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PRESENTACIÓN
Este trabajo de investigación constituye un aporte del autor hacia la
comunidad de estudiantes y demás interesados, en especial a los que necesitan
alcances de cómo resolver inecuaciones trigonométricas, ojalá y, fuera posible,
sea acogido por los estudiantes de distintas partes del mundo. En este texto se
podrá encontrar los aspectos teóricos básicos que se tienen en cuenta en la
resolución de inecuaciones trigonométricas.
Este trabajo modesto busca llenar el vacío que existe en la falta de bibliografía
bien ilustrada referente a la resolución de inecuaciones trigonométricas, pues es
muy escasa la bibliografía a este respecto.
El proceso de resolución para cada inecuación ha sido el más claro posible,
porque se busca que el lector no encuentre mayores dificultades durante la
resolución de una inecuación trigonométrica.
Como cualquier esfuerzo humano, este trabajo es perfectible, pues, es
probable que tenga algunas deficiencias; sin embargo se espera que éstas sean
resueltas con las valiosas contribuciones que, en su contundente interés,
demuestren los dignos lectores.

Ingº M.Sc. Juan Julca Novoa
AUTOR

1
CAPÍTULO 1
Objetivo formativo capítulo 1
Aprender cuestiones previas de nivel teórico que son necesarios tener en cuenta
para la resolución de inecuaciones trigonométricas
Título Capítulo 1: Cuestiones previas a la resolución de inecuaciones
trigonométricas
Contenido Capítulo 1
CAPÍTULO I: CUESTIONES PREVIAS A LA RESOLUCIÓNDE
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o
más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el
ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método
general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un
procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en
transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las
funciones que aparecen allí en una sola función (en lo posible, es recomendable
pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de
una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de
ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte
trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un
ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
Cabe indicar que en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido
a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo, puede ser
al caso en que resulte un cosx = 2, que obviamente se debe descartar, pues el
rango del coseno se limita al intervalo [-1, 1]. También, se debe verificar todas las
respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.
Además, luego de calculada la solución principal, se establecerá la solución
general de la ecuación trigonométrica, según corresponda.

2
Algunas fórmulas útiles de trigonometría

3
Expresiones del conjunto de arcos con un mismo valor para una de sus
funciones trigonométricas (Soluciones Generales)
Solución General para expresiones que provienen una función Seno o Cosecante
ó
x  180 º n  (1) n x p
x   n  (1) n x p
Solución General para expresiones que provienen una función Coseno o Secante
x  360 º n  x p

x  2 n  x p

ó

Solución General para expresiones que provienen una función Tangente o
Cotangente
x  180 º n  x p

x   n  xp

o

Ejercicios Resueltos
1) Resolver: 4sen 2 x . tan x  4sen 2 x  3 tan x  3  0
Resolución

Como x=45º que resulta de Tanx  1 proviene de una función Tangente, entonces la
primera solución general es:
x  180 º n  45º

ó

x  n



4


3
Como x=60º  que resulta de Senx   proviene de una función Seno, entonces la




2 

primera solución general es:
ó
x  180 º n  (1) n 60º

x   n  (1) n



Como x=120º  que resulta de Senx  





3
 proviene de una función Seno, entonces la
2 


primera solución general es:
x  180 º n  (1) n 120 º

ó

3

x   n  (1) n

4

2
3
Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:



2


C.S .   x  R / x   n   x   n  (1) n  x   n  (1) n
, n  Z
4
3
3



2) Resolver: csc x  cot x  3
Resolución

1
Como x=60º  que resulta de Cosx   proviene de una función Coseno, entonces la




2

solución general es:
x  360 º n  60 º

ó

x  2 n 


3

Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:



C.S .   x  R / x  2 n  , n  Z 
3



5
3) Resolver: 4 cos 2 x  3 cos x  1
Resolución

5
x  arcCos  
8
5
Como x  arcCos    que resulta de Cosx 
  
8 

5
 proviene de una función Coseno,
8

entonces la solución general es:
5
x  360 º n  arcCos  
8

5
8

 . arcCos  

ó

x  2 n 

180

Como x=180º que resulta de Cosx  1 proviene de una función Coseno, entonces la
solución general es:
x  2 n  2
x  360 º n  180 º
ó

Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:


5
 . arcCos  



 8   x  2 n  2 , n  Z 
C.S .   x  R / x  2 n 

180







6
CAPÍTULO 2
Objetivo formativo capítulo 2
Resolver ejercicios preliminares de afianzamiento previos a la resolución de
inecuaciones trigonométricas.
Título Capítulo 2: Ejercicios preliminares de afianzamiento para resolver
inecuaciones trigonométricas
Contenido Capítulo 2
CAPÍTULO 2: EJERCICIOS PRELIMINARES DE AFIANZAMIENTO PARA
RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
a
b

1) ¿ A qué funciones puede representar la expresión 

b
a

, si a  b  0 ?

Resolución
Como a  b  0 
a  ( )

a0

y que

y b  0 , es decir que:

b  ()

----------------------------------------------(1)

en base a esto, se tiene:
Si

ab



a
1
b

, pero

a
es ( )
b

----------------------------(2)

Si

ab



1

b
a

, pero

b
es ( )
a

-----------------------------(3)

De (1), (2) y (3), se deduce que:
a b
 1
b a

----------------------------------------------------(4)

Analizando, se observa que las funciones trigonométricas que
pueden tomar valores mayores que 1 son la Tangente, Cotangente,
Secante y Cosecante.
Luego la respuesta es:

la expresión

a b

b a

, si a  b  0 puede representar a

las funciones trigonométricas Tangente, Cotangente, Secante y
Cosecante.
7
2) ¿En qué cuadrantes se cumple que Senx . Cosx  tgx ?
Resolución
Para visualizar objetivamente, se trazan las gráficas por cuadrantes:

8
En el Cuadrante I se observa que
equivale
a
Senx . Cosx  tgx
(decimal ()menor que 1).(decimal ()menor que 1)  (decimal ()) , de modo que el
producto Senx . Cosx es (+) pero más pequeño que tgx que también es
(+) debido al criterio de comparación de números decimales
positivos.
Conclusión: No se cumple Senx . Cosx  tgx
En el Cuadrante II se observa que
Senx . Cosx  tgx
equivale
a
(decimal ()menor que 1).(decimal ()menor que 1)  (decimal ()) , de modo que el
producto Senx . Cosx es (-) pero más grande que tgx que también es

(-) debido al criterio de comparación de números negativos.
Conclusión: Se cumple Senx . Cosx  tgx

En el Cuadrante III se observa que
Senx . Cosx  tgx
equivale
(decimal ()menor que 0).(decimal ()menor que 1)  (decimal ()) , de
producto Senx . Cosx es (-) y tgx es (+).

a
modo que el

Conclusión: No se cumple Senx . Cosx  tgx

En el Cuadrante IV se observa que
Senx . Cosx  tgx
equivale
a
(decimal ()menor que 0).(decimal ()menor que 1)  (decimal ()) , de modo que el
producto Senx . Cosx es (-) pero más grande que tgx que también es

(-) debido al criterio de comparación de números negativos.
Conclusión: Se cumple Senx . Cosx  tgx
La respuesta es:
La expresión Senx . Cosx  tgx se cumple en los cuadrantes II y IV.
9
Cos x  1
 0,
tg x

3) Resolver:

si x  0 , 2 
Resolución

Para resolver esta inecuación bastará con analizar el comportamiento
de las expresiones según los cuadrantes del círculo trigonométrico.
Cos x  1
0
tg x



Cos x  1  0

Cos x  1  ()

Es decir que:



tg x  0
tg x  ()

y que

Nótese que Cos x  1  () si Cos x  ()
¶
2

¶

¶

¶

Se observa el círculo trigonométrico y se deduce que:
Cos x  ()
tg x  () el cuadrante II,
y
es decir cuando x 


2

,

Además, también se observa que Cos x  1  () , es decir que Cos x  () pero
Cos x  1

(por extensión del coseno) y que tg x  () precisamente en

el cuadrante IV. Es decir cuando x 
Luego el conjunto solución es:

3
, 2
2



C.S .   x  R /
x 
2


10



3

 x  2 
2

CAPÍTULO 3
Objetivo formativo capítulo 3
Aprender a resolver inecuaciones trigonométricas
Título Capítulo 3: Resolución de inecuaciones trigonométricas
Contenido Capítulo 3

CAPÍTULO 3: RESOLUCIÓN DE INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
ALGUNOS CRITERIOS QUE SE DEBEN CONSIDERAR PARA
RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
A manera de establecer un criterio claro para el proceso de
resolución de cualquier inecuación trigonométrica, el autor considera
lo siguiente:
1) Ordenar, acomodar y/o resolver la inecuación de modo que se
observe una última inecuación más elaborada en la que se pueda
apreciar la presencia de dos funciones (una trigonométrica y la
otra una función elemental conocida), en lo posible, claras y
graficables manualmente.
2) Las gráficas de las funciones deben estar superpuestas en el
mismo sistema coordenado cartesiano.
3) Establecer y/o calcular los puntos de intersección de las gráficas.
Éstos se obtienen usando la solución general de la ecuación que
resulta de igualar las funciones graficables (dicha solución ya
comprende la solución principal de dicha ecuación).
4) A partir de los puntos de intersección de las gráficas, establecer
la(s) región(es) (o mejor dicho el(los) intervalo(s)) principal(es)
que cumplan con la última inecuación indicada en el criterio 1).
Dicho(s) intervalo(s) representan la(s) solución(es) principal(es)
de la inecuación propuesta.
5)

A partir de la solución principal de la inecuación, teniendo en
cuenta el período de la función trigonométrica presente en la
última inecuación indicada en el criterio 1) se indica la solución
general de la inecuación original (también puede utilizarse el
conjunto solución general de todos los arcos que contienen a
dicha función trigonométrica).

11
Ejercicios Resueltos
1) Resolver:

Senx 

1
0
2

Resolución
Senx 

1
0
2



Senx

1
2

--------------------------------------------(1)
y2 

Considérese: y1  Senx

1
2

Gráfica conjunta de y1 con y 2
fig.(*)
¶

Para intersecar y1 con y 2 , se tiene:
Senx 

1
2



x

--------------------------------------------------------------(2)

6

--------------------------------------------------------------(3)

La expresión (3) es la solución principal de la ecuación dada en (2).
La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una
expresión Seno, es:

12

25¶/6

17¶/6

13¶/6

(pa r a K = 1 )

5¶/6

¶

¶/6

(pa r a K = -1 )

-7¶/6

-11¶/6

¶

(pa r a K = 2 )
 
x  n  (1) n   ---------------------------------------------------------(4)
6

Haciendo n  1 en (4), se obtiene:
 5
 
x   (1)  (1)1      
6
6
6



x

5
6

---------------------------(5)

La expresión (5) representa el otro punto de intersección del
intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (*).
De la gráfica dada en la fig. (*) y de lo que se ha obtenido en (4) y
(5), se establece que la solución principal de la inecuación Senx 

6

x

5
6

1
2

es

---------------------------------------------(6)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período
generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3, 
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación Senx 

1
2

1
2

, o lo que es lo mismo, de la inecuación Senx   0

se obtiene sumando el período generalizado, así:

6

 2k  x 

5
 2k , k  0,  1,  2,  3, 
6

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:

5


C.S .   x  R /  2k  x 
 2k , k  0,  1,  2,  3, 
6
6



O también:

5


C.S .   x  R /  2k  x 
 2k , k  Z 
6
6



1
3

2)Resolver: Cosx   0
Resolución
13
Cosx 

1
0
3



Cosx  

1
3

--------------------------------------------(1)
y2 

Considérese: y1  Cosx

1
3

Gráfica conjunta de y1 con y 2
fig.(**)

¶

(para K= -1)

(para K=1)
¶

(para K=2)

Para intersecar y1 con y 2 , se tiene:
Cosx  



1
3

-------------------------------------------------------------------(2)

1
x  arcCos ( )
3

----------------------------------------------------------- (3)

O también, como Coseno es función par, se tiene que:
1
x   arcCos ( )
3

----------------------------------------------------------------(4)

La expresión (4) es la solución principal de la ecuación dada en (2).

La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una
expresión Coseno, es:
14

4¶-arcCos(1/3)

arcCos(1/3)

¶

(para K=1)
2¶+arcCos(1/3)

¶
2¶-arcCos(1/3)

(para K= -1)

-arcCos(1/3)

-2¶-arcCos(1/3)

-2¶+arcCos(1/3)

¶
1
x  2n  arcCos   ---------------------------------------------------------- (5)
3

De modo que el intervalo que representa la solución principal de la
inecuación Cosx  

1
3

y que se ha identificado en la gráfica dada en la

fig. (**) es:
1
1
 arcCos    x  arcCos  
 3
 3

---------------------------------------------(6)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período
generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3, 
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación Cosx  
Cosx 

1
0
3

1
3

, o lo que es lo mismo, de la inecuación

se obtiene sumando el período generalizado, así:

1
1
 arcCos    2k  x  arcCos    2k , k  0,  1,  2,  3, 
 3
 3

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:


1
1
C.S .   x  R /  arcCos    2k  x  arcCos    2k , k  0,  1,  2,  3,  
 3
 3



O también:


1
1
C.S .   x  R /  arcCos    2k  x  arcCos    2k , k  Z 
 3
 3



15
3) Resolver la inecuación: 8 tgx  1  0
Resolución
8 tgx  1  0



Pero tgx 

1
8

tgx 

1
8

---------------------------------------------(1)
1
8

implica   tgx 

1
8

y2 

Considérese: y1  tgx

---------------------------------(2)

1
8

Gráfica conjunta de y1 con y 2
fig.(α)

¶
¶ para k= -1

¶ para k=1

para k= -2

¶

Para intersecar y1 con y 2 , se tiene:
16

para k=2

2¶+arctg(1/8)

¶ para k=1

2¶-arctg(1/8)

¶+arctg(1/8)

¶-arctg(1/8)

arctg(1/8)

-arctg(1/8)

-¶+arctg(1/8)

¶

¶ para k= -1

5¶/2

3¶/2

¶/2

-¶/2
-¶-arctg(1/8)

-2¶+arctg(1/8)

-3¶/2

para k=2
tgx 



1
8

----------------------------------------------------------- -----(3)

1
x   arctg ( )
8

----------------------------------------------------------(4)

La expresión (4) es la solución principal de la ecuación dada en (3).
La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una
expresión tangente, es:
1
x  n  arctg   ---------------------------------------------------- --------(5)
8

Nótese que el signo  en la expresión (5) se debe al valor absoluto
presente en la ecuación dada en (3), es decir, éste implica dos
soluciones.
De modo que el intervalo que representa la solución principal de la
1
inecuación tgx  y que se ha identificado en la gráfica dada en la
8

fig. (α) es:
 1
1
arctg     x  arctg  
 8
8

-----------------------------------------------(6)

O También como la función arcotangente es impar entonces la
expresión dada en (6) es equivalente a:
1
1
 arctg    x  arctg  
8
8

---------------------------------------------(7)

Como el período de la función Tangente es  , entonces el período
generalizado será k donde k  0,  1,  2,  3, 
17
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación tgx 

1
8

, o lo que es lo mismo, de la inecuación 8 tgx  1  0

se obtiene sumando el período generalizado, así:

1
1
 arctg    k  x  arctg    k , k  0,  1,  2,  3, 
8
8

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:


1
1
C.S .   x  R /  arctg    k  x  arctg    k , k  0,  1,  2,  3,  
8
8



O también:


1
1
C.S .   x  R /  arctg    k  x  arctg    k , k  Z 
8
8



4) Resolver la inecuación: Senx  Cosx
Resolución
Senx  Cosx 

Como Sen

Cos


4


4

Senx  Cosx  0

 Cos

Senx  Sen


4


4



1
2

Cosx  0



1
1
 1 
Senx 
Cosx  
0
2
2
 2

------(1)

, entonces la expresión (1) queda así:




Sen x    0 -----------------------(2)
4




Sea q  x  , entonces la inecuación (2) queda así:
4

Sen q  0

--------------------------------------------------------- (3)

18
Considérese: y1  Sen q

y2  0

Gráfica conjunta de y1 con y 2
fig.(β)
¶
¶

-2¶

(pa r a K = -1 )

¶

(pa r a K = 1)

0

-¶

¶

(pa r a K = 2)

2¶

¶

(pa r a K = -1)

¶

3¶

(pa r a K = 1)

Para intersecar y1 con y 2 , se tiene:
Sen q  0

-----------------------------------------------------------(4)



-----------------------------------------------------------(5)

q0

La expresión (5) es la solución principal de la ecuación dada en (4).
La solución general para la ecuación (4), cuyo arco proviene de una
expresión Seno, es:
q  n  (1) n 0 

q  n ----------------------------------------(6)

Haciendo n  1 en (4), se obtiene:
q   (1)  



q 

----------------------------------------(7)

La expresión (7) representa el otro punto de intersección del
intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (β).

19

4¶
De la gráfica dada en la fig. (β) y de lo que se ha obtenido en (5) y
(7), se establece que la solución principal de la inecuación
Sen q  0 es
0q

-------------------------------------------(8)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período
generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3, 
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación Sen q  0 se obtiene sumando el período generalizado, así:
0  2k  q    2k , k  0,  1,  2,  3, 



2k  q    2k , k  0,  1,  2,  3, 

-----------------------------(9)



Reemplazando q  x  , hecho anteriormente, en (9):
4

2k  x 

 2k 
 2k 


4


4


4

   2k , k  0,  1,  2,  3, 

x

x


4




4

 


4

 2k ,

k  0,  1,  2,  3, 

5
 2k , k  0,  1,  2,  3, 
4

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta Senx  Cosx
es:

5


C.S .   x  R / 2k   x 
 2k , k  0,  1,  2,  3, 
4
4



O también:

5


C.S .   x  R / 2k   x 
 2k , k  Z 
4
4



20
5) Resolver: 5  2Cos 2 x  3 2Senx  1
Resolución
Como Cos 2 x  1  2Sen 2 x entonces la inecuación propuesta queda así:
5  2(1  2Sen 2 x)  3 2Senx  1



7  4Sen2 x  3 2Senx  1 ---------------(1)

Sea: q  Senx , entonces la expresión (1) queda así:
7  4q 2  3 2q  1

---------------------------------------------------(2)


Hallando punto crítico: 2q  1  0
para q 

1
2

a) Para

1
q
2

q

1
,
2

luego debe analizarse

1
q
2




0  2q  1



2q  1  2q  1

--------------------(3)

reemplazando (3) en (2), se tiene:
7  4q 2  32q  1 


0  2q 2  3q  5

 q

5
2

 1 q

7  4q 2  6q  3 



0  (2q  5)( q  1) ,

0  4q 2  6q  10

entonces:

---------------------------------------------------(4)

21
Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en (4) con la
condición a), se tiene:
5

q  
2



 1  q 


b) Para q 

1

2

1
q
2



2q  1  0



S1  q  [ 1 ,   --------------------(5)

2q  1  1  2q

--------------------(6)

reemplazando (6) en (2), se tiene:
7  4q 2  31  2q  




7  4q 2  3  6q

0  2q 2  3q  2 

q

1
2



2q



0  4q 2  6q  4

0  (2q  1)( q  2)

------------------------------------------------(7)

Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en (4) con la
condición a), se tiene:
1

q  
2




1

2  q  q 
2




S2  q    , 

1
2

----------------(8)

Luego, el conjunto solución para y que resulta de reunir el resultado
obtenido en (5) con el resultado obtenido en (8), es:
C. S .  q    , 

1
1
 1  q ----------------------(9)
[1,    q  
2
2

De este conjunto solución obtenido en (9), analizamos cada
componente.
22
i) Para q  

1
2

Como antes de la expresión (2) se hizo q  Senx , se tiene:
q

1
2



Senx  

1
2
y2  

Considérese: y1  Senx

1
2

Gráfica conjunta de y1 con y 2
fig.(¥)
¶

0

¶

(pa r a K = -1 )

¶

(pa r a K = 1 )
¶

(pa r a K = 2 )

Para intersecar y1 con y 2 , se tiene:
Senx  



1
2

x

-------------------------------------------------------------(10)

6

----------------------------------------------------------- (11)

La expresión (11) es la solución principal de la ecuación dada en
(10).
23

23¶/6

-¶/6

19¶/6

(pa r a K = 1 )

11¶/6

¶

7¶/6

(pa r a K = -1 )

-5¶/6

-13¶/6

-17¶/6

¶

(pa r a K = 2 )
La solución general para la ecuación (10), cuyo arco proviene de una
expresión Seno, es:
 
x  n  (1) n    ---------------------------------------------------------- (12)
 6

Haciendo n  1 en (4), se obtiene:

5
 
x   (1)  (1)1        
6
6
 6



x

5
6

---------------------(13)

La expresión (13) representa el otro punto de intersección del
intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (¥).
De la gráfica dada en la fig. (¥) y de lo que se ha obtenido en (11) y
(13), se establece que la solución principal de la inecuación Senx  

1
2

es:


5

x
6
6

---------------------------------------------(14)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período
generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3, 
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
1
inecuación Senx   , se obtiene sumando el período generalizado, así:
2



5

 2k  x    2k , k  0,  1,  2,  3, 
6
6

lego, el Conjunto Solución de la inecuación Senx  

1
2

es:

5



C.S .   x  R / 
 2k  x    2k , k  0,  1,  2,  3, 
6
6



O también:
5



C.S .(1)   x  R / 
 2k  x    2k , k  Z  ---------------------------(15)
6
6



24
ii) Para 1  q
Como antes de la expresión (2) se hizo q  Senx , se tiene:
1 q



1  Senx

Es decir que del proceso de resolución resulta : 1  Senx ----(*)
Del rango de la función seno se tiene:  1  Senx  1 ------------(**)
De modo que intersecando (*) y (**) resulta:

Senx  1

-------------------------------------------------(16)

La expresión (16) es una ecuación, cuya solución principal es:
x


2

La solución general para la ecuación (16), a fin de que se acople al
conjunto solución obtenido en (15) se obtendrá sumando el período
generalizado de la función Seno, así:

x


2

 2k

,

k  0,  1,  2,  3, 

Luego el conjunto solución de dicha ecuación dada en (16) es



C.S .( 2)   x  R / x   2k , k  0,  1,  2,  3, 
2



O lo que es lo mismo:



C.S .( 2)   x  R / x   2k , k  Z  -----------------------------------(17)
2



25
Finalmente,

el

conjunto
solución
de
la
inecuación
5  2Cos 2 x  3 2Senx  1 , será la reunión de los resultados obtenidos en
(15) y (17), así:
5



 

C.S .  C.S .(1)  C.S .( 2)   x  R / 
 2k  x    2k , k  Z    x  R / x   2k , k  Z 
6
6
2

 


es decir:
5


C.S .   x  R / 
 2k  x    2k
6
6




xR / x 




 2k , k  Z 
2


6) Resolver: 2Cos 2 x  2Senx  1  0
Resolución
2Cos 2 x  2Senx  1  0





2(1  2Sen2 x)  2Senx 1  0

2  4Sen2 x  2Senx 1  0 



4Sen2 x  2Senx 1  0

Sea:

Senx  q

 4Sen2 x  2Senx 1  0

--------------------------------------------(1)
---------------------------------------------(2)

Reemplazando (2) en (1), se tiene:
4q 2  2q  1  0

----------------------------------------------(3)

Los puntos críticos de la inecuación dada en (3) son:

q

 2  2 2  4(4)( 1)  1  5

2(4)
4

26
de lo que resulta que:

q

 5 1
4

5 1
q
4



--------------------(4)

Revirtiendo el cambio hecho en (2): Senx  q

Entonces, (4) queda así:
Senx 

 5 1
4

i) Resolviendo Senx 



5 1
 Senx
4

 5 1
4

Considérese: y1  Senx

y2 

27

 5 1
4

-----------------------(5)
Gráfica conjunta de y1 con y 2
fig.(Ω)
¶

¶

¶

(para K= -1)

(pa r a K = -1 )

¶

¶

(para K=1)

(pa r a K = 1 )
¶

(pa r a K = 2 )

Para intersecar y1 con y 2 , se tiene:
Senx 

 5 1
4

-------------------------------------------------------(6)



x

 3
10

-----------------------------------------------------------(7)

La expresión (7) es la solución principal de la ecuación dada en (6).
La solución general para la ecuación (6), cuyo arco proviene de una
expresión Seno, es:
  3 
x  n  (1) n 
 ------------------------------------------------------(8)
 10 

Haciendo n  1 en (4), se obtiene:
3
7
 3 
x   (1)  (1) 1  

   
10
10
 10 



x

7
10

---------------(9)

La expresión (9) representa el otro punto de intersección del
intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω).
28

41¶/10

23¶/6

33¶/10

(pa r a K = 1 )

29¶/10

17¶/10

13¶/10

¶/10

-3¶/10

-7¶/10

¶

(pa r a K = -1 )

0

-23¶/10

-27¶/10

-19¶/10

-11¶/10

¶

(pa r a K = 1 )

21¶/10

¶

(pa r a K = -1 )

9¶/10

¶

(pa r a K = 2 )
De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en (7) y
(9), se establece que la solución principal de la inecuación
Senx 

 5 1
4

es:


7
3
x 
10
10

-------------------------------------(10)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período
generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3, 
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación Senx 

 5 1
,
4

se obtiene sumando el período generalizado,

así:
2k 

7
3
 x  2k 
10
10

, k  0,  1,  2,  3, 

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación Senx 

 5 1
4

es:

7
3


C.S .(1)   x  R / 2k 
 x  2k 
, k  0,  1,  2,  3, 
10
10



O también:
7
3


C.S .(1)   x  R / 2k 
 x  2k 
, k  Z
10
10



ii) Resolviendo

--------------------------(11)

5 1
 Senx
4

Considérese: y1  Senx

y3 

5 1
4

Obsérvese la gráfica conjunta de y1 con y3 en la pág. Anterior de la
fig.(Ω)

Para intersecar y1 con y3 , se tiene:
29
Senx 



5 1
4

x

------------------------------------------------------- (12)


--------------------------------------------------- --------(13)
10

La expresión (13) es la solución principal de la ecuación dada en
(12). La solución general para la ecuación (12), cuyo arco proviene
de una expresión Seno, es:
 
x  n  (1) n   ------------------------------------------------------(14)
 10 

Haciendo n  1 en (14), se obtiene:
 9
 
x   (1)  (1)1     

10 10
 10 

x



9
10

--------------------(15)

La expresión (15) representa el otro punto de intersección del
intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω).
De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en (13) y
(15), se establece que la solución principal de la inecuación
5 1
 Senx
4

es:

10

x

9
10

-------------------------------------(16)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período
generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3, 
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación

5 1
 Senx ,
4

se obtiene sumando el período generalizado,

así:
2k 


10

 x  2k 

9
10

, k  0,  1,  2,  3, 

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación

30

5 1
 Senx
4

es:

9


C.S .( 2)   x  R / 2k 
 x  2k 
, k  0,  1,  2,  3, 
10
10



O también:

9


C.S .( 2)   x  R / 2k 
 x  2k 
, k  Z
10
10



--------------------------(17)

El conjunto solución de la inecuación 2Cos 2 x  2Senx  1  0 , se obtiene
de reunir los resultados obtenidos en (11) y (17), así:
7
3

C.S .  C.S . (1)  C.S . ( 2)   x  R / 2k 
 x  2k 
10
10




2k 


10

 x  2k 

9

, k  Z
10


Es decir que el conjunto solución buscado es:
7
3

C.S .   x  R / 2k 
 x  2k 
10
10




2k 


10

 x  2k 

9

, k Z
10


7) Resolver: Log 2Cosx 1  2Cos 2 x  1
3

Resolución
Log 2Cosx 1  2Cos 2 x  1

-------------------------------------------------------- (1)

3

pero Cos 2 x  2Cos 2 x  1 , entonces la inecuación (1) se convierte en:
Log 2Cosx 1  2(2Cos 2 x  1)  1
3



Log 2Cosx 4Cos 2 x  1  1 -------------------(2)
3

En la inecuación (2) hágase el reemplazo Cosx  q -------------------(3)

Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
31
Log 2 q 4q 2  1  1

------------------------------------------------(4)

3

Se procede a encontrar el universo de la inecuación:
Condición dela raíz: 4q 2  1  0 ---------------------------------------------(5)
Condición del logaritmo 4q 2  1  0 -------------------------------------------------------(6)

De intersecar (5) y (6) resulta:


4q 2  1  0



q

1
2

q2 

1
0
4

1 
1

 q   q    0
2 
2




1
q
2



4q 2  1  0

------------------------------------------(7)

Condición de la base del logaritmo:
0

y que :

2q
3

2q
1
3





0q

q

----------------------------------(8)
3
2

-----------------------------------(9)

de intersecar (8) y (9) se tiene:
0q

3
2



3
 q
2

-----------------------------------(10)

32
Intersecando (7) con (10) se tiene que el universo de la inecuación
es:
1
3
q
2
2

3
 q
2



-----------------------------------(11)

La inecuación dada en (4) se resolverá en de acuerdo al universo
obtenido en (11):
i) Para

1
3
q
2
2

1
3
q
2
2



1
3
q
2
2



1 2q

1
3
3

Si

----------------------------------------------------------(A)
0  4q 2  1  2
1 2q

1
3
3

, es decir que la base del logaritmo es menor que 1, y

que 0  4q 2  1  2 , es decir que esta expresión es mayor que 0,
entonces se tendrá que:
Log 2 q 4q 2  1  1

4q 2  1 



3

Como q  0 

4q 2  1 

2q
3

2q
3



 2q 
4q 2  1  

 3

Hallando la intersección de (A)
parcial para q:
1
3
q
2
2





q

6
4



2



q

6
4

--------(B)

con (B), se obtiene la solución

6
3
q
4
2


6
3
6
3
q
q
S 1  q  R /
-------------------------------------------(C)
=
2
4
2  4


33
3
 q
2

ii) Para
3
 q
2



3
 q
2



Si 1 

2q
3

3
 q2
4



-----------------------------------------(D)

2  4q 2  1

1

2q
3

, es decir que la base del logaritmo es mayor que 1, y

que 2  4q 2  1 , es decir que esta expresión es mayor que 0 e
inclusive mayor que 1, entonces se tendrá que:
Log 2 q 4q 2  1  1

2q
 4q 2  1
3



3

Como q  0 

2

2q
 4q 2  1
3



 2q 

  4q 2  1 
 3

q2 

3
8

--------(E)

Intersecando (D) con (E) se tiene que:
3
 q2
4





q2 

3
8





S2  

Luego el conjunto solución para q será la reunión de las
soluciones parciales S1 con S 2 , así:

6
3
q
c.s.( q )  S1  S 2  q  R /

4
2 


6
3
6
3
q
q
c.s.( q )  q  R /
=
2
4
2  4


-----------------------------------------(F)

Reemplazando (3) en (F), es decir revirtiendo el cambio q  Cosx
se tiene:
6
3
q
4
2



6
3
 Cosx 

4
2

6
 Cosx
4

34

 Cosx 

3
2

------(G)
6
4

Sea: y1 

3
2

y3 

y 2  Cosx

Gráfica conjunta de y1 con y 2 y con

y3

fig. (µ)

(pa r a K = -1 )
(pa r a K = -1 )

¶
¶

(pa r a K = 1 )
(pa r a K = 1)
¶

(pa r a K = 2 )

Para intersecar y1 con y 2 , se tiene:
Cos x 



6
4

---------------------------------------------------------------(a)

 6

x  arcCos 
 4 



-----------------------------------------------------(b)

La expresión (b) es la solución principal de la ecuación dada en (a).
La solución general para la ecuación (a), cuyo arco proviene de una
expresión Coseno, es:
35

4¶-arcCos( 6 /4)

2¶+arcCos( 6 /4)

13¶/6

(pa r a K = 1 )

2¶-arcCos( 6 /4)

¶

¶/6

0

(pa r a K = 1 )

arcCos( 6 /4)

-arcCos( 6 /4)

-11¶/6

¶
¶

(pa r a K = -1 )

-2¶+arcCos( 6 /4)

-13¶/6

-2¶-arcCos( 6 /4)

¶

¶

11¶/6

(pa r a K = -1 )

-¶/6

¶
 6

x  2n  arcCos 
 4 



---------------------------------------------------- (c)

Haciendo n  0 en (c), se obtiene:
 6
 6



x  2 (0)  arcCos 
 4    arcCos  4 







 6

x   arcCos 
 4 



---------(d)

La expresión (d) indica los dos puntos de intersección identificados
en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada
en (a).

Para intersecar y 2 con y3 , se tiene:
Cos x 



3
2

x

---------------------------------------------------------------(e)


6

--------------------------------------------------------------- (f)

La expresión (f) es la solución principal de la ecuación dada en (e).
La solución general para la ecuación (e), cuyo arco proviene de una
expresión Coseno, es:
x  2n 



--------------------------------------------------------------(g)

6

Haciendo n  0 en (g), se obtiene:
x  2 (0) 


6




6



x


6

--------------------------------------(h)

La expresión (h) indica los dos puntos de intersección identificados
en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada
en (e).

36
De la gráfica dada en la fig. (µ) y de lo que se ha obtenido en (d) y
(h), se establece que las soluciones principales correspondientes a la
inecuación

6
3
 Cosx 
4
2

son:

 6


 arcCos 
 4  x 6



-------------------------------(*)


 6

 x  arcCos 
 4 
6





-------------------------------(**)

Como el período de la función Coseno es 2 , entonces el período
generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3, 
Observando la gráfica dada en la fig. (µ), es obvio que la solución
general para la inecuación

6
3
 Cosx 
4
2

se obtiene sumando el

período generalizado, así:
 6


2k  arcCos 
 4   x  2k  6



, k  0,  1,  2,  3,  ----------------------(*)


 6

 2k  x  arcCos 
 4   2k
6





, k  0,  1,  2,  3,  ----------------------(**)

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:


 6
 6







C.S .   x  R / 2k  arcCos 
 4   x  2k  6  6  2k  x  arcCos  4   2k , k  0,  1,  2,  3, 









O también:


 6
 6







C.S .   x  R / 2k  arcCos 
 4   x  2k  6  6  2k  x  arcCos  4   2k , k  Z 









37
LISTA DE REFERENCIAS Y MATERIAL DOCUMENTAL CONSULTADO

1) V. B., Lidski y otros, “Problemas de Matemáticas Elementales ”. Editorial MIR.
Moscú 1972.
2) Colección de Matemática y Ciencias, “Trigonometría Plana y Esférica e
Introducción al Cálculo”. Lumbreras Editores S.R.L. Lima. 2000.
3) M. W., Piotr y G. B., Ana, “Introducción a las Matemáticas Universitarias”.
Editorial McGraw-Hill Interamericana. 2002.
4) C. A., Raul “Trigonometría Teoría y Problemas ”. Editorial CUZCANO. Lima.
2005.
5) http://www.loseskakeados.com/joomla/component/option,com_docman/
task,cat_view/gid,289/dir,EDS/order,name/limit,5/limitstart,5/
consultado el 10 de marzo del 2009.
6) http://www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm
consultado el 22 de abril del 2009.

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Inecuaciones trigonometricas

  • 1. PRESENTACIÓN Este trabajo de investigación constituye un aporte del autor hacia la comunidad de estudiantes y demás interesados, en especial a los que necesitan alcances de cómo resolver inecuaciones trigonométricas, ojalá y, fuera posible, sea acogido por los estudiantes de distintas partes del mundo. En este texto se podrá encontrar los aspectos teóricos básicos que se tienen en cuenta en la resolución de inecuaciones trigonométricas. Este trabajo modesto busca llenar el vacío que existe en la falta de bibliografía bien ilustrada referente a la resolución de inecuaciones trigonométricas, pues es muy escasa la bibliografía a este respecto. El proceso de resolución para cada inecuación ha sido el más claro posible, porque se busca que el lector no encuentre mayores dificultades durante la resolución de una inecuación trigonométrica. Como cualquier esfuerzo humano, este trabajo es perfectible, pues, es probable que tenga algunas deficiencias; sin embargo se espera que éstas sean resueltas con las valiosas contribuciones que, en su contundente interés, demuestren los dignos lectores. Ingº M.Sc. Juan Julca Novoa AUTOR 1
  • 2. CAPÍTULO 1 Objetivo formativo capítulo 1 Aprender cuestiones previas de nivel teórico que son necesarios tener en cuenta para la resolución de inecuaciones trigonométricas Título Capítulo 1: Cuestiones previas a la resolución de inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo 1 CAPÍTULO I: CUESTIONES PREVIAS A LA RESOLUCIÓNDE INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (en lo posible, es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. Cabe indicar que en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo, puede ser al caso en que resulte un cosx = 2, que obviamente se debe descartar, pues el rango del coseno se limita al intervalo [-1, 1]. También, se debe verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original. Además, luego de calculada la solución principal, se establecerá la solución general de la ecuación trigonométrica, según corresponda. 2
  • 3. Algunas fórmulas útiles de trigonometría 3
  • 4. Expresiones del conjunto de arcos con un mismo valor para una de sus funciones trigonométricas (Soluciones Generales) Solución General para expresiones que provienen una función Seno o Cosecante ó x  180 º n  (1) n x p x   n  (1) n x p Solución General para expresiones que provienen una función Coseno o Secante x  360 º n  x p x  2 n  x p ó Solución General para expresiones que provienen una función Tangente o Cotangente x  180 º n  x p x   n  xp o Ejercicios Resueltos 1) Resolver: 4sen 2 x . tan x  4sen 2 x  3 tan x  3  0 Resolución Como x=45º que resulta de Tanx  1 proviene de una función Tangente, entonces la primera solución general es: x  180 º n  45º ó x  n  4  3 Como x=60º  que resulta de Senx   proviene de una función Seno, entonces la    2  primera solución general es: ó x  180 º n  (1) n 60º x   n  (1) n  Como x=120º  que resulta de Senx      3  proviene de una función Seno, entonces la 2   primera solución general es: x  180 º n  (1) n 120 º ó 3 x   n  (1) n 4 2 3
  • 5. Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:   2   C.S .   x  R / x   n   x   n  (1) n  x   n  (1) n , n  Z 4 3 3   2) Resolver: csc x  cot x  3 Resolución 1 Como x=60º  que resulta de Cosx   proviene de una función Coseno, entonces la    2 solución general es: x  360 º n  60 º ó x  2 n   3 Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:    C.S .   x  R / x  2 n  , n  Z  3   5
  • 6. 3) Resolver: 4 cos 2 x  3 cos x  1 Resolución 5 x  arcCos   8 5 Como x  arcCos    que resulta de Cosx     8  5  proviene de una función Coseno, 8 entonces la solución general es: 5 x  360 º n  arcCos   8 5 8  . arcCos   ó x  2 n  180 Como x=180º que resulta de Cosx  1 proviene de una función Coseno, entonces la solución general es: x  2 n  2 x  360 º n  180 º ó Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:   5  . arcCos       8   x  2 n  2 , n  Z  C.S .   x  R / x  2 n   180       6
  • 7. CAPÍTULO 2 Objetivo formativo capítulo 2 Resolver ejercicios preliminares de afianzamiento previos a la resolución de inecuaciones trigonométricas. Título Capítulo 2: Ejercicios preliminares de afianzamiento para resolver inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo 2 CAPÍTULO 2: EJERCICIOS PRELIMINARES DE AFIANZAMIENTO PARA RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS a b 1) ¿ A qué funciones puede representar la expresión  b a , si a  b  0 ? Resolución Como a  b  0  a  ( ) a0 y que y b  0 , es decir que: b  () ----------------------------------------------(1) en base a esto, se tiene: Si ab  a 1 b , pero a es ( ) b ----------------------------(2) Si ab  1 b a , pero b es ( ) a -----------------------------(3) De (1), (2) y (3), se deduce que: a b  1 b a ----------------------------------------------------(4) Analizando, se observa que las funciones trigonométricas que pueden tomar valores mayores que 1 son la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. Luego la respuesta es: la expresión a b  b a , si a  b  0 puede representar a las funciones trigonométricas Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. 7
  • 8. 2) ¿En qué cuadrantes se cumple que Senx . Cosx  tgx ? Resolución Para visualizar objetivamente, se trazan las gráficas por cuadrantes: 8
  • 9. En el Cuadrante I se observa que equivale a Senx . Cosx  tgx (decimal ()menor que 1).(decimal ()menor que 1)  (decimal ()) , de modo que el producto Senx . Cosx es (+) pero más pequeño que tgx que también es (+) debido al criterio de comparación de números decimales positivos. Conclusión: No se cumple Senx . Cosx  tgx En el Cuadrante II se observa que Senx . Cosx  tgx equivale a (decimal ()menor que 1).(decimal ()menor que 1)  (decimal ()) , de modo que el producto Senx . Cosx es (-) pero más grande que tgx que también es (-) debido al criterio de comparación de números negativos. Conclusión: Se cumple Senx . Cosx  tgx En el Cuadrante III se observa que Senx . Cosx  tgx equivale (decimal ()menor que 0).(decimal ()menor que 1)  (decimal ()) , de producto Senx . Cosx es (-) y tgx es (+). a modo que el Conclusión: No se cumple Senx . Cosx  tgx En el Cuadrante IV se observa que Senx . Cosx  tgx equivale a (decimal ()menor que 0).(decimal ()menor que 1)  (decimal ()) , de modo que el producto Senx . Cosx es (-) pero más grande que tgx que también es (-) debido al criterio de comparación de números negativos. Conclusión: Se cumple Senx . Cosx  tgx La respuesta es: La expresión Senx . Cosx  tgx se cumple en los cuadrantes II y IV. 9
  • 10. Cos x  1  0, tg x 3) Resolver: si x  0 , 2  Resolución Para resolver esta inecuación bastará con analizar el comportamiento de las expresiones según los cuadrantes del círculo trigonométrico. Cos x  1 0 tg x  Cos x  1  0 Cos x  1  () Es decir que:  tg x  0 tg x  () y que Nótese que Cos x  1  () si Cos x  () ¶ 2 ¶ ¶ ¶ Se observa el círculo trigonométrico y se deduce que: Cos x  () tg x  () el cuadrante II, y es decir cuando x   2 , Además, también se observa que Cos x  1  () , es decir que Cos x  () pero Cos x  1 (por extensión del coseno) y que tg x  () precisamente en el cuadrante IV. Es decir cuando x  Luego el conjunto solución es: 3 , 2 2   C.S .   x  R / x  2  10  3   x  2  2 
  • 11. CAPÍTULO 3 Objetivo formativo capítulo 3 Aprender a resolver inecuaciones trigonométricas Título Capítulo 3: Resolución de inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo 3 CAPÍTULO 3: RESOLUCIÓN DE INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ALGUNOS CRITERIOS QUE SE DEBEN CONSIDERAR PARA RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS A manera de establecer un criterio claro para el proceso de resolución de cualquier inecuación trigonométrica, el autor considera lo siguiente: 1) Ordenar, acomodar y/o resolver la inecuación de modo que se observe una última inecuación más elaborada en la que se pueda apreciar la presencia de dos funciones (una trigonométrica y la otra una función elemental conocida), en lo posible, claras y graficables manualmente. 2) Las gráficas de las funciones deben estar superpuestas en el mismo sistema coordenado cartesiano. 3) Establecer y/o calcular los puntos de intersección de las gráficas. Éstos se obtienen usando la solución general de la ecuación que resulta de igualar las funciones graficables (dicha solución ya comprende la solución principal de dicha ecuación). 4) A partir de los puntos de intersección de las gráficas, establecer la(s) región(es) (o mejor dicho el(los) intervalo(s)) principal(es) que cumplan con la última inecuación indicada en el criterio 1). Dicho(s) intervalo(s) representan la(s) solución(es) principal(es) de la inecuación propuesta. 5) A partir de la solución principal de la inecuación, teniendo en cuenta el período de la función trigonométrica presente en la última inecuación indicada en el criterio 1) se indica la solución general de la inecuación original (también puede utilizarse el conjunto solución general de todos los arcos que contienen a dicha función trigonométrica). 11
  • 12. Ejercicios Resueltos 1) Resolver: Senx  1 0 2 Resolución Senx  1 0 2  Senx 1 2 --------------------------------------------(1) y2  Considérese: y1  Senx 1 2 Gráfica conjunta de y1 con y 2 fig.(*) ¶ Para intersecar y1 con y 2 , se tiene: Senx  1 2  x --------------------------------------------------------------(2)  6 --------------------------------------------------------------(3) La expresión (3) es la solución principal de la ecuación dada en (2). La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es: 12 25¶/6 17¶/6 13¶/6 (pa r a K = 1 ) 5¶/6 ¶ ¶/6 (pa r a K = -1 ) -7¶/6 -11¶/6 ¶ (pa r a K = 2 )
  • 13.   x  n  (1) n   ---------------------------------------------------------(4) 6 Haciendo n  1 en (4), se obtiene:  5   x   (1)  (1)1       6 6 6  x 5 6 ---------------------------(5) La expresión (5) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (*). De la gráfica dada en la fig. (*) y de lo que se ha obtenido en (4) y (5), se establece que la solución principal de la inecuación Senx   6 x 5 6 1 2 es ---------------------------------------------(6) Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3,  Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación Senx  1 2 1 2 , o lo que es lo mismo, de la inecuación Senx   0 se obtiene sumando el período generalizado, así:  6  2k  x  5  2k , k  0,  1,  2,  3,  6 Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:  5   C.S .   x  R /  2k  x   2k , k  0,  1,  2,  3,  6 6   O también:  5   C.S .   x  R /  2k  x   2k , k  Z  6 6   1 3 2)Resolver: Cosx   0 Resolución 13
  • 14. Cosx  1 0 3  Cosx   1 3 --------------------------------------------(1) y2  Considérese: y1  Cosx 1 3 Gráfica conjunta de y1 con y 2 fig.(**) ¶ (para K= -1) (para K=1) ¶ (para K=2) Para intersecar y1 con y 2 , se tiene: Cosx    1 3 -------------------------------------------------------------------(2) 1 x  arcCos ( ) 3 ----------------------------------------------------------- (3) O también, como Coseno es función par, se tiene que: 1 x   arcCos ( ) 3 ----------------------------------------------------------------(4) La expresión (4) es la solución principal de la ecuación dada en (2). La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una expresión Coseno, es: 14 4¶-arcCos(1/3) arcCos(1/3) ¶ (para K=1) 2¶+arcCos(1/3) ¶ 2¶-arcCos(1/3) (para K= -1) -arcCos(1/3) -2¶-arcCos(1/3) -2¶+arcCos(1/3) ¶
  • 15. 1 x  2n  arcCos   ---------------------------------------------------------- (5) 3 De modo que el intervalo que representa la solución principal de la inecuación Cosx   1 3 y que se ha identificado en la gráfica dada en la fig. (**) es: 1 1  arcCos    x  arcCos    3  3 ---------------------------------------------(6) Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3,  Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación Cosx   Cosx  1 0 3 1 3 , o lo que es lo mismo, de la inecuación se obtiene sumando el período generalizado, así: 1 1  arcCos    2k  x  arcCos    2k , k  0,  1,  2,  3,   3  3 Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:   1 1 C.S .   x  R /  arcCos    2k  x  arcCos    2k , k  0,  1,  2,  3,    3  3   O también:   1 1 C.S .   x  R /  arcCos    2k  x  arcCos    2k , k  Z   3  3   15
  • 16. 3) Resolver la inecuación: 8 tgx  1  0 Resolución 8 tgx  1  0  Pero tgx  1 8 tgx  1 8 ---------------------------------------------(1) 1 8 implica   tgx  1 8 y2  Considérese: y1  tgx ---------------------------------(2) 1 8 Gráfica conjunta de y1 con y 2 fig.(α) ¶ ¶ para k= -1 ¶ para k=1 para k= -2 ¶ Para intersecar y1 con y 2 , se tiene: 16 para k=2 2¶+arctg(1/8) ¶ para k=1 2¶-arctg(1/8) ¶+arctg(1/8) ¶-arctg(1/8) arctg(1/8) -arctg(1/8) -¶+arctg(1/8) ¶ ¶ para k= -1 5¶/2 3¶/2 ¶/2 -¶/2 -¶-arctg(1/8) -2¶+arctg(1/8) -3¶/2 para k=2
  • 17. tgx   1 8 ----------------------------------------------------------- -----(3) 1 x   arctg ( ) 8 ----------------------------------------------------------(4) La expresión (4) es la solución principal de la ecuación dada en (3). La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una expresión tangente, es: 1 x  n  arctg   ---------------------------------------------------- --------(5) 8 Nótese que el signo  en la expresión (5) se debe al valor absoluto presente en la ecuación dada en (3), es decir, éste implica dos soluciones. De modo que el intervalo que representa la solución principal de la 1 inecuación tgx  y que se ha identificado en la gráfica dada en la 8 fig. (α) es:  1 1 arctg     x  arctg    8 8 -----------------------------------------------(6) O También como la función arcotangente es impar entonces la expresión dada en (6) es equivalente a: 1 1  arctg    x  arctg   8 8 ---------------------------------------------(7) Como el período de la función Tangente es  , entonces el período generalizado será k donde k  0,  1,  2,  3,  17
  • 18. Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación tgx  1 8 , o lo que es lo mismo, de la inecuación 8 tgx  1  0 se obtiene sumando el período generalizado, así: 1 1  arctg    k  x  arctg    k , k  0,  1,  2,  3,  8 8 Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:   1 1 C.S .   x  R /  arctg    k  x  arctg    k , k  0,  1,  2,  3,   8 8   O también:   1 1 C.S .   x  R /  arctg    k  x  arctg    k , k  Z  8 8   4) Resolver la inecuación: Senx  Cosx Resolución Senx  Cosx  Como Sen Cos  4  4 Senx  Cosx  0  Cos Senx  Sen  4  4  1 2 Cosx  0  1 1  1  Senx  Cosx   0 2 2  2 ------(1) , entonces la expresión (1) queda así:    Sen x    0 -----------------------(2) 4   Sea q  x  , entonces la inecuación (2) queda así: 4 Sen q  0 --------------------------------------------------------- (3) 18
  • 19. Considérese: y1  Sen q y2  0 Gráfica conjunta de y1 con y 2 fig.(β) ¶ ¶ -2¶ (pa r a K = -1 ) ¶ (pa r a K = 1) 0 -¶ ¶ (pa r a K = 2) 2¶ ¶ (pa r a K = -1) ¶ 3¶ (pa r a K = 1) Para intersecar y1 con y 2 , se tiene: Sen q  0 -----------------------------------------------------------(4)  -----------------------------------------------------------(5) q0 La expresión (5) es la solución principal de la ecuación dada en (4). La solución general para la ecuación (4), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es: q  n  (1) n 0  q  n ----------------------------------------(6) Haciendo n  1 en (4), se obtiene: q   (1)    q  ----------------------------------------(7) La expresión (7) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (β). 19 4¶
  • 20. De la gráfica dada en la fig. (β) y de lo que se ha obtenido en (5) y (7), se establece que la solución principal de la inecuación Sen q  0 es 0q -------------------------------------------(8) Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3,  Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación Sen q  0 se obtiene sumando el período generalizado, así: 0  2k  q    2k , k  0,  1,  2,  3,   2k  q    2k , k  0,  1,  2,  3,  -----------------------------(9)  Reemplazando q  x  , hecho anteriormente, en (9): 4 2k  x   2k   2k   4  4  4    2k , k  0,  1,  2,  3,  x x  4   4    4  2k , k  0,  1,  2,  3,  5  2k , k  0,  1,  2,  3,  4 Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta Senx  Cosx es:  5   C.S .   x  R / 2k   x   2k , k  0,  1,  2,  3,  4 4   O también:  5   C.S .   x  R / 2k   x   2k , k  Z  4 4   20
  • 21. 5) Resolver: 5  2Cos 2 x  3 2Senx  1 Resolución Como Cos 2 x  1  2Sen 2 x entonces la inecuación propuesta queda así: 5  2(1  2Sen 2 x)  3 2Senx  1  7  4Sen2 x  3 2Senx  1 ---------------(1) Sea: q  Senx , entonces la expresión (1) queda así: 7  4q 2  3 2q  1 ---------------------------------------------------(2)  Hallando punto crítico: 2q  1  0 para q  1 2 a) Para 1 q 2 q 1 , 2 luego debe analizarse 1 q 2   0  2q  1  2q  1  2q  1 --------------------(3) reemplazando (3) en (2), se tiene: 7  4q 2  32q  1   0  2q 2  3q  5  q 5 2  1 q 7  4q 2  6q  3   0  (2q  5)( q  1) , 0  4q 2  6q  10 entonces: ---------------------------------------------------(4) 21
  • 22. Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en (4) con la condición a), se tiene: 5  q   2    1  q   b) Para q  1  2 1 q 2  2q  1  0  S1  q  [ 1 ,   --------------------(5) 2q  1  1  2q --------------------(6) reemplazando (6) en (2), se tiene: 7  4q 2  31  2q     7  4q 2  3  6q 0  2q 2  3q  2  q 1 2  2q  0  4q 2  6q  4 0  (2q  1)( q  2) ------------------------------------------------(7) Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en (4) con la condición a), se tiene: 1  q   2   1  2  q  q  2   S2  q    ,  1 2 ----------------(8) Luego, el conjunto solución para y que resulta de reunir el resultado obtenido en (5) con el resultado obtenido en (8), es: C. S .  q    ,  1 1  1  q ----------------------(9) [1,    q   2 2 De este conjunto solución obtenido en (9), analizamos cada componente. 22
  • 23. i) Para q   1 2 Como antes de la expresión (2) se hizo q  Senx , se tiene: q 1 2  Senx   1 2 y2   Considérese: y1  Senx 1 2 Gráfica conjunta de y1 con y 2 fig.(¥) ¶ 0 ¶ (pa r a K = -1 ) ¶ (pa r a K = 1 ) ¶ (pa r a K = 2 ) Para intersecar y1 con y 2 , se tiene: Senx    1 2 x -------------------------------------------------------------(10)  6 ----------------------------------------------------------- (11) La expresión (11) es la solución principal de la ecuación dada en (10). 23 23¶/6 -¶/6 19¶/6 (pa r a K = 1 ) 11¶/6 ¶ 7¶/6 (pa r a K = -1 ) -5¶/6 -13¶/6 -17¶/6 ¶ (pa r a K = 2 )
  • 24. La solución general para la ecuación (10), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es:   x  n  (1) n    ---------------------------------------------------------- (12)  6 Haciendo n  1 en (4), se obtiene:  5   x   (1)  (1)1         6 6  6  x 5 6 ---------------------(13) La expresión (13) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (¥). De la gráfica dada en la fig. (¥) y de lo que se ha obtenido en (11) y (13), se establece que la solución principal de la inecuación Senx   1 2 es:  5  x 6 6 ---------------------------------------------(14) Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3,  Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la 1 inecuación Senx   , se obtiene sumando el período generalizado, así: 2  5   2k  x    2k , k  0,  1,  2,  3,  6 6 lego, el Conjunto Solución de la inecuación Senx   1 2 es: 5    C.S .   x  R /   2k  x    2k , k  0,  1,  2,  3,  6 6   O también: 5    C.S .(1)   x  R /   2k  x    2k , k  Z  ---------------------------(15) 6 6   24
  • 25. ii) Para 1  q Como antes de la expresión (2) se hizo q  Senx , se tiene: 1 q  1  Senx Es decir que del proceso de resolución resulta : 1  Senx ----(*) Del rango de la función seno se tiene:  1  Senx  1 ------------(**) De modo que intersecando (*) y (**) resulta: Senx  1 -------------------------------------------------(16) La expresión (16) es una ecuación, cuya solución principal es: x  2 La solución general para la ecuación (16), a fin de que se acople al conjunto solución obtenido en (15) se obtendrá sumando el período generalizado de la función Seno, así: x  2  2k , k  0,  1,  2,  3,  Luego el conjunto solución de dicha ecuación dada en (16) es    C.S .( 2)   x  R / x   2k , k  0,  1,  2,  3,  2   O lo que es lo mismo:    C.S .( 2)   x  R / x   2k , k  Z  -----------------------------------(17) 2   25
  • 26. Finalmente, el conjunto solución de la inecuación 5  2Cos 2 x  3 2Senx  1 , será la reunión de los resultados obtenidos en (15) y (17), así: 5       C.S .  C.S .(1)  C.S .( 2)   x  R /   2k  x    2k , k  Z    x  R / x   2k , k  Z  6 6 2     es decir: 5   C.S .   x  R /   2k  x    2k 6 6   xR / x     2k , k  Z  2  6) Resolver: 2Cos 2 x  2Senx  1  0 Resolución 2Cos 2 x  2Senx  1  0   2(1  2Sen2 x)  2Senx 1  0 2  4Sen2 x  2Senx 1  0   4Sen2 x  2Senx 1  0 Sea: Senx  q  4Sen2 x  2Senx 1  0 --------------------------------------------(1) ---------------------------------------------(2) Reemplazando (2) en (1), se tiene: 4q 2  2q  1  0 ----------------------------------------------(3) Los puntos críticos de la inecuación dada en (3) son: q  2  2 2  4(4)( 1)  1  5  2(4) 4 26
  • 27. de lo que resulta que: q  5 1 4 5 1 q 4  --------------------(4) Revirtiendo el cambio hecho en (2): Senx  q Entonces, (4) queda así: Senx   5 1 4 i) Resolviendo Senx   5 1  Senx 4  5 1 4 Considérese: y1  Senx y2  27  5 1 4 -----------------------(5)
  • 28. Gráfica conjunta de y1 con y 2 fig.(Ω) ¶ ¶ ¶ (para K= -1) (pa r a K = -1 ) ¶ ¶ (para K=1) (pa r a K = 1 ) ¶ (pa r a K = 2 ) Para intersecar y1 con y 2 , se tiene: Senx   5 1 4 -------------------------------------------------------(6)  x  3 10 -----------------------------------------------------------(7) La expresión (7) es la solución principal de la ecuación dada en (6). La solución general para la ecuación (6), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es:   3  x  n  (1) n   ------------------------------------------------------(8)  10  Haciendo n  1 en (4), se obtiene: 3 7  3  x   (1)  (1) 1        10 10  10   x 7 10 ---------------(9) La expresión (9) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω). 28 41¶/10 23¶/6 33¶/10 (pa r a K = 1 ) 29¶/10 17¶/10 13¶/10 ¶/10 -3¶/10 -7¶/10 ¶ (pa r a K = -1 ) 0 -23¶/10 -27¶/10 -19¶/10 -11¶/10 ¶ (pa r a K = 1 ) 21¶/10 ¶ (pa r a K = -1 ) 9¶/10 ¶ (pa r a K = 2 )
  • 29. De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en (7) y (9), se establece que la solución principal de la inecuación Senx   5 1 4 es:  7 3 x  10 10 -------------------------------------(10) Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3,  Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación Senx   5 1 , 4 se obtiene sumando el período generalizado, así: 2k  7 3  x  2k  10 10 , k  0,  1,  2,  3,  Luego, el Conjunto Solución de la inecuación Senx   5 1 4 es: 7 3   C.S .(1)   x  R / 2k   x  2k  , k  0,  1,  2,  3,  10 10   O también: 7 3   C.S .(1)   x  R / 2k   x  2k  , k  Z 10 10   ii) Resolviendo --------------------------(11) 5 1  Senx 4 Considérese: y1  Senx y3  5 1 4 Obsérvese la gráfica conjunta de y1 con y3 en la pág. Anterior de la fig.(Ω) Para intersecar y1 con y3 , se tiene: 29
  • 30. Senx   5 1 4 x ------------------------------------------------------- (12)  --------------------------------------------------- --------(13) 10 La expresión (13) es la solución principal de la ecuación dada en (12). La solución general para la ecuación (12), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es:   x  n  (1) n   ------------------------------------------------------(14)  10  Haciendo n  1 en (14), se obtiene:  9   x   (1)  (1)1       10 10  10  x  9 10 --------------------(15) La expresión (15) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω). De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en (13) y (15), se establece que la solución principal de la inecuación 5 1  Senx 4 es:  10 x 9 10 -------------------------------------(16) Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3,  Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación 5 1  Senx , 4 se obtiene sumando el período generalizado, así: 2k   10  x  2k  9 10 , k  0,  1,  2,  3,  Luego, el Conjunto Solución de la inecuación 30 5 1  Senx 4 es:
  • 31.  9   C.S .( 2)   x  R / 2k   x  2k  , k  0,  1,  2,  3,  10 10   O también:  9   C.S .( 2)   x  R / 2k   x  2k  , k  Z 10 10   --------------------------(17) El conjunto solución de la inecuación 2Cos 2 x  2Senx  1  0 , se obtiene de reunir los resultados obtenidos en (11) y (17), así: 7 3  C.S .  C.S . (1)  C.S . ( 2)   x  R / 2k   x  2k  10 10   2k   10  x  2k  9  , k  Z 10  Es decir que el conjunto solución buscado es: 7 3  C.S .   x  R / 2k   x  2k  10 10   2k   10  x  2k  9  , k Z 10  7) Resolver: Log 2Cosx 1  2Cos 2 x  1 3 Resolución Log 2Cosx 1  2Cos 2 x  1 -------------------------------------------------------- (1) 3 pero Cos 2 x  2Cos 2 x  1 , entonces la inecuación (1) se convierte en: Log 2Cosx 1  2(2Cos 2 x  1)  1 3  Log 2Cosx 4Cos 2 x  1  1 -------------------(2) 3 En la inecuación (2) hágase el reemplazo Cosx  q -------------------(3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene: 31
  • 32. Log 2 q 4q 2  1  1 ------------------------------------------------(4) 3 Se procede a encontrar el universo de la inecuación: Condición dela raíz: 4q 2  1  0 ---------------------------------------------(5) Condición del logaritmo 4q 2  1  0 -------------------------------------------------------(6) De intersecar (5) y (6) resulta:  4q 2  1  0  q 1 2 q2  1 0 4 1  1   q   q    0 2  2   1 q 2  4q 2  1  0 ------------------------------------------(7) Condición de la base del logaritmo: 0 y que : 2q 3 2q 1 3   0q q ----------------------------------(8) 3 2 -----------------------------------(9) de intersecar (8) y (9) se tiene: 0q 3 2  3  q 2 -----------------------------------(10) 32
  • 33. Intersecando (7) con (10) se tiene que el universo de la inecuación es: 1 3 q 2 2 3  q 2  -----------------------------------(11) La inecuación dada en (4) se resolverá en de acuerdo al universo obtenido en (11): i) Para 1 3 q 2 2 1 3 q 2 2  1 3 q 2 2  1 2q  1 3 3 Si ----------------------------------------------------------(A) 0  4q 2  1  2 1 2q  1 3 3 , es decir que la base del logaritmo es menor que 1, y que 0  4q 2  1  2 , es decir que esta expresión es mayor que 0, entonces se tendrá que: Log 2 q 4q 2  1  1 4q 2  1   3 Como q  0  4q 2  1  2q 3 2q 3   2q  4q 2  1     3 Hallando la intersección de (A) parcial para q: 1 3 q 2 2   q 6 4  2  q 6 4 --------(B) con (B), se obtiene la solución 6 3 q 4 2  6 3 6 3 q q S 1  q  R / -------------------------------------------(C) = 2 4 2  4  33
  • 34. 3  q 2 ii) Para 3  q 2  3  q 2  Si 1  2q 3 3  q2 4  -----------------------------------------(D) 2  4q 2  1 1 2q 3 , es decir que la base del logaritmo es mayor que 1, y que 2  4q 2  1 , es decir que esta expresión es mayor que 0 e inclusive mayor que 1, entonces se tendrá que: Log 2 q 4q 2  1  1 2q  4q 2  1 3  3 Como q  0  2 2q  4q 2  1 3   2q     4q 2  1   3 q2  3 8 --------(E) Intersecando (D) con (E) se tiene que: 3  q2 4   q2  3 8   S2   Luego el conjunto solución para q será la reunión de las soluciones parciales S1 con S 2 , así:  6 3 q c.s.( q )  S1  S 2  q  R /  4 2    6 3 6 3 q q c.s.( q )  q  R / = 2 4 2  4  -----------------------------------------(F) Reemplazando (3) en (F), es decir revirtiendo el cambio q  Cosx se tiene: 6 3 q 4 2  6 3  Cosx   4 2 6  Cosx 4 34  Cosx  3 2 ------(G)
  • 35. 6 4 Sea: y1  3 2 y3  y 2  Cosx Gráfica conjunta de y1 con y 2 y con y3 fig. (µ) (pa r a K = -1 ) (pa r a K = -1 ) ¶ ¶ (pa r a K = 1 ) (pa r a K = 1) ¶ (pa r a K = 2 ) Para intersecar y1 con y 2 , se tiene: Cos x   6 4 ---------------------------------------------------------------(a)  6  x  arcCos   4    -----------------------------------------------------(b) La expresión (b) es la solución principal de la ecuación dada en (a). La solución general para la ecuación (a), cuyo arco proviene de una expresión Coseno, es: 35 4¶-arcCos( 6 /4) 2¶+arcCos( 6 /4) 13¶/6 (pa r a K = 1 ) 2¶-arcCos( 6 /4) ¶ ¶/6 0 (pa r a K = 1 ) arcCos( 6 /4) -arcCos( 6 /4) -11¶/6 ¶ ¶ (pa r a K = -1 ) -2¶+arcCos( 6 /4) -13¶/6 -2¶-arcCos( 6 /4) ¶ ¶ 11¶/6 (pa r a K = -1 ) -¶/6 ¶
  • 36.  6  x  2n  arcCos   4    ---------------------------------------------------- (c) Haciendo n  0 en (c), se obtiene:  6  6    x  2 (0)  arcCos   4    arcCos  4        6  x   arcCos   4    ---------(d) La expresión (d) indica los dos puntos de intersección identificados en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada en (a). Para intersecar y 2 con y3 , se tiene: Cos x   3 2 x ---------------------------------------------------------------(e)  6 --------------------------------------------------------------- (f) La expresión (f) es la solución principal de la ecuación dada en (e). La solución general para la ecuación (e), cuyo arco proviene de una expresión Coseno, es: x  2n   --------------------------------------------------------------(g) 6 Haciendo n  0 en (g), se obtiene: x  2 (0)   6   6  x  6 --------------------------------------(h) La expresión (h) indica los dos puntos de intersección identificados en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada en (e). 36
  • 37. De la gráfica dada en la fig. (µ) y de lo que se ha obtenido en (d) y (h), se establece que las soluciones principales correspondientes a la inecuación 6 3  Cosx  4 2 son:  6    arcCos   4  x 6   -------------------------------(*)   6   x  arcCos   4  6    -------------------------------(**) Como el período de la función Coseno es 2 , entonces el período generalizado será 2k donde k  0,  1,  2,  3,  Observando la gráfica dada en la fig. (µ), es obvio que la solución general para la inecuación 6 3  Cosx  4 2 se obtiene sumando el período generalizado, así:  6   2k  arcCos   4   x  2k  6   , k  0,  1,  2,  3,  ----------------------(*)   6   2k  x  arcCos   4   2k 6    , k  0,  1,  2,  3,  ----------------------(**) Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:    6  6        C.S .   x  R / 2k  arcCos   4   x  2k  6  6  2k  x  arcCos  4   2k , k  0,  1,  2,  3,          O también:    6  6        C.S .   x  R / 2k  arcCos   4   x  2k  6  6  2k  x  arcCos  4   2k , k  Z          37
  • 38. LISTA DE REFERENCIAS Y MATERIAL DOCUMENTAL CONSULTADO 1) V. B., Lidski y otros, “Problemas de Matemáticas Elementales ”. Editorial MIR. Moscú 1972. 2) Colección de Matemática y Ciencias, “Trigonometría Plana y Esférica e Introducción al Cálculo”. Lumbreras Editores S.R.L. Lima. 2000. 3) M. W., Piotr y G. B., Ana, “Introducción a las Matemáticas Universitarias”. Editorial McGraw-Hill Interamericana. 2002. 4) C. A., Raul “Trigonometría Teoría y Problemas ”. Editorial CUZCANO. Lima. 2005. 5) http://www.loseskakeados.com/joomla/component/option,com_docman/ task,cat_view/gid,289/dir,EDS/order,name/limit,5/limitstart,5/ consultado el 10 de marzo del 2009. 6) http://www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm consultado el 22 de abril del 2009. 38