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En la matemática aplicada se estudian varios casos especiales de transformadas integrales,adaptadas a la resolución de div...
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Podría obtenerse mejor así : Trabajando como en los ejemplos 1 y 2, sustituyendo a por ai (a∈ ℜ), resulta:        [e ] = s...
a) Definición:“Se dice que f(t) es seccionalmente continua ( o continua a trozos) en [α , β ] = I , sif(t) es continua en ...
d ) Teorema de existencia“ Si f(t) ∈ A, entonces existe                  [f], ∀ s mayor que un cierto α “Es decir que f(t)...
4. PROPIEDAD DE LINEALIDADPara hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.• ...
Ejemplo 7: Calcular                    [Ch at ]               y   [Sh at ]                          eat + e −at  1  1  ...
Si f ∈ A y      [f(t)] = F(s), s > α.>.0, entonces para a > 0 :          [f(t-a)·u(t-a)] (s)= e-asF(s),               s>α ...
6. TRANSFORMADA DE DERIVADAS E INTEGRALESa) Transformada de derivadas   Sea f(t) continua en (0,∞) y de orden exponencial ...
Ejemplo 11: Calcular                    [ sen at ] , usando la                 exp resion para       [ f ′′]             P...
Por ser f ∈ A, puede mostrarse que es aplicable la regla de Leibniz en lo que sigue:                                      ...
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Ejemplo 15: Comprobar el teorema de valor inicial para la función                                                         ...
Puede hacerse de otro modo , expresado f(t) en términos de la función escalón.Evidentemente es : f(t) = u(t) - u(t-1) + u(...
c) Funciones impulso y función δ (t) de Dirac• Se entiende por función impulso I τ ( t )                     1           ...
Nota:                                                                              n −nx2Para establecer la δ(t), suele pa...
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  1. 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (apuntes escritos por Dr. Manuel Pargada)1. INTRODUCCIÓNEntre las transformaciones más usuales que operan con funciones f(x) cumpliendo condicionesadecuadas en I=[a,b], para obtener otras funciones en I, están por ejemplo : • La operación D de derivación : D[ f ( x) ] = f ′( x) x • La operación I de integración : I [ f ( x )] = ∫ f ( t )d t a • La transformación Mg definida por : M g[ f (x )] = g ( x ) ⋅ f ( x ) siendo g(x) una función concreta.En cada caso, hay que asignar alguna restricción a las funciones f(x) a las que se aplica unatransformación dada. Así, en el primer ejemplo, f(x) debe ser derivable en un cierto intervalo,etc.Las tres transformaciones citadas son lineales, es decir, que verifican : T [c 1 f 1 ( x ) + c 2 f 2 ( x ) ] = c1T [ f 1( x ) ] + c 2T [ f 2 ( x ) ] ∀ c1 , c 2 ∈ ℜUna clase importante dentro de las transformaciones lineales, son las llamadastransformaciones integrales. Se consideran las funciones f(x) definidas en un intervalo finitoo infinito a ≤ x ≤ b y se escoge una función fija K(s,x) de la variable x y el parámetro s.Entonces la correspondiente transformada integral está dada por : b T [ f ( x )] = ∫ K( s , x ) f ( x )d x = F( s ) aLa función K(s,x) se llama núcleo de la transformación T. Se muestra fácilmente que T eslineal, cualquiera que sea la K(s,x). 1
  2. 2. En la matemática aplicada se estudian varios casos especiales de transformadas integrales,adaptadas a la resolución de diversos problemas : transformada de Fourier, transformada deFourier de seno, ídem de coseno, transformada de Hankel, de Mellin, etc.Se trata de estudiar ahora la transformación de Laplace especialmente indicada parasimplificar el proceso de resolver problemas de valor inicial, cuyas ecuaciones diferencialessean lineales, y primordialmente cuando se incluyen funciones discontinuas. Es muy utilizada enteoría de circuitos.Antes de entrar en sus aplicaciones, se va a comenzar introduciendo esta transformada deLaplace así como sus propiedades fundamentales y más útiles.2. DEFINICIÓN Y TRANSFORMADAS DE ALGUNASFUNCIONES ELEMENTALESDefiniciónSea f(t) definida en ( 0 , ∞ ). Se define la transformada de Laplace de f(t), como lafunción [f(t)] = F(s), definida por la integral L[ f ( t )] = ∫0∞ e −st f ( t )d t = F( s ) [1]Deberá existir la integral impropia y dependiente del parámetro s, es decir, deberá serconvergente para ciertos valores de s. Sólo entonces podrá decirse que existe la transformadade Laplace de f(t), o que f(t) es - transformable.Nota El parámetro s se considerará aquí real. Es esto suficiente para las aplicaciones conecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables.En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.Ejemplo 1: Sea f(t) = 1 , t ≥ 0 λ ∞ − st λ  e − st   1 e − sλ  [1] = ∫ 0 e ⋅1⋅ d t = lim 0 e − st d t ∫ = lim  −  = lim  −  ⇒ λ →∞ λ→∞  s  0 λ →∞  s s  2
  3. 3. 1 [1] = s , s>0 pues la integral diverge para s ≤ 0Nota Si fuese complejo s, es decir, s = s1 + i s2 , entoncese − st = e − (s1 + i s2 ) t = e − s1 t (cos s2 t − isen s2 t ) y la integral impropia anterior sólo converge si s1> 0 , es decir Re (s) > 0.Ejemplo 2: Sea f(t) = eat , t ≥ 0 [e ] = ∫ at ∞ − st at 0 e ⋅ e ⋅ dt 0 ∞ = ∫ e − ( s −a ) t dt Es el caso anterior cambiando s por s - a.Luego: [e ] = s − a at 1 , s>aEjemplo 3: Sea f(t) = t a , a ∈ R , t ≥ 0 [t ] = ∫ a 0 ∞ − st e ⋅ta ⋅d t Cambio: st = x . Entonces: t = x s , dt = dx s y [t ] = s 1 a a +1 ∫0 ∞ −x e ⋅ x a ⋅ d x Luego: [t ] = Γ(sa + 1) a a +1 si s > 0 a > −1En particular : [t ] = sn! n n +1 s > 0 n∈N 1 [t ] = s2 s>0 [1] = s 1 ,s>0Ejemplo 4: Sea f(t) = cos at ó f(t) = sin at t≥0 ∞ [cos at ] = ∫0 e − st ⋅ cos at ⋅ dt = Integrando dos veces por partes ⇒ s a [cos at ] = s 2 + a 2 ,s>0 Análogamente : L [s i n at ] = ,s > 0 s + a2 2 3
  4. 4. Podría obtenerse mejor así : Trabajando como en los ejemplos 1 y 2, sustituyendo a por ai (a∈ ℜ), resulta: [e ] = s −1a i , i at para Re (s - ai) > 0 , es decir s > 0 si s es real.Por tanto: [e ] = ss ++aai , s > 0 i at 2 2 [ cos at ] = [ Re (e ) ] = Re s + a = s + a  i at s+ai s  ,s > 0  2 2 2 2Luego  [ sen at ] = [Im (e )] = Im s + a = s + a  i at s + ai a ,s > 0   2 2 2 2Ejemplo 5: Sea la función escalón unidad u (t - a) o función de Heaviside. 0 , t < a u (t - a) =  ( a > 0) 1 , t ≥ a Es [u( t − a) ] = ∞ ∞ − st ∞ − st  e− st  e− as =∫ e ⋅ u(t − a) ⋅ d t = ∫ e dt =  = ,s>0 0 a  − s a s 1En particular: [u (t ) ] = [1] = s ,s > 03. EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADAEn los ejemplos anteriores se ha visto por cálculo directo que la integral [1] existe realmentepara las funciones consideradas, en algún intervalo de valores de s. Pero eso no ocurre asísiempre. Por ejemplo, la integral impropia de [1] no converge para ningún valor de s si f(t) = 1 2 ó f(t) = e t , por crecer estas funciones demasiado rápido cuando t → 0+ o t → ∞ trespectivamente. Afortunadamente existe la transformada para la mayor parte de las funcionesque aparecen en aplicaciones donde intervienen ecuaciones diferenciales lineales.Se trata ahora de establecer un conjunto razonable de condiciones que garanticen la existenciade transformada para las funciones que las cumplen. 4
  5. 5. a) Definición:“Se dice que f(t) es seccionalmente continua ( o continua a trozos) en [α , β ] = I , sif(t) es continua en todos los puntos de I, excepto quizá en un nº finito de ellos, en los quef(t) deberá tener límites laterales finitos”“Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0 , ∞], si lo es en [ 0, T ], ∀ T > 0” f(t)Si f(t) es seccionalmente continua en [α , β], esintegrable en [α , β] α β tb ) Definición“Se dice que f(t) es de orden exponencial α cuando t → ∞, si existen constantespositivas M, T tales que: f ( t ) < M e αt ∀t > T ”Es decir que f(t) no crece más rápido que unafunción de la forma M eαt.Son por ejemplo de orden exponencial lasfunciones 1, eat, tn, sen bt, cos bt, tneat,eat cos bt,... .No lo es et , pues crece más rápidamente que e αt , cualquiera que sea α ya que : 2 2 et lim at = lim e t (t − a ) = ∞t →∞ e t →∞c ) NotaciónSe designará con el símbolo A, al conjunto de funciones f(t), tales que: • Son seccionalmente continuas en [0,∞) • Son de orden exponencial cuando t → ∞ 5
  6. 6. d ) Teorema de existencia“ Si f(t) ∈ A, entonces existe [f], ∀ s mayor que un cierto α “Es decir que f(t) ∈ A es condición suficiente para que exista L [f(t)] y además, al menos paratodo s > α.Demostración f(t) de orden exponencial ⇒ ∃ M , T > 0 y α ∈ R / | f(t) | < M eαt ∀ t > T T −st ∫0 e f ( t ) d t converge ∀ s pues e-st f(t) es seccionalmente continua en [0 , T]. Es | e-st f(t) | < M e-(s-α)t ∀t>T y M [ ] M ∞ −( s− α ) t ∞ λ ∫T M e d t ≤ ∫ M e −( s −α ) t d t = − lim e − ( s −α ) t = si s α 0 s − α λ →∞ 0 s−α ∞ − st Luego ∫T e f (t ) d t converge absolutamente si s > α. T − st ∞ Por tanto, existe [f(t)] = ∫0 e f (t ) d t + ∫T e − st f (t ) d t si s αNotas• Puede demostrarse además que el dominio de definición de F(s) es de la forma (so , ∞) ó [so , ∞).• No se cumple en general el recíproco del teorema, es decir que la condición no es necesaria. Así por ejemplo, f(t) = t -1/2 ∉ A , pues tiene discontinuidad infinita en t = 0 y por tanto no es seccionalmente continua en [0, T] . Pero tiene transformada, pues : [t -1/2] = Γ( 1 2 ) π 1 = , s>0 s2 s 6
  7. 7. 4. PROPIEDAD DE LINEALIDADPara hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.• A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar.• Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so,∞) ó [so,∞). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G ∈ , se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (α , ∞).• Entonces es aplicación del espacio vectorial A en elCon estas consideraciones, se verifica :Teorema es un operador lineal, es decir : Si f, g tiene transformada inversa de Laplacepara s > α, y a , b ∈ ℜ, entonces af+bg tiene transformada para s > α y af(t)+bg(t)] = a f(t)] + b g(t)] s>αEn efecto : ∞ ∞ ∞ [af + bg]( s ) = ∫0 e − st [ af (t ) + bg( t ) ] d t = a ∫0 e − st f ( t ) d t + b∫0 e −st g ( t ) d t = =a [ f t ] + b [ g t ] = aF ( s) + bG ( s) , s>α c.q.d.Ejemplo 6: Calcular [sen at ] 2Es [sen at ] = 2  1 − cos 2at  1   2  = 2 { [1] − [cos 2at ]} =  1 1 s  2a 2 =  − 2 = , s>0 2  s s + 4 a 2  s( s 2 + 4 a 2 )  7
  8. 8. Ejemplo 7: Calcular [Ch at ] y [Sh at ]  eat + e −at  1  1 1  s [Ch at ] =  =  +  = s2 − a2 , s> a  2  2 s −a s+ a aAnálogamente [Sh at ] = , s> a s − a2 25. PROPIEDADES DE TRASLACIÓN Y CAMBIO DE ESCALAa) Primera propiedad de traslación:Si f ∈ A y [f(t)] = F(s), s > α, entonces [e atf(t)] = F(s-a), s - a > α ∞ −( s −a ) tEn efecto : [e atf(t)] = ∫0 e f ( t ) d t = F( s − a ) s-a>αEjemplo 8: Calcular [e at cos bt ] [e at ] cos bt = s [ cos bt ] s − a = s2 + b2 s− a = s−a (s − a)2 + b2 , s>aEjemplo 9: Calcular [e −3t t4 ] [e −3t ] [t ] t4 = 4 s+ 3 = 4! ( s + 3) 5 , s > −3b) Segunda propiedad de traslación 0 , t <aNota previa: La función u(t-a)·f(t-a) =  es la obtenida por traslado de  f( t − a ) , t > af(t) a unidades a la derecha, tomando además el valor 0, para t < a 8
  9. 9. Si f ∈ A y [f(t)] = F(s), s > α.>.0, entonces para a > 0 : [f(t-a)·u(t-a)] (s)= e-asF(s), s>α [f t a u( t − a ) ] = ∞ − st ∞En efecto : ∫0 e f (t − a ) u( t − a ) d t = ∫a e − st f ( t − a) d t = (Cambio x = t − a ) ∞ = ∫0 e − s( x + a ) f ( x) d x = e − as F( s) c.q.d.Nota: Estos desplazamientos surgen en la práctica cuando hay tiempos de retraso en laalimentación de energía a sistemas eléctricos (la alimentación ocurre en t = a > 0) El factor e -asque aparece en la transformada, se llama factor de retardo 0 t <1Ejemplo 10: Calcular [ g( t ) ] siendo g ( t) =  3 ( t − 1) t >1 Es g(t) = f(t-1)·u(t-1) con f(t) = t 3 e − s 3! Por tanto: [ g (t)] = e −s [t ] 3 = 4 , s s>0c) Cambio de escala 1  sSi f ∈ A y [f(t)] = F(s), (s > α), entonces [f(at)] = F   , s > aα a  a ∞ ( at = x) 1 ∞ − s x 1  sEn efecto: [ f at ] = ∫ e − st f ( at ) d t 0 a ∫0 e a f ( x ) d x = a F a    9
  10. 10. 6. TRANSFORMADA DE DERIVADAS E INTEGRALESa) Transformada de derivadas Sea f(t) continua en (0,∞) y de orden exponencial α y sea f´ seccionalmente continua en [0,∞). Entonces [f´(t)] = s F(s) - f(0+), (s > α) S.D. Si se cumplen las condiciones anteriores, salvo que f(t) tiene discontinuidad por salto en t = a > 0 , entonces : [ f´(t)] = s F(s) - f(0+) - e-as [f(a+)-f(a-)] Análogo si existen varias discontinuidades por salto. S.D. Si f, f’ , ... , f (n-1) son continuas en (0,∞) y de orden exponencial α y f(n) es seccionalmente continua en [0,∞), entonces : [f (n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+) - sn-2 f’(0+) - ··· - f (n-1) (0+) , (s > α)Así para n = 2 [f’’ (t)] = s [f’] - f’ (0+) = s [ s F(s) - f (0+)] - f’(0+) ⇒ ⇒ [f’’ (t)] = s2 F(s) - s f (0+) - f’(0+).En general, inducción.Aquí se intuye la utilidad de la transformada de Laplace para resolver problemas de valorinicial. Se reemplaza la “derivación respecto a t “, por “multiplicación por s”, transformándoseuna ecuación diferencial con coeficientes constantes, en una algebraica. 10
  11. 11. Ejemplo 11: Calcular [ sen at ] , usando la exp resion para [ f ′′] Para f(t) = sen at es : f ′ (t) = a cos t, f ′ ′ (t) = - a2 sen at, f(0) = 0, f ′ (0) = a Luego [ f ′′] = [ L − a 2 s i n at = −a 2 L[s i n at ]  ]  2  s L[ f ] − sf ( 0) − f ′( 0) = s 2 L[s i n at ] − a  Por tanto : − a 2 L[s i n at ] = s 2 L[s i n at ] − a . a Es decir : L[s i n at] = s +a2 2b) Transformada de integrales    Si f ∈ A, entonces  [∫ f (x) dx] = F(ss) t 0    [∫ f ( x) dx] = F(ss) − 1s ∫ f ( x)dx t a a 0Demostración para el caso particular en que f sea continua en [0,∞): tSea ∫0 f ( x) dx = g ( t) . Entonces : g ′ ( t ) = f (t ) , g(0) = 0 y g(t) continua en  [ f (t ) ] = F( s)[0,∞). Luego [ g ′ (t ) ] =   s G( s) − 0Por tanto: G(s) = [ t ∫0 f ( x) d x = s ] F( s) c.q.d.También: [∫ f (x) d x] = [∫ f ( x)dx] − [∫ f ( x)dx] = F(ss) − 1s ∫ f ( x)dx a t t 0 a 0 a 07. MULTIPLICACIÓN POR tn Y DIVISIÓN POR ta) Multiplicación por tn dn Si f ∈ A y [ f t ] = F( s) (s > α), entonces [ ] t n f ( t ) = ( −1) n d sn F( s) (s > α), 11
  12. 12. Por ser f ∈ A, puede mostrarse que es aplicable la regla de Leibniz en lo que sigue: [ ]d F d ∞ − st T. Leibniz ∞ d − st ∞ − st =ds ds ∫0 e f (t ) d t ∫0 d s e f (t ) d t = − ∫0 e tf (t) d t = − [t f (t )]Por inducción se muestra la fórmula general para la derivada n-ésima.Ejemplo 12: Calcular [t sen at] y [t cos at] d d a 2as [ t sen at ] = − d s [ sen at ] = − d s 2 = , s>0 ( ) 2 2 s +a s2 + a2 d d s s2 − a2 [ t cos at ] = − d s [cos at ] = − d s s 2 + a 2 = 2 2 2 , s> 0 s +a ( )b) División por t  f (t )  Si f ∈ A y [ f (t )] = F( s) , entonces   ∞  t  = ∫s F( u) d u , si existe f (t ) lim+ finito t →0 tEn efecto: f (t ) d Sea g (t) = . Entonces: f(t) = t·g(t). Luego F(s) = − G( s) , de donde t ds s G(s) = −∫a F( u) d u . Como según veremos es lim G( s ) = 0 , resulta : s→ ∞ G( s) = − [∫ ∞ a ∞ ] F( u) d u − ∫ F( u) d u = ∫ F( u) d u s s ∞ c.q.d.  t 1 − e−x Ejemplo 13: Calcular ∫0 d x  x  e− x 1 1 − e − t  1 ∞ Es t1 ∫0 x dx= s  t  s ∫s  = [1 − e ]d s = −t 12
  13. 13. ∞ 1 ∞1 1  1 s  1 s +1 = ∫s  s − s + 1 d s = s ln s + 1 = s ln s , s    s s>0 ∞ cos 6t − cos 4 tEjemplo 14: Calcular I = ∫ dt 0 t  cos 6t cos 4t  ∞ Es I =   = ∫ [ cos 6t cos 4 t ] ds =  t  s= 0 0 ∞ 2 ∞ s s  1 s2 + 36 1 36 1 6 2 = ∫0  2 − 2  d s = ln 2 = − ln = − ln  = ln    s + 36 s + 16  2 s + 16 0 2 16 2  4 38. COMPORTAMIENTO DE F(s) EN s = 0 Y s = ∞(Tan sólo enunciados)a) Comportamiento de F(s) cuando s → ∞ Si f(t) ∈ A, entonces: lim F( s) = 0 s→ ∞b) Teorema de valor inicial o primer teorema tauberiano Si f(t) ∈ A, entonces: lim s F( s) = lim+ f ( t ) , si existen estos límites s→ ∞ t→ 0c) Teorema de valor final o segundo teorema tauberiano Si f(t) ∈ A, entonces: lim s F( s) = lim f (t ) si existen finitos estos s→ 0 t →∞ límites 13
  14. 14. Ejemplo 15: Comprobar el teorema de valor inicial para la función f(t)= 3 - 2 cos t 3 2s Es F(s) = [3-2cos t] = − 2 s s +1 lim s F( s) = 1 , lim f ( t ) = 1 s→ ∞ t →09. TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONESESPECIALESa) Transformada de funciones periódicas T − st ∫ e f (t ) d t Si f ∈ A y es periódica con periodo T, entonces: [ f (t )] = 0 1 − e − sT ∞ − st ∞ ( n + 1) T ∞ En efecto : [ f ( t ) ] = ∫0 e f ( t ) d t = ∑ ∫nT e − st f (t ) d t = ∑ In 0 n =0 Es: ( n +1) T ( t = x + nT ) T TIn ∫nT e − st f ( t ) d t ∫0 e − s( x + nT ) f ( x + nT ) d x = e− snT ∫0 e −sx f ( x ) d x T − sx ∫ e f ( x) d x [ f (t ) ] = [1 + e ]∫ −sT −2 sT T − sx ⇒ +e + ... e f ( x) d x = 0 c.q.d. 0 1 − e − sT 1 0 < t < 1Ejemplo 16: Hallar [ f (t ) ] siendo f (t ) = 0 y con periodo 2  1< t < 2Es: T = 2 T − st 1 2∫0 e f (t ) d t = ∫0 e −st f ( t ) d t + ∫1 e − st ⋅ 0 d t = 1 e− st  1 − e− s =  = − s 0 s 1 − e− s 1 esLuego: [ f (t )] = = = ( s (1 − e −2 s ) s 1 + e − s s 1 + es ) ( ) 14
  15. 15. Puede hacerse de otro modo , expresado f(t) en términos de la función escalón.Evidentemente es : f(t) = u(t) - u(t-1) + u(t-2) - u(t - 3) + ... , t > 0 e −asComo [ u( t − a) ] = ( s > 0) , resulta : s [ 1 ] 1 1 [ f (t )] = s 1 − e −s + e −2s − e −3s + ... = s 1 + e −sb) Función escalón unitarioYa se definió la función escalón unitario ( o función de Heaviside) como : 0 t < 0 0 t < a u( t ) =  ó u( t − a ) =  (a > 0) 1 t > 0 1 t > a 1 e −asTambién se estableció que : [ u( t ) ] = s y [ u( t − a) ] = sLa función escalón, junto con la segunda propiedad de traslación o desplazamiento, son muyútiles en el tratamiento de funciones seccionalmente continuas.Ejemplo 17:  3 t <2 Hallar [ f ( t )] , siendo f ( t ) = −1 2<t<5  2 5< t  Es f(t) = 3 u(t) - 4 u(t - 2) + 3 u(t - 5) Luego F( s) = 1 s [3 − 4 e −2 s + 3 e −5 s ]Ejemplo 18: Hallar [ g ( t) u( t − a )] Por la propiedad segunda de traslación es: [ f (t − a ) u(t − a )] = e −as [ f (t )] . En el caso del ejemplo, la f(t) tal que g (t) = f (t-a) es f(t) = g(t + a). Por tanto : [ g(t ) u (t − a )] = e −as [ g (t + a )] 15
  16. 16. c) Funciones impulso y función δ (t) de Dirac• Se entiende por función impulso I τ ( t ) 1  0< t <τ la I τ ( t ) =  τ 0  t>τPuede servir de modelo para representar una fuerza 1o excitación de magnitud constante , ,que actúa τsobre un sistema durante un tiempo τ, desde t = 0 ,proporcionando al sistema un impulso total unitario τ∫0 I τ ( t) d t = 1  ∞ τ1  ∫0 I τ ( t ) d t = ∫0 τ d t = 1 Se verifica :  τ  [ I (t )] = e τ − st 1 1 e − st  1 − e − sτ  τ ∫0 τ d t = τ − s  = sτ ∀s  0• En la función impulso anterior, haciendo disminuir el tiempo τ durante el que actúa la fuerza 1o excitación , puede considerarse la situación que se produce cuando la fuerza imparte un τimpulso unitario al sistema, en un tiempo arbitrariamente pequeño, a partir de t = 0, lo quepodría designarse como impulso unitario instantáneo en t = 0 . (El impulso podría no serunitario y en otro instante t = a)Se utiliza esta idea en sistemas mecánicos, circuitos eléctricos, etc. Por ejemplo, el golpe deun martillo, o una carga concentrada en un punto de u viga. Para estos casos de fuerzas naviolentas de corta duración, o sobre una pequeña sección, suele usarse la llamada funcióndelta de Dirac δ(t) o función impulso unitario instantáneo en t = 0. Es una función ficticia,aproximada por I τ ( t ) cuando τ → 0+.No puede hablarse de lim I τ (t ) pues no existe dicho limite, pero aprovechando que τ →0 + 1 − e − sτ s e −s τ [ I τ (t ) ] ∞lim ∫0 I τ (t ) d t = 1 y lim lim = lim = 1 , se describe δ(t) porτ→0 τ →0 τ→ 0 sτ τ→ 0 smedio de : 0 t ≠ 0 ∞ δ( t ) =  ; ∫−∞ δ ( t) d t = 1 , [ δ( t )] = 1 ∞ t = 0 16
  17. 17. Nota: n −nx2Para establecer la δ(t), suele partirse de la δ n ( x ) = e , para la cual también π ∞∫−∞ δ( x ) d x = 1Literalmente, no tiene sentido lo anterior, pues si una función es nula en todos los puntos,menos en uno, su integral en (-∞, ∞) es nula. No es por tanto δ(t) una función en el sentidohabitual. Es un caso particular de lo que en la matemática se conoce como una funcióngeneralizada o distribución.Sin embargo la descripción de δ(t) que se ha hecho en el recuadro ultimo, sugiere bien la ideade la situación limite de I τ ( t ) . Además, tras las justificaciones matemáticas mostradas porLaurent Schwartz, puede operarse con δ(t) en varias cuestiones sobre integrales y sobretransformadas de Laplace, de manera análoga a lo establecido para las funciones de la familiaA.También puede usarse en forma análoga la δ(t-a) para describir un impulso unitarioinstantáneo en t = a. 0 t ≠ a ∞Es : δ( t − a ) =  ; ∫−∞ δ (t − a ) d t = 1 ; [δ( t − a ) ] = e −as ∞ t = aSe verifica también : ∞ ∫−∞ δ(t − a ) f ( t ) d t = f (a ) si f ( t ) es continua en int ervalo que contenga a t = a tY ∫−∞ δ( x − a) d x = u( t − a)Nota Se observa que [ δ( t )] = 1 cumple que lim s→∞ [δ (t )] = 1 ≠ 0No contradice la propiedad lim F( s ) = 0 , pues δ(t) ∉ A. s→∞ 17

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