Caculo de fuerzas.

Jorge Muñoz Román
Jorge Muñoz RománInspector de Patentes Comerciales de la Dirección de Obras Municipalidad de Recoleta

CALCULO DE FUERZAS (RESISTENCIA DE MATERIALES)

FUERZAS ESTRUCTURALES 
Cuando hablamos de fuerzas estructurales, nos referimos al esfuerzo que debe soportar la estructura de una 
Montaña Rusa. En una estructura predeterminada, se analizan muchos esfuerzos, pero los esfuerzos 
estructurales que más se consideran son los esfuerzos de compresión, y el esfuerzo de flexión de los 
materiales. 
El esfuerzo de compresión se calcula con la siguiente fórmula: 
e = F / A 
Dónde: 
e = Esfuerzo (Ej. Newton sobre metro cuadrado, Kilogramo fuerza sobre milimetro cuadrado, etc.) 
F = Fuerza (Ej. Newtons o Kilogramo Fuerza. 1 Newton = 1 Kilogramo por metro sobre segundo al cuadrado, 
y 1 Kilogramo Fuerza = 9.81 Newtons) 
A = Área (Ej. metro cuadrado, pié cuadrado, centimetro cuadrado, etc.) 
El cálculo de los esfuerzos de compresión, se utilizará para los casos en que la fuerza se aplica sobre el eje de 
la estructura. En este caso, vemos una columna que sostiene la vía de una Montaña Rusa. En el momento que 
el tren pasa por la columna, el peso ejerce una fuerza sobre el eje de la columna. El área que se tiene que 
considerar, es área que tenga la sección de la columna. En este caso es una sección circular cómo se muestra 
en el círculo con la A. 
El esfuerzo de flexión máxima es el esfuerzo que se aplica sobre alguna de las caras laterales de una viga. Este 
esfuerzo se calcula con diferentes fórmulas según diferentes casos. Pero antes de analizar cada caso, es 
importante mencionar el concepto de momento de inercia: 
1
El momento de inercia es una propiedad geométrica de un área con respecto a un eje de referencia. La 
explicación de este concepto requiere de conocimientos matemáticos medianamente elevados, por lo que nada 
más se mencionará su uso práctico aplicado a las Montañas Rusas. 
El cálculo del momento de inercia depende de la forma que tenga la sección del material que se esté 
analizando. En el caso de las montañas rusas, se cuentan con 3 tipos de secciones. La circular, la cilíndrica, y 
la rectangular. Aquí se muestran las secciones con sus respectivas fórmulas. I = Momento de inercia. 
Otro concepto importante es el momento flexionante que al igual que el momento de inercia requiere una 
explicación matemática compleja. Por este motivo nos limitaremos a mencionar los casos que más se aplican 
a las Montañas Rusas. M = Momento máximo Flexionante, y P = Fuerza aplicada. 
Una vez analizados estos conceptos encontramos que el esfuerzo de flexión se calcula con la siguiente 
fórmula: 
e = Mc / I 
Dónde 
2
e = Esfuerzo de flexión (Ej. libras sobre pulgadas al cuadrado, o Pascales) 
M = Momento flexionante (Ej. Libras por pulgadas, o Newton por metro) 
c = Distancia desde el centro hasta un extremo de una sección de una viga (Ej. Pulgadas, o Metros) 
I = Momento de inercia (Ej. Pulgadas a la cuarta, o Metros a la cuarta) 
Es importante resaltar que en el cálculo de este esfuerzo se debe calcular adecuadamente el momento de 
inercia y el momento flexionante, ya que de esto depende que nuestro valor sea correcto. 
EJEMPLO 6.1 
Dibujar los diagramas de fuerzas internas del pórtico mostrado. 
Figura 6.20. 
En este ejemplo se muestra el proceso general para analizar un pórtico plano, obtener las reacciones, dibujar 
los diagramas decuerpo libre de cada uno de los miembros y dibujar los diagramas de momento, cortante y 
fuerza axial. Se usará el elemento gráfico de la fibra a tensión y la convención de dibujar el diagrama de 
momentos del lado de la fibra a tensión. 
El primer paso en el análisis de una estructura es la determinación de las reacciones. Aunque esta estructura 
tiene cuatro reacciones (incógnitas) y solo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio estático, se puede 
suponer con razonable lógica que las reacciones horizontales en los apoyos son iguales, es decir que: 
Ax = Dx = 10/2 = 5 kN 
Esta hipótesis, que se podrá comprobar más adelante cuando se presente el método de las fuerzas para el 
análisis de estructuras hiperestáticas, permite analizar la estructura sin mayores problemas. 
Para las demás reacciones, se plantea la sumatoria de momentos en A, en la estructura (ver figura): 
SMA = 0 
10x4 − 10xDy = 0 
Dy = 4 kN 
3
Con los valores de las reacciones encontrados, se dibujan los diagramas de cuerpo libre de cada uno de los 
miembros y se usan las condiciones de equilibrio para cada elemento; para ello se hacen cortes en los 
miembros 
Figura 6.21: diagramas de cuerpo libre con incógnitas, según convención general de signos 
en las proximidades de los nudos y se colocan las incógnitas internas de M, V, N, siguiendo las convenciones 
adoptadas, teniendo en cuenta que la fibra (+) quede siempre abajo, tanto para columnas como para vigas (ver 
figura 6.21). 
Se muestran en la figura 6.22 los diagramas de cuerpo libre con los valores de las fuerzas internas en los 
extremos de cada elemento, obtenidos mediante las ecuaciones de equilibrio de la Estática, aplicadas en cada 
miembro. 
Figura 6.22: diagramas de cuerpo libre de los miembros del pórtico 
4
Con los valores obtenidos de las fuerzas internas en los extremos de los miembros del pórtico se pueden 
dibujar los diagramas de cortante, momento y el nuevo diagrama de fuerza axial (que no existía en las vigas); 
las ordenadas en las vigas se miden verticalmente y en las columnas horizontalmente; para evitar confusiones 
se recomienda el uso de colores diferentes para las vigas y las columnas. 
Figura 6.23: diagramas de fuerzas internas del pórtico 
El estudio de las otras formas de masa activa: emparrillados y losas se hará en otros cursos. 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
Encontrar las reacciones y dibujar los diagramas de momento flector, cortante, axial y elástica aproximada, 
del pórtico triarticulado mostrado. 
Figura 6.24 
5
Analizar y construir los diagramas del pórtico del ejercicio anterior, reemplazando la carga uniforme por una 
puntualde 15 KN, que actúa verticalmente hacia abajo, en el vértice C (articulado). 
Analizar y dibujar los diagramasen el pórtico anterior, colocando la fuerza de 15 kN en el punto B, 
horizontalmente, de izquierda aderecha. 
Encontrar las reacciones y dibujar los diagramas de fuerzas internas y elástica aproximada del pórtico 
mostrado. 
Fuerza Cortante (V) y Momento Flector (M) 
Todo análisis estructural se realiza para: 
a)Determinar la capacidad de soportar las cargas para las cuales fue diseñada la estructura , 
b)Determinar las dimensiones más adecuadas para resistir , (comparar los esfuerzos que soporta el material 
contra los esfuerzos actuantes o los previstos.). 
Elemento estructural vigaVIGA: es un elemento estructural donde una de sus dimensiones es mucho mayor 
que las otras dos, y a través de uno o más apoyos transmiten a la fundación u otros elementos estructurales las 
cargas aplicadas transversalmente a su eje, en algunos casos cargas aplicadas en la dirección de su eje.WL = 
longitud (LUZ)NNhb 
6
Elemento estructural viga 
Clasificacion de las vigas 
Por su forma 
De alma llena 
Por sus caracteristicas estaticas 
Isostaticas 
Hiperestaticas. 
Porticos 
Porticos se puede definir como un conjunto de elementos estructurales unidos en sus extremos mediante 
juntas rigidas o pernos, ademas se cumple que los ejes de las vigas no esta alineado. 
Fuerza cortante (v) 
Es la suma algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje de la viga ( o elemento estructural) 
que actuan a un lado de la seccion considerada. 
La fuerza cortante es positiva cuando la parte situada a la izquierda de la seccion tiende a subir con respecto a 
la parte derecha. 
7
Momento flector (m) 
Es la suma algebraica de los momentos producidos por todas las fuerzas externas a un mismo lado de la 
seccion respecto a un punto de dicha seccion. 
El momento flector es positivo cuando considerada la seccion a la izquierda tiene una rotacion en sentido 
horario. 
Convenio de signo para V yM 
Seccion considerada 
Diagramas de fuerza cortante y momento flector 
Estos permiten la representación grafica de los valores de Vy Ma lo largo de los ejes de los elementos 
estructurales. 
Se construyen dibujando una línea de base que corresponde en longitud al eje de la viga (Elemento 
Estructural, ee) y cuyas ordenadas indicaran el valor de V y M en los puntos de esa viga. 
8
Diagramas de fuerza cortante y momento flector 
La Fuerza cortante (V) se toma positiva por encima del eje de referencia. 
Los valores de momento flector (M) se consideran positivos por debajo del eje de referencia, es decir los 
diagramas se trazan por el lado de la tracción. 
Diagramas de fuerza cortante y momento flector 
Los maximos y minimos de un diagrama de momento flector corresponden siempre a secciones de fuerza 
cortante nula. Para poder obtener la distancia ( X, Y o d ) donde el momento flector es maximo o minimo se 
igualara a cero la expresión de fuerza cortante, luego se despeja dicha distancia ( X, Y o d ). 
Los puntos donde el momento flector es nulo se denominan los puntos de inflexión sobre la elastica. 
Relaciones entre Carga y Fuerza Cortante 
El incremento de la fuerza cortante con respecto a la distancia(X, Y o d) en una sección cualquiera de una 
viga o elemento estructural(situada a una distancia, x, y o d, de su extremo izquierdo) es igual al valor del área 
de la carga de dicha sección. 
9
Diagrama de Fuerza Cortante (V) 
Si en un tramo del elemento estructural (viga, columna, inclinado) no actúa ninguna carga la curva de la 
fuerza cortante permanecerá recta y paralela al eje del elemento estructural. 
Diagrama de fuerza cortante (V) 
Cuando en un tramo del elemento estructural se aplique una carga distribuida uniformemente, la línea de la 
fuerza cortante será inclinada, o sea tendrá una pendiente constante con respecto al eje del elemento. 
Para Carga distribuida con variación lineal de su intensidad, la curva de fuerza cortante será una línea curva 
de segundo grado. 
En los puntos de aplicación de cargas concentradas (puntuales) EXISTIRÁ una discontinuidad en el diagrama 
de fuerza cortante. 
Relación entre Fuerza Cortante y Momento Flector 
El incremento del momento flector con respecto a la distancia(X, Y o d) en una sección cualquiera del 
elemento estructural situada a una distancia (X, Y o d) de su extremo izquierdo es igual al valor del área del 
diagrama de fuerza cortante en la correspondiente seccionsección. 
10
Tipos de indeterminación de estructuras. 
INDETERMINACION ESTATICA Y CINEMATICA 
A) INDETERMINACION ESTATICA 
(grados de indeterminación o número de redundantes) 
Se refiere al número de acciones (fuerza axial, cortante o momento) externos y/o internos que deben 
liberarse a fin de transformar la estructura original en una estructura estable y determinada. 
B) INDETERMINACION CINEMATICA 
(grados de libertad) 
Se refiere al número de componentes de desplazamiento de nudo (traslación, rotación) que son 
necesarios para describir la respuesta del sistema. Define la configuración deformada del sistema. 
11
METODOS DE ANALISIS 
A) METODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADES 
(grado de indeterminación estática) 
En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura estática 
12
determinada y estable. 
Luego, se obtienen soluciones complementarias que permiten restablecer la continuidad del sistema y 
debe resolverse un sistema de ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se 
aplica la condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad. 
B) METODO DE LAS RIGIDECES O DESPLAZAMIENTOS 
(grado de indeterminación cinemática) 
En este método se obtiene, primero, una estructura modificada, bloqueando los desplazamientos de 
todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego, se superponen otras soluciones complementarias 
para determinar los verdaderos desplazamientos que ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a 
resolver es igual al número del grado de indeterminación cinemática. Primero se aplica el principio de 
compatibilidad y luego el de equilibrio. 
13
14
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  • 1. FUERZAS ESTRUCTURALES Cuando hablamos de fuerzas estructurales, nos referimos al esfuerzo que debe soportar la estructura de una Montaña Rusa. En una estructura predeterminada, se analizan muchos esfuerzos, pero los esfuerzos estructurales que más se consideran son los esfuerzos de compresión, y el esfuerzo de flexión de los materiales. El esfuerzo de compresión se calcula con la siguiente fórmula: e = F / A Dónde: e = Esfuerzo (Ej. Newton sobre metro cuadrado, Kilogramo fuerza sobre milimetro cuadrado, etc.) F = Fuerza (Ej. Newtons o Kilogramo Fuerza. 1 Newton = 1 Kilogramo por metro sobre segundo al cuadrado, y 1 Kilogramo Fuerza = 9.81 Newtons) A = Área (Ej. metro cuadrado, pié cuadrado, centimetro cuadrado, etc.) El cálculo de los esfuerzos de compresión, se utilizará para los casos en que la fuerza se aplica sobre el eje de la estructura. En este caso, vemos una columna que sostiene la vía de una Montaña Rusa. En el momento que el tren pasa por la columna, el peso ejerce una fuerza sobre el eje de la columna. El área que se tiene que considerar, es área que tenga la sección de la columna. En este caso es una sección circular cómo se muestra en el círculo con la A. El esfuerzo de flexión máxima es el esfuerzo que se aplica sobre alguna de las caras laterales de una viga. Este esfuerzo se calcula con diferentes fórmulas según diferentes casos. Pero antes de analizar cada caso, es importante mencionar el concepto de momento de inercia: 1
  • 2. El momento de inercia es una propiedad geométrica de un área con respecto a un eje de referencia. La explicación de este concepto requiere de conocimientos matemáticos medianamente elevados, por lo que nada más se mencionará su uso práctico aplicado a las Montañas Rusas. El cálculo del momento de inercia depende de la forma que tenga la sección del material que se esté analizando. En el caso de las montañas rusas, se cuentan con 3 tipos de secciones. La circular, la cilíndrica, y la rectangular. Aquí se muestran las secciones con sus respectivas fórmulas. I = Momento de inercia. Otro concepto importante es el momento flexionante que al igual que el momento de inercia requiere una explicación matemática compleja. Por este motivo nos limitaremos a mencionar los casos que más se aplican a las Montañas Rusas. M = Momento máximo Flexionante, y P = Fuerza aplicada. Una vez analizados estos conceptos encontramos que el esfuerzo de flexión se calcula con la siguiente fórmula: e = Mc / I Dónde 2
  • 3. e = Esfuerzo de flexión (Ej. libras sobre pulgadas al cuadrado, o Pascales) M = Momento flexionante (Ej. Libras por pulgadas, o Newton por metro) c = Distancia desde el centro hasta un extremo de una sección de una viga (Ej. Pulgadas, o Metros) I = Momento de inercia (Ej. Pulgadas a la cuarta, o Metros a la cuarta) Es importante resaltar que en el cálculo de este esfuerzo se debe calcular adecuadamente el momento de inercia y el momento flexionante, ya que de esto depende que nuestro valor sea correcto. EJEMPLO 6.1 Dibujar los diagramas de fuerzas internas del pórtico mostrado. Figura 6.20. En este ejemplo se muestra el proceso general para analizar un pórtico plano, obtener las reacciones, dibujar los diagramas decuerpo libre de cada uno de los miembros y dibujar los diagramas de momento, cortante y fuerza axial. Se usará el elemento gráfico de la fibra a tensión y la convención de dibujar el diagrama de momentos del lado de la fibra a tensión. El primer paso en el análisis de una estructura es la determinación de las reacciones. Aunque esta estructura tiene cuatro reacciones (incógnitas) y solo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio estático, se puede suponer con razonable lógica que las reacciones horizontales en los apoyos son iguales, es decir que: Ax = Dx = 10/2 = 5 kN Esta hipótesis, que se podrá comprobar más adelante cuando se presente el método de las fuerzas para el análisis de estructuras hiperestáticas, permite analizar la estructura sin mayores problemas. Para las demás reacciones, se plantea la sumatoria de momentos en A, en la estructura (ver figura): SMA = 0 10x4 − 10xDy = 0 Dy = 4 kN 3
  • 4. Con los valores de las reacciones encontrados, se dibujan los diagramas de cuerpo libre de cada uno de los miembros y se usan las condiciones de equilibrio para cada elemento; para ello se hacen cortes en los miembros Figura 6.21: diagramas de cuerpo libre con incógnitas, según convención general de signos en las proximidades de los nudos y se colocan las incógnitas internas de M, V, N, siguiendo las convenciones adoptadas, teniendo en cuenta que la fibra (+) quede siempre abajo, tanto para columnas como para vigas (ver figura 6.21). Se muestran en la figura 6.22 los diagramas de cuerpo libre con los valores de las fuerzas internas en los extremos de cada elemento, obtenidos mediante las ecuaciones de equilibrio de la Estática, aplicadas en cada miembro. Figura 6.22: diagramas de cuerpo libre de los miembros del pórtico 4
  • 5. Con los valores obtenidos de las fuerzas internas en los extremos de los miembros del pórtico se pueden dibujar los diagramas de cortante, momento y el nuevo diagrama de fuerza axial (que no existía en las vigas); las ordenadas en las vigas se miden verticalmente y en las columnas horizontalmente; para evitar confusiones se recomienda el uso de colores diferentes para las vigas y las columnas. Figura 6.23: diagramas de fuerzas internas del pórtico El estudio de las otras formas de masa activa: emparrillados y losas se hará en otros cursos. EJERCICIOS PROPUESTOS Encontrar las reacciones y dibujar los diagramas de momento flector, cortante, axial y elástica aproximada, del pórtico triarticulado mostrado. Figura 6.24 5
  • 6. Analizar y construir los diagramas del pórtico del ejercicio anterior, reemplazando la carga uniforme por una puntualde 15 KN, que actúa verticalmente hacia abajo, en el vértice C (articulado). Analizar y dibujar los diagramasen el pórtico anterior, colocando la fuerza de 15 kN en el punto B, horizontalmente, de izquierda aderecha. Encontrar las reacciones y dibujar los diagramas de fuerzas internas y elástica aproximada del pórtico mostrado. Fuerza Cortante (V) y Momento Flector (M) Todo análisis estructural se realiza para: a)Determinar la capacidad de soportar las cargas para las cuales fue diseñada la estructura , b)Determinar las dimensiones más adecuadas para resistir , (comparar los esfuerzos que soporta el material contra los esfuerzos actuantes o los previstos.). Elemento estructural vigaVIGA: es un elemento estructural donde una de sus dimensiones es mucho mayor que las otras dos, y a través de uno o más apoyos transmiten a la fundación u otros elementos estructurales las cargas aplicadas transversalmente a su eje, en algunos casos cargas aplicadas en la dirección de su eje.WL = longitud (LUZ)NNhb 6
  • 7. Elemento estructural viga Clasificacion de las vigas Por su forma De alma llena Por sus caracteristicas estaticas Isostaticas Hiperestaticas. Porticos Porticos se puede definir como un conjunto de elementos estructurales unidos en sus extremos mediante juntas rigidas o pernos, ademas se cumple que los ejes de las vigas no esta alineado. Fuerza cortante (v) Es la suma algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje de la viga ( o elemento estructural) que actuan a un lado de la seccion considerada. La fuerza cortante es positiva cuando la parte situada a la izquierda de la seccion tiende a subir con respecto a la parte derecha. 7
  • 8. Momento flector (m) Es la suma algebraica de los momentos producidos por todas las fuerzas externas a un mismo lado de la seccion respecto a un punto de dicha seccion. El momento flector es positivo cuando considerada la seccion a la izquierda tiene una rotacion en sentido horario. Convenio de signo para V yM Seccion considerada Diagramas de fuerza cortante y momento flector Estos permiten la representación grafica de los valores de Vy Ma lo largo de los ejes de los elementos estructurales. Se construyen dibujando una línea de base que corresponde en longitud al eje de la viga (Elemento Estructural, ee) y cuyas ordenadas indicaran el valor de V y M en los puntos de esa viga. 8
  • 9. Diagramas de fuerza cortante y momento flector La Fuerza cortante (V) se toma positiva por encima del eje de referencia. Los valores de momento flector (M) se consideran positivos por debajo del eje de referencia, es decir los diagramas se trazan por el lado de la tracción. Diagramas de fuerza cortante y momento flector Los maximos y minimos de un diagrama de momento flector corresponden siempre a secciones de fuerza cortante nula. Para poder obtener la distancia ( X, Y o d ) donde el momento flector es maximo o minimo se igualara a cero la expresión de fuerza cortante, luego se despeja dicha distancia ( X, Y o d ). Los puntos donde el momento flector es nulo se denominan los puntos de inflexión sobre la elastica. Relaciones entre Carga y Fuerza Cortante El incremento de la fuerza cortante con respecto a la distancia(X, Y o d) en una sección cualquiera de una viga o elemento estructural(situada a una distancia, x, y o d, de su extremo izquierdo) es igual al valor del área de la carga de dicha sección. 9
  • 10. Diagrama de Fuerza Cortante (V) Si en un tramo del elemento estructural (viga, columna, inclinado) no actúa ninguna carga la curva de la fuerza cortante permanecerá recta y paralela al eje del elemento estructural. Diagrama de fuerza cortante (V) Cuando en un tramo del elemento estructural se aplique una carga distribuida uniformemente, la línea de la fuerza cortante será inclinada, o sea tendrá una pendiente constante con respecto al eje del elemento. Para Carga distribuida con variación lineal de su intensidad, la curva de fuerza cortante será una línea curva de segundo grado. En los puntos de aplicación de cargas concentradas (puntuales) EXISTIRÁ una discontinuidad en el diagrama de fuerza cortante. Relación entre Fuerza Cortante y Momento Flector El incremento del momento flector con respecto a la distancia(X, Y o d) en una sección cualquiera del elemento estructural situada a una distancia (X, Y o d) de su extremo izquierdo es igual al valor del área del diagrama de fuerza cortante en la correspondiente seccionsección. 10
  • 11. Tipos de indeterminación de estructuras. INDETERMINACION ESTATICA Y CINEMATICA A) INDETERMINACION ESTATICA (grados de indeterminación o número de redundantes) Se refiere al número de acciones (fuerza axial, cortante o momento) externos y/o internos que deben liberarse a fin de transformar la estructura original en una estructura estable y determinada. B) INDETERMINACION CINEMATICA (grados de libertad) Se refiere al número de componentes de desplazamiento de nudo (traslación, rotación) que son necesarios para describir la respuesta del sistema. Define la configuración deformada del sistema. 11
  • 12. METODOS DE ANALISIS A) METODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADES (grado de indeterminación estática) En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura estática 12
  • 13. determinada y estable. Luego, se obtienen soluciones complementarias que permiten restablecer la continuidad del sistema y debe resolverse un sistema de ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se aplica la condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad. B) METODO DE LAS RIGIDECES O DESPLAZAMIENTOS (grado de indeterminación cinemática) En este método se obtiene, primero, una estructura modificada, bloqueando los desplazamientos de todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego, se superponen otras soluciones complementarias para determinar los verdaderos desplazamientos que ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a resolver es igual al número del grado de indeterminación cinemática. Primero se aplica el principio de compatibilidad y luego el de equilibrio. 13
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