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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
ECUACIONES DE MAXWELL PARA
CAMPOS VARIANTES EN EL TIEMPO
Jorge Patricio Muñoz Vizhñay
Ing. Eléctrico, MSc. , MBA
FACULTAD DE ENERGÍA, LAS
INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS
NATURALES NO RENOVABLES
CARRERA DE
INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA
Generalidades
• Las cargas eléctricas inducen campos eléctricos y las corrientes eléctricas
inducen campos magnéticos.
• Mientras la carga y distribuciones de corriente permanezcan constantes en el
tiempo, también lo harán los campos que inducen.
• Si la carga y las fuentes de corriente varían con el tiempo t, no sólo los campos
también variarán con el tiempo, sino que suceden muchas cosas más.
• Los campos eléctricos y magnéticos se interconectan y el acoplamiento entre
ellos produce ondas electromagnéticas capaces de viajar a través del espacio
libre y en medios materiales.
• Las ondas electromagnéticas, que incluyen ondas luminosas, rayos X, ondas
infrarrojas, rayos gamma y ondas de radio, son una parte importante del mundo
físico y sus usos se manifiestan en muchos campos de la ciencia y la tecnología.
• Para estudiar fenómenos electromagnéticos que varían con el tiempo, se tienen
que utilizar las ecuaciones de Maxwell como una unidad integrada.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Ley de Faraday
• Oersted estableció la estrecha vinculación entre electricidad y magnetismo, al
demostrar que un alambre que transporta corriente eléctrica ejerce una fuerza
en la aguja de una brújula y que ésta gira de tal forma que siempre apunta en la
dirección cuando la corriente circula a lo largo de la dirección ˆ .
• Michael Faraday desarrolló la siguiente hipótesis: si una corriente es capaz de
producir un campo magnético, entonces lo contrario también debe ser cierto: un
campo magnético deberá producir una corriente en un alambre.
• Faraday como Henry descubrieron, cada uno por su cuenta, casi al mismo tiempo
(1831) que los campos magnéticos son capaces de producir una corriente
eléctrica en una espira cerrada, pero sólo si el flujo magnético que enlaza el área
de la superficie de la espira cambia con el tiempo. La clave del proceso de
inducción es el cambio.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Ley de Faraday
La corriente en la bobina produce un campo magnético B cuyas líneas pasan a través
de la espira como se ilustra en la figura.
Cuando el flujo es constante, el galvanómetro no detecta corriente. Sin embargo,
cuando se desconecta la batería, el flujo de corriente en la bobina se interrumpe, el
campo magnético se reduce a cero y el cambio consecuente del flujo magnético
provoca una desviación momentánea de la aguja del galvanómetro.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Ley de Faraday
Cuando se reconecta la batería, el galvanómetro exhibe de nuevo una desviación
momentánea pero en la dirección opuesta porque se induce corriente en la espira
cuando el flujo magnético cambia, y la dirección de la corriente depende de si el
flujo aumenta (como cuando se conecta la batería) o se reduce (como cuando se
desconecta la batería).
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Ley de Faraday
También puede fluir corriente en la espira, mientras la batería está conectada a la
bobina, si se hace girar la espira de repente o mientras se está acercando a alejando
de la bobina.
El movimiento físico de la espira cambia la cantidad de flujo que enlaza su superficie
S, aun cuando el campo B producido por la bobina no haya cambiado.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Ley de Faraday
Cuando un galvanómetro detecta el flujo de corriente a través de la bobina, ello
significa que se ha inducido un voltaje entre las terminales del galvanómetro. Este
voltaje se conoce como fuerza electromotriz (fem), Vfem, y el proceso se llama
inducción electromagnética.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Ley de Faraday
La fem inducida en una espira conductora cerrada de N vueltas se determina
mediante lo que se denomina como Ley de Faraday
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Ley de Faraday
Una fem puede ser generada en una espira conductora cerrada en cualquiera de las
tres condiciones siguientes:
1. Campo magnético variante en el tiempo que enlaza una espira estacionaria; la
fem inducida se conoce entonces como fem de transformador, 𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚.
2. Espira en movimiento con una área variante en el tiempo (con respecto al
componente normal de B) en un campo estático B; la fem inducida se conoce
entonces como fem móvil, 𝑉 𝑚
𝑓𝑒𝑚 .
3. Espira que se mueve en un campo B variante en el tiempo.
La fem total se determina de la siguiente forma:
Vfem = 𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚 + 𝑉 𝑚
𝑓𝑒𝑚
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo
La fem inducida cuando S es estacionaria y el campo cambia con el tiempo se llama
fem de transformador y se denota 𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚 . Como la espira es estacionaria, d/dt en la
ecuación anterior ahora sólo opera en B(t). Por consiguiente,
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo
La fem de transformador es la diferencia de voltaje que aparecerá en la pequeña
abertura entre las terminales 1 y 2, incluso sin el resistor R. Es decir, 𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚 =V12,
donde V12 es el voltaje de circuito abierto entre los extremos abiertos de la espira.
La conexión entre la dirección de ds y la polaridad de 𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚 está regida por la regla
de la mano derecha: si ds apunta a lo largo del pulgar de la mano derecha, entonces
la dirección del contorno C indicada por los cuatro dedos es tal que siempre pasa a
través de la abertura de la terminal positiva de 𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚 a la terminal negativa.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo
Si la espira tiene una resistencia interna Ri, el circuito que aparece en la figura (a)
puede representarse mediante el circuito equivalente de la figura (b); en tal caso, la
corriente I que fluye a través del circuito se determina mediante la ecuación
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo
La polaridad de 𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚 fem y por consiguiente la dirección de I está regida por la ley
de Lenz, la cual establece que la corriente en la espira siempre circula en una
dirección que se opone al cambio del flujo magnético Φ(t) que la produjo.
La corriente I induce un campo magnético por sí misma, Bind, con un flujo
correspondiente Φind. La dirección de Bind está regida por la regla de la mano
derecha.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo
En cualquier punto a lo largo de la espira, el campo E está relacionado con la
corriente I que fluye a través de la espira. Para el contorno C, 𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚 está
relacionado con E por
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo
Con N = 1 (una espira con una vuelta), si se igualan las ecuaciones con lo cual se
obtiene
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo
Aplicando el teorema de Stokes al lado izquierdo de la ecuación y para que las dos
integrales sean iguales, sus integrandos tienen que ser iguales, por lo que se obtiene
(ley de Faraday)
Esta forma diferencial de la ley de Faraday establece que un campo magnético B
variante en el tiempo induce un campo eléctrico E.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo
Ejemplo 6-1, pág. 259
𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚 = - 188.5 cos 103t
𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚 = - 188.5 (V)
I = 0.19 cos 103t (A)
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo
Ejemplo 6-2, pág. 260
(V)
I = 0,2 A
V1 = 0,4 V
V2 = 0,8 V
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El transformador ideal
La bobina del circuito primario tiene N1 vueltas (o espiras) y la del circuito
secundario tiene N2 vueltas (o espiras). La bobina primaria está conectada a una
fuente de voltaje de CA V1(t), mientras que la bobina secundaria está conectada a
un resistor de carga RL. En un transformador ideal, el núcleo tiene permeabilidad
infinita (μ = ∞) y el flujo magnético está confinado en el interior del núcleo. Las
direcciones de las corrientes que fluyen en las dos bobinas, I1 e I2, se definen de
manera que, cuando I1 e I2 son positivas, el flujo que genera I2 se opone al que
genera I1.
N2 esta en sentido opuesto
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El transformador ideal
El transformador obtiene su nombre del hecho de que se utiliza para transformar
corrientes, voltajes e impedancias entre sus circuitos primario y secundario.
El flujo Φ y el voltaje V1 están relacionados por la ley de Faraday:
La combinación de las ecuaciones
N2 esta en sentido opuesto
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El transformador ideal
En un transformador ideal sin pérdidas, toda la potencia instantánea suministrada
por la fuente conectada a la bobina primaria pasa a la carga del lado secundario. Por
lo tanto, no se pierde carga en el núcleo, y
P1 = P2
Con lo cual se obtiene
N2 esta en sentido opuesto
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Conductor en movimiento en un campo magnético estático
La fuerza magnética Fm que actúa en cualquier partícula cargada q, que se mueve
con una velocidad u en un campo magnético B, se determina de la siguiente forma:
Fm = q (u x B)
B
B =
q
Fm
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Conductor en movimiento en un campo magnético estático
El campo Em generado por el movimiento de la partícula cargada se llama campo
eléctrico móvil y es perpendicular al plano que contiene u y B.
Para el conductor que se ilustra en la figura, la dirección de Em es a lo largo de - yˆ.
La fuerza magnética que actúa en los electrones del conductor hace que se muevan
en la dirección de – Em; es decir, hacia el extremo 1 en la figura.
Esto a su vez induce una diferencia de voltaje entre los extremos 1 y 2, con el
extremo 2 al potencial más alto.
q
Fm
B =
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Conductor en movimiento en un campo magnético estático
El voltaje inducido se llama fem móvil
Para el alambre conductor, u x B = xˆ u zˆB0 =
Por consiguiente,
B =
q
Fm
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Conductor en movimiento en un campo magnético estático
En general, si cualquier segmento de un circuito cerrado con el contorno C se mueve
con una velocidad u a través de un campo magnético estático B, entonces la fem
móvil es
B =
q
Fm
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
Barra deslizante
Ejemplo 6-3, pág. 263
𝑉 𝑚
𝑓𝑒𝑚 = −𝐵0 𝑢2 𝑙𝑡 (V)
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El generador electromagnético
El generador electromagnético es el inverso del motor electromagnético.
Los principios de operación de ambos instrumentos se explicarán con la ayuda de la
figura.
Se utiliza un imán permanente para producir un campo magnético estático B en la
ranura localizada entre los dos polos del imán.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El generador electromagnético
Cuando se hace pasar corriente a través de la espira conductora, como se ilustra en
la figura (a), la corriente fluye en direcciones opuestas en los segmentos 1–2 y 3–4
de la espira.
Las fuerzas magnéticas inducidas en los dos segmentos también son opuestas y
producen un momento de torsión o par que hace que la espira gire en torno a su
eje.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El generador electromagnético
Por lo tanto, en un motor, la energía eléctrica suministrada por una fuente de voltaje
se convierte en energía mecánica en la forma de una espira giratoria, la cual puede
acoplarse a poleas, engranes u otros objetos móviles.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El generador electromagnético
Si, en vez de hacer pasar una corriente a través de la espira para hacerla girar, se
hace que gire por medio de una fuerza externa, su movimiento en el campo
magnético producirá una fem móvil, 𝑉 𝑡𝑟
𝑓𝑒𝑚 , como se muestra en la figura (b).
De esta manera, el motor se transforma en un generador y la energía mecánica se
convierte en energía eléctrica.
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El generador electromagnético
Ahora se examinará la operación del
generador electromagnético
detalladamente con el sistema de
coordenadas mostrado en la figura. El
campo magnético se determina como
y el eje de rotación de la espira conductora
está a lo largo del eje x.
La longitud de los segmentos 1–2 y 3–4 de
la espira es l para cada uno, y ambos cruzan
las líneas de flujo conforme la espira gira.
El ancho de los otros dos segmentos es w y
ninguno atraviesa las líneas B cuando la
espira gira.
Por eso, sólo los segmentos 1–2 y 3–4
contribuyen a la generación de la fem
móvil, 𝑉 𝑚
𝑓𝑒𝑚 .
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El generador electromagnético
Conforme la espira gira con una
velocidad angular ῳ alrededor de su
propio eje, el segmento 1–2 se mueve
con una velocidad u que se determina
como
donde nˆ , la normal a la superficie de
la espira, forma un ángulo α con el eje
z. Por consiguiente,
El segmento 3–4 se mueve con una
velocidad u. La aplicación de la ecuación
anterior,
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El generador electromagnético
Utilizando las dos últimas ecuaciones, se
obtiene el resultado
𝑉 𝑚
𝑓𝑒𝑚 = 𝑤𝑙𝜔𝐵0 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝐴 𝜔 𝐵0 𝑠𝑒𝑛𝛼
donde A = wl es el área de la superficie
de la espira. El ángulo α está relacionado
con ῳ por
α = ῳ t + C0
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El generador electromagnético
donde C0 es una constante determinada
por las condiciones iniciales. Por ejemplo,
si α = 0 en el instante t = 0, entonces
C0=0. En general,
𝑉 𝑚
𝑓𝑒𝑚 = 𝐴 𝜔 𝐵0 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝐶0) (V)
Este resultado también se obtiene
aplicando la forma general de la ley de
Faraday de la ecuación
4. Ecuaciones de Maxwell para
campos variantes en el tiempo
El generador electromagnético
El flujo que enlaza la superficie de la
espira es
𝑉𝑓𝑒𝑚 = 𝐴 𝜔 𝐵0 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝐶0)

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Teoria electromagnetica - Campos Magnéticos Variantes Tiempo

  • 1. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA ECUACIONES DE MAXWELL PARA CAMPOS VARIANTES EN EL TIEMPO Jorge Patricio Muñoz Vizhñay Ing. Eléctrico, MSc. , MBA FACULTAD DE ENERGÍA, LAS INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS NATURALES NO RENOVABLES CARRERA DE INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA
  • 2. Generalidades • Las cargas eléctricas inducen campos eléctricos y las corrientes eléctricas inducen campos magnéticos. • Mientras la carga y distribuciones de corriente permanezcan constantes en el tiempo, también lo harán los campos que inducen. • Si la carga y las fuentes de corriente varían con el tiempo t, no sólo los campos también variarán con el tiempo, sino que suceden muchas cosas más. • Los campos eléctricos y magnéticos se interconectan y el acoplamiento entre ellos produce ondas electromagnéticas capaces de viajar a través del espacio libre y en medios materiales. • Las ondas electromagnéticas, que incluyen ondas luminosas, rayos X, ondas infrarrojas, rayos gamma y ondas de radio, son una parte importante del mundo físico y sus usos se manifiestan en muchos campos de la ciencia y la tecnología. • Para estudiar fenómenos electromagnéticos que varían con el tiempo, se tienen que utilizar las ecuaciones de Maxwell como una unidad integrada. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo
  • 3. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo
  • 4. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo
  • 5. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Ley de Faraday • Oersted estableció la estrecha vinculación entre electricidad y magnetismo, al demostrar que un alambre que transporta corriente eléctrica ejerce una fuerza en la aguja de una brújula y que ésta gira de tal forma que siempre apunta en la dirección cuando la corriente circula a lo largo de la dirección ˆ . • Michael Faraday desarrolló la siguiente hipótesis: si una corriente es capaz de producir un campo magnético, entonces lo contrario también debe ser cierto: un campo magnético deberá producir una corriente en un alambre. • Faraday como Henry descubrieron, cada uno por su cuenta, casi al mismo tiempo (1831) que los campos magnéticos son capaces de producir una corriente eléctrica en una espira cerrada, pero sólo si el flujo magnético que enlaza el área de la superficie de la espira cambia con el tiempo. La clave del proceso de inducción es el cambio.
  • 6. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Ley de Faraday La corriente en la bobina produce un campo magnético B cuyas líneas pasan a través de la espira como se ilustra en la figura. Cuando el flujo es constante, el galvanómetro no detecta corriente. Sin embargo, cuando se desconecta la batería, el flujo de corriente en la bobina se interrumpe, el campo magnético se reduce a cero y el cambio consecuente del flujo magnético provoca una desviación momentánea de la aguja del galvanómetro.
  • 7. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Ley de Faraday Cuando se reconecta la batería, el galvanómetro exhibe de nuevo una desviación momentánea pero en la dirección opuesta porque se induce corriente en la espira cuando el flujo magnético cambia, y la dirección de la corriente depende de si el flujo aumenta (como cuando se conecta la batería) o se reduce (como cuando se desconecta la batería).
  • 8. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Ley de Faraday También puede fluir corriente en la espira, mientras la batería está conectada a la bobina, si se hace girar la espira de repente o mientras se está acercando a alejando de la bobina. El movimiento físico de la espira cambia la cantidad de flujo que enlaza su superficie S, aun cuando el campo B producido por la bobina no haya cambiado.
  • 9. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Ley de Faraday Cuando un galvanómetro detecta el flujo de corriente a través de la bobina, ello significa que se ha inducido un voltaje entre las terminales del galvanómetro. Este voltaje se conoce como fuerza electromotriz (fem), Vfem, y el proceso se llama inducción electromagnética.
  • 10. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Ley de Faraday La fem inducida en una espira conductora cerrada de N vueltas se determina mediante lo que se denomina como Ley de Faraday
  • 11. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Ley de Faraday Una fem puede ser generada en una espira conductora cerrada en cualquiera de las tres condiciones siguientes: 1. Campo magnético variante en el tiempo que enlaza una espira estacionaria; la fem inducida se conoce entonces como fem de transformador, 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚. 2. Espira en movimiento con una área variante en el tiempo (con respecto al componente normal de B) en un campo estático B; la fem inducida se conoce entonces como fem móvil, 𝑉 𝑚 𝑓𝑒𝑚 . 3. Espira que se mueve en un campo B variante en el tiempo. La fem total se determina de la siguiente forma: Vfem = 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚 + 𝑉 𝑚 𝑓𝑒𝑚
  • 12. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo La fem inducida cuando S es estacionaria y el campo cambia con el tiempo se llama fem de transformador y se denota 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚 . Como la espira es estacionaria, d/dt en la ecuación anterior ahora sólo opera en B(t). Por consiguiente,
  • 13. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo La fem de transformador es la diferencia de voltaje que aparecerá en la pequeña abertura entre las terminales 1 y 2, incluso sin el resistor R. Es decir, 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚 =V12, donde V12 es el voltaje de circuito abierto entre los extremos abiertos de la espira. La conexión entre la dirección de ds y la polaridad de 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚 está regida por la regla de la mano derecha: si ds apunta a lo largo del pulgar de la mano derecha, entonces la dirección del contorno C indicada por los cuatro dedos es tal que siempre pasa a través de la abertura de la terminal positiva de 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚 a la terminal negativa.
  • 14. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo Si la espira tiene una resistencia interna Ri, el circuito que aparece en la figura (a) puede representarse mediante el circuito equivalente de la figura (b); en tal caso, la corriente I que fluye a través del circuito se determina mediante la ecuación
  • 15. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo La polaridad de 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚 fem y por consiguiente la dirección de I está regida por la ley de Lenz, la cual establece que la corriente en la espira siempre circula en una dirección que se opone al cambio del flujo magnético Φ(t) que la produjo. La corriente I induce un campo magnético por sí misma, Bind, con un flujo correspondiente Φind. La dirección de Bind está regida por la regla de la mano derecha.
  • 16. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo En cualquier punto a lo largo de la espira, el campo E está relacionado con la corriente I que fluye a través de la espira. Para el contorno C, 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚 está relacionado con E por
  • 17. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo Con N = 1 (una espira con una vuelta), si se igualan las ecuaciones con lo cual se obtiene
  • 18. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo Aplicando el teorema de Stokes al lado izquierdo de la ecuación y para que las dos integrales sean iguales, sus integrandos tienen que ser iguales, por lo que se obtiene (ley de Faraday) Esta forma diferencial de la ley de Faraday establece que un campo magnético B variante en el tiempo induce un campo eléctrico E.
  • 19. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo Ejemplo 6-1, pág. 259 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚 = - 188.5 cos 103t 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚 = - 188.5 (V) I = 0.19 cos 103t (A)
  • 20. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Espira estacionaria en un campo magnético variante en el tiempo Ejemplo 6-2, pág. 260 (V) I = 0,2 A V1 = 0,4 V V2 = 0,8 V
  • 21. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El transformador ideal La bobina del circuito primario tiene N1 vueltas (o espiras) y la del circuito secundario tiene N2 vueltas (o espiras). La bobina primaria está conectada a una fuente de voltaje de CA V1(t), mientras que la bobina secundaria está conectada a un resistor de carga RL. En un transformador ideal, el núcleo tiene permeabilidad infinita (μ = ∞) y el flujo magnético está confinado en el interior del núcleo. Las direcciones de las corrientes que fluyen en las dos bobinas, I1 e I2, se definen de manera que, cuando I1 e I2 son positivas, el flujo que genera I2 se opone al que genera I1. N2 esta en sentido opuesto
  • 22. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El transformador ideal El transformador obtiene su nombre del hecho de que se utiliza para transformar corrientes, voltajes e impedancias entre sus circuitos primario y secundario. El flujo Φ y el voltaje V1 están relacionados por la ley de Faraday: La combinación de las ecuaciones N2 esta en sentido opuesto
  • 23. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El transformador ideal En un transformador ideal sin pérdidas, toda la potencia instantánea suministrada por la fuente conectada a la bobina primaria pasa a la carga del lado secundario. Por lo tanto, no se pierde carga en el núcleo, y P1 = P2 Con lo cual se obtiene N2 esta en sentido opuesto
  • 24. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Conductor en movimiento en un campo magnético estático La fuerza magnética Fm que actúa en cualquier partícula cargada q, que se mueve con una velocidad u en un campo magnético B, se determina de la siguiente forma: Fm = q (u x B) B B = q Fm
  • 25. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Conductor en movimiento en un campo magnético estático El campo Em generado por el movimiento de la partícula cargada se llama campo eléctrico móvil y es perpendicular al plano que contiene u y B. Para el conductor que se ilustra en la figura, la dirección de Em es a lo largo de - yˆ. La fuerza magnética que actúa en los electrones del conductor hace que se muevan en la dirección de – Em; es decir, hacia el extremo 1 en la figura. Esto a su vez induce una diferencia de voltaje entre los extremos 1 y 2, con el extremo 2 al potencial más alto. q Fm B =
  • 26. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Conductor en movimiento en un campo magnético estático El voltaje inducido se llama fem móvil Para el alambre conductor, u x B = xˆ u zˆB0 = Por consiguiente, B = q Fm
  • 27. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Conductor en movimiento en un campo magnético estático En general, si cualquier segmento de un circuito cerrado con el contorno C se mueve con una velocidad u a través de un campo magnético estático B, entonces la fem móvil es B = q Fm
  • 28. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo Barra deslizante Ejemplo 6-3, pág. 263 𝑉 𝑚 𝑓𝑒𝑚 = −𝐵0 𝑢2 𝑙𝑡 (V)
  • 29. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El generador electromagnético El generador electromagnético es el inverso del motor electromagnético. Los principios de operación de ambos instrumentos se explicarán con la ayuda de la figura. Se utiliza un imán permanente para producir un campo magnético estático B en la ranura localizada entre los dos polos del imán.
  • 30. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El generador electromagnético Cuando se hace pasar corriente a través de la espira conductora, como se ilustra en la figura (a), la corriente fluye en direcciones opuestas en los segmentos 1–2 y 3–4 de la espira. Las fuerzas magnéticas inducidas en los dos segmentos también son opuestas y producen un momento de torsión o par que hace que la espira gire en torno a su eje.
  • 31. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El generador electromagnético Por lo tanto, en un motor, la energía eléctrica suministrada por una fuente de voltaje se convierte en energía mecánica en la forma de una espira giratoria, la cual puede acoplarse a poleas, engranes u otros objetos móviles.
  • 32. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El generador electromagnético Si, en vez de hacer pasar una corriente a través de la espira para hacerla girar, se hace que gire por medio de una fuerza externa, su movimiento en el campo magnético producirá una fem móvil, 𝑉 𝑡𝑟 𝑓𝑒𝑚 , como se muestra en la figura (b). De esta manera, el motor se transforma en un generador y la energía mecánica se convierte en energía eléctrica.
  • 33. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El generador electromagnético Ahora se examinará la operación del generador electromagnético detalladamente con el sistema de coordenadas mostrado en la figura. El campo magnético se determina como y el eje de rotación de la espira conductora está a lo largo del eje x. La longitud de los segmentos 1–2 y 3–4 de la espira es l para cada uno, y ambos cruzan las líneas de flujo conforme la espira gira. El ancho de los otros dos segmentos es w y ninguno atraviesa las líneas B cuando la espira gira. Por eso, sólo los segmentos 1–2 y 3–4 contribuyen a la generación de la fem móvil, 𝑉 𝑚 𝑓𝑒𝑚 .
  • 34. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El generador electromagnético Conforme la espira gira con una velocidad angular ῳ alrededor de su propio eje, el segmento 1–2 se mueve con una velocidad u que se determina como donde nˆ , la normal a la superficie de la espira, forma un ángulo α con el eje z. Por consiguiente, El segmento 3–4 se mueve con una velocidad u. La aplicación de la ecuación anterior,
  • 35. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El generador electromagnético Utilizando las dos últimas ecuaciones, se obtiene el resultado 𝑉 𝑚 𝑓𝑒𝑚 = 𝑤𝑙𝜔𝐵0 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝐴 𝜔 𝐵0 𝑠𝑒𝑛𝛼 donde A = wl es el área de la superficie de la espira. El ángulo α está relacionado con ῳ por α = ῳ t + C0
  • 36. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El generador electromagnético donde C0 es una constante determinada por las condiciones iniciales. Por ejemplo, si α = 0 en el instante t = 0, entonces C0=0. En general, 𝑉 𝑚 𝑓𝑒𝑚 = 𝐴 𝜔 𝐵0 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝐶0) (V) Este resultado también se obtiene aplicando la forma general de la ley de Faraday de la ecuación
  • 37. 4. Ecuaciones de Maxwell para campos variantes en el tiempo El generador electromagnético El flujo que enlaza la superficie de la espira es 𝑉𝑓𝑒𝑚 = 𝐴 𝜔 𝐵0 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝐶0)