalo (1 − 0, 25 , 1 + 0, 25) =
= (0, 75 , 1, 25) em y. Escolhendo δ = 0, 1, temos o intervalo (1−0, 1 , 1+0, 1) = (0, 9 , 1, 1) em x, que tem como
imagem o intervalo (0, 81 , 1, 21), que est´a contido no intervalo (0, 75 , 1, 25).
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
2ǫ = 0, 5
x
y
−2 −1 0
1 2
4
3
2
1
bc
bc
bcbc
2ǫ = 0, 5
2δ = 0, 2
Assim, podemos intuir que, para qualquer valor de ǫ que escolhermos, ser´a sempre poss´ıvel escolher um valor de
δ tal que o intervalo (1 − δ, 1 + δ) em x produzir´a uma imagem em y que estar´a contida no intervalo (1 − ǫ, 1 + ǫ).
Diremos que o limite existe e est´a correto quando isto puder ser provado.
Voltemos, agora, `a defini¸c˜ao formal de um limite. Podemos dizer que o limite de uma fun¸c˜ao f(x) quando
x tende a x0 ´e L, lim
x!x0
f(x) = L se, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que x ∈ (x0 −δ, x0 +δ) ⇒
⇒ f(x) ∈ (L − ǫ,L + ǫ).
Agora, podemos escrever |x − x0| < δ no lugar de x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Isto porque
|x − x0| < δ ⇔ −δ < x − x0 < δ ⇔ x0 − δ < x < x0 + δ .
De modo semelhante, podemos escrever |f(x) − L| < ǫ no lugar de f(x) ∈ (L − ǫ,L + ǫ). Isto porque
|f(x) − L| < ǫ ⇔ −ǫ < f(x) − L < ǫ ⇔ L − ǫ < f(x) < L + ǫ .
Portanto, a defini¸c˜ao de limite fica dada a seguir. lim
x!x0
f(x) = L se, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um
δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.
Defini¸c˜ao 1 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto x0 de I, dizemos que
o limite de f(x) quando x tende a x0 existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
x!x0
f(x) = L,
quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.

4. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 4
Observa¸c˜ao: uma defini¸c˜ao mais formal de limite ´e feita na Leitura Complementar 2.3.3 e necessita do conceito
de ponto de acumula¸c˜ao, que ´e visto na Leitura Complementar 2.3.2.
A defini¸c˜ao 2 ´e usada a seguir para provar dois limites.
Exemplo 2: mostre que lim
(x + 2) = 5.
x!3
Solu¸c˜ao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x−a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valor
de ǫ > 0. Temos a = 3, f(x) = x + 2 e L = 5, de modo que a express˜ao fica
|x − 3| < δ ⇒ |x + 2 − 5| < ǫ ⇔ |x − 3| < δ ⇒ |x − 3| < ǫ ⇔ .
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ, essa rela¸c˜ao ser´a v´alida, pois se |x − 3| < δ e
δ ≤ ǫ, ent˜ao |x − 3| < ǫ. Portanto, o limite est´a provado.
Exemplo 3: mostre que lim
(2x − 1) = 1.
x!1
Soluc¸ao: ˜temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x−a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valor
de ǫ > 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 1, de modo que a express˜ao fica
ǫ
|x−1| < δ ⇒ |2x−1−1| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ |2x−2| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ 2|x−1| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ |x−1| <
.
2
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ
2 , essa rela¸c˜ao ser´a v´alida, pois se |x − 1| < δ e
δ ≤ ǫ
2 , ent˜ao |x − 1| < ǫ. Portanto, o limite est´a provado.
A defini¸c˜ao de limites que acabamos de desenvolver n˜ao ´e v´alida para limites infinitos ou limites envolvendo
o infinito. Para esses limites e outros s˜ao necess´arias novas defini¸c˜oes. Na verdade, s˜ao necess´arias nove delas
(isto ´e feito na Leitura Complementar 2.3.3).
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): matem´atico francˆes respons´avel pela formula¸c˜ao mais precisa do conceito
de limites e por v´arias contribui¸c˜oes de fundamental importˆancia na teoria de fun¸c˜oes de vari´aveis complexas e
em equa¸c˜oes diferenciais. Cauchy teve uma infˆancia atribulada, tendo vivido na ´epoca da Revolu¸c˜ao Francesa.
Trabalhou como engenheiro para a marinha de Napole˜ao e teve v´arias tentativas de obter posi¸c˜oes em universidades
recusadas, muitas vezes por motivos pol´ıticos. Cat´olico devoto, teve atritos com seus colegas partid´arios do ate´ısmo.
Quando o rei da Fran¸ca voltou ao poder, recusou-se a jurar lealdade e perdeu seu emprego, retornando ao seu
trabalho ap´os o rei ter sido novamente deposto.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1789-1857): matem´atico nascido na Pr´ussia (atual Alemanha). Embora
fosse apaixonado pela matem´atica, estudou finan¸cas por desejo de seu pai. Desinteressado do assunto, levou uma
vida despreocupada de estudante at´e que resolveu, contrariando seu pai, estudar matem´atica. Tendo abandonado
a universidde, formou-se professor do segundo grau. Exerceu essa profiss˜ao at´e publicar um artigo sobre invers˜ao
de fun¸c˜oes hiperel´ıpticas, o que lhe valeu uma posi¸c˜ao na universidade. ´E
considerado o pai da an´alise matem´atica
por ter introduzido o rigor atual no C´alculo e na teoria de fun¸c˜oes de vari´aveis complexas. Fez muitas contribui¸c˜oes
`a matem´atica, sobretudo nesses dois ´ultimos campos. Suas aulas eram muito apreciadas e ele tinha estudantes
vindos de v´arias partes do mundo.
2.3.2 - Limite de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis
Podemos, agora, expandir o conceito de limite para o caso de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis reais. Relem-brando,
uma fun¸c˜ao f = f(x, y) leva elementos de R2 a elementos de R (primeira figura a seguir).

5. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 5
b
x
y
x0
y0
z
f(x0, y0)
f
R2 R
Para definirmos um limite lim
(x0,y0)
f(x, y) = L, precisamo primeiro determinar uma regi˜ao em torno do ponto
(x0, y0) e um outro intervalo aberto em torno do limite L. Podemos, por exemplo, desenhar um quadrado
ou uma circunferˆencia em torno de (x0, y0) (duas figuras a seguir) e dizer que (x, y) tem que estar dentro do
subconjunto de R2 constitu´ıdo pela regi˜ao interna a esse quadrado ou a essa circunferˆencia, excluindo as suas
bordas (isto ´e representado pelas linhas pontilhadas nas figuras a seguir).
b
x
y
x0
y0
z
L
f
bc
bc
b
x
y
x0
y0
z
L
f
bc
bc
Como ´e mais f´acil determinar a equa¸c˜ao da regi˜ao circular em torno do ponto (x0, y0), escolheremos esse
tipo de regi˜ao, que chamaremos de bola aberta em torno do ponto, pois ela n˜ao inclui a superf´ıcie do c´ırculo.
Podemos, ent˜ao, dizer que a regi˜ao limitada pela bola aberta ´e dada pelo c´ırculo
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ2 = p(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ,
onde δ ´e o raio da bola aberta.
Lembrando agora que p(x − x0)2 + (y − y0)2 = ||(x − x0, y − y0)||, podemos dizer que a bola aberta ´e
definida por ||(x − x0, y − y0)|| < δ. Podemos, ent˜ao, utilizar a seguinte defini¸c˜ao de limite.
Defini¸c˜ao 2 - Dada uma fun¸c˜ao f(x, y) definida em um intervalo I ⊂ R2 e um ponto (x0, y0) ∈ I,
dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0) existe e ´e igual a L, o que pode ser
escrito como lim
(x,y)!(x0,y0)
f(x, y) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que
||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ.
Vamos usar esta defini¸c˜ao para provar um limite bem simples, a seguir.
Exemplo 1: prove que lim
(x,y)!(x0,y0)
x = x0.
Solu¸c˜ao: temos que mostrar que, para qualquer ǫ > 0, existe um δ > 0 tal que
||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ ⇔ p(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |x − x0| < ǫ .
Sabemos que p(x − x0)2 ≤ p(x − x0)2 + (y − y0)2 ⇔ |x−x0| ≤ p(x − x0)2 + (y − y0)2. Portanto, escolhendo
qualquer δ ≤ ǫ, temos que p(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |x − x0| < ǫ, o que prova o limite.
Em geral, ´e muito dif´ıcil provar limites envolvendo fun¸c˜oes de duas vari´aveis. Podemos, no entanto, calcular
alguns limites utilizando nossos conhecimentos de limites de fun¸c˜oes de uma vari´avel, como mostra o exemplo
a seguir.

6. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 6
Exemplo 2: calcule lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 .
Solu¸c˜ao: usando a simetria do problema, podemos fazer a mudan¸ca de vari´avel x2+y2 = r2. Quando (x, y) → (0, 0),
teremos r → 0, tamb´em, de modo que podemos escrever
lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = lim
r!0
sen r2
r2 .
Se aplicarmos r = 0, este limite fica da forma 0
0 , de modo que podemos aplicar a ele a regra de L’Hˆopital:
lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = lim
r!0
sen r2
r2 = lim
r!0
2r cos r2
2r
= lim
r!0
cos r2 = cos 0 = 1 .
Vamos, agora, provar que um limite n˜ao existe.
Exemplo 3: calcule lim
(x,y)!(0,0)
x2 − y2
x2 + y2 .
Solu¸c˜ao: o procedimento que adotaremos ´e fazer o limite de uma das vari´aveis e depois o limite da outra. Come¸cando
pelo limite x → 0, temos
lim
(x,y)!(0,0)
x2 − y2
x2 + y2 = lim
y!0
−y2
y2 = lim
(−1) = −1 .
y!0
Se fizermos primeiro o limite em y e depois o limite em x, obtemos
lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = lim
x!0
x2
x2 = lim
x!0
1 = 1 .
Note que os dois limites n˜ao s˜ao iguais. Isto j´a basta para provar que n˜ao existe esse limite.
Na verdade, os exemplos 2 e 3 n˜ao est˜ao formalizados da maneira correta. A Leitura Complementar 2.3.4
mostra como fazˆe-lo.
2.3.3 - Limite de uma fun¸c˜ao de n vari´aveis
Vamos, agora, definir limites para o caso de uma fun¸c˜ao de trˆes vari´aveis reais. A generaliza¸c˜ao para fun¸c˜oes
de n vari´aveis reais poder´a ser feita facilmente a partir da´ı. Uma fun¸c˜ao f = f(x, y, z) leva elementos de R3 a
elementos de R (figura a seguir). Podemos considerar uma bola aberta em trono de R3 dada por uma esfera
de raio menor que δ levando a um interavalo |f(x, y, z) − L| < ǫ na imagem (segunda figura a seguir).
b
z
z0
x0 y0
x y
w
f(x0, y0, z0)
f
R3 R
b
z
z0
x0 y0
x y
w
L
f
bc
bc
R3 R
Podemos escrever a regi˜ao dentro dessa bola aberta pela equa¸c˜ao p(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < δ,
que ´e a equa¸c˜ao de uma esfera de raio δ com exce¸c˜ao de sua superf´ıcie. Novamente, podemos trocar a raiz por
uma norma: ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ. A defini¸c˜ao de limite fica, ent˜ao, como a dada a seguir.

7. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 7
Defini¸c˜ao 3 - Dada uma fun¸c˜ao f(x, y, z) definida em um intervalo I ⊂ R3 e um ponto (x0, y0, z0) ∈ I,
dizemos que o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) tende a (x0, y0, z0) existe e ´e igual a L, o que pode
ser escrito como lim
(x,y,z)!(x0,y0,z0)
f(x, y, z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0
tal que ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ ⇒ |f(x, y, z) − L| < ǫ.
A generaliza¸c˜ao para o limite de uma fun¸c˜ao de n vari´aveis reais ´e direta.
Defini¸c˜ao 4 - Dada uma fun¸c˜ao f(x1, · · · , xn) definida em um intervalo I ⊂ Rn e um ponto
(x10, · · · , xn0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) tende a (x01, · · · , x0n) ex-iste
e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = L, quando, para qual-quer
ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x1−x10, · · · , xn−xn0)|| < δ ⇒ ⇒ |f(x1, · · · , xn)−L| < ǫ.
Resumo
• Limite de uma fun¸c˜ao f : R → R. Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R
e um ponto x0 de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a x0 existe e ´e igual a L, o que
pode ser escrito como lim
x!x0
f(x) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que
|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.
• Limite de uma fun¸c˜ao f : R2 → R. Dada uma fun¸c˜ao f(x, y) definida em um intervalo I ⊂ R2 e
um ponto (x0, y0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0) existe e ´e igual
a L, o que pode ser escrito como lim
(x,y)!(x0,y0)
f(x, y) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre
um δ > 0 tal que ||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ.
• Limite de uma fun¸c˜ao f : R3 → R. Dada uma fun¸c˜ao f(x, y, z) definida em um intervalo I ⊂ R3
e um ponto (x0, y0, z0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) tende a (x0, y0, z0) existe
e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
(x,y,z)!(x0,y0,z0)
f(x, y, z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0,
existir sempre um δ > 0 tal que ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ ⇒ |f(x, y, z) − L| < ǫ.
• Limite de uma func¸˜ao f : Rn → R. Dada uma func¸ao ˜f(x1, · · · , xn) definida em um intervalo
I ⊂ Rn e um ponto (x10, · · · , xn0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) tende
a (x01, · · · , x0n) existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
f(x1, · · · , xn) = L,
(x1,··· ,x)!(x10,··· ,xn0)
nquando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x1 − x10, · · · , xn − xn0)|| < δ ⇒
⇒ |f(x1, · · · , xn) − L| < ǫ.

8. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 8
Leitura Complementar 2.3.1 - Desigualdades
e m´odulo
Os s´ımblos < (menor), > (maior), ≤ (menor ou igual) e ≥ (maior ou igual) estabelecem rela¸c˜oes de ordem
no conjunto dos n´umeros reais. Isto tamb´em vale para os subconjuntos N, Z e Q. Uma rela¸c˜ao de ordem entre
dois n´umeros reais tamb´em ´e chamada de desigualdade.
2 ≥ √2 .
Exemplos: 2 < 7 , −4 > −8 , 3, 4 ≤ 5 , 3
Existem certas regras quando se opera com desigualdades. Para quaisquer n´umeros reais a e b, valem as
seguintes propriedades:
P1) a < b ⇔ a + c < b + c , c ∈ R;
P2) a < b e c < d ⇔ a + c < b + d , c ∈ R e d ∈ R;
P3) a < b ⇔ ac < bc , c ∈ R e c > 0;
P4) a < b ⇔ ac > bc , c ∈ R e c < 0;
P5) a < b ⇔ 1
a > 1
b , a6= 0 e b6= 0.
Exemplos dessas regras s˜ao dados a seguir.
Exemplo 1: 2 < 3 ⇔ 2 + 4 < 3 + 4 ⇔ 6 < 7 (por P1).
Exemplo 2: 1 < 4 ⇔ 1 + 3 < 4 + 6 ⇔ 4 < 10 (por P2).
Exemplo 3: 2 < 3 ⇔ 2 · 3 < 3 · 3 ⇔ 6 < 9 (por P3).
Exemplo 4: 2 < 3 ⇔ 2 · (−1) < 3 · (−1) ⇔ −2 > −3 (por P4).
Exemplo 5: 2 < 4 ⇔ 1
2 > 1
4 (por P5).
a) M´odulo de um n´umero real
O m´odulo ou valor absoluto de um n´umero real a, escrito |a|, ´e definido como
|a| = a se a ≥ 0 ; |a| = −a se a < 0 .
Outra defini¸c˜ao ´e dada em termos da raiz quadrada de um n´umero ao quadrado:
|a| = √a2 .
Exemplos: |2| = 2 , | − 4| = 4 , | − 3| = p(−3)2 = √9 = 3 .
O m´odulo de um n´umero representa a distˆancia deste ao ponto 0 no eixo dos n´umeros reais.

9. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 9
0 a
|a|
b 0
|b|
Usamos esta interpreta¸c˜ao para estabelecer algumas rela¸c˜oes para um n´umero x ∈ R com rela¸c˜ao a um
n´umero a > 0. Primeiro,
|x| = a ⇔ x = ±a .
Exemplo 1: calcule x quando |x| = 2.
Solu¸c˜ao: |x| = 2 ⇔ x = ±2, ou seja, x = 2 ou x = −2.
A segunda rela¸c˜ao ´e a seguinte:
|x| < a ⇔ −a < x < a .
Isto pode ser visto da figura abaixo. O m´odulo de x ser´a menor que a quando x estiver dentro do intervalo
aberto (−a, a) (outra nota¸c˜ao usada para o intervalo aberto ´e ] − a, a[ ).
x
−a 0 a
bcbc
|x|
Exemplo 2: calcule x quando |x| < 4.
Solu¸c˜ao: |x| < 2 ⇔ −2 < x < 2, ou seja, x ∈ (−2, 2).
A terceira rela¸c˜ao ´e:
|x| > a ⇔ x < −a ou x > a .
Isto pode ser visto da figura abaixo. O m´odulo de x ser´a maior que a quando x estiver dentro do intervalo
aberto (−∞, a) ou no intervalo aberto (a,∞).
−a 0 a
bcbc
x
|x|
−a 0 a
bcbc
x
|x|
Exemplo 3: calcule x quando |x| > 3.
Solu¸c˜ao: |x| > 3 ⇔ x < −3 ou x > 3, ou seja, x ∈ (−∞,−3) ∪ (3,∞).
De modo semelhante, podemos escrever
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a , |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a .
Exemplo 4: calcule x quando |x| ≤ 3.
Solu¸c˜ao: |x| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3, ou seja, x ∈ [−3, 3].
O m´odulo de um n´umero real apresenta as seguintes propriedades:

11. P1) |

13. ab| = |a| · |b|;
P2) a
= |a|
b|b| , b6= 0;
P3) |a + b| ≤ |a| + |b| (desiguladade triangular).

14. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 10
Demonstra¸c˜ao:
P1) podemos escrever |ab| = p(ab)2 = √a2b2 = √a2√b2 = |a| · |b|.
P2) temos

16. a
b

18. = qa
b 2
= qa2
b2 =
pa2
pb2 = |a|
|b|
.
P3) dados dois n´umeros reais, sabemos que −|a| ≤ a ≤ |a| e −|b| ≤ b ≤ |b|. Portanto, temos
−|a| − |b| ≤ a + b ≤ |a| + |b| ⇔ −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| ⇔ |a + b| |a| + |b| .
Exemplo 5: |3 · (−2)| = | − 6| = 6 = |3| · |2|.
Exemplo 6:

20. −1
2

22. =

24. −1
2

26. 2 = |−1|
= 1
|2| .
Exemplo 7: |3 + (−2)| = |3 − 2| = |1| = 1 e |3| + | − 2| = 3 + 2 = 5. Portanto, |3 + (−2)| ≤ |3| + | − 2|.

27. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 11
Leitura Complementar 2.3.2 - Vizinhan¸ca e ponto
de acumula¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao, veremos dois t´opicos da topologia dos n´umeros reais: os conceitos de vizinhan¸ca e de ponto de
acumula¸c˜ao. Dado um n´umero real a qualquer pertencente a um subintervalo I ⊂ R, definimos uma vizinhan¸ca
desse ponto como sendo um conjunto de pontos pertencentes a I que estejam a uma distˆancia menor que um
n´umero ǫ 0 de a, isto ´e, uma vizinhan¸ca de a ´e o intervalo
{x ∈ I | a − ǫ x a + ǫ} = {x ∈ I | |x − a| ǫ} .
a − ǫ a a + ǫ
bcbc
Exemplo 1: dado o intervalo I = (0, 6) da reta dos reais, uma vizinhan¸ca do ponto x = 2 pode ser dada
por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2 − 1, 2 + 1) = (1, 3), ou seja, pelo conjunto
{x ∈ I | 1 x 3} = {x ∈ R | |x − 2| 1} .
0 1 2 3 6
bcbcbcbc
Exemplo 2: dado o intervalo I = (0, 6) da reta dos reais, uma outra vizinhan¸ca do ponto x = 2 pode ser
dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2−0, 4 , 2+0, 4) = (1, 6 , 2, 4), ou seja, pelo conjunto
{x ∈ I | 1, 6 x 2, 4} = {x ∈ R | |x − 2| 0, 4} .
0 1,6 2 2,4 6
bcbcbcbc
Exemplo 3: dado o intervalo I = {x ∈ R | x 2 ou x ≥ 4} da reta dos reais, uma vizinhan¸ca do ponto
x = 5 pode ser dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (5−0, 5 , 5+0, 5) = (4, 5 , 5, 5), ou seja,
pelo conjunto
{x ∈ I | 4, 5 x 5, 5} = {x ∈ R | |x − 5| 0, 5} .
0 2 4 4,5 5 5,5
bcbbcbc
Exemplo 4: dado o intervalo I = {x ∈ R | x 2 ou x ≥ 4} da reta dos reais, uma outra vizinhan¸ca do pon-to
x = 5 pode ser dada escolhendo ǫ = 4, de modo que a vizinhan¸ca ser´a composta por todos os pontos
pertencentes ao intervalo
{x ∈ I | 1 x 9} = (1, 2) ∪ [4, 9) .
0 1 2 4 5 9
bcbcbcbbc

28. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 12
Exemplo 5: dado o intervalo I = {2} da reta dos reais, o ponto x = 2 tem {2} como sua ´unica vizinhan-
¸ca.
2
b
Dado um intervalo I ⊂ R e um ponto a ∈ R, dizemos que a ´e um ponto de acumula¸c˜ao do conjunto I
quando todo intervalo aberto (a − ǫ, a + ǫ), de centro a, cont´em algum ponto x ∈ I diferente de a. Em termos
de simbologia matem´atica, a ´e um ponto de acumula¸c˜ao de um conjunto I ⊂ R quando, para qualquer ǫ 0,
existir um x ∈ I tal que 0 |x − a| ǫ.
a − ǫ a a + ǫ
bcbbc
Exemplo 6: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 3 ´e um ponto de acumula¸c˜ao desse intervalo, pois
para qualquer ǫ 0 existem pontos x ∈ (3−ǫ, 3+ǫ)∪(1, 5) que pertencem a I e que n˜ao s˜ao o ponto x = 3.
1 3 − ǫ 3 3 + ǫ 5
bcbcbcbc
Exemplo 7: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 1 ´e um ponto de acumula¸c˜ao desse intervalo, pois
para qualquer ǫ 0 existem pontos x ∈ (3−ǫ, 3+ǫ)∪(1, 5) que pertencem a I e que n˜ao s˜ao o ponto x = 1.
1 1 + ǫ 4 5
bcbcbc
Exemplo 8: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 0 n˜ao ´e um ponto de acumula¸c˜ao desse intervalo,
pois podemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (0 − 0, 5 , 0 + 0, 5) = (−0, 5 , 0, 5) centrado em 0 n˜ao
existem pontos x ∈ I.
0 1 5
-0.5 0.5
bcbcbcbc
Exemplo 9: dado um intervalo I = {3}, o ponto x = 3 n˜ao ´e um ponto de acumula¸c˜ao desse intervalo, pois
podemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (3−0, 5 , 3+0, 5) = (−2, 5 , 3, 5) centrado em 3 n˜ao existem
pontos x ∈ I diferentes de 3.
2.5 3 3.5
bcbbc
Exemplo 10: dado um intervalo I = {x ∈ R | x6= 3}, o ponto x = 3 ´e um ponto de acumula¸c˜ao desse
intervalo, pois para qualquer ǫ 0 existem pontos x ∈ (3 − ǫ, 3 + ǫ) que pertencem a I e que n˜ao s˜ao o
ponto x = 3.
3 − ǫ 3 3 + ǫ
bcbcbc
Portanto, se x = a ´e um ponto de acumula¸c˜ao de um intervalo I, ent˜ao ´e poss´ıvel escolher uma seq¨uˆencia
de n´umeros pertencentes a esse intervalo que se aproximem cada vez mais desse ponto sem nunca alcan¸c´a-lo.
De posse desses conceitos, podemos agora partir para a defini¸c˜ao formal de limite, dada na pr´oxima leitura
complementar.

29. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 13
Leitura Complementar 2.3.3 - Defini¸c˜ao formal
de limite
A defini¸c˜ao formal de limite ´e dada logo a seguir. ´E
uma das defini¸c˜oes mais dif´ıceis do C´alculo e pesadelo
da maioria dos estudantes, mas fica mais f´acil depois do que vimos nas leituras complementares anteriores.
Defini¸c˜ao 5 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumula¸c˜ao
a de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito
como lim
f(x) = L, quando, para qualquer n´umero ǫ 0, existir sempre um n´umero δ 0 tal que, se
x!a
|x − a| δ, ent˜ao |f(x) − L| ǫ.
Usando os exemplos da Leitura Complementar 2.3.1, pudemos mostrar o porque da necessidade de uma
definic¸ao ˜tao ˜precisa, por ela ter que funcionar para diversos casos de limites. Note que na definic¸ao ˜´e explicitado
o fato de o numero ´a do limite lim
f(x) nao ˜estar necessariamente dentro do intervalo em que se analisa o limite.
x!a
Este ´e o caso do limite da fun¸c˜ao f(x) = x0 quando x → 0, pois x = 0 n˜ao pertence ao dom´ınio desta fun¸c˜ao
(isto levando em conta a conven¸c˜ao por n´os adotada). Podemos usar essa defini¸c˜ao na demonstra¸c˜ao de diversos
limites, o que ser´a feito a seguir.
Exemplo 1: mostre que lim
x = 1.
x!1
Solu¸c˜ao: temos que mostrar que existem valores de δ 0 tais que |x−a| δ ⇒ |f(x)−L| ǫ para qualquer valor
de
ǫ 0. No nosso caso, temos a = 1, f(x) = x e L = 1, de modo
que a express˜ao fica
|x − 1| δ ⇒ |x − 1| ǫ .
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ,
essa rela¸c˜ao ser´a v´alida, pois se |x − 1| δ e δ ≤ ǫ, ent˜ao
|x − 1| ǫ. A figura ao lado ajuda a ilustrar esta situa¸c˜ao.
bcbc x
1 − δ 1 1 + δ
bcbc y
1 − ǫ 1 1 + ǫ
Ent˜ao, se tomarmos, por exemplo, ǫ = 1, podemos escolher qualquer 0 δ 1 que a rela¸c˜ao ser´a satisfeita. Se
escolhermos ǫ = 0, 1, qualquer 0 δ 0, 1 tornar´a a rela¸c˜ao verdadeira. Portanto, para qualquer valor de ǫ 0,
podemos encontrar valores de δ 0 para os quais a rela¸c˜ao ´e verdadeira. Assim, o limite est´a provado.
Exemplo 2: mostre que lim
(x + 3) = 5.
x!2
Soluc¸ao: ˜temos que mostrar que existem valores de δ 0 tais que |x−a| δ ⇒ |f(x)−L| ǫ para qualquer valor
de
ǫ 0. Temos a = 2, f(x) = x + 3 e L = 5, de modo que a
express˜ao fica
bcbc x
|x − 2| δ ⇒ |x + 3 − 5| ǫ ⇔ |x − 2| δ ⇒ |x − 2| ǫ .
2 − δ 2 2 + δ
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ,
bcbc y
essa relac¸ao ˜ser´a v´alida, pois se |x−2| δ e δ ≤ ǫ, entao ˜|x−2| ǫ.
2 − ǫ 2 2 + ǫ
Portanto, o limite esta ´provado.
Os dois pr´oximos exemplos ilustram limites de fun¸c˜oes do tipo f(x) = ax + b, onde a6= 1.

30. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 14
Exemplo 3: mostre que lim
(2x − 1) = 1.
x!1
Soluc¸ao: ˜temos que mostrar que existem valores de δ 0 tais que |x−a| δ ⇒ |f(x)−L| ǫ para qualquer valor
de
ǫ 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 1, de modo que a express˜ao
fica
|x − 1| δ ⇒ |2x − 1 − 1| ǫ ⇔ |x − 1| δ ⇒ |2x − 2| ǫ ⇔
ǫ
⇔ |x − 1| δ ⇒ 2|x − 1| ǫ ⇔ |x − 1| δ ⇒ |x − 1|
.
2
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ
2 , essa
rela¸c˜ao ser´a v´alida, pois se |x − 1| δ e δ ≤ ǫ
2 , ent˜ao |x − 1| ǫ.
Portanto, o limite est´a provado.
bcbc x
1 − δ 1 1 + δ
bcbc y
1 − ǫ/2 1 1 + ǫ/2
Exemplo 4: mostre que lim
(5x − 4) = 6.
x!2
Soluc¸ao: ˜temos que mostrar que existem valores de δ 0 tais que |x−a| δ ⇒ |f(x)−L| ǫ para qualquer valor
de
ǫ 0. Temos a = 2, f(x) = 5x − 4 e L = 6, de modo que a express˜ao
fica
|x − 2| δ ⇒ |5x − 4 − 6| ǫ ⇔ |x − 2| δ ⇒ |5x − 10| ǫ ⇔
ǫ
⇔ |x − 2| δ ⇒ 5|x − 2| ǫ ⇔ |x − 2| δ ⇒ |x − 2|
.
5
Podemos ver da express˜ao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ
5 , essa
rela¸c˜ao ser´a v´alida, pois se |x − 2| δ e δ ≤ ǫ
5 , ent˜ao |x − 1| ǫ.
Portanto, o limite est´a provado.
bcbc x
2 − δ 2 2 + δ
bcbc y
2 − ǫ/5 2 2 + ǫ/5
Exemplo 5: mostre que lim
(2x − 1) = 4.
x!1
Solu¸c˜ao: para tentarmos provar esse resultado (que est´a errado), temos que mostrar que existem valores de δ 0
tais que |x − a| δ ⇒ |f(x) − L| ǫ para qualquer valor de ǫ 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 4, de modo
que a express˜ao fica
|x − 1| δ ⇒ |2x − 1 − 4| ǫ ⇔ |x − 1| δ ⇒ |2x − 3| ǫ ⇔ |x − 1| δ ⇒ 2|x − 1, 5| ǫ ⇔
ǫ
⇔ |x − 1| δ ⇒ |x − 1, 5|
.
2
Isto significa que para qualquer valor de ǫ 0, existe sempre
um δ 0 tal que, se x estiver dentro do intervalo aberto no eixo
x dado por (1 − δ, 1 + δ), entao ˜f(x) estara ´sempre dentro do
intervalo aberto 1, 5 − ǫ
, 1, 5 + ǫ
no eixo y. Para mostrar que
2 2 isto n˜ao est´a correto, basta achar um contra-exemplo. A figura ao
lado facilita isto.
1
bcbc x
1 − δ 1 + δ
1, 5
bcbc y
1, 5 − ǫ/2 1, 5 + ǫ/2
Da figura, podemos ver que escolhendo ǫ/2 0, 5, isto ´e, ǫ 1, n˜ao h´a forma de escolher um intervalo (1−δ, 1+δ)
de modo a garantir que, se x est´a dentro desse intervalo, ent˜ao f(x) estar´a dentro do intervalo (1, 5−ǫ/2 , 1, 5+ǫ/2).
Portanto, o limite est´a incorreto.
H´a ainda a possibilidade de demonstrar alguns limites mais complicados, como os que envolvem fun¸c˜oes
quadr´atica,s mas isso foge da inten¸c˜ao desta leitura complementar.
A defini¸c˜ao de limite feita aqui ´e apenas aquela que ´e adequada a limites finitos quando se tende a n´umeros
finitos. A seguir, veremos algumas defini¸c˜oes de limites envolvendo o infinito.
a) Limites no infinito
Quando tomamos os limites x → ∞, a defini¸c˜ao 5 de limite torna-se inapropriada, pois n˜ao podemos tomar
um intervalo |x − a| δ quando a → ±∞. Substituindo a por ∞ nessa desigualdade, temos
|x − a| δ ⇒ |x −∞| δ ⇒ | −∞| δ ⇒ ∞ δ ,

31. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 15
pois x −∞ = −∞ para qualquer x ∈ R. De forma semelhante, substituindo a por −∞, temos
|x − a| δ ⇒ |x − (−∞)| δ ⇒ |x +∞| δ ⇒ |∞| δ ⇒ ∞ δ ,
pois x+∞ = ∞ para qualquer x ∈ R. Como n˜ao existe um n´umero real δ tal que δ ∞, temos que usar uma
outra defini¸c˜ao para esse tipo de limite.
Pensemos o seguinte: o limite lim
f(x) = L existe quando, fazendo x tender a infinito, o intervalo |f(x)−ǫ|
x!1
tender a zero. Isto pode ser escrito da seguinte forma: para qualquer ǫ 0, existe um n´umero N tal que, toda
vez que x N, automaticamente, |f(x) − L| ǫ. Esta id´eia ´e formalizada na defini¸c˜ao a seguir.
Defini¸c˜ao 6 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto no ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a ∞ existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
f(x) = L,
x!1
quando, para qualquer n´umero ǫ 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao
|f(x) − L| ǫ.
De modo semelhante, podemos dizer que o limite lim
f(x) = L existe quando, fazendo x tender a menos
x!−1
infinito, o intervalo |f(x) − ǫ| tender a zero, isto ´e, que dado um ǫ 0, existe um n´umero N 0 tal que
x N ⇒ |f(x) − L| ǫ. A defini¸c˜ao seguinte formaliza esta id´eia.
Defini¸c˜ao 7 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em −∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a −∞ existe e ´e igual a L, o que pode ser escrito como lim
f(x) = L,
x!−1
quando, para qualquer n´umero ǫ 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao
|f(x) − L| ǫ.
b) Limites infinitos
Primeiro, veremos os caso de limites que v˜ao para infinito ou menos infinito quando x tende a um valor
finito:
lim
x!a
f(x) = ∞ ou lim
x!a
f(x) = −∞ .
O motivo de n˜ao termos definido esses limites no texto principal foi porque ainda n˜ao vimos fun¸c˜oes que
apresentam esse comportamento. No entanto, para que as defini¸c˜oes fiquem completas, faremos aqui as duas
que restam.
Defini¸c˜ao 8 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumula¸c˜ao
a de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a ´e igual a ∞, o que pode ser escrito como
lim
x!a
f(x) = ∞, quando, para qualquer M 0, existir sempre um δ 0 tal que, se |x − a| δ, ent˜ao
f(x) M.
Defini¸c˜ao 9 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumula¸c˜ao a
de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a ´e igual a −∞, o que pode ser escrito como
lim
x!a
f(x) = −∞, quando, para qualquer M 0, existir sempre um δ 0 tal que, se |x − a| δ, ent˜ao
f(x) M.
c) Limites infinitos no infinito
Resta agora definir os limites no infinito das fun¸c˜oes de potˆencias naturais f(x) = xn com n 0. Esses
limites s˜ao infinitos, de modo que as defini¸c˜oes 2 e 3 n˜ao s˜ao mais apropriadas, pois quando o limite for ∞,
teremos
|f(x) − L| ǫ ⇒ |f(x) −∞| ǫ ⇒ | −∞| ǫ ⇒ ∞ ǫ

32. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 16
e, quando o limite for −∞,
|f(x) − L| ǫ ⇒ |f(x) − (−∞)| ǫ ⇒ |∞| ǫ ⇒ ∞ ǫ .
Como n˜ao existe ǫ real tal que ǫ ∞, n˜ao podemos aplicar essas defini¸c˜oes aos casos em que o limite tende a
infinito. Podemos dizer, no entanto, que o limite quando x → ∞ de uma fun¸c˜ao tende a ∞ quando, quanto
maior for o valor de x, maior ser´a o valor de f(x). Podemos tamb´em dizer isto da seguinte forma: para todo
valor M 0, existe sempre um valor N 0 tal que x N ⇒ f(x) M. Como existem diversas situa¸c˜oes
dependendo do limite que tomamos, ´e necess´ario fazer as quatro defini¸c˜oes a seguir.
Defini¸c˜ao 10 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a ∞ ´e igual a ∞, o que pode ser escrito como lim
f(x) = ∞, quando,
x!1
para qualquer n´umero M 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao f(x) M.
Defini¸c˜ao 11 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a ∞´e igual a −∞, o que pode ser escrito como lim
f(x) = −∞, quando,
x!1
para qualquer n´umero M 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao f(x) M.
Defini¸c˜ao 12 - Dada uma fun¸c˜ao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a −∞ ´e igual a ∞, o que pode ser escrito como lim
f(x) = ∞, quando,
x!−1
para qualquer n´umero M 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao f(x) M.
Definic¸˜ao 13 - Dada uma func¸ao ˜f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em −∞, dizemos que
o limite de f(x) quando x tende a −∞ ´e igual a −∞, o que pode ser escrito como lim
f(x) = x!−1
−∞,
quando, para qualquer n´umero M 0, existir sempre um n´umero N 0 tal que, se x N, ent˜ao
f(x) M.
Essas s˜ao, na verdade, todas as defini¸c˜oes de limites para fun¸c˜oes de uma vari´avel real a valores reais.

33. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 17
Leitura Complementar 2.3.4 - Alguns teoremas
para limites
A presentaremos nesta leitura complementar dois teoremas que facilitam o c´alculo de alguns limites impor-tante
envolvendo fun¸c˜oes de duas ou mais vari´aveis. Esse teoremas s˜ao seguidos de exemplos que os utilizam,
entre eles formas mais corretas dos exemplos 2 e 3 da se¸c˜ao 2.3.2 deste cap´ıtulo.
O primeiro teorema, enunciado a seguir, diz que um limite existe se, seguindo qualquer caminho poss´ıvel
at´e ele, o resultado for sempre o mesmo. Tais caminhos podem ser parametrizados por curvas que s˜ao imagens
de fun¸c˜oes vetoriais de um parˆametro real.
Teorema 1 - Considere que lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = L. Dada uma fun¸c˜ao vetorial F(t) de
R em Rn, cont´ınua em t = t0 e tal que F(t0) = (x10, · · · , xn0) e F(t)= 6(x10, · · · , xn0) se t= 6t0, e tal
que F(t) ∈ D(f), entao, ˜lim
f (F(t)) = L.
t!t0
Exemplo 1: mostre que lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = 1.
Solu¸c˜ao: este ´e o mesmo exemplo 3 da se¸c˜ao 2.3.2 deste cap´ıtulo, s´o que formulado de maneira mais rigorosa usando
o teorema 1. Consideremos uma curva que ´e a imagem da fun¸c˜ao vetorial F(t) = (t cos θ, t sen θ), onde t ´e um
parˆametro real positivo e θ ´e um ˆangulo qualquer. Tal curva parametriza caminhos radiais em dire¸c˜ao `a origem
vindos de ˆangulos θ distintos e ´e tal que F(0) = (0, 0) para todo o valor de θ e tal que F(t)6= (0, 0) para t6= 0.
Portanto, pelo teorema 1, podemos considerar x(t) = t cos θ e y(t) = t sen t, que nada mais s˜ao que coordenadas
polares (Leitura Complementar 1.1.4). Como x2 + y2 = t2 cos2 t + t2 sen 2t = t2(cos2 t + sen 2t) = t2, podemos
escrever o limite da seguinte forma:
lim
(x,y)!(0,0)
f(x, y) = lim
t!0
sen t2
t2 .
Tal limite pode ser resolvido usando L’Hˆopital:
lim
(x,y)!(0,0)
f(x, y) = lim
t!0
cos t2 · 2t
2t
= lim
t!0
cos t2 = cos 02 = 1 .
Como esse resultado ´e v´alido para qualquer ˆangulo θ, ent˜ao por qualquer caminho que possamos usar, o limite ´e o
mesmo, o que prova que o limite est´a correto.
Este mesmo racioc´ınio pode ser utilizado para outros problemas que exibam simetria radial, como o do
exemplo a seguir.
Exemplo 2: mostre que lim
(x,y)!(1,−2)
e−x2−y2+2x−4y−5 = 1.
Solu¸c˜ao: completando quadrados, podemos escrever
−x2 − y2 + 2x − 4y − 5 = −(x2 − 2x) − (y2 + 4y) − 5 = −(x − 1)2 − 1 − (y + 2)2 − 4 − 5 =
= −(x − 1)2 + 1 − (y + 2)2 + 4 − 5 = −(x − 1)2 − (y + 2)2 .
Escolhendo a fun¸c˜ao F(t) = (1 + t cos θ,−2 + t sen θ) para qualquer valor de θ, teremos (x − 1)2 + (y + 2)2 =
(1+t cos theta−1)2+(−2+tsent+2)2 = t2, um resultado que independe de θ. Essa fun¸c˜ao ´e tal que F(0) = (1,−2)
e F(t)6= (1,−2) para t6= 0. Do teorema 1,
lim
(x,y)!(1,−2)
e−x2−y2+2x−4y−5 = lim
(x,y)!(1,−2)
e−(x−1)2−(y+2)2
= lim
t!0
e−t2
= e0 = 1 .
Esse resultado ´e v´alido para qualquer ˆangulo θ, o que prova que o limite est´a correto.

34. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 18
A seguir, utilizamos o teorema 1 para provar que um dado limite n˜ao existe.
Exemplo 3: mostre que lim
(x,y)!(0,0)
x2 − y2
x2 + y2 n˜ao existe.
Solu¸c˜ao: nossa estrat´egia ser´a mostrar que podemos obter resultados diferentes atrav´es de duas curvas distintas.
Come¸camos pela curva associada `a fun¸c˜ao vetorial F(t) = (t, 0), que ´e tal que F(0) = (0, 0) e F(t)6= (0, 0) para
t6= 0. Ent˜ao, o limite pode ser escrito trocando x = t e y = 0, de modo que
lim
(x,y)!(0,0)
x2 − y2
x2 + y2 = lim
t!0
t2 − 0
t2 + 0
= lim
t!0
1 = 1 .
Considerando agora uma curva associada `a fun¸c˜ao vetorial F(t) = (0, t), que ´e tal que F(0) = (0, 0) e F(t)6=
6= (0, 0) para t6= 0, ent˜ao o limite pode ser escrito trocando x = 0 e y = t, de modo que
lim
(x,y)!(0,0)
x2 − y2
x2 + y2 = lim
t!0
0 − t2
0 + t2 = lim
t!0
(−1) = −1 .
Como os dois limites n˜ao coincidem, podemos afirmar que o limite dado n˜ao existe.
O teorema a seguir afirma que, quando podemos quebrar uma fun¸c˜ao em duas outras, onde o limite da
primeira ´e zero e a segunda fun¸c˜ao ´e limitada, ent˜ao o limite da fun¸c˜ao original ´e zero.
Teorema 2 - Dado um limite tal que
lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
g(x1, · · · , xn)h(x1, · · · , xn) ,
onde lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
g(x1, · · · , xn) = 0 e |h(x1, · · · , xn)| ≤ M, M ∈ R eM 0, dentro do intervalo
||(x1, · · · , xn) − (x10, · · · , xn0)|| r, r ∈ R e r 0, ent˜ao lim
(x1,··· ,xn)!(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = 0.
Exemplo 4: prove que lim
(x,y)!(0,0)
x3
x2 + y2 = 0.
Solu¸c˜ao: podemos escrever
lim
(x,y)!(0,0)
x3
x2 + y2 = lim
(x,y)!(0,0)
x ·
x2
x2 + y2 .
Temos que lim
(x,y)!(0,0)
x = 0 e

38. x2
x2 + y2

42. ≤ 1, pois um n´umero positivo (quadrado) dividido por ele mais outro n´umero
positivo sempre ser´a menor ou igual a 1. Ent˜ao, pelo teorema 2, lim
(x,y)!(0,0)
x3
x2 + y2 = 0.
Exemplo 5: prove que lim
(x,y)!(1,1)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = 0.
Solu¸c˜ao: podemos escrever
lim
(x,y)!(1,1)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = lim
(x,y)!(1,1)
1
x2 + y2 · sen (x2 + y2) .
Uma vez que lim
(x,y)!(1,1)
1
x2 + y2 = 0 e

44. sen (x2 + y2)

46. ≤ 1, ent˜ao, pelo teorema 2, lim
(x,y)!(1,1)
sen (x2 + y2)
x2 + y2 = 0.

47. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 19
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2.3
N´ıvel 1
Limites de fun¸c˜oes de uma vari´avel
Exemplo 1: escreva o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao f(x, y) = e−x2−y2
.
Solu¸c˜ao: o dom´ınio dessa fun¸c˜ao ´e D(f) = R2, enquanto sua imagem ´e Im(f) = [0, 1], pois a fun¸c˜ao exponencial
s´o pode assumir valores positivos ou nulos e a fun¸c˜ao chega a um valor m´aximo em f(0, 0) = 1.
E1) Escreva os dom´ınios e as imagens das fun¸c˜oes dadas a seguir.
a) f(x, y) = 4x2 + 4y2, b) f(x, y) = 2x2 + 3y2, c) f(x, y) = p9 − x2 − y2, d) f(x, y) = 1 √1−x2−y2
,
e) f(x, y) = 3x2 − 2y2, f) f(x, y) = x4 + y4, g) f(x, y) = ln(x2 + y2), h) f(x, y) = ln(x2 − y3).
Limites
Exemplo 2: calcule lim
(x,y)!(1,0)
(3xy − y3).
Solu¸c˜ao: lim
(3xy − y3) = 3 · 1 · 0 − 03 = 0.
(x,y)!(1,0)
E2) Calcule os seguintes limites:
a) lim
(x,y)!(2,1)
(2xy − x2), b) lim
(x,y)!(1,0)
sen xy
y
, c) lim
(x,y,z)!(1,0,0)
(yz2 + ln x),
d) lim
(x,y,z)!(0,0,0)
ln(x2 + y2 + z2).
N´ıvel 2
E1) Verifique se f(x, y) =
sen (x2 + y2)
x2 + y2 ´e cont´ınua em (0, 0).
E2) Verifique se f(x, y) =
sen (x2 + y2)
x2 + y2 , (x, y)6= (0, 0)
1 , (x, y) = (0, 0)
, ´e cont´ınua em (0, 0).
N´ıvel 3
E1) Prove que lim
(4x − 2) = 2.
x!1
E2) Prove que lim
(x,y)!(0,0)
(x2 + y2) = 0.
E3) Prove que lim
(x,y)!(x0,y0)
k = k para quaisquer (x0, y0) ∈ R2 e k ∈ R.

48. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 20
E4) Considere a fun¸c˜ao CES (Constant Elasticity of Substitution - Elasticidade de Substitui¸c˜ao Constante)
P(K,L) = A[αK + (1 − α)L]1/.
a) Calcule o limite de z = ln P quando ρ → 0. (Dica: use a regra de L’Hˆopital.)
b) Mostre que o limite da fun¸c˜ao CES quando ρ → 0 ´e a fun¸c˜ao de Cobb-Douglas.
E5) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)!(1,1)
1
x2 + y2 = 0.
E6) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 − y2)
x2 − y2 = 1.
E7) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)!(0,0)
xy
x2 + y2 = 0.
E8) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)!(0,0)
x
px2 + y2
= 0.
E9) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)!(0,0)
x + y
x − y
n˜ao existe.
Respostas
N´ıvel 1
E1) a) D(f) = R2, Im(f) = R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}. b) D(f) = R2, Im(f) = R+.
c) D(f) = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 9 , Im(f) = [0, 3].
d) D(f) = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 1 , Im(f) = R+
= {x ∈ R | x 0}. e) D(f) = R2, Im(f) = R.
f) D(f) = R2, Im(f) = R+. g) D(f) = (x, y) ∈ R2 | (x, y)6= (0, 0) , Im(f) = R.
h) D(f) = (x, y) ∈ R2 | x2 − y3 0 , Im(f) = R.
E2) a) 0, b) 1, c) 0, d) −∞.
N´ıvel 2
E1) N˜ao ´e cont´ınua em (0, 0), pois f(0, 0) n˜ao existe.
E2) ´E
cont´ınua em (0, 0), pois lim
(x,y)!(0,0)
f(x, y) = f(0, 0) = 1.
N´ıvel 3
E1) Como |f(x) − L| ǫ ⇔ |4x − 2 − 2| ǫ ⇔ |4x − 4| ǫ ⇔ |x − 1|
ǫ
4
, ent˜ao para qualquer ǫ 0, sempre existe um
0 δ ≤
ǫ
4
tal que |x − 1| δ ⇒ |f(x) − 2| ǫ.
E2) Como |f(x, y) − L| ǫ ⇔ |x2 + y2 − 0| ǫ e ||(x − x0), (y − y0)|| = p(x − x0)2 + (y − y0)2 = px2 + y2, ent˜ao para
qualquer 0 δ ≤ ǫ teremos px2 + y2 δ ⇒ |x2 + y2| ǫ ⇔ −ǫ x2 + y2 ǫ. Como 0 px2 + y2 δ, ent˜ao
x2 + y2 δ2. Com isto, podemos dizer que px2 + y2 δ ⇒ −ǫ x2 + y2 ǫ ⇔ δ2 ≤ ǫ e δ 0, de modo que devemos
ter δ √ǫ. Portanto, sempre que δ √ǫ, teremos ||x − x0, y − y0|| δ ⇒ |f(x) − L| ǫ, o que prova o limite.
E3) Temos que mostrar que, para qualquer ǫ 0, existe um δ 0 tal que
||x − x0, y − y0|| δ ⇒ |f(x, y) − L| ǫ ⇔ p(x − x0)2 + (y − y0)2 δ ⇒ |k − k| ǫ ⇔ 0 ǫ .
Como, por hip´otese, ǫ 0 sempre, ent˜ao para qualquer δ 0 a afirma¸c˜ao acima ´e verdadeira, o que prova o limite.
E4) a) lim
ρ!0
z = ln AKαL1−α
b) lim
ρ!0
P = lim
ρ!0
exp(ln P) = exp lnlim
ρ!0
P = exp ln AKαL1−α = AKαL1−α. O limite pode ser deslocado para
dentro das fun¸c˜oes exponencial e logaritmo natural porque elas s˜ao cont´ınuas.

49. C´alculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formaliza¸c˜ao do conceito de limite 21
E5) Escolhendo F(t) = (t cos θ, t sen θ), temos lim
(x,y)!(1,1)
1
x2 + y2 = lim
t!1
1
t2 = 0 para qualquer valor de θ, o que prova o
limite.
E6) Escolhendo F(t) = (t cosh θ, t senh θ), temos lim
(x,y)!(0,0)
sen (x2 − y2)
x2 − y2 = lim
t!0
sen t2
t2 = lim
t!0
cos t2 · 2t
2t
= cos 0 = 1 para
qualquer valor de θ, o que prova o limite.
E7) lim
(x,y)!(0,0)
x = 0 e

53. x2 + y2

57. y
1, de modo que lim
(x,y)!(0,0)
xy
x2 + y2 = 0.
E8) lim
(x,y)!(0,0)
x = 0 e

62. 1
px2 + y2

67. 1, de modo que lim
(x,y)!(0,0)
x
px2 + y2
= 0.
E9) Escolhendo F(t) = (t, 0), ent˜ao lim
(x,y)!(0,0)
x + y
x − y
= lim
t!0
t + 0
t − 0
= 1. Escolhendo F(t) = (0, t), ent˜ao
lim
(x,y)!(0,0)
x + y
x − y
= lim
t!0
0 + t
0 − t
= −1. Portanto, o limite n˜ao existe.