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ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADO A LA INGENIERIA CIVIL

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ECUACIONES DIFERENCIALES

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INDICE
INTRODUCCION....................................................................................................................4
OBJETIVOS...........................................................................................................................5
- Objetivo general........................................................................................................5
- Objetivosespecíficos.................................................................................................5
EJERCICIOS DE APLICACION...................................................................................................6
PROBLEMA 1....................................................................................................................6
 APORTE...............................................................................................................10
PROBLEMA 2..................................................................................................................11
 APORTE...............................................................................................................13
PROBLEMA 3..................................................................................................................14
 APORTE...............................................................................................................16
EJERCICIO DE LA APLICACIÓN DE LA LEY DE HOOKE ..........................................................17
4
INTRODUCCION
El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo XVII sobre las ideas básicas
del cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más
importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el
diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este
descubrimiento fue la física aplicada, a la Ingeniería
En el presente trabajo se pretende dar a conocer las diversas aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales en la Ingeniería Civil, es por ello que es utilizado, en muchos
casos, para describir y explicar las leyes del universo; los modelos matemáticos
empleados permiten comprender los cambios que implican innumerables fenómenos
físicos, y dichos cambios sólo pueden explicarse por medio de ecuaciones que relacionan
cantidades que cambian, estas se denominan ecuaciones diferenciales; es una ecuación
que relaciona una función desconocida y una o más de sus derivadas, con esto decimos
que una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación en la cual aparecen derivadas o
diferenciales de una variable, que denominamos dependiente, la cual es función de otra
única variable, llamada independiente con lo cual, encontrar la solución de una ecuación
diferencial implica encontrar una función que reemplazada en la ecuación original, junto
con sus derivadas permita llegar a una identidad.
5
OBJETIVOS
- Objetivo general
Aplicar las ecuaciones diferenciales a la vida real mediante problemas
relacionados con la ingeniería civil.
- Objetivos específicos
 Conocer las circunstancias en las que se puede aplicar los ejercicios
planteados, de manera que pueda dar solución a problemas presentados
en la vida real.
 Aplicar todos los conocimientos adquiridos sobre ecuaciones
diferenciales.
6
EJERCICIOS DE APLICACION
PROBLEMA 1
La viga de la figura está sometida a la carga de 30 KN. Calcular por el método
de la Ecuación diferencial la ecuación de la línea Elástica
Datos: EI = constante
 SOLUCIÓN
Cálculo de las reacciones
∑ 𝐹𝑥 = 0 …(𝐼)
𝑅 𝐴𝑋 = 0
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑅 𝐴𝑦 + 𝑅 𝐵𝑦 = 30 𝐾𝑁… (II)
∑ 𝑀𝐴 = 0
−30(1)+ 4𝑅 𝐵𝑌 = 0
𝑅 𝐵𝑌 = 7,5 𝐾𝑁

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ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADO A LA INGENIERIA CIVIL

  • 1. 1
  • 2. 2
  • 3. 3 INDICE INTRODUCCION....................................................................................................................4 OBJETIVOS...........................................................................................................................5 - Objetivo general........................................................................................................5 - Objetivosespecíficos.................................................................................................5 EJERCICIOS DE APLICACION...................................................................................................6 PROBLEMA 1....................................................................................................................6  APORTE...............................................................................................................10 PROBLEMA 2..................................................................................................................11  APORTE...............................................................................................................13 PROBLEMA 3..................................................................................................................14  APORTE...............................................................................................................16 EJERCICIO DE LA APLICACIÓN DE LA LEY DE HOOKE ..........................................................17
  • 4. 4 INTRODUCCION El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo XVII sobre las ideas básicas del cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la física aplicada, a la Ingeniería En el presente trabajo se pretende dar a conocer las diversas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la Ingeniería Civil, es por ello que es utilizado, en muchos casos, para describir y explicar las leyes del universo; los modelos matemáticos empleados permiten comprender los cambios que implican innumerables fenómenos físicos, y dichos cambios sólo pueden explicarse por medio de ecuaciones que relacionan cantidades que cambian, estas se denominan ecuaciones diferenciales; es una ecuación que relaciona una función desconocida y una o más de sus derivadas, con esto decimos que una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación en la cual aparecen derivadas o diferenciales de una variable, que denominamos dependiente, la cual es función de otra única variable, llamada independiente con lo cual, encontrar la solución de una ecuación diferencial implica encontrar una función que reemplazada en la ecuación original, junto con sus derivadas permita llegar a una identidad.
  • 5. 5 OBJETIVOS - Objetivo general Aplicar las ecuaciones diferenciales a la vida real mediante problemas relacionados con la ingeniería civil. - Objetivos específicos  Conocer las circunstancias en las que se puede aplicar los ejercicios planteados, de manera que pueda dar solución a problemas presentados en la vida real.  Aplicar todos los conocimientos adquiridos sobre ecuaciones diferenciales.
  • 6. 6 EJERCICIOS DE APLICACION PROBLEMA 1 La viga de la figura está sometida a la carga de 30 KN. Calcular por el método de la Ecuación diferencial la ecuación de la línea Elástica Datos: EI = constante  SOLUCIÓN Cálculo de las reacciones ∑ 𝐹𝑥 = 0 …(𝐼) 𝑅 𝐴𝑋 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑅 𝐴𝑦 + 𝑅 𝐵𝑦 = 30 𝐾𝑁… (II) ∑ 𝑀𝐴 = 0 −30(1)+ 4𝑅 𝐵𝑌 = 0 𝑅 𝐵𝑌 = 7,5 𝐾𝑁
  • 7. 7 EN (II) 𝑅 𝐴𝑌 = 22,5 𝐾𝑁 Fórmula general de la Ecuación diferencial de La Línea Elástica 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = − 𝑀 𝐸𝐼 Donde: M: Momento flector E: Módulo de elasticidad I: Momento de inercia. CORTE A – A Tramo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ∑ 𝑀 𝑥 = 0 −22,5 𝑥 + 𝑀 = 0 𝑀 = 22,5 𝑋 𝐸𝐼 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = − 𝑀 𝐸𝐼 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = − 22,5 𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 22,5 𝑥2 2 + 𝐶1 𝐸𝐼 𝑦 = − 22,5 𝑥3 6 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2
  • 8. 8 Cálculo de las constantes  Condiciones de contorno 𝑥 = 0 − − − − − − 𝑦0−1 = 0 − − − − − 𝑪 𝟐 = 𝟎 CORTE B – B Tramo 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 ∑ 𝑀 𝑥 = 0 −22,5 𝑥 + 30( 𝑥 − 1) + 𝑀 = 0 𝑀 = 22,5 𝑋 − 30( 𝑥 − 1) 𝑀 = 22,5 𝑋 − 30𝑥 + 30 𝑀 = −7,5 𝑥 + 30 𝐸𝐼 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = − 𝑀 𝐸𝐼 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 7,5 𝑥 − 30 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 7,5 𝑥2 2 − 30𝑥 + 𝐶3 𝐸𝐼 𝑦 = 7,5 𝑥3 6 − 30 𝑥2 2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 𝐸𝐼 𝑦 = 1,25 𝑥3 − 15 𝑥2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 PARA 𝑥 = 4 − − − − − 𝑦1−4 = 0 0 = 1,25 (4)3 − 15 (4)2 + 4 𝐶3 + 𝐶4 4 𝐶3 + 𝐶4 = 160 − − − (𝐼)
  • 9. 9 PARA 𝑥 = 1 − − − − − 𝑦1−4 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 )0−1 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 )1−4 7,5 (1)2 − 30(1) + 𝐶3 = − 22,5 (1)2 2 + 𝐶1 𝐶3 − 𝐶1 = 11,25 − − − − − (𝐼𝐼) 𝑥 = 1 − − − − − 𝑦0−1 = 𝑦1−4 − 22,5 (1)3 6 + 𝐶1(1)+ 𝐶2 = 1,25 (1)3 − 15 (1)2 + 𝐶3 + 𝐶4 −3,75 + 𝐶1 = −13,75 + 𝐶3 + 𝐶4 𝐶1 = −10 + 𝐶3 + 𝐶4 − − − −(𝐼𝐼𝐼) De (III) 11,25 = 10 − 𝐶4 En (I) 𝐶3 = 40,3125 𝐶4 = −1,25 En (II) 𝐶1 = 29,0625 Por lo tanto: Tramo 0 < 𝑥 < 1 𝐸𝐼 𝑦 = − 3,75 𝑥3 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝐸𝐼 𝑦 = − 3,75 𝑥3 + 29,0625 𝑥 − − − ( 𝐼𝑉) Tramo 1 < 𝑥 < 4 𝐸𝐼 𝑦 = 1,25 𝑥3 − 15 𝑥2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 𝐸𝐼 𝑦 = 1,25 𝑥3 − 15 𝑥2 + 40, 3125 𝑥 − 1,25 Sumando (IV) + (V) 2 𝐸𝐼 𝑦 = −2,5 𝑥3 − 15 𝑥2 + 69,375 𝑥 − 1,25 𝑦 = 1 2 𝐸𝐼 𝑦 (−2,5 𝑥3 − 15 𝑥2 + 69,375 𝑥 − 1,25) RPTA: 𝑦 = 1 𝐸𝐼 𝑦 (−1,25 𝑥3 − 7,5 𝑥2 + 34,68 𝑥 − 0,625)
  • 10. 10  APORTE El campo de la ingeniería civil implica el diseño estructural, por lo cual es necesario poder realizar cálculos de una manera sencilla, confiable y sin necesidad de softwares avanzados ya que como ingenieros estaremos en ambientes y situaciones diferentes donde será necesario adecuarnos a las condiciones adversas y poder brindar las debidas soluciones. Con esta ecuación podemos determinar la distancia de deformación de la viga medida desde su punto de origen, en relación a su longitud y a la carga soportada. Esto nos sirve para determinar en qué punto de la viga se debe reforzar para evitar el colapso.
  • 11. 11 PROBLEMA 2 La figura presenta una columna sometida a compresión simple con condiciones de empotramiento en ambos extremos si el elemento puede adoptar una configuración en equilibrio diferente a la rectilínea, en esta configuración existirán unos momentos de empotramiento representados en la figura como Mo. Encuentre la deflexión de la columna. SOLUCION Ecuación diferencial de pandeo de columnas: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑃 𝐸𝐼 = 𝑀𝑜 𝐸𝐼 Donde: P = Carga aplicada Mo = Modulo de elasticidad I = Momento de Inercia Condición de empotramiento en X= 0 y X=L 𝑦(0) = 0 𝑦′(0) = 3 3x+2 2 3x+2 2
  • 12. 12 𝑦( 𝐿) = 0 𝑦′( 𝐿) = 0 6 𝐴 𝑥 + 2𝐵 = 3𝑥 𝐸. 𝐼 + 2 𝐸. 𝐼 6𝐴 = 3 𝐸. 𝐼 → 𝐴 = 1 2. 𝐸. 𝐼 2𝐵 = 2 𝐸. 𝐼 → 𝐵 = 1 𝐸. 𝐼 𝑌𝑃 = 1 2. 𝐸. 𝐼 . 𝑋3 + 1 𝐸. 𝐼 . 𝑋2 La deflexión de la columna es: Y= Yc + Yp 𝑌 = 𝐶1 cos(√ 3 𝐸 . 𝐼 ) 𝑋 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 (√ 3 𝐸. 𝐼 ) 𝑋 + 1 2. 𝐸. 𝐼 𝑋3 + 1 𝐸. 𝐼 𝑋2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑃 𝐸. 𝐼 = 𝑀𝑜 𝐸. 𝐼 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 3 𝐸. 𝐼 = 3𝑥 + 2 𝐸. 𝐼 Solución complementaria: 𝑚2 + 3 𝐸. 𝐼 = 0 𝑚2 = − 3 𝐸. 𝐼 𝑚 = ± √ 3 𝐸. 𝐼 𝑖 𝑌 = 𝐶1 cos(√ 3 𝐸 . 𝐼 ) 𝑋 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 (√ 3 𝐸. 𝐼 ) 𝑋
  • 13. 13 Solución particular: 𝑌𝑝 = 𝑋2 ( 𝐴𝑥 + 𝐵) 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 𝑌𝑝′ = 3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 𝑌𝑝′′ = 6𝐴𝑥 + 2𝐵 condiciones de frontera: Y (0) = 0 0 = 𝐶1 𝑌′ (0) = 3 𝑌′ = (−√ 3 𝐸. 𝐼 ). 𝑠𝑒𝑛 (√ 3 𝐸. 𝐼 )𝑋𝐶1 + (√ 3 𝐸. 𝐼 )cos(√ 3 𝐸. 𝐼 )+ 3𝑋2 2. 𝐸. 𝐼 + 2𝑋 𝐸. 𝐼 3 = (√ 3 𝐸. 𝐼 ) 𝐶2 → 𝐶2 = 3 √ 3 𝐸. 𝐼 𝐶2 = 3 √ 3 𝐸. 𝐼 → 𝐶2 = 3√ 𝐸. 𝐼 √3 𝐶2 = 3√3 .√ 𝐸.𝐼 3 → 𝐶2 = √3 𝐸. 𝐼 LA DEFLEXION DE COLUMNA QUEDA: 𝑌 = √3. 𝐸. 𝐼 𝑠𝑒𝑛 (√ 3 𝐸. 𝐼 ) 𝑋 + 1 2. 𝐸. 𝐼 𝑋3 + 1 𝐸. 𝐼 𝑋2  APORTE En el diseño estructural, la incorporación de las mejoras en el conocimiento sobre el comportamiento de los materiales, los criterios de fiabilidad estructural, y el uso de los ordenadores permiten diseñar estructuras más económicas y seguras. El aprovechamiento óptimo del material, en general, se consigue reduciendo las secciones resistentes. Con esto podemos predecir el comportamiento que una columna tendrá frente a una carga ya sea debido a acciones externas (naturales) o el paso rítmico de cargas y los fenómenos no lineales (tipo de material).
  • 14. 14 PROBLEMA 3 Una viga de longitud L=3 m esta empotrada en ambos extremos. Encuentre la deflexión de la viga si una carga constante w0 esta uniformemente distribuida a lo largo de toda su longitud. W(x)= 2x+5 0<x<3 EI= cte Ecuación diferencial de la deflexión de una viga empotrada: 𝐸𝐼 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 = 𝑤0 Condiciones de frontera: 𝑦(0) = 0 𝑦′(0) = 0 𝑦( 𝐿) = 3 𝑦′(𝐿) = 0 Donde: - E: Modulo de elasticidad. - I: Momento de inercia. - W0: Carga uniformemente distribuida. 𝐸𝐼 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 = 2𝑥 + 5 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 = 1 𝐸𝐼 (2𝑥 + 5) Solución complementaria: X=0 X=L
  • 15. 15 𝑦𝑐 =? m4 = 0 m = 0 Multiplicidad 𝑦𝑐 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑥2 + 𝐶4 𝑥3 Solución particular 𝑦 𝑝 = 𝑥4( 𝐴𝑥 + 𝐵) 𝑦 𝑝 = ( 𝐴𝑥5 + 𝐵𝑥4) 𝑦′ 𝑝 = 5𝐴𝑥4 + 4𝐵𝑥3 𝑦′′ 𝑝 = 20𝐴𝑥3 + 12𝐵𝑥2 𝑦′′′ 𝑝 = 60𝐴𝑥2 + 24𝐵𝑥 𝑦 𝑝 𝑉𝐼 = 120𝐴𝑥 + 24𝐵 → 120𝐴𝑥 + 24𝐵 = 2𝑥 𝐸𝐼 + 5 𝐸𝐼 - 120𝐴 = 2 𝐸𝐼 por lo tanto 𝐴 = 1 60𝐸𝐼 - 24𝐵 = 5 𝐸𝐼 por lo tanto 𝐵 = 5 24𝐸𝐼 → 𝑦 𝑝 = 1 60𝐸𝐼 𝑥5 + 5 24𝐸𝐼 𝑥4 Entonces la deflexión de la viga es: 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦 𝑝 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑥2 + 𝐶4 𝑥3 + 1 60𝐸𝐼 𝑥5 + 5 24𝐸𝐼 𝑥4 - 𝑦(0) = 0 por lo tanto 0 = 𝐶1 entonces 𝐶1 = 0 - 𝑦′(0) = 0  𝑦′ = 𝐶2 + 2𝐶3 𝑥 + 3𝐶4 𝑥2 + 1 60𝐸𝐼  0 = 𝐶2 + 1 60𝐸𝐼 entonces 𝐶2 = − 1 60𝐸𝐼 - 𝑦′(3) = 0  𝑦′ = 𝐶2 + 2𝐶3(3)+ 3𝐶4(3)2 + 1 60𝐸𝐼  0 = − 1 60𝐸𝐼 + 6𝐶3 + 27𝐶4 + 1 60𝐸𝐼  0 = 6𝐶3 + 27𝐶4  0 = 2𝐶3 + 9𝐶4… (1) - 𝑦(3) = 3
  • 16. 16  𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑥2 + 𝐶4 𝑥3 + 1 60𝐸𝐼 𝑥 + 5 24𝐸𝐼  𝑦 = − 5 24𝐸𝐼 + − 1 60𝐸𝐼 𝑥 + 𝐶3 𝑥2 + 𝐶4 𝑥3 + 1 60𝐸𝐼 𝑥 + 5 24𝐸𝐼  𝑦 = − 5 24𝐸𝐼 − 1 60𝐸𝐼 𝑥 + 𝐶3 𝑥2 + 𝐶4 𝑥3 + 1 60𝐸𝐼 𝑥 + 5 24𝐸𝐼  3 = 𝐶3(3)2 + 𝐶4(3)3  3 = 9𝐶3 + 27𝐶4  1 = 3𝐶3 + 9𝐶4… (2) Resolviendo (1) y (2). 1 = 3𝐶3 + 9𝐶4 0 = 2𝐶3 + 9𝐶4 Según el sistema se puede deducir que: 𝐶3 = 1 𝐶4 = − 2 9 Entonces la deflexión de la viga es: 𝑦 = − 5 24𝐸𝐼 − 1 60𝐸𝐼 𝑥 + 𝑥2 − 2 9 𝑥3 + 1 60𝐸𝐼 𝑥5 + 5 24𝐸𝐼 𝑥4  APORTE Si una viga está reaccionando a cargas perpendiculares a su eje esta tendera a deformarse, de modo que actúa hasta cierto punto de manera elástica y si la carga es muy elevada, llegará a un límite plástico en el que la viga no volverá a su estado natural o tendera a fallar. La ecuación utilizada en el ejercicio de aplicación, nos ayudara a encontrar la deflexión de la viga cuando sobre ella actúa una carga uniforme, de tal manera que podamos conocer la distancia en la que la viga pueda fallar a causa de ella.
  • 17. 17 EJERCICIO DE LA APLICACIÓN DE LA LEY DE HOOKE Segunda Ley de Newton La segunda ley de Newton establece que el balance de fuerzas en un sistema es igual a la masa por la aceleración. Suponiendo que no existe amortiguamiento y no se ejercen fuerzas externas sobre el sistema, por un análisis dinámico de la masa dentro del sistema, se tiene ecuación 1. 𝑚 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥 (1) La ecuación 1, representa el movimiento armónico libre, donde como se menciona, el sistema se encuentra en ambiente ideal, donde no existen fuerzas retardadoras externas actuando sobre la masa y propician un movimiento perpetuo del sistema (sistema armónico simple). Pero este modelo es poco usado, puesto que en la realidad la mayor parte de los sistemas de ingeniería encuentran al menos una fuerza retardadora actuando sobre la masa, como se muestra en la figura 2. En consecuencia, la energía mecánica del sistema disminuye con el tiempo y por lo tanto se dice que el movimiento es amortiguado. Un tipo común de fuerza retardadora es una fuerza proporcional a la rapidez del objeto en movimiento y que actúa en sentido contrario a la velocidad de dicho objeto. Entonces esta fuerza retardadora (R) puede expresarse como: 𝑅 = −𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑡 C : constante conocida como el coeficiente de amortiguamiento Figura 1: Sistema de masa resorte Figura 2: Ejemplo de un dispositivo amortiguador
  • 18. 18 Suponiendo que ninguna otra fuerza actúa sobre el sistema, se puede escribir la segunda ley de Newton como la ecuación 2. 𝑚 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥 − 𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑡 (2) Dividiendo ecuación 2 entre la masa(m) y reacomodándola, se encuentra la ecuación diferencial (ecuaciones 3 y 4) del sistema masa resorte amortiguado, movimiento libre amortiguado. 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 + 𝑘𝑥 + 𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0 (3)  Donde: 𝜔2 = 𝑘 𝑚 𝝎 = Frecuencia natural del resorte K = Constante de rigidez del resorte m = Masa  Donde: 𝐶 = 2𝜆𝑚 𝝀 = Frecuencia angular de la fuerza retardadora. 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 + 𝜔2 𝑥 + 2𝜆 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0 (4) Ahora proponemos una ecuación auxiliar (“r”), de tal forma que la ecuación diferencial homogénea de grado 2, en el apartado 4 se reduzca. 𝑟2 + 𝜔2 + 2𝜆𝑟 = 0 (4) De donde se obtienen las correspondientes raíces: ; A partir de aquí se pueden distinguir tres casos posibles de soluciones, dependiendo del signo algebraico del discriminante (𝜆2 − 𝜔2 ):  Caso 1: Sistema sobreamortiguado, 𝜆2 − 𝜔2 > 0 . Es aquel en el que el coeficiente de amortiguamiento “C”, es mayor que el coeficiente de elasticidad del resorte “K”, esto significa que el movimiento oscilatorio no ocurre puesto que el amortiguamiento es fuerte. Se deduce también que la frecuencia de amortiguamiento de la fuerza retardadora es mayor que la frecuencia natural del resorte, por ende, ésta tiende a detenerse debido a la otra. Y por lo tanto la solución correspondiente de la ecuación 3 está dada por ecuación 5. 𝑥( 𝑡) = 𝐶1 𝑒(𝑟1)𝑡 + 𝐶2 𝑒(𝑟2)𝑡 𝑥( 𝑡) = 𝐶1 𝑒(−𝜆+√𝜆2 −𝜔2)𝑡 + 𝐶2 𝑒(−𝜆−√𝜆2 −𝜔2 )𝑡 (5)  Caso 2: Sistema críticamente amortiguado, 𝜆2 − 𝜔2 = 0. En un sistema críticamente amortiguado, el sistema se encuentra en un estado estático, es decir, que cualquier variación en la fuerza de amortiguamiento el sistema 𝑟1 = −𝜆 + √ 𝜆2 − 𝜔2 𝑟2 = −𝜆 − √ 𝜆2 − 𝜔2
  • 19. 19 pasaría a ser sobreamortiguado (aumento), o subamortiguado (disminución); esto indica que al liberar la masa esta regresará a su posición de equilibrio estático sin ningún tipo de oscilación. La solución para la ecuación 3, está dada por ecuación 6. Por raíces iguales, se obtiene: 𝑥( 𝑡) = 𝐶1 𝑒(𝑟1)𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒(𝑟2)𝑡 𝑥( 𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡 (𝐶1 + 𝐶2 𝑡) (6)  Caso 3: Sistema subamortiguado, 𝜆2 − 𝜔2 < 0. En el caso de un sistema subamortiguado, el coeficiente de amortiguamiento es más pequeño que el de elasticidad del resorte, lo que permite que, al liberar la masa, esta tenga un movimiento oscilatorio hasta que regresé a su posición de equilibrio. Entonces las raíces r1y r2 son complejas conjugadas, ecuaciones 7. 𝑥( 𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡 [ 𝐶1 cos(√𝜔2 − 𝜆2 𝑡) + 𝐶2 sin(√𝜔2 − 𝜆2 𝑡)] (7) APLICANDO CONDICIONES INCIALES: x0=x (0) y v0=v (0), hallamos constantes C1 y C2  PARA CASO 1: SOBREAMORTIGUAMIENTO 𝑥( 𝑡) = 𝐶1 𝑒(−𝜆+√𝜆2 −𝜔2 ) + 𝐶2 𝑒(−𝜆−√𝜆2−𝜔2) Ó 𝑥( 𝑡) = 𝐶1 𝑒(𝑟1)𝑡 + 𝐶2 𝑒(𝑟2)𝑡  Cuando X0=X (0) 𝒙 𝟎 = 𝑪 𝟏 + 𝑪 𝟐  Cuando V0=v(0) 𝑣( 𝑡) = 𝑟1 𝐶1 𝑒(𝑟1)𝑡 + 𝑟2 𝐶2 𝑒( 𝑟2) 𝑡 𝒗 𝟎 = 𝒓 𝟏 𝑪 𝟏 + 𝒓 𝟐 𝑪 𝟐 𝑟1 = −𝜆 𝑟2 = −𝜆 𝑟1 = −𝜆 + √ 𝜔2 − 𝜆2 𝑖 𝑟2 = −𝜆 − √ 𝜔2 − 𝜆2 𝑖
  • 20. 20 ∴ 𝒙( 𝒕) = ( 𝒓 𝟐 𝒙 𝟎 − 𝒗 𝟎 𝒓 𝟐 − 𝒓 𝟏 )𝒆( 𝒓 𝟏) 𝒕 + ( 𝒗 𝟎 − 𝒙 𝟎 𝒓 𝟏 𝒓 𝟐 − 𝒓 𝟏 )𝒆(𝒓 𝟐)𝒕 Donde:  PARA CASO 2: AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO 𝑥( 𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡 (𝐶1 + 𝐶2 𝑡)  Cuando X0=X(0) 𝒙 𝟎 = 𝑪 𝟏  Cuando V0=v(0) 𝑣0 = −𝜆𝑒−𝜆𝑡 ( 𝐶1 + 𝐶2 𝑡) + 𝑒−𝜆𝑡 𝐶2 𝑣0 = −𝜆𝐶1 + 𝐶2 𝑪 𝟐 = −𝝀𝒙 𝟎 + 𝒗 𝟎 ∴ 𝒙( 𝒕) = 𝒙 𝟎 𝒆−𝝀𝒕 + 𝒆−𝝀𝒕( 𝝀𝒙 𝟎 + 𝒗 𝟎) 𝒕  PARA CASO 3: SUBAMORTIGUAMIENTO 𝑥( 𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡 [𝐶1 cos(√ 𝜔2 − 𝜆2 𝑡) + 𝐶2 sin(√ 𝜔2 − 𝜆2 𝑡)]  Cuando X0=X (0) Despejando “C1” 𝑣0 = 𝑟1 𝐶1 + 𝑟2 (𝑥0 − 𝐶1) 𝑣0 = 𝑟1 𝐶1 + 𝑟2 𝐶2 − 𝑟2 𝐶1) 𝑣0 − 𝑟2 𝑥0 = 𝐶1(𝑟1 − 𝑟2 ) 𝒓 𝟐 𝒙 𝟎 − 𝒗 𝟎 𝒓 𝟐 − 𝒓 𝟏 = 𝑪 𝟏 Despejando “C2” 𝒗𝟎 − 𝑿𝟎𝒓𝟏 𝒓𝟐 − 𝒓𝟏 = 𝑪𝟐 𝑟1 = −𝜆 + √ 𝜆2 − 𝜔2 𝑟1 = −𝜆 − √ 𝜆2 − 𝜔2
  • 21. 21 𝐗𝟎 = 𝐂𝟏  Cuando V0=v (0), SI: 𝛽 = √𝜔2 − 𝜆2 𝑥( 𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡 [ 𝐶1cos(𝛽𝑡) + 𝐶2 sin(𝛽𝑡)] 𝑣( 𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡 [ 𝐶1 cos(𝛽𝑡) + 𝐶2 sin(𝛽𝑡)]+ 𝑒−𝜆𝑡[−𝛽𝐶1 sin( 𝛽𝑡) + 𝛽𝐶2 cos(𝛽𝑡)] 𝑣0 = −𝜆𝐶1 + 𝐶2 𝛽 𝑣0 = −λ𝑥0 + 𝐶2√ω2 − λ2 𝑪 𝟐 = 𝒗 𝟎 + 𝛌𝒙 𝟎 √𝛚 𝟐 − 𝛌 𝟐 ∴ 𝒙( 𝒕) = 𝒆−𝝀𝒕 [𝒙 𝟎 𝐜𝐨𝐬(√ 𝝎 𝟐 − 𝝀 𝟐 𝒕)+ ( 𝒗 𝟎 + 𝛌𝒙 𝟎 √𝛚 𝟐 − 𝛌 𝟐 )𝐬𝐢𝐧(√ 𝝎 𝟐 − 𝝀 𝟐 𝒕)]