ecuaciones diferenciales lineales

1. Ecuaciones Diferenciales
Curso Propedéutico
Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica:
Opciones sistemas Eléctricos y Sistemas de Control
Propedeutico

2. Contenido
 Ecuaciones diferenciales de primer orden
 Solución geométrica
 Métodos de solución analítica
 Variables separadas
 Variables separables
 Homogéneas
 Lineales
 Ecuación de Bernoulli
 Ecuación de Riccati
 Ec. Dif. Exacta
 Factor integrante
 Teorema de existencia y unicidad
 Ecuaciones Diferenciales de orden mayor que 1
Propedeutico

3. Introducción
¿Qué es una ecuación diferencial?
 Toda ecuación que establece la dependencia
de una variable respecto a otra u otras
mediante derivadas es una ecuación
diferencial
Propedeutico

4. Ejemplos de ecuaciones diferenciales
1) El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la
figura
R
to
+
Vs(t)
+ C
- v(t)
-
-
dv(t ) 1 1
+ v(t ) = Vs (t )
dt RC RC
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5. Ejemplos de ecuaciones diferenciales
2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es
proporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura
del ambiente Ta
dT
= K (Ta − T )
dt
Donde K es el coeficiente dde transmisión de
calor que depende del material
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6. Ejemplos de ecuaciones diferenciales
3) El movimiento de un péndulo simple está
gobernado por la ecuación
mlθ + klθ + mgsenθ = 0
 
Donde dθ d 2θ

θ= , θ = 2

dt dt
θ
m
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7. Ejemplos de ecuaciones diferenciales
4) Las coordenadas (x,y) de los puntos de la
curva que refleja en forma paralela los rayos
que salen de un punto fijo en el origen
cumplen con
cumplen con y
dy − x ± x 2 + y 2 x
=
dx y
Propedeutico

8. Ejemplos de ecuaciones diferenciales
Otros Ejemplos:
dy
Ecuación lineal de primer orden: dx + p( x ) y = q( x )
Ecuación de Riccati: y' + p( x ) y + q( x ) y 2 = f ( x )
Por ejemplo: y' + x 3 y + sin( x ) y 2 = x 2 − 1
Ecuación de Van der Pol: y' ' − µ ( 1 − y 2 ) y' + y = 0
dp
Segunda Ley de Newton: Fext =
dt
Etc…
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9. Clasificación General
Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO).
Cuando no contiene derivadas parciales. En
general tiene la forma:
F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0
Establece la dependencia de la variable y
respecto a una sola variable independiente x.
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10. Clasificación General
Ecuación diferencial Parcial (EDP). Cuando
contiene derivadas parciales. En este caso
representa la dependencia de una variable
respecto a varias variables independientes.
Por ejemplo, la siguiente ecuación describe la
dependencia de r respecto de x, y y z.
∂r ∂r ∂r
+ − 2 xy = 1
∂x ∂y ∂z
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11. Clasificación General
EDO de orden n.- El orden de derivación más alto que
aparece en la ecuación es n.
EDO de primer orden.- Cuando n=1. En este caso, la
forma general es
F(x,y,y’)=0
A la forma
y’=f(x,y)
Se le denomina resuelta respecto a la derivada.
Ejemplo: la ecuación de Riccati es de segundo grado,
pero de primer orden y' + p( x ) y + q( x ) y 2 = f ( x )
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12. Clasificación General
EDO Lineal. Es una ODE que se puede escribir en la
forma: an ( x ) y ( n ) + an − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ... + a0 ( x ) y = f ( x )
Donde los coeficientes a0(x),...,an(x), f(x) son funciones
de x. De lo contrario se dice No Lineal.
Lineal Homogénea.- El término independiente f(x) es
nulo.
Lineal con coeficientes constantes.- Los coeficientes
a0(x),...,an(x) son constantes.
Lineal con coeficientes variables.- Enfatiza el hecho
de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x)
NO es constante.
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13. Clasificación General
Ejemplos: ¿Lineales o No lineales?
dv(t ) 1 1
1) + v(t ) = Vs (t )
dt RC RC
dT
2) = K (Ta − T )
dt
3) mlθ + klθ + mgsenθ = 0

dy − x ± x 2 + y 2
4) dx
=
y
5) y' + x 3 y + sin( x ) y 2 = x 2 − 1
6) y' ' − µ ( 1 − y 2 ) y' + y = 0
Propedeutico

14. Solución de una ED
La Solución General, también llamada integral
general de la ED de la forma F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0, es la
función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación.
Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones y = ± 2cx + c 2
son soluciones de la ecuación del ejemplo (4).
La solución general es en realidad una familia de
funciones parametrizadas por la constante desconocida
c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene
una Solución Particular de la ED
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15. Solución de una ED
Familia de funciones dadas por: y = ± 2cx + c 2
10
8
6
4
2
y
0
-2
-4
-6
-8
-10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
Propedeutico

16. Solución de una ED
 Tarea: a) Para el ejemplo (2). Verificar que la
solución general de la ED es:
T (t ) = Ta + (T0 − Ta )e − Kt
b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse
una taza de café hirviendo si la temperatura
ambiente es de Ta=15°C ?
c) Dibujar la familia de curvas solución para diferentes
temperaturas iniciales T0 de la taza de café.
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17. La ED como Campo Vectorial
La ecuación diferencial de primer orden resuelta
respecto a la derivada:
dy
= f(x, y)
dx
establece una dependencia entre las coordenadas (x,y)
de un punto y la pendiente de la curva solución y(x)
que pasa por ese punto.
Propedeutico

18. La ED como Campo Vectorial
Ejemplo: la ecuación
dy
= x2 + y2
dx
nos dice que a lo largo de la curva x2 + y2 = 1, las
curvas solución de la ecuación tienen pendiente 1, es
decir, cruzan la circunferencia de radio 1 con un ángulo
de 45°.
Ver la figura siguiente
Propedeutico

19. La ED como Campo Vectorial
Propedeutico

20. Método de las Isoclinas
Dando valores constantes K a la derivada,
dy
= f ( x, y ) = K
dx
podemos encontrar las curvas f(x,y)= K en donde las
soluciones pasan con un mismo ángulo de inclinación.
A estas curvas se les llama isoclinas.
Para el ejemplo corresponden a x2+y2=K, son
circunferencias de radio K y centro en el origen.
Propedeutico

21. Método de las Isoclinas
Las isoclinas facilitan el trazado del campo de
direcciones y por lo tanto el de las soluciones de la ED.
Propedeutico

22. Método de las Isoclinas
Tarea: a) Encontrar la ecuación de las isoclinas para
la ecuación diferencial
dy x
dx = y
b) ¿Qué tipo de curvas son estas isoclinas?
c) Dibujar las isoclinas y con ayuda de éstas dibujar el
campo de direcciones y algunas curvas solución.
Propedeutico

23. Métodos de Solución Analítica
 NO existe un método general para resolver ED’s, es
decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un
procedimiento para hallar su solución analítica.
 Sin embargo, en algunos casos particulares bien
identificados sí se tienen procedimientos para calcular
dicha solución.
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24. Métodos de Solución Analítica
 El único método entonces consiste en saber
Identificar el tipo de ED que se quiere resolver.
 Si es un caso conocido. Aplicar el
procedimiento correspondiente
 Si no es un caso conocido, intentar algún
cambio de variable que la transforme en un
caso conocido
Propedeutico

25. Métodos de Solución Analítica
 Si no funciona lo anterior, algunas alternativas
consisten en buscar soluciones:
 Basadas en Series
 Numéricas
 Geométricas
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26. Separación de variables
La idea más simple de los procedimientos de solución
es reescribir la ecuación como una ecuación de
variables separadas:
f ( y )dy = g ( x)dx
Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es
una función exclusivamente de x.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:
y x
∫
y0
f ( y )dy = ∫ g ( x)dx
x0
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27. Separación de variables
La ED de la forma
f1 ( y ) g1 ( x)dx = f 2 ( y ) g 2 ( x)dy
Se denomina ED de variables separables, ya que es
inmediata su reescritura como una ED con variables
separadas:
f 2 ( y) g1 ( x)
dy = dx
f1 ( y ) g 2 ( x)
Propedeutico

28. Separación de variables
dy x
Ejemplo: Resolver la ecuación
dx = −y.
Solución: Separando variables
ydy = -xdx
integrando 2 2
y x
= − + c1
2 2
Reescribiendo x2+y2 = c2
Propedeutico

29. Separación de variables
Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a
variables separables, por ejemplo cuyo campo vectorial
es función de una combinación lineal de x e y:
dy
= f ( ax + by ), donde a , b son cons tan tes
dx
Haciendo el cambio z=ax+by, se obtiene:
dz
= a + bf ( z )
dx
Propedeutico

30. Separación de variables
Ejemplo: La ecuación
2 dy
(x+ y) =1
dx
Se puede reescribir como
dz 1
= 1+ 2
dx z
Donde z=x+y.
Integrando se obtiene z − tan −1 ( z ) = x + c
Regresando a las variables originales:
x + y = tan( y + c )
Propedeutico

31. ED Homogéneas de 1er orden
Las ED de la forma
dy  y
= f 
dx x
Se denominan Homogéneas.
Haciendo el cambio de variable z = y/x, se convierten a
la siguiente ED de variables separables:
dz
x = f ( z) − z
dx
Propedeutico

32. ED Homogéneas de 1er orden
Una función f(x,y) se dice Homogénea de grado k si
f(tx,ty)=tk f(x,y)
Ejemplo: f(x,y)=xy2+3x3 es homogénea de grado 3
Si f(x,y) es homogénea de grado cero entonces
f ( tx ,ty ) = f ( x , y ) = g ( x )
y
dy
Entonces, la ED dx = f ( x , y )
es Homogénea si f(x,y) es homogénea de grado cero.
Propedeutico

33. ED Homogéneas de 1er orden
xy 2 + 3 x 3
Ejemplo: La función f ( x, y ) = 2
2x y − y3
Es homogénea de grado cero y se puede escribir como:
f ( x, y ) =
( ) +3
y 2
x
2( ) − ( )
y
x
y 3
x
dy xy 2 + 3 x 3
Por lo tanto la ED = 2
dx 2 x y − y 3
Se puede transformar en la ED con variables separables
dz z +3
2
x =
dx 2 z − z 3
Donde z=y/x.
Propedeutico

34. ED Homogéneas de 1er orden
dy a1x + b1y + c1
Las ED de la forma =f
dx a2x + b2y + c2
donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2 son constantes
Se convierten a homogéneas haciendo el cambio
X=x-x0, Y=y-y0 donde (x0,y0) es el punto de intersección
de las rectas a1x+ b1y+ c1=0 y a2x + b2y + c2=0.
2
dy  x − y 
=
 x+ y−2

Ejemplo: La ED dx  
Haciendo el cambio X=x-1, Y=y-1 se convierte en la
2
dY  X − Y 
ED homogénea = 
dX  X +Y 
Propedeutico

35. ED Lineales de 1er orden
dy
Las ED de la forma + p( x ) y = q( x )
dx
Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple
con el Principio de Superposición respecto al término
independiente q(x).
Se resuelven usando variación de la constante c de la
solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir,
− ∫ p ( x ) dx
y( x ) = c( x )e
∫ p ( x ) dx
donde c( x ) = ∫ q( x )e dx + c1
Propedeutico

36. ED Lineales de 1er orden
Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie
dv (t ) 1 1
+ v(t ) = Vs (t )
dt RC RC
Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su
solución es −∫ 1
dt −
t
v( t ) = c( t )e = c( t )e RC
RC
Donde t
c( t ) = ∫ RC Vs ( t )e RC dt + c1
1
t
Si Vs(t)=1, se obtiene: c( t ) = e + c1
RC
Por lo tanto −
t
v( t ) = 1 + c1e RC
Propedeutico

37. ED de Bernoulli
La ED de la forma dy + p( x ) y = q( x ) y k , k ≠ 1
dx
Se denomina Ecuación de Bernoulli.
Introduciendo el cambio de variable z = y 1− k
La ecuación de Bernoulli se transforma en
dz
+ ( 1 − k ) p( x )z = ( 1 − k )q( x )
dx
La cual es una ED lineal.
Propedeutico

38. ED de Riccati
La ED de la forma dy + p( x ) y + q( x ) y 2 = f ( x )
dx
Se denomina Ecuación de Riccati.
Esta ecuación se puede transformar en una ecuación de
Bernoulli si se conoce una solución particular y1(x).
mediante el cambio de variable y=y1+z.
La ecuación de Riccati se transforma en
dz
+ [ p( x ) + 2 y1 ( x )] z = −q( x ) z 2
dx
La cual es una ED de Bernoulli.
Propedeutico

39. ED de Riccati
dy 2
Ejemplo: La ecuación = y2 − 2
dx x
1
Es una ED de Riccati, la cual tiene la solución particular y1 =
x
dz z
Haciendo el cambio y=y1+z, obtenemos − 2 = z2
dx x
La cual es du Bernoulli. Haciendo ahora el cambio u=z-1,
de u
obtenemos: + 2 = −1
dx x
c
La cual es lineal. La solución xde la homogénea es u= 2 ,
c( ) x
variando el parámetro c: u= 2
x x3
De donde c' ( x ) = x 2 por lo tanto c( x ) = + c1
c1 x 3
Entonces u = x 2 − 3 . Finalmente, en las variables originales
1 3x2
y= +
x c2 − x 3
Propedeutico

40. ED exactas
La ecuación de la forma M ( x , y )dx + N ( x , y )dy = 0
tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0
y por consiguiente la solución: u(x,y) = c
∂M ( x , y ) ∂N ( x , y )
si cumple la condición de Euler: =
∂y ∂x
∂u( x , y ) ∂u( x , y )
En tal caso M ( x , y ) = , N( x, y ) =
∂x ∂y
y la función u(x,y) se puede obtener integrando M
respecto a x: u( x , y ) = M ( x , y )dx + c( y )
∫
y se puede determinar c(y) derivando
Propedeutico

41. ED exactas
Ejemplo: La siguiente ED
( x + y + 1 )dx + ( x − y 2 + 3 )dy = 0
Es exacta puesto que ∂ ( x + y + 1) ∂ ( x − y 2 + 3)
=
∂y ∂x
Integrando respecto a x u ( x, y ) = ∫ ( x + y + 1)dx + c( y )
Es decir, u ( x, y ) = 2 + xy + x + c( y )
x2
Derivando respecto a y ∂u = x + c' ( y ) = x − y 2 + 3
∂y
De donde c( y ) = ∫ ( y 2 + 3)dy + c1
Finalmente la solución general es
Propedeutico

42. Factor Integrante
En algunas ocasiones es posible multiplicar la ecuación
por un factor µ(x,y), de manera que se convierta en una
diferencial exacta, es decir, de manera que
du = µMdx + µNdy
Entonces se dice que es µ(x,y) un factor integrante. La
condición de Euler toma la forma:
∂µM ∂µN
=
∂y ∂x
∂ ln µ ∂ ln µ ∂M ∂N
De donde N −M = −
∂x ∂y ∂y ∂x
Propedeutico

43. Factor Integrante
La anterior es una EDP más difícil de resolver que la
ED original. Solo en algunos casos se simplifica:
Caso µ =µ (x).- En este caso la EDP toma la forma
d ln µ 1  ∂M ∂N 
=  ∂y − ∂x 

dx N 
Cuyo lado derecho debe ser función exclusiva de x
Caso µ =µ (y).- En este caso
d ln µ 1  ∂N ∂M 
= 
 ∂x − ∂y 

dy M 
Cuyo lado derecho debe ser función exclusiva de y
Propedeutico

44. Factor Integrante
Ejemplo: Para la siguiente ED
( )
2 xy ln ydx + x 2 + y 2 1 + y 2 dy = 0
(
M = 2 xy ln y, N = x 2 + y 2 1 + y 2 )
1  ∂N ∂M  1
Entonces  − =−
 ∂x ∂y 
M   y
d ln µ 1 1
Por lo tanto =− ⇒ µ=
dy y y
Así obtenemos la ecuación diferencial exacta:
x2 + y2 1+ y2
2 x ln ydx + dy = 0
y
Propedeutico

45. Factor Integrante
Tarea: Demostrar que en efecto
x2 + y2 1+ y2
2 x ln ydx + dy = 0
y
Es una ED exacta y obtener su solución general.
Propedeutico

46. Teorema de existencia y unicidad
Uno de los aspectos que suelen olvidarse antes de
intentar la solución de una ED es preguntarse primero si
existe la solución y en caso de existir, si esta es única.
¿Siempre existe solución y es única?
La respuesta la da el siguiente teorema:
Propedeutico

47. Teorema de existencia y unicidad
dy
Si en la ED = f ( x, y ) , se cumplen las condiciones:
dx
1) (Existencia): f(x,y) es continua en un rectángulo D
centrado en (x0,y0).
2) (Unicidad): En este rectángulo satisface la
Condición de Lipschitz para un L finito:
f ( x, y1 ) − f ( x, y2 )
≤L
y1 − y2
Entonces existe una solución única y=f(x) de la ED
dentro de un rectángulo D1⊂ D centrado en (x0,y0):
que satisface la condición inicial y(x0)=y0
Propedeutico

48. Teorema de existencia y unicidad
La condición de Lipschitz se puede sustituir por otra
condición más burda, pero más fácil de verificar:
∂f ( x, y )
Que exista la derivada en el rectángulo D.
∂y
Propedeutico

49. Teorema de existencia y unicidad
dy
Ejemplo: La siguiente ED = y1 / 3
dx
Cumple con la condición de existencia en todo el plano
ℜ2 , sin embargo, si checamos la condición de Lipschitz
∂ 1/ 3 1 − 2 / 3
y =3y
∂y
Se cumple en todo el plano ℜ2, excepto en la recta
solución y=0, sobre la cual existe otra solución.
Tarea: Encontrar las otras soluciones que tocan a la
recta y=0 en cada punto de ella. Representarlas en una
gráfica.
Propedeutico

50. Ejercicios
Ejemplo: Método de las Isoclinas
dy 1
=
dx y − x
Propedeutico

51. Ejercicios
Ejemplo: Convertir a variables separables
dy 1
=
dx y − x
Propedeutico

52. Ejercicios
Ejemplo: Convertir a variables separables
( x + y − 1)dx + ( y + 1)dy = 0
Propedeutico

53. Ejercicios
Ejemplo: Convertir a variables separables
( x − y )dx + ( x + y )dy = 0
2 2 2 2
Propedeutico

54. Ejercicios
Ejemplo: Convertir a variables separables
dy
x = x2 − y2 + y
dx
Propedeutico

55. Teorema de existencia y unicidad
Ejemplo: ¿Qué tipo de ED son las siguientes?
y '+2 y = x + 2 x 2
y' = 1
xseny + 2 sen 2 y
x( x + 1) y '+ (2 x − 1) y =
3 3 x3 −2
x
(1 + x 2 ) y ' = xy + x 2 y 2
Propedeutico

56. Teorema de existencia y unicidad
Ejemplo: ¿Son ED exactas?
y '+2 y = x + 2 x
2
f1 ( x) g1 ( y )dx + f 2 ( x) g 2 ( y )dy = 0
( x 3 + xy )dx + ( x 2 y + y 3 )dy = 0
Propedeutico