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Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

´
Algebra de Boole
Prof. Rodrigo Araya E.
raraya@inf.utfsm.cl
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Inform´tica
a

Valpara´ 1er Semestre 2006
ıso,

RAE

´
Algebra de Boole
Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

1

Introducci´n
o

2

Expresiones de Conmutaci´n
o

3

Compuertas L´gicas
o

4

Minimizaci´n de Funciones
o

RAE

´
Algebra de Boole
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Introducci´n
o

En 1815 George Boole propuso una herramienta matem´tica
a
´
llamada Algebra de Boole.
Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta ´lgebra
a
es posible modelar los llamados Sistemas Digitales.

RAE

´
Algebra de Boole
Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

´
Algebra de Boole

´
El Algebra de Boole es un sistema matem´tico que utiliza
a
variables y operadores l´gicos. Las variables pueden valer 0
o
o
´ 1. Y las operaciones b´sicas son OR(+) y AND(·).
a
Luego se definen las expresiones de conmutaci´n como un
o
n´mero finito de variables y constantes, relacionadas mediante
u
los operadores (AND y OR).
En la ausencia de par´ntesis, se utilizan las mismas reglas de
e
precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y
multiplicaci´n (AND) en el ´lgebra normal.
o
a

RAE

´
Algebra de Boole
Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

´
Algebra de Boole

Leyes
En el ´lgebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes:
a
1) Conmutatividad:
X +Y =Y +X
X ·Y =Y ·X

RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

´
Algebra de Boole
Leyes
2) Asociatividad:
X + (Y + Z ) = (X + Y ) + Z
X · (Y · Z ) = (X · Y ) · Z
3) Distributividad:
X + (Y · Z ) = (X + Y ) · (X + Z )
X · (Y + Z ) = (X · Y ) + (X · Z )

RAE

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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

´
Algebra de Boole
Identidades
4) Elementos Neutros (Identidad):
X +0=X
X ·1=X
5) Complemento:
X +X =1
X ·X =0

RAE

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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

´
Algebra de Boole
Leyes
6) Dominaci´n:
o
X +1=1

X ·0=0

Demostraci´n:
o
X + 1 = (X + 1) · 1 = (X + 1) · (X + X )
(X + 1) · (X + X ) = X + (1 · X ) = 1
7) Idempotencia:
X +X =X
X ·X =X
RAE

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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

´
Algebra de Boole
Leyes
8) Doble complemento:
X =X
.
9) Absorci´n:
o
X +X ·Y =X
X · (Y + X ) = X
Demostraci´n:
o
X + X · Y = (X · 1) + (X · Y ) = X · (1 + Y ) = X
RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

´
Algebra de Boole

Leyes
10) DeMorgan:
A·B =A+B
A+B =A·B

RAE

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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

´
Algebra de Boole
Teoremas
Luego se establecen los siguientes Teoremas:
Teorema de la Simplificaci´n
o
A+A·B =A+B
A · (A + B) = A · B
Demostraci´n:
o

→

A·A=0
A·A+B =B
(A + B) · (A + B) = B
A · (A + B) · (A + B) = A · B
A · (A + B) = A · B
RAE

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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

´
Algebra de Boole
Teoremas
Teorema del complemento unico
´
Suponemos 2 complementos para A (A1 y A2 )
A + A1 = 1 A + A2 = 1
A · A1 = 0
A · A2 = 0
Luego,
A1 = A1 · 1 = A1 · (A + A2 ) = A1 · A + A1 · A2
A1 = 0 + A2 · A1
A1 = A · A2 + A1 · A2 = (A + A1 ) · A2
A1 = 1 · A2 = A2
RAE

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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Expresiones de Conmutaci´n
o
Algunas definiciones:
Literal: Es toda ocurrencia de una variable, ya sea
complementada o sin complementar, en una expresi´n de
o
conmutaci´n.
o
Por ejemplo, en la expresi´n de conmutaci´n:
o
o
A·B +C ·A+D +B ·1
A, B, C y D son Variables.
A, B, C , A, D y B son Literales.
1 es una Constante.

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o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Expresiones de Conmutaci´n
o
Algunas definiciones:
Expresi´n Dual: Esta expresi´n se obtiene, intercambiando
o
o
las operaciones AND por OR (y vice versa), e intercambiando
las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en la expresi´n de
o
conmutaci´n.
o
Por ejemplo, para la expresi´n de conmutaci´n:
o
o
(A · B) + (C · D) + 0
La Expresi´n Dual es:
o
(A + B) · (C + D) · 1

RAE

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o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Funciones de conmutaci´n
o

Las funciones de conmutaci´n se pueden expresar: de Forma
o
Algebraica, mediante una Tabla de Verdad o en Forma
Can´nica.
o
La manera m´s did´ctica de representar una funci´n de
a
a
o
conmutaci´n es mediante una Tabla de Verdad, ya que en ella
o
se muestran los valores de salida para cada combinaci´n de
o
valor de entrada.
Las Tablas de Verdad permiten modelar los Sistemas
Combinacionales.

RAE

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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Tablas de Verdad
Ejemplo de una tabla de Verdad
Dada la funci´n de conmutaci´n: f (X1 , X2 , X3 ) = X1 + (X2 · X3 )
o
o
La Tabla de Verdad es:
X1
0
0
0
0
1
1
1
1

X2
0
0
1
1
0
0
1
1

X3
0
1
0
1
0
1
0
1
RAE

f (X1 , X2 , X3 )
0
0
1
0
1
1
1
1
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Normales
Dada una tabla de verdad tambi´n es posible obtener la forma
e
algebraica.
Existen 2 m´todos para identificar la forma algebraica: la
e
forma normal disyuntiva y la forma normal conjuntiva.
En el caso de la forma normal disyuntiva, es necesario
identificar los 1’s que resultan de la tabla de verdad y formar
los t´rminos (conjunciones fundamentales) que los
e
representan.
Para formar las conjunciones fundamentales, se usa la variable
complementada si para esa combinaci´n tiene un cero, o se
o
deja sin complementar, si en la combinaci´n hay un 1.
o

RAE

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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Normales
Forma normal disyuntiva
Dada la Tabla de Verdad:
X1
0
0
0
0
1
1
1
1

X2
0
0
1
1
0
0
1
1

X3
0
1
0
1
0
1
0
1

f (X1 , X2 , X3 )
0
0
1
0
1
1
1
1
RAE

→

X1 · X2 · X3

→
→
→
→

X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3

´
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Normales
Del ejemplo anterior, se suman las conjunciones
fundamentales, resultando la forma normal disyuntiva:
f (X1 , X2 , X3 )

=

X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3
+X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3

Estos t´rminos formados por todas las variables conectadas
e
e
mediante operadores AND se denominan mint´rminos
(conjunciones fundamentales).
Como la funci´n de conmutaci´n corresponde a un OR de
o
o
todos los mint´rminos, se puede expresar tambi´n de la forma
e
e
can´nica (OR can´nico de AND).
o
o
F (X1 , X2 , X3 ) =
RAE

m

(m0 , m1 , . . . , mn )

´
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o
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Can´nicas
o

Para la representaci´n de la forma can´nica, se utilizan las
o
o
posiciones de los mint´rminos en la Tabla de Verdad.
e
Para el ejemplo anterior resulta:
f (X1 , X2 , X3 ) =
m (2, 4, 5, 6, 7)

RAE

´
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Can´nicas
o
Mint´rminos en una Tabla de Verdad
e
Dada una Tabla de Verdad:
X1
0
0
0
0
1
1
1
1

X2
0
0
1
1
0
0
1
1

X3
0
1
0
1
0
1
0
1

Mint´rmino
e
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3
RAE

Etiqueta
0
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Normales

En el caso de la forma normal conjuntiva, se opera de manera
contraria a la vista anteriormente.
En este caso es necesario identificar los 0’s que resultan de la
tabla de verdad y formar los t´rminos (disyunciones
e
fundamentales o maxt´rminos) que los representan.
e
Para ello se utiliza la variable complementada si para esa
combinaci´n tiene un 1, o se deja sin complementar si en la
o
combinaci´n hay un 0.
o

RAE

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o
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Normales
Forma normal conjuntiva
Dada la Tabla de Verdad:
X1
0
0
0
0
1
1
1
1

X2
0
0
1
1
0
0
1
1

X3
0
1
0
1
0
1
0
1

f (X1 , X2 , X3 )
0
0
1
0
1
1
1
1

RAE

→
→

X1 + X2 + X3
X1 + X2 + X3

→

X1 + X2 + X3

´
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o
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Normales
Del ejemplo anterior, se opera con un AND sobre las
disyunciones fundamentales, resultando la forma normal
conjuntiva:
f (X1 , X2 , X3 )

=

(X1 + X2 + X3 ) · (X1 + X2 + X3 )
·(X1 + X2 + X3 )

De igual manera es posible expresar esta funci´n de
o
conmutaci´n, compuesta por maxt´rminos, de la forma
o
e
can´nica (AND can´nico de OR).
o
o
F (X1 , X2 , X3 ) =

RAE

M

(M0 , M1 , . . . , Mn )

´
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o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Can´nicas
o

Para la representaci´n de la forma can´nica, se utilizan las
o
o
posiciones de los mint´rminos en la Tabla de Verdad.
e
Para el ejemplo anterior resulta:
f (X1 , X2 , X3 ) =
M (0, 1, 3)

RAE

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o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Can´nicas
o

¿Como pasar de una forma algebraica, directamente a una
forma can´nica?
o
F (X1 , X2 , X3 )

=
=
=
=

X1 + (X2 · X3 )
X1 · (X2 + X2 ) · (X3 + X3 )
+(X1 + X1 )(X2 · X3 )
X1 · X2 · (X3 + X3 ) + X1 · X2 · (X3 + X3 )
+X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3
X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3
+X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3

RAE

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o
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o
Minimizaci´n de Funciones
o

Formas Can´nicas
o

¿Como convertir de una forma OR can´nico de AND a una
o
forma AND can´nico de OR?
o
F (X1 , X2 , X3 )
F (X1 , X2 , X3 )
F (X1 , X2 , X3 )

=
=
=
=

F (X1 , X2 , X3 )

=

m (2, 4, 5, 6, 7)
m (0, 1, 3)

(X1 · X2 · X3 ) + (X1 · X2 · X3 ) + (X1 · X2 · X3 )
(X1 + X2 + X3 ) · (X1 + X2 + X3 ) · (X1 + X2
+X3 )
M (0, 1, 3)

RAE

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o
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Funciones equivalentes

Se dice que dos funciones de conmutaci´n son equivalentes si
o
tienen expansiones en forma can´nica id´nticas. Es decir, que
o
e
tienen valores de salida id´nticos para las mismas
e
combinaciones de entrada.
Dicho de otra manera, dos funciones de conmutaci´n son
o
equivalentes si tienen la misma tabla de verdad.

RAE

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Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Funciones equivalentes

¿Cu´ntas funciones distintas (No equivalentes) existen para
a
un n´mero n de variables?
u
22

n

Esto se puede demostrar f´cilmente, construyendo tablas de
a
verdad y bas´ndose en que las funciones no equivalentes
a
tienen tablas de verdad distintas.

RAE

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o
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Algunos Operadores
Algunos operadores...
NOT
AND
OR
NAND
NOR
XAND
XOR

F (X1 ) = X1
F (X1 , X2 ) = X1 · X2
F (X1 , X2 ) = X1 + X2
F (X1 , X2 ) = X1 · X2 = X1 + X2
F (X1 , X2 ) = X1 + X2 = X1 · X2
F (X1 , X2 ) = X1 · X2 + X1 · X2
F (X1 , X2 ) = X1 · X2 + X1 · X2

Tarea: Analizar las tablas de verdad de cada uno de estos
operadores.

RAE

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o
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Operadores funcionalmente completos

Se dice que un conjunto de operadores es funcionalmente
completo si se puede expresar cualquier funci´n de
o
conmutaci´n, utilizando s´lo los operadores del conjunto.
o
o
Por ejemplo el conjunto {AND, OR, NOT} es
funcionalmente completo por definici´n del ´lgebra. Sin
o
a
embargo el conjunto {AND, NOT} tambi´n lo es.
e
Otros conjuntos funcionalmente completos son: {NOR} y
{NAND}.

RAE

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o
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Compuertas L´gicas
o
Existen dispositivos electr´nicos que son capaces de
o
representar funciones de conmutaci´n. Estos dispositivos
o
denominan Compuertas L´gicas y est´n construidos a base
o
a
de silicio.
Las compuertas l´gicas son altamente usadas en el campo de
o
la electr´nica digital, debido al bajo costo que se logra con la
o
alta densidad de integraci´n.
o
Las compuertas corresponden a bloques fundamentales para la
construcci´n de circuitos l´gicos y sistemas digitales.
o
o
Una red de compuertas l´gicas constituye un circuito
o
combinacional.
RAE

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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Compuertas L´gicas
o

RAE

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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Compuertas L´gicas
o
Las compuertas pueden tener m´s de una o dos entradas. Por
a
ejemplo la ecuaci´n de conmutaci´n F (A, B, C ) = A · B · C
o
o
puede ser representada por:

O bien por:

RAE

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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Compuertas L´gicas
o
Ejemplo de compuertas
Representar la siguiente ecuaci´n mediante compuertas l´gicas.
o
o
F (A, B, C , D) = (B + D) · (A + B) · C

RAE

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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Compuertas L´gicas
o
Las compuertas l´gicas se pueden encontrar en dispositivos
o
peque˜os de uso general, llamadas pastillas l´gicas TTL. Su
n
o
numeraci´n corresponde a 74LSXXX.
o

Tambi´n existen dispositivos con alta densidad de integraci´n
e
o
como PLA, CPLD y FPGA.

RAE

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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Compuertas L´gicas
o

Las pastillas l´gicas internamente est´n dise˜adas con varias
o
a
n
compuertas, dependiendo de la pastilla. Por ejemplo un
74LS32 internamente es de la siguiente forma:

RAE

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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizar una funci´n F (X1 , X2 , X3 , . . . Xn ) es encontrar una
o
funci´n equivalente G (X1 , X2 , X3 , . . . Xn ) que tenga el m´
o
ınimo
n´mero de t´rminos y literales.
u
e

RAE

´
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o
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n de Funciones
o
Por ejemplo, si tenemos la siguiente tabla de verdad:
AB
00
00
00
00
01
01
01
01

CD
00
01
10
11
00
01
10
11

Z
1
0
1
0
1
0
1
1

RAE

AB
10
10
10
10
11
11
11
11

CD
00
01
10
11
00
01
10
11

´
Algebra de Boole

Z
1
0
1
0
1
0
1
1
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o
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Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n de Funciones
o

Luego extraemos los mint´rminos
e
AB
00
00
00
00
01
01
01
01

CD
00
01
10
11
00
01
10
11

Z
1
0
1
0
1
0
1
1

Mint´rmino
e
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D

RAE

AB
10
10
10
10
11
11
11
11

CD
00
01
10
11
00
01
10
11

´
Algebra de Boole

Z
1
0
1
0
1
0
1
1

Mint´rmino
e
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D
→A · B · C · D
Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n de Funciones
o

La forma normal disyuntiva de la ecuaci´n queda de la
o
siguiente manera:
F (A, B, C , D)

=

(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D)

RAE

´
Algebra de Boole
Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n de Funciones
o

RAE

´
Algebra de Boole
Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n de Funciones
o
Si intentamos minimizar la ecuaci´n, resulta la siguiente
o
expresi´n:
o
F (A, B, C , D)

=

=

=
=
=

(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D)
+(A · B · C · D)
(A · B + A · B + A · B + A · B) · (C · D)
+(A · B + A · B + A · B + A · B) · (C · D)
+(A + A) · (B · C · D)
(A + A) · (B + B) · (C · D + C · D) + (B · C · D)
D + (B · C · D)
D + (B · C )
RAE

´
Algebra de Boole
Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n de Funciones
o

RAE

´
Algebra de Boole
Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Mapas de Karnaugh

Los mapas de Karnaugh son una herramienta gr´fica utilizada
a
para simplificar las ecuaciones l´gicas o bi´n, minimizar
o
e
funciones de conmutaci´n.
o
Estos mapas son una versi´n modificada de la tablas de
o
verdad, permitiendo mostrar la relaci´n entre las entradas
o
l´gicas y la salida deseada.
o
Los mapas de Karnaugh permiten el dise˜o de circuitos con el
n
m´
ınimo compuertas, por lo que tiene un alto impacto en la
reducci´n de costos.
o

RAE

´
Algebra de Boole
Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
1) Al igual que en las tablas de verdad, una funci´n de n
o
variables tiene 2n combinaciones de posibles valores de
entrada. En el caso de los mapas de Karnaugh, estas
combinaciones se representan mediante celdas.
n=2

n=3

RAE

n=3

´
Algebra de Boole

n=4
Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o

2) Luego, las coordenadas de las celdas se enumeran, seg´n el
u
c´digo Grey, quedando de la siguiente manera:
o

RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
3) Si se tiene una tabla de verdad, basta con escribir en cada
celda la salida correspondiente de la tabla de verdad para cada
combinaci´n. Por ejemplo:
o
A B C Z
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
→
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
Equivalentemente se puede representar una funci´n de la
o
forma can´nica, como mapa de Karnaugh. Para ello se debe
o
asignar un 0 a una variable complementada y un 1 a una
variable sin complementar.

→

RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
Con esto se forma la siguiente numeraci´n para las celdas.
o

Luego si se quiere representar la funci´n
o
F (A, B, C ) = m (0, 2, 3, 7), resulta:

RAE

´
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o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
Para 4 variables, la numeraci´n de las celdas corresponde a:
o

RAE

´
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Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
4) Dos celdas son adyacentes s´lo si difieren en una de las
o
variables.

RAE

´
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Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
5) Un subcubo es un conjunto de 2m celdas con valor 1, las
cuales tienen la propiedad que cada celda del subcubo es
adyacente a exactamente m celdas del conjunto.

RAE

´
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o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
6) Los subcubos se pueden representar mediante t´rminos
e
algebraicos. Estos t´rminos est´n compuestos por n − m
e
a
literales, donde n es el n´mero de variables y 2m es el tama˜o
u
n
del subcubo.

RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o

7) Si se suman los t´rminos dados por los subcubos que
e
abarcan todos los unos del mapa, se obtiene la funci´n
o
algebraica.
Para que la funci´n sea m´
o
ınima, se debe buscar el m´
ınimo
n´mero de subcubos que cubren todos los unos. Esto se logra,
u
buscando los subcubos de mayor tama˜o posible, sin importar
n
que se traslapen.

RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh
o
El siguiente mapa de Karnaugh:

Representa la funci´n
o
F (A, B, C , D) = D + B + C
RAE

´
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Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n mediante Mapas de Karnaugh
o

En la pr´ctica, al utilizar el m´todo de los mapas de Karnaugh
a
e
manualmente, resulta util para un m´ximo de 5 o 6 variables.
´
a

RAE

´
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Introducci´n
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Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n mediante Mapas de Karnaugh
o
En el siguiente mapa de Karnaugh de 5 variables se identifican
4 subcubos:

Resultando la ecuaci´n
o
F (A, B, C ) = A · B · C · E + A · B · C · E + A · B · C · E
+A · B · C · E
RAE

´
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o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n mediante Mapas de Karnaugh
o
Sin embargo en el mapa anterior no est´n marcados los
a
subcubos m´s grandes. Por lo que la funci´n no es m´
a
o
ınima.
En el siguiente MK est´n marcados los subcubos m´s grandes.
a
a

Resultando la ecuaci´n
o
F (A, B, C ) = B · C · E + B · C · E
RAE

´
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Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Mapas de Karnaugh (AND de OR)

Tambi´n es posible expresar funciones de la forma can´nica
e
o
AND de OR en los mapas de Karnaugh.
Para ello es necesario identificar los subcubos que cubren
todos los ceros del MK.
Por ejemplo minimizar
F (A, B, C , D) =

(0, 2, 5, 8, 10, 13, 14)
M

RAE

´
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Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Mapas de Karnaugh (AND de OR)
El siguiente MK representa a la funci´n
o
F (A, B, C , D) = M (0, 2, 5, 8, 10, 13, 14). En el se deben
cubrir los ceros de mapa.

Resultando la ecuaci´n
o
F (A, B, C , D) = (B + D) · (B + C + D) · (A + C + D)
RAE

´
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Minimizaci´n de Funciones
o

La minimizaci´n de funciones es fundamental tanto para el
o
dise˜o de procesadores, como de otros componentes digitales
n
que utilizan tecnolog´ de alta densidad de integraci´n (como
ıa
o
VLSI).
La minimizaci´n no solo tiene un alto impacto en el costo de
o
los dispositivos, sino que tambi´n en el rendimiento.
e
Sin embargo el m´todo de MK no es viable en dise˜os
e
n
complejos, como por ejemplo el dise˜o de un procesador,
n
debido a la cantidad de variables que involucra.

RAE

´
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Introducci´n
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Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e

El m´todo de Quine y McKluskey es una t´cnica tabular.
e
e
Esta t´cnica resulta f´cil de programar, con lo que se logra
e
a
una herramienta autom´tica para la obtenci´n de expresiones
a
o
de conmutaci´n m´
o
ınimas.

RAE

´
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Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e
Una expresi´n de conmutaci´n se puede escribir como una
o
o
suma de t´rminos donde cada t´rmino esta compuesto de
e
e
factores.
Por ejemplo:
F (A, B, C ) = A · B · C + B · C + . . .
Se define como implicante primo a un t´rmino que
e
est´ contenido en la funci´n y que la eliminaci´n de cualquiera
a
o
o
de sus literales genera un nuevo t´rmino que no esta
e
contenido en a funci´n.
o

RAE

´
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Introducci´n
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Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e

Implicantes Primos
Por ejemplo la funci´n F (A, B, C ) = AB + C tiene 2 t´rminos
o
e
(AB y C ), y ambos son implicantes primos.
En cambio la funci´n F (A, B, C ) = ABC + A + BC tiene 3
o
t´rminos, pero s´lo 2 de ellos son implicantes primos. El
e
o
t´rmino ABC no es implicante primo, ya que si se elimina la
e
literal A, queda el t´rmino BC que ya existe en la funci´n.
e
o

RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e

Se puede observar que los implicantes primos corresponden a
los subcubos en un mapa de Karnaugh. Por lo tanto, la
ecuaci´n minimizada tendr´ tantos t´rminos, como
o
a
e
implicantes primos tenga la funci´n.
o
Los algoritmos computacionales para la minimizaci´n de
o
funciones, se basan en la b´squeda automatizada de
u
implicantes primos.

RAE

´
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Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e
El m´todo Quine-McKluskey genera el conjunto de
e
implicantes primos de una funci´n dada.
o
Pasos para el desarrollo del m´todo Quine - McKluskey
e
1) Para desarrollar el m´todo, primero se debe contar
e
con la funci´n de la forma can´nica OR de AND.
o
o
2) Luego se representa cada t´rmino, de la forma
e
binaria.
3) Se agrupan los t´rminos en funci´n de la cantidad de
e
o
1’s que tengan.

RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e
Pasos para el desarrollo del m´todo Quine - McKluskey
e
4) Cada grupo (que representa la cantidad de 1’s del
t´rmino), se vuelve a agrupar con alg´n grupo
e
u
adyacente buscando diferencias en un solo bit. El bit
en que difieren es reemplazado por “-”.
5) Se vuelve a aplicar el paso anterior. Para la
adyacencia se debe considerar que el s´
ımbolo “-” se
encuentra en la misma posici´n.
o
6) Finalmente Se deben cubrir todos los t´rminos de la
e
funci´n original, utilizando el m´
o
ınimo n´mero de
u
implicantes primos.

RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
1) Como ejemplo se considera la siguiente funci´n de la
o
forma can´nica OR de AND. m (0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9)
o
2) Se escribe cada t´rmino, de la forma binaria:
e
(0)
(2)
(3)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
RAE

0000
0010
0011
0101
0110
0111
1000
1001

´
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Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
3) Luego se agrupan los t´rminos, en funci´n a la
e
o
cantidad de 1’s que tienen.

RAE

´
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
4) Se reagrupan los grupos adyacentes, buscando
diferencias en un solo bit y reemplazando el bit en
que difieren con un “-”.

RAE

´
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Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
5) Se vuelve a reagrupar considerando que el s´
ımbolo
“-” se encuentre en la misma posici´n.
o

RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
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Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e

Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
Los siguientes t´rminos corresponden a los implicantes primos:
e
(0,2)
(0,8)
(8,9)
(5,7)
(2,3,6,7)

RAE

00-0
-000
10001-1
0-1-

→A
→B
→C
→D
→E

´
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o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
6) Finalmente se deben cubrir todos los t´rminos de la
e
funci´n original, utilizando el m´
o
ınimo n´mero de
u
implicantes primos.

RAE

´
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Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

M´todo Quine - McKluskey
e
Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey
e
Los implicantes primos que representan a todos los t´rminos
e
pueden ser: C + D + E + B o C + D + E + A

Si se consideran t´rminos con las variables W , X , Y , Z se traduce
e
a: W · X · Y + W · X · Z + W · Y + X · Y · Z
o W ·X ·Y +W ·X ·Z +W ·Y +W ·X ·Z
´
RAE

´
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Contenido
Introducci´n
o
Expresiones de Conmutaci´n
o
Compuertas L´gicas
o
Minimizaci´n de Funciones
o

Fin...

Fin...

RAE

´
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Algebra de Boole

  • 1. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o ´ Algebra de Boole Prof. Rodrigo Araya E. raraya@inf.utfsm.cl Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa Departamento de Inform´tica a Valpara´ 1er Semestre 2006 ıso, RAE ´ Algebra de Boole
  • 2. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o 1 Introducci´n o 2 Expresiones de Conmutaci´n o 3 Compuertas L´gicas o 4 Minimizaci´n de Funciones o RAE ´ Algebra de Boole
  • 3. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Introducci´n o En 1815 George Boole propuso una herramienta matem´tica a ´ llamada Algebra de Boole. Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta ´lgebra a es posible modelar los llamados Sistemas Digitales. RAE ´ Algebra de Boole
  • 4. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o ´ Algebra de Boole ´ El Algebra de Boole es un sistema matem´tico que utiliza a variables y operadores l´gicos. Las variables pueden valer 0 o o ´ 1. Y las operaciones b´sicas son OR(+) y AND(·). a Luego se definen las expresiones de conmutaci´n como un o n´mero finito de variables y constantes, relacionadas mediante u los operadores (AND y OR). En la ausencia de par´ntesis, se utilizan las mismas reglas de e precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y multiplicaci´n (AND) en el ´lgebra normal. o a RAE ´ Algebra de Boole
  • 5. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o ´ Algebra de Boole Leyes En el ´lgebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes: a 1) Conmutatividad: X +Y =Y +X X ·Y =Y ·X RAE ´ Algebra de Boole
  • 6. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o ´ Algebra de Boole Leyes 2) Asociatividad: X + (Y + Z ) = (X + Y ) + Z X · (Y · Z ) = (X · Y ) · Z 3) Distributividad: X + (Y · Z ) = (X + Y ) · (X + Z ) X · (Y + Z ) = (X · Y ) + (X · Z ) RAE ´ Algebra de Boole
  • 7. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o ´ Algebra de Boole Identidades 4) Elementos Neutros (Identidad): X +0=X X ·1=X 5) Complemento: X +X =1 X ·X =0 RAE ´ Algebra de Boole
  • 8. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o ´ Algebra de Boole Leyes 6) Dominaci´n: o X +1=1 X ·0=0 Demostraci´n: o X + 1 = (X + 1) · 1 = (X + 1) · (X + X ) (X + 1) · (X + X ) = X + (1 · X ) = 1 7) Idempotencia: X +X =X X ·X =X RAE ´ Algebra de Boole
  • 9. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o ´ Algebra de Boole Leyes 8) Doble complemento: X =X . 9) Absorci´n: o X +X ·Y =X X · (Y + X ) = X Demostraci´n: o X + X · Y = (X · 1) + (X · Y ) = X · (1 + Y ) = X RAE ´ Algebra de Boole
  • 10. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o ´ Algebra de Boole Leyes 10) DeMorgan: A·B =A+B A+B =A·B RAE ´ Algebra de Boole
  • 11. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o ´ Algebra de Boole Teoremas Luego se establecen los siguientes Teoremas: Teorema de la Simplificaci´n o A+A·B =A+B A · (A + B) = A · B Demostraci´n: o → A·A=0 A·A+B =B (A + B) · (A + B) = B A · (A + B) · (A + B) = A · B A · (A + B) = A · B RAE ´ Algebra de Boole
  • 12. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o ´ Algebra de Boole Teoremas Teorema del complemento unico ´ Suponemos 2 complementos para A (A1 y A2 ) A + A1 = 1 A + A2 = 1 A · A1 = 0 A · A2 = 0 Luego, A1 = A1 · 1 = A1 · (A + A2 ) = A1 · A + A1 · A2 A1 = 0 + A2 · A1 A1 = A · A2 + A1 · A2 = (A + A1 ) · A2 A1 = 1 · A2 = A2 RAE ´ Algebra de Boole
  • 13. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Expresiones de Conmutaci´n o Algunas definiciones: Literal: Es toda ocurrencia de una variable, ya sea complementada o sin complementar, en una expresi´n de o conmutaci´n. o Por ejemplo, en la expresi´n de conmutaci´n: o o A·B +C ·A+D +B ·1 A, B, C y D son Variables. A, B, C , A, D y B son Literales. 1 es una Constante. RAE ´ Algebra de Boole
  • 14. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Expresiones de Conmutaci´n o Algunas definiciones: Expresi´n Dual: Esta expresi´n se obtiene, intercambiando o o las operaciones AND por OR (y vice versa), e intercambiando las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en la expresi´n de o conmutaci´n. o Por ejemplo, para la expresi´n de conmutaci´n: o o (A · B) + (C · D) + 0 La Expresi´n Dual es: o (A + B) · (C + D) · 1 RAE ´ Algebra de Boole
  • 15. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Funciones de conmutaci´n o Las funciones de conmutaci´n se pueden expresar: de Forma o Algebraica, mediante una Tabla de Verdad o en Forma Can´nica. o La manera m´s did´ctica de representar una funci´n de a a o conmutaci´n es mediante una Tabla de Verdad, ya que en ella o se muestran los valores de salida para cada combinaci´n de o valor de entrada. Las Tablas de Verdad permiten modelar los Sistemas Combinacionales. RAE ´ Algebra de Boole
  • 16. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Tablas de Verdad Ejemplo de una tabla de Verdad Dada la funci´n de conmutaci´n: f (X1 , X2 , X3 ) = X1 + (X2 · X3 ) o o La Tabla de Verdad es: X1 0 0 0 0 1 1 1 1 X2 0 0 1 1 0 0 1 1 X3 0 1 0 1 0 1 0 1 RAE f (X1 , X2 , X3 ) 0 0 1 0 1 1 1 1 ´ Algebra de Boole
  • 17. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Normales Dada una tabla de verdad tambi´n es posible obtener la forma e algebraica. Existen 2 m´todos para identificar la forma algebraica: la e forma normal disyuntiva y la forma normal conjuntiva. En el caso de la forma normal disyuntiva, es necesario identificar los 1’s que resultan de la tabla de verdad y formar los t´rminos (conjunciones fundamentales) que los e representan. Para formar las conjunciones fundamentales, se usa la variable complementada si para esa combinaci´n tiene un cero, o se o deja sin complementar, si en la combinaci´n hay un 1. o RAE ´ Algebra de Boole
  • 18. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Normales Forma normal disyuntiva Dada la Tabla de Verdad: X1 0 0 0 0 1 1 1 1 X2 0 0 1 1 0 0 1 1 X3 0 1 0 1 0 1 0 1 f (X1 , X2 , X3 ) 0 0 1 0 1 1 1 1 RAE → X1 · X2 · X3 → → → → X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 ´ Algebra de Boole
  • 19. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Normales Del ejemplo anterior, se suman las conjunciones fundamentales, resultando la forma normal disyuntiva: f (X1 , X2 , X3 ) = X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3 Estos t´rminos formados por todas las variables conectadas e e mediante operadores AND se denominan mint´rminos (conjunciones fundamentales). Como la funci´n de conmutaci´n corresponde a un OR de o o todos los mint´rminos, se puede expresar tambi´n de la forma e e can´nica (OR can´nico de AND). o o F (X1 , X2 , X3 ) = RAE m (m0 , m1 , . . . , mn ) ´ Algebra de Boole
  • 20. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Can´nicas o Para la representaci´n de la forma can´nica, se utilizan las o o posiciones de los mint´rminos en la Tabla de Verdad. e Para el ejemplo anterior resulta: f (X1 , X2 , X3 ) = m (2, 4, 5, 6, 7) RAE ´ Algebra de Boole
  • 21. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Can´nicas o Mint´rminos en una Tabla de Verdad e Dada una Tabla de Verdad: X1 0 0 0 0 1 1 1 1 X2 0 0 1 1 0 0 1 1 X3 0 1 0 1 0 1 0 1 Mint´rmino e X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 RAE Etiqueta 0 1 2 3 4 5 6 7 ´ Algebra de Boole
  • 22. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Normales En el caso de la forma normal conjuntiva, se opera de manera contraria a la vista anteriormente. En este caso es necesario identificar los 0’s que resultan de la tabla de verdad y formar los t´rminos (disyunciones e fundamentales o maxt´rminos) que los representan. e Para ello se utiliza la variable complementada si para esa combinaci´n tiene un 1, o se deja sin complementar si en la o combinaci´n hay un 0. o RAE ´ Algebra de Boole
  • 23. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Normales Forma normal conjuntiva Dada la Tabla de Verdad: X1 0 0 0 0 1 1 1 1 X2 0 0 1 1 0 0 1 1 X3 0 1 0 1 0 1 0 1 f (X1 , X2 , X3 ) 0 0 1 0 1 1 1 1 RAE → → X1 + X2 + X3 X1 + X2 + X3 → X1 + X2 + X3 ´ Algebra de Boole
  • 24. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Normales Del ejemplo anterior, se opera con un AND sobre las disyunciones fundamentales, resultando la forma normal conjuntiva: f (X1 , X2 , X3 ) = (X1 + X2 + X3 ) · (X1 + X2 + X3 ) ·(X1 + X2 + X3 ) De igual manera es posible expresar esta funci´n de o conmutaci´n, compuesta por maxt´rminos, de la forma o e can´nica (AND can´nico de OR). o o F (X1 , X2 , X3 ) = RAE M (M0 , M1 , . . . , Mn ) ´ Algebra de Boole
  • 25. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Can´nicas o Para la representaci´n de la forma can´nica, se utilizan las o o posiciones de los mint´rminos en la Tabla de Verdad. e Para el ejemplo anterior resulta: f (X1 , X2 , X3 ) = M (0, 1, 3) RAE ´ Algebra de Boole
  • 26. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Can´nicas o ¿Como pasar de una forma algebraica, directamente a una forma can´nica? o F (X1 , X2 , X3 ) = = = = X1 + (X2 · X3 ) X1 · (X2 + X2 ) · (X3 + X3 ) +(X1 + X1 )(X2 · X3 ) X1 · X2 · (X3 + X3 ) + X1 · X2 · (X3 + X3 ) +X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 +X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 + X1 · X2 · X3 RAE ´ Algebra de Boole
  • 27. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Formas Can´nicas o ¿Como convertir de una forma OR can´nico de AND a una o forma AND can´nico de OR? o F (X1 , X2 , X3 ) F (X1 , X2 , X3 ) F (X1 , X2 , X3 ) = = = = F (X1 , X2 , X3 ) = m (2, 4, 5, 6, 7) m (0, 1, 3) (X1 · X2 · X3 ) + (X1 · X2 · X3 ) + (X1 · X2 · X3 ) (X1 + X2 + X3 ) · (X1 + X2 + X3 ) · (X1 + X2 +X3 ) M (0, 1, 3) RAE ´ Algebra de Boole
  • 28. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Funciones equivalentes Se dice que dos funciones de conmutaci´n son equivalentes si o tienen expansiones en forma can´nica id´nticas. Es decir, que o e tienen valores de salida id´nticos para las mismas e combinaciones de entrada. Dicho de otra manera, dos funciones de conmutaci´n son o equivalentes si tienen la misma tabla de verdad. RAE ´ Algebra de Boole
  • 29. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Funciones equivalentes ¿Cu´ntas funciones distintas (No equivalentes) existen para a un n´mero n de variables? u 22 n Esto se puede demostrar f´cilmente, construyendo tablas de a verdad y bas´ndose en que las funciones no equivalentes a tienen tablas de verdad distintas. RAE ´ Algebra de Boole
  • 30. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Algunos Operadores Algunos operadores... NOT AND OR NAND NOR XAND XOR F (X1 ) = X1 F (X1 , X2 ) = X1 · X2 F (X1 , X2 ) = X1 + X2 F (X1 , X2 ) = X1 · X2 = X1 + X2 F (X1 , X2 ) = X1 + X2 = X1 · X2 F (X1 , X2 ) = X1 · X2 + X1 · X2 F (X1 , X2 ) = X1 · X2 + X1 · X2 Tarea: Analizar las tablas de verdad de cada uno de estos operadores. RAE ´ Algebra de Boole
  • 31. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Operadores funcionalmente completos Se dice que un conjunto de operadores es funcionalmente completo si se puede expresar cualquier funci´n de o conmutaci´n, utilizando s´lo los operadores del conjunto. o o Por ejemplo el conjunto {AND, OR, NOT} es funcionalmente completo por definici´n del ´lgebra. Sin o a embargo el conjunto {AND, NOT} tambi´n lo es. e Otros conjuntos funcionalmente completos son: {NOR} y {NAND}. RAE ´ Algebra de Boole
  • 32. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Compuertas L´gicas o Existen dispositivos electr´nicos que son capaces de o representar funciones de conmutaci´n. Estos dispositivos o denominan Compuertas L´gicas y est´n construidos a base o a de silicio. Las compuertas l´gicas son altamente usadas en el campo de o la electr´nica digital, debido al bajo costo que se logra con la o alta densidad de integraci´n. o Las compuertas corresponden a bloques fundamentales para la construcci´n de circuitos l´gicos y sistemas digitales. o o Una red de compuertas l´gicas constituye un circuito o combinacional. RAE ´ Algebra de Boole
  • 33. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Compuertas L´gicas o RAE ´ Algebra de Boole
  • 34. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Compuertas L´gicas o Las compuertas pueden tener m´s de una o dos entradas. Por a ejemplo la ecuaci´n de conmutaci´n F (A, B, C ) = A · B · C o o puede ser representada por: O bien por: RAE ´ Algebra de Boole
  • 35. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Compuertas L´gicas o Ejemplo de compuertas Representar la siguiente ecuaci´n mediante compuertas l´gicas. o o F (A, B, C , D) = (B + D) · (A + B) · C RAE ´ Algebra de Boole
  • 36. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Compuertas L´gicas o Las compuertas l´gicas se pueden encontrar en dispositivos o peque˜os de uso general, llamadas pastillas l´gicas TTL. Su n o numeraci´n corresponde a 74LSXXX. o Tambi´n existen dispositivos con alta densidad de integraci´n e o como PLA, CPLD y FPGA. RAE ´ Algebra de Boole
  • 37. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Compuertas L´gicas o Las pastillas l´gicas internamente est´n dise˜adas con varias o a n compuertas, dependiendo de la pastilla. Por ejemplo un 74LS32 internamente es de la siguiente forma: RAE ´ Algebra de Boole
  • 38. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n de Funciones o Minimizar una funci´n F (X1 , X2 , X3 , . . . Xn ) es encontrar una o funci´n equivalente G (X1 , X2 , X3 , . . . Xn ) que tenga el m´ o ınimo n´mero de t´rminos y literales. u e RAE ´ Algebra de Boole
  • 39. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n de Funciones o Por ejemplo, si tenemos la siguiente tabla de verdad: AB 00 00 00 00 01 01 01 01 CD 00 01 10 11 00 01 10 11 Z 1 0 1 0 1 0 1 1 RAE AB 10 10 10 10 11 11 11 11 CD 00 01 10 11 00 01 10 11 ´ Algebra de Boole Z 1 0 1 0 1 0 1 1
  • 40. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n de Funciones o Luego extraemos los mint´rminos e AB 00 00 00 00 01 01 01 01 CD 00 01 10 11 00 01 10 11 Z 1 0 1 0 1 0 1 1 Mint´rmino e →A · B · C · D →A · B · C · D →A · B · C · D →A · B · C · D →A · B · C · D RAE AB 10 10 10 10 11 11 11 11 CD 00 01 10 11 00 01 10 11 ´ Algebra de Boole Z 1 0 1 0 1 0 1 1 Mint´rmino e →A · B · C · D →A · B · C · D →A · B · C · D →A · B · C · D →A · B · C · D
  • 41. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n de Funciones o La forma normal disyuntiva de la ecuaci´n queda de la o siguiente manera: F (A, B, C , D) = (A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D) +(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D) +(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D) +(A · B · C · D) RAE ´ Algebra de Boole
  • 42. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n de Funciones o RAE ´ Algebra de Boole
  • 43. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n de Funciones o Si intentamos minimizar la ecuaci´n, resulta la siguiente o expresi´n: o F (A, B, C , D) = = = = = (A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D) +(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D) +(A · B · C · D) + (A · B · C · D) + (A · B · C · D) +(A · B · C · D) (A · B + A · B + A · B + A · B) · (C · D) +(A · B + A · B + A · B + A · B) · (C · D) +(A + A) · (B · C · D) (A + A) · (B + B) · (C · D + C · D) + (B · C · D) D + (B · C · D) D + (B · C ) RAE ´ Algebra de Boole
  • 44. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n de Funciones o RAE ´ Algebra de Boole
  • 45. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Mapas de Karnaugh Los mapas de Karnaugh son una herramienta gr´fica utilizada a para simplificar las ecuaciones l´gicas o bi´n, minimizar o e funciones de conmutaci´n. o Estos mapas son una versi´n modificada de la tablas de o verdad, permitiendo mostrar la relaci´n entre las entradas o l´gicas y la salida deseada. o Los mapas de Karnaugh permiten el dise˜o de circuitos con el n m´ ınimo compuertas, por lo que tiene un alto impacto en la reducci´n de costos. o RAE ´ Algebra de Boole
  • 46. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o 1) Al igual que en las tablas de verdad, una funci´n de n o variables tiene 2n combinaciones de posibles valores de entrada. En el caso de los mapas de Karnaugh, estas combinaciones se representan mediante celdas. n=2 n=3 RAE n=3 ´ Algebra de Boole n=4
  • 47. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o 2) Luego, las coordenadas de las celdas se enumeran, seg´n el u c´digo Grey, quedando de la siguiente manera: o RAE ´ Algebra de Boole
  • 48. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o 3) Si se tiene una tabla de verdad, basta con escribir en cada celda la salida correspondiente de la tabla de verdad para cada combinaci´n. Por ejemplo: o A B C Z 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 → 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 RAE ´ Algebra de Boole
  • 49. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o Equivalentemente se puede representar una funci´n de la o forma can´nica, como mapa de Karnaugh. Para ello se debe o asignar un 0 a una variable complementada y un 1 a una variable sin complementar. → RAE ´ Algebra de Boole
  • 50. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o Con esto se forma la siguiente numeraci´n para las celdas. o Luego si se quiere representar la funci´n o F (A, B, C ) = m (0, 2, 3, 7), resulta: RAE ´ Algebra de Boole
  • 51. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o Para 4 variables, la numeraci´n de las celdas corresponde a: o RAE ´ Algebra de Boole
  • 52. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o 4) Dos celdas son adyacentes s´lo si difieren en una de las o variables. RAE ´ Algebra de Boole
  • 53. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o 5) Un subcubo es un conjunto de 2m celdas con valor 1, las cuales tienen la propiedad que cada celda del subcubo es adyacente a exactamente m celdas del conjunto. RAE ´ Algebra de Boole
  • 54. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o 6) Los subcubos se pueden representar mediante t´rminos e algebraicos. Estos t´rminos est´n compuestos por n − m e a literales, donde n es el n´mero de variables y 2m es el tama˜o u n del subcubo. RAE ´ Algebra de Boole
  • 55. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o 7) Si se suman los t´rminos dados por los subcubos que e abarcan todos los unos del mapa, se obtiene la funci´n o algebraica. Para que la funci´n sea m´ o ınima, se debe buscar el m´ ınimo n´mero de subcubos que cubren todos los unos. Esto se logra, u buscando los subcubos de mayor tama˜o posible, sin importar n que se traslapen. RAE ´ Algebra de Boole
  • 56. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Pasos para la construcci´n de un Mapa de Karnaugh o El siguiente mapa de Karnaugh: Representa la funci´n o F (A, B, C , D) = D + B + C RAE ´ Algebra de Boole
  • 57. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n mediante Mapas de Karnaugh o En la pr´ctica, al utilizar el m´todo de los mapas de Karnaugh a e manualmente, resulta util para un m´ximo de 5 o 6 variables. ´ a RAE ´ Algebra de Boole
  • 58. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n mediante Mapas de Karnaugh o En el siguiente mapa de Karnaugh de 5 variables se identifican 4 subcubos: Resultando la ecuaci´n o F (A, B, C ) = A · B · C · E + A · B · C · E + A · B · C · E +A · B · C · E RAE ´ Algebra de Boole
  • 59. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n mediante Mapas de Karnaugh o Sin embargo en el mapa anterior no est´n marcados los a subcubos m´s grandes. Por lo que la funci´n no es m´ a o ınima. En el siguiente MK est´n marcados los subcubos m´s grandes. a a Resultando la ecuaci´n o F (A, B, C ) = B · C · E + B · C · E RAE ´ Algebra de Boole
  • 60. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Mapas de Karnaugh (AND de OR) Tambi´n es posible expresar funciones de la forma can´nica e o AND de OR en los mapas de Karnaugh. Para ello es necesario identificar los subcubos que cubren todos los ceros del MK. Por ejemplo minimizar F (A, B, C , D) = (0, 2, 5, 8, 10, 13, 14) M RAE ´ Algebra de Boole
  • 61. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Mapas de Karnaugh (AND de OR) El siguiente MK representa a la funci´n o F (A, B, C , D) = M (0, 2, 5, 8, 10, 13, 14). En el se deben cubrir los ceros de mapa. Resultando la ecuaci´n o F (A, B, C , D) = (B + D) · (B + C + D) · (A + C + D) RAE ´ Algebra de Boole
  • 62. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Minimizaci´n de Funciones o La minimizaci´n de funciones es fundamental tanto para el o dise˜o de procesadores, como de otros componentes digitales n que utilizan tecnolog´ de alta densidad de integraci´n (como ıa o VLSI). La minimizaci´n no solo tiene un alto impacto en el costo de o los dispositivos, sino que tambi´n en el rendimiento. e Sin embargo el m´todo de MK no es viable en dise˜os e n complejos, como por ejemplo el dise˜o de un procesador, n debido a la cantidad de variables que involucra. RAE ´ Algebra de Boole
  • 63. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e El m´todo de Quine y McKluskey es una t´cnica tabular. e e Esta t´cnica resulta f´cil de programar, con lo que se logra e a una herramienta autom´tica para la obtenci´n de expresiones a o de conmutaci´n m´ o ınimas. RAE ´ Algebra de Boole
  • 64. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Una expresi´n de conmutaci´n se puede escribir como una o o suma de t´rminos donde cada t´rmino esta compuesto de e e factores. Por ejemplo: F (A, B, C ) = A · B · C + B · C + . . . Se define como implicante primo a un t´rmino que e est´ contenido en la funci´n y que la eliminaci´n de cualquiera a o o de sus literales genera un nuevo t´rmino que no esta e contenido en a funci´n. o RAE ´ Algebra de Boole
  • 65. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Implicantes Primos Por ejemplo la funci´n F (A, B, C ) = AB + C tiene 2 t´rminos o e (AB y C ), y ambos son implicantes primos. En cambio la funci´n F (A, B, C ) = ABC + A + BC tiene 3 o t´rminos, pero s´lo 2 de ellos son implicantes primos. El e o t´rmino ABC no es implicante primo, ya que si se elimina la e literal A, queda el t´rmino BC que ya existe en la funci´n. e o RAE ´ Algebra de Boole
  • 66. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Se puede observar que los implicantes primos corresponden a los subcubos en un mapa de Karnaugh. Por lo tanto, la ecuaci´n minimizada tendr´ tantos t´rminos, como o a e implicantes primos tenga la funci´n. o Los algoritmos computacionales para la minimizaci´n de o funciones, se basan en la b´squeda automatizada de u implicantes primos. RAE ´ Algebra de Boole
  • 67. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e El m´todo Quine-McKluskey genera el conjunto de e implicantes primos de una funci´n dada. o Pasos para el desarrollo del m´todo Quine - McKluskey e 1) Para desarrollar el m´todo, primero se debe contar e con la funci´n de la forma can´nica OR de AND. o o 2) Luego se representa cada t´rmino, de la forma e binaria. 3) Se agrupan los t´rminos en funci´n de la cantidad de e o 1’s que tengan. RAE ´ Algebra de Boole
  • 68. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Pasos para el desarrollo del m´todo Quine - McKluskey e 4) Cada grupo (que representa la cantidad de 1’s del t´rmino), se vuelve a agrupar con alg´n grupo e u adyacente buscando diferencias en un solo bit. El bit en que difieren es reemplazado por “-”. 5) Se vuelve a aplicar el paso anterior. Para la adyacencia se debe considerar que el s´ ımbolo “-” se encuentra en la misma posici´n. o 6) Finalmente Se deben cubrir todos los t´rminos de la e funci´n original, utilizando el m´ o ınimo n´mero de u implicantes primos. RAE ´ Algebra de Boole
  • 69. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey e 1) Como ejemplo se considera la siguiente funci´n de la o forma can´nica OR de AND. m (0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9) o 2) Se escribe cada t´rmino, de la forma binaria: e (0) (2) (3) (5) (6) (7) (8) (9) RAE 0000 0010 0011 0101 0110 0111 1000 1001 ´ Algebra de Boole
  • 70. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey e 3) Luego se agrupan los t´rminos, en funci´n a la e o cantidad de 1’s que tienen. RAE ´ Algebra de Boole
  • 71. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey e 4) Se reagrupan los grupos adyacentes, buscando diferencias en un solo bit y reemplazando el bit en que difieren con un “-”. RAE ´ Algebra de Boole
  • 72. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey e 5) Se vuelve a reagrupar considerando que el s´ ımbolo “-” se encuentre en la misma posici´n. o RAE ´ Algebra de Boole
  • 73. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey e Los siguientes t´rminos corresponden a los implicantes primos: e (0,2) (0,8) (8,9) (5,7) (2,3,6,7) RAE 00-0 -000 10001-1 0-1- →A →B →C →D →E ´ Algebra de Boole
  • 74. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey e 6) Finalmente se deben cubrir todos los t´rminos de la e funci´n original, utilizando el m´ o ınimo n´mero de u implicantes primos. RAE ´ Algebra de Boole
  • 75. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o M´todo Quine - McKluskey e Ejemplo del m´todo Quine - McKluskey e Los implicantes primos que representan a todos los t´rminos e pueden ser: C + D + E + B o C + D + E + A Si se consideran t´rminos con las variables W , X , Y , Z se traduce e a: W · X · Y + W · X · Z + W · Y + X · Y · Z o W ·X ·Y +W ·X ·Z +W ·Y +W ·X ·Z ´ RAE ´ Algebra de Boole
  • 76. Contenido Introducci´n o Expresiones de Conmutaci´n o Compuertas L´gicas o Minimizaci´n de Funciones o Fin... Fin... RAE ´ Algebra de Boole