Soluci´on Gr´afica de un PL
CCIR / Matem´aticas
euresti@itesm.mx
CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
El m´etodo gr´afico de soluci´on de problemas de programaci´on lineal
(PL) s´olo aplica a problemas con dos variables de de...
Ejemplo 1
Suponga que se desea resolver el problema PL:
Max z = 3 x + 2 y
sujeto a
2 x + y ≤ 100 R5
x + y ≤ 80 R4
x ≤ 40 R...
Nuestra primera meta es graficar en el plano la regi´on factible; es
decir, graficar la totalidad de puntos del plano que sa...
Cuando s´olo aparece una variable
En este caso, cuando cambiamos el s´ımbolo de desigualdad por el
s´ımbolo de igualdad lo...
Cuando aparecen las dos variables
Nuevamente, cambiamos el s´ımbolo de desigualdad por el s´ımbolo
de igualdad y lo que ob...
Regi´on factible
Se forma haciendo una intersecci´on de los conjuntos de puntos que
hemos encontrado (El punto S(20, 60) s...
Crecimiento de z = 3 x + 2 y
De momento, nos olvidamos de la regi´on factible y vemos en qu´e
direcci´on crece la funci´on...
Localizaci´on del ´Optimo
Ahora graficamos las curvas de nivel de z encima de la regi´on
factible y determinamos aquel punt...
Ejemplo 2
Se desea resolver el problema PL:
Min z = 4 x − y
sujeto a
−2 x + 3 y ≤ 90
3 x + 5 y ≤ 245
2 x + 2 y ≥ 40
x ≤ 40...
Regi´on factible
Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas
correspondientes buscando intersecciones y ...
Localizaci´on del ´optimo
En este caso el problema es de minimizaci´on; as´ı, en la direcci´on
opuesta al gradiente la fun...
Ejemplo 3
Suponga que se desea resolver el problema PL:
Max z = 2 x + y
sujeto a
2 x + y ≤ 100 R5
x + y ≤ 80 R4
x ≤ 40 R3
...
Regi´on factible
En este ejemplo, la regi´on factible es la misma que en el ejemplo 1.
Pero ha cambiando la funci´on objet...
Ejemplo 4
Se desea resolver el problema PL:
Max z = x + y
sujeto a
6 x + 5 y ≥ 300
20 x + 20 y ≤ 100
y ≥ 30
x ≥ 0
CCIR / M...
Regi´on factible
Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas
correspondientes buscando intersecciones y ...
Ejemplo 5
Se desea resolver el problema PL:
Max z = −3 x + y
sujeto a
−4 x + 3 y ≤ 60
2 x + 3 y ≥ 30
x − y ≤ 20
x ≥ 0
y ≥ ...
Regi´on factible
Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas
correspondientes buscando intersecciones y ...
Obtenci´on del ´optimo
A pesar que la regi´on factible es no acotada, el gradiente crece en
una direcci´on hacia donde la ...
Ejemplo 6
Se desea resolver el problema PL:
Max z = 3 x − y
sujeto a
−4 x + 3 y ≤ 60
2 x + 3 y ≥ 30
x − y ≤ 20
x ≥ 0
y ≥ 0...
Obtenci´on del ´optimo
Este problema tiene la misma regi´on factible que el problema
previo pero la funci´on crece en dire...
Aprendizajes?
Sobre la regi´on factible:
puede ser vac´ıa (ejemplo 4), acotada (ejemplos 1,2 y 3) o
infinita (ejemplos 5 y ...
Aprendizajes?
Una funci´on lineal definida sobre un segmento de recta se
convierte en una funci´on lineal en una variable; ...
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Presentacion ejemplo metodo grafico

  1. 1. Soluci´on Gr´afica de un PL CCIR / Matem´aticas euresti@itesm.mx CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  2. 2. El m´etodo gr´afico de soluci´on de problemas de programaci´on lineal (PL) s´olo aplica a problemas con dos variables de decisi´on; sin embargo, ilustra adecuadamente los conceptos que nos permitir´an entender la naturaleza del problema PL y de all´ı entender los m´etodos de soluci´on algebraicos. Primeramente graficaremos la regi´on factible. Despu´es ilustraremos el comportamiento de funciones lineales para entender c´omo determinar los puntos ´optimos. CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  3. 3. Ejemplo 1 Suponga que se desea resolver el problema PL: Max z = 3 x + 2 y sujeto a 2 x + y ≤ 100 R5 x + y ≤ 80 R4 x ≤ 40 R3 x ≥ 0 R1 y ≥ 0 R2 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  4. 4. Nuestra primera meta es graficar en el plano la regi´on factible; es decir, graficar la totalidad de puntos del plano que satisfacen las restricciones. Notemos que las restricciones se deben cumplir simult´aneamente. Es decir, que los puntos deben cumplir la restricci´on R1, la restricci´on R2, y as´ı sucesivamente hasta la restricci´on R5. Desde el punto de vista de teor´ıa b´asica de conjuntos, la regi´on factible es la intersecci´on de los conjuntos que satisfacen por separado cada una de las restricciones. Para avanzar en nuestra meta, debemos saber c´omo determinar los puntos del plano que satisfacen una desigualdad lineal. Distinguimos dos casos: cuando en la desigualdad s´olo aparece una variable de decisi´on (es decir, la otra variable tiene coeficiente cero) cuando en la desigualdad aparecen las dos variables de decisi´on (es decir, ambas tienen coeficientes diferentes de cero en tal desigualdad) CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  5. 5. Cuando s´olo aparece una variable En este caso, cuando cambiamos el s´ımbolo de desigualdad por el s´ımbolo de igualdad lo que obtenemos es el conjunto frontera del conjunto de puntos que cumple la desigualdad. En este caso, dicha frontera es una l´ınea horizontal o vertical: por inspecci´on, es f´acil determinar el lado de dicha frontera que cumple la desigualdad. x = 0 x ≥ 0 y = 0 y ≥ 0 x = 40 x ≤ 40 40 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  6. 6. Cuando aparecen las dos variables Nuevamente, cambiamos el s´ımbolo de desigualdad por el s´ımbolo de igualdad y lo que obtenemos es una l´ınea recta. Esta recta es f´acil de graficar usando la t´ecnica de intersecci´on con los ejes: hacemos cero una de las variables y despejamos para la otra variable. De nuevo, la recta es la frontera de nuestro conjunto: por inspecci´on, es f´acil determinar el lado de dicha frontera que cumple la desigualdad. 2 x + y = 100 2 x + y ≤ 100 100 50 x + y = 80 x + y ≤ 80 80 80 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  7. 7. Regi´on factible Se forma haciendo una intersecci´on de los conjuntos de puntos que hemos encontrado (El punto S(20, 60) se determina resolviendo el sistema 2 x + y = 100 y x + y = 80; el punto R(20, 60) se determina resolviendo el sistema 2 x + y = 100 y x = 40). P(0, 0) Q(40, 0) R(40, 20) S(20, 60) T(0, 80) CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  8. 8. Crecimiento de z = 3 x + 2 y De momento, nos olvidamos de la regi´on factible y vemos en qu´e direcci´on crece la funci´on z: siendo el gradiente de la funci´on z =< ∂z ∂x = 3, ∂z ∂y = 2 > determinamos que en tal direcci´on crece z; direcciones perpendiculares a z (< 2, −3 >) dan las curvas de nivel. z z = 0 z = 30 z = 60 z = 90 z = 120 z = 150 z = 180 z = 210 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  9. 9. Localizaci´on del ´Optimo Ahora graficamos las curvas de nivel de z encima de la regi´on factible y determinamos aquel punto de la regi´on factible que queda en la curva de nivel de mayor valor (caso de maximizaci´on). z = 0 z = 30 z = 60 z = 90 z = 120 z = 150 z = 180 z = 210 z P(0, 0) Q(40, 0) R(40, 20) S(20, 60), ´optimo con z = 180 T(0, 80) CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  10. 10. Ejemplo 2 Se desea resolver el problema PL: Min z = 4 x − y sujeto a −2 x + 3 y ≤ 90 3 x + 5 y ≤ 245 2 x + 2 y ≥ 40 x ≤ 40 x ≥ 0 y ≥ 0 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  11. 11. Regi´on factible Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas correspondientes buscando intersecciones y determinamos por inspecci´on el lado de la recta que cumple la desigualdad. P(20, 0) Q(40, 0) R(40, 25) S(15, 40) T(0, 30) U(0, 20) X(81.6, 0) Y (0, 49) Z(−45, 0) O x ≤ 40 3 x + 5 y ≤ 245 −2 x + 3 y ≤ 90 2 x + 2 y ≥ 40 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  12. 12. Localizaci´on del ´optimo En este caso el problema es de minimizaci´on; as´ı, en la direcci´on opuesta al gradiente la funci´on se minimiza. Para determinar el ´optimo, debemos buscar la curva de nivel en la direcci´on opuesta al gradiente de menor valor que toca a la regi´on factible. P(20, 0) Q(40, 0) R(40, 25) S(15, 40) T(0, 30) U(0, 20) O z z = −60 z = −30 z = 0 z = 30 z = 60 z = 90 z = 120 z = 150 z = 180 z = 210 M´ınimo con z = −30 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  13. 13. Ejemplo 3 Suponga que se desea resolver el problema PL: Max z = 2 x + y sujeto a 2 x + y ≤ 100 R5 x + y ≤ 80 R4 x ≤ 40 R3 x ≥ 0 R1 y ≥ 0 R2 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  14. 14. Regi´on factible En este ejemplo, la regi´on factible es la misma que en el ejemplo 1. Pero ha cambiando la funci´on objetivo; el gradiente es z =< 2, 1 > y las curvas de nivel son tales que son paralelas a uno de los lados de la regi´on factible. Y esa curva es la de mayor valor en el problema de maximizaci´on. Por tanto, habr´a infinitas soluciones: todos los puntos del segmento ¯SR son m´aximos. P(0, 0) Q(40, 0) R(40, 20) S(20, 60) T(0, 80) z z = 0 z = 20 z = 40 z = 60 z = 80 z = 100 z = 120 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  15. 15. Ejemplo 4 Se desea resolver el problema PL: Max z = x + y sujeto a 6 x + 5 y ≥ 300 20 x + 20 y ≤ 100 y ≥ 30 x ≥ 0 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  16. 16. Regi´on factible Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas correspondientes buscando intersecciones y determinamos por inspecci´on el lado de la recta que cumple la desigualdad. En este ejemplo la regi´on factible es vac´ıa: no hay valores de x y de y que satisfagan simult´aneamente todas las restricciones. P(50, 0) Q(0, 50) R(0, 60) T(0, 30) O y ≥ 30 6 x + 5 y ≥ 300 20 x + 20 y ≤ 100 x ≥ 0 x y CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  17. 17. Ejemplo 5 Se desea resolver el problema PL: Max z = −3 x + y sujeto a −4 x + 3 y ≤ 60 2 x + 3 y ≥ 30 x − y ≤ 20 x ≥ 0 y ≥ 0 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  18. 18. Regi´on factible Convertimos cada desigualdad en igualdad; trazamos las rectas correspondientes buscando intersecciones y determinamos por inspecci´on el lado de la recta que cumple la desigualdad. En este ejemplo la regi´on factible es infinita: se extiende indefinidamente entre dos rectas que se abren. P(20, 0)Q(15, 0) R(0, 10) T(0, 20) O x − y ≤ 20 2 x + 3 y ≥ 30 −4 x + 3 y ≤ 60 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  19. 19. Obtenci´on del ´optimo A pesar que la regi´on factible es no acotada, el gradiente crece en una direcci´on hacia donde la regi´on est´a acotada: por tanto, el ´optimo existe y est´a en el punto T(0, 20). P(20, 0)Q(15, 0) R(0, 10) T(0, 20) O z = −60 z = −40 z = −20 z = 0 z = 20 z = 40 z = 60 z = 80 z CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  20. 20. Ejemplo 6 Se desea resolver el problema PL: Max z = 3 x − y sujeto a −4 x + 3 y ≤ 60 2 x + 3 y ≥ 30 x − y ≤ 20 x ≥ 0 y ≥ 0 CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  21. 21. Obtenci´on del ´optimo Este problema tiene la misma regi´on factible que el problema previo pero la funci´on crece en direcci´on opuesta entonces es posible encontrar puntos sobre la frontera x − y = 20 con evaluaci´on cada vez mayor. El problema no tiene m´aximo; el valor de la funci´on no es acotado. P(20, 0)Q(15, 0) R(0, 10) T(0, 20) Oz = −60 z = −40 z = −20 z = 0 z = 20 z CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  22. 22. Aprendizajes? Sobre la regi´on factible: puede ser vac´ıa (ejemplo 4), acotada (ejemplos 1,2 y 3) o infinita (ejemplos 5 y 6). cuando no es vac´ıa. . . es faceteada: sus caras son realizadas por cortes rectos; por ello es que es convexa, es decir, no tiene partes sumidas; por ello es que para dos puntos en la regi´on factible, el segmento que los une est´a totalmente dentro de la regi´on factible. cuando es acotada y no vac´ıa. . . los puntos extremos la definen completamente. CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL
  23. 23. Aprendizajes? Una funci´on lineal definida sobre un segmento de recta se convierte en una funci´on lineal en una variable; y por lo tanto, toma sus valores m´aximos o m´ınimos en los extremos del intervalo (a´un en el caso que sea constante la funci´on). Al optimizar un PL que tiene regi´on factible acotada y no vac´ıa, los valores m´aximos y m´ınimos los toma en un punto extremo de la regi´on factible (en una esquina del poliedro que es la regi´on factible). Al optimizar un PL que tiene regi´on factible no acotada pueden ocurrir dos posibilidades: que el m´aximo o el m´ınimo lo tome en un punto extremo ´o que el problema no sea acotado: es decir, que no es posible encontrar un valor ´optimo porque siempre es posible encontrar un punto en la regi´on factible con una evaluaci´on mejor. CCIR / Matem´aticas Soluci´on Gr´afica de un PL

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