1. República Bolivariana de Venezuela.
Instituto Universitario Politécnico.
“Santiago Mariño"
Extensión Barcelona
Escuela de “Ingeniería de Sistemas”
Ecuaciones
Paramétricas
Bachiller:
Remache, José
C.I:24.983.497

2. El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar
sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de
ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas
computacionales, entre otras.
Introducción
Otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya que a través de
esta se ha logrado desarrollar el estudio de fenómenos físicos, describiéndolos
mediante el uso de vectores. Esto ha hecho posible una mejor comprensión del
universo.

3. El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
• Geométricamente
Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las
operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a
través de métodos geométricos.
• Analíticamente
La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números,
llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una
representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas.
• Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de
coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.

4. El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un
sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los
principales sistemas se encuentran:
Sistema unidimensional, que se
trata de una recta donde un punto
(O) representa el origen y otro
punto (P) determina la escala
(longitud) y el sentido de esta:
Sistema de coordenadas rectangulares
(bidimensional), que está compuesto por
dos rectas perpendiculares llamadas eje x
y eje y, que pasan por un punto (O) origen;
de esa forma el plano queda divido en
cuatro regiones llamadas cuadrantes. En
este caso un punto (P) en el plano es dado
por las distancias que existen entre los ejes
y P.

5. Y por supuesto, el sistema tridimensional rectangular, formado por tres
rectas perpendiculares (x, y, z) que tienen como origen un punto O en el
espacio. Se forman tres planos coordenados: xy, xz y yz; el espacio quedará
dividido en ocho regiones llamadas octantes. La referencia de un punto P del
espacio es dada por las distancias que existen entre los planos y P.

6. Entre otra generalidades: La Magnitud
Magnitud
es una cantidad física que puede ser contada o medida a través de un valor
numérico.
Magnitud escalar
Son aquellas cantidades que se definen y representan de forma numérica; es decir,
por un módulo junto con una unidad de medida. Por ejemplo:
Tiempo: 5 segundos. Masa: 10 kg.
Magnitud vectorial
Son aquellas cantidades que son definidas y representadas por un módulo junto
con una unidad, así como también por un sentido y dirección. Por ejemplo:
Aceleración: 13 m /s2; S 45º E.
Fuerza: 280 N, 120º.
Las magnitudes vectoriales son representadas gráficamente por vectores.

7. Entre otra generalidades: Definición de Vectores
Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son
segmentos de recta en los que su extremo final es la punta de una flecha.
Estos son determinados por su módulo o longitud del segmento, su sentido que es
indicado por la punta de su flecha y su dirección de acuerdo con la recta a la que
pertenezca. El origen de un vector es también conocido como el punto de aplicación.

8. Entre otra generalidades: Características de los Vectores
Módulo
Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un vector,
representada por un número real junto con una unidad. Por ejemplo:
|OM| = |A| = A = 6 cm
Dirección
Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del positivo) y el vector,
así como también se utilizan los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste).
Sentido
Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo del vector, indicando hacia
dónde se dirige este.

9. Entre otra generalidades: Tipos de Vectores
Vector fijo
Es aquel cuyo punto de aplicación (origen) es
fijo; es decir, que se mantiene ligado a un
punto del espacio, por lo que no puede
desplazarse en este.
Vector libre
Puede moverse libremente en el espacio
porque su origen se traslada a cualquier punto
sin cambiar su módulo, sentido o dirección.

10. Entre otra generalidades: Tipos de Vectores
Vector deslizante
Es aquel que puede trasladar su origen a lo largo de su línea de acción sin cambiar su
módulo, sentido o dirección.

11. Entre otra generalidades: Propiedades de los vectores
Vectores equipolentes
Son aquellos vectores libres que tienen
igual módulo, dirección (o estas son
paralelas) y sentido que un vector
deslizante o un vector fijo.
Vectores equivalentes
Ocurre cuando dos vectores tienen la
misma dirección (o son paralelas), el
mismo sentido, y a pesar de tener
diferentes módulos y puntos de
aplicación, estos provocan efectos
iguales.
Igualdad de vectores
Estos tienen igual módulo, dirección y sentido, aun cuando sus puntos de partida son
diferentes, lo que permite que un vector paralelo se traslade a sí mismo sin afectarlo.

12. Vectores opuestos
Son aquellos que tienen el mismo
módulo y dirección, pero su sentido
es opuesto.
Vector unitario
Es aquel en el que el módulo es igual a
la unidad (1). Este se obtiene al dividir
el vector por su módulo y es utilizado
para determinar la dirección y sentido
de un vector, bien sea en el plano o en
el espacio, utilizando los vectores base
o unitarios normalizados, que son:
Entre otra generalidades: Propiedades de los vectores

13. Ejemplode un Vector
Se tiene un vector Ā que parte del origen y las coordenadas de sus extremos son
dadas. Así, el vector Ā = (Ax; Ay; Az) = (4; 6; -3) cm.

14. Ecuación paramétrica
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una
curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un
intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro,
considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del
parámetro.
Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio
Desarrollamos la ecuación vectorial de la recta expresada en
componentes:

15. Separando por componentes obtenemos:
Que son las conocidas como ecuaciones
paramétricas de la recta.
Ecuación paramétrica

17. Grafica de la
Ecuación vectorial de la recta en R3
Dado un vector u = (a,b,c) y un
punto A (x1, y1, z1), nos
propondremos a hallar la ecuación
de la recta r que pasa por el punto
A y es paralela al vector u.
Para ellos, lo primero es
considerar un punto X (x,y,z)
perteneciente a la recta r, y
crear con ambos puntos, el
vector AX, el cual resultará
paralelo al vector u.
AX = t . u
(x – x1, y – y1, z – z1) = t . (a, b, c)
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t . (a, b, c) , t Є R “Ecuación
Vectorial de la Recta”
Su forma paramétrica:
x = x1 + t . a
y = y1 + t . b
z = z1 + t . c

18. Curvas planas y ecuaciones paramétricas

19. Longitud de curva
Si una curva suave C está dada por x=f(t) y y=g(t) y C no se corta a sí misma
en el intervalo a le t le b (excepto quizá en los puntos terminales),
entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por:
Para cálculos en el plano R3

20. Longitud de arco
Imagina aproximar la curva con un
montón de pequeños segmentos de
recta.
La longitud de cada segmento está
dada por el teorema de Pitágoras,
Los términos dx y dy representan el
pequeño cambio en los valores de x
y y desde el principio hasta el final
del segmento.
Podemos aplicar esta misma
integral a curvas parametrizadas, no
solo a gráficas de funciones. Esta
vez, ya que x y y son funciones del
parámetro t, escribimos dx y dy en
términos de dt; esto lo logramos al
calcular las derivadas de ambas
funciones con respecto al
parámetro.

21. Un pequeño ejercicio de caculo de Longitud de arco
Donde “u” representa “unidades”.

22. Transformación de ecuación paramétrica a Cartesiana

23. Transformación de ecuación paramétrica a Cartesiana

24. Si aplicamos los pasos a la ecuación paramétrica de la recta
Aplicamos los pasos:
Línea 2 + (Línea 3)*-1 =
X = -1 + 3 k
Y - z = -2 – 3k
Línea 1 + Línea 2= X + y –z = -3
Consiguiendo la ecuación cuadrática de la recta

25. Conclusión
Los vectores así como las ecuaciones lineales pueden ser estudiadas en un plano,
para de esta forma poder graficar con cierta exactitud el comportamiento de la
fuerza o magnitud en el espacio, recordando que dependiendo de las
necesidades del estudio esa observación se puede hacer en el eje de R2 (x, y) o
en el eje R3 (x, y, z).
Las rectas pueden estudiarse tanto bajo su forma cartesiana así como
paramétricas, solo es necesario observar correctamente sus componentes para
así poder aplicar las ecuaciones de la forma correcta.
Para estudiar una recta es necesario conocer un punto dentro de la recta y tener
un vector director a la recta.
Las ecuaciones paramétricas pueden transformarse en cartesianas aplicando
una simple reducción.
La longitud de la curva puede ser estudiada aplicando el teorema de Pitágoras a
sus componentes.

26. Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=PquPODE
1UBc
https://www.youtube.com/watch?v=1x5zGY9DO
dg

27. Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=N5eKa0a95mk

28. Bibliografía
Vicenzo J. Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores.
Lifeder.com. Recuperado de: https://www.lifeder.com/algebra-
vectorial-fundamentos-magnitudes-vectores/
Marta. Obtención de las ecuaciones paramétricas de la recta.
Superprof Recuperado:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/rec
ta/ecuaciones-parametricas-de-la-recta.html
(2017). Longitud de Arco de la Curva. Matesfacil. Recuperado
dehttps://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/circular/arco/l
ongitud-arco-circunferencia-grados-radianes-angulo-formulas-
problemas-resueltos.html
¿Cómo citar y referenciar páginas web con normas APA?. Normas
APA a Chegg Service. Recuperado de: https://normasapa.com/como-
citar-referenciar-paginas-web-con-normas-apa/