Funciones de varias variables
Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
universitaria
Instituto universitario politécnico “Santiago Mariño”
Facultad de arquitectura
Sede Barcelona
Autor:
Josue Echeverri
Diciembre 2019

Introducción
• En este apartado se estudia el concepto de límite de una función
de varias variables y algunas de las técnicas utilizadas en su
cálculo. Después, basándose en este concepto, se establece la
definición de función continua y cómo estudiar la continuidad de
una función de varias variables. En principio se comienza con
campos escalares y después se extiende la definición a los campos
vectoriales

Sistema de coordenadas
Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números
(coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto
geométrico.

Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas son las más utilizadas, este tipo de
coordenadas se ubican en un plano cartesiano al que están asociados los
ejes ‘x’, ‘y’ y ‘z’.
Todos los ejes coordenados deben estar escalados bajo el mismo criterio y
ser perpendiculares entre sí, estos ejes pueden conformar un sistema
bidimensional o tridimensional dependiendo de si está formado por dos o
tres ejes.
Las tuplas ordenadas de este sistema de referencia tendrán la forma de
pares ordenados (x,y) o tríos ordenados (x,y,z), en ambos casos el origen del
sistema de referencia será el punto de intersección entre los dos o tres ejes
y será en relación a éste punto que se medirán las distancias.

Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas tridimensional en el que la ubicación de un
punto en el espacio está determinada por una distancia, una altura y un ángulo.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y un punto “O”,
denominado origen, que corresponde al punto de intersección de los tres ejes. De esta forma un punto
“P” queda representado por el trio ordenado (ρ, φ, z), donde “ρ” –coordenada radial- es la distancia
de “P” al eje “z”, “φ” –coordenada acimutal- es el ángulo formado entre el eje “x” y “RO” y “z” –
coordenada vertical- es la distancia desde “P” al plano “x”-“y”.

Coordenadas esféricas
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas tridimensional basado en
la misma idea que las coordenadas polares, en este sistema la ubicación de un
punto en el espacio está determinada por una distancia y dos ángulos.
El sistema de referencia está compuesto por tres ejes perpendiculares entre sí y
un punto “O”, denominado origen, que corresponde al punto de intersección de
los tres ejes. De esta forma un punto “P” queda representado por el trio ordenado
(r, θ, φ), donde “r” es la distancia de “P” al origen, “θ” -colatitud- es el ángulo
formado entre el eje “z” y la recta “OP” y “φ” – azimut- es el ángulo formado
entre el eje “x” y la proyección de la recta “OP” en el plano x-y

Transformación entre los diferentes sistemas de
coordenadas. Mapa de contorno o curva de nivel.
Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.

Transformación entre los diferentes sistemas de
coordenadas. Mapa de contorno o curva de nivel.
Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas

Transformación entre los diferentes sistemas de
coordenadas. Mapa de contorno o curva de nivel.
Transformación de coordenadas esféricas a cartesianas

Transformación entre los diferentes sistemas de
coordenadas. Mapa de contorno o curva de nivel.
Transformación de coordenadas cartesianas a esfericas

Simetría
Es la invariáncia frente a una transformación; las transformaciones de los
ejemplos anteriores consisten en realizar un giro de 180 grados en torno al eje
de simetría: són las simetrías izquierda-derecha. Hay muchas más simetrías; por
ejemplo si pensamos en el cuadrado de vértices ABCD en el plano eucĺídeo,
vemos que los giros alrededor de cualquiera de los cuatro ejes ac, db, AC, BD lo
dejan invariante. Fijándonos bien, veremos que, además, hay otros cuatro giros
en torno al centro del cuadrado que también son invariantes, correspondiendo a
los ángulos de giro 90, 180, 270 y 360 grados. En total tenemos pues 4 + 4 = 8
transformaciones de invariancia para el rectángulo.

Funciones de varias variables
Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se
escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x,
y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables
independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y
así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma
numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y
en forma gráfica (por medio de una gráfica).

Dominio de funciones de varias variables.
Si recordamos el concepto de dominio que vimos
para las funciones reales y lo adaptamos al
contexto de las funciones de varias variables,
podemos dar como definición: Entendemos como
dominio de una función de varias variables
aquellos puntos del espacio origen para los cuales
la función puede evaluarse.

Dominio de funciones de varias variables.
ejemplos de funciones
Ejem
Vemos que si queremos evaluar la función para el caso (x,y)=(0,0) no
podemos, puesto que nos encontramos con una división por cero que no
puede efectuarse. Por lo tanto observamos que existe un punto para el
cual la función no es evaluable. En este caso diremos que el dominio de la
función es el conjunto de los puntos del espacio R2 excepto el origen de
coordenadas (0,0). Representando el resultado del dominio por exclusión
tendremos que:
Dom f = R2-{(0,0)}

Curvas de nivel y mapas de contorno.
La intersección de una superficie z = f (x, y) con un plano
paralelo al plano xy, dado por z=k donde k es una constante,
es una curva plana. Lacurva obtenida por todos los puntos
donde f (x, y) = k recibe el nombre de curva de nivel. Cada
punto en una curva de nivel dada esta a la misma altura
(profundidad) de la superficie del plano xy.Superficie z = f
(x, y) y plano z=k

Curva de nivel
Un mapa de contorno (o diagrama de curvas de nivel) se compone de varias curvas de
nivel, dadas por f (x, y) = k, proyectadas en el plano xy.Cuando la superficie dada es
un plano paralelo al plano formado por xy el mapa de contorno formado será el plano
completo, mientras que si la superficie es perpendicular a xy, entonces el mapa
decontorno va a consistir de una línea donde la superficie se interseca con xy.
Sin embargo cuando nuestra superficie tiene una o más inclinaciones respecto al plano
xy, las intersecciones serán líneaspara los distintos valores de k y el mapa de contorno
estará formado por un conjunto de líneas paralelas.
Por lo anterior a medida que k incrementa, la altura de la intersección con la
superficie z =f (x, y) también aumenta. Es así como el mapa de contorno nos da una
idea de la forma que toma la superficie a medida que la altura o la profundidad de
dicha superficie cambian.

Mapa de contorno
Mapas de Contornos o Configuraciones ya sean estructurales, isópacos, isolitos
de litología, etc., son la parte más
importante y esencial de cualquier informe o trabajo de exploración ó
explotación. Las decisiones de los geocientíficos ó exploracionistas y gerentes
de las compañías respecto a áreas ó prospectos están basadas mayormente en
los mapas que se elaboran de los correspondientes proyectos.
Los puntos de mapeo o datos para mapear pueden ser dispersos u homogéneos
y sin embargo las configuraciones se dibujan como lineas continuas. Por lo
tanto configuraciones ó contornos son el resultado de un proceso
interpretativo que requiere conocimiento y algunas veces algo de
imaginación.

Geometría en el espacio
La geometría del espacio (también llamada geometría espacial) es la rama de la
geometría que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que
ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las figuras
geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras,
también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide,
la esfera, el prisma, los poliedros regulares
La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría
plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica
del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa
ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

Superficie esférica.
Una esfera o superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos de coodenadas (x,
y, z) del espacio cuya distancia a un punto fijo C(a, b, c) que es el centro de la esfera,
es una cantidad constante r > 0 , es decir, el radio de la esfera

Superficie cilíndrica
La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas,
denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva
plana, denominada directriz del cilindro. La superficie lateral cilíndrica se
obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje.
Las superficies cilíndricas pueden ser
superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de
un eje, paralelo a ella.
superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de
las generatrices.

En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie
tridimensional que se describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del
tipo:
Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos
cuadráticos (los que contienen variables elevadas al cuadrado, aquí indicadas
como x e y) tengan igual o distinto signo, respectivamente.

Elipsoide
Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales
principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos
ejes cartesianos cada plano.
En matemática, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.
Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una
transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.
Al rotar una elipse alrededor de uno de sus dos ejes se obtiene un elipsoide de
revolución o esferoide.

Elipsoide
La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de
coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:
donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del
elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números
reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si
dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un
esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.

Hiperboloide
La hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de
una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo
del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la
hipérbola de referencia, cuya ecuación es

Conclusión
• En conclusión un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y
puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier
punto de un espacio euclídeo o más generalmente variedad
diferenciable. En física se usan normalmente sistemas de coordenadas
ortogonales. Un sistema de referencia, viene dado por un punto de
referencia y un sistema de coordenadas. En mecánica newtoniana se
emplean sistemas de referencia caracterizados por un punto denominado
origen y un conjunto de ejes definen unas coordenadas. -Un sistema de
coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales
igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o
tridimensional

Bibliografía
Caculo.cc
http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/curvas_superf
/teoria/s_esferica.html
http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/curvas_superf
/teoria/cilin_esfericas.html
Wikipedia
https://es.wikipedia.org/wiki/Paraboloide
https://es.wikipedia.org/wiki/Hiperboloide

Anexos
• https://www.youtube.com/watch?v=y-Yq1Ju0DsE
• https://www.youtube.com/watch?v=w-a-hh-lPLo
• https://www.youtube.com/watch?v=gi0xbcLt7aM