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ARQUIMIDEZ

Famoso matemático y geómetra de la antigüedad. Nació en Siracusa 285 años a.
de J. C.; murió en Siracusa también, 232 años a. de J. C. Dicen sus biógrafos que
la familia de Arquímedes estaba ligada por lazos de parentesco al rey Hierón: este
parentesco habría podido darle fácil acceso a muy altos y muy codiciados puestos;
pero Arquímedes prefirió –arrastrado por su afición a las ciencias– consagrarse al
estudio de las matemáticas, y más especialmente al de la geometría, bajo la
dirección del célebre Euclides. Muy joven aún, comenzó a distinguirse por sus
trabajos científicos, de los cuales el más notable fue indudablemente la
desecación de los pantanos de Egipto, considerada hasta entonces irrealizable, y
que Arquímedes llevó a la práctica por medio de diques movibles. De regreso en
su patria, Siracusa, Arquímedes continuó consagrado al estudio de la geometría y
de la mecánica, logrando descubrir principios y hacer aplicaciones que han
inmortalizado su nombre. Cuando el general romano Marcelo puso sitio a
Siracusa, Arquímedes llevó a cabo verdaderos prodigios en defensa de su ciudad
natal, pudiendo decirse que él solo sostuvo la plaza contra el ejército sitiador. Las
maravillas producidas por la ciencia de Arquímedes fueron causa de insuperable
terror para los ejércitos romanos, hasta tal punto que, según cuentan algunos
historiadores reputados por verídicos, era bastante asomar a la muralla un soldado
con una cadenita en la mano, o con un objeto cualquiera que despidiese brillantes
reflejos, para que toda la armada se pusiese en movimiento y cundiese la alarma
en el ejército sitiador, y fueron al propio tiempo que gloria y fama para el hombre
de ciencia, perdición y ruina para los sitiados. Habituados éstos a ver de qué modo
Arquímedes resolvía las mayores dificultades y vencía los más inminentes peligros
haciendo verdaderos milagros, confiaron demasiado en la imposibilidad de ser
vencidos, y mientras se entretenían en hacer sacrificios a Diana, los romanos
aprovecharon un descuido de sus enemigos y entraron al asalto en la ciudad.
      Aunque el nombre de Arquímedes es más famoso que por todo lo demás, por
el principio de hidrostática que lleva su nombre, y de cuyo descubrimiento hablan
mucho los historiadores y los biógrafos, no fueron menos notables, acaso lo son
más, sus disquisiciones la cuadratura del círculo, que eso y no otra cosa viene a
ser en definitiva el descubrimiento de la relación aproximada entre la
circunferencia y el diámetro, relación que los geómetras designan comúnmente
con la letra griega π. Arquímedes demostró, antes que ningún otro geómetra, que
el lado del hexágono regular inscripto en un círculo es igual al radio de dicho
círculo; demostró además que el lado del cuadrado circunscrito a un círculo es
igual al diámetro de dicho círculo. De la primera proposición obtuvo como corolario
evidente que el perímetro del hexágono regular inscripto es equivalente a tres
diámetros; de la proposición segunda deduje también que el perímetro del
cuadrado circunscrito a un círculo es equivalente a cuatro diámetros. Sentó
además que toda línea convexa cerrada, envuelta por otra, es menor que ésta, y
como la circunferencia de círculo envuelve al contorno del hexágono inscripto y es
a su vez envuelta por el contorno del cuadrado circunscrito, halló que la
circunferencia de círculo tiene de longitud más de tres diámetros y menos de
cuatro. Ahora bien, por medio de inscripciones y circunscripciones sucesivas,
encontró para π el valor de 22/7. Muchos años después el famoso Mæcio halló
para esa relación el valor 355/113 y los matemáticos modernos, por
procedimientos que aventajan mucho a los que tuvo a su disposición el insigne
geómetra de Siracusa, han señalado a π el valor 3,14159.... Como la fracción
obtenida por Arquímedes 22/7, transformada en decimal da 3,142, resulta que
este eminente matemático, careciendo en absoluto de los recursos que los
adelantamientos de la ciencia ponen hoy al alcance del calculador, había cometido
un error que no llegaba a una milésima.

El llamado principio de Arquímedes tiene dos partes que de ordinario se enuncian
en una sola proposición, confundiendo un tanto las ideas de los ajenos a esos
estudios y de los que por primera vez se consagran a ellos. En realidad, la manera
más sencilla de exponer el principio, de suerte que sea por todos comprendido
claramente, es dividirlo en estas dos partes: Primera: «Todo cuerpo sumergido en
un fluido desaloja de dicho fluido una cantidad determinada, cuyo volumen es
exactamente igual al volumen del cuerpo sumergido.» Esta primera parte del
principio de Arquímedes es, ni más ni menos, un corolario de la ley de la
impenetrabilidad; ley reducida a sentar que es imposible que dos cuerpos distintos
ocupen simultáneamente el mismo espacio. Segunda parte del principio de
Arquímedes: «El cuerpo sumergido en el fluido pierde de su peso una cantidad
exactamente igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo.» Y como el fluido
desalojado tiene un volumen igual al volumen del cuerpo sumergirlo, esta segunda
parte del principio de Arquímedes podría ser enunciada de este otro modo: «Todo
cuerpo sumergido en un fluido pierde de su peso una cantidad igual a lo que pesa
un volumen de fluido igual al del cuerpo.» Bien entendido que si el cuerpo no se
sumerge por completo, lo que de su peso pierde es lo que pesa un volumen del
fluido igual al volumen de la parte sumergida. En este principio se halla fundada la
teoría de los pesos específicos, de tanta aplicación en las ciencias naturales, en
las ciencias médicas, en la farmacia y aun en los más frecuentes usos de la vida
ordinaria.
      Es muy conocida, y se halla narrada en muchos libros, la manera de haber
llegado Arquímedes a ese descubrimiento que, como todos los grandes inventos,
fue debido en gran parte a la casualidad. Cuéntase, pues, que Hierón, el ya
mencionado monarca de Siracusa, había entregado a un platero cantidades de oro
y de plata a fin de que con ellas labrase una corona: terminado que fue el trabajo,
pareció al rey excelente y perfecto como obra artística; pero en su espíritu,
suspicaz y malicioso, hubo de nacer la sospecha de que el artífice hubiese
alterado las proporciones de los metales a fin de quedarse con una parte del más
precioso, disminuyendo, en su provecho, el valor intrínseco de la corona. Solicitó
del sabio, del profundo Arquímedes, que sin destruir la obra de arte, antes
conservándola en su integridad y en su forma, averiguase las proporciones en que
los metales habían entrado a formarla. Cuéntase que Arquímedes no hallaba
manera de resolver tan difícil problema, y que interesado su amor propio de
hombre y su orgullo de matemático en llegar a una solución, estaba
constantemente preocupado con la cuestión propuesta. Así las cosas, parece que
en cierta ocasión, al sumergirse en el baño, advirtió lo que mil otras veces había
advertido, bien que sin fijarse nunca en ello, como seguramente lo advierte todo el
que se sumerge en agua: es a saber, que a causa de la resistencia que el agua
misma opone, el cuerpo parece pesar menos, hasta el punto de que en alguna
ocasión es sostenido a flote por las aguas mismas. Lo que en muchas, en infinitas
ocasiones no le había hecho pensar, fijó entonces su atención; púsose en el baño
mismo a pensar en el hecho: pensó mucho y de pronto se hizo la luz en su
inteligencia. Era evidente para él que su cuerpo, al entrar en el agua, ocupaba un
sitio que dejaba de ser ocupado por el líquido; adivinó con la intuición rápida de su
gran talento que lo menos que él pesaba dentro del agua equivalía a lo que
pesaba el agua desalojada por él; y llegado a este punto, fue tal la satisfacción
que experimentó al considerar el problema resuelto, que sin pensar en lo que
hacia, frenético, loco, se salió del baño y, tal cual estaba, completamente desnudo,
se lanzó por las calles de Siracusa, gritando: ¡Eureka! ¡Eureka! (¡Lo encontré!, ¡lo
encontré!).
       Descartando de esta anécdota lo que en ella pueden haber exagerado la
tradición y la leyenda, compréndese perfectamente por cuantos con más o menos
asiduidad se hayan dedicado a las investigaciones matemáticas, cuán de veras
apasiona y cuán profundamente interesa al espíritu un problema, cuya solución se
presenta dificultosa y que una vez hallada lo explica todo sencillamente.
Arquímedes, al vislumbrar, porque en el primer momento no haría más que
vislumbrarla, la teoría de los pesos específicos, comprendió que estaba vencida la
dificultad de la tarea que por el rey Hierón le había sido encomendada. Imagínese
efectivamente, y sólo para precisar ideas, que la corona en cuestión pesase en el
aire una libra: tratábase de averiguar si esa libra era de oro o era de plata, o era
de oro y de plata, y en este caso en qué proporciones contenía cada uno de estos
metales. Si la corona hubiera sido solamente de oro, reducíase todo a pesarla en
el aire, donde ya se ha dicho que pesaba una libra (en hipótesis); y a pesarla
después de sumergida en agua, segunda pesada que habría de dar un peso
menor. La diferencia entre el peso obtenido en la primera operación y el peso
obtenido en la segunda representaría lo que pesaba una cantidad de agua igual
en volumen a la corona. Dicho se está, no obstante, que siendo diferentes los
pesos respectivos de la plata y del oro, para que la corona, siendo de plata,
pesase también una libra, sería necesario que su volumen fuese distinto y, por lo
tanto, distinta habría de ser asimismo la cantidad de agua desalojada y diferente
también el peso de esta agua: sin entrar en más pormenores ajenos a
publicaciones de esta índole, compréndese perfectamente que existían ya datos
muy bastantes para la solución del problema propuesto. Esto fue lo que
Arquímedes vio al entrar en el baño y al fijarse en un fenómeno tan sencillo, que
tantas otras veces pudo haber observado y que, sin embargo, hasta entonces no
había                      llamado                      su                  atención.
      Además de estos descubrimientos que bastan y sobran para la inmortalidad
del geómetra, Arquímedes inventó la balanza que lleva su nombre y fue el primero
que determinó las leyes de equilibrio en la palanca, determinación que le llevó,
después de profundos estudios sobre esta máquina, a proferir aquella célebre
frase que sus biógrafos le atribuyen: Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra;
frase que es indudablemente un pensamiento grande, pero que es, al propio
tiempo,                      una                    gran                  inexactitud.
       Arquímedes murió, como es sabido, a manos de un soldado romano. Los
historiadores aseguran que al entrar por asalto en Siracusa el cónsul Marcelo
había dado órdenes muy severas para que fuese respetada la vida del sabio a
quien admiraba todo el mundo civilizado; pero el soldado, que no conocía a
Arquímedes y que lo vio abstraído en la solución de un problema de geometría, ya
porque creyese que eran de oro los compases y otros instrumentos que el sabio
tenía cerca de sí, ya porque le enojase no recibir contestación a sus preguntas, le
atravesó        de       parte       a       parte      con       su      espada.
      Las obras de Arquímedes que aun hoy, después de los siglos transcurridos,
son admiración de los sabios, fueron muchas. Sus biógrafos mencionan con
especialidad La medida del círculo, en que, como ya queda dicho, se aproxima en
la determinación de π a la dada por los matemáticos modernos; De la esfera y el
cilindro; De la cuadratura; De la parábola; De los esferoides y conoides;
Determinación de los centros de gravedad en las líneas y en los planos; Del
equilibrio de los cuerpos en los fluidos. La edición más completa de las obras de
Arquímedes es la de Oxford, hecha por el editor Torelli en el año 1793. No es
necesario decir que estas obras han sido traducidas a todos los idiomas que se
hablan en el mundo civilizado y que hay puntos científicos en los cuales nada
nuevo se ha dicho desde Arquímedes acá, lo cual parece prueba de que el
eminente geómetra, el defensor inmortal de Siracusa, acertó a decir la última
palabra.

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Arquímedes, el genio de la antigüedad

  • 1. ARQUIMIDEZ Famoso matemático y geómetra de la antigüedad. Nació en Siracusa 285 años a. de J. C.; murió en Siracusa también, 232 años a. de J. C. Dicen sus biógrafos que la familia de Arquímedes estaba ligada por lazos de parentesco al rey Hierón: este parentesco habría podido darle fácil acceso a muy altos y muy codiciados puestos; pero Arquímedes prefirió –arrastrado por su afición a las ciencias– consagrarse al estudio de las matemáticas, y más especialmente al de la geometría, bajo la dirección del célebre Euclides. Muy joven aún, comenzó a distinguirse por sus trabajos científicos, de los cuales el más notable fue indudablemente la desecación de los pantanos de Egipto, considerada hasta entonces irrealizable, y que Arquímedes llevó a la práctica por medio de diques movibles. De regreso en su patria, Siracusa, Arquímedes continuó consagrado al estudio de la geometría y de la mecánica, logrando descubrir principios y hacer aplicaciones que han inmortalizado su nombre. Cuando el general romano Marcelo puso sitio a Siracusa, Arquímedes llevó a cabo verdaderos prodigios en defensa de su ciudad natal, pudiendo decirse que él solo sostuvo la plaza contra el ejército sitiador. Las maravillas producidas por la ciencia de Arquímedes fueron causa de insuperable terror para los ejércitos romanos, hasta tal punto que, según cuentan algunos historiadores reputados por verídicos, era bastante asomar a la muralla un soldado con una cadenita en la mano, o con un objeto cualquiera que despidiese brillantes reflejos, para que toda la armada se pusiese en movimiento y cundiese la alarma en el ejército sitiador, y fueron al propio tiempo que gloria y fama para el hombre de ciencia, perdición y ruina para los sitiados. Habituados éstos a ver de qué modo Arquímedes resolvía las mayores dificultades y vencía los más inminentes peligros haciendo verdaderos milagros, confiaron demasiado en la imposibilidad de ser vencidos, y mientras se entretenían en hacer sacrificios a Diana, los romanos aprovecharon un descuido de sus enemigos y entraron al asalto en la ciudad. Aunque el nombre de Arquímedes es más famoso que por todo lo demás, por el principio de hidrostática que lleva su nombre, y de cuyo descubrimiento hablan mucho los historiadores y los biógrafos, no fueron menos notables, acaso lo son más, sus disquisiciones la cuadratura del círculo, que eso y no otra cosa viene a ser en definitiva el descubrimiento de la relación aproximada entre la circunferencia y el diámetro, relación que los geómetras designan comúnmente con la letra griega π. Arquímedes demostró, antes que ningún otro geómetra, que el lado del hexágono regular inscripto en un círculo es igual al radio de dicho círculo; demostró además que el lado del cuadrado circunscrito a un círculo es igual al diámetro de dicho círculo. De la primera proposición obtuvo como corolario evidente que el perímetro del hexágono regular inscripto es equivalente a tres diámetros; de la proposición segunda deduje también que el perímetro del cuadrado circunscrito a un círculo es equivalente a cuatro diámetros. Sentó además que toda línea convexa cerrada, envuelta por otra, es menor que ésta, y como la circunferencia de círculo envuelve al contorno del hexágono inscripto y es a su vez envuelta por el contorno del cuadrado circunscrito, halló que la circunferencia de círculo tiene de longitud más de tres diámetros y menos de cuatro. Ahora bien, por medio de inscripciones y circunscripciones sucesivas,
  • 2. encontró para π el valor de 22/7. Muchos años después el famoso Mæcio halló para esa relación el valor 355/113 y los matemáticos modernos, por procedimientos que aventajan mucho a los que tuvo a su disposición el insigne geómetra de Siracusa, han señalado a π el valor 3,14159.... Como la fracción obtenida por Arquímedes 22/7, transformada en decimal da 3,142, resulta que este eminente matemático, careciendo en absoluto de los recursos que los adelantamientos de la ciencia ponen hoy al alcance del calculador, había cometido un error que no llegaba a una milésima. El llamado principio de Arquímedes tiene dos partes que de ordinario se enuncian en una sola proposición, confundiendo un tanto las ideas de los ajenos a esos estudios y de los que por primera vez se consagran a ellos. En realidad, la manera más sencilla de exponer el principio, de suerte que sea por todos comprendido claramente, es dividirlo en estas dos partes: Primera: «Todo cuerpo sumergido en un fluido desaloja de dicho fluido una cantidad determinada, cuyo volumen es exactamente igual al volumen del cuerpo sumergido.» Esta primera parte del principio de Arquímedes es, ni más ni menos, un corolario de la ley de la impenetrabilidad; ley reducida a sentar que es imposible que dos cuerpos distintos ocupen simultáneamente el mismo espacio. Segunda parte del principio de Arquímedes: «El cuerpo sumergido en el fluido pierde de su peso una cantidad exactamente igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo.» Y como el fluido desalojado tiene un volumen igual al volumen del cuerpo sumergirlo, esta segunda parte del principio de Arquímedes podría ser enunciada de este otro modo: «Todo cuerpo sumergido en un fluido pierde de su peso una cantidad igual a lo que pesa un volumen de fluido igual al del cuerpo.» Bien entendido que si el cuerpo no se sumerge por completo, lo que de su peso pierde es lo que pesa un volumen del fluido igual al volumen de la parte sumergida. En este principio se halla fundada la teoría de los pesos específicos, de tanta aplicación en las ciencias naturales, en las ciencias médicas, en la farmacia y aun en los más frecuentes usos de la vida ordinaria. Es muy conocida, y se halla narrada en muchos libros, la manera de haber llegado Arquímedes a ese descubrimiento que, como todos los grandes inventos, fue debido en gran parte a la casualidad. Cuéntase, pues, que Hierón, el ya mencionado monarca de Siracusa, había entregado a un platero cantidades de oro y de plata a fin de que con ellas labrase una corona: terminado que fue el trabajo, pareció al rey excelente y perfecto como obra artística; pero en su espíritu, suspicaz y malicioso, hubo de nacer la sospecha de que el artífice hubiese alterado las proporciones de los metales a fin de quedarse con una parte del más precioso, disminuyendo, en su provecho, el valor intrínseco de la corona. Solicitó del sabio, del profundo Arquímedes, que sin destruir la obra de arte, antes conservándola en su integridad y en su forma, averiguase las proporciones en que los metales habían entrado a formarla. Cuéntase que Arquímedes no hallaba manera de resolver tan difícil problema, y que interesado su amor propio de hombre y su orgullo de matemático en llegar a una solución, estaba constantemente preocupado con la cuestión propuesta. Así las cosas, parece que en cierta ocasión, al sumergirse en el baño, advirtió lo que mil otras veces había advertido, bien que sin fijarse nunca en ello, como seguramente lo advierte todo el
  • 3. que se sumerge en agua: es a saber, que a causa de la resistencia que el agua misma opone, el cuerpo parece pesar menos, hasta el punto de que en alguna ocasión es sostenido a flote por las aguas mismas. Lo que en muchas, en infinitas ocasiones no le había hecho pensar, fijó entonces su atención; púsose en el baño mismo a pensar en el hecho: pensó mucho y de pronto se hizo la luz en su inteligencia. Era evidente para él que su cuerpo, al entrar en el agua, ocupaba un sitio que dejaba de ser ocupado por el líquido; adivinó con la intuición rápida de su gran talento que lo menos que él pesaba dentro del agua equivalía a lo que pesaba el agua desalojada por él; y llegado a este punto, fue tal la satisfacción que experimentó al considerar el problema resuelto, que sin pensar en lo que hacia, frenético, loco, se salió del baño y, tal cual estaba, completamente desnudo, se lanzó por las calles de Siracusa, gritando: ¡Eureka! ¡Eureka! (¡Lo encontré!, ¡lo encontré!). Descartando de esta anécdota lo que en ella pueden haber exagerado la tradición y la leyenda, compréndese perfectamente por cuantos con más o menos asiduidad se hayan dedicado a las investigaciones matemáticas, cuán de veras apasiona y cuán profundamente interesa al espíritu un problema, cuya solución se presenta dificultosa y que una vez hallada lo explica todo sencillamente. Arquímedes, al vislumbrar, porque en el primer momento no haría más que vislumbrarla, la teoría de los pesos específicos, comprendió que estaba vencida la dificultad de la tarea que por el rey Hierón le había sido encomendada. Imagínese efectivamente, y sólo para precisar ideas, que la corona en cuestión pesase en el aire una libra: tratábase de averiguar si esa libra era de oro o era de plata, o era de oro y de plata, y en este caso en qué proporciones contenía cada uno de estos metales. Si la corona hubiera sido solamente de oro, reducíase todo a pesarla en el aire, donde ya se ha dicho que pesaba una libra (en hipótesis); y a pesarla después de sumergida en agua, segunda pesada que habría de dar un peso menor. La diferencia entre el peso obtenido en la primera operación y el peso obtenido en la segunda representaría lo que pesaba una cantidad de agua igual en volumen a la corona. Dicho se está, no obstante, que siendo diferentes los pesos respectivos de la plata y del oro, para que la corona, siendo de plata, pesase también una libra, sería necesario que su volumen fuese distinto y, por lo tanto, distinta habría de ser asimismo la cantidad de agua desalojada y diferente también el peso de esta agua: sin entrar en más pormenores ajenos a publicaciones de esta índole, compréndese perfectamente que existían ya datos muy bastantes para la solución del problema propuesto. Esto fue lo que Arquímedes vio al entrar en el baño y al fijarse en un fenómeno tan sencillo, que tantas otras veces pudo haber observado y que, sin embargo, hasta entonces no había llamado su atención. Además de estos descubrimientos que bastan y sobran para la inmortalidad del geómetra, Arquímedes inventó la balanza que lleva su nombre y fue el primero que determinó las leyes de equilibrio en la palanca, determinación que le llevó, después de profundos estudios sobre esta máquina, a proferir aquella célebre frase que sus biógrafos le atribuyen: Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra; frase que es indudablemente un pensamiento grande, pero que es, al propio tiempo, una gran inexactitud. Arquímedes murió, como es sabido, a manos de un soldado romano. Los
  • 4. historiadores aseguran que al entrar por asalto en Siracusa el cónsul Marcelo había dado órdenes muy severas para que fuese respetada la vida del sabio a quien admiraba todo el mundo civilizado; pero el soldado, que no conocía a Arquímedes y que lo vio abstraído en la solución de un problema de geometría, ya porque creyese que eran de oro los compases y otros instrumentos que el sabio tenía cerca de sí, ya porque le enojase no recibir contestación a sus preguntas, le atravesó de parte a parte con su espada. Las obras de Arquímedes que aun hoy, después de los siglos transcurridos, son admiración de los sabios, fueron muchas. Sus biógrafos mencionan con especialidad La medida del círculo, en que, como ya queda dicho, se aproxima en la determinación de π a la dada por los matemáticos modernos; De la esfera y el cilindro; De la cuadratura; De la parábola; De los esferoides y conoides; Determinación de los centros de gravedad en las líneas y en los planos; Del equilibrio de los cuerpos en los fluidos. La edición más completa de las obras de Arquímedes es la de Oxford, hecha por el editor Torelli en el año 1793. No es necesario decir que estas obras han sido traducidas a todos los idiomas que se hablan en el mundo civilizado y que hay puntos científicos en los cuales nada nuevo se ha dicho desde Arquímedes acá, lo cual parece prueba de que el eminente geómetra, el defensor inmortal de Siracusa, acertó a decir la última palabra.