1.
Ajuste por M´
ınimos cuadrados
Transcrito por: Jose Ortega
Email: jgc928@icqmail.com
Hasta ahora nos hemos ocupado de la manera de obtener el mejor valor de
una magnitud a partir de una o varias medidas. Un problema m´s general es
a
determinar la relaci´n funcional entre dos magnitudes x e y como resultado
o
de experimentos.
Supongamos que por razones te´ricas bien fundadas sabemos que entre x
o
e y existe la relaci´n lineal de la manera m´s general:
o a
y = ax + b
Y deseamos determinar los par´metros “a” y “b” a partir de “n” medidas
a
de x e y. “a” es la pendiente de la recta, es decir, la tangente del ´ngulo que
a
forma con el eje de abscisas, y “b” la ordenada en el origen, es decir la altura
a la que corta la recta al eje de ordenadas. Para concretar, supongamos que
los valores que han resultado de un experimento son los siguientes:
Xi 1 2 3 4 5 6
yi 1.5 2.5 4 3.6 5.9 6.1
Ante un problema de este tipo, lo primero que conviene hacer es rep-
resentar gr´ficamente los resultados para observar si los valores medidos se
a
aproximan a una recta o no. En la figura adjunta se han representado las
medidas anteriores.
1

2.
6
5
4
Xi
3
2
1
1
5
3
6
4
2
Yi
Figura 1: Representaci´n de los pares de valores Xi , Yi correspondientes al
o
experimento.
A la vista del gr´fico parece claro que las dos variables siguen una relaci´n
a o
lineal. La recta que parece representar mejor la relaci´n se ha dibujado (Por
o
favor, trace la mejor recta) “a ojo”. Es importante darse cuenta de que
los seis puntos dibujados no pasan todos por la misma recta. Esto es debido
a los errores de las medidas, por lo que los puntos se distribuyen de forma
m´s o menos aleatoria en torno a esa recta. A pesar de ello es claramente
a
visible la tendencia lineal de los puntos.
Para determinar la recta que mejor se adapta a los puntos se emplea el
llamado m´todo de los m´
e ınimos cuadrados. Para un valor de x determinado,
la recta de ajuste proporciona un valor diferente de y del medido en el ex-
perimento. Esta diferencia ser´ positiva para algunos puntos y negativa para
a
otros, puesto que los puntos se disponen alrededor de la recta. Por este mo-
tivo, la suma de estas diferencias para todos los puntos es poco significativa
(las diferencias negativas se compensan con las positivas).
Por ello, para medir la discrepancia entre la recta y los puntos, se emplea
2

3.
la suma de los cuadrados de las diferencias, con los que nos aseguramos de
que todos los t´rminos son positivos. Esta suma tiene la forma:
e
n
ψ= (yi − axi − b)2
i=1
De todas las posibles rectas que podemos trazar, caracterizadas por los
par´metros a y b, la recta que mejor se ajusta a los puntos es la que hace
a
m´ınima la suma expresada en la ecuaci´n anterior. Esto es f´cil de compren-
o a
der, puesto que esta suma representa la discrepancia entre los puntos y la
recta. Las condiciones de m´ınimo (primeras derivadas parciales respecto a a
y a b nulas) conducen a las ecuaciones:
a n
i=1 (xi )2 + b n
i=1 xi =
n
i=1 xi yi
n n
a i=1 xi + bn = i=1 yi
Que conocen como ecuaciones normales para la determinaci´n de a y b.
o
n es el n´ mero de parejas de valores de que se parte para determinar a recta.
u
Llegados a este punto se tiene que resolver el anterior sistema de ecuaci´nes
o
para ello vamos a renombrar las sumatorias de manera de hacer los razon-
amientos y deducciones de forma m´s sencilla.
a
n 2 n
i=1 (xi ) = Sxx i=1 xi yi = Sxy
n n
i=1 xi = Sx i=1 yi = Sy
Por lo tanto el sistema de ecuaciones, luego de hacer los cambios respec-
tivos:
aSxx + bSx = Sxy
aSx + bn = Sy
A continuaci´n se desea eliminar la variable “b” de manera de conseguir
o
en primera instancia la soluci´n de la variable “a”. Para ello se multiplica la
o
primera ecuaci´n por n y la segunda por −Sx , as´
o ı:
n [aSxx + bSx = Sxy ] anSxx + bnSx = nSxy
=⇒
−Sx [aSx + bn = Sy ] −a (Sx )2 − bnSx = −Sy Sx
a nSxx − (Sx )2 = nSxy − Sx Sy
nSxy − Sx Sy
a=
nSxx − (Sx )2
3

4.
Ahora se toma la segunda ecuaci´n del sistema y se despeja directamente
o
“b” ya que el “a” es conocido:
Sy − aSx
b=
n
Las soluciones de las ecuaciones normales, con sus cambios devueltos, son:
n xy − x y
a=
n x2 − ( x)2
y−a x
b=
n
Donde por claridad se han suprimido los l´ ımites de los sumatorios. Con
los datos del ejemplo y aplicando las anteriores ecuaciones, resulta a = 0,94
y b = 0,65 que es la recta que mejor se ajusta a los datos seg´ n el m´todo de
u e
los m´ınimos cuadrados.
El caso de una relaci´n lineal que hemos tomado como ejemplo no es
o
tan especial como podr´ pensarse, porque muchas relaciones funcionales de
ıa
inter´s pueden transformarse en lineales con un cambio de variable adecuado
e
y/o tomando logaritmos.
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