1. LOGARITMO loga b = x
x
O estudo e conhecimento de logaritmos nos são muito importantes e 2) Log3 9 = x 3 =9 x=2 2 é o logaritmo de 9 na base 3
necessários em matemática financeira, principalmente para o cálculo do
x
“n” – período, prazo. 3) Log2 8 = x 2 =8 x=3 3 é o logaritmo de 8 na base 2
É certo que as máquinas financeiras realizam o cálculo do termo “n” de x
4) Log2 16 = x 2 = 16 x=4 4 é o logaritmo de 16 na base 2
forma direta, porém, ao efetuarmos cálculos utilizando de formulário, o
recurso e a forma de fazermos são através do uso de logaritmos.
Exercícios resolvidos:
Assim, vamos procurar desmistificar este verdadeiro tabu que envolve o
assunto. Vejam a singeleza do cálculo através deste breve texto: 1) Calcular o logaritmo de 25 na base 5.
Se alguém nos perguntasse qual é o expoente que devemos impor ao Log5 25 = x
número 10 para obter 100, a resposta seria 2! 10x = 100 (fácil, não?). Observação: Quando apresentamos um logaritmo usamos por
Pois é, quando perguntamos qual é o logaritmo de 100 na base 10 convenção a notação acima, onde a base “a” (5) aparece abaixo do
estamos fazendo exatamente a mesma pergunta. Assim, 2 é o expoente número “N” (25).
que devemos impor a base 10 para obter 100 e 2 é também o logaritmo
de 100 na base 10. Acompanhe:
x
“x” é o expoente que devemos dar a “5” para obter 25.
uma base “a” para obter esse número “N”. a =n
x
Log5 25 = x 5 = 25 Fatoramos o número 25
25 5 log5 25 = x 2 é o log de 25 na base 5
Exemplos: 5 5 x
5 = 25
x
1) Log10 1000 = x 10 = 1000 x=3 3 é o logaritmo de 1000 1 52 5 =5
x 2 x=2
na base 10
José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
1
2. 2) Calcular o logaritmo de 81 na base 3. 1) Log10 10000 = x
x
Log3 81 = x 3 = 81 Fatoramos o número 81
81 3 log3 81 =x 4 é o log de 81 na base 3
27 3 x
3 = 81
9 3 x 4 x=4 x= 4
3 =3
3 3 2) Log5 125 = x
1 34
3) Calcular o logaritmo de 64 na base 4.
x x=3
Log4 64 = x 4 = 64 Fatoramos o número 64
64 4 log4 64 =x 3 é o log de 64 na base 4 3) Log6 36 = x
16 4 x
4 = 64
4 4 x 3 x=3
4 =4
1 43
x=2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 4) Log3 81 = x
José Wammes, Toledo, Paraná, 20100215
2
3. b) log3 (9)2 2 log3 9 Onde a = 3 N = 9 m= 2
c) log2 (4)2 2 log2 4 Onde a =2 N = 4 m = 2
Observe que o expoente 2 que aparece nos três exemplos acima passa a
ser apenas um multiplicador, transformando, assim, uma operação de
x=4 exponenciação, que em algumas situações pode ser complexa, em uma
singela operação de multiplicação, facilitando e agilizando enormemente
5) Log2 64 = x
os cálculos.
A sua aplicação prática (da propriedade acima) dá-se sempre que
tivermos a incógnita “x” no expoente.
Exemplo:
x x x
1) 2 = 3 Quando afirmamos que 2 = 3 é porque a grandeza 2 é
igual a 3. Portanto:
x=6
x
log 2 = log 3 . Pela propriedade anunciada acima, podemos transformar a
Apresentado o conceito de logaritmo, podemos iniciar a sua utilização
equação em:
prática principal, que é o de nos auxiliar na resolução de situações onde a
incógnita aparece no expoente, o que nos é possível graças a uma das x log 2 = log 3 Resolvendo, isolando “x”, temos:
propriedades operatórias dos logaritmos, abaixo:
x = log 3 / log 2
m
Loga N = m Loga N
x = 0, 47712 / 0, 30103
x= 1, 58496 (Utilizamos log base10 log10 )
Calma!!! Não nos preocupemos com a expressão. É de fácil
entendimento. Vamos a um exemplo numérico para a sua compreensão. 21,58496 = 3 3=3
2
a) log10 (10) 2 log10 10 Onde a = 10 N = 10 m= 2 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
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3
4. x x
1) Calcular “x” para 7 = 3 4) Calcular “x” para 5 = 2
x=0,56458
x
2) Calcular “x” para 4 = 9 x= 0,430677
x
5) Calcular “x” para 1,7 = 4
x=
1,58496
x=
x
3) Calcular “x” para 15 = 0,1 2,61255
x
6) Calcular “x” para 1,4 = 0,3
x= -0,85027
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4
5. x= - i = taxa de juros (i)
3,57822
Concluindo, sempre que nos depararmos com a incógnita no expoente,
Graficamente, temos: FV
usaremos, para o cálculo, logaritmo. Em matemática financeira, essa
incógnita será sempre o prazo, “n”, (número de períodos de uma 0
capitalização, anuidade, prazo).
PV n; i
Logaritmo, na verdade, tem uma utilização muito grande em vários ramos
das ciências exatas. Para nós, no entanto, vamos explorar o seu potencial Após a introdução inicial, visando basicamente o atendimento à disciplina
em matemática financeira, notadamente para prazo “n”. de matemática financeira, faz-se necessário conhecermos as propriedades
gerais e operatórias para fácil entendimento e práticas de cálculo.
Assim, temos:
Antes, no entanto, um pouco da origem de logaritmo.
n
M = P( 1 + i )
A invenção dos logaritmos: (fonte: Bongiovann/Vissoto/Laureano.
n Matemática e Vida. 2º. Grau. Volume I. 6ª. edição. Editora Ática. 1998.
M / P = (1 + i )
São Paulo)
n
Log M / P = Log (1 + i )
Na passagem da Idade Média para a Idade Moderna (séculos XIV a XVI),
os países da Europa Ocidental sofreram profundas transformações.
Log M / P = n Log (1 + i )
Acompanhando essas mudanças econômicas, políticas e sociais, ocorreu
n =[ Log (M / P)] / [ Log (1 + i )] também um extraordinário desenvolvimento da arte, da cultura e das
ciências.
Onde:
Essa revolução cultural ficou conhecida como Renascimento. Foi a época
M = Montante, valor futuro (FV) em que as grandes navegações ampliaram os limites do mundo.
P = Valor presente (PV) O desenvolvimento da navegação e da astronomia trouxe consigo cálculos
n = prazo, período (n) aritméticos longos e trabalhosos. Cada vez mais havia necessidade de
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5
6. descobrir um processo que permitisse simplificar esses cálculos. Muitos dois métodos são os mais difundidos e utilizados, até pela facilidade de
matemáticos passaram a ocupar-se com esse problema. entendimento e de cálculo.
A solução foi encontrada, ao mesmo tempo, por dois estudiosos. Atualmente, embora as tábuas de logaritmos já não sejam tão usadas
como instrumento de cálculo, os logaritmos continuam sendo de grande
Jost Bürgi (1552 – 1632), relojoeiro, matemático e inventor suíço, e John importância em várias áreas do conhecimento humano.
Neper(Napier).
O termo logaritmo foi empregado pela primeira vez por Neper e se
Bürgi, em 1620, e Neper, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de originou da composição das palavras gregas logos (razão) e arithmos
logaritmos, que permitiram a simplificação de cálculos aritméticos (números).
complicados.
Vejamos, então, algumas propriedades operatórias de logaritmos.
Logo após a publicação de sua primeira tabela, Neper, juntamente com o
matemático inglês Henry Briggs, elaborou uma nova tábua, mais fácil de Vamos considerar um número “a”, positivo e diferente de 1, (“a” > 0 e ≠ 1)
ser utilizada, contendo os chamados logaritmos decimais. e um número “b”, positivo (“b” > 0). Esta é uma condição para o
cálculo de logaritmos.
Logaritmo decimal (log10)
Definimos logaritmo de “b” na base “a” ao expoente “x” que se deve
O seu idealizador, Henry Briggs, de nacionalidade inglesa, nasceu em 1561
dar à base “a” de modo que a potência obtida seja igual a “b”.
e faleceu em 1631. Este sistema de cálculo é conhecido como logaritmos
decimais, vulgares ou de Briggs, em homenagem ao seu inventor. Simbolicamente, temos:
Logaritmo neperiano (ln) x
Loga b = x a =b
John Neper (Napier), barão de Merchiston, teólogo, nasceu na Escócia em
1550, vindo a falecer em 1617. Foi o idealizador de outro método de Diz-se ainda:
cálculo. Este sistema de cálculo é conhecido como logaritmos naturais
“b” é o logaritmando ou antilogarítmo
(e= 2,718281828...) ou neperianos, em homenagem ao seu inventor.
“a” é a base do logaritmo
Para que não pensemos que há somente dois métodos ou sistemas de
cálculo de logaritmos, existem, na verdade, inúmeros. Apenas, que estes “x” é o logaritmo de “b” na base “a”
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6
7. m
Loga b = m . Loga b
n
Loga √ b = ( Loga b) / n
Exemplos:
Verificando as propriedades
3
1) Log2 8 = 3 pois 2 = 8
2
a) Loga 1 = 0 a0 = 1 Qualquer número elevado a zero é
2) Log10 100 =2 pois 10 = 100 um. O logaritmo de 1 é zero.
-3
3) Log2 1/8 = -3 pois 2 = 1/8
b) Loga a = 1 a1 = a Qualquer numero elevado a unidade
4) Log3 3 = 1
1
pois 3 = 3 (1) é ele mesmo, “a”. O logaritmo da própria base é 1.
m m 4
5) Log2 1 = 0
0
pois 2 = 1 c) Loga a = m log 2 24 = m 2 =2 m=4 O
logaritmo de uma potência da base é o expoente.
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Loga 1 = 0 O logaritmo de 1 é zero.
Verificando as propriedades operatórias
Loga a = 1 O logaritmo da própria base é 1.
a) Loga (b . c) = Loga b + Loga c O logaritmo do produto
m (b.c) é igual a soma dos logaritmos dos fatores “b” e “c”.
Loga a = m O logaritmo de uma potência da base é o
expoente. log2 (32 . 128) log2 32 + log2 128 log2 25 + log2 27
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 5 + 7 = 12
Loga (b . c) = Loga b + Loga c b) Loga b ÷ c = Loga b – Loga c O logaritmo do quociente
b ÷ c é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo
Loga b ÷ c = Loga b – Loga c (numerador) “b” e o logaritmo do divisor (denominador) “c”.
Log2 (512 ÷ 64) log2 512 – log2 64 log2 29 – log2 26
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8. 9–6=3 Log15 5 = 0,59432
c) Loga b =
m
m . Loga b O logaritmo de uma ESQUEMA DE RESOLUÇÃO
potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da
x
base . Loga N = x a =N
log25 53 3 . log25 5 a) 25x = 5 (52)x = 5 52x =51 Exemplo:
2x = 1 x= 1÷2 b) 3 . 1÷2 3 ÷2 a) Log10 100 = x
x
10 = 100
x
10 = 10
2
n
d) Loga √ b = ( loga b) ÷ n O logaritmo de uma raiz é x= 2
igual ao logaritmo do radicando, dividido pelo índice da raiz.
2
b) Log10 N = 2 10 = N 100 = N
Log10 √10000 log10 100 log = 2
N = 100
Log10 √10000 log10 10000 ÷ 2 4÷2 2
c) Loga 100 = 2 a = 100 a= √100
Log = 2
a = 10
MUDANÇA DE BASE
CALCULAR O LOGARITMO DADO UM LOGARITMO DE
Loga b = logc b ÷ logc a O logaritmo de “b” na base “a” é igual ao UM NÚMERO QUALQUER
logaritmo de “b” na nova base “c”, dividido pelo logaritmo de “a”
também na base “c”. Nesses casos, tem-se que “trabalhar” o número (logaritmando) dado para
o cálculo do logaritmo. Requer um pouco de atenção e cuidado às
Normalmente, as máquinas calculadoras científicas têm a capacidade de propriedades.
calcular logaritmos na base 10. Digamos que você quer, por exemplo,
calcular log15 5. É só mudar a base do logaritmo para a base 10 da Exemplos:
máquina:
a) Dado o log 2 igual a 0,301030 pede-se o log 125.
Log15 5 = log10 5 ÷ log10 15 0,69897 ÷ 1,17609 0,59432
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8
9. Resolução: Como posso escrever o número 125? 53
Log 125 = log 53 3 log 5 3 log 10 ÷ log 2 EXERCÍCIOS
3 (log 10 – log 2) 3(1 – 0,301030) 3(0,698970) 1) Log2 16 = x
Resp. = 4
Log 125 = 2,096931
2) Log3 9 = x
b) Dado o log 2 igual a 0,301030 e log 7 igual a 0,845 pede-se Resp. = 2
calcular o log de 28.
3) Log1/2 1/4 = x
Resolução: Como posso escrever o número 28, considerando os números Resp. = 2
2 e 7? 28 = 22 . 7 Logo:
4) Log4 1/2 = x
2
Log 28 = log (2 . 7) 2
log 2 + log 7 2 log 2 + log 7 Resp. = - 1/2
2 (0,301030) + 0,845 0,602060 + 0,845 5) Log1/4 16 = x
Resp. = - 2
Log 28 = 1,447060
6) Loga 7 = 1
c) Dado o log 2 igual a 0,301030 pede-se o log 5. Resp. a = 7
Resolução: Como posso escrever o número 5, partindo de 2? 7) Loga 4 = 2
Resp. a = 2
10 ÷ 2 = 5 Logo: log 10 ÷ log 2 = log 5
8) Loga 9 = -2
Log 10 – log 2 = log 5
Resp. a = 1/3
1 – 0,301030 = log 5
9) Log2 (8 . 16) = x
Log 5 = 0,698970 Resp. Log2 8 + Log2 16 x=7
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9
10. 10) Log2 4/32 = x
Resp. Log2 4 – Log2 32 x = -3
4
11) Log2 2 = x LOGARITMO COM O USO DA CALCULADORA HP 12C
Resp. = 4
A calculadora HP 12C tem recursos para cálculos de logaritmos. No
12) Log3 27 = x entanto, o faz apenas com base natural, neperiano. Caso queiramos o
Resp. = 3 logaritmo em outra base, normalmente decimal, 10, precisamos de um
pequeno ajuste – mudança de base.
13) Log1/3 27 = x
Resp. = -3 Vejamos alguns exemplos:
1) Neperiano ou natural - ln
14) Loga 8 = 1
Resp. a = 8 a) Ln 100 100 g ln 4,605170
15) Loga 16 = 4 b) Ln 150 150 g ln 5,010635
Resp. a = 2
c) Ln 1000 1000 g ln 6,907755 . . .
16) Log3 9/81 = x 2) Decimal ou base 10 – log
Resp. = - 2
a) Log 100 100 g ln 10 g ln ÷ 2,000000
2
17) Log3 3 = x
Resp. = 2 b) Log 150 150 g ln 10 g ln ÷ 2,176091
c) Log 1000 1000 g ln 10 g ln ÷ 3,000000 . . .
18) Logx 100 = -2
Resp. = 1/10 3) Base qualquer que não as anteriores
19) Log10 1 = x a) Log2 100 100 g ln 2 g ln ÷ 6,643856
Resp. = 0
b) Log25 150 150 g ln 25 g ln ÷ 1,556641
20) Log2x 36 = 2
c) Log7 1000 1000 g ln 7 g ln ÷ 3,549884 . . .
Resp. x = 3
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