O documento apresenta informações sobre a produção de guarda-roupas e uso de fechaduras em uma fábrica durante o mês de outubro de 2005. As tabelas 1 e 2 mostram respectivamente a produção de guarda-roupas por modelo e madeira e a quantidade de fechaduras usadas em cada tipo de armário. A questão pede a quantidade total de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte no período, que de acordo com a tabela 2 foi de 192.

1. Prof.: Jorge Marcio1
MATRIZES
Prof.: Jorge MarcioProf.: Jorge Marcio

2. Prof.: Jorge Marcio2
Representação de uma MatrizRepresentação de uma Matriz
Matrizes especiaisMatrizes especiais
Igualdade de MatrizesIgualdade de Matrizes
Adição e SubtraçãoAdição e Subtração
Multiplicação de um número real por uma MatrizMultiplicação de um número real por uma Matriz
Multiplicação de MatrizesMultiplicação de Matrizes
Matriz InversaMatriz Inversa
MATRIZES

3. Prof.: Jorge Marcio3
Quando abrimos jornais e revistas,
encontramos com
frequência informações numéricas
organizadas na forma
de tabelas com linhas e colunas. Em
matemática essas
tabelas são chamadas de matrizes.
Vejamos um exemplo clássico de matriz que
usamos constantemente.
MATRIZES

4. Prof.: Jorge Marcio4
Colocação Time PG J V E D GP GC SG %
1º São Paulo 77 38 23 8 7 55 19 36 68%
2º Santos 62 38 19 5 14 57 47 10 54%
3º Flamengo 61 38 17 10 11 55 49 6 54%
Fluminense 61 38 16 13 9 57 39 18 54%
5º Cruzeiro 60 38 18 6 14 73 58 15 53%
6º Grêmio 58 38 17 7 14 44 43 1 51%
Palmeiras 58 38 16 10 12 48 47 1 51%
8º Atlético-MG 55 38 15 10 13 63 51 12 48%
Botafogo 55 38 14 13 11 62 58 4 48%
10º Vasco 54 38 15 9 14 58 47 11 47%
Internacional 54 38 15 9 14 49 44 5 47%
Atlético-PR 54 38 14 12 12 51 50 1 47%
13º Figueirense 53 38 14 11 13 57 56 1 46%
14º Sport 51 38 14 9 15 54 55 -1 45%
15º Náutico 49 38 14 7 17 66 63 3 43%
16º Goiás 45 38 13 6 19 49 62 -13 39%
17º Corinthians 44 38 10 14 14 40 50 -10 39%
18º Juventude 41 38 11 8 19 43 65 -22 36%
Paraná 41 38 11 8 19 42 64 -22 36%
20º América-RN 17 38 4 5 29 24 80 -56 15%
BRASILEIRÃO 2007BRASILEIRÃO 2007
MATRIZES

5. Prof.: Jorge Marcio5
MATRIZES
Representação de uma MatrizRepresentação de uma Matriz
Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz seráConsideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz será
representado pelo símbolo arepresentado pelo símbolo aij,ij, no qual o índice i refere-se à linha em que se encontra talno qual o índice i refere-se à linha em que se encontra tal
elemento e o índice j refere-se à coluna em que se encontra tal elemento.elemento e o índice j refere-se à coluna em que se encontra tal elemento.
A =
a11 a12
a13 a14 ............ a1n
a21 a22
a23 a24 ............ a2n
a31 a32
a33 a34 ............ a3n
a41 a42
a43 a44 ............ a4n
.....
.....
.....
.....
.....
am1 am2
am3 am4 ............ amn
m x n
Escreve-se matriz A= (aij)m x n
com “m” linhas e “n” colunas

6. Prof.: Jorge Marcio6
MATRIZES
Exemplo :
Como construir uma matriz A= (aij)2x3 onde aij= 2i + j
Solução:
aij= 2i + j
a11= 2(1) + 1 = 3
a12= 2(1) + 2 = 4
a13= 2(1) + 3 = 5
a21= 2(2) + 1 = 5
a22= 2(2) + 2 = 6
a23= 2(2) + 3 = 7
A=
a11
a21
a12
a22
a13
a23
=
3
5 6 7
4 5

7. Prof.: Jorge Marcio7
Matrizes especiaisMatrizes especiais
MATRIZES
Matriz LinhaMatriz Linha
Matriz ColunaMatriz Coluna
Matriz IdentidadeMatriz Identidade
Matriz nulaMatriz nula
Matriz quadradaMatriz quadrada
a11 a12
a13 a14 ...... a1na11
a21
a31
a41.....
am1
a21
a31
a41.....
am1
m x 1
1 x n
a11 a12
a13 a14............a1m
a21 a22
a23 a24............a2m
a31 a32
a33 a34............a3m
a41 a42
a43 a44............a4m
.....
.....
.....
.....
.....
am1 am2
am3 am4............amm
m x m
0 0 0 0 0 .... 0
0 0 0 0 0 .... 0
0 0 0 0 0 .... 0
0 0 0 0 0 .... 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 0 .... 0
1 0 0 0 0 ....0
0 1 0 0 0 ....0
0 0 1 0 0 ....0
0 0 0 1 0 ....0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 0 ....1

8. Prof.: Jorge Marcio8
MATRIZES
Matriz TranspostaMatriz Transposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será
representada por At
de ordem “invertida” n x m, isto é, troca-se linha por
coluna.
A =
a b c
e f g
i j k
m n o
Então At
=
4 x 3
a
b
c
e
f
g
i
j
k
m
n
o
3 x 4

9. Prof.: Jorge Marcio9
MATRIZES
Igualdade de MatrizesIgualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B são iguais se todos os termos correspondentes são iguais.
A=
a11
a21
a12
a22
a13
a23
Sendo A = B então :
a11
a21
a12
a22
a13
a23
=
10
11 16 3
6 9
B=
10
11 16 3
6 9
a11 =
a21
a12
a22
a13
a23
10
11
16
3
6
9
=
=
=
=
=

10. Prof.: Jorge Marcio10
MATRIZES
Adição e SubtraçãoAdição e Subtração
Só podemos somar ou subtrair duas matrizes se as mesmas tiverem mesma
ordem.
Sejam as matrizes eA = B =
EXEMPLO:
A + B =
2 3
5 8
3 12
+ = =
-2 14
3 1
2 3
2 3
5 8
3 12
-2 14
3 1
2 3
2-2 3+14
5+3 8+1
3+2 12+3
0 17
8 9
5 15

11. Prof.: Jorge Marcio11
MATRIZES
Multiplicação de um número real por uma MatrizMultiplicação de um número real por uma Matriz
B=
10
11 16 3
6 9
Seja a matriz
Então
2.B =
20
22 32 6
12 18
3.B =
30
33 48 9
18 27
1/2.B =
5
11/2 8 3/2
3 9/2

12. Prof.: Jorge Marcio12
Multiplicação de MatrizesMultiplicação de Matrizes
MATRIZES
Para que possamos multiplicar duas matrizes A e B, teremos que ter o número de
colunas da primeira igual ao número de linhas da segunda.
Exemplo:
Sejam as matrizes A e B , calcule se for possível A.B A =
2 5
6 4
3 8
B =
1
9
6
7
8
2
A.B =
2 5
6 4
3 8
1
9
6
7
8
2
=
2.1 + 5.9
=
472.6 + 5.72 5
6 4
3 8
1
9
6
7
8
2
472.8 + 5.2 26
6.1 + 4.9 6.6 + 4.7 6.8 + 4.2
3.1 + 8.9 3.6 + 8.7 3.8 + 8.2
42 64 56
75 74 40
23 x 2 3x
3 x 3
colunas linhas

13. Prof.: Jorge Marcio13
MATRIZES
Matriz InversaMatriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de
A se, e somente se, A.B = B.A = In
MATRIZ IDENTIDADE
DE ORDEM n
Exemplo: Encontre a matriz inversa de A, sabendo que A =
2 0
1 3

14. Prof.: Jorge Marcio14
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIOSOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
A .A-1
= I2
1 3
1 0
0 1
=
1 0
0 1
=
2a - b
a + 3b
2c -d
c + 3d
2 -1 a
b
c
d
2a – b = 1
a + 3b = 0 (-2)
2a – b = 1
-2a -6b = 0
(+)
-7b = 1
A A-1
I2
b=-
1/7
2a – b = 1
2a - (-1/7) = 1
2a = 1 + (-1/7)
2a = 1 - 1/7
2a = 6/7
a = 3/7
2c - d = 0
c + 3d = 1
(3)
6c - 3d = 0
c + 3d = 1
(+)
7c = 1
c = 1/7
2(1/7) - d = 0
2/7 - d = 0
2c - d = 0
d = 2/7
a
b
c
d
=A-1
=
3/7
-1/7
1/7
2/7
2 -1 a
b
c
d1 3

15. Prof.: Jorge Marcio15
Três barracas de frutas, B1, B2‚ e B3, são propriedade de
uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por
meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa
a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj em
milhares de reais, ao final de um determinado dia de
feira.
x 1,8 3,0
a y 2,0
d c 7
B=
VESTIBULAR UERJ 2006
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.

16. Prof.: Jorge Marcio16
SOLUÇÃO
x 1,8 3,0
a y 2,0
d c 7
=
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
Sabemos que a Matriz B é em sua essência :
Pelo enunciado bij = Bi+ Bj ,
Então b12 = 1,8 = B1+ B2
E também b13 = 3,0 = B1+ B3
o que a barraca B3 arrecadou a mais que a barraca B2 será o resultado de
b13 – b12 = ( B1+ B3 ) – (B1+ B2 ) = B3 – B2 = 3,0 – 1,8 = 1,2 = 1.200,00
Letra a:

17. Prof.: Jorge Marcio17
Letra b:
SOLUÇÃO
x 1,8 3,0
a y 2,0
d c 7
=
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
Calcule, para esse dia, o valor, em reais arrecadado em conjunto
pelas três barracas.
b13 + b12 + b23 = ( B1+ B3 )+ (B1+ B2 ) + (B2 + B3) = 1,8 + 3,0 + 2,0
2B1+ 2B3 + 2B2 = 6,8
logo B1+ B3 + B2 = 3,4 = 3.400,00

18. Prof.: Jorge Marcio18
Uma fábrica de guarda-roupas utiliza
três tipos de fechaduras (dourada,
prateada e bronzeada) para guarda-
roupas em mogno e cerejeira, nos
modelos básico, luxo e requinte. A
tabela 1 mostra a produção de móveis
durante o mês de outubro de 2005, e a
tabela 2, a quantidade de fechaduras
utilizadas em cada tipo de armário no
mesmo mês.
A quantidade de fechaduras usadas
nos armários do modelo requinte
nesse mês foi de
a) 170 b) 192. c) 120. d) 218. e) 188.