UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA                        Facultad de Ciencias                 Escuela Profesional de Mate...
AgradecimientosAgradezco de manera especial a mi asesora Dra. Irla Mantilla por el apoyo brindadoen la elaboraci´n de este...
Nomenclatura.   v: Velocidad del fluido.   p: Presi´n del fluido.           o   µef f : Viscosidad efectiva.   µef : Viscosi...
ResumenEl prop´sito del presente trabajo, es el estudio de la existencia y unicidad de la         osoluci´n en sentido d´b...
´Indice generalIntroducci´n          o                                                                                    ...
Introducci´n                                          oEl problema de Brinkman (1947) se origin´ al tratar de estimar la p...
Cap´   ıtulo 1Marco Te´rico para el estudio del         oproblema   Empezaremos dando los conceptos que se necesitan saber...
4. ∀x ∈ H,    x, x ≥ 0, Adem´s, el unico vector que al hacer el producto escalar                                 a     ´  ...
Definici´n 1.2.4 (Espacio Dual). Sea (H, ·, · ) un espacio Hilbert se define H ∗ el         oespacio dual de H como:        ...
Demostraci´n.           o       Existencia.Sea N u(f ) = M = {v ∈ H : f (v) = 0}; como se sabe M es un subespacio deH,adem...
Por lo tanto u1 − u2 = 0, esto es u1 = u2 , que prueba la unicidad.  Igualdad de normas.                           f (z)De...
1.3.1.    Teorema de Lax-MilgramDefinici´n 1.3.3 (Contracci´n). Sea (V, · V ) un espacio de Banach. Una apli-        o     ...
Esto demuestra la existencia de un punto fijo v ∈ V.  Unicidad.Supongamos que tenemos T v1 = v1 y T v2 = v2 entonces:      ...
Sabemos que por la definici´n de ξ: ∀ v ∈ H                          o                         (L + T )(v) = ξL+T , v      ...
Por lo tanto:                                           ξ(Au) = ξ(f )Y por ser ξ inyectiva tenemos que:                   ...
1.4.     Propiedades del C´lculo                          a   Se dar´ un breve pero conciso resumen sobre los principales ...
Demostraci´n. La demostraci´n de ´ste teorema se encuentra en la referencia [6]          o                o     eTeorema 1...
1.5.2.    Espacio Sobolev de orden 1.Definici´n 1.5.2. Sea ϕ ∈ C ∞ (Ω) el soporte de ϕ esta definido por:       o           ...
1.5.3.    Identidades de Green para espacios Sobolev.Definici´n 1.5.6. Se define el espacio de Sobolev de orden 2 como:     ...
Cap´   ıtulo 2Formulaci´n F´          o  ısica-Matem´tica                        adel Problema de Brinkman.    Consideremo...
2.1.     Adimensionalizaci´n de las ecuaciones de con-                          o         servaci´n.                o   Se...
Vamos redefinir el sistema en funci´n a este cambio de variable:                                  o                        ...
ϕi ∇2 ui dx =             ∇.((∇ui )ϕi )dx −                        ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2            Ω                   ...
Se define :                a : (H0 (Ω))2 × (H0 (Ω))2 →                      1           1                                  ...
Cap´   ıtulo 3Existencia y Unicidad de laSoluci´n del Problema de      oBrinkman.    En secci´n se probara que el sistema ...
de aqui claramente:                    2       ∂u1         2                ∂u2         2            ∂u1   2             ∂...
Ahora aplicando la desigualdad de chauchy-schwarz se tiene:                                                               ...
Teorema 3.1.2. dado l ∈ V ∗ definido como:                                       l(ϕ) = −            χ2 g0 .ϕdx.           ...
de aqui reemplazando se tiene:         L(ϕ) = a(u, ϕ) − l(ϕ) =              p ∇.ϕdx = −b(ϕ, p),           ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2  ...
de esto se deduce facilmente:                           −          ∇2 u.ϕdx =            ∇ϕ·∇udx = 0                      ...
Conclusiones. Del siguiente trabajo podemos concluir lo siguiente:   El proceso de adimiensionalizaci´n es una herramienta...
Bibliograf´          ıa[1]   Brenner S., Scott R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods      2002[2]   Brezis ...
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Problema de Brinkman

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ciencias Escuela Profesional de Matem´tica a ´ EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCION DEL PROBLEMA DE BRINKMAN. ´ SEMINARIO DE MATEMATICA PURA Y APLICADA IIAlumno: Soto Rivera, Joel RichardC´digo: 20071155A o Nota:Asesor: Dra. Irla Mantilla N. ´ LIMA-PERU 2012
  2. 2. AgradecimientosAgradezco de manera especial a mi asesora Dra. Irla Mantilla por el apoyo brindadoen la elaboraci´n de este trabajo y as´ tambi´n por permitirme hacer uso de las insta- o ı elaciones y equipos del Laboratorio de Simulaci´n e Investigaci´n Num´rica(LABOSIN- o o eFC) y as´ mismo por aceptar mi pertenencia en este grupo de investigaci´n. ı o
  3. 3. Nomenclatura. v: Velocidad del fluido. p: Presi´n del fluido. o µef f : Viscosidad efectiva. µef : Viscosidad externa din´mica. a k: Perneabilidad Ω: Conjunto abierto. ∂Ω: Frontera del conjunto Ω. 2
  4. 4. ResumenEl prop´sito del presente trabajo, es el estudio de la existencia y unicidad de la osoluci´n en sentido d´bil del problema de contorno de Brinkman, bajo ciertas con- o ediciones tales como: dominio acotado (Ω) y con una condici´n de frontera Dirichlet ono homog´nea sobre un espacio bidimensional. Para ello utilizaremos propiedades edel an´lisis vectorial y funcional para determinar su formulaci´n variacional del a oproblema en estudio. Luego aplicando el teorema de Lax-Milgram se demuestra laexistencia y unicidad del problema variacional generado. Finalmente se prueba demodo equivalente que la soluci´n en sentido d´bil es soluci´n del problema en sentido o e ocl´sico . aPalabras claves: Formulaci´n variacional de Brinkman adimensional, Condici´n o oDirichlet no hom´genea, Lax-Milgram, Existencia y Unicidad, Soluci´n Debil. o o2010 Mathematics Subject Classification:35A15-46Exx-35A01-35A02
  5. 5. ´Indice generalIntroducci´n o 21. Marco Te´rico para el estudio del problema o 3 1.1. Espacios de Banach y Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Espacio Dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Aplicaciones lineales y continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Representaci´n de Riesz. . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . 5 1.3. Formas Bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Propiedades del C´lculo . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . 12 1.4.1. Identidades del C´culo . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . 12 1.5. Espacios de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.1. El espacio L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.2. Espacio Sobolev de orden 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.3. Identidades de Green para espacios Sobolev. . . . . . . . . . . 152. Formulaci´n F´ o ısica-Matem´tica del Problema de Brinkman. a 16 2.1. Adimensionalizaci´n de las ecuaciones de conservaci´n. . . . . . . . . 17 o o 2.2. Modificaci´n de la ecuaci´n adimensional de Brinkman. . . . . . . . . 17 o o 2.3. Formulaci´n Variacional del Problema de Brinkman-Stokes(PVBS). . 18 o3. Existencia y Unicidad de la Soluci´n del Problema de Brinkman. 21 o 3.1. Estudio de la Existencia y Unicidad de la soluci´n del PVBS. . . . . . 21 o 3.2. Existencia y Unicidad de la soluci´n del Problema de Brinkman. . . . 25 oConclusiones 27Bibliograf´ ıa 28 1
  6. 6. Introducci´n oEl problema de Brinkman (1947) se origin´ al tratar de estimar la permeabilidad ode un medio poroso,la ecuaci´n de Brinkman sirve para modelar fluidos en medios oporosos, para el que el impulso debido a las tensiones de corte son de importanciaen el fluido.El principal objetivo de este trabajo mostrar que existe un par (v, p) quesatisface el problema de Brinkman. A pesar que la ecuaci´n DL-Brinkman ([8]) es un orefinamiento de la ecuaci´n de Brinkman en este trabajo veremos la importancia ya oque el otro modelo requiere un mayor n´ mero de condiciones para ser resuelta vemos uque existira un factor (v.∇)v que dificulta la linealidad de la ecuaci´n pero dada oque Brinkman no considero este t´rmino en su ecuaci´n esto posibilita la forma de e ointentar hallar una formulaci´n d´bil de ´sa ecuaci´n la cual nos dar´ la posibilidad o e e o ade probar la existencia de soluci´n del problema de Brinkman. oAhora consideremos el problema de Brinkman dada por el siguiente sistema deecuaciones: µef −∇p + µef f ∇2 v − v = 0, en Ω k ∇.v = 0 en ΩAsociado a una condici´n Dirichlet no hom´genea, sobre un dominio acotado Ω, o ocontenido en un espacio bidimensional. Asumiendo que este dominio cuya fronteraposee propiedades de regularidad, se prueba que el problema de Brinkman tienesoluci´n unica en un espacio de Sobolev de orden uno. El desarrollo de este trabajo o ´se a organizado del siguiente modo: En el primer cap´ ıtulo veremos todos los conceptos previos que se nesesitan para abarcar el estudio del problema como resultados cl´sicos del an´lisis fun- a a cional,algunas propiedades del c´lculo vectorial y los espacios de sobolev. a En el segunda capitulo abarcaremos la formulaci´n del problema sobre que o dominios estamos trabajando y se aplicara ciertos m´todos para trabajar con e sistemas equivalentes el cual se podra hallar su formulaci´n d´bil del problema o e equivalente el cual se le llamar´ la ecuaci´n Brinkman-Stokes. a o En la tercer capitulo trabajaremos a partir de su formulaci´n variacional de o la ecuaci´n Brinkman-Stokes y se probar´ que esta posee solucion unica so- o a ´ bre cierto espacio,luego probaremos que tambien existe solucion unica para la ´ ecuaci´n Brinkman. o Finalmente dar´ las conclusiones que nos deja este trabajo. a 2
  7. 7. Cap´ ıtulo 1Marco Te´rico para el estudio del oproblema Empezaremos dando los conceptos que se necesitan saber probar que la ecuaci´n ode Brinkman bajo ciertas condiciones posee soluci´n unica. o1.1. Espacios de Banach y HilbertDefinici´n 1.1.1 (Espacio normado). Sea V un espacio vectorial real, o · : V → R una funci´n que satisface para todo u, v ∈ V y α ∈ R : o 1. u ≥ 0 ; u =0 ⇔ v=0 2. αu = |α|. u 3. u + v ≤ u + v (Desigualdad Triangular)Luego se define a · como una norma sobre V, y al par (V, . ) un espacio normado.Definici´n 1.1.2 (Espacio de Banach). Un espacio normado (V, . ) es llamado oEspacio de Banach si V es completo con la m´trica inducida por la norma . . eDefinici´n 1.1.3 (Espacio Prehilbert). Sea (H, ·, · ) un espacio vectorial provisto ocon un producto escalar en H.Mas concretamente H un espacio vectorial sobre uncuerpo K y ·, · es un producto escarlar en H, con las siguientes propiedades. 1. ∀x, y ∈ H, x, y = y, x 2. ∀x, y ∈ H, ∀a ∈ K, ax, y = a x, y 3. ∀x, y, z ∈ H, x, y + z = x, y + x, z 3
  8. 8. 4. ∀x ∈ H, x, x ≥ 0, Adem´s, el unico vector que al hacer el producto escalar a ´ con ´l mismo es cero, es el vector nulo, es decir: x, x = 0 ↔ x = 0. e Obsevaci´n:Luego se define la norma inducida en el espacio H dada por el oproducto interno como: x H= x, xDonde la norma inducida x H es un espacio Banach.Notaci´n:Denotaremos al siguiente conjunto: o BX := {x ∈ X : x X ≤ 1}Definici´n 1.1.4 (Espacio Hilbert). Sea (H, ·, · ) un espacio de prehilbert ,decimos oque este espacio es Hilbert si es completo con respecto a la norma inducida porsu producto interno. Completo en este contexto significa que cualquier sucesi´n de oCauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio con respectoa la norma inducida en H.1.2. Espacio Dual.1.2.1. Aplicaciones lineales y continuas.Definici´n 1.2.1 (Aplicaci´n lineal.). Sean X e Y espacios vectoriales sobre el o omismo cuerpo K, recordemos que una aplicaci´n T : X → Y es lineal si: o T (αx + y) = αT (x) + T (y), ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ KProposici´n 1.2.1 (Continuidad de una aplicaci´n lineal.). Sea (X, ·, · X ), (Y, ·, · Y ) o oespacios Hilbert y sea T : X → Y una aplicaci´n lineal entonces las siguientes afir- omaciones son equivalentes: Existe una constante β > 0 tal que T (x) Y ≤β x X ; ∀x ∈X T es continua en X. T es acotada en BX .Demostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia o o e o[2]Definici´n 1.2.2 (funcional lineal). Una aplicaci´n lineal T se llamara funcional o olineal si T : X → R .Definici´n 1.2.3 (Funcional lineal acotada.). Sea (H, ·, · ) un espacio Hilbert,L : oH → R una funcional lineal es llamada lineal acotada si existe un C> 0 tal que: |T (u)| ≤ C u H, ∀u ∈ H 4
  9. 9. Definici´n 1.2.4 (Espacio Dual). Sea (H, ·, · ) un espacio Hilbert se define H ∗ el oespacio dual de H como: H ∗ = {f : H → R : f es lineal acotada.}Definici´n 1.2.5 (Norma de una Funcional lineal acotada.). Sea T : H → R una ofuncional lineal acotada,se define su norma como: |T (u)| T H∗ = sup x=0 u HProposici´n 1.2.2. Sea (H, ·, · ) un espacio Hilbert se define en H ∗ la norma como oen (1.2.5) entonces (H ∗ , · H ∗ ) es un espacio Banach.Demostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia o o e o[2].1.2.2. Representaci´n de Riesz. o Antes de ello algunas definiciones previas antes de enunciar el teorema.Definici´n 1.2.6 (Subespacio). Sea H un espacio de Hilbert y S ⊆ H un subcon- ojunto tal que para todo u, v ∈ S y α ∈ R se tiene u + αv ∈ S, entonces S es llamadoSubespacio de H.Definici´n 1.2.7 (Complemento ortogonal). Sea H un espacio de Hilbert y S ⊂ H oun subconjunto, se define M ⊥ = {v ∈ H : v, x = 0 ∀ x ∈ M}Proposici´n 1.2.3. Sea H un espacio de Hilbert, dado un subespacio M de H en- otonces H = M ⊕ M⊥es decir H = M + M ⊥ y M ∩ M ⊥ = {0}Demostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia o o e o[2].En H espacio de Hilbert, veamos que dado un u ∈ H, podemos definir la funcionallineal Lu definida en H como: Lu (v) = u, vVeamos ahora en el siguiente teorema que el rec´ ıproco tambi´n es verdadero. eTeorema 1.2.1 (Representaci´n de Riesz). Sea (H, ·, · o H) un espacio Hilbert,sea ∗f ∈ H entonces existe un unico u tal que: ´ ∀v ∈ H : f (v) = u, v Hm´s a´n se tiene: a u f H∗ = u H 5
  10. 10. Demostraci´n. o Existencia.Sea N u(f ) = M = {v ∈ H : f (v) = 0}; como se sabe M es un subespacio deH,adem´s por ser una funcional lineal acotada N (L) es cerrado; entonces por la aproposici´n (1.2.3) tenemos que: H = M ⊕ M ⊥ o(1) Caso: Si M ⊥ = {0}Esto implica que M = H; por lo tanto L ≡ 0; entonces basta tomar u = 0 y elteorema queda demostrado. ∀ v ∈ H : f (v) = u, v(2) Caso: Si M ⊥ = {0}Entonces sea z ∈ M ⊥ , z = 0, luego z ∈ M por lo tanto f (z) = 0. /Para cualquier v ∈ H consideremos: x = f (v)z − f (z)vaplicando f obtenemos: f (x) = f (v)f (z) − f (z)f (v) = 0Esto muestra que x ∈ N (f ) = M y ya que z ∈ M ⊥ tenemos que: 0 = z, x = z, f (v)z − f (z)v = f (v) z, z − f (z) z, v 2Notando que z, z = z = 0, resulta que: f (z) f (v) = z, v z 2 f (z)Entonces escribiendo u = z 2 z tenemos demostrado el teorema: ∀v ∈H : f (v) = u, v Unicidad.Supongamos que existen u1, u2 ∈ H tales que: ∀v ∈ H : f (v) = u1 , v = u2 , vEntonces ∀ v ∈ H : u1 − u2 , v = 0; tomando entonces en particular: v = u1 − u2 ,se tiene que: 2 u1 − u2 , v = u1 − u2 , u1 − u2 = u1 − u2 =0 6
  11. 11. Por lo tanto u1 − u2 = 0, esto es u1 = u2 , que prueba la unicidad. Igualdad de normas. f (z)De la definici´n de u = o z 2 z, tomando norma tenemos: |f (z)| |f (x)| u H = ≤ sup = f H∗ z x∈H x x=0Tambi´n se tiene que: e |f (x)| | u, x | f H∗ = sup ≤ sup ≤ u H x∈H x x∈H x x=0 x=0Por lo tanto tenemos: f H∗ = u HCon esto queda demostrado el teorema.1.3. Formas Bilineales.Definici´n 1.3.1 (Forma bilineal). Sea V un espacio vectorial, una funci´n o ob : V ×V → R se le llama forma bilineal si cumple para todo u, v, w ∈ V y α, β ∈ R : 1. b(αu + βv, w) = αb(u, w) + βb(v, w) 2. b(u, αv + βw) = αb(u, v) + βb(u, w)Si adem´s cumple que ∀u, v ∈ V : b(u, v) = b(v, u) se dice que es sim´trica. a eDefinici´n 1.3.2. Una forma bilineal b(·, ·) en un espacio vectorial normado V, se odice que es acotada (o continua); si ∃ C > 0 tal que: |b(v, w)| ≤ C v V w V ; ∀ v, w ∈ VY se dice que es coerciva en U ⊂ V si ∃ α > 0 tal que: 2 b(v, v) ≥ α v V ; ∀v ∈ U 7
  12. 12. 1.3.1. Teorema de Lax-MilgramDefinici´n 1.3.3 (Contracci´n). Sea (V, · V ) un espacio de Banach. Una apli- o ocaci´n T : V → V es llamada una contracci´n en V, si existe un real M < 1 tal o oque: ∀ v1 , v2 ∈ V : T v1 − T v2 ≤ M v1 − v2Lema 1.3.1 (La aplicaci´n contractiva). Dado un espacio de Banach (V, · ) y ouna contracci´n T : V → V ; entonces existe un unico v ∈ V tal que: T v = v (Punto o ´fijo)Demostraci´n. o Existencia.Elegimos v0 ∈ V y definimos: v1 = T v0 , v2 = T v1 , . . . , vk+1 = T vk , . . .Notemos que ∀ k ∈ N : vk+1 − vk = T vk − T vk−1 ≤ M vk − vk−1 . Entonces porinducci´n podemos afirmar que: o ∀k ∈N : vk − vk−1 ≤ M k−1 v1 − v0Por lo tanto, para ∀ m, n ∈ N : m > n tenemos: m vm − vn = vk − vk−1 k=n+1 m ≤ v1 − v0 M k−1 k=n+1 n M ≤ v1 − v0 1−MDado que 0 < M < 1 y que el t´rmino v1 − v0 es fijo, el lado derecho de la edesigualdad puede hacerse tan peque˜ o como se desee, tomando a m suficientemente ngrande. Esto demuestra que (vn )n∈N es una sucesi´n de Cauchy. Dado que V es un oespacio completo (por ser de Banach), la sucesi´n (vn )n∈N es convergente y sea ovn → v, con v ∈ V tenemos: v − Tv ≤ v − vn + vn − T v = v − vn + T vn−1 − T v ≤ v − vn + M vn−1 − vTomando n → ∞ tenemos que: v − Tv = 0 ⇒ v = Tv 8
  13. 13. Esto demuestra la existencia de un punto fijo v ∈ V. Unicidad.Supongamos que tenemos T v1 = v1 y T v2 = v2 entonces: v1 − v2 = T v1 − T v2 ≤ M v1 − v2Entonces v1 − v2 = 0 ya que en otro caso se tendria que 1 ≤ M que es unacontradicci´n. oPor lo tanto v1 = v2 , el punto fijo es unico. ´Teorema 1.3.1 (Lax-Milgram). Sea (H, ·, · H ) un espacio Hilbert, dada una formaa : H ×H → Rbilineal coerciva y continua en H ×H y una funcional acotada f ∈ H ∗entonces existe un unico u ∈ H tal que: ∀v ∈H : a(u, v) = f (v)Demostraci´n. Para cualquier u ∈ H definimos la funcional Au ∈ H ∗ por ∀ v ∈ H : oAu(v) = a(u, v).Veamos que Au es lineal: Au(αv1 + βv2 ) = a(u, αv1 + βv2 ) = αa(u, v1 ) + βa(u, v2) = αAu(v1 ) + βAu(v2 ) ∀ v1 , v2 ∈ H; ∀ α, β ∈ RVeamos adem´s que Au es continua: a ∀v ∈ H : |Au(v)| = |a(u, v)| ≤ C u vDonde C es una constante por la definici´n de continuidad de a ·, · , por lo tanto otenemos que: |Au(v)| Au H ∗ = sup ≤C u <∞ v=0 vEsto muestra que Au ∈ H ∗ .Adem´s sabemos que: ∀ φ ∈ H ∗ por (1.2.1) ∃ξφ ∈ H unico, tal que a ´ φ(v) = ξφ , v ∀v ∈HLuego definimos ξ : H ∗ → H como: ∀ φ ∈ H ∗ : ξ(φ) = ξφ.Veamos que ξ es un operador lineal: ∀ L, T ∈ H ∗ : ξ(L+T ) = ξL+T 9
  14. 14. Sabemos que por la definici´n de ξ: ∀ v ∈ H o (L + T )(v) = ξL+T , v (L + T )(v) = ξL+T , v L(v) + T (v) = ξL+T , vPara L y T tambi´n existen ξL y ξT tales que: ∀ v ∈ H : L(v) = ξL , v y eT (v) = ξT , v .Entonces: ξL , v + ξT , v = ξL+T , v ξL + ξT , v = ξL+T , v (ξL + ξT − ξL+T ), v = 0Por lo tanto: ξL + ξT = ξL+T ; es decir: ξ(L) + ξ(T ) = ξ(L + T ) es Lineal.Por la unicidad de ξφ ∈ V se tiene que ξ es inyectiva.Adem´s el mismo teorema asegura que: φ H ∗ = ξφ H = ξ(φ) H . aAhora tomando ρ = 0, definimos T : H → H como: ∀v ∈H : T v = v − ρ(ξ(Av) − ξ(f ))Veamos que condiciones debe tener ρ para que T sea una contracci´n: oPara cualquier v1 , v2 ∈ H; sea v = v1 − v2 : 2 T v1 − T v2 = v1 − v2 − ρ(ξ(Av1 ) − ξ(Av2 )) 2 = v − ρ(ξ(Av)) 2 = v 2 − 2ρ (Av), v + ρ2 ξ(Av) 2 = v 2 − 2ρAv(v) + ρ2 Av(ξ(Av)) = v 2 − 2ρa(v, v) + ρ2 a(v, ξ(Av)) ≤ v 2 − 2ρα v 2 + ρ2 C v ξ(Av) ≤ (1 − 2ρα + ρ2 C 2 ) v 2 = (1 − 2ρα + ρ2 C 2 ) v1 − v2 2 = K 2 v1 − v2 2Entonces debemos tomar ρ de tal forma que: K < 1 es decir (1 − 2ρα + ρ2 C 2 ) < 1que es lo mismo que ρ(ρC 2 − 2α) < 0Entonces basta tomar ρ ∈ 0, 2α/C 2Con esta elecci´n de ρ se asegura que T es una contracci´n por lo tanto por el lema o o(...) aseguramos que T posee un unico punto fijo, es decir: ´Existe un unico u ∈ H tal que: T u = u. ´Entonces: u − ρ(ξ(Au) − ξ(f )) = u 10
  15. 15. Por lo tanto: ξ(Au) = ξ(f )Y por ser ξ inyectiva tenemos que: Au = F ⇒ Au(v) = f (v)Por lo tanto: Existe un unico u ∈ H tal que: ´ ∀v ∈H : a(u, v) = f (v)Con lo que el Teorema queda demostrado.Lema 1.3.2. Sea (H, ·, · )H un espacio Hilbert entonces (H × H, ·, · H2) es unespacio Hilbert.Donde ·, · H 2 = ·, · H + ·, · HDemostraci´n. Facilmente se prueba que dado (x, y) ∈ H × H se tiene: o 2 2 2 (x, y) H2 = x H + y HSea (xn , yn ) una sucesi´n de cauchy en H × H, dado ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que si o∀m, n ≥ n0 entonces (xn , yn ) − (xm , ym ) H 2 < ǫ 2 2 2 (xn , yn ) − (xm , ym ) H2 = xn − xm H + yn − ym H <ǫde esto se deduce que (xn ), (yn ) son sucesiones de cauchy en H al ser H un espaciocompleto se tiene que existe (x, y) ∈ H × H tal que xn → x, yn → yAfirmo que (xn , yn ) converge a (x, y) en efecto: ǫ ǫDado √2 > 0 existe n1 ∈ N tal que ∀n ≥ n1 implica que xn − x H < √2 ǫ ǫDado 2 > 0 existe n2 ∈ N tal que ∀n ≥ n2 implica que yn − y H < √2Sea n0 = m´x{n1 , n2 } entonces ∀n ≥ n0 se tiene a 2 2 2 (xn , yn ) − (x, y) H2 = xn − x H + yn − y H < ǫ2dado ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 implica que (xn , yn ) − (x, y) H 2 < ǫ(xn , yn ) una sucesi´n convergente en H × H, de aqui (H × H, ·, · H 2 ) es un espacio oHilbert. 11
  16. 16. 1.4. Propiedades del C´lculo a Se dar´ un breve pero conciso resumen sobre los principales resultados del c´lculo a avectorial.Sea Ω ⊆ R2 , definimos el siguinte campo vectorial u ∈ C 2 (Ω) donde: u:Ω → R2 u(x, y) = (u1 (x, y), u2(x, y)) Se define la divergencia de u como: ∂u1 ∂u2 div(u) = ∇ · u = + ∂x ∂ySe define laplaciano de u como: ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ∂ 2 u2 ∂ 2 u2 ∆(u) = ∇2 u = ( + , + ) ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2Dado una φ ∈ C 2 (Ω) un campo escalar definido como: φ:Ω → R φ(x, y) = φSe define el gradiente de φ como: ∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = ( , , ) ∂x ∂y ∂zSe define laplaciano de φ como: ∂2φ ∂2φ △φ = + 2 ∂x2 ∂y1.4.1. Identidades del C´culo a Se cumplen las siguientes identidades: ∇ · (u + v) = ∇ · u + ∇ · v ∇ · (uφ) = φ∇ · u + u · ∇φ ∇2 φ = ∇ · (∇φ)Teorema 1.4.1 (Identidades de Green.). Sea φ, ϕ ∈ C 2 (Ω) entonces se cumple: φ△ϕdx = φ(∇ϕ · η)dS − ∇φ · ∇ϕdx Ω ∂Ω Ω ∂ϕ ∂φ (φ△ϕ − ϕ△φ)dx = (φ − ϕ )dx Ω ∂Ω ∂η ∂η 12
  17. 17. Demostraci´n. La demostraci´n de ´ste teorema se encuentra en la referencia [6] o o eTeorema 1.4.2 (Teorema de la divergencia.). Sea u ∈ C 2 (Ω) un campo vectorialentonces se cumple: ∇ · udx = u · ηdS Ω ∂ΩDemostraci´n. La demostraci´n de ´ste teorema se encuentra en la referencia [6] o o e1.5. Espacios de Sobolev.1.5.1. El espacio L2 (Ω) Considerando a Ω ⊂ R2 un conjunto abierto.Definici´n 1.5.1 (Espacios L2 (Ω)). o L2 (Ω) := {[v]/v : Ω → R es una f uncion medible y |v(x)|2 dx < ∞} Ωdonde: [v] = {u : Ω → R/u(x) = v(x) excepto en un conjunto de medida nula}Observaci´n: oAsumiremos que v ∈ L2 (Ω) ≡ [v] ∈ L2 (Ω) 1Proposici´n 1.5.1. Para v o L2 (Ω) := ( Ω |v(x)|2 dx) 2 se cumple: 1. | Ω u(x)v(x)dx| ≤ u L2 (Ω) v L2 (Ω) (Desigualdad de Schwarz) 2. u + v L2 (Ω) ≤ u L2 (Ω) + v L2 (Ω) (Desigualdad Triangular) 3. (L2 (Ω), . L2 (Ω) ) es un espacio de Banach.Demostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia o o e o[2]Observaci´n oLa norma mencionada es inducida por el producto interno u, v L2 (Ω) = Ω u(x)v(x)asi L2 (Ω) es tambien un espacio de Hilbert. 13
  18. 18. 1.5.2. Espacio Sobolev de orden 1.Definici´n 1.5.2. Sea ϕ ∈ C ∞ (Ω) el soporte de ϕ esta definido por: o sop(ϕ) := {x ∈ Ω : ϕ(x) = 0}Definici´n 1.5.3. Se define por D(Ω) o C0 (Ω) al conjunto de funciones C ∞ (Ω) o ∞con soporte compacto en Ω. Dado f una funci´n localmente integrable,entonces f puede ser identificada con ola siguiente distribuci´n: o f, ϕ = f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω) Ω N N Sea α = (α1 , . . . , αN ) ∈ N donde |α| = αi i=1De aqui se define: α ∂u|α| ∂ u = α1 α ∂x1 . . . ∂xNNPara u ∈ D ∗ (Ω) se puede definir: ∂ α u ∈ D ∗ (Ω) como: ∂ α u, ϕ = (−1)|α| u, ∂ α ϕ ∀ϕ ∈ D(Ω)Observaci´n:Si u es α-diferenciable entonces ∂ α u coincide con la derivada usual.A opartir de aqui podemos definir lo siguiente:Definici´n 1.5.4. Se define al espacio Sobolev de orden 1 como: o H 1 (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : ∂ α v ∈ L2 (Ω) α ≤ 1} 1Definici´n 1.5.5. Definimos el conjunto H0 (Ω) como la cerradura de D(Ω) en o 1H (Ω), es decir: 1 H0 (Ω) = D(Ω) 1 Definimos la siguiente norma en H0 (Ω) de la siguiente forma: 1 u H1 =( |∂ α u(x)|2 dx) 2 |α|≤1 ΩObservaci´n oAsi definido se tiene que:(H 1 (Ω), · H 1 ) es un espacio banach. H0 (Ω) es un subes- 1pacio cerrado de H 1 (Ω), definido con las misma norma es tambi´n es un espacio de ebanach.Teorema 1.5.1 (Desiguadad de Poincar´). Sea Ω ⊂ R2 un conjunto abierto y eacotado. Entonces existe C = C(Ω) > 0 tal que ∂v 2 ∂v 2 v 2 (x)dx ≤ C {( ) +( ) }dx, 1 ∀v ∈ H0 (Ω) Ω Ω ∂x1 ∂x2Demostraci´n. La demostraci´n de ´ste teorema se encuentra en la referencia [7]. o o e 14
  19. 19. 1.5.3. Identidades de Green para espacios Sobolev.Definici´n 1.5.6. Se define el espacio de Sobolev de orden 2 como: o H 2 (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : ∂ α v ∈ L2 (Ω) α ≤ 2}Proposici´n 1.5.2. Sea u, v ∈ H 1 (Ω) donde u = u(x1 , x2 ) y v = v(x1 , x2 ) entonces o ∂u ∂v vdx = − u dx + uvηi dΓ ∀i = 1, 2 Ω ∂xi Ω ∂xi ∂ΩDemostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia o o e o[3]Proposici´n 1.5.3. Sea u ∈ H 2(Ω) y donde v ∈ H 1 (Ω) donde u = u(x1 , x2 ) y ov = v(x1 , x2 ) entonces ∂u − ∆uvdx = ∇u · ∇vdx − vdΓ ∀i = 1, 2 Ω Ω ∂Ω ∂ηDemostraci´n. La demostraci´n de ´sta proposici´n se encuentra en la referencia o o e o[3]. 15
  20. 20. Cap´ ıtulo 2Formulaci´n F´ o ısica-Matem´tica adel Problema de Brinkman. Consideremos un cuerpo poroso que ocupa un dominio bidimensional Ω ⊆ R2acotado y abierto con frontera continua Lipschitz ∂Ω, asumiendo que existe un fluidoviscoso incomprensible que pasa a trav´s del cuerpo poroso hom´geneo con permea- e obilidad k.Ahora sea el campo vectorial v en H 1 (Ω) × H 1 (Ω) y una funcion escalar pen L2 (Ω) definidos de la siguiente forma: v : Ω → R2 v(x, y) = (v1 (x, y), v2(x, y)). p:Ω→R p(x, y) = p(x, y).Siendo estos el vector velocidad y la funci´n escalar presi´n respectivamente. o oAhora consideremos la ecuaci´n brinkman y la ecuaci´n de continuidad asociadas a o oeste fluido: µef −∇p + µef f ∇2 v − v = 0, en Ω (2.1) k ∇.v = 0 en Ω (2.2)Con una condici´n de contorno de la siguiente forma: o v = g, en ∂Ω (2.3)Siendo g ∈ C 2 (Ω) con ∇ · g = 0. en x ∈ Ω 16
  21. 21. 2.1. Adimensionalizaci´n de las ecuaciones de con- o servaci´n. o Sea R0 la longitud caracteristica de la regi´n Ω y u∞ la magnitud de la velocidad ocaracteristica,introducimos las cantidades adimensionales de la siguiente forma: → −∗ ∗ p∗ − = x ,v = v ,p = → x . µef . R0 u ∞ µef u ∞ /R µ 0 ef fDe (2.1) reemplazando sus valores dimensionales se obtiene lo siguiente ecuaci´n oadimenisional: 1 µef f µef u∞ µef f ∞ 2 u∞ µef − .( ). ∇p + 2 u ∇ v − v=0 R0 µef R0 R0 R0Simplificando y factorizando se obtiene las siguiente ecuaci´n: o −∇p + ∇2 v − χ2 v = 0, en Ω (2.4) R µefDonde: χ = √0 k µef f .de manera similar para (2.2) se prueba que su forma adimensional coincide con suforma dimensional.De aqui reformulamos nuestro problema de la siguiente forma: ∇.v = 0, en Ω (2.5) ∇p + (−∇2 + χ2 )v = 0, en Ω (2.6)Para la condici´n de frontera de similar forma se prueba que: o v = g0 , en ∂Ω (2.7)donde g0 (x, y) es la forma adimensional de g. Observar que estas ecuaciones son lasadimensionales a pesar que la primera ecuaci´n se ve exactamente igual a la ecuaci´n o odimensional,adema´ de ello: s ∂g(xR0 , yR0 ) ∂g(xR0 , yR0 ) 1 ∇ · g(− , →) = → − x y + =0= ∇ · g0 ∂xR0 ∂yR0 R0de aqui se deduce que: ∇ · g0 = 0.2.2. Modificaci´n de la ecuaci´n adimensional de o o Brinkman. Dado el anterior sistema consideremos el siguiente cambio de variable: u(x, y) = v(x, y) − g0 (x, y) ; x ∈ Ω 17
  22. 22. Vamos redefinir el sistema en funci´n a este cambio de variable: o ∇p + (−∇2 + χ2 )(u + g0 ) = 0, en Ω ∇p − ∇2 u + χ2 u − ∇2 g0 + χ2 g0 = 0, en Ωobservar que: ∇2 g0 = 0. ya que: ∇ · g0 = 0. (2.8)derivando respecto de x a (2.8) y luego respecto de y a (2.8) sumas las ecuaciones yse obtiene lo pedido.reemplazando ∇2 g0 = 0. se obtiene: ∇p − ∇2 u + χ2 u = −χ2 g0 , en Ω (2.9)Luego, considerando (2.8) se obtiene: ∇ · u = ∇ · (v − g0 ) = −∇ · g0 = 0. x ∈ Ω (2.10) ∇ · u = 0, x ∈ Ω. (2.11)El sistema conformado por las ecuaciones (2.9) y (2.11) se le denominar´ ecuaciones ade Brinkman-Stokes, la misma que est´ asociada la condici´n de contorno del tipo a oDirichlet hom´genea, o u = 0, x ∈ ∂Ω (2.12)conformar´ el problema en estudio de este trabajo. a2.3. Formulaci´n Variacional del Problema de Brinkman- o Stokes(PVBS). Comenzaremos hallando la formulaci´n variacional de (2.9) tomando producto o 1 1escalar a cada lado de la igualdad con una funci´n ϕ ∈ H0 (Ω) × H0 (Ω): o ∇p.ϕ − ∇2 u.ϕ + χ2 u.ϕ = −χ2 g0 · ϕintegrando sobre Ω se tiene: ∇p.ϕdx − ∇2 u.ϕdx + χ2 u.ϕdx = − χ2 g0 .ϕdx. (2.13) Ω Ω Ω ΩVeamos para ∇2 u = (∇2 u1 , ∇2 u2 ) y denotando ϕ(x, y) = (ϕ1 (x, y), ϕ2(x, y))entonces ∇2 u.ϕ = ∇2 u1 .ϕ1 + ∇2 u2 .ϕ2 .Se sabe que ∇.((∇ui )ϕi ) = ∇ϕi .∇ui + ϕi ∇.(∇ui ), para i=1,2 = ∇ϕi .∇ui + ϕi ∇2 ui , para i=1,2 18
  23. 23. ϕi ∇2 ui dx = ∇.((∇ui )ϕi )dx − ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2 Ω Ω ΩPero por el teorema de Green se sabe: ∇.((∇ui )ϕi )dx = (ϕi ∇ui ).ˆd(Γ), para i=1,2 η Ω ∂Ωsiendo η un vector normal unitario a la regi´n Ω entonces reemplazando en lo anterior ˆ ose tiene: ϕi ∇2 ui dx = (ϕi ∇ui ).ˆd(Γ) − η ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2 Ω ∂Ω ΩDe aqui se obtiene: ∂ui ϕi ∇2 ui dx = ϕi d(Γ) − ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2 (2.14) Ω ∂Ω ∂η ΩSe tiene que u = 0 en ∂Ω entonces (2.14) se reduce a la siguiente expresi´n: o ϕi ∇2 ui dx = − ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2 (2.15) Ω ΩDe (2.15) sumando los casos (i=1)+(i=2) usaremos la siguiente notaci´n: o ∇ϕ·∇u = ∇ϕ1 · ∇u1 + ∇ϕ2 · ∇u2 ϕ.∇2 udx = − ∇ϕ·∇udx. (2.16) Ω ΩAhora trabajemos con la presi´n:Del c´lculo vectorial se tiene: o a ∇.(pϕ) = ∇p.ϕ + p∇.ϕ − ∇p.ϕ = p∇.ϕ − ∇.(pϕ) Ω Ω ΩRealizando el mismo procedimiento anterior se obtiene: − ∇p.ϕ = p∇.ϕ − pϕ.ηdΓ. Ω Ω ∂Ω 1Como ϕ ∈ H0 (Ω) entonces la expresi´n anterior se reduce: o − ∇p.ϕ = p∇.ϕ (2.17) Ω ΩDe (2.16) y (2.17) en (2.13) se tiene: − p∇.ϕdx + ∇ϕ·∇udx + χ2 uϕdx = 0, ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2 1 (2.18) Ω Ω Ω 19
  24. 24. Se define : a : (H0 (Ω))2 × (H0 (Ω))2 → 1 1 R a(u, v) = Ω ∇v·∇udx + χ2 Ω u · vdx l : {ϕ ∈ [H0 (Ω)]2 /∇.ϕ = 0} → 1 R l(ϕ) = − Ω χ2 g0 .ϕdx. L2 (Ω) = {q ∈ L2 (Ω)/ 0 Ω qdx = 0} b : (H0 (Ω))2 × (L2 (Ω)) → 1 0 R b(u, q) = − Ω q∇.udxDe (2.5) resolver la ecuaci´n de Brinkman se reformula en: o  1  encontrar u ∈ (H0 (Ω))2 , p ∈ L2 (Ω) : 0 (F V ) a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2 1  b(u, q) = 0, ∀q ∈ L2 (Ω) 0A este nuevo sistema (FV) se llama la formulaci´n d´bil o variacional de la ecuaci´n o e oadimensional de Brinkman,la cual probaremos que admite soluci´n y adem´s es o aunica para ello utilizaremos resultados importantes del an´lisis funcional.´ a 20
  25. 25. Cap´ ıtulo 3Existencia y Unicidad de laSoluci´n del Problema de oBrinkman. En secci´n se probara que el sistema (FV) admite soluci´n y adem´s que esta o o asoluci´n es unica tambi´n probaremos que dado la soluci´n de (FV) est´ es solu- o ´ e o aci´n del sistema de ecuaciones que involucra a (2.5) y (2.6).Antes de ello algunos oresultados importantes del an´lisis funcional. a3.1. Estudio de la Existencia y Unicidad de la so- luci´n del PVBS. o Recordemos como estaba definido (FV): encontrar v ∈ (H0 (Ω))2 , p ∈ L2 (Ω) : 1 0 a(v, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2 1 b(v, q) = 0, ∀q ∈ L2 (Ω) 0Se define V = {v ∈ [H0 (Ω)]2 /∇.v = 0}, definido con el siguiente producto interno: 1 1 2Siendo u, v ∈ [H0 (Ω)] , con u = (u1 , u2 ); v = (v1 , v2 ) u, v V = ∂ α u1(x).∂ α v1 (x)dx + ∂ α u2 (x).∂ α v2 (x)dx |α|≤1 Ω |α|≤1 ΩDado que H0 (Ω) es un subespacio cerrado de H 1 (Ω) respecto al producto interno 1 ·, · V y al ser H 1 (Ω) un espacio de Hilbert entonces H0 (Ω) es un espacio Hilbert.De 1aqui en virtud del lema (1.3.2) se tiene que [H0 (Ω)]2 es un espacio Hilbert y dado 1 1 2que V es un subespacio cerrado de [H0 (Ω)] esto es por [3] entonces (V, ·, · V ) esun espacio Hilbert.dado ese producto interno induce una norma de la siguiente manera: ∂u1 2 ∂u1 2 ∂u2 2 ∂u2 2 u 2 = ( V ) dx + ( ) dx + ( ) dx + ( ) dx Ω ∂x Ω ∂y Ω ∂x Ω ∂y 21
  26. 26. de aqui claramente: 2 ∂u1 2 ∂u2 2 ∂u1 2 ∂u2 2 u V = L2 (Ω) + L2 (Ω) + L2 (Ω) + L2 (Ω) . (3.1) ∂x ∂y ∂y ∂xPara fijar ideas probaremos que a(·, ·) es una forma bilineal coerciva y continua yutilizaremos 1.3.1 para hallar nuestro candidato a soluci´n v y utilizando un lema oadicional probaremos la existencia y unicidad de p.Teorema 3.1.1. Sea (V, ·, · V ) es un espacio Hilbert,definido a : V 2 × V 2 → Rcomo: a(u, v) = ∇v·∇udx + χ2 u.vdx Ω Ωentonces a(·, ·) es una forma bilineal continua coerciva en V.Demostraci´n. Sea u, v ∈ V con u = (u1 (x, y), u2(x, y)), v = (v1 (x, y), v2(x, y)) Para oempezar demostraremos que:a(·, ·) es una forma bilineal. Solo demostraremos la linealidad en una componentepara demostrar en la otra es un proceso completamente an´logo. aSea α ∈ R y w ∈ V con w = (w1 (x, y), w2(x, y)) entonces:a(αu + v, w) = χ2 (αu + v) · wdx + ∇(αu + v)·∇wdx Ω Ω = αχ2 u · wdx + χ2 v · wdx Ω Ω + {∇(αu1 + v1 ) · ∇w1 + ∇(αu2 + v2 ) · ∇w2 }dx Ω = αχ2 u · wdx + χ2 v · wdx Ω Ω + {α∇u1 · ∇w1 + ∇v1 · ∇w1 + α∇u2 · ∇w2 + ∇v2 · ∇w2 }dx Ω = α{χ2 u · wdx + ∇u·∇wdx} + {χ2 v · wdx + ∇v·∇wdx} Ω Ω Ω Ω = αa(u, w) + a(v, w)Con esto se probo la linealidad de la primera componente.a(·, ·) es continua en V. |a(u, v)| = |χ2 u · vdx + ∇u·∇vdx| ≤ χ2 |u · v|dx + |∇u·∇v|dx Ω Ω Ω Ω = χ2 |u1 v1 + u2v2 |dx + |∇u1 · ∇v1 + ∇u2 · ∇v2 |dx Ω Ω ∂u1 ∂v1 ∂u1 ∂v1 ∂u2 ∂v2 ∂u2 ∂v2≤ χ2 { |u1 v1 |dx + |u2 v2 |dx} + | + + + |dx Ω Ω Ω ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y 22
  27. 27. Ahora aplicando la desigualdad de chauchy-schwarz se tiene: ∂ui ∂vi ∂ui ∂vi |ui vi |dx ≤ ui L2 (Ω) vi L2 (Ω) ; | |dx ≤ L2 (Ω) L2 (Ω) Ω Ω ∂xj ∂xj ∂xj ∂xjsiendo x1 = x; x2 = y. verificandose para i, j = 1, 2;entonces aplicando estas de-sigualdades a la inecuaci´n anterior se tiene: o ∂u1 ∂v1 |a(u, v)| ≤ χ2 ( u1 L2 (Ω) v1 L2 (Ω) + u2 L2 (Ω) v2 L2 (Ω) ) +( L2 (Ω) L2 (Ω) ∂x ∂x ∂u1 ∂v1 ∂u2 ∂v2 ∂u2 ∂v2 + L2 (Ω) L2 (Ω) + L2 (Ω) L2 (Ω) + L2 (Ω) L2 (Ω) ) (3.2) ∂x2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂yDe (3.1) se tiene lo siguiente: ∂ui ∂vi ∂ui ∂vi L2 (Ω) ≤ u V; L2 (Ω) ≤ v V de aqu´ ı L2 (Ω) L2 (Ω) ≤ u V v V ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj (3.3)para i, j =, 2 Adem´s de la desigualdad de Poincar´ se tiene: a e 2 ∂ui 2 ∂ui 2 ui L2 (Ω) = u2 dx ≤ C i {( ) +( ) }dx (3.4) Ω Ω ∂x ∂yde (3.4) se deduce: 2 ∂ui 2 ∂ui 2 2 ui L2 (Ω) ≤ C( L2 (Ω) + L2 (Ω) ) ≤C u V (3.5) ∂x ∂y,Ahora aplicando (3.3) y (3.5) a (3.2) se tiene:|a(u, v)| ≤ χ2 (C u V v V +C u V v V )+( u V v V+ u V v V+ u V v V+ u V v V ) |a(u, v)| ≤ (2χ2 C + 4) u V v VCon esto queda probado que a(·, ·) es continua en V.a(·, ·) es coerciva en V.se tiene: a(u, u) = χ2 u · u + ∇u·∇u Ω Ω a(u, u) = χ2 u·u+ ∇u1 · ∇u1 + ∇u2 · ∇u2 = χ2 u·u+ u 2 V Ω Ω Ω Ω 2Pero como χ Ω u · u ≥ 0 se tiene: 2 a(u, u) ≥ u VCon esto queda probado que a(·, ·) es coerciva en V.Con esto queda probado el teorema. 23
  28. 28. Teorema 3.1.2. dado l ∈ V ∗ definido como: l(ϕ) = − χ2 g0 .ϕdx. Ωentonces l es lineal acotada. 1 2 i 1Demostraci´n. Sea g0 (x, y) = (g0 (x, y), g0 (x, y)) siendo g0 (x, y) ∈ H0 (Ω) con i = 1, 2 oentonces se tiene:|l(ϕ)| = | − χ2 g0 .ϕdx.| = χ2 | (g0 ϕ1 + g0 ϕ2 )dx| ≤ χ2 (| 1 2 1 g0 ϕ1 dx| + | 2 g0 ϕ2 dx|) Ω Ω Ω ΩPor la desigualdad de cauchy-schwarz y luego aplicando la 3.5 se tiene: √ ≤ χ2 (|g0 |L2 (Ω) |ϕ1 |L2 (Ω) + |g0 |L2 (Ω) |ϕ2 |L2 (Ω) ) ≤ χ2 C(|g0 |L2 (Ω) |ϕ|V + |g0 |L2 (Ω) |ϕ|V ) 1 2 1 2Denotando como: √ M = χ2 C(|g0 |L2 (Ω) + |g0 |L2 (Ω) ) < ∞ 1 2De esto se obtiene l(ϕ) ≤ M|ϕ|V por lo tanto l es lineal acotado. Dado el espacio (V, ·, · V ) Hilbert (3.1.1) nos garantiza que a(·, ·) es una for-ma bilineal continua y coerciva y dado l ∈ V ∗ dado (3.1.2 nos garantiza que ellineal)acotada entonces por (1.3.1) nos garantiza que ∃!u ∈ V tal que: ∀ϕ ∈ V : a(u, ϕ) = l(ϕ). (3.6)Ahora veamos el siguiente lema:Lema 3.1.1. ([3]) Sea Ω ⊂ R2 un conjunto abierto acotado con frontera continuaLipschitz, y sea L ∈ ([H0 (Ω)]2 )∗ con L(v) = 0, ∀v ∈ V entonces existe una unica 1 ´ 2funci´n p ∈ L0 (Ω) tal que o L(ϕ) = p ∇.ϕdx, ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2 . 1 ΩProposici´n 3.1.1. Asumiendo que: L : [H0 (Ω)]2 → R, y L(ϕ) = a(u, ϕ) − l(ϕ) o 1donde u es definido por (3.6), entonces existe un unico par (u, p) ∈ [H0 (Ω)]2 ×L2 (Ω) ´ 1 0que es soluci´n del sistema del sistema (FV.) oDemostraci´n. A partir de su definici´n se observa que L es lineal y continua en o o[H0 (Ω)]2 ,adem´s L se anula en el espacio en V en virtud de (3.6) entonces 3.1.1 nos 1 agarantiza que ∃!p ∈ L2 (Ω) tal que: 0 L(ϕ) = p ∇.ϕdx, ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2 1 Ω 24
  29. 29. de aqui reemplazando se tiene: L(ϕ) = a(u, ϕ) − l(ϕ) = p ∇.ϕdx = −b(ϕ, p), ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2 1 Ω a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2 1Ahora como v ∈ V por su definici´n de V se tiene: ∇.u = 0 entonces: o b(u, q) = q∇.u = 0; ∀q ∈ L2 (Ω) 0 ΩHemos probado que dado el sistema (FV) existe un unico para (u, p) ∈ [H0 (Ω)]2 × ´ 1L2 (Ω) que es soluci´n de ese sistema. 0 o3.2. Existencia y Unicidad de la soluci´n del Pro- o blema de Brinkman. En la secci´n anterior hemos demostrado que dada la formulaci´n d´bil de la o o eecuaci´n adimensional de Brinkman hemos probado que admite un unico par (v, p) ∈ o ´[H0 (Ω)]2 × L2 (Ω) que es soluci´n de (FV).Ahora probaremos que ese mismo par es 1 0 osoluci´n de la ecuaci´n Brinkman-Stokes. o oSea (u, p) ∈ [H0 (Ω)]2 × L2 (Ω) la soluci´n del sistema (FV): 1 0 o a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2 1 (F V ) b(u, q) = 0, ∀q ∈ L2 (Ω) 0Llamemos al siguiente problema (FC):   ∇.u(x) = 0, x∈Ω 2 2 2 (F C) ∇p − ∇ u + χ u = −χ g0 , x ∈ Ω  u=0 x ∈ ∂Ω 1Dado que u ∈ V se tiene u ∈ H0 (Ω) de aqui se deduce que u = 0, x ∈ ∂Ωcon∇.u = 0 entonces se deduce la primera y tercera ecuaci´n del sistema (FC). Para odeducir la segunda se obtiene de lo siguiente: ∇ · ((∇ui )ϕi ) = ∇ · (∇ui )ϕi + ∇ϕi · ∇ui = ∇2 ui .ϕi + ∇ϕi · ∇ui (3.7)Primero se tiene que: ∇ · ((∇ui )ϕi )dx = (∇ui )ϕi dΓ = 0. Ω ∂Ωintegrando 3.7 sobre el abierto Ω se tiene: ∇ · ((∇ui )ϕi )dx = ∇2 ui .ϕi dx + ∇ϕi · ∇ui dx = 0 Ω Ω Ω 25
  30. 30. de esto se deduce facilmente: − ∇2 u.ϕdx = ∇ϕ·∇udx = 0 Ω ΩAdem´s de ello de (2.17) se tiene: a − ∇p.ϕdx = p∇.ϕdx Ω Ωreemplazando estos en (FV) se tiene: − ∇2 u · ϕdx + χ2 u · ϕdx + ∇p.ϕdx = − χ2 g0 · ϕdx Ω Ω Ω Ω (−∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 ) · ϕdx = 0, ϕ ∈ [H0 (Ω)]2 1 (3.8) ΩAhora probaremos que −∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 ∈ [H0 (Ω)]2 en efecto: 1 2 2 2 1 2claramente se tiene:∇ u, χ u, ∇p + χ g0 ∈ [H (Ω)] :Solo falta mostrar que: ∇2 u(x) = 0, χ2 u(x) = 0, ∇p(x) = 0, χ2 g0 (x) = 0, cuando x ∈ ∂ΩProbar que:∇2 u(x) = χ2 u(x) = 0 es claro ya que u=0, x ∈ ∂Ω;Observaci´n:Se tiene que ∇p + χ2 g0 ∈ [H0 (Ω)]2 esto por [3]. o 1Dado que [H0 (Ω)]2 es un espacio Hilbert ´ste posee estructura de espacio vecto- 1 erial entonces −∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 ∈ [H0 (Ω)]2 a partir de esto evaluando 1ϕ = −∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 en (3.8) se tiene: −∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 = 0, x∈Ω 2y con esto (u, p) ∈ V × L0 (Ω) es soluci´n de las ecuaciones Brinkman-Stokes. oComo garantizamos la existencia y unicidad de ese u(x, y) entonces v(x, y) = u(x, y)+g0 (x, y) claramente esta representaci´n existe y es unica de aqui (v, p) ∈ ([H 1 (Ω)]2 × o ´L2 (Ω)) es soluci´n unica de la ecuaci´n adimensional de Brinkman y por tanto a 0 o ´ opartir de las variables adimensionales regresando a las variables dimensionales seobtendra soluci´n (v, p) dimensional que es soluci´n del sistema formado por las o oecuaciones (2.1),(2.2) y (2.3).A partir de aqu´ hemos probado que el problema de Brinkman admite soluci´n unica ı o ´bajo una condici´n Dirichlet no hom´genea lo cual era nuestro objetivo inicial. o o 26
  31. 31. Conclusiones. Del siguiente trabajo podemos concluir lo siguiente: El proceso de adimiensionalizaci´n es una herramienta muy importante ya o que al momento de reemplazar por su equivalente adimensional te permite simplificar t´rminos en la EDP lo cual reduce mucho el c´lculo. e a La formulaci´n variacional del problema es muy importante ya que te permite o ver desde otro punto de vista el problema,para este caso con herramientas del an´lisis funcional se prob´ su existencia y unicidad. a o Se observa tambi´n que el subespacio de sobolev tomados para resolver pro- e blemas en su forma variacional dependen mucho de las condiciones de frontera y la forma de su forma formulaci´n d´bil de ahi viene el principal problema o e de que forma puedo tomar mi espacio de tal manera de encontrar soluci´n a o la formulaci´n variacional. o Lo importante de este trabajo es que nos permite ver en su desarrollo , que su formulaci´n variacional nos deja impl´ o ıcito la forma de hallar su aproximaci´n o num´rica y este se resolver´ utilizando el m´todo de Galerkin para elementos e a e finitos mixtos lo cual se realizar´ en un pr´ximo trabajo. a o 27
  32. 32. Bibliograf´ ıa[1] Brenner S., Scott R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods 2002[2] Brezis H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equa- tions 2010[3] Girault R., Raviart P. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations 1986[4] Quarteroni A., Valli A. Numerical Aproximation of Partial Differential Equa- tions 2007[5] Raviart P., Thomas J. Introduction ` l’analyse num´rique des ´quations aux a e e d´riv´es partielles 1983 e e[6] Murray R . Spiegel, Analisis vectorial. McGraw-Hill.[7] Rynne B., Youngson M. Linear Functinal Analysis.[8] Mantilla I., Soto J. Estudio Anal´ ıtico de la Ecuaci´n de D-L-Brinkman 2012 o 28

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