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        1. FUNCIÓN VECTORIAL
        2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
     1. 3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
     2.    ESCALAR
     3. 4. CONJUNTO DE NIVEL
     4. 5. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS
           VARIABLES
        6. CONTINUIDAD
        7. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
           ESCALAR
        8. DIFERENCIABILIDAD
        9. GRADIENTE
        10. LA DIFERENCIAL
        11. REGLA DE LA CADENA
        12. DERIVACIÓN IMPLICITA
          Objetivos.
          Se persigue que el estudiante:
            • Conceptualice funciones Vectoriales, Escalares y Curvas
            • Describa conjunto de niveles.
            • Establezca límites, continuidad y derivadas de funciones de dos
                variables.
            • Establezca si una función de dos variables es diferenciable o no.
            • Determine ecuaciones de planos tangentes a superficies.
            • Obtenga derivadas de funciones compuestas
            • Obtenga derivadas de funciones implícitas




                                                                                  1
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       1. FUNCIÓN VECTORIAL
            1.1 DEFINICIÓN

             Una función del tipo f : U ⊆ R n → R m se la
            denomina FUNCIÓN VECTORIAL o CAMPO
            VECTORIAL.

                     Ejemplo.

                     Sea f : R 2 → R 3 tal que     f ( x, y ) = (2 x − y, x + y,3x + 5 y )
                     Esquemáticamente tenemos:

                                                           f

                                              R2                         R3


                                              (1,1)                   (1,2,8)
                                           (− 2,0)                   (− 4,−2 − 6)




                tenemos f : U ⊆ R → R , se la denomina FUNCIÓN
            m = 1,                                     n
       Si
ESCALAR, CAMPO ESCALAR, O FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.

       Si   f : U ⊆ R 2 → R , tenemos una FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.

                     Ejemplo.
                     Sea f : R 2 → R tal que f ( x, y) = 6 − 2 x − 3 y


       Si   f : U ⊆ R 3 → R , tenemos una FUNCIÓN DE TRES VARIABLES.

                     Ejemplo.
                     Sea f : R 3 → R tal que f ( x, y) = x 2 + y 2 + z 2


       Si   n = 1,
                 tenemos              f :U ⊆ R → Rm ,                    la cual se la denomina
TRAYECTORIA o CURVA.




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                    Ejemplo.
                    Sea f : R → R 3 tal que f (t ) = (2 − 3t , 4 + t , − 1 + 2t )
                    Tenemos una CURVA de       R3 .

       Este capítulo lo dedicaremos al estudio de FUNCIONES ESCALARES.


       2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
       2.1 DEFINICIÓN

                 Sea f : U ⊆ R n → R . Se llama gráfica de
                  f al conjunto de puntos (x1 , x2 , , xn , f (x ))
                 de R n+1 , donde x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ U .

       Si tenemos    z = f ( x, y )          una función de dos variables. Su gráfico se
                                              (           )
define como el conjunto de puntos x, y, z de R , tales que z = f ( x, y ) . El
                                                                      3


lugar geométrico es llamado Superficie, como ya se lo ha anticipado.

       Algunas superficies que corresponde a funciones, ya se han graficado
en el capítulo anterior.

                    Ejemplo.
                    Para f : R 2 → R tal que f ( x, y) = 6 − 2 x − 3 y , su grafico es el conjunto   ( x, y , z )
                    de R 3 tales que z = 6 − 2 x − 3 y (un plano)

                                                                  z


                                                                  6




                                                                             z = 6 − 2x − 3y




                                                                                    2           y




                                              3
                                         x




                                                                                                               3
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      Elaborar gráficas de una función de dos variables no es tan sencillo, se
requeriría de un computador en la mayoría de las ocasiones. Pero si podemos
saber características de sus graficas analizando su regla de correspondencia.

       3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN ESCALAR

           Sea f : U ⊆ R n → R , entonces su DOMINIO es
           el conjunto U

     Es    decir,     su      DOMINIO       está       constituido       por     vectores        de      Rn ,
x = ( x1 , x2 ,     , xn )   para los cuales tiene sentido la regla de correspondencia;

y su RECORRIDO por vectores de                         () (
                                            R m , f x = f1 ( x), f 2 ( x),                 , f m ( x)   ).
     Aquí a    x1, x 2 , , x n se las denominan VARIABLES INDEPENDIENTES.
      Si   f : U ⊆ R 2 → R , su dominio será un subconjunto del plano.
     Establecer el Dominio Natural, igual que para funciones de una variable,
es una necesidad en muchas ocasiones.

                       Ejemplo 1
                       Hallar el Dominio Natural para f ( x, y ) = x 2 + y 2
                       SOLUCIÓN.
                       Observe que la regla de correspondencia no tiene restricciones, por tanto se le puede dar
                       cualquier valor real a las variables independientes “ x ” y “ y ”, es decir Domf = R 2 .

                       Además, se puede decir que el Dominio de una función de dos variables será la
                       PROYECCIÓN QUE TENGA SU GRÁFICA EN EL PLANO xy . Recuerde que la gráfica de

                        z = x 2 + y 2 es un paraboloide.

                                                               z




                                                                                             y



                                                   x




                        Por tanto la proyección es todo el plano xy



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                 Ejemplo 2

                 Hallar el Dominio Natural para f ( x, y ) = 9 − x 2 − y 2
                 SOLUCIÓN.
                 Observe que la regla de correspondencia tiene sentido cuando 9 − x 2 − y 2 ≥ 0 , para
                 que se pueda calcular la raíz cuadrada lo interior del radical debe ser un número positivo
                 o cero.
                 Despejando se tiene x 2 + y 2 ≤ 9 .
                                      ⎧
                                      ⎪⎛ x ⎞              ⎫
                                                          ⎪
                 Es decir:     Domf = ⎨⎜ ⎟ / x 2 + y 2 ≤ 9⎬ ,   los pares de números que pertenecen a la
                                      ⎪⎜ y ⎟
                                      ⎩⎝ ⎠                ⎪
                                                          ⎭
                 circunferencia centrada en el origen de radio 3 y a su interior.
                                                                          y


                                                                          3
                                                                                      x2 + y2 = 9



                                                                      0
                                                                          0   1   2   3             x




                 Además el gráfico de z = 9 − x 2 − y 2 , es la semiesfera:
                                                                  z




                                                                                                        y



                                                    x



                 Ejemplo 2
                 Hallar el Dominio Natural para f ( x, y ) = x − 1 + y
                 Solución.
                 Para que la regla de correspondencia tenga sentido se necesita que x ≥ 1 y                 y≥0
                                   ⎧
                                   ⎪⎛ x ⎞              ⎫
                                                       ⎪
                 Es decir   Domf = ⎨⎜ ⎟ / x ≥ 1 ∧ y ≥ 0⎬ .
                                   ⎪⎜ y ⎟
                                   ⎩⎝ ⎠                ⎪
                                                       ⎭



                 .




                                                                                                                  5
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                                                      y




                                              0
                                                      0                                  x
                                                          1   2
                  El gráfico, ahora es un lugar geométrico no conocido. Pero tenemos un indicio de la
                  región en que habrá gráfico.


                  Ejercicios Propuestos 1
                  Descríbase la región R del plano xy que corresponde al Dominio Natural de la función
                  dada .
                                                                       x+ y
                  a) z = 4 − x 2 − y 2                          h) z =
                                                                         xy
                                                                           ⎛ 9 x 2 − 6 y 2 − 36 ⎞
                  b) z = ln (4 − x − y )                          i) w = ln⎜                    ⎟
                                                                           ⎜         36         ⎟
                                                                           ⎝                    ⎠
                  c) z = x y                                                     (
                                                                  j) z = arcsen x 2 + y 2    )
                                                                                     ⎛x⎞ ⎛ 2 ⎞
                  d) z = arcsen( x + y )                          k) f ( x, y ) = sen⎜ ⎟ ln⎜
                                                                                     ⎜ y⎟ ⎜x+ y⎟
                                                                                               ⎟
                                                                                     ⎝ ⎠ ⎝     ⎠

                  e) z = e
                             x
                                 y
                                                                  l) f ( x, y ) =
                                                                                     (
                                                                                  ln 4 − x 2 − y 2  )   1
                                                                                                            2

                                                                                     arcsen( x + y )

                  f) z =               (
                             x 2 − y ln y − x 2   )
                               ⎛ xz ⎞
                  g) z = arccos⎜ ⎟
                               ⎜ y⎟
                               ⎝ ⎠



       Obtener trazas de las secciones transversales de la superficie es
suficiente, en muchas ocasiones, para su análisis.

       4. CONJUNTO DE NIVEL
       3.1 DEFINICIÓN
          Sea f : U ⊆ R n → R . Se llama CONJUNTO DE
                                                       n
          NIVEL de f , al conjunto de puntos de R tales
          que f ( x1 , x 2 , , x n ) = k , donde k ∈ R

      Si tenemos z = f ( x, y ) una función de dos variables. El Conjunto de
Nivel es llamado CURVAS DE NIVEL y serían las trayectorias en el plano xy tales


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que f ( x, y ) = c . Es decir, serían las curvas que resultan de la intersección de
la superficie con los planos z = c , proyectadas en el plano xy .

                   Ejemplo 1
                   Para f : R 2 → R tal que f ( x, y) = 6 − 2 x − 3 y , su conjunto de nivel serán puntos de
                   R 2 tales que 6 − 2 x − 3 y = k .
                   En este caso se llaman CURVAS DE NIVEL.
                               Si k = 0 , tenemos el Nivel 0 , 6 − 2 x − 3 y = 0
                               Si k = 1 , tenemos el Nivel 1 , 6 − 2 x − 3 y = 1
                               Si k = 2 , tenemos el Nivel 2 , 6 − 2 x − 3 y = 2
                               etc.

                                                    z


                                                    6

                                 z = 6 − 2x − 3y




                                                                             k = 3 : 2x + 3 y = 3

                                                                               k = 2 : 2x + 3 y = 4

                                                                                       k = 1: 2x + 3 y = 5

                                                                                           2                 y

                                                                              k = 0 : 2x + 3y = 6



                             3
                        x

                   Las curvas de nivel se dibujan en el plano xy , y para este caso serían:

                                                        y




                                                                  k=
                                                                       0:
                                                            k=               2x
                                                                  1:              +3
                                                                        2x             y=
                                                             k=              +3                6
                                                                  2:              y=
                                                                        2x             5
                                                        k=                    +3                         x
                                                                                   y=
                                                             3:                            4
                                                                   2x
                                                                        +3
                                                                             y=
                                                                                  3




                                                                                                                    7
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                   Ejemplo 2.
                   Grafique algunas curvas de nivel para f ( x, y ) = x 2 + y 2
                   SOLUCIÓN:
                   Las curvas de nivel, para este caso, es la familia de trayectorias tales que x 2 + y 2 = c .
                   (Circunferencias centradas en el origen)


                                         x2 + y2 = C




                                                                                            C = 16
                                                                                    C =9
                                                                              C=4
                                                                       C =1




       Si tenemos w = f ( x, y , z ) una función de tres variables. El Conjunto de
Nivel es llamado SUPERFICIES DE NIVEL



                   Ejercicios Propuestos 2
                   Descríbase las curvas de nivel y las secciones transversales de cada función en su
                                                                                            3
                   correspondiente plano, luego dibújese la gráfica de la superficie en R
                          a)   z = 4 − x2 − y2
                          b)    f ( x, y ) = y 2
                          c)   z=      x2 + y2
                          d)    f ( x, y ) = 6 − 2 x − 3 y

                          e)    f ( x , y ) = xy 2




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       5. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
       Haciendo analogía con funciones de una variable, para definir el límite
ahora, primero empecemos generalizando la definición de entorno o vecindad y
otras definiciones que nos permitirán comprender el concepto de límite.

       5.1 BOLA ABIERTA.

            Se llama n − bola abierta de centro en x0 y
                                                      (
            radio δ , denotada por Bn x0 ;δ , al conjunto:         )
                         (       ) {
                     Bn x0 ;δ = x ∈ R n / x − x0 < ∂                           }
            Donde x0 ∈ R n , ∂ ∈ R muy pequeño.

       Si   n = 1,   tenemos     B1 ( x0 ;δ ) = { x ∈ R / x − x0 < ∂} ;                      un intervalo
(como en funciones de una variable)

       Si   n = 2 , tenemos:
              B2 ( ( x0 , y0 ) ;δ ) =   {( x, y ) ∈ R   2
                                                            /   ( x, y ) − ( x0 , y0 )        <∂ }
                                 y
                                                      0<        (x − x )
                                                                       0
                                                                           2
                                                                               − (x − x0 ) < ∂
                                                                                        2




                                                (x , y )
                                                  0   0




                                                                               x



       5.2 PUNTO INTERIOR
            Sea U ⊆ R n y x0 ∈ R n , se dice que x0 es un punto
            interior de U , si y sólo si ∀∂ > 0, ∃Bn x0 ; ∂                        (     )
            contenida en U .
       5.3 CONJUNTO ABIERTO
            U ⊆ R n es un conjunto abierto, si todos sus
            puntos son interiores a U .

                                                                                                       9
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         5.4 PUNTO EXTERIOR.
               Sea U ⊆ R n y x0 ∈ R n , se dice que x0 es un punto
               Exterior de U , si y sólo si ∀∂ > 0, ∃Bn x0 ; ∂                                 (        )
               totalmente fuera de U .
         5.5 PUNTO DE FRONTERA
               Se dice que x0 es un punto de frontera de U , si
               no es ni interior ni exterior.
         5.6 CONJUNTO CERRADO.
               U ⊆ R n es un conjunto                                            cerrado               si     su
               complemento es abierto
         5.7 CONJUNTO SEMIABIERTO.
               U ⊆ R n es un conjunto semiabierto si no es
               abierto y tampoco cerrado.
         5.8 DEFINICIÓN DE LÍMITE
               Sea f : U ⊆ R n → R , donde U es un conjunto
               abierto, sea x0 un punto interior o de frontera
               de U , entonces:

               ⎝ x→ x0
                         ()
               ⎛ lím f x = L ⎞ ≡ ∀ξ > 0, ∃∂ > 0 / x ∈ B x ; ∂ ⇒ f x − L < ξ
               ⎜             ⎟
                             ⎠                         n 0
                                                                               (       )           ()
Si n = 2 tenemos:
⎛ lím                                ⎞
⎜ ( x , y )→( x , y ) f ( x, y ) = L ⎟ ≡ ∀ξ > 0, ∃∂ > 0 / 0 <       ( x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2    < ∂ ⇒ f ( x, y ) − L < ξ
⎝              0 0                   ⎠
                                          z
                                       (




                                      L ξ
                                          ξ
                                      (




                                                                              z = f ( x, y )




                                                                                   y


                                                                ∂
                                                        (x , y )
                                                           0    0


                             x


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       Es decir, que si tomamos a                          ( x, y )    cercano a                   (x , y )
                                                                                                         0       0
                                                                                                                     entonces
f ( x, y)   estará próximo a       L.

                    Ejemplo
                                                                                             x4 y
                    Demostrar empleando la definición que                  lím                      =0
                                                                       ( x , y ) →( 0.0 ) x 4 + y 4

                    Solución:
                    Debemos asegurar que
                                                                                          x4 y
                        ∀ξ > 0, ∃∂ > 0 / 0 <         ( x − 0) + ( y − 0)       <∂⇒               −0 <ξ
                                                               2           2

                                                                                        x4 + y 4

                    Recuerde que y =            y 2 = entonces y ≤ x 2 + y 2
                                            x4 y               x4 y
                    Por otro lado y =            entonces y ≥ 4      .
                                             x 4
                                                              x + y4
                    Ahora note que:

                                                x4 y
                                                      ≤ y ≤ x2 + y2 < ∂
                                               x + y4
                                                 4


                                                            x4 y
                    Se concluye finalmente que:                   <∂
                                                           x + y4
                                                           4


                                                                                                              x4 y
                    Es decir tomando ζ = ∂ , suficiente para concluir que:                  lím                      =0
                                                                                         ( x , y ) → ( 0.0 ) x + y 4
                                                                                                             4




       Lo anterior va a ser complicado hacerlo en la mayoría de las situaciones,
por tanto no vamos a insistir en demostraciones formales. Pero si se trata de
estimar si una función tiene límite y cuál podría ser este, podemos hacer uso
del acercamiento por trayectorias.

                    Ejemplo 1
                                                x2
                    Calcular      lím
                               ( x, y )→(0.0 ) x 2 + y 2
                    Solución:
                    Aproximarse a (0,0) , significa estar con (x, y ) en una bola de R 2

                                                               y


                                                                   x2 + y2 < ∂


                                                                                               x
                                                           (0,0)        ∂




                                                                                                                           11
MOISES VILLENA                                                                                                                   Funciones Escalares



                  Si el límite existe, significa que si nos acercamos en todas las direcciones f deberá
                    tender al mismo valor.

                  1. Aproximémonos a través del eje x , es decir de la recta y = o
                                                                                  x2
                       Entonces, tenemos                       lím                             = lím 1 = 1 .
                                                           ( x ,0 )→(0.0 ) x 2 + 0 2                x→0
                  2. Aproximémonos a través del eje y , es decir de la recta x = o
                                                                                  02
                       Entonces, tenemos                       lím                                 = lím 0 = 0 .
                                                           (0, y )→(0.0 ) 0 2 + y 2                  x→0

                   Se observa que los dos resultados anteriores son diferentes.

                                                                                               x2
                  Por tanto, se concluye que:                            lím                               no existe.
                                                                   ( x , y )→(0.0 ) x 2 + y 2




                  Ejemplo 2
                                                           x2 y
                  Calcular                 lím
                                   ( x, y )→(0.0 ) x 4 + y 2
                  Solución:
                   Determinando la convergencia de f , para diversas direcciones:
                                                                    x2 0
                  1.     Eje x ( y = 0 ): lím                                      = lím 0 = 0
                                                           x →0   x 4 + 02              x →0
                                                                       2
                                                                    0 y
                  2.     Eje y ( x = 0 ): lím          = lím 0 = 0
                                            0 + y 2 y →0
                                                       y →0        4

                  3.     Rectas que pasan por el origen ( y = mx ) :
                                       x 2 (mx )                                 mx 3                                    mx 3                                  mx
                                                            = lím                                   = lím                                     = lím
                          lím
                          x →0     x + (mx )
                                       4               2      x →0     x +m x4         2       2      x →0   x x +m
                                                                                                                 2
                                                                                                                     (   2            2
                                                                                                                                          )    x →0   (x   2
                                                                                                                                                               + m2     )=0
                  4.     Parábolas que tengan vértice el origen ( y = ax 2 )
                                        ( )
                                   x 2 ax 2
                                                           = lím
                                                                             ax 4
                                                                                               = lím
                                                                                                                 ax 4
                                                                                                                                     = lím
                                                                                                                                                  a
                                                                                                                                                           =
                                                                                                                                                                    a
                                                                                                                                                                         ≠0
                        lím
                        x →0
                               x   4
                                       + (ax )   2 2         x →0      x +a x
                                                                         4         2       4        x →0   x 1+ a
                                                                                                             4
                                                                                                                 (           2
                                                                                                                                 )    x →0 1 + a 2             1+ a 2
                                                                  x2 y
                       Por tanto,             lím                                NO EXISTE.
                                           ( x, y )→(0.0 ) x 4 + y 2




      El acercamiento por trayectoria no nos garantiza la existencia del límite,
sólo nos hace pensar que si el límite existe, ese debe ser su valor. Entonces
¿cómo lo garantizamos?. Si la expresión lo permite podemos usar coordenadas
polares.




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MOISES VILLENA                                                                                                              Funciones Escalares


                 Ejemplo
                                                      x2 y
                 Calcular             lím
                                ( x, y )→(0.0 ) x 2 + y 2
                 Solución:
                  Determinando la convergencia de f , para diversas direcciones:
                                                                    x2 0
                 1.     Eje x ( y = 0 ): lím                                        = lím 0 = 0
                                                      x →0        x + 02
                                                                   2                  x →0
                                                                       2
                                                                   0 y
                 2.     Eje y ( x = 0 ): lím          = lím 0 = 0
                                           0 + y 2 y →0
                                                    y →0           2

                 3.     Rectas que pasan por el origen ( y = mx ) :
                                   x 2 (mx )                                   mx 3                               mx 3                              mx
                                                          = lím                                  = lím                               = lím
                         lím
                         x →0   x + (mx )
                                  2               2           x →0     x +m x
                                                                           2         2     2      x →0        2
                                                                                                                  (
                                                                                                             x 1+ m          2
                                                                                                                                 )        x →0   (1 + m ) = 02



                 4.     Parábolas que tengan vértice el origen ( y = ax 2 )
                                       ( )
                                   x 2 ax 2
                                                          = lím
                                                                               ax 4
                                                                                                 = lím
                                                                                                                      ax 4
                                                                                                                                          = lím
                                                                                                                                                         ax 2
                                                                                                                                                                        =0
                         lím
                         x →0
                         x2       2 2
                                      + (ax )
                                          x →0 x 2 + a 2 x 4                                       x →0           (
                                                                                                             x 2 1+ a 2 x 2           )       x →0 1 + a 2 x 2

                 Probemos con otra trayectoria
                 5. x = ay 2
                                  (ay ) y2 2
                                                          = lím
                                                                                   ay 5
                                                                                                 = lím
                                                                                                                          ay 5
                                                                                                                                              = lím
                                                                                                                                                                 ay 3
                         lím
                         y →0
                                (ay ) + y
                                      2 2             2           y →0     a2 y4 + y2              y →0               (
                                                                                                              y 2 a 2 y 2 +1              )      y →0   (a   2
                                                                                                                                                                 y 2 +1 )=0
                      Parecer ser que el límite es cero, pero todavía no está garantizado. ¿Por qué?

                 Demostrarlo, no es una tarea sencilla. Usemos coordenadas polares:
                                                                                ( r cos θ ) ( rsenθ )
                                                                                                              2
                                                                  x2 y
                                                  lím                    = lím
                                            ( x , y ) →( 0.0 ) x 2 + y 2   r →0           r2
                                                                                            r 3 senθ cos θ
                                                                                     = lím
                                                                                       r →0        r2
                                                                                     = lím ( rsenθ cos θ )
                                                                                          r →0

                 En la parte última se observa que senθ cos θ es acotado por tanto
                                                 lím ( rsenθ cos θ ) = 0
                                                                            r →0



     Lo anterior quiere decir que en situaciones especiales (¿cuáles?),
podemos utilizar coordenadas polares para demostrar o hallar límites.

                 Ejemplo

                 Calcular             lím
                                                          (
                                                  sen x 2 + y 2                )
                                ( x, y )→(0.0 )           x +y
                                                           2           2

                 Solución:
                  Empleando coordenadas polares


                                      lím
                                                              (
                                                    sen x 2 + y 2                  ) = lím sen(r ) = 1   2

                                 ( x , y )→(0.0 )         x2 + y2                     r →0         r2




                                                                                                                                                                             13
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       5.8.1 TEOREMA DE UNICIDAD.

          Sea f : U ⊆ R n → R , donde U es un conjunto
          abierto, sea x0 un punto interior o de frontera
          de U , entonces:
                                ()
          Si lim f x = L y lim f x = M entonces L = M
                  x→ x 0                                       x→ x 0
                                                                             ()
       5.8.2 TEOREMA PRINCIPAL.


                   ()                     ()
          Si lim f x = L y lim g x = M entonces:
                 x→ x 0                                    x→ x 0

          1. lim ⎡ f ( x ) + g ( x) ⎤ = lim f ( x ) + lim g ( x) = L + M
                 ⎣
                 x→ x0               ⎦                                  x→ x0              x→ x 0

          2. lim ⎡ f ( x ) − g ( x ) ⎤ = lim f ( x ) − lim g ( x) = L − M
                 ⎣
                 x→ x0               ⎦                                  x→ x0              x→ x0

          3. lim ⎡ f ( x ) g ( x ) ⎤ = lim f ( x ) lim g ( x) = LM
                 ⎣
                 x→ x0             ⎦                              x→ x0           x→ x 0


                 ⎡f        ⎤ lim f ( x ) L M ≠ 0
          4. lim ⎢ ( x ) ⎥ =                 =       ;x→ x0

                 ⎣g
                 x→ x0
                           ⎦ lim g ( x) M               x→ x0


Por tanto en situaciones elementales, la sustitución basta

                           Ejemplo
                                            lím
                                      ( x, y )→(1.2 )
                                                      (x   2
                                                                         )
                                                               + 2y −3 = 8




                           Ejercicios Propuesto 3
                           1.   Calcular los siguientes límites:
                                               ⎛ y⎞
                                        x 2 sen⎜ ⎟
                                a)                                                         g)
                                                                                                lim (x + 3 y           )
                                               ⎝k⎠                                                                 2
                                   lim y
                                    x→k                                                          x→2
                                     y →0                                                        y →1
                                                  2
                                b)             x y                                         h)
                                     lim x 2 + y 2
                                      x→0
                                                                                                 lim ysenxy
                                                                                                 x →π
                                     y →0                                                             4
                                                                                                 y →2

                                                      sen(x + y )
                                c)       lim
                                     ( x , y )→(0,0 )     y
                                                                                           f)       lim
                                                                                                ( x , y )→(0,0   )
                                                                                                                  (x   2
                                                                                                                           + y2   )   x2 y 2




                                           e xy − 1
                                                                                                                  2x − y 2
                                d)                                                         i)       lím
                                     lim x                                                      ( x , y →(0,0 )) 2 x 2 + y
                                      x →0
                                     y →0




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MOISES VILLENA                                                                                              Funciones Escalares


                       e)               (
                                   sen x 2 + y 2   )
                            lim         x2 + y2
                            x →0
                            y →0

                 2.    Calcúlese el límite de f (x, y ) cuando                                  (x, y ) → (a, b )            hallando los límites:

                       lim g ( x ) y lim h ( y ) , donde                           f ( x, y ) = g ( x ) h ( y )
                         x→ a                y→b


                       a)       (1 + senx )(1 − cos y )                                                                        c)              cos x seny
                          lim
                           x →0            y                                                                                        lim
                                                                                                                                     x →0           y
                            y →0                                                                                                     y →0

                       b)       2 x( y − 1)                                                                                    d)                 xy
                          lim (x + 1)y
                           x →1
                                                                                                                                    lim (x − 1)e y
                                                                                                                                     x →1
                            y →2                                                                                                     y →0
                                                       6     6
                       Sea: f (x, y ) =                                                                                                        f ( x, y ) ?
                                                   x y
                 3.                                                    ¿para qué valores de "a" existe el                       lím
                                              x + ay 4
                                                  4                                                                         ( x , y →(0,0 ))




       6. CONTINUIDAD

          Sean        f : U ⊆ R n → R , sea x0 un punto U .
          Decimos que f es continua en x0 si y sólo si:
                                              ()
                                lim f x = f x 0
                                x→ x 0
                                                                            ( )
                 Ejemplo.
                                                         ⎧ xy
                                                                 2 (
                                                         ⎪ 2      ; x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                 Analizar la continuidad de f ( x, y ) = ⎨ x + y
                                                         ⎪ 0      ; ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                                         ⎩
                 En el punto ( 0,0 ) .
                 SOLUCIÓN:
                 Para que la función sea continua se debe cumplir que                                    lim             f ( x, y ) = 0
                                                                                                    ( x , y ) →( 0,0 )
                                                                              xy
                 Determinemos el límite.                   lim
                                                       ( x , y ) →( 0,0)   x2 + y 2
                 Acercándonos por trayectorias.
                              0
                  y = 0; lim 2 = 0
                         x →0 x

                              0
                 x = 0; lim 2 = 0
                         y →0 y


                                     x2           1
                 y = x ; lim                  =
                        x →0 x + x 22
                                                  2
                                                 xy
                 Entonces lim                          no existe.
                           ( x , y ) →( 0,0) x 2 + y 2

                 Por tanto, f      NO ES CONTINUA EN                   ( 0,0 ) .




                                                                                                                                                         15
MOISES VILLENA                                                                                       Funciones Escalares


       6.1 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
          Sea f : U ⊆ R n → R . Se dice que        f es
          continua en todo U si y sólo si es continua en
          cada punto de U .

          6.1.1 Teorema
          Si f y g son continuas en x0 , entonces
          también son continuas: f + g , f − g , fg ,
           f
           g
                 ( ( ) )
             g x0 ≠ 0 .


                   Ejercicios propuestos 4
                   Analice la continuidad en ( 0,0 ) de las siguientes funciones:
                                        ⎧ sen xy
                                        ⎪        , ( x, y ) ≠ (0,0 )
                        a) f ( x, y ) = ⎨ xy
                                        ⎪ 1 , ( x, y ) = (0,0 )
                                        ⎩
                                        ⎧e xy , ( x, y ) ≠ (0,0 )
                                        ⎪
                        b) f ( x, y ) = ⎨
                                        ⎪1 , ( x, y ) = (0,0 )
                                        ⎩
                                       ⎧       xy
                                                                   (x, y ) ≠ (0,0)
                        c) f ( x, y ) = ⎪ x 2 + y 2
                                                           ,
                                        ⎨
                                       ⎪    1 , ( x, y ) = (0,0 )
                                       ⎩
                                       ⎧ cos x 2 + y 2
                                       ⎪1 −
                                                       (, x2 + y2 ≠ 0
                                                                           )
                        d) f (x, y ) = ⎪
                                       ⎨     x +y
                                              2    2
                                       ⎪
                                       ⎪
                                       ⎩       −8      , x2 + y2 = 0
                                       ⎧ 1 − x2 − y2
                                       ⎪               , x2 + y2 ≠ 0
                        e) f (x, y ) = ⎪ 1 − x 2 − y 2
                                       ⎨
                                       ⎪
                                       ⎪
                                       ⎩       1      , x2 + y2 = 0
                                        ⎧ x3 + y3
                                        ⎪           , ( x, y ) ≠ (0,0)
                        f) f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2
                                        ⎪
                                        ⎩      0 , ( x, y ) = (0,0)
                                          ⎧ y x3

                                          ⎪           , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                        g) f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 6
                                          ⎪      0 , ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                          ⎩
                                        ⎧ y5 x2
                        h) f ( x, y ) = ⎪ 2 x 4 + 3 y10
                                                         ,                     ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                                        ⎨
                                        ⎪        0      ,                      ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                        ⎩
                                       ⎧ x y − xy
                                           3   2               3


                        i) f ( x, y ) = ⎪ x 2 + y 2
                                                                       ,       ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                                        ⎨
                                       ⎪           0               ,       ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                       ⎩




16
MOISES VILLENA                                                       Funciones Escalares


       7. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR.
       Para función de una variable la derivada se la definió como el cambio
instantáneo que experimenta la función cuando cambia su variable
independiente x . Aquí había que considerar una sola dirección, para función
de varias variables debería ser el cambio instantáneo que tiene la función en
todas las direcciones en la vecindad de un punto.


    7.1 Derivada Direccional. Derivada de un campo
escalar con respecto a un vector.

          Sea f : U ⊆ R n → R , donde U es un conjunto
                                                             →

          abierto, x 0 un punto de U . Sea v un vector de
          Rn .
                                                                                   →

          La derivada de f en x 0 con respecto a v ,
                                  ⎛ x 0 ; v ⎞ o también D f (x 0 ), se
                                          →

          denotada por f ´⎜                 ⎟
                                  ⎝         ⎠
                                                                       →
                                                                v

          define como:
                                              ⎛        ⎞
                                                                 ( )
                                                     →
                                            f ⎜ x0 + v ⎟ − f x0
                     ⎛ →⎞
                  f ´⎜ x 0 ; v ⎟ = lim ⎝              →
                                                       ⎠
                     ⎝         ⎠ v →0
                                    →

                                                      v
          Cuando este límite existe
                                         →                       →         →           →
       Ahora bien, si decimos que         v =h     entonces      v = hu        donde   u   un

VECTOR UNITARIO   de   R n , entonces:


          La derivada direccional de                         f       en x 0 con
                         →
          respecto u es:
                                             f ⎛ x 0 + h u ⎞ − f (x 0 )
                                                         →

                                               ⎜           ⎟
                            ⎛ x 0 ; u ⎞ = lim ⎝            ⎠
                                    →

                         f ´⎜         ⎟ h →0
                            ⎝         ⎠                  h




                                                                                           17
MOISES VILLENA                                                                                        Funciones Escalares


                      Ejemplo 1
                                                          ⎛ →⎞
                             ()
                                 2
                      Sea f x = x ; x ∈ R n . Calcular f ´⎜ x 0 , v ⎟ .
                                                          ⎜         ⎟
                                                          ⎝         ⎠
                      SOLUCIÓN:
                                                  ⎛          ⎞
                                                                              ( )
                                                           →
                                                f ⎜ x0 + h u ⎟ − f x0
                              ⎛   →
                                        ⎞         ⎝          ⎠
                           f ´⎜ x 0 ; v ⎟ = lim                       =
                              ⎝         ⎠ h→0              h
                                                          → 2                 2
                                               x0 + h u − x0
                                      = lim
                                         h→0         h
                                            ⎛          ⎞ ⎛            ⎞
                                                                                        ( ) ( )
                                                     →              →
                                            ⎜ x0 + h u ⎟ • ⎜ x0 + h u ⎟ − x0 • x0
                                      = lim ⎝          ⎠ ⎝            ⎠
                                        h→0                      h
                                                                  →                 →   →
                                            x 0 • x 0 + 2h u • x 0 + h 2 u • u − x 0 • x 0
                                      = lim
                                        h→0                       h
                                                   →              →       →
                                            2h u • x 0 + h 2 u • u
                                      = lim
                                        h→0             h
                                            ⎛   →           → →
                                                                  ⎞
                                      = lim ⎜ 2 u • x 0 + h u • u ⎟
                                        h→0 ⎝                     ⎠
                                          →
                                      = 2 u • x0



Si   f : U ⊆ R 2 → R (una función de dos variables), entonces:
                                     f ⎛ ( x0 , y 0 ) + h u ⎞ − f ( x0 , y 0 )
                                                          →

                                       ⎜                    ⎟
               ⎛ ( x , y ); u ⎞ = lim ⎝                     ⎠
                            →
            f ´⎜ 0 0 ⎟ h→0
               ⎝              ⎠                          h
                      Ejemplo 2
                                                                                            →   ⎛ 2    2⎞
                      Sea f ( x, y ) = x 2 + y 2 . Hallar D f (1, 2 ) donde u = ⎜ , ⎟
                                                                      →
                                                                                ⎜ 2 2 ⎟
                                                           u
                                                                                ⎝     ⎠
                      SOLUCIÓN:
                      Empleando la definición:
                                                              ⎛              ⎛ 2 2 ⎞⎞
                                                            f ⎜ (1, 2 ) + h ⎜⎜ 2 , 2 ⎟ ⎟ − f (1, 2 )
                                                                                       ⎟⎟
                                                              ⎜
                                                              ⎝              ⎝         ⎠⎠
                                      D→ f (1, 2 ) = lim
                                       u              h →0                       h
                                                             ⎛          2            2⎞
                                                           f ⎜1 + h
                                                             ⎜             , 2+h      ⎟ − f (1, 2 )
                                                                       2            2 ⎟
                                                  = lim ⎝                             ⎠
                                                    h →0                       h
                                                          ⎡⎛           2⎞ ⎛
                                                                           2
                                                                                        2⎞ ⎤
                                                                                           2

                                                          ⎢⎜ 1 + h       ⎟ +⎜2+ h
                                                                               ⎜          ⎟ ⎥ − ⎡1 + 2 ⎤
                                                                                                    2 2

                                                          ⎢⎜⎝         2 ⎟ ⎝
                                                                         ⎠             2 ⎟ ⎥ ⎣
                                                                                          ⎠ ⎦
                                                                                                        ⎦
                                                  = lim ⎣
                                                    h →0                            h
                                                          ⎡               h2                 h2 ⎤
                                                          ⎢1 + h 2 + + 4 + 2h 2 + ⎥ − [5]
                                                  = lim ⎣
                                                                          2                   2⎦
                                                    h →0                          h
                                                          5 + 3h 2 + h 2 − 5
                                                  = lim
                                                    h →0             h
                                                          3h 2 + h 2
                                                  = lim
                                                    h →0         h
                                                              (
                                                   = lim 3 2 + h
                                                       h →0
                                                                          )
                                                   =3 2




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MOISES VILLENA                                                                                           Funciones Escalares


                 Ejemplo 3
                                  ⎧ xy
                                          2 (
                                  ⎪ 2      ; x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                 Sea f ( x, y ) = ⎨ x + y                        .
                                  ⎪ 0      ; ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                  ⎩
                                                               →
                 Hallar D→ f ( 0, 0 ) donde u = ( cos θ , senθ )
                           u

                 SOLUCIÓN:
                 Aplicando la definición:

                               D→ f ( 0, 0 ) = lim
                                                                   f   ( ( 0, ) + h ( cos θ , senθ ) ) − f ( 0, 0 )
                                 u                       h →0                       h
                                                               f ( h cos θ , hsenθ ) − f ( 0, 0 )
                                                    = lim
                                                        h →0   h
                                              ⎡ ( h cos θ )( hsenθ ) ⎤
                                              ⎢                      ⎥−0
                                              ⎣          h2          ⎦
                                      = lim
                                         h →0               h
                                              cos θ senθ
                                      = lim
                                         h →0       h
                 En la última expresión:
                                     π              π
                 1.   Si θ = 0,              ,π ,        entonces D→ f ( 0, 0 ) = 0
                                     2              2                         u

                                     π              π
                 2.   Si θ ≠ 0,              ,π ,        entonces D→ f ( 0, 0 ) no existe.
                                     2              2                         u




                 Ejemplo 4
                                  ⎧ x2 y
                                          2 (
                                  ⎪ 4      ; x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                 Sea f ( x, y ) = ⎨ x + y                      .
                                  ⎪ 0 ; ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                  ⎩
                                                               →
                 Hallar D→ f ( 0, 0 ) donde u = ( cos θ , senθ )
                           u

                 Solución:
                 Aplicando la definición:
                                                                         f ( h cos θ , hsenθ ) − f ( 0, 0 )
                                     D→ f ( 0, 0 ) = lim
                                         u                      h →0                 h
                                                                 ⎡ ( h cos θ )2 ( hsenθ ) ⎤
                                                                 ⎢                          2 ⎥
                                                                                                −0
                                                                 ⎢ ( h cos θ ) + ( hsenθ ) ⎥
                                                                               4

                                                         = lim   ⎣                            ⎦
                                                           h →0                    h
                                                                       h3 cos 2 θ senθ
                                                                 h 2 ( h 2 cos 4 θ + sen 2θ )
                                                         = lim
                                                           h →0                 h
                                                                      cos θ senθ
                                                                           2
                                                         = lim 2
                                                           h → 0 h cos 4 θ + sen 2θ

                 En la última expresión:
                 1. Si θ = 0, π ( senθ = 0 ) entonces D→ f ( 0, 0 ) = 0
                                                                                     u

                                                           cos 2 θ
                 2.   Si θ ≠ 0, π entonces D→ f ( 0, 0 ) =         ( existe).
                                            u               senθ



                                                                                                                         19
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      Más adelante daremos una técnica para hallar derivadas direccionales
sin emplear la definición.

      Un caso especial de las derivadas direccionales es                                                     cuando
consideramos dirección con respecto a eje x y con respecto al eje y .

                      Ejercicios Propuestos 5
                      Determine la derivada direccional de f en el origen en la dirección del vector unitario
                      ( a, b ) .
                                                   ⎧ x 3 y 2 − xy 3
                                                   ⎪                  si ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                                   a) f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2
                                                   ⎪         0        si ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                                   ⎩
                                                   ⎧ y −x  2     2

                                                   ⎪ xy                si ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                                   b) f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2
                                                   ⎪    0             si ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                                   ⎩



       7.2 Derivada Parcial.

            Sea f : U ⊆ R n → R , donde U es un conjunto
            abierto, x 0 un punto de U , h ∈ R . Sea
            →
            e i = (0,0, ,1, ,0 ) un vector canónico unitario
            de R n .
            La derivada parcial de f en x 0 con respecto a
            →
            e i (o con respecto a su i − ésima variable),
                         ∂f
            denotada por
                         ∂xi
                                              ( )
                             x 0 , se define como:

                                       f ⎛ x 0 + h e i ⎞ − f (x 0 )
                                                                           →


                    ∂f                   ⎜             ⎟
                    ∂xi
                        (x 0 ) = lim
                                  h →0
                                         ⎝
                                                   h
                                                       ⎠

            Cuando este límite existe

       Si    f : U ⊆ R 2 → R (una                  función de dos variables), entonces los
vectores canónicos unitarios serían:                       e1 = i = (1,0)
                                                                ˆ                      y       e2 = ˆ = (0,1) .
                                                                                                    j             Las
derivadas parciales serían:
                 ∂f                     f           ( ( x , y ) + h (1,0 ) ) − f ( x , y )
                     ( x0 , y0 ) = lim                     0      0                                  0   0

                 ∂x1               h →0                                         h


20
MOISES VILLENA                                                                                    Funciones Escalares


                                                 ∂f
       Denotada simplemente como:                   o también f x , es decir:
                                                 ∂x
                          ∂f               f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 )
                             = lim
                          ∂x h→0                                                h
       Y la otra derivada parcial sería:
                 ∂f                     f         ( ( x , y ) + h ( 0,1) ) − f ( x , y )
                     ( x0 , y0 ) = lim                      0               0                                0   0

                 ∂x2               h →0                                                       h
                                                 ∂f
       Denotada simplemente como:                      o también f y , es decir:
                                                  ∂y
                              ∂f               f ( x0 , y0 + h ) − f ( x0 , y0 )
                                 = lim
                              ∂y h→0                                                      h

                      Ejemplo 1
                                                            ∂f   ∂f
                      Sea f (x, y ) = x 2 y 3 , obtener        y    .
                                                            ∂x   ∂y
                      SOLUCIÓN:
                                               ∂f       f ( x + h, y ) − f ( x, y )
                                                  = lim
                                               ∂x h → 0             h
                                                            ( x + h)                y3 − x2 y3
                                                                                2

                                                   = lim
                                                     h →0            h

                                                   = lim
                                                            ( x + 2 xh + h2 ) y 3 − x 2 y 3
                                                                    2


                                                     h →0                h
                                                          x y + 2 xhy 3 + h 2 y 3 − x 2 y 3
                                                                2       3
                                                   = lim
                                                     h →0                   h
                                                          2 xhy 3 + h 2 y 3
                                                   = lim
                                                     h →0        h
                                                   = lim ( 2 xy + hy 3 )
                                                               3
                                                     h →0

                                               ∂f
                                                  = 2 xy 3
                                               ∂x

                                               ∂f       f ( x, y + h ) − f ( x, y )
                                                  = lim
                                               ∂y h → 0             h
                                                             x2 ( y + h) − x2 y3
                                                                                      3

                                                   = lim
                                                      h→0                h
                                                             x 2 ( y 3 + 3 y 2 h + 3 yh 2 + h3 ) − x 2 y 3
                                                   = lim
                                                      h→0                       h
                                                         x 2 y 3 + 3 x 2 y 2 h + 3x 2 yh 2 + x 2 h3 − x 2 y 3
                                                   = lim
                                                     h→0                          h
                                                         3x 2 y 2 h + 3x 2 yh 2 + x 2 h3
                                                   = lim
                                                     h→0                  h
                                                   = lim ( 3 x 2 y 2 + 3 x 2 yh + x 2 h 2 )
                                                      h→0

                                               ∂f
                                                  = 3x 2 y 2
                                               ∂y



                                                                                                                     21
MOISES VILLENA                                                                                 Funciones Escalares


                   ∂f
       Note que            se obtiene como una derivada para función de una
                   ∂x
variable, en este casox , y considerando a la otra variable y como constante.
                                    ∂f
Análogamente, si se desea obtener      , deberíamos derivar considerando sólo
                                    ∂y
a y como variable.

                   Ejemplo 2
                                                                              ∂f   ∂f
                   Sea f (x, y ) = sen x 2 + y 3 , obtener                       y    .
                                                                              ∂x   ∂y
                   SOLUCIÓN:
                                                ∂f
                                                ∂x
                                                                   ⎡1
                                                   = cos x 2 + y 3 ⎢ x 2 + y 3   (         )−1
                                                                                                 2   (2 x )⎤
                                                                                                           ⎥
                                                                   ⎣2                                     ⎦
                                                ∂f
                                                ∂y
                                                                   ⎡1
                                                   = cos x 2 + y 3 ⎢ x 2 + y 3   (         ) (3 y )⎤
                                                                                            −1
                                                                                                 2
                                                                                                   ⎥
                                                                                                         2
                                                                   ⎣2                                          ⎦



       En otros tipos de funciones habrá que aplicar la definición.

                   Ejemplo 3
                                    ⎧ xy
                                            2 (
                                    ⎪ 2      ; x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                   Sea f ( x, y ) = ⎨ x + y                        .
                                    ⎪ 0      ; ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                    ⎩
                   Hallar f x ( 0, 0 ) y f y ( 0, 0 )
                   SOLUCIÓN:
                   Aplicando la definición:
                                                                                 ⎡ h ( 0) ⎤
                                                                                 ⎢ 2      2 ⎥
                                                                                              −0
                      a) f ( 0, 0 ) = lim       f ( h, 0 ) − f ( 0, 0 )          ⎣h + 0 ⎦              0
                          x                                               = lim                  = lim = 0
                                         h →0             h                 h →0        h          h→0 h



                                                                          ⎡ 0 (h) ⎤
                                                                          ⎢ 2     2 ⎥
                                                                                      −0
                                           f ( 0, h ) − f ( 0, 0 )        ⎣0 + h ⎦             0
                     b) f y ( 0, 0 ) = lim                         = lim                 = lim = 0
                                       h→0            h              h →0       h          h→0 h




                   Ejercicios propuestos 6
                                    ∂f ∂f
                   1. Encontrar       ,   si :
                                    ∂x ∂y
                      a) f ( x, y ) = xy                                             d) f ( x, y ) = xe x              + y2
                                                                                                                   2




                                     (      ) (
                     b) f ( x, y ) = x 2 + y 2 log e x 2 + y 2            )          e) f (x, y ) = x cos x cos y

                     c) f ( x, y ) = cos(ye )sen x
                                                                                                         sen ( xy )
                                                 xy
                                                                                     f) f ( x, y ) =           ∫        g ( t ) dt
                                                                                                             y2

                   2. Hallar f x ( 0, 0 ) y f y ( 0, 0 ) , para:



22
MOISES VILLENA                                                                                                Funciones Escalares


                                                    ⎧ xy2
                                                    ⎪ 2 2                   si ( x, y ) ≠ ( 0,0)
                                    a) f ( x, y ) = ⎨ x + y
                                                    ⎪     0                   si ( x, y ) = ( 0,0)
                                                    ⎩

                                                    ⎧ x 3 y 2 − xy 3
                                    b) f ( x, y ) = ⎪ x 2 + y 2
                                                                       ,          ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                                                    ⎨
                                                    ⎪         0      ,           ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                                    ⎩

                                    c) f ( x, y ) = ⎪
                                                    ⎨
                                                     ⎧ x 2 − y 2 sen
                                                                            ( )1
                                                                            x2 + y2
                                                                                             ,    ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                                                     ⎪
                                                     ⎩          0                        ,       ( x, y ) = ( 0, 0 )
                                                    ⎧ sen ( x 2 − y 2 )
                                                    ⎪                   ; ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
                                    d) f ( x, y ) = ⎨     x+ y
                                                    ⎪
                                                    ⎩         0         ; ( x, y ) = ( 0, 0 )




                 7.3.1         INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS
                               DERIVADAS PARCIALES

              Se ha definido la derivada tratando de que se entienda como la
       variación de la función con respecto a una dirección. Entonces la
                               ∂f
       derivada parcial           , será la pendiente de la recta tangente paralela al
                               ∂x
       plano     zx , observe la figura:

                                                               z
                                                                                                        ∂f
                                                                                                  m=       (x0 , y0 )
                                                                                                        ∂x




                                                 (x0 , y0 , f (x0 , y0 ))
                                                                        • ∆z
                         z = f ( x, y )

                                                                      ∆x

                                                                                                 y0
                                                                                                                         y
                                          x0
                                                                            (x0 , y0 )
                                           h
                                x0 + h                              (x0 + h, y0 )

                           x



                                                                            ∂f
                 En cambio, la derivada parcial                                , será la pendiente de la recta
                                                                            ∂y
       tangente paralela al plano                zy , observe la figura:

                                                                                                                              23
MOISES VILLENA                                                                                                Funciones Escalares



                                                         z



                                                                                                    z = f ( x, y )


                      ∂f
                 m=      (x0 , y0 )
                      ∂y
                                                              (x0 , y0 , f (x0 , y0 ))
                                                             ∆z
                                                                  •
                                                                      ∆y
                                                                                 y0 h
                                                                                           y0 + h                    y

                                 x0
                                                             (x0 , y0 ) (x 0 , y 0 + h )

                      x



                  Ejemplo 1
                  Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva de intersección de la
                  superficie que tiene por ecuación z = x 2 + y 2 con el plano y = 1 en el punto
                  (2,1,5) .
                  SOLUCIÓN:
                  Realizando un gráfico, tenemos:




                                                                           z

                                          z = x2 + y 2




                                                                        (2,1,5)•
                                              y =1

                                                                                                                         y
                                                                                            ∂z
                                                                                         m = (2,1)
                                                                                            dx
                                                                                dz

                                                                                                    →

                                                                                                    S = (a, o, c )
                                      x
                                                                                  dx




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                                                                      ⎧ x = x0 + at
                                                                      ⎪
                     La ecuación de toda recta es de la forma l : ⎨ y = y0 + bt .
                                                                      ⎪ z = z + ct
                                                                      ⎩      0
                     El punto está dado: (x0 , y0 , z 0 ) = (2,1,5) .
                     Los vectores directrices son paralelos al plano zx y por tanto son de la forma:
                     →
                     S = (a, o, c ) . ¿Por qué?
                                                         ∂z
                     La pendiente de la recta será m =      (2,1) ; que definirá la dirección de los vectores
                                                         dx
                     directores.

                                                            ∂z
                     Ahora bien, si z = x + y entonces         = 2x .
                                         2   2
                                                            ∂x
                                     ∂z
                     Evaluando tenemos: = 2 x = 2(2) = 4
                                     ∂x
                               ∂z c 4
                     Entonces:   = =
                               ∂x a 1
                               →
                     Por tanto S = (a, o, c ) = (1,0,4 )
                     Finalmente la ecuación de la recta buscada será:
                                               ⎧ x = x0 + at = 2 + t
                                               ⎪
                                           l : ⎨ y = y0 + bt = 1 + 0t
                                               ⎪ z = z + ct = 5 + 4t
                                               ⎩      0




                 7.3.2      DERIVADAS                   PARCIALES                  DE          ORDEN
                            SUPERIOR

          Sean f : U ⊆ R 2 → R                        tal       z = f ( x, y ) .
                                                                 que
                                                                   ∂f       ∂f
          Suponga que las derivadas parciales                             y
                                                                   ∂x       ∂y
          existan. Entonces las Derivadas parciales de
          Segundo Orden se definen como:
                                    ∂f
          ∂ f      ∂ ⎛ ∂f ⎞
                                        ( x0 + h, y0 ) − ∂f ( x0 , y0 )
                 = ⎜ ⎟ = lim ∂x                           ∂x
            2

                                                                         = f xx
          ∂x   2
                   ∂x ⎝ ∂x ⎠ h →0
                                                     h
                                     ∂f
           ∂ f      ∂ ⎛ ∂f ⎞
                                         ( x0 , y0 + h ) − ∂f ( x0 , y0 )
                  = ⎜ ⎟ = lim ∂x                           ∂x
             2

                                                                          = f xy
          ∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠       h →0
                                                      h




                                                                                                         25
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                                       ∂f
                                           ( x0 + h, y0 ) − ∂f ( x0 , y0 )
                 ∂ f2
                         ∂ ⎛ ∂f ⎞      ∂y                    ∂y
                       = ⎜ ⎟ = lim                                          = f yx
                 ∂x∂y ∂x ⎜ ∂y ⎟ h→0
                            ⎝ ⎠                         h
                                      ∂f
                                          ( x0 , y0 + h ) − ∂f ( x0 , y0 )
                 ∂2 f   ∂ ⎛ ∂f ⎞      ∂y                    ∂y
                      = ⎜ ⎟ = lim
                           ⎜ ∂y ⎟ h→0                                      = f yy
                 ∂y 2
                        ∂y ⎝ ⎠                         h
                 Cuando estos límites existan.

A    f xy   ya   f yx   se las denominan Derivadas Mixtas o Derivadas Cruzadas.
                            Ejemplo 1
                            Sea f (x, y ) = x 2 e x + y , obtener todas las derivadas parciales de segundo orden.
                                                                    2       2



                            Solución:
                            Las Derivadas parciales de primer orden son:
                                                                            + y2                                   + y2
                                                                                                                          (2 x ) = 2 xe x + y                                     + y2
                                                                        2                                      2                                  2      2                    2
                                              f x = 2 xe x                           + x 2e x                                                                    + 2 x 3e x
                                                                            + y2
                                                                                    (2 y ) = 2 x 2 ye x + y
                                                                        2                                                          2     2
                                              f y = x 2e x
                            Por tanto las derivadas parciales de segundo orden serían:
                                                  + y2                           + y2
                                                                                         (2 x ) + 6 x 2 e x + y                                                  + y2
                                                                                                                                                                        (2 x )
                                              2                              2                                                 2         2                   2
                              f xx = 2e x                   + 2 xe x                                                                         + 2 x 3e x
                                          2
                                              +y      2                         2
                                                                                    +y   2                            2
                                                                                                                          +y   2                    2
                                                                                                                                                        +y   2
                                 = 2e x                    + 4 x 2e x                            + 6 x 2e x                            + 4 x 4e x
                                                      + y2
                                                              (2 y ) + 2 x 3e x + y (2 y )
                                                  2                                                   2        2
                              f xy = 2 xe x
                                                   2
                                                       + y2                                  2
                                                                                                 + y2
                                 = 4 xye x                        + 4 x 3 ye x
                                                           + y2                                      + y2
                                                                                                            (2 x )
                                                       2                                         2
                              f yx = 4 xye x                       + 2 x 2 ye x
                                                   2
                                                       + y2                                  2
                                                                                                 + y2
                                 = 4 xye x                        + 4 x 3 ye x
                                                           + y2                                      + y2
                                                                                                            (2 y )
                                                       2                                         2
                              f yy = 2 x 2 e x                     + 2 x 2 ye x
                                                   2
                                                       +y    2                                    2
                                                                                                      +y   2
                                 = 2x 2e x                        + 4 x 2 y 2e x




            Note que las derivadas cruzadas son iguales.

                        7.3.3 TEOREMA DE SCHWARZ

                 Sea f : U ⊆ R 2 → R , una función definida en el
                 abierto U de R 2 . Si las derivadas parciales
                  ∂2 f    ∂2 f
                       y       existen y son funciones continuas
                 ∂x∂y    ∂y∂x
                                     ∂2 f   ∂2 f
                 en U , entonces:         =
                                    ∂x∂y ∂y∂x


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Funciones escalares: dominio, gráfica y derivación

  • 1. MOISES VILLENA Funciones Escalares 4 1. FUNCIÓN VECTORIAL 2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 1. 3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN 2. ESCALAR 3. 4. CONJUNTO DE NIVEL 4. 5. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 6. CONTINUIDAD 7. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 8. DIFERENCIABILIDAD 9. GRADIENTE 10. LA DIFERENCIAL 11. REGLA DE LA CADENA 12. DERIVACIÓN IMPLICITA Objetivos. Se persigue que el estudiante: • Conceptualice funciones Vectoriales, Escalares y Curvas • Describa conjunto de niveles. • Establezca límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables. • Establezca si una función de dos variables es diferenciable o no. • Determine ecuaciones de planos tangentes a superficies. • Obtenga derivadas de funciones compuestas • Obtenga derivadas de funciones implícitas 1
  • 2. MOISES VILLENA Funciones Escalares 1. FUNCIÓN VECTORIAL 1.1 DEFINICIÓN Una función del tipo f : U ⊆ R n → R m se la denomina FUNCIÓN VECTORIAL o CAMPO VECTORIAL. Ejemplo. Sea f : R 2 → R 3 tal que f ( x, y ) = (2 x − y, x + y,3x + 5 y ) Esquemáticamente tenemos: f R2 R3 (1,1) (1,2,8) (− 2,0) (− 4,−2 − 6) tenemos f : U ⊆ R → R , se la denomina FUNCIÓN m = 1, n Si ESCALAR, CAMPO ESCALAR, O FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES. Si f : U ⊆ R 2 → R , tenemos una FUNCIÓN DE DOS VARIABLES. Ejemplo. Sea f : R 2 → R tal que f ( x, y) = 6 − 2 x − 3 y Si f : U ⊆ R 3 → R , tenemos una FUNCIÓN DE TRES VARIABLES. Ejemplo. Sea f : R 3 → R tal que f ( x, y) = x 2 + y 2 + z 2 Si n = 1, tenemos f :U ⊆ R → Rm , la cual se la denomina TRAYECTORIA o CURVA. 2
  • 3. MOISES VILLENA Funciones Escalares Ejemplo. Sea f : R → R 3 tal que f (t ) = (2 − 3t , 4 + t , − 1 + 2t ) Tenemos una CURVA de R3 . Este capítulo lo dedicaremos al estudio de FUNCIONES ESCALARES. 2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 2.1 DEFINICIÓN Sea f : U ⊆ R n → R . Se llama gráfica de f al conjunto de puntos (x1 , x2 , , xn , f (x )) de R n+1 , donde x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ U . Si tenemos z = f ( x, y ) una función de dos variables. Su gráfico se ( ) define como el conjunto de puntos x, y, z de R , tales que z = f ( x, y ) . El 3 lugar geométrico es llamado Superficie, como ya se lo ha anticipado. Algunas superficies que corresponde a funciones, ya se han graficado en el capítulo anterior. Ejemplo. Para f : R 2 → R tal que f ( x, y) = 6 − 2 x − 3 y , su grafico es el conjunto ( x, y , z ) de R 3 tales que z = 6 − 2 x − 3 y (un plano) z 6 z = 6 − 2x − 3y 2 y 3 x 3
  • 4. MOISES VILLENA Funciones Escalares Elaborar gráficas de una función de dos variables no es tan sencillo, se requeriría de un computador en la mayoría de las ocasiones. Pero si podemos saber características de sus graficas analizando su regla de correspondencia. 3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN ESCALAR Sea f : U ⊆ R n → R , entonces su DOMINIO es el conjunto U Es decir, su DOMINIO está constituido por vectores de Rn , x = ( x1 , x2 , , xn ) para los cuales tiene sentido la regla de correspondencia; y su RECORRIDO por vectores de () ( R m , f x = f1 ( x), f 2 ( x), , f m ( x) ). Aquí a x1, x 2 , , x n se las denominan VARIABLES INDEPENDIENTES. Si f : U ⊆ R 2 → R , su dominio será un subconjunto del plano. Establecer el Dominio Natural, igual que para funciones de una variable, es una necesidad en muchas ocasiones. Ejemplo 1 Hallar el Dominio Natural para f ( x, y ) = x 2 + y 2 SOLUCIÓN. Observe que la regla de correspondencia no tiene restricciones, por tanto se le puede dar cualquier valor real a las variables independientes “ x ” y “ y ”, es decir Domf = R 2 . Además, se puede decir que el Dominio de una función de dos variables será la PROYECCIÓN QUE TENGA SU GRÁFICA EN EL PLANO xy . Recuerde que la gráfica de z = x 2 + y 2 es un paraboloide. z y x Por tanto la proyección es todo el plano xy 4
  • 5. MOISES VILLENA Funciones Escalares Ejemplo 2 Hallar el Dominio Natural para f ( x, y ) = 9 − x 2 − y 2 SOLUCIÓN. Observe que la regla de correspondencia tiene sentido cuando 9 − x 2 − y 2 ≥ 0 , para que se pueda calcular la raíz cuadrada lo interior del radical debe ser un número positivo o cero. Despejando se tiene x 2 + y 2 ≤ 9 . ⎧ ⎪⎛ x ⎞ ⎫ ⎪ Es decir: Domf = ⎨⎜ ⎟ / x 2 + y 2 ≤ 9⎬ , los pares de números que pertenecen a la ⎪⎜ y ⎟ ⎩⎝ ⎠ ⎪ ⎭ circunferencia centrada en el origen de radio 3 y a su interior. y 3 x2 + y2 = 9 0 0 1 2 3 x Además el gráfico de z = 9 − x 2 − y 2 , es la semiesfera: z y x Ejemplo 2 Hallar el Dominio Natural para f ( x, y ) = x − 1 + y Solución. Para que la regla de correspondencia tenga sentido se necesita que x ≥ 1 y y≥0 ⎧ ⎪⎛ x ⎞ ⎫ ⎪ Es decir Domf = ⎨⎜ ⎟ / x ≥ 1 ∧ y ≥ 0⎬ . ⎪⎜ y ⎟ ⎩⎝ ⎠ ⎪ ⎭ . 5
  • 6. MOISES VILLENA Funciones Escalares y 0 0 x 1 2 El gráfico, ahora es un lugar geométrico no conocido. Pero tenemos un indicio de la región en que habrá gráfico. Ejercicios Propuestos 1 Descríbase la región R del plano xy que corresponde al Dominio Natural de la función dada . x+ y a) z = 4 − x 2 − y 2 h) z = xy ⎛ 9 x 2 − 6 y 2 − 36 ⎞ b) z = ln (4 − x − y ) i) w = ln⎜ ⎟ ⎜ 36 ⎟ ⎝ ⎠ c) z = x y ( j) z = arcsen x 2 + y 2 ) ⎛x⎞ ⎛ 2 ⎞ d) z = arcsen( x + y ) k) f ( x, y ) = sen⎜ ⎟ ln⎜ ⎜ y⎟ ⎜x+ y⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ e) z = e x y l) f ( x, y ) = ( ln 4 − x 2 − y 2 ) 1 2 arcsen( x + y ) f) z = ( x 2 − y ln y − x 2 ) ⎛ xz ⎞ g) z = arccos⎜ ⎟ ⎜ y⎟ ⎝ ⎠ Obtener trazas de las secciones transversales de la superficie es suficiente, en muchas ocasiones, para su análisis. 4. CONJUNTO DE NIVEL 3.1 DEFINICIÓN Sea f : U ⊆ R n → R . Se llama CONJUNTO DE n NIVEL de f , al conjunto de puntos de R tales que f ( x1 , x 2 , , x n ) = k , donde k ∈ R Si tenemos z = f ( x, y ) una función de dos variables. El Conjunto de Nivel es llamado CURVAS DE NIVEL y serían las trayectorias en el plano xy tales 6
  • 7. MOISES VILLENA Funciones Escalares que f ( x, y ) = c . Es decir, serían las curvas que resultan de la intersección de la superficie con los planos z = c , proyectadas en el plano xy . Ejemplo 1 Para f : R 2 → R tal que f ( x, y) = 6 − 2 x − 3 y , su conjunto de nivel serán puntos de R 2 tales que 6 − 2 x − 3 y = k . En este caso se llaman CURVAS DE NIVEL. Si k = 0 , tenemos el Nivel 0 , 6 − 2 x − 3 y = 0 Si k = 1 , tenemos el Nivel 1 , 6 − 2 x − 3 y = 1 Si k = 2 , tenemos el Nivel 2 , 6 − 2 x − 3 y = 2 etc. z 6 z = 6 − 2x − 3y k = 3 : 2x + 3 y = 3 k = 2 : 2x + 3 y = 4 k = 1: 2x + 3 y = 5 2 y k = 0 : 2x + 3y = 6 3 x Las curvas de nivel se dibujan en el plano xy , y para este caso serían: y k= 0: k= 2x 1: +3 2x y= k= +3 6 2: y= 2x 5 k= +3 x y= 3: 4 2x +3 y= 3 7
  • 8. MOISES VILLENA Funciones Escalares Ejemplo 2. Grafique algunas curvas de nivel para f ( x, y ) = x 2 + y 2 SOLUCIÓN: Las curvas de nivel, para este caso, es la familia de trayectorias tales que x 2 + y 2 = c . (Circunferencias centradas en el origen) x2 + y2 = C C = 16 C =9 C=4 C =1 Si tenemos w = f ( x, y , z ) una función de tres variables. El Conjunto de Nivel es llamado SUPERFICIES DE NIVEL Ejercicios Propuestos 2 Descríbase las curvas de nivel y las secciones transversales de cada función en su 3 correspondiente plano, luego dibújese la gráfica de la superficie en R a) z = 4 − x2 − y2 b) f ( x, y ) = y 2 c) z= x2 + y2 d) f ( x, y ) = 6 − 2 x − 3 y e) f ( x , y ) = xy 2 8
  • 9. MOISES VILLENA Funciones Escalares 5. LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Haciendo analogía con funciones de una variable, para definir el límite ahora, primero empecemos generalizando la definición de entorno o vecindad y otras definiciones que nos permitirán comprender el concepto de límite. 5.1 BOLA ABIERTA. Se llama n − bola abierta de centro en x0 y ( radio δ , denotada por Bn x0 ;δ , al conjunto: ) ( ) { Bn x0 ;δ = x ∈ R n / x − x0 < ∂ } Donde x0 ∈ R n , ∂ ∈ R muy pequeño. Si n = 1, tenemos B1 ( x0 ;δ ) = { x ∈ R / x − x0 < ∂} ; un intervalo (como en funciones de una variable) Si n = 2 , tenemos: B2 ( ( x0 , y0 ) ;δ ) = {( x, y ) ∈ R 2 / ( x, y ) − ( x0 , y0 ) <∂ } y 0< (x − x ) 0 2 − (x − x0 ) < ∂ 2 (x , y ) 0 0 x 5.2 PUNTO INTERIOR Sea U ⊆ R n y x0 ∈ R n , se dice que x0 es un punto interior de U , si y sólo si ∀∂ > 0, ∃Bn x0 ; ∂ ( ) contenida en U . 5.3 CONJUNTO ABIERTO U ⊆ R n es un conjunto abierto, si todos sus puntos son interiores a U . 9
  • 10. MOISES VILLENA Funciones Escalares 5.4 PUNTO EXTERIOR. Sea U ⊆ R n y x0 ∈ R n , se dice que x0 es un punto Exterior de U , si y sólo si ∀∂ > 0, ∃Bn x0 ; ∂ ( ) totalmente fuera de U . 5.5 PUNTO DE FRONTERA Se dice que x0 es un punto de frontera de U , si no es ni interior ni exterior. 5.6 CONJUNTO CERRADO. U ⊆ R n es un conjunto cerrado si su complemento es abierto 5.7 CONJUNTO SEMIABIERTO. U ⊆ R n es un conjunto semiabierto si no es abierto y tampoco cerrado. 5.8 DEFINICIÓN DE LÍMITE Sea f : U ⊆ R n → R , donde U es un conjunto abierto, sea x0 un punto interior o de frontera de U , entonces: ⎝ x→ x0 () ⎛ lím f x = L ⎞ ≡ ∀ξ > 0, ∃∂ > 0 / x ∈ B x ; ∂ ⇒ f x − L < ξ ⎜ ⎟ ⎠ n 0 ( ) () Si n = 2 tenemos: ⎛ lím ⎞ ⎜ ( x , y )→( x , y ) f ( x, y ) = L ⎟ ≡ ∀ξ > 0, ∃∂ > 0 / 0 < ( x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 < ∂ ⇒ f ( x, y ) − L < ξ ⎝ 0 0 ⎠ z ( L ξ ξ ( z = f ( x, y ) y ∂ (x , y ) 0 0 x 10
  • 11. MOISES VILLENA Funciones Escalares Es decir, que si tomamos a ( x, y ) cercano a (x , y ) 0 0 entonces f ( x, y) estará próximo a L. Ejemplo x4 y Demostrar empleando la definición que lím =0 ( x , y ) →( 0.0 ) x 4 + y 4 Solución: Debemos asegurar que x4 y ∀ξ > 0, ∃∂ > 0 / 0 < ( x − 0) + ( y − 0) <∂⇒ −0 <ξ 2 2 x4 + y 4 Recuerde que y = y 2 = entonces y ≤ x 2 + y 2 x4 y x4 y Por otro lado y = entonces y ≥ 4 . x 4 x + y4 Ahora note que: x4 y ≤ y ≤ x2 + y2 < ∂ x + y4 4 x4 y Se concluye finalmente que: <∂ x + y4 4 x4 y Es decir tomando ζ = ∂ , suficiente para concluir que: lím =0 ( x , y ) → ( 0.0 ) x + y 4 4 Lo anterior va a ser complicado hacerlo en la mayoría de las situaciones, por tanto no vamos a insistir en demostraciones formales. Pero si se trata de estimar si una función tiene límite y cuál podría ser este, podemos hacer uso del acercamiento por trayectorias. Ejemplo 1 x2 Calcular lím ( x, y )→(0.0 ) x 2 + y 2 Solución: Aproximarse a (0,0) , significa estar con (x, y ) en una bola de R 2 y x2 + y2 < ∂ x (0,0) ∂ 11
  • 12. MOISES VILLENA Funciones Escalares Si el límite existe, significa que si nos acercamos en todas las direcciones f deberá tender al mismo valor. 1. Aproximémonos a través del eje x , es decir de la recta y = o x2 Entonces, tenemos lím = lím 1 = 1 . ( x ,0 )→(0.0 ) x 2 + 0 2 x→0 2. Aproximémonos a través del eje y , es decir de la recta x = o 02 Entonces, tenemos lím = lím 0 = 0 . (0, y )→(0.0 ) 0 2 + y 2 x→0 Se observa que los dos resultados anteriores son diferentes. x2 Por tanto, se concluye que: lím no existe. ( x , y )→(0.0 ) x 2 + y 2 Ejemplo 2 x2 y Calcular lím ( x, y )→(0.0 ) x 4 + y 2 Solución: Determinando la convergencia de f , para diversas direcciones: x2 0 1. Eje x ( y = 0 ): lím = lím 0 = 0 x →0 x 4 + 02 x →0 2 0 y 2. Eje y ( x = 0 ): lím = lím 0 = 0 0 + y 2 y →0 y →0 4 3. Rectas que pasan por el origen ( y = mx ) : x 2 (mx ) mx 3 mx 3 mx = lím = lím = lím lím x →0 x + (mx ) 4 2 x →0 x +m x4 2 2 x →0 x x +m 2 ( 2 2 ) x →0 (x 2 + m2 )=0 4. Parábolas que tengan vértice el origen ( y = ax 2 ) ( ) x 2 ax 2 = lím ax 4 = lím ax 4 = lím a = a ≠0 lím x →0 x 4 + (ax ) 2 2 x →0 x +a x 4 2 4 x →0 x 1+ a 4 ( 2 ) x →0 1 + a 2 1+ a 2 x2 y Por tanto, lím NO EXISTE. ( x, y )→(0.0 ) x 4 + y 2 El acercamiento por trayectoria no nos garantiza la existencia del límite, sólo nos hace pensar que si el límite existe, ese debe ser su valor. Entonces ¿cómo lo garantizamos?. Si la expresión lo permite podemos usar coordenadas polares. 12
  • 13. MOISES VILLENA Funciones Escalares Ejemplo x2 y Calcular lím ( x, y )→(0.0 ) x 2 + y 2 Solución: Determinando la convergencia de f , para diversas direcciones: x2 0 1. Eje x ( y = 0 ): lím = lím 0 = 0 x →0 x + 02 2 x →0 2 0 y 2. Eje y ( x = 0 ): lím = lím 0 = 0 0 + y 2 y →0 y →0 2 3. Rectas que pasan por el origen ( y = mx ) : x 2 (mx ) mx 3 mx 3 mx = lím = lím = lím lím x →0 x + (mx ) 2 2 x →0 x +m x 2 2 2 x →0 2 ( x 1+ m 2 ) x →0 (1 + m ) = 02 4. Parábolas que tengan vértice el origen ( y = ax 2 ) ( ) x 2 ax 2 = lím ax 4 = lím ax 4 = lím ax 2 =0 lím x →0 x2 2 2 + (ax ) x →0 x 2 + a 2 x 4 x →0 ( x 2 1+ a 2 x 2 ) x →0 1 + a 2 x 2 Probemos con otra trayectoria 5. x = ay 2 (ay ) y2 2 = lím ay 5 = lím ay 5 = lím ay 3 lím y →0 (ay ) + y 2 2 2 y →0 a2 y4 + y2 y →0 ( y 2 a 2 y 2 +1 ) y →0 (a 2 y 2 +1 )=0 Parecer ser que el límite es cero, pero todavía no está garantizado. ¿Por qué? Demostrarlo, no es una tarea sencilla. Usemos coordenadas polares: ( r cos θ ) ( rsenθ ) 2 x2 y lím = lím ( x , y ) →( 0.0 ) x 2 + y 2 r →0 r2 r 3 senθ cos θ = lím r →0 r2 = lím ( rsenθ cos θ ) r →0 En la parte última se observa que senθ cos θ es acotado por tanto lím ( rsenθ cos θ ) = 0 r →0 Lo anterior quiere decir que en situaciones especiales (¿cuáles?), podemos utilizar coordenadas polares para demostrar o hallar límites. Ejemplo Calcular lím ( sen x 2 + y 2 ) ( x, y )→(0.0 ) x +y 2 2 Solución: Empleando coordenadas polares lím ( sen x 2 + y 2 ) = lím sen(r ) = 1 2 ( x , y )→(0.0 ) x2 + y2 r →0 r2 13
  • 14. MOISES VILLENA Funciones Escalares 5.8.1 TEOREMA DE UNICIDAD. Sea f : U ⊆ R n → R , donde U es un conjunto abierto, sea x0 un punto interior o de frontera de U , entonces: () Si lim f x = L y lim f x = M entonces L = M x→ x 0 x→ x 0 () 5.8.2 TEOREMA PRINCIPAL. () () Si lim f x = L y lim g x = M entonces: x→ x 0 x→ x 0 1. lim ⎡ f ( x ) + g ( x) ⎤ = lim f ( x ) + lim g ( x) = L + M ⎣ x→ x0 ⎦ x→ x0 x→ x 0 2. lim ⎡ f ( x ) − g ( x ) ⎤ = lim f ( x ) − lim g ( x) = L − M ⎣ x→ x0 ⎦ x→ x0 x→ x0 3. lim ⎡ f ( x ) g ( x ) ⎤ = lim f ( x ) lim g ( x) = LM ⎣ x→ x0 ⎦ x→ x0 x→ x 0 ⎡f ⎤ lim f ( x ) L M ≠ 0 4. lim ⎢ ( x ) ⎥ = = ;x→ x0 ⎣g x→ x0 ⎦ lim g ( x) M x→ x0 Por tanto en situaciones elementales, la sustitución basta Ejemplo lím ( x, y )→(1.2 ) (x 2 ) + 2y −3 = 8 Ejercicios Propuesto 3 1. Calcular los siguientes límites: ⎛ y⎞ x 2 sen⎜ ⎟ a) g) lim (x + 3 y ) ⎝k⎠ 2 lim y x→k x→2 y →0 y →1 2 b) x y h) lim x 2 + y 2 x→0 lim ysenxy x →π y →0 4 y →2 sen(x + y ) c) lim ( x , y )→(0,0 ) y f) lim ( x , y )→(0,0 ) (x 2 + y2 ) x2 y 2 e xy − 1 2x − y 2 d) i) lím lim x ( x , y →(0,0 )) 2 x 2 + y x →0 y →0 14
  • 15. MOISES VILLENA Funciones Escalares e) ( sen x 2 + y 2 ) lim x2 + y2 x →0 y →0 2. Calcúlese el límite de f (x, y ) cuando (x, y ) → (a, b ) hallando los límites: lim g ( x ) y lim h ( y ) , donde f ( x, y ) = g ( x ) h ( y ) x→ a y→b a) (1 + senx )(1 − cos y ) c) cos x seny lim x →0 y lim x →0 y y →0 y →0 b) 2 x( y − 1) d) xy lim (x + 1)y x →1 lim (x − 1)e y x →1 y →2 y →0 6 6 Sea: f (x, y ) = f ( x, y ) ? x y 3. ¿para qué valores de "a" existe el lím x + ay 4 4 ( x , y →(0,0 )) 6. CONTINUIDAD Sean f : U ⊆ R n → R , sea x0 un punto U . Decimos que f es continua en x0 si y sólo si: () lim f x = f x 0 x→ x 0 ( ) Ejemplo. ⎧ xy 2 ( ⎪ 2 ; x, y ) ≠ ( 0, 0 ) Analizar la continuidad de f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪ 0 ; ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ En el punto ( 0,0 ) . SOLUCIÓN: Para que la función sea continua se debe cumplir que lim f ( x, y ) = 0 ( x , y ) →( 0,0 ) xy Determinemos el límite. lim ( x , y ) →( 0,0) x2 + y 2 Acercándonos por trayectorias. 0 y = 0; lim 2 = 0 x →0 x 0 x = 0; lim 2 = 0 y →0 y x2 1 y = x ; lim = x →0 x + x 22 2 xy Entonces lim no existe. ( x , y ) →( 0,0) x 2 + y 2 Por tanto, f NO ES CONTINUA EN ( 0,0 ) . 15
  • 16. MOISES VILLENA Funciones Escalares 6.1 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO Sea f : U ⊆ R n → R . Se dice que f es continua en todo U si y sólo si es continua en cada punto de U . 6.1.1 Teorema Si f y g son continuas en x0 , entonces también son continuas: f + g , f − g , fg , f g ( ( ) ) g x0 ≠ 0 . Ejercicios propuestos 4 Analice la continuidad en ( 0,0 ) de las siguientes funciones: ⎧ sen xy ⎪ , ( x, y ) ≠ (0,0 ) a) f ( x, y ) = ⎨ xy ⎪ 1 , ( x, y ) = (0,0 ) ⎩ ⎧e xy , ( x, y ) ≠ (0,0 ) ⎪ b) f ( x, y ) = ⎨ ⎪1 , ( x, y ) = (0,0 ) ⎩ ⎧ xy (x, y ) ≠ (0,0) c) f ( x, y ) = ⎪ x 2 + y 2 , ⎨ ⎪ 1 , ( x, y ) = (0,0 ) ⎩ ⎧ cos x 2 + y 2 ⎪1 − (, x2 + y2 ≠ 0 ) d) f (x, y ) = ⎪ ⎨ x +y 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ −8 , x2 + y2 = 0 ⎧ 1 − x2 − y2 ⎪ , x2 + y2 ≠ 0 e) f (x, y ) = ⎪ 1 − x 2 − y 2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 , x2 + y2 = 0 ⎧ x3 + y3 ⎪ , ( x, y ) ≠ (0,0) f) f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ ⎩ 0 , ( x, y ) = (0,0) ⎧ y x3 ⎪ , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) g) f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 6 ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧ y5 x2 h) f ( x, y ) = ⎪ 2 x 4 + 3 y10 , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) ⎨ ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧ x y − xy 3 2 3 i) f ( x, y ) = ⎪ x 2 + y 2 , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) ⎨ ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ 16
  • 17. MOISES VILLENA Funciones Escalares 7. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR. Para función de una variable la derivada se la definió como el cambio instantáneo que experimenta la función cuando cambia su variable independiente x . Aquí había que considerar una sola dirección, para función de varias variables debería ser el cambio instantáneo que tiene la función en todas las direcciones en la vecindad de un punto. 7.1 Derivada Direccional. Derivada de un campo escalar con respecto a un vector. Sea f : U ⊆ R n → R , donde U es un conjunto → abierto, x 0 un punto de U . Sea v un vector de Rn . → La derivada de f en x 0 con respecto a v , ⎛ x 0 ; v ⎞ o también D f (x 0 ), se → denotada por f ´⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → v define como: ⎛ ⎞ ( ) → f ⎜ x0 + v ⎟ − f x0 ⎛ →⎞ f ´⎜ x 0 ; v ⎟ = lim ⎝ → ⎠ ⎝ ⎠ v →0 → v Cuando este límite existe → → → → Ahora bien, si decimos que v =h entonces v = hu donde u un VECTOR UNITARIO de R n , entonces: La derivada direccional de f en x 0 con → respecto u es: f ⎛ x 0 + h u ⎞ − f (x 0 ) → ⎜ ⎟ ⎛ x 0 ; u ⎞ = lim ⎝ ⎠ → f ´⎜ ⎟ h →0 ⎝ ⎠ h 17
  • 18. MOISES VILLENA Funciones Escalares Ejemplo 1 ⎛ →⎞ () 2 Sea f x = x ; x ∈ R n . Calcular f ´⎜ x 0 , v ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: ⎛ ⎞ ( ) → f ⎜ x0 + h u ⎟ − f x0 ⎛ → ⎞ ⎝ ⎠ f ´⎜ x 0 ; v ⎟ = lim = ⎝ ⎠ h→0 h → 2 2 x0 + h u − x0 = lim h→0 h ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ( ) ( ) → → ⎜ x0 + h u ⎟ • ⎜ x0 + h u ⎟ − x0 • x0 = lim ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ h→0 h → → → x 0 • x 0 + 2h u • x 0 + h 2 u • u − x 0 • x 0 = lim h→0 h → → → 2h u • x 0 + h 2 u • u = lim h→0 h ⎛ → → → ⎞ = lim ⎜ 2 u • x 0 + h u • u ⎟ h→0 ⎝ ⎠ → = 2 u • x0 Si f : U ⊆ R 2 → R (una función de dos variables), entonces: f ⎛ ( x0 , y 0 ) + h u ⎞ − f ( x0 , y 0 ) → ⎜ ⎟ ⎛ ( x , y ); u ⎞ = lim ⎝ ⎠ → f ´⎜ 0 0 ⎟ h→0 ⎝ ⎠ h Ejemplo 2 → ⎛ 2 2⎞ Sea f ( x, y ) = x 2 + y 2 . Hallar D f (1, 2 ) donde u = ⎜ , ⎟ → ⎜ 2 2 ⎟ u ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: Empleando la definición: ⎛ ⎛ 2 2 ⎞⎞ f ⎜ (1, 2 ) + h ⎜⎜ 2 , 2 ⎟ ⎟ − f (1, 2 ) ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠ D→ f (1, 2 ) = lim u h →0 h ⎛ 2 2⎞ f ⎜1 + h ⎜ , 2+h ⎟ − f (1, 2 ) 2 2 ⎟ = lim ⎝ ⎠ h →0 h ⎡⎛ 2⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎤ 2 ⎢⎜ 1 + h ⎟ +⎜2+ h ⎜ ⎟ ⎥ − ⎡1 + 2 ⎤ 2 2 ⎢⎜⎝ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎟ ⎥ ⎣ ⎠ ⎦ ⎦ = lim ⎣ h →0 h ⎡ h2 h2 ⎤ ⎢1 + h 2 + + 4 + 2h 2 + ⎥ − [5] = lim ⎣ 2 2⎦ h →0 h 5 + 3h 2 + h 2 − 5 = lim h →0 h 3h 2 + h 2 = lim h →0 h ( = lim 3 2 + h h →0 ) =3 2 18
  • 19. MOISES VILLENA Funciones Escalares Ejemplo 3 ⎧ xy 2 ( ⎪ 2 ; x, y ) ≠ ( 0, 0 ) Sea f ( x, y ) = ⎨ x + y . ⎪ 0 ; ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ → Hallar D→ f ( 0, 0 ) donde u = ( cos θ , senθ ) u SOLUCIÓN: Aplicando la definición: D→ f ( 0, 0 ) = lim f ( ( 0, ) + h ( cos θ , senθ ) ) − f ( 0, 0 ) u h →0 h f ( h cos θ , hsenθ ) − f ( 0, 0 ) = lim h →0 h ⎡ ( h cos θ )( hsenθ ) ⎤ ⎢ ⎥−0 ⎣ h2 ⎦ = lim h →0 h cos θ senθ = lim h →0 h En la última expresión: π π 1. Si θ = 0, ,π , entonces D→ f ( 0, 0 ) = 0 2 2 u π π 2. Si θ ≠ 0, ,π , entonces D→ f ( 0, 0 ) no existe. 2 2 u Ejemplo 4 ⎧ x2 y 2 ( ⎪ 4 ; x, y ) ≠ ( 0, 0 ) Sea f ( x, y ) = ⎨ x + y . ⎪ 0 ; ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ → Hallar D→ f ( 0, 0 ) donde u = ( cos θ , senθ ) u Solución: Aplicando la definición: f ( h cos θ , hsenθ ) − f ( 0, 0 ) D→ f ( 0, 0 ) = lim u h →0 h ⎡ ( h cos θ )2 ( hsenθ ) ⎤ ⎢ 2 ⎥ −0 ⎢ ( h cos θ ) + ( hsenθ ) ⎥ 4 = lim ⎣ ⎦ h →0 h h3 cos 2 θ senθ h 2 ( h 2 cos 4 θ + sen 2θ ) = lim h →0 h cos θ senθ 2 = lim 2 h → 0 h cos 4 θ + sen 2θ En la última expresión: 1. Si θ = 0, π ( senθ = 0 ) entonces D→ f ( 0, 0 ) = 0 u cos 2 θ 2. Si θ ≠ 0, π entonces D→ f ( 0, 0 ) = ( existe). u senθ 19
  • 20. MOISES VILLENA Funciones Escalares Más adelante daremos una técnica para hallar derivadas direccionales sin emplear la definición. Un caso especial de las derivadas direccionales es cuando consideramos dirección con respecto a eje x y con respecto al eje y . Ejercicios Propuestos 5 Determine la derivada direccional de f en el origen en la dirección del vector unitario ( a, b ) . ⎧ x 3 y 2 − xy 3 ⎪ si ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) a) f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 si ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧ y −x 2 2 ⎪ xy si ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) b) f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 si ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ 7.2 Derivada Parcial. Sea f : U ⊆ R n → R , donde U es un conjunto abierto, x 0 un punto de U , h ∈ R . Sea → e i = (0,0, ,1, ,0 ) un vector canónico unitario de R n . La derivada parcial de f en x 0 con respecto a → e i (o con respecto a su i − ésima variable), ∂f denotada por ∂xi ( ) x 0 , se define como: f ⎛ x 0 + h e i ⎞ − f (x 0 ) → ∂f ⎜ ⎟ ∂xi (x 0 ) = lim h →0 ⎝ h ⎠ Cuando este límite existe Si f : U ⊆ R 2 → R (una función de dos variables), entonces los vectores canónicos unitarios serían: e1 = i = (1,0) ˆ y e2 = ˆ = (0,1) . j Las derivadas parciales serían: ∂f f ( ( x , y ) + h (1,0 ) ) − f ( x , y ) ( x0 , y0 ) = lim 0 0 0 0 ∂x1 h →0 h 20
  • 21. MOISES VILLENA Funciones Escalares ∂f Denotada simplemente como: o también f x , es decir: ∂x ∂f f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = lim ∂x h→0 h Y la otra derivada parcial sería: ∂f f ( ( x , y ) + h ( 0,1) ) − f ( x , y ) ( x0 , y0 ) = lim 0 0 0 0 ∂x2 h →0 h ∂f Denotada simplemente como: o también f y , es decir: ∂y ∂f f ( x0 , y0 + h ) − f ( x0 , y0 ) = lim ∂y h→0 h Ejemplo 1 ∂f ∂f Sea f (x, y ) = x 2 y 3 , obtener y . ∂x ∂y SOLUCIÓN: ∂f f ( x + h, y ) − f ( x, y ) = lim ∂x h → 0 h ( x + h) y3 − x2 y3 2 = lim h →0 h = lim ( x + 2 xh + h2 ) y 3 − x 2 y 3 2 h →0 h x y + 2 xhy 3 + h 2 y 3 − x 2 y 3 2 3 = lim h →0 h 2 xhy 3 + h 2 y 3 = lim h →0 h = lim ( 2 xy + hy 3 ) 3 h →0 ∂f = 2 xy 3 ∂x ∂f f ( x, y + h ) − f ( x, y ) = lim ∂y h → 0 h x2 ( y + h) − x2 y3 3 = lim h→0 h x 2 ( y 3 + 3 y 2 h + 3 yh 2 + h3 ) − x 2 y 3 = lim h→0 h x 2 y 3 + 3 x 2 y 2 h + 3x 2 yh 2 + x 2 h3 − x 2 y 3 = lim h→0 h 3x 2 y 2 h + 3x 2 yh 2 + x 2 h3 = lim h→0 h = lim ( 3 x 2 y 2 + 3 x 2 yh + x 2 h 2 ) h→0 ∂f = 3x 2 y 2 ∂y 21
  • 22. MOISES VILLENA Funciones Escalares ∂f Note que se obtiene como una derivada para función de una ∂x variable, en este casox , y considerando a la otra variable y como constante. ∂f Análogamente, si se desea obtener , deberíamos derivar considerando sólo ∂y a y como variable. Ejemplo 2 ∂f ∂f Sea f (x, y ) = sen x 2 + y 3 , obtener y . ∂x ∂y SOLUCIÓN: ∂f ∂x ⎡1 = cos x 2 + y 3 ⎢ x 2 + y 3 ( )−1 2 (2 x )⎤ ⎥ ⎣2 ⎦ ∂f ∂y ⎡1 = cos x 2 + y 3 ⎢ x 2 + y 3 ( ) (3 y )⎤ −1 2 ⎥ 2 ⎣2 ⎦ En otros tipos de funciones habrá que aplicar la definición. Ejemplo 3 ⎧ xy 2 ( ⎪ 2 ; x, y ) ≠ ( 0, 0 ) Sea f ( x, y ) = ⎨ x + y . ⎪ 0 ; ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ Hallar f x ( 0, 0 ) y f y ( 0, 0 ) SOLUCIÓN: Aplicando la definición: ⎡ h ( 0) ⎤ ⎢ 2 2 ⎥ −0 a) f ( 0, 0 ) = lim f ( h, 0 ) − f ( 0, 0 ) ⎣h + 0 ⎦ 0 x = lim = lim = 0 h →0 h h →0 h h→0 h ⎡ 0 (h) ⎤ ⎢ 2 2 ⎥ −0 f ( 0, h ) − f ( 0, 0 ) ⎣0 + h ⎦ 0 b) f y ( 0, 0 ) = lim = lim = lim = 0 h→0 h h →0 h h→0 h Ejercicios propuestos 6 ∂f ∂f 1. Encontrar , si : ∂x ∂y a) f ( x, y ) = xy d) f ( x, y ) = xe x + y2 2 ( ) ( b) f ( x, y ) = x 2 + y 2 log e x 2 + y 2 ) e) f (x, y ) = x cos x cos y c) f ( x, y ) = cos(ye )sen x sen ( xy ) xy f) f ( x, y ) = ∫ g ( t ) dt y2 2. Hallar f x ( 0, 0 ) y f y ( 0, 0 ) , para: 22
  • 23. MOISES VILLENA Funciones Escalares ⎧ xy2 ⎪ 2 2 si ( x, y ) ≠ ( 0,0) a) f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪ 0 si ( x, y ) = ( 0,0) ⎩ ⎧ x 3 y 2 − xy 3 b) f ( x, y ) = ⎪ x 2 + y 2 , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) ⎨ ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ c) f ( x, y ) = ⎪ ⎨ ⎧ x 2 − y 2 sen ( )1 x2 + y2 , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) ⎪ ⎩ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎧ sen ( x 2 − y 2 ) ⎪ ; ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) d) f ( x, y ) = ⎨ x+ y ⎪ ⎩ 0 ; ( x, y ) = ( 0, 0 ) 7.3.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES Se ha definido la derivada tratando de que se entienda como la variación de la función con respecto a una dirección. Entonces la ∂f derivada parcial , será la pendiente de la recta tangente paralela al ∂x plano zx , observe la figura: z ∂f m= (x0 , y0 ) ∂x (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) • ∆z z = f ( x, y ) ∆x y0 y x0 (x0 , y0 ) h x0 + h (x0 + h, y0 ) x ∂f En cambio, la derivada parcial , será la pendiente de la recta ∂y tangente paralela al plano zy , observe la figura: 23
  • 24. MOISES VILLENA Funciones Escalares z z = f ( x, y ) ∂f m= (x0 , y0 ) ∂y (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) ∆z • ∆y y0 h y0 + h y x0 (x0 , y0 ) (x 0 , y 0 + h ) x Ejemplo 1 Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie que tiene por ecuación z = x 2 + y 2 con el plano y = 1 en el punto (2,1,5) . SOLUCIÓN: Realizando un gráfico, tenemos: z z = x2 + y 2 (2,1,5)• y =1 y ∂z m = (2,1) dx dz → S = (a, o, c ) x dx 24
  • 25. MOISES VILLENA Funciones Escalares ⎧ x = x0 + at ⎪ La ecuación de toda recta es de la forma l : ⎨ y = y0 + bt . ⎪ z = z + ct ⎩ 0 El punto está dado: (x0 , y0 , z 0 ) = (2,1,5) . Los vectores directrices son paralelos al plano zx y por tanto son de la forma: → S = (a, o, c ) . ¿Por qué? ∂z La pendiente de la recta será m = (2,1) ; que definirá la dirección de los vectores dx directores. ∂z Ahora bien, si z = x + y entonces = 2x . 2 2 ∂x ∂z Evaluando tenemos: = 2 x = 2(2) = 4 ∂x ∂z c 4 Entonces: = = ∂x a 1 → Por tanto S = (a, o, c ) = (1,0,4 ) Finalmente la ecuación de la recta buscada será: ⎧ x = x0 + at = 2 + t ⎪ l : ⎨ y = y0 + bt = 1 + 0t ⎪ z = z + ct = 5 + 4t ⎩ 0 7.3.2 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Sean f : U ⊆ R 2 → R tal z = f ( x, y ) . que ∂f ∂f Suponga que las derivadas parciales y ∂x ∂y existan. Entonces las Derivadas parciales de Segundo Orden se definen como: ∂f ∂ f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ( x0 + h, y0 ) − ∂f ( x0 , y0 ) = ⎜ ⎟ = lim ∂x ∂x 2 = f xx ∂x 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ h →0 h ∂f ∂ f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ( x0 , y0 + h ) − ∂f ( x0 , y0 ) = ⎜ ⎟ = lim ∂x ∂x 2 = f xy ∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ h →0 h 25
  • 26. MOISES VILLENA Funciones Escalares ∂f ( x0 + h, y0 ) − ∂f ( x0 , y0 ) ∂ f2 ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂y ∂y = ⎜ ⎟ = lim = f yx ∂x∂y ∂x ⎜ ∂y ⎟ h→0 ⎝ ⎠ h ∂f ( x0 , y0 + h ) − ∂f ( x0 , y0 ) ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂y ∂y = ⎜ ⎟ = lim ⎜ ∂y ⎟ h→0 = f yy ∂y 2 ∂y ⎝ ⎠ h Cuando estos límites existan. A f xy ya f yx se las denominan Derivadas Mixtas o Derivadas Cruzadas. Ejemplo 1 Sea f (x, y ) = x 2 e x + y , obtener todas las derivadas parciales de segundo orden. 2 2 Solución: Las Derivadas parciales de primer orden son: + y2 + y2 (2 x ) = 2 xe x + y + y2 2 2 2 2 2 f x = 2 xe x + x 2e x + 2 x 3e x + y2 (2 y ) = 2 x 2 ye x + y 2 2 2 f y = x 2e x Por tanto las derivadas parciales de segundo orden serían: + y2 + y2 (2 x ) + 6 x 2 e x + y + y2 (2 x ) 2 2 2 2 2 f xx = 2e x + 2 xe x + 2 x 3e x 2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2 = 2e x + 4 x 2e x + 6 x 2e x + 4 x 4e x + y2 (2 y ) + 2 x 3e x + y (2 y ) 2 2 2 f xy = 2 xe x 2 + y2 2 + y2 = 4 xye x + 4 x 3 ye x + y2 + y2 (2 x ) 2 2 f yx = 4 xye x + 2 x 2 ye x 2 + y2 2 + y2 = 4 xye x + 4 x 3 ye x + y2 + y2 (2 y ) 2 2 f yy = 2 x 2 e x + 2 x 2 ye x 2 +y 2 2 +y 2 = 2x 2e x + 4 x 2 y 2e x Note que las derivadas cruzadas son iguales. 7.3.3 TEOREMA DE SCHWARZ Sea f : U ⊆ R 2 → R , una función definida en el abierto U de R 2 . Si las derivadas parciales ∂2 f ∂2 f y existen y son funciones continuas ∂x∂y ∂y∂x ∂2 f ∂2 f en U , entonces: = ∂x∂y ∂y∂x 26