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2020
Para desarrollar las actividades necesitamos conocer los siguientes conceptos:
EXCENTRICIDAD:
El concepto de excentricidad es usado para describir la forma de la curva, haciendo
una
relación de cociente entre la longitud del foco y la longitud del eje mayor. Esto nos
permite
determinar si la elipse es aplanada o abombada.
La excentricidad se define con la siguiente ecuación
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
𝑎2 − 𝑏2
𝑎
La Hipérbola
Pertenece a la familia de las cónicas. La
hipérbola se obtiene cuando el plano de
corte se hace vertical por las
esquinas de los conos invertidos.
La Hipérbola es un conjunto de puntos en
el plano (x, y) cuya diferencia a dos puntos
fijos llamados focos es constante
Rondón, J. (2017). Ilustración una hipérbola. [ilustración
]. Recuperado de Algebra, Trigonometría y Geometría
Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a
Distancia
Los parámetros de la Hipérbola son:
Centro: C (h, k). Equidistante a los vértices
Vértices V y V’ Donde las curvas se dividen en dos partes iguales.
Focos: F y F’: Los puntos fijos.
Eje Transverso: Una recta que pa
ra por los vértices y por los focos.
Eje Conjugado: En una recta perpendicular al eje transverso y para por el centro.
Asíntotas: Dos rectas que paran por el centro delimitan las curvas de la hipérbola.
Ecuación Canónica: (Eje transverso horizontal)Toda hipérbola con eje transverso paralelo al eje de las
abscisas y centro en el origen de coordenadas, tiene como ecuación:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
La Elipse
La elipse también hace parte de la
familia de las cónicas.
Hemos escuchado sobre el movimiento
elíptico, de la tierra,
del electrón y de otros fenómenos, p
ero la pregunta sería
¿Cómo es la descripción matemática de
esta figura geométrica?
La elipse es una curva ovalada, que se
asemeja a una
circunferencia alargada, se obtiene
cuando el plano corta el
cono de manera sesgada.
Rondón, J. (2017). Ilustración una elipse. [ilustración].
Recuperado de Algebra, Trigonometría y Geometría
Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a
Distancia
Los parámetros de la elipse son:
Centro: C (h, k)
Vértices mayores: V y V’
Vértices menores: u y u’
Focos: f y f’
Eje mayor: 2a (Distancia V V ‘)
Eje menor: 2b (Distancia u u ‘)
Por definición: 2a > 2b
Ecuación Canónica: (Con eje mayor en x)
La ecuación canónica de la elipse con centro en C(0, 0) y eje mayor sobre la
coordenada x es de la forma:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
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Unidad 3 paso 4 trabajo colaborativo. (1)

  • 1. UNIDAD 3 – PASO 4 presentado por: Katherine rojas cortes Isaura Paola Salazar Vargas Jose Mario Labio Caldon andry maryerly anacona lopez curso 551108_16 Universidad abierta y a distancia UNAD 2020
  • 2. Para desarrollar las actividades necesitamos conocer los siguientes conceptos: EXCENTRICIDAD: El concepto de excentricidad es usado para describir la forma de la curva, haciendo una relación de cociente entre la longitud del foco y la longitud del eje mayor. Esto nos permite determinar si la elipse es aplanada o abombada. La excentricidad se define con la siguiente ecuación 𝑒 = 𝑐 𝑎 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑎
  • 3. La Hipérbola Pertenece a la familia de las cónicas. La hipérbola se obtiene cuando el plano de corte se hace vertical por las esquinas de los conos invertidos. La Hipérbola es un conjunto de puntos en el plano (x, y) cuya diferencia a dos puntos fijos llamados focos es constante Rondón, J. (2017). Ilustración una hipérbola. [ilustración ]. Recuperado de Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia
  • 4. Los parámetros de la Hipérbola son: Centro: C (h, k). Equidistante a los vértices Vértices V y V’ Donde las curvas se dividen en dos partes iguales. Focos: F y F’: Los puntos fijos. Eje Transverso: Una recta que pa ra por los vértices y por los focos. Eje Conjugado: En una recta perpendicular al eje transverso y para por el centro. Asíntotas: Dos rectas que paran por el centro delimitan las curvas de la hipérbola. Ecuación Canónica: (Eje transverso horizontal)Toda hipérbola con eje transverso paralelo al eje de las abscisas y centro en el origen de coordenadas, tiene como ecuación: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1
  • 5. La Elipse La elipse también hace parte de la familia de las cónicas. Hemos escuchado sobre el movimiento elíptico, de la tierra, del electrón y de otros fenómenos, p ero la pregunta sería ¿Cómo es la descripción matemática de esta figura geométrica? La elipse es una curva ovalada, que se asemeja a una circunferencia alargada, se obtiene cuando el plano corta el cono de manera sesgada. Rondón, J. (2017). Ilustración una elipse. [ilustración]. Recuperado de Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia
  • 6. Los parámetros de la elipse son: Centro: C (h, k) Vértices mayores: V y V’ Vértices menores: u y u’ Focos: f y f’ Eje mayor: 2a (Distancia V V ‘) Eje menor: 2b (Distancia u u ‘) Por definición: 2a > 2b Ecuación Canónica: (Con eje mayor en x) La ecuación canónica de la elipse con centro en C(0, 0) y eje mayor sobre la coordenada x es de la forma: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1
  • 7. Tarea 1: Dadas las siguientes hipérbolas y elipses dar, en cada caso, las coordenadas del centro, de los vértices, los focos, la excentricidad y la gráfica. (Comprobar con GeoGebra) A.) (𝒙−𝟔) 𝟐 𝟐𝟓 − 𝒚+𝟐 𝟐 𝟒 = 𝟏 Centro: Remplazamos los valores de h y k (H, K)= (6, -2) Hallamos los parámetros de la hipérbola, teniendo en cuenta que a y b son la raíz cuadrada de los denominadores de la ecuación. 𝑎 = 5 𝑏 = 2 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑐2 = 25 + 4 𝑐2 = 29 𝑐 = 29
  • 8. Ahora buscamos los vértices, remplazando en las formulas: 𝑉1 = 𝐻 − 𝑎, 𝐾 = 6 − 5, −2 = (1, −2) 𝑉2 = 𝐻 + 𝑎, 𝐾 = 6 + 5, −2 = (11, −2) Ahora hallamos los focos, remplazando en las formulas: 𝐹1 = 𝐻 − 𝑐, 𝐾 = 6 − 29, −2 𝐹2 = 𝐻 + 𝑐, 𝐾 = 6 + 29, −2 Ahora encontramos la excentricidad remplazando a la formula. 𝑒 = 𝑐 𝑎 = 29 5
  • 9. Tarea 2: En el siguiente problema debe completar cuadrados para obtener la cónica en la forma canónica (comprobar con GeoGebra) B). 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟔𝒚 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑦 + 2𝑦 − 15 = 0 𝑥2 + 8𝑦 + 𝑦2 − 15 = 0 𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑦 = 15 Para completar cuadrados con respecto a y agregamos 16 a ambos lados de la igualdad 𝑥2 + (𝑦2 +8𝑦 + 16) = 15 + 16 Resolviendo esto nos queda 𝑥2 + (𝑦 + 4)2 = 15 + 16 𝑥2 + (𝑦 + 4)2 = 31
  • 10. Ahora utilizamos la ecuación del círculo con radio r y centro (a, b), (𝑥 + 𝑎)2 +(𝑦 + 𝑏)2 = 𝑟2 Remplazamos estos valores (𝑥 + 0)2 +(𝑦 + 4)2 = 31 Por lo tanto las propiedades del circulo son (a,b)=(0,4),r= 31
  • 11. Tarea 3: Encontrar la ecuación canónica de una elipse cuyos vértices son respectivamente: D) 𝑣1 = (0; 10), 𝑣2 = (−5; 0), 𝑣3 = (0; −10), 𝑣4 = (5; 0) 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 C(0,0) a>b entonces a=10 y b=5 Luego : 𝑥2 52 + 𝑦2 102 = 1 Primero graficamos la elipse dados los vértices ,luego miramos cual es el eje mayor y hacemos la sustitución correspondiente.
  • 12. Tarea 4: Encontrar la ecuación canónica de una elipse cuyos vértices son respectivamente: (4, 6) B (-1, 4) y C(2, -2) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 A (4, 6) 42 + 62 + 𝐴4 + 𝐵6 + 𝐶 = 0 4𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = −52 B (-1, 4) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (−1)2+42 + 𝐴(−1) + 𝐵(4) + 𝐶 = 0 −𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = −17 C(2, -2) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (2)2 +(−2)2 +𝐴(2) + 𝐵(−2) + 𝐶 = 0 2𝐴 − 𝐵𝐵 + 𝐶 = −8 (a)4𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = −52 (b)−𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = −17 (𝑐)2𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −8 Paso 1: con la ecuación general de la circunferencia hacemos la sustituciones de los puntos Eliminamos c de las ecuaciones a y obtenemos 5𝐴 + 2𝐵 = −35 Eliminamos c de las ecuaciones a y c, simplificamos. Obtenemos 𝐴 + 4𝐵 = −22 Con estas ultimas dos ecuaciones realizamos otra eliminación (−2)5𝐴 + 2𝐵 = −35 𝐴 + 4𝐵 = −22 Obtenemos 𝐴 = −5.3 Sustituimos en la una de las anteriores −5.3 + 4𝐵 = −22 𝐵 = −4.2 Con estos valores nos devolvemos a una de las primeras ecuaciones obtenidas y sustituimos 2𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −8 𝑐 = −5.8 Ahora hacemos la sustitución en la ecuación general 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑥2 + 𝑦2 − 5.3𝑥 − 4.2𝑦 − 5.8 = 0 Completamos cuadrados (𝑥 − 2.6)2 +(𝑦 − 2.1)2 = (3.8)2 Luego el centro es 𝑐 ℎ, 𝑘 = (2.6,2.1) Completamos cuadrados y hallamos el centro Paso2:Usamos el método de eliminación para hallar las variables