![UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS- ESPE
ANTENAS
DEBER
Nombre: Lara Guatemal Juan
Demostración del dipolo en el eje X
Vector potencial magnético
𝐴̂ =
𝜇0
4𝜋𝑟
𝑒−𝑗𝛽0 𝑟
∫ 𝐼̂
𝑙
2
−
𝑙
2
𝑑𝑦′𝑖̂
𝐴̂ =
𝜇0
4𝜋𝑟
𝑒−𝑗𝛽0 𝑟
𝐼̂ 𝑑𝑙𝑖̂
Sabiendo que:
𝑥̂ = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑟̂ + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝜃̂ − 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝜑̂
Entonces obtenemos la siguiente expresión:
𝐴⃗ =
𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟
4𝜋𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑟̂ +
𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟
4𝜋𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝜃̂ −
𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟
4𝜋𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝜑̂
𝐴𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟
4𝜋𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝐴 𝜃
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟
4𝜋𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑
𝐴 𝜑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −
𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟
4𝜋𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝜑̂
El vector Intensidad de campo magnético esta dado por:
𝐻⃗⃗⃗ =
1
𝜇 𝑜
𝛻𝑥𝐴⃗
𝐻𝑟 =
1
𝜇 𝑜 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
[
𝜕
𝜕𝜃
(𝐴 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜃) −
𝜕
𝜕𝜑
𝐴 𝜃 ]](https://image.slidesharecdn.com/demostracionejex-140803163231-phpapp01/85/Demostracion-eje-x-1-320.jpg)
![𝐻𝑟 =
1
𝜇 𝑜 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
[(−
𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜃) + (
𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟
𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜃)]
𝐻𝑟 = 0
𝐻 𝜃 =
1
𝜇 𝑜 𝑟
[(
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
∗
𝜕
𝜕𝜑
𝐴 𝑟) − (
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴 𝜑)]
𝐻 𝜃 =
1
𝜇 𝑜 𝑟
[(−
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
∗
𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑) − 𝑗𝛽 𝑜 (
𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜑)]
𝐻 𝜃 = −
𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜑 (
1
𝑟
+ 𝑗𝛽 𝑜) = −
𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟2
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜑 (1 + 𝑗𝛽 𝑜 𝑟)
𝐻 𝜑 =
1
𝜇 𝑜 𝑟
[
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴 𝜃 −
𝜕
𝜕𝜃
𝐴 𝑟]
𝐻 𝜑 =
1
𝜇 𝑜 𝑟
[𝑗𝛽 𝑜 (
𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑) − (
𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑)]
𝐻 𝜑 =
𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 (𝑗𝛽 𝑜 −
1
𝑟
) =
𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟2
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ( 𝑗𝛽 𝑜 𝑟 − 1)
Con la ayuda de la primera ecuación de Maxwell el campo eléctrico esta dado por:
𝐸⃗⃗ =
1
𝑗𝑤𝜀 𝑜
𝛻𝑥𝐻⃗⃗⃗
𝐸𝑟 = 0
𝐸 𝜃 =
1
𝑗𝑤𝜀 𝑜 𝑟
[
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
∗
𝜕
𝜕𝜑
𝐻𝑟 −
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐻 𝜑]
𝐸 𝜃 =
1
𝑗𝑤𝜀 𝑜 𝑟
[
𝜕
𝜕𝑟
𝑟(
𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟
∗ 𝐼⃗ ∗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟2
𝑐𝑜𝑠 𝜃) (𝑐𝑜𝑠 𝜑 ( 𝑗𝛽 𝑜 𝑟 − 1))]
𝐻⃗⃗⃗ = −
𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟2 sen 𝜑(1 + 𝑗𝛽𝑜 𝑟) 𝑎 𝜃⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙
4𝜋𝑟2 cos 𝜃 cos 𝜑 ( 𝑗𝛽𝑜 𝑟 − 1) 𝑎 𝜑⃗⃗⃗⃗⃗⃗](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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Demostracion eje x
- 1. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS- ESPE ANTENAS DEBER Nombre: Lara Guatemal Juan Demostración del dipolo en el eje X Vector potencial magnético 𝐴̂ = 𝜇0 4𝜋𝑟 𝑒−𝑗𝛽0 𝑟 ∫ 𝐼̂ 𝑙 2 − 𝑙 2 𝑑𝑦′𝑖̂ 𝐴̂ = 𝜇0 4𝜋𝑟 𝑒−𝑗𝛽0 𝑟 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑖̂ Sabiendo que: 𝑥̂ = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑟̂ + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝜃̂ − 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝜑̂ Entonces obtenemos la siguiente expresión: 𝐴⃗ = 𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟 4𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑟̂ + 𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟 4𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝜃̂ − 𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟 4𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝜑̂ 𝐴𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟 4𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝐴 𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟 4𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝐴 𝜑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝜇0 𝐼̂ 𝑑𝑙𝑒−𝑗𝛽0 𝑟 4𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝜑̂ El vector Intensidad de campo magnético esta dado por: 𝐻⃗⃗⃗ = 1 𝜇 𝑜 𝛻𝑥𝐴⃗ 𝐻𝑟 = 1 𝜇 𝑜 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 [ 𝜕 𝜕𝜃 (𝐴 𝜑 𝑠𝑒𝑛 𝜃) − 𝜕 𝜕𝜑 𝐴 𝜃 ]
- 2. 𝐻𝑟 = 1 𝜇 𝑜 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 [(− 𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜃) + ( 𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜃)] 𝐻𝑟 = 0 𝐻 𝜃 = 1 𝜇 𝑜 𝑟 [( 1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∗ 𝜕 𝜕𝜑 𝐴 𝑟) − ( 𝜕 𝜕𝑟 𝑟𝐴 𝜑)] 𝐻 𝜃 = 1 𝜇 𝑜 𝑟 [(− 1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∗ 𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑) − 𝑗𝛽 𝑜 ( 𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑)] 𝐻 𝜃 = − 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜑 ( 1 𝑟 + 𝑗𝛽 𝑜) = − 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟2 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜑 (1 + 𝑗𝛽 𝑜 𝑟) 𝐻 𝜑 = 1 𝜇 𝑜 𝑟 [ 𝜕 𝜕𝑟 𝑟𝐴 𝜃 − 𝜕 𝜕𝜃 𝐴 𝑟] 𝐻 𝜑 = 1 𝜇 𝑜 𝑟 [𝑗𝛽 𝑜 ( 𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑) − ( 𝜇 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑)] 𝐻 𝜑 = 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 (𝑗𝛽 𝑜 − 1 𝑟 ) = 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ( 𝑗𝛽 𝑜 𝑟 − 1) Con la ayuda de la primera ecuación de Maxwell el campo eléctrico esta dado por: 𝐸⃗⃗ = 1 𝑗𝑤𝜀 𝑜 𝛻𝑥𝐻⃗⃗⃗ 𝐸𝑟 = 0 𝐸 𝜃 = 1 𝑗𝑤𝜀 𝑜 𝑟 [ 1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∗ 𝜕 𝜕𝜑 𝐻𝑟 − 𝜕 𝜕𝑟 𝑟𝐻 𝜑] 𝐸 𝜃 = 1 𝑗𝑤𝜀 𝑜 𝑟 [ 𝜕 𝜕𝑟 𝑟( 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 ∗ 𝐼⃗ ∗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃) (𝑐𝑜𝑠 𝜑 ( 𝑗𝛽 𝑜 𝑟 − 1))] 𝐻⃗⃗⃗ = − 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟2 sen 𝜑(1 + 𝑗𝛽𝑜 𝑟) 𝑎 𝜃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟2 cos 𝜃 cos 𝜑 ( 𝑗𝛽𝑜 𝑟 − 1) 𝑎 𝜑⃗⃗⃗⃗⃗⃗
- 3. 𝐸 𝜃 = 1 𝑗𝑤𝜀 𝑜 𝑟 [( 𝑗𝛽 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙4𝜋𝑟 + 4𝜋𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ ∗ 𝑑𝑙 (4𝜋𝑟)2 )( 𝑗𝛽 𝑜 𝑟 − 1) − 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟 𝑗𝛽 𝑜] 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝐸 𝜃 = 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 𝑗𝑤𝜀 𝑜4𝜋𝑟 [𝛽 𝑜 2 − 𝑗 𝛽 𝑜 𝑟 − 1 𝑟2 ] 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝐸 𝜑 = 1 𝑗𝑤𝜀 𝑜 𝑟 [ 𝜕 𝜕𝑟 𝑟𝐻 𝜃 − 𝜕 𝜕𝜃 𝐻𝑟] 𝐸 𝜑 = 1 𝑗𝑤𝜀 𝑜 𝑟 [ 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 (− 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟2 𝑠𝑖𝑛 𝜑 (1 + 𝑗𝛽 𝑜 𝑟))] 𝐸 𝜑 = 1 𝑗𝑤𝜀 𝑜 𝑟 [− ( 𝑗𝛽 𝑜 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙4𝜋𝑟 + 4𝜋𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 (4𝜋𝑟)2 )(1 + 𝑗𝛽 𝑜 𝑟) + ( 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ ∗ 𝑑𝑙 4𝜋𝑟 ) 𝑗𝛽 𝑜] 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝐸 𝜑 = 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 𝑗𝑤𝜀 𝑜4𝜋𝑟 [ −𝑗𝛽 𝑜 𝑟 − 1 + 𝛽 𝑜 2 𝑟2 − 𝑗𝛽 𝑜 𝑟 + 𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝑟 ] 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝐸 𝜑 = 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 𝑗𝑤𝜀 𝑜4𝜋𝑟 [𝛽 𝑜 2 − 𝑗 𝛽 𝑜 𝑟 − 1 𝑟2 ] 𝑠𝑖𝑛 𝜑 El vector densidad media de potencia estará dado por: 𝑆𝐴𝑉 = 1 2 𝑅𝑒(𝐸⃗⃗ 𝑥 𝐻⃗⃗⃗∗ ) = 𝑍 𝑜|𝐻⃗⃗⃗| 2 2 𝑟⃗ = |𝐸⃗⃗| 2 2𝑍 𝑜 𝑟⃗ 𝑆𝐴𝑉 = 𝑍 𝑜 2 [( 𝐼⃗2 𝑑𝑙2 𝛽 𝑜 2 16𝜋2 𝑟2 𝑐𝑜𝑠2 𝜑) + ( 𝐼⃗2 𝑑𝑙2 𝛽 𝑜 2 16𝜋2 𝑟2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜑)] 𝑟⃗ 𝑆𝐴𝑉 = 𝑍 𝑜 𝐼⃗2 𝑎4 𝛽 𝑜 2 32𝑟2 [ 𝑐𝑜𝑠2 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 𝜑] 𝑟⃗ 𝐸⃗⃗ = 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 𝑗𝑤𝜀 𝑜4𝜋𝑟 [ 𝛽𝑜 2 − 𝑗 𝛽𝑜 𝑟 − 1 𝑟2 ][cos 𝜃 cos 𝜑] 𝑎 𝜃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑒−𝑗𝛽 𝑜 𝑟 𝐼⃗ 𝑑𝑙 𝑗𝑤𝜀 𝑜4𝜋𝑟 [ 𝛽𝑜 2 − 𝑗 𝛽𝑜 𝑟 − 1 𝑟2 ] sin 𝜑 𝑎 𝜑⃗⃗⃗⃗⃗⃗
- 4. Bibliografia: Antenas, Angel Cardama segunda edición