son 20 preguntas que han salido en las olimpiadas.

1. GRADO: 10 Y 11

2. 1 6 11 16
2 7 12 17
3 8 13 18
4 9 14 19
5 10 15 20

3. Resolver la ecuación 2x +3− (4x −1)= 2− x
SOLUCIÓN

4. Los enteros positivos x, y, z cumplen
x + 2y = z, x2 − 4y
2 + z
2 = 310.
Halla todos los posibles valores del producto xyz.
SOLUCIÓN

5. En una recta tenemos cuatro puntos A, B, C y D, en ese
orden, de forma que AB = CD. E es un punto fuera de la
recta tal que CE = DE. Demuestra que ∠CED = 2∠AEB si y
solo si AC = EC.
SOLUCIÓN

6. • Alrededor de una mesa circular están sentadas seis personas.
Cada una lleva un sombrero. Entre cada dos personas hay
una mampara de modo que cada una puede ver los
sombreros de las tres que están enfrente, pero no puede ver
el de la persona de su izquierda ni el de la de su derecha ni el
suyo propio. Todas saben que tres de los sombreros son
blancos y tres negros. También saben que cada una de ellas
es capaz de obtener cualquier deducción lógica que sea
factible. Empezamos por una de las seis personas y le
preguntamos ”¿puedes deducir el color de algún sombrero de
los que no ves?”. Una vez que ha respondido (todas oyen la
respuesta), pasamos a la persona de su izquierda y le
hacemos la misma pregunta, y así sucesivamente. Demuestra
que una de las tres primeras responderá ”Sí”.
SOLUCIÓN

7. Resolver la ecuación
3(X-5)+180+(2X+1)22=4(X+5)2
SOLUCIÓN

8. Si y = f (x)= x +3, evaluar la función en x = -3
SOLUCIÓN

9. En una empresa de confecciones la producción de 1.500 camisas
cuesta $45.000.000 y la producción de 5.000 unidades cuesta
$125.000.000. Determinar una ecuación para la producción
suponiendo que es lineal, con base en la ecuación lineal de costos.
Si se producen 800 camisas, ¿cuál será su costo?
SOLUCIÓN

10. Una carretera recta e inclinada, que tiene una pendiente
ascendente del 20%, pasa por un punto de referencia cuya
posición es de 20 metros en dirección horizontal y de 100
metros en dirección vertical. Hallar la altura de un estadero
que está localizado al borde de la carretera, cuya abscisa
mide 60 metros.
SOLUCIÓN

11. Sea n ≥ 2 un entero positivo. Tenemos 2n bolas, en cada una de las
cuales hay escrito un entero. Se cumple que, siempre que formamos n
parejas con las bolas, dos de estas parejas tienen la misma suma.
(1) Demuestra que hay cuatro bolas con el mismo número.
(2) Demuestra que el número de valores distintos que hay en las bolas
es como mucho
n − 1.
SOLUCIÓN

12. En una empresa de confecciones la producción de 1.500
camisas cuesta $45.000.000 y la producción de 5.000
unidades cuesta $125.000.000. Determinar una ecuación
para la producción suponiendo que es lineal, con base en
la ecuación lineal de costos.
Para un costo de producción de $80.000.000, ¿cuántas
camisas se producirán?
SOLUCIÓN

13. Es posible disponer sobre una circunferencia los números
0, 1, 2, . . . , 9 de tal manera que la suma de tres números
sucesivos cualesquiera sea, como mucho a) 13,b) 14, c)
15?
SOLUCIÓN

14. Se considera un polígono regular de 90 vértices,
numerados del 1 al 90 de manera aleatoria. Probar que
siempre podemos encontrar dos vértices consecutivos
cuyo producto es mayor o igual que 2014.
SOLUCIÓN

15. Hallar las soluciones enteras de la ecuación
x4 + y4 = 3x3y.
SOLUCIÓN

16. Completar el cuadrado en la función cuadrática f dada por
f (x) = 2x 2 - 6x + 4
SOLUCIÓN

17. Si x es un número entero, ¿cuál es el mayor valor de x que
satisface 5 <2x + 2 <9?
SOLUCIÓN

18. Encuentra la constante k de modo que la ecuación de
segundo grado 2x 2 + 5x - k = 0 tiene dos soluciones
reales.
SOLUCIÓN

19. • Factor la expresión 6x 2 - 13x + 5
SOLUCIÓN

20. Encuentra el centro y el radio del círculo con la ecuación
x 2 + y2 -2x + 4y - 11 = 0
SOLUCIÓN

21. Un motor eléctrico hace 3.000 revoluciones por minuto.
¿Cuántos grados hace girar en un segundo?
SOLUCIÓN

22. Hallar todas las soluciones enteras (x, y) de la ecuación
yk = x2 + x
donde k es un numero entero dado mayor que 1.
SOLUCIÓN

23. 2x +3− (4x −1)= 2− x, se multiplica el (–1) por los términos
dentro del paréntesis y se suma 3 con – (–1)=+1.
2x − 4x + 4 = 2− x, se resta 4 y se suma x a ambos lados.
2x − 4x + x = 2− 4, se suma 2x con x y 2 con -4
3x – 4x = –2, se suma 3x con – 4x.
–x = –2, se multiplica ambos lados por – 1.
x = 2
CUESTIONARIO

24. Podemos despejar 2y de la primera ecuación y sustituir en la segunda, con lo que ha de cumplirse
310 = x 2 − (z − x) 2 + z 2 = 2zx, zx = 155 = 5 · 31
Luego al ser 5, 31 primos, se tiene que z ha de tomar uno de los valores 155, 31, 5, 1,
tomando x respectivamente los valores 1, 5, 31, 155. Como además z = x + 2y > x, los
dos últimos casos quedan descartados. En los dos primeros casos, se tiene que y = Z-X/2
toma respectivamente los valores 77 y 13, resultando respectivamente en
xyz = 1 · 77 · 155 = 11935, xyz = 5 · 13 · 31 = 2015
CUESTIONARIO

25. Sea F el punto tal que los triángulos ABF y CDE son iguales.
Claramente un triangulo es el otro desplazado por AC, luego EF = AC y AF=CE=DE=BF.
Trazamos la circunferencia de centro F que pasa por A y B, y como ∠AF B = ∠CED,
por ser el Angulo central el doble del inscrito, ∠AEB = 2∠CED si y solo si E esta
sobre la circunferencia que acabamos de trazar, es decir, si y solo si EF = AF, y esto
es equivalente a AC = EC.
CUESTIONARIO

26. Numeramos las personas en el orden en que van respondiendo, con lo que
la persona 1 ve los sombreros de las personas 3, 4, 5, la persona 2 los de las personas
4, 5, 6, y la persona 3 los de las personas 5, 6, 1.
Supongamos que ni la persona 1 ni la persona 2 han podido responder ”Si”. Los
sombreros de las personas 3, 4, 5 no pueden ser todos del mismo color, porque si no la
persona 1 sabría que todos los sombreros que no ve son del otro color. Si los sombreros
de las personas 4, 5 fueran del mismo color, entonces la persona 2 sabe que el
sombrero
3 ha de ser del otro color, con lo que los sombreros 4, 5 han de ser de distinto color.
Pero entonces la persona 3 sabe que el color del sombrero 4, que no ve, es distinto al
del sombrero 5, que si ve. Luego o una de las dos primeras personas contesta ”Si”, o si
las dos primeras contestan ”No”, entonces la tercera contesta ”Si”.
CUESTIONARIO

27. 3(X-5)+180+2(X+1)2=4(X+5)2 es una ecuación que puede transformarse,
si usted hace las operaciones indicadas, de la siguiente manera:
3x −15+180+ 4x2+ 4x +1 = 4x2+ 40x +100
Los términos elevados al cuadrado se anulan y la ecuación se vuelve lineal.
Así:
3x + 4x − 40x = 100 +15−180−1
−33x = −66, finalmente, x = 2
CUESTIONARIO

28. En esencia, lo que va a calcularse es y = f(-3), es decir el
valor de y cuando x=-3, y = f (-3)=-3+3 = 0
Lo cual quiere decir que, si x = -3, entonces, y = 0, lo que
define un punto de coordenadas (-3,0) que pertenece a la
gráfica de y = f (x) = x +3
El proceso puede continuarse y usted puede intentar
evaluar esta misma función para otros valores de x.
CUESTIONARIO

29. Si x=800 camisas, entonces C(800) = 800,00(800)+375,000 = 29,000,000,
35
Esto quiere decir que el costo C para producir 800 camisas es C=$29.000.000
CUESTIONARIO

30. Como la pendiente es inclinada y ascendente del 20%, se cumple que,
M= 20 = 1
100 5
Además, las coordenadas del punto de referencia son P1(20,100).
Con los datos anteriores se plantea la ecuación lineal, y-100=1 (X-20)
o sea, x−5y + 480 = 0. 5
Ahora, la altura del estadero se halla haciendo x = 60 en la
ecuación anterior; entonces, se tiene:
60 − 5y + 480 = 0, de donde y =180. Por lo tanto, la altura del
estadero es 108 m.
CUESTIONARIO

31. (1) Sean los valores de las bolas, en orden no creciente, a1 ≥ a2 ≥ · · ·≥a2n. Formemos
la pareja k-ésima emparejando la bola a2k−1 con la bola a2k para
k = 1, 2, . . . , n, con lo que sus sumas son
s1 = a1 + a2 ≥ s2 = a3 + a4 ≥ · · · ≥ sn = a2n−1 + a2n
Al estar las sumas en orden no creciente, si dos de ellas son iguales, han de ser iguales
dos sumas consecutivas, es decir ha de ser a2k−1 + a2k = a2k+1 + a2k+2, con a2k−1 ≥
a2k ≥ a2k+1 ≥ a2k+2, luego obviamente estos cuatro enteros han de ser iguales.
(2) Supongamos que hay al menos n valores distintos, que podemos ordenar en orden
decreciente b1 > b2 > · · · > bn. Ordenamos ahora los valores de las restantes n bolas en
orden no creciente, c1 ≥ c2 ≥ · · · ≥ cn. Haciendo las parejas (bi, ci) para i = 1, 2, . . . , n
es claro que las parejas i-´esima e i+ 1-´esimas tienen valores bi +ci > bi+1 +ci+1, con lo
que las parejas están ordenadas con valores de suma estrictamente decrecientes, y no
puede haber dos con la misma suma, contradicción. Luego hay a lo sumo n − 1 valores
distintos.
CUESTIONARIO

32. Si C = $800.000 camisas, entonces, reemplazamos en
C(X)= 800.000 X+375.000.000
35
y se obtiene x =3.031 como el número de camisas que se
puede producir para el costo dado.
CUESTIONARIO

33. Cortamos la circunferencia a la izquierda del 0. Descartado el 0, nos
quedan 9 números, que podemos agrupar en tres tríos cuya suma total es
1 + 2 + . . . + 9 = 45
Por lo tanto, no puede suceder que las tres sumen menos de 15. Luego la
respuesta a los apartados a) y b) es NO, mientras que al apartado c) es
S´I, colocando por ejemplo los números en el siguiente orden:
0, 9, 5, 1, 8, 4, 3, 2, 7, 6
CUESTIONARIO

34. Consideremos el primer par de números consecutivos
cuyo producto es mayor o igual que 2014, que son el 45 y
el 46. Por lo tanto, para que no se cumpliera el
enunciado, los números que deben ir a izquierda y
derecha de los vértices numerados del 46 al 90 tendrían
que ser menores o iguales que 44. Sin embrago, entre los
vértices numerados del 46 al 90 hay, al menos, 45
vértices.
CUESTIONARIO

35. Supongamos, en primer lugar, que x = 0. En este caso
se tiene y 4 = 0, por lo que y también tiene que ser 0. Así pues,
una solución es x = y = 0. Si x 6= 0 dividimos toda la ecuación
por x4, quedando
1 + Y 4 = 3 y
X X
Es decir, las posibles soluciones racionales solo pueden ser 1 o
−1, pero ninguna de ellas verifica t 4 − 3t + 1 = 0. Por tanto,
como no hay soluciones racionales, no hay soluciones enteras
de x 4 + y 4 = 3x 3 y con x 6= 0.
CUESTIONARIO

36. f (x) = 2 (x 2 - 3x) + 4: factor de 2 a cabo en los dos
primeros términos
= 2 (x 2 - 3x + (-3/2) 2 - (-3/2) 2 ) + 4: sumar y restar (-3/2) 2
= 2 (x - 3/2)) 2 + 17/2: plaza completa y el grupo de
términos semejantes.
CUESTIONARIO

37. 5 <2x + 2 <9: dada
3/2 <x <7/2
el mayor valor entero es 3 (el número entero inferior a 7/2)
CUESTIONARIO

38. 2x 2 + 5x - k = 0: dada
discriminante = 25-4 (2) (- k) = 25 + 8k
25 + 8k> 0: ecuaciones de segundo grado tiene 2
soluciones reales cuando discriminante es positivo
k> -25/8
CUESTIONARIO

39. • 6x 2 - 13x + 5 = (3x - 5) (2x - 1)
• CUESTIONARIO

40. x 2 - 2x + y 2 + 4y = 11
(X - 1) 2 + (y + 2) 2 - 1-4 = 11
(X - 1) 2 + (y + 2) 2 = 4 2
(1, -2) y rdius = 4
CUESTIONARIO

41. 3000 revoluciones / minuto
= 3000 * 360 grados / 60 segundos
= 18 000 grados / segundo
CUESTIONARIO

42. Puesto que yk = x2 + x = x(x + 1) y mcd(x, x + 1) = 1
resulta que tanto x + 1 como x deben ser potencias k-
esimas de un entero. Pero los dos únicos números enteros
consecutivos que son ´potencias k-esimas, con ´ k > 1 son
0 y 1 o bien -1 y 0 . Las dos únicas soluciones son, pues,
x = 0, y = 0 y x = −1, y = 0.
CUESTIONARIO