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DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 
_________________________________________________________________________________________________________ 
9. DISEÑO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO 
9.1 Introducción 
Los elementos estructurales sometidos principalmente a carga axial de compresión se 
conocen con el nombre genérico de columnas o pilares. Cuando hay presencia de 
flexión y esta es importante se le denomina “ viga- columna “. En el primer caso se 
tienen como ejemplo típico los bloques de hormigón a compresión y los pedestales; en 
estos no hay presencia de flexión y la columna trabaja prácticamente a carga axial. En el 
segundo caso se tienen los elementos verticales típicos en los edificios “ columnas “ las 
cuales pueden ser cortas si su resistencia es controlada por las dimensiones de la sección 
y la capacidad mecánica de sus materiales o esbeltas si la resistencia es controlada por 
sus deformaciones laterales ( pandeo ). 
En el estudio de la flexión del hormigón armado se introdujo el concepto de sección 
transformada fisurada y no fisurada y para ello se utilizo el ejemplo de las columnas 
cargadas axialmente. El lector debe revisar nuevamente este concepto para entender la 
metodología de trabajo en el diseño de columnas de hormigón armado. De la revisión de 
los temas anteriores se concluye que: La resistencia de una columna cargada axialmente 
se determina con la ecuación 9.1, con la inclusión de un factor de reducción de 
resistencia “ Φ “. Los factores que afectan la resistencia de las columnas son mas bajos 
que los de vigas ya que las columnas, a diferencia de estas, son parte vital de la 
estabilidad de una estructura ( la falla de una viga es localizada y no produce colapso de 
la estructura, por el contrario la falla de una columna la afecta parcial o totalmente con 
una alta posibilidad de colapso). 
Ya que es poco probable en la practica encontrar columnas en donde la excentricidad 
sea nula se recomienda realizar su diseño para una excentricidad mínima que varia de 
acuerdo al tipo de amarre transversal. Si la columna tiene amarres rectangulares la 
excentricidad mínima es del 10% de la dimensión de su sección en la dirección 
perpenticular al eje de la flexión. Si tiene amarre en espiral es de un 5%. 
Con el fin de simplificar y garantizar un diseño confiable de columnas con 
excentricidad mínima el código ACI ( NSR ) especifica una reducción del 20 % de la 
carga axial para columnas con amarres y un 15% para columnas con espirales. En estos 
casos las ecuaciones de diseño son la 9.2 y la 9.3. 
Columnas con amarres: 
64 
n ( g s ) c s y P = 0.85. A − A . f ´ + A . f ( 9.1 ) 
( ( ) ) n c g s s y φ.P = 0.80φ. 0.85 f ´. A − A + A . f ( 9.2 ) 
Columnas con espiral: 
( ( ) ) n c g s s y φ .P = 0.85φ. 0.85 f ´. A − A + A . f ( 9.3 ) 
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En donde el valor de “ Φ “ depende de como es el comportamiento de la columna en la 
falla. Si controla la compresión “ εt < 0.002 “ => “ Φ = 0.65 “ en columnas con amarres 
y “ Φ = 0.70 “ en columnas con espiral. Si controla la tracción “ εt > 0.005 “ => “ Φ = 
0.90 “ en ambos casos. Para zonas de transición ( es decir hay agotamiento simultaneo 
por compresión y tracción ) “ 0.002 < εt < 0.005 “ el valor de “ Φ = 0.48 + 83 εt “ para 
columnas con amarres y “ Φ = 0.48 + 83 εt “ para columnas con espiral. El valor de la 
deformación “ εt “ es el de la capa de acero en la cara mas traccionada de la sección. 
9.2 Comportamiento y falla de columnas cargadas axialmente 
Cuando una columna corta con amarres transversales se somete a una carga de 
compresión axial cercana a la falla ( caso típico de las cargas inducidas por sismos o 
fuertes impactos ), parte del hormigón que recubre el refuerzo se desprende y el acero 
longitudinal queda por tanto sin confinamiento lateral permitiendo así su pandeo y el 
posterior colapso de la columna. Este fenómeno conocido como “ descascaramiento “ 
puede evitarse si los amarres transversales están dispuestos de tal forma que su bajo 
espaciamiento evite el pandeo lateral del elemento. 
Si se considera ahora una situación similar a la anterior pero ya la columna tiene 
amarres en espiral, el hormigón del recubrimiento también se desprenderá pero el 
núcleo de hormigón continuara vertical y si la espiral tiene bajo espaciamiento la 
columna continuara soportando carga adicional superior a la que produce el 
desprendimiento del recubrimiento. Esta situación demuestra la efectividad de la espiral 
correctamente espaciada para confinar el hormigón en la columna y lo que es mas 
importante permite avisar con suficiente holgura la proximidad de la falla una vez se 
desprenda el recubrimiento. 
Comportamiento con alta 
cuantía de espiral 
Comportamiento con 
amarres transversales 
Comportamiento con 
cuantía del ACI 
Comportamiento con baja 
cuantía de espiral 
Carga 
Acortamiento 
Desprendimiento 
del recubrimiento 
Figura 9.1 Comportamiento bajo carga axial de columnas con amarres y en espiral 
65 
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La practica que se ha difundido a nivel general es despreciar cualquier aumento de 
resistencia una vez se alcance el desprendimiento del recubrimiento ya que una vez se 
presente este fenómeno la columna pierde su confiabilidad en servicio, afirmación 
importante de los propietarios y usuarios de los edificios, a pesar de que aun funcione y 
continué funcionando bien por un determinado tiempo de servicio. 
Por esta razón recomienda diseñar la espiral para lograr una resistencia de la columna 
justo por encima de la que produce el desprendimiento del recubrimiento, permitiendo 
así mantener en posición la columna y permitir grandes deformaciones sin producir 
colapso lo que en definitiva se traduce en mayor confiabilidad cuando se produzcan 
sobrecargas excepcionales en la estructura. 
db 
dc 
D 
s 
La ecuación que define la cantidad optima de refuerzo en espiral recomendada en los 
códigos de construcción tiene en cuenta las recomendaciones anteriores y su deducción 
es la siguiente: la resistencia de la capa de hormigón que recubre el refuerzo esta dada 
por la expresión: 0.85. f ´. ( A − A ) c g c en donde “ Ac “ es el área del núcleo cuyo perímetro 
esta definido por el borde exterior de la espiral. Se puede demostrar que la resistencia de 
la espiral de cuantía “ ρs “ es: 2.ρ s .A f c . y . Igualando las dos tensiones y resolviendo para 
hallar la cuantía de la espiral se obtiene: 
ρ = − . Para mantener mayor 
Una vez se determine el porcentaje de la espiral se debe seleccionar su diámetro y 
espaciamiento ( paso ) con las siguientes ecuaciones: 
66 
Figura 9.2 Definición de variables en columnas con espiral 
c 
y 
A 
g 
f 
 
 
1 425 . 0   
  
s A 
f 
c 
´ 
seguridad en “ ρs “ se recomienda usar la siguiente expresión: 
A ´ 
ρ = − c 
( 9.4 ) 
y 
 
 0 . 45 g 
1  f 
 
  
s A 
f 
c 
V 
espiral 
= Volumen de una vuelta de la espiral = 
ρ . . . . . . 
s V 
nucleo 
volumen del nucleo de hormigon para el paso s 
. . . . . . . .( ) 
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En estas formulas “ Aesp “ es el área transversal del refuerzo en espiral, “ dc “ es el 
diámetro del núcleo de hormigón, “ db “ el diámetro de refuerzo en espiral como se 
indica en la figura 9.2. El procedimiento de calculo es sencillo: se asume un diámetro 
para la espiral y se halla el paso requerido “ s “. Si los resultados no son adecuados se 
puede ensayar otro diámetro hasta lograr los valores correctos. 
9.3 Requisitos constructivos en columnas de hormigón armado 
Los códigos y normas de construcción ( ACI-318 y NSR-98 ) especifican algunas 
limitaciones en dimensiones, refuerzo, restricción lateral y otros conceptos relativos al 
diseño de las columnas de los edificios. A continuación se presentan las que son mas 
importantes para el diseño estructural. 
ƒ El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser inferior al 1 % del área total 
de la columna “ ρmin = 0.01 Ag “. Se ha comprobado que columnas que tienen 
cantidades de refuerzo menores del 1% fallan súbitamente en forma similar a 
una columna sin refuerzo. El valor del 1% cubre también problemas de tensiones 
internas debidas a la fluencia y la retracción del hormigón en servicio. En 
algunos casos se permiten cuantías inferiores al 1% si por razones 
arquitectónicas o constructivas las dimensiones son tales que prácticamente con 
ellas se soporta holgadamente toda la carga aplicada. Sin embargo se especifica 
que en ningún caso la cuantía sea inferior al 0.5% de Ag. 
ƒ El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser mayor del 8% de la sección 
total de la columna. Con esto se previene la congestión del refuerzo y las 
dificultades en el acabado final del hormigón. En la practica se han encontrado 
los problemas anteriores aun con cuantías del 5% y 6%. El uso de cuantías altas 
no solo afecta la apariencia final del hormigón sino también su capacidad de 
carga. Cuando se van a utilizar empalmes al traslapo es recomendable no superar 
la cuantía del 4%. En ningún caso se deben usar paquetes de barras para altas 
cuantías de refuerzo. 
ƒ El numero mínimo de barras longitudinales en una columna es de 4 para 
secciones con amarres rectangulares o circulares, 3 para amarres triangulares y 6 
para secciones con espiral. La disposición de las barras afectara la resistencia a 
flexión de las columnas cargadas excéntricamente. 
ƒ Por lo general no se especifica una sección mínima de columna, sin embargo 
para dar un adecuado recubrimiento y espaciamiento al refuerzo es obvio que las 
mínimas dimensiones son de aproximadamente 200 mm o 250 mm. En edificios 
es aconsejable disminuir las dimensiones al máximo para lograr mayores 
espacios y donde sea posible tratar de ocultar las columnas dentro de los muros. 
ƒ Cuando se utilizan columnas con amarres, estos no deben tener diámetros 
menores que la barra # 3 para refuerzo longitudinal menor o igual a la # 10. Para 
barras longitudinales mayores a la # 10 o paquetes de barras se deben usar 
amarres # 4. Se pueden usar mallas electro soldadas o alambre corrugado con 
áreas equivalentes. 
67 
( ) 
( ) 
( ) 
A d d 4. 
− 
A d d 
esp c b 
− 
π 
esp c b 
ρ = 
= 
( 9.5 ) 
s s d 
2 . 2 
. . 
d s 
π 
. / 4 . 
c 
c 
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ƒ El espaciamiento centro a centro de los amarres no debe ser mayor que: a) 16 
veces el diámetro de las barras longitudinales b) 48 veces el diámetro de los 
amarres y c) la menor dimensión de la columna. 
16 db 
S < 48 de 
Min. ( b , h ) 
h 
b 
ƒ Los amarres deben estar dispuestos de tal forma que en cada esquina de la 
sección una barra longitudinal sirva de soporte lateral al amarre para este 
sujetarse de el con un gancho menor o igual a 135°. Se recomienda que ninguna 
barra longitudinal sea colocada a una distancia libre mayor de 150 mm de cada 
barra de soporte lateral. La figura 9.4 ilustra este requisito gráficamente para 
diferentes secciones de columna. Las secciones de la figura 9.4 con amares 
adicionales interiores son alternativamente costosas. Cuando las barras 
longitudinales se dispongan en circulo, se deben colocar también amarres 
circulares y ninguna barra debe amarrarse o restringirse individualmente. El ACI 
permite diseñar columnas sin amarres cuando por ensayos y análisis estructural 
se comprueba que estos no son necesarios sin afectar la resistencia y facilidad de 
construcción. Ya que existe poca evidencia experimental sobre el 
comportamiento de las columnas con barras empalmadas o paquetes de barras de 
refuerzo el ACI especifica colocar amarres adicionales en cada extremo del 
empalme y recomienda aplicar requisitos adicionales en aquellas regiones donde 
los empalmes son cercanos a la base de la columna. Los amarres no deben 
68 
Figura 9.3 Separación de los amarres en columnas 
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colocarse a mas de la mitad de su separación en la parte superior de las zapatas o 
losas de piso ni mas de la mitad de su separación por debajo de las losas. 
ƒ El código ACI y la norma NSR recomiendan que la separación mínima de 
espirales sea de 25 mm y la máxima de 75 mm. Cuando sean necesario 
empalmar barras longitudinales se debe usar soldadura o traslapo. 
Max.150 mm 
69 
Max. 150 mm Max. 150 mm 
> 150 mm > 150 mm > 150 mm 
Max. 150 mm 
Max. 150 mm 
Figura 9.4 Disposición típica de amarres en columnas 
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Ejemplo 9.1 Diseñar una columna corta con amarres transversales cargada axialmente 
con un Pu = 2800 kN. Considerar f´c = 28 MPa y fy = 350 MPa. 
Solución: El procedimiento mas rápido es asumir una cuantía inicial de refuerzo y 
determinar con ella las dimensiones requeridas. Sea ρ = 0.02 ( Por lo general se asume 
un valor entre 0.01 y 0.03 ) Î Si Pu ≥ Φ Pn despejando Ag de la ecuación 9.2 se tiene: 
=> Usar amarres # 3 cada 400 mm 
Estribos # 3 @ 400 mm 
70 
2800 103 
≥ × g A 
0.70 × 0.80 × (0.85 × 28 − 0.85 × 0.02 × 28 + 0.02 × 
350) 
A 164886.mm2 Seleccionar : b h 400.mm A 160000.mm2 g g ∴ ≥ ⇒ = = ⇒ = 
Para esta sección la cantidad de refuerzo se debe determinar nuevamente con 9.2 => 
3 
× 
2800 10 3 
− × × × 
0.85 28 160 10 
× 
0.70 0.80 
≥ st A Î A 3654.mm2 st ≥ 
(350 − 0.85 × 
28) 
 
  
 
  
Con barras # 9 ( 645 mm2 ) => 3654 / 645 = 5.7 barras => 6 # 9 Ù Ast = 3870 mm2 
Si se asumen amarres transversales # 3 Î 
ƒ 16 x 28.7 = 459 mm 
ƒ 48 x 9.5 = 456 mm 
ƒ Menor dimensión de columna = 400 mm 
h = 400 mm 
b = 400 mm 
70 mm 
70 mm 
260 mm 
70 mm 260 mm 70 mm 
Figura 9.5 Sección transversal de columna del ejemplo 9.1 
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Ejemplo 9.2 Una columna de hormigón armado soporta en servicio una carga axial 
muerta y viva de Psd = 820 kN y Psv = 1360 kN. Determinar su refuerzo longitudinal la 
cuantía de la espiral y el diámetro de su sección si f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. 
Solución: Î Pu = 1.2 x 820 + 1.5 x 1360 = 3024 kN Si ρ = 0.02⇒ 
Con barras # 7 ( 387 mm2 ) se tienen: 2419 / 387 = 6.25 barras => Usar 8 # 7 que 
equivalen a un Ast = 3096 mm2. El Φ.Pn = 3195 kN > Pu = 3024 kN => Cumple! 
Considerando un recubrimiento libre de hormigón de 40 mm => El área del núcleo de la 
columna es: Ac = π ( 370 )2 / 4 = 107521 mm2 
71 
3024 103 
≥ × g A Î A 149525.mm2 g ≥ 
0.75 × 0.85 × (0.85 × 28 − 0.85 × 0.02 × 28 + 0.02 × 
420) 
El diámetro de la columna es: D = 4 ×149525 = 436.mm 
π 
Î Usar D = 450 mm 
Para este diámetro la columna tiene una sección de: A 4502 / 4 159043.mm2 g =π × = 
 
  
− × × 
0.85 28 159043 
3024 × 
103 
× 
0.75 0.85 
 
  
≥ st A => A 2419.mm2 g ≥ 
El refuerzo requerido es: (420 − 0.85 × 
28) 
0.45 159043 1  × 28 
= min  
ρ =  − 
La cuantía mínima de espiral es: 0.0144 
420 
107521 
Si se asume un espiral de diámetro igual a la barra # 3 => despejando “ s “ de 9.5: 
( ) s 52.mm 
= 4 × 71 × 370 − 9.5 
Î Usar espiral # 3 con paso de 50 mm. 
× 
0.0144 370 
2 = 
450 mm 370 mm 
Espiral # 3 con 
paso de 50 mm 
Figura 9.6 Sección de columna del ejemplo 9.2 
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9.4 Columnas sometidas a compresión y flexión uniaxial 
9.4.1 Generalidades 
Las columnas sometidas solo carga axial son excepcionalmente escasas en el diseño 
estructural, por lo general siempre existe la posibilidad combinar la carga axial con 
flexión aun cuando esta no sea producida por acción externa alguna. La flexión se 
presenta por la continuidad de las estructuras que permite la transmisión de tensiones 
entre las diferentes componentes de la edificación. Por ejemplo la carga vertical y lateral 
en un edificio inicialmente actúa en las losas de piso, estas la transmiten a las vigas las 
cuales a su vez la llevan a las columnas para finalmente desplegarla en la cimentación. 
Esta secuencia en la transmisión de tensiones es la que da origen a la interacción de las 
diferentes solicitaciones en el interior de una estructura. Las losas pueden recibir la 
carga y transmitirla en una o en dos direcciones, las vigas pueden estar sometidas a 
flexión uni o biaxial mas cortante y torsión igualmente las columnas columnas con la 
particularidad de que en estas la carga axial es importante. Es requisito fundamental en 
el diseño de una columna considerar la flexión aunque el análisis de tensiones indique 
esta no esta presente o su magnitud no es importante; la razón de esto es que siempre 
existen desfases en la construcción que inevitablemente introducirán excentricidades 
adicionales a las inicialmente consideradas en los cálculos. 
Cuando un elemento de hormigón armado se somete a una combinación de carga axial 
mas flexión ( Mu , Pu ) como se indica en la figura 9.7 es conveniente reemplazar el 
sistema por uno estáticamente equivalente que representa la carga axial aplicada a una 
determinada distancia del eje de la columna. Esta distancia, llamada “ e: excentricidad “, 
se determina como la relación entre el momento y la carga axial: “ e = M / P “. 
P 
M 
P 
e = M / P 
Las columnas se pueden clasificar en función de la excentricidad equivalente, aquellas 
cuyo valor de “ e “ es pequeño se conocen como columnas sometidas principalmente a 
carga axial y su falla se iniciara por agotamiento del hormigón a compresión. De otra 
parte cuando “ e “ es alto la flexión controla el comportamiento y la falla se iniciara por 
la fluencia del refuerzo en la cara mas traccionada de la sección. 
72 
Figura 9.7 Excentricidad equivalente en columnas 
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En el estudio de las columnas, a diferencia de las vigas, el comportamiento antes de 
alcanzar la resistencia del elemento no es importante desde el punto de vista del diseño. 
La fisuración del hormigón aun en casos de altas excentricidades y las deflexiones 
laterales bajo cargas de servicio generalmente no son factores determinantes en su 
diseño estructural. Sin embargo para continuar una metodología de trabajo ya iniciada 
en el caso de la flexión se presentara aquí una resumen del comportamiento de las 
columnas excéntricas antes de alcanzar su resistencia estructural. El lector puede 
continuar con el numeral 9.4.5 si a su juicio lo considera conveniente. 
9.4.2 Comportamiento de columnas bajo carga excéntrica 
Los primeros intentos por tratar de modelar el comportamiento de las columnas 
excéntricas mostraron grandes dificultades en la adopción de expresiones adecuadas que 
permitieran a los ingenieros interpretar matemáticamente el problema. Solo el análisis 
elástico y el principio de superposición permitió encontrar una expresión racional para 
la flexión y la carga axial. Las tensiones por flexión y fuerza axial en cualquier punto de 
una columna se pueden representar por la ecuación 9.6: 
En donde “ r2 = ( I / A ) “. Cuando la excentricidad es nula => fc = P / A y se tiene la 
columna concéntrica. El signo positivo es tracción y el negativo compresión. Para 
encontrar la excentricidad que produce tensión de compresión nula en una de las caras 
de la columna => de la ecuación 9.6 “ fc = 0.0 “ y se despeja el valor de “ e “ Î 
Esta excentricidad es la distancia del centroide de la sección al punto donde termina 
teóricamente la compresión, este punto se conoce como “ punto Kern “. Si el proceso se 
repite para cada eje de la sección se encuentra una región o área interior de la columna 
la cual se denomina “ Área Kern “. Cualquier carga aplicada dentro de esta región solo 
produce tensiones de compresión en la columna, si la carga se aplica fuera de esta área 
se producirá tracción en la cara opuesta a la donde se plica la carga. Por ejemplo para 
una sección rectangular de b = h = 400 mm el área Kern es la indicada en la figura 9.8. 
Este valor es aproximadamente el 17 % de la dimensión de la sección. Considerando las 
otras caras y hallando el área Kern se encuentra que el tercio medio de la sección 
representa la región donde solo hay tensiones de compresión. En otras palabras si la 
excentricidad “ e < h / 6 “ se puede concluir que la sección no tiene tensiones de 
tracción en ningún de sus puntos y esta sometida solo a compresión. 
73 
( )  
f P M . y 
P 
P . e . y 
P 
1 e . 
y 
( 9.6 ) 
c = ± = ± =  ± 2 
 r 
 
A 
I 
A 
I 
A 
P 2 
e r 
y 
e y 
 
 
0 =  1 − 
.  ⇒ = A 
r 
2 
400 
3 
400 400 
× 
× × 
12 400 400 
2 
 
  
 
  
e 66.67.mm 
× 
12 200 
200 
= 
= 
= 
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h = 400 mm 
b = 400 mm 
Área Kern 
133 mm 
Si la carga se aplica 
en esta zona no se 
produce tracción en 
la columna 
En las primeras ediciones del código ACI se indicaba que si la relación “ e / h ≤ 1.0 “ se 
podía utilizar en los cálculos la sección elástica sin fisurar. En opinión de muchos 
investigadores de la época esta recomendación no solo era imprecisa sino poco realista 
respecto al comportamiento real de la columna ya que para esta cantidad la fisuración en 
la cara traccionada de la columna debía ser severa. En ediciones posteriores el ACI 
reconoció el hecho y propuso utilizar la sección sin fisurar si “ e / h ≤ 2 / 3“. Sin 
embargo aun para esta condición la fisuración era severa y muchos diseños realizados 
con esta especificación fueron adecuados no por la limitación en “ e / h “ sino por la 
aplicación de los factores de minoración de resistencia que permitían lograr altos 
márgenes de seguridad. 
9.4.3 Columnas excéntricas sometidas a bajas excentricidades 
Los ensayos realizados en la Universidad de Illinois por los investigadores Richart y 
Olson en el año de 1938 mostraron que la capacidad de carga de las columnas de 
hormigón armado no disminuye tan rápidamente a medida que aumenta la excentricidad 
tal como lo había predicho el método anterior al calcular fc. Sobre estas bases el ACI 
nuevamente modifico la expresión de diseño de las columnas y adopto una ecuación 
74 
Figura 9.8 Área Kern en una columna 
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consistente con los nuevos resultados experimentales. La expresión indica que la 
relación entre las tensiones axiales reales por compresión ( fa ) y las admisibles ( Fa ) 
mas la relación entre las tensiones axiales por flexión real ( fb ) y las admisibles ( Fb ) 
deben ser menor o igual a la unidad, expresada matemáticamente es la 9.7. 
Los valores de “ fa “ y “ fb “ se obtienen de las cargas, Fa = γ ( 0.225f´c + fs.ρg ) donde γ 
es igual a 1.0 para columnas en espiral y 0.80 en otros casos. Fb = 0.45.f´c. 
La forma de la ecuación 9.7 es similar a la que se usa en el diseño de estructuras 
metálicas. En el limite superior cuando f + = 1.0 
es la ecuación de una línea recta 
la cual se muestra en la figura 9.9. Se debe resaltar que en la practica es este limite 
superior es el que se usa en el diseño y el campo de aplicación de 9.7 esta limitado a 
relaciones “ e / h ≤ 2 / 3“. 
fa / Fa 
1.0 
mb / Mb 
Zona admisible 
1.0 
( pa / Pa ) 
fb / Fb 
Figura 9.9 Tensiones admisibles en columnas a compresión excéntricas ACI-318-56 
Por ejemplo si una columna de hormigón armado de b = h = 400 mm y una cuantía del 
0.02 con f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa esta sometida a una carga axial de 1000 kN y un 
momento de 75 kN.m => se verifica que: 
75 
f + f 
b 
≤ 1.0 
( 9. 7 ) 
F 
b 
a 
F 
a 
b 
f 
F 
b 
a 
F 
a 
Cumple 
e = = 0.075. m ⇒ e = 0.075 
= 0.1875 < 2/ 3⇒ 
h 
0.400 
75 
1000 
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= F MPa a = 0.225× 28 + 420× 0.02 = 14.70. 
Se concluye que la columna es satisfactoria para las condiciones de carga impuestas. Si 
por ejemplo la carga es de 1500 kN y el momento es de 100 kN.m esta misma columna 
no es correcta y se debe modificar su diseño. 
Llama la atención la similitud de la grafica de la figura 9.9 con lo que mas adelante se 
denominaran los diagramas de interacción para el diseño de columnas. Si por ejemplo se 
multiplican los valores de las ordenadas de la figura 9.9 por “ Ag / Ag “ se obtiene la 
relación carga axial aplicada sobre carga axial admisible. Igualmente si se multiplican 
las abscisas por la relación “ I / A “ se obtiene la relación momento aplicado sobre 
momento admisible. Se tiene así un grafico de relaciones unitarias de P y M. 
La figura 9.10 muestra la sección transversal de una columna rectangular cargada 
excéntricamente, lo mismo que su sección transformada y el perfil de cargas aplicadas, 
donde “ P “ esta localizada a una distancia “ e “ del centro de gravedad de la sección 
transformada. Si “ As = A´s “, hipótesis muy frecuente en columnas, la excentricidad se 
puede medir desde el centroide de la sección. 
e 
( n – 1 ) A´s 
A´s 
As 
La carga axial produce tensiones uniformes de magnitud “ fa = P / At “ mientras el 
momento flector produce tensiones máximas de magnitud “ fb = ( M.y ) / It. Si se 
sustituye “ y = h / 2 “ las tensiones en la sección quedan: 
76 
1000 × 
103 
fa 6.25.MPa 
× 
400 400 
= 
6 
= 75 × 10 × 200 
F = b 0.45× 28 = 12.60. 
MPa f MPa b 7.03. 
3 
× 
400 400 /12 
= 
7.03 
6.25 
La relación de tensiones es: + = 0.425 + 0.558 = 0.983 < 1.0⇒ Cumple 
12.60 
14.70 
Figura 9.10 Comportamiento de columnas en rango elástico no fisurado 
M h 
f P 
(max.min) = ± . ( 9.8 ) 
c A 
2. 
I 
t t 
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P 
( n – 1 ) As 
h 
b
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_________________________________________________________________________________________________________ 
Las tensiones dadas por la expresión 9.8 se indican en la figura 9.11. Dependiendo del 
valor de “ fc,min “ la sección puede estar totalmente comprimida ( fc > 0.0 ) o 
traccionada ( fc < 0.0 ). En este ultimo caso si “ fc,min “ es menor que el modulo de 
rotura del hormigón “ fr “ la sección esta en rango elástico no fisurado y los cálculos de 
las tensiones internas se pueden hacer utilizando el concepto de la sección transformada. 
En caso contrario la sección esta fisurada. 
= + = 
P 
M 
fa fb fa + fb 
fc max 
Por medio de la ecuación 9.8 se puede determinar aquel valor de la excentricidad para la 
cual la sección esta fisurada. Este valor de se denomina excentricidad limite y se 
determina igualando las tensiones resultantes en la cara traccionada al valor “ fr “. 
Por ejemplo para una columna de b = h = 400 mm con f´c = 28 MPa y sometida a una 
carga axial P = 1000 kN Î la excentricidad limite es: 
El resultado indica que la sección se mantiene en rango elástico sin fisurar si el 
momento flector no supera el valor de 1000 x 0.102 = 102 kN.m. Este calculo se realizo 
sin considerar la presencia del acero de refuerzo, en el siguiente ejemplo se muestra 
como son los cálculos completos. 
Ejemplo 9.3 Se requiere determinar la excentricidad limite de una columna de 
hormigón armado de dimensiones b = 300 mm y h = 500 mm la cual esta sometida a 
una carga de compresión P = 1500 kN. La sección esta reforzada con 4 # 8 colocadas 
simétricamente como se indica en la figura 9.12. Utilizar f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa. 
77 
Figura 9.11 Tensiones en columnas excéntricas en rango elástico no fisurado 
P e h 
P 
M h 
f f P 
. . 
= − = − . = − 
c r A 
2. 
I 
A 
2. 
I 
t t t t 
( ) ( ) 
e P At fr It 
∴ lim = 2. + . ( 9. 9 ) 
P . 
h 
( ) ( × 3 3 )( 4 
) e = × + × × 
102.mm 
lim 2.1000 10 /160 10 0.62 28 400 /12 3 
× × 
1000 10 400 
= 
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Solución: Para determinar la “ elim. “ se requiere conocer las propiedades de At e It de la 
sección transformada no fisurada Î 
( 9 – 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2 
( 9 – 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2 
200 mm 
200 mm 
300 mm 
500 mm 
Si la columna se somete a momentos flectores M ≤ 1500 x .119 = 179 kN.m se puede 
concluir que la sección trabaja elásticamente sin fisurar. 
9.4.4 Columnas sometidas a grandes excentricidades 
Si la excentricidad en una columna supera el valor de “ e ( lim) “ nuevamente, al igual 
que en vigas, parte de la sección se hace ineficaz para soportar las tensiones generadas 
por las cargas y la situación cambia totalmente respecto al caso anterior. La figura 9.13 
muestra la sección de una columna sometida a una carga axial con gran excentricidad si 
se define “ kt “ como la altura de la zona comprimida, “ dc “ la distancia del borde mas 
78 
Figura 9.12 Sección de columna del ejemplo 9.3 
n = 204000 = ≈ 
A 300 500 150000.mm2 g = × = 9.29 9 
4790 21 
A 150000 8160 8160 166320.mm2 t = + + = 
 
 × = 
I 300 500 mm T × = × × +   
2 6 4 
3 
2 8160 200 3778 10 
12 
  
f MPa r = 0.62× 21 = 2.8. 
 
× ×   
2.8 3778 10 
 
× + 
2 1500 10 
166320 
6 
3 
  
e = 
119.mm 
(lim) 3 
× × 
1500 10 500 
= 
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comprimido al eje central de la columna y “ ds “ la distancia del borde mas traccionado 
al eje central de la columna se tiene por cálculos estáticos lo siguiente: 
( 2n – 1) A´s 
kt dc 
d´ 
ds 
d 
Cs 
Cc 
n.As 
T 
fc 
fs / n 
d - kt 
   − − = b f k C c t 
e 
 − ´ 
 
f d e 
h P 
n A f d k c 
 + −   
  
 − − −  
h d e k f b k e h n A k d 
( ) 0.0 
  
 
 − +   
  
  − + −  
 
´ ´ = 2 
79 
Figura 9.13 Tensiones en columnas excéntricas fisuradas 
Del equilibrio de la sección y tomando momentos respecto al eje de la carga => 
T d + e −C  k + e − d C e d d c s c 
( ) ( ) 0.0 
t 
 3 
 
´ = + − −  
s c 
f n 
f 
f = d − k 
. 
s t f 
= Î c 
Ahora por semejanza de triángulos: c 
s 
k 
( d − 
k 
)t 
t 
t 
k 
n 
 
´ 
 
C 2.n 1 .A . k d . 
T A . f n.A . f . d k ( ) c 
  
 − = = 
  
t 
t 
s s s c k 
´ 
  
s s f 
t 
t 
k 
= . 
c . 
2 
Reemplazando en la ecuación de equilibrio se obtiene: 
  
. . . . t c t 
2 1 . . . . 
´ 
3 2 
. 
. . 
2 
2 
k 
k 
t 
t 
s 
t 
t 
s c 
= n A f  h − d + e s c 
  
ψ 
= 2n − 1 .A´ . f .  d´ + e − 
h s c   
 
α . . . ´ 
( ) Sean: 2 
 
2 
. c β = b f 
2 
y 
γ = e − h Se obtiene una expresión mas simplificada para resolver “ kt “: 
2 
 
´ 
=   
 − −  
α d k β γ ψ 
k k k d 
  
. 0.0 
 
−  +   
  
t t 
3 
 − 
  
. . . 
t 
t 
t 
t 
k 
k 
Esta es una ecuación cúbica para hallar el valor de “ kt “, organizando términos Î 
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Una vez conocido el valor de “ kt “ se determinan las tensiones en el hormigón “ fc “ y 
en las dos capas de acero para finalmente determinar la carga admisible. 
Ejemplo 9.4 Una columna de b = h = 450 mm esta reforzada con seis barras # 9 como 
se indica en la figura 9.14. Determinar la carga axial admisible en rango elástico 
fisurado para una excentricidad e = 480 mm. f´c = 21 MPa y fy = 280 MPa. 
60 mm 
60 mm 
P (adm) 
450 mm 
450 mm 
380 mm 
390 mm 
Solución: Inicialmente se determinara la posición del eje neutro “ kt “ y luego las cargas 
internas “ T “, “ Cc “ y “ Cs “ para finalmente calcular “ Padm “. 
80 
k3 + k2 + + k − d + d´ = t t t β β γ α ψ α ψ 
. . . ( ). ( . . ) 0.0 
3 
Figura 9.14 Sección de columna del ejemplo 9.4 
n = 204000 = 9.29 ≅ 9 
As = A´s = 3 x 645 = 1935 mm2 
4790 21 
A 9 1935 17415.mm2 t = × = A´ (2 9 1).1935 32895.mm2 t = × − = 
La tensión admisible a compresión del hormigón es: fc = 0.45 x 21 = 9.45 MPa 
= n A f  h − d + e s c 
  
α . . . = 9 x 1935 x 9.45x ( 225 – 60 + 380 )=90 x 106 
 
´ 
2 
ψ = 2n − 1 .A´ . f .  d´ + e − 
h s c =(18 – 1 ).1935 x 9.45 x ( 60 + 380 – 225 ) =67 x 106 
  
 
( ) 2 
. c b f β = = ( 450 x 9.45 ) / 2 = 2126 
2 
γ = e − h = ( 380 – 225 ) = 155 
2 
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9.4.5 Comportamiento a nivel de resistencia . Refuerzo en dos capas ( As y A´s ) 
Cuando las cargas externas se incrementan a valores tales que la resistencia del acero 
tiende a “ fy “ y la del hormigón a “ f´c “ se presenta una redistribución no lineal de 
tensiones entre los dos materiales. Este proceso no solo es complejo sino que solo se 
puede interpretar mediante una correcta formulación de un modelo matemático racional 
ajustado a la evidencia experimental. En principio se puede considerar para el análisis 
la columna de la figura 9.15 sometida a una carga axial “ Pn “ localizada a una distancia 
“ e´ ” del centroide del refuerzo a tracción. Para mayor generalidad se asume que las dos 
capas de acero tienen áreas diferentes “ As ≠ A´s “ que obliga a localizar su eje 
centroidal en un punto diferente al eje geométrico de la sección. De forma similar al 
diseño a flexión en vigas y losas, se puede presentar una falla a tracción o una falla a 
compresión dependiendo de si el acero a tracción alcanza o no la tensión de fluencia. 
Sin embargo, contrario a lo de vigas, en este caso no se puede evitar una falla a 
compresión limitando la posición del eje neutro respecto a la altura efectiva de la 
sección tal como se procede en esos casos ya que el tipo de falla depende es de la 
81 
2126 3 + × 2 + × 6 + × 6 − × 8 + × 8 = t t t k k k 
. 2126 155. (90 10 67 10 ). (351 10 40 10 ) 0 
3 
3 + 465. 2 + 221543. − 5517×104 = 0 t t t k k k 
Al resolver la cúbica se encuentra que la raíz correcta es “ kt = 168 mm “. 
 − 
= s y f 9.45 112.MPa 0.5. f 
9 390 168 As en rango elástico 
  
⇒ < = ×  
168 
= × − × − s y f 9.45 103.MPa 0.5. f 
´ 2 9 1 168 60 A´s en rango elástico 
  
( ) ×  
= < ⇒ 168 
Se concluye que las tensiones en ambos aceros cumplen los limites admisibles. 
= 168×9.45 × = 
C N c 450 357210. 
2 
 − 
 
2 9  
1 1935 168 60  × = C ( ) N s 9.45 199837. 
168 
= × − × × 
 − 
 
 
9 1935 390 168  × = T 9.45 217470.N 
168 
= × × 
∴P = 357210 +199837 − 217470 = 339577.N = 340.kN 
La carga admisible para una excentricidad de “ e = 380 mm “ es “ P = 340 kN ”. 
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magnitud de la carga axial. Por lo general el acero a compresión en columnas 
excéntricas llevadas a la falla alcanza la tensión de fluencia, excepto cuando: a) el nivel 
de carga axial es bajo, b ) se utiliza acero de alta resistencia y c) cuando las dimensiones 
de la columna son tales que “d´ ” es grande. En la practica es frecuente suponer que “ 
A´s “ esta en fluencia y luego por relaciones geométricas de las deformaciones 
comprobar esta hipótesis. 
d´ 
e´ 
Pn 
d 
A´s 
b 
Cs 
Cc 
Figura 9.15 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excéntricas 
Las expresiones 9.10 y 9.11 definen la capacidad a flexión y carga axial de columnas 
excéntricas con refuerzo asimétrico. Sin embargo estas ecuaciones en la practica no son 
útiles porque se acostumbra referenciar la excentridad al eje central de la columna “ e “. 
Para lograr mayor aplicación a las anteriores ecuaciones es necesario referir la 
excentricidad a un punto denominado el “ centroide plástico de la sección “. Este punto 
esta localizado de tal forma que la carga externa produce una condición de falla solo por 
82 
Cs 
Del equilibrio de fuerzas horizontales en la figura 9.15 se tiene: 
P − C − C −T = 0 n s c Î . 0.85. . . . 0 − ´ ´ − ´ + = n s s c s s P A f f b a A f 
n c s s s s ∴P = 0.85. f ´.a.b + A´ . f ´ − A . f ( 9.10 ) 
Por lo general el acero a compresión esta en fluencia => f´s = fy 
Tomando momentos alrededor del acero a tracción se obtiene: 
P e − C d − d −C d − a n s c 
( ) 0 
  
 
. ´ . ´ . = 2 
P .e 0.85 f .a.b. d a A f d d n c s s − +  
´ ´ ´ . ´.( ´ ) 
= ⋅  −  ( 9.11) 
2 
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003 
h 
As 
εc 
ε´s 
εs 
c 
T 
a 
Cs 
Cc 
T 
0.85.f´c
DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 
_________________________________________________________________________________________________________ 
carga axial. La figura 9.16 ilustra la forma de ubicar el centroide plástico en una 
columna con refuerzo asimétrico de dimensiones “ b “ y “ h “. 
C2 
C1 
C3 
d´ 
Po 
Carga localizada en el 
centroide plástico 
A´s 
As 
b 
h 
h / 2 
d" 
d 
Cuando la sección esta reforzada simétricamente “ As = A´s “ y el valor de la ecuación 
9.12 se reduce considerablemente convirtiéndose en la 9.13. 
De nuevo considerando la figura 9.15 pero ahora realizando sumatoria de momentos 
respecto al centroide plástico de la sección se obtiene: 
83 
Figura 9.16 Localización del centroide plástico de una sección de columna 
De la definición: o c c st y P = 0.85 f ´.A + A . f : Carga axial en la columna 
Por sumatoria de momentos respecto al eje del refuerzo a tracción se tiene: 
. ´ 
1 2 C d h C d d P d o = − +  
.( ) . " 
 − 
 2 
 
Reemplazando valores y despejando “ d´´ “ se obtiene: 
( ) ( ) 
´ ´ ´ ´ 
d f b h d h A f d d ´ ´ 
= 0.85 . . . − / 2 + . . 
− c s s 
( 9.12 ) 
( )c s s y 
f b h A A f 
´´ 
0.85 . . 
+ + 
(. ´) 
d´´ d d − 
= ( 9.13 ) 
2 
P .e 0.85 f .a.b. d a d A f d d d A f d n c s s s s + − − +  
´ ´´ ´ . ´.( ´ ´´ ) . . ´´ 
=  − − ( 9.14 ) 
 2 
 
Reemplazando 9.13 en 9.14 para columnas con refuerzo simétrico Î 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
d´ 
e 
Pn 
d 
b 
Cs 
Cc 
Figura 9.17 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excéntricas 
Las ecuaciones 9.10, 9.14 y 9.15 son las relaciones de equilibrio básicas para columnas 
rectangulares sometidas a flexo-compresión. En estas ecuaciones es necesario recordar 
que parte del hormigón de la zona comprimida ha sido desplazado por el acero y esto no 
se ha considerado en las anteriores ecuaciones por el pequeño efecto que tiene en los 
resultados; sin embargo para cuantías altas, mayores al 4 %, su efecto es importante y es 
necesario considerarlo en los diseños. Lo que se hace es reemplazar el valor de “ f´s “ 
por “ ( f´s – 0.85.f´c ) “ logrando así compensar la carga de la misma manera como se ha 
disminuido el valor de la resistencia a compresión. 
Para una determinada columna la carga axial determinada con la ecuación 9.10 no debe 
ser mayor que la obtenida con la 9.2. Dependiendo de la magnitud de la excentricidad se 
pueden considerar tres tipos de comportamientos en las columnas: 
ƒ Cuando la excentricidad de la carga axial es alta, la falla se inicia por fluencia 
del acero a tracción ( fs = fy ). El acero a compresión puede estar en fluencia ( f´s 
= fy ) dependiendo de la deformación del hormigón a compresión (εc = 0.003) 
hipótesis que se debe comprobar por compatibilidad de deformaciones. 
ƒ Cuando la excentricidad es baja el hormigón alcanza inicialmente su máxima 
deformación (εc = 0.003) antes de que el acero a tracción inicie la fluencia. En 
estos casos la sección de la columna estará totalmente comprimida. 
ƒ Cuando la rotura se produce por la acción simultanea de fluencia del acero a 
tracción y máxima deformación del hormigón a compresión se llega a la 
condición intermedia. 
Las ecuaciones de compatibilidad para comprobar si el acero en ambas caras de una 
columna esta o no en fluencia se obtienen del perfil de deformaciones de la figura 9.17. 
Por semejanza de triángulos se obtiene: 
84 
P .e = 0.85 f ´.a.b.  h − 
a A´ f ´ h d´ A f d h ( 9.15) 
n c s s s s   
 − +  
  
 − +  
  
 
2 
. . 
2 
. . 
2 2 
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h 
A´s 
εc 
ε´s 
εs 
c 
T 
a 
Cs 
Cc 
T 
0.85.f´c 
d" 
C.P
DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 
_________________________________________________________________________________________________________ 
C D 
εs 
εc 
A B 
ε´s 
d 
c 
d´ Para el triangulo OAB => 
ε = ε 
c s 
c (d − 
c) 
Para el triangulo OCD => 
´ 
ε = ε 
c s 
( ´ ) 
c d − 
d 
O 
Para una columna rectangular con refuerzo simétrico el análisis de su comportamiento a 
nivel de resistencia se logra utilizando las ecuaciones 9.10 y 9.15 comprobando las 
hipótesis de las deformaciones con 9.16 y 9.17. Por lo general para una determinada 
excentricidad “ e “ o una carga axial “ Pn “ son datos del problema: las dimensiones de 
la sección, la cantidad y distribución del refuerzo, el recubrimiento y la resistencia de 
los materiales ( b, h, d, d´, As, A´s, f´c, fy ) las incógnitas son : la profundidad del eje 
neutro “ c “, las tensiones en los aceros “ fs y f´s “ y “ Pn “ o “ e “. 
El procedimiento de análisis para una sección y excentricidad conocidas es el siguiente: 
inicialmente se asume una profundidad del eje neutro “ c “. Se determina luego la altura 
del bloque de Whitney usando la expresión “ a = β1.c “, se calculan las tensiones en los 
aceros a tracción y a compresión con 9.16 y 9.17 y luego la carga axial “ Pn “ con la 
ecuación 9.10, calcular finalmente la excentricidad correspondiente a esta carga usando 
la ecuación 9.15 y comparar este valor con la “ e “ inicial. Si son aproximadamente 
iguales se tiene la capacidad de carga axial de la columna, en caso contrario se deben 
repetir los cálculos anteriores usando un nuevo valor de “ c “. Si la excentricidad 
obtenida es mayor que la indicada se debe asumir un valor mayor de “ c “ y viceversa. 
Este proceso converge rápidamente y es muy simple con la ayuda de una calculadora 
programable o una hoja de calculo. 
Ya que el procedimiento anterior es largo y laborioso mas aun cuando no se dispone de 
eficientes herramientas de calculo como las calculadoras programables de gran 
capacidad y computadores portátiles, es practico utilizar tablas o gráficos que resuelvan 
85 
Despejando “ εs “ , “ ε´s “ y reemplazando “ fs = Es. εs “ ,“ fs = Es. εs “ Î 
( ) 
f = ε .E . d − c ≤ ( 9.16 ) 
s c s y f 
c 
( ´ 
) 
f E c − 
d ≤ 
´ ε . . ( 9.17 ) 
s c s y f 
c 
= 
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rápidamente el problema. De estas ayudas la mas conocida es el “ diagrama de 
interacción de columnas “ los cuales son gráficos similares al mostrado en la figura 9.18 
y donde se relacionan los momentos y las cargas axiales para diferentes: 
Pn 
Columna con excentricidad 
pequeña. Controla la compresión 
Condición 
intermedia 
Columna con grande 
excentricidad 
Mn = Pn.e 
Columna sin excentricidad, 
solo compresión ( e = 0 ) 
Zona a compresión 
Zona a traccion 
Ejemplo 9.5 Se requiere analizar el comportamiento de la columna de la figura 9.19 
utilizando un hormigón de f´c = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa. 
86 
a) Disposiciones en la colocación del refuerzo ( en dos o cuatro caras ) 
b) Resistencia de los materiales ( f´c y fy ) 
c) Dimensiones de recubrimientos ( d y d´ ) 
d) Secciones de columna ( rectangular y circular) 
Figura 9.18 Forma típica del diagrama de interacción y perfiles de deformación 
h = 400 mm 
b = 400 mm 
d´= 65 mm 
d´= 65 mm 
4 # 9 
4 # 9 
Figura 9.19 Sección de columna del ejemplo 9.5 
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DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 
_________________________________________________________________________________________________________ 
Solución: primero se determina la capacidad de la sección sometida a compresión pura 
con la ecuación 9.2. Luego se asumen diferentes valores de “ c “ determinando los 
puntos que definen el diagrama de interacción de la columna . 
a) Capacidad de la columna solo a carga axial “ e = 0 “. 
b) Determinación de los valores de “ Pn “ y “ Mn “ para diferentes valores de “ c “. 
Este procedimiento se facilita con un programa o una hoja de calculo como se indica a 
continuación. Ya que el valor de “ c “ puede variar desde “ 0.0 “ hasta infinito ( cuando 
la columna es una viga ) se asumirán valores arbitrarios hasta lograr que Mn ≈ 0.0 para 
así graficar los puntos del primer cuadrante del diagrama. Las figuras 9.20, 9.21 y 9.22 
muestran los tres tipos de gráficos de interacción mas utilizados. 
( ) f MPa MPa s s 0.01246 204000 0.01246 2542. 420 
( ) f MPa MPa s s 0.002025 204000 0.002025 413. 420 
( ) f MPa MPa s 0.002025 s 204000 0.002025 413. 420 
87 
P ( ) ( ) N kN no 0.85 35 400 400 8 645 8 645 420 6774 10 . 6774. = × × × − × + × × = × 3 = 
P 
6774 103 
= × 
El valor expresado en términos de tensiones: no = 
42. 
MPa 
A 
g 
× 
400 400 
6774 103 
= × 
P 
El valor adimensional es: 1.21 
´ = 
× × 
400 400 35 
no 
A f 
× g c 
ƒ Para c = d´= 65 mm Î f´s = 0.0 
ε = 0.003× 335 − 65 = ⇒ = × = > 
335 
C N kN c 0.85 35 0.80 65 400 619 10 619. = × × × × = × 6 = 
T = 2580× 420 = 1084×106N = 1084.kN 
P kN n = 619 −1084 = −465. 
M ( ) kN mm kN m n 619 (200 0.80 65/ 2) 1084 335 200 254 10 . 254 . = × − × + × − = × 3 = 
Este es el primer punto de la tabla 9.1 y corresponde “ e = 254 / - 465 = - 0.55 m ”. 
ƒ Para c = h / 2 = 200 mm Î 
ε = 0.003× 335 − 200 = ⇒ = × = < 
200 
− 
200 65 
´ 0.003 = ⇒ = × = < 
200 
ε = × 
C N kN c 0.85 35 0.80 200 400 1904 10 1904. = × × × × = × 6 = 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
M ( ) ( ) kN m n = 1904× (200 − 0.80× 200/ 2) +1065× 335 − 200 +1065× 200 − 65 = 516 . 
Este es el cuarto punto de la tabla 9.1. Corresponde a un “ e = 0.27 m ” 
( ) f MPa MPa s s 0.002420 204000 0.002420 494. 420 
b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 
h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 
d´( mm ) = 65 As(mm2) = 2580 ec= 0.003 
d ( mm ) = 335 A´s(mm2) = 2580 B1= 0.80 
Punto c fs f´s Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c ) 
(mm) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens. 
1 65 420 0 254 -465 3.97 -2.91 0.113 -0.083 
2 110 420 250 397 610 6.20 3.81 0.177 0.109 
3 155 420 355 474 1309 7.40 8.18 0.211 0.234 
4 200 413 413 516 1904 8.07 11.90 0.230 0.340 
5 245 225 420 462 2836 7.23 17.72 0.206 0.506 
6 290 95 420 411 3599 6.43 22.50 0.184 0.643 
7 335 0 420 357 4273 5.57 26.71 0.159 0.763 
8 380 -72 420 295 4888 4.60 30.55 0.132 0.873 
9 425 -130 420 223 5464 3.48 34.15 0.099 0.976 
10 470 -176 420 139 6012 2.17 37.57 0.062 1.073 
11 515 -214 420 42 6538 0.66 40.86 0.019 1.168 
12 560 -246 420 -67 7049 -1.05 44.06 -0.030 1.259 
88 
C T N kN s 2580 413 1065 10 1065. = = × = × 6 = 
P kN n = 1904 +1065 −1065 = 1904. 
ƒ Para c = d = 335 mm Î fs = 0.0 
ε ´ = 0.003× 335 − 65 = ⇒ = × = > 
335 
C N kN c 0.85 35 0.80 335 400 3189 10 3189. = × × × × = × 6 = 
P kN n = 3189 + 2580× 420 = 4273. 
M ( ) kN mm kN m n 3189 (200 0.80 335/ 2) 1084 200 65 356 10 . 356 . = × − × + × − = × 3 = 
Este es el punto # 7 y corresponde a un “ e = 356 / 4273 = 0.08 m “. 
Tabla 9.1 Resumen de los resultados en los cálculos de la columna del ejemplo 9.5 
COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO 
FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPAS 
DATOS DE LA SECCIÓN 
DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION 
p = 0.03225 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
89 
8000 
7000 
6000 
5000 
4000 
3000 
2000 
1000 
0 
( 357, 4273 ) 
( 610, 397 ) 
( 516, 1904 ) 
( 0, 6774 ) 
0 200 400 600 
Mn ( kN.m) 
Pn ( kN ) 
Figura 9.20 Diagrama de interacción dimensional de la columna del ejemplo 9.5 
50 
40 
30 
20 
10 
0 
e = 0.08 
e = 0.27 
e = 0.55 
0 2 4 6 8 10 
Mn / ( Ag h ) ( MPa ) 
Pn / Ag ( MPa ) 
Figura 9.21 Diagrama de interacción en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.5 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
e / h = 0.20 
e / h = 0.68 
Figura 9.22 Diagrama de interacción adimensional de la columna del ejemplo 9.5 
Si se repiten los cálculos dela tabla 9.1 para las ocho cuantías de columnas se obtiene 
una familia de diagramas muy útiles en el diseño estructural y que se presentan en todos 
los manuales y ayudas de diseño. La figura 9.23 los ilustra para el ejemplo 9.5. 
90 
1.40 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 
Mn / ( Ag h f´c ) 
Pn / ( Ag f´c) 
12000 
10000 
8000 
6000 
4000 
2000 
0 
ρ = 0.01 
ρ = 0.08 
Mn 
0 200 400 600 800 1000 
Mn ( kN.m) 
Pn ( kN) 
Figura 9.23 Familia de diagramas de interacción del ejemplo 9.5 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
9.4.6 Comportamiento a nivel de resistencia. Refuerzo en todas las caras 
Cuando se presentan altos momentos flectores es mas económico concentrar parte o 
todo el refuerzo en las dos caras paralelas al eje de la flexión como se indica en la figura 
9.24. Sin embargo para pequeñas excentricidades es decir alta carga axial y bajos 
momentos flectores y cuando por razones arquitectónicas se requieran disminuir al 
máximo las dimensiones de la sección transversal de la columna es practico distribuir el 
refuerzo en forma uniforme alrededor del perímetro de la sección. 
b 
En este caso, al existir varias capas de refuerzo, es probable que cuando se alcance la 
resistencia de la sección las barras de las capas intermedias no estén en fluencia aspecto 
que se debe tener en cuenta cuando se analiza el comportamiento de la sección, figura 
9.25. Utilizando los principios explicados en el numeral anterior se pueden construir los 
diagramas de interacción de estas secciones aplicando las ecuaciones de equilibrio y 
compatibilidad. Estos diagramas son la base fundamental del diseño de las columnas 
con refuerzo en todas las caras. La construcción de estos se explicara mejor con el 
siguiente ejemplo. 
Ts3 
Figura 9.25 Tensiones y deformaciones en columnas con refuerzo en todas las caras 
91 
Figura 9.24 Distribución del refuerzo en columnas en dos y cuatro caras 
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h 
b 
h 
Mu Mu 
εc 
εs1 
εs2 
εs3 
εs 
Ts4 
Cs1 
Cc 
Cs2 
c 
As1 
As2 
As3 
As4
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_________________________________________________________________________________________________________ 
Ejemplo 9.6 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna del 
ejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las cuatro caras. 
h = 400 mm 
8 # 9 
b = 400 mm 
d´= 65 mm 
135 mm 
135 mm 
d´= 65 mm 
Solución: El procedimiento a seguir es similar al ejemplo anterior. En la tabla 9.2 y 
figuras 9.27 a 9.30 se muestran los resultados obtenidos. 
Punto c fs1 fs2 fs3 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c ) 
# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens. 
1 65 0 420 420 217 -736 3.4 -4.6 0.10 -0.13 
2 110 250 420 420 338 177 5.3 1.1 0.15 0.03 
3 155 355 178 420 406 1121 6.3 7.0 0.18 0.20 
4 200 413 0 413 444 1904 6.9 11.9 0.20 0.34 
5 245 420 112 225 406 2855 6.3 17.8 0.18 0.51 
6 290 420 190 95 366 3635 5.7 22.7 0.16 0.65 
7 335 420 247 0 320 4320 5.0 27.0 0.14 0.77 
8 380 420 290 72 264 4945 4.1 30.9 0.12 0.88 
9 425 420 324 130 197 5527 3.1 34.5 0.09 0.99 
10 470 420 352 176 117 6081 1.8 38.0 0.05 1.09 
11 515 420 374 214 24 6612 0.4 41.3 0.01 1.18 
12 560 420 393 246 -82 7127 -1.3 44.5 -0.04 1.27 
13 605 420 410 273 -204 7629 -3.2 47.7 -0.09 1.36 
14 650 420 420 297 -339 8116 -5.3 50.7 -0.15 1.45 
92 
Figura 9.26 Sección de columna del ejemplo 9.6 
Tabla 9.2 Resultados del análisis de la columna del ejemplo 9.6 
COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO 
FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS 
DATOS DE LA SECCIÓN 
b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 
h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 
d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1935 ec= 0.003 
d´2( mm ) = 200 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8 
d´3(mm) = 335 As3(mm2) = 1935 
DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
93 
12000 
10000 
8000 
6000 
4000 
2000 
0 
0 200 400 600 800 1000 
Mn (kN.m) 
Pn(kN) 
Figura 9.27 Diagrama de interacción de la columna 9.6 
70.0 
60.0 
50.0 
40.0 
30.0 
20.0 
10.0 
0.0 
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 
Mn / ( Ag h ) ( MPa) 
(Pn / Ag ) (MPa) 
Figura 9.28 Diagrama de interacción de la columna del ejemplo 9.6 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
Mn 
0 200 400 600 800 1000 
94 
2.00 
1.80 
1.60 
1.40 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 
[ Mn / (Ag.h.f´c)] 
[Pn / (Ag.f´c)] 
Figura 9.29 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.6 
12000 
10000 
8000 
6000 
4000 
2000 
0 
Mn ( kN.m) 
Pn ( kN) 
Figura 9.30 Diagrama completo de interacción del ejemplo 9.6 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
Ejemplo 9.7 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna del 
ejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las dos caras laterales. 
h = 400 mm 
8 # 9 
b = 400 mm 
d´= 65 mm 
90 mm 
90 mm 
90 mm 
d´= 65 mm 
Solución: El procedimiento también es similar al ejemplo 9.5. En la tabla 9.3 y figuras 
9.32 a 9.35 se muestran los resultados obtenidos. 
Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c ) 
# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens. 
1 65 0 420 420 420 230 -1007 3.6 -6.3 0.10 -0.18 
2 110 250 250 420 420 319 -36 5.0 -0.2 0.14 -0.01 
3 155 355 0 355 420 359 934 5.6 5.8 0.16 0.17 
4 200 413 138 138 413 388 1904 6.1 11.9 0.17 0.34 
5 245 420 225 0 225 363 2874 5.7 18.0 0.16 0.51 
6 290 420 285 95 95 333 3670 5.2 22.9 0.15 0.66 
7 335 420 329 164 0 293 4367 4.6 27.3 0.13 0.78 
8 380 420 362 217 72 243 5001 3.8 31.3 0.11 0.89 
9 425 420 389 259 130 179 5591 2.8 34.9 0.08 1.00 
10 470 420 410 293 176 103 6150 1.6 38.4 0.05 1.10 
11 515 420 420 321 214 12 6676 0.2 41.7 0.01 1.19 
12 560 420 420 344 246 -93 7176 -1.5 44.9 -0.04 1.28 
13 605 420 420 364 273 -213 7665 -3.3 47.9 -0.10 1.37 
14 650 420 420 381 297 -348 8146 -5.4 50.9 -0.16 1.45 
95 
Figura 9.31 Sección de columna del ejemplo 9.7 
Tabla 9.3 Resumen de los resultados para la columna del ejemplo 9.7 
COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO 
FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS COLUMNA TIPO L 
DATOS DE LA SECCIÓN 
b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 
h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 
d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1290 ec= 0.003 
d´2( mm ) = 155 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8 
d´3(mm) = 245 As3(mm2) = 1290 
d´4(mm) = 335 As4(mm2) = 1290 
DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION 
p = 0.0323 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
0 100 200 300 400 500 
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 
96 
8000 
7000 
6000 
5000 
4000 
3000 
2000 
1000 
0 
Mn (kN.m) 
Pn(kN) 
Figura 9.32 Diagrama de interacción dimensional columna del ejemplo 9.7 
50.0 
45.0 
40.0 
35.0 
30.0 
25.0 
20.0 
15.0 
10.0 
5.0 
0.0 
Mn / ( Ag h ) ( MPa) 
(Pn / Ag ) (MPa) 
Figura 9.33 Diagrama de interacción dimensional de columna del ejemplo 9.7 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 
Mn 
0 200 400 600 800 1000 
97 
1.40 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
[ Mn / (Ag.h.f´c)] 
[Pn / (Ag.f´c)] 
Figura 9.34 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.7 
12000 
10000 
8000 
6000 
4000 
2000 
0 
Mn ( kN.m) 
Pn ( kN) 
Figura 9.35 Familia de diagramas de interacción columna del ejemplo 9.7 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
9.4.7 Comportamiento a nivel de resistencia. Columnas circulares 
El método anteriormente descrito para determinar por compatibilidad de deformaciones 
el comportamiento de los tres tipos de columnas rectangulares mas frecuentes en los 
edificios de hormigón armado ( R, E y L ) se puede aplicar al caso de columnas de 
forma circular ( C ). La figura 9.36 muestra como se determina “ c “ en estos casos 
considerando el mismo perfil de deformaciones visto en los ejemplos anteriores. De 
forma similar la profundidad del bloque comprimido es “ a = B1 c “. 
c 
εc =0.003 
εs 
Cc 
Cs 
T1 
T2 
θ 
La principal característica de esta sección es que la zona a compresión es un segmento 
de circulo de altura “ a “ del cual se debe conocer su área y posición del centroide para 
determinar la fuerza de compresión en el hormigón y el momento resultante de esta 
fuerza respecto al centro de gravedad de la columna. De la geometría se obtiene que 
tanto el área como la posición del centroide se pueden obtener a partir del ángulo “ θ “ 
que hace la base del segmento con el radio como se muestra en la figura 9.36. El valor 
del ángulo “ θ “ depende de la altura del bloque comprimido de la sección así: 
Si “ a < h / 2 Î “ θ < 90° “ y se puede calcular con la ecuación 9.18: 
El área del segmento circular se expresa en función de “ θ “ mediante la ecuación 9.20 
donde “ θ “ esta en radianes. El momento de esta área alrededor del centro de la 
98 
Figura 9.36 Perfil de tensiones y deformaciones para una columna circular 
 
θ h a ( 9.18 ) 
  
 = − − 
cos 1 2 
  
2 
h 
Si “ a > h / 2 Î “ θ > 90° “ y se puede calcular con la ecuación 9.19: 
 
θ a h ( 9.19 ) 
  
 − = − − 
180 cos 1 2 
  
2 
h 
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columna se indica con la ecuación 9.21. Con estos parámetros se puede determinar el 
diagrama de interacción de la columna circular. 
A h2. θ senθ .cosθ ( 9.20 ) 
( 9.21 ) 
En donde ” y “ es el valor de la distancia del centroide del área comprimida al eje 
neutro. La forma del diagrama de interacción de una columna circular se ve afectada por 
el numero de barras y su orientación relativa respecto al eje neutro. Por ejemplo en la 
columna de la figura 9.36 la capacidad de momento en dirección x-x es menor que la 
obtenida en dirección y-y efecto que debe tener muy en cuneta el diseñador de la 
estructura. Se recomienda que el diseño de columnas circulares se realice con el 
diagrama de la dirección mas desfavorable debido al poco control que se tiene durante 
la construcción de la edificación. Para casos donde el numero de barras es mayor de 
ocho ( 8 ) el problema se reduce considerablemente por la disposición circular del 
refuerzo a flexión de la columna. 
Ejemplo 9.8 Analizar en un diagrama de interacción el comportamiento de una 
columna circular de diámetro “ Φ = 400 mm “. Usar los mismos datos de los ejemplos 
anteriores para las propiedades de lo materiales, As = 8 # 9. 
400 
65 mm 
132.5 mm 
200 mm 
267.5 mm 
335 mm 
Solución: La metodología nuevamente es similar a la presentada en los ejemplos de 
columnas rectangulares. Inicialmente se determina la capacidad de la columna sometida 
a carga axial pura y luego se asumen varias posiciones de eje neutro y por 
compatibilidad y equilibrio se obtienen las parejas de puntos ( Mn , Pn ). 
99 
 − 
  
 
= 
4 
 
h sen 
3 
3 θ 
12 
A 
y 
 
  
  
= 
. 
Figura 9.37 Sección de la columna del ejemplo 9.8 
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( ) f MPa MPa s s 0.00311 204000 0.00311 634 420 
( ) f MPa MPa s s 0.00623 204000 0.00623 1271 420 
( ) f MPa MPa s s 0.00935 204000 0.00935 1907 420 
( ) f MPa MPa s 0.01246 s 204000 0.01246 2542 420 
Se comprueba que todas las capas de acero están en fluencia cuando “ c = 65 mm “. Las 
fuerzas resultantes en cada capa son: 
Capa 1 => F1 = 0.0 
Capa 2 => F2 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN 
Capa 3 => F3 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN 
Capa 4 => F4 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN 
Capa 5 => F5 = 645 mm2 * 420 MPa = 271 kN 
La resultante a compresión del hormigón es: 
42.27o 
= × − × 
 
 
A 400 0.74 0.67 0.74  = mm 2 9768. 2 
100 
ƒ Capacidad a carga axial pura Î Excentricidad: e = 0.0 
P ( ( ) ) kN n = 0.85×35× 125664 − 5160 + 5160× 420 = 5752 
ƒ Para c = 65 mm Î εs1 = 0.0 y fs1 =0.0 
0.003 132.5 65 2 2 ε = × − = ⇒ = × = > 
65 
0.003 200 65 3 2 ε = × − = ⇒ = × = > 
65 
0.003 267.5 65 4 2 ε = × − = ⇒ = × = > 
65 
0.003 335 65 5 2 ε = × − = ⇒ = × = > 
65 
θ 
Cc 
a = 0.80 x 65 =52 mm 
 − 
 
cos 1 200 52  =  
θ = − 
y 
Cc = 0.85×35× 9768 = 291×103N = 291.kN 
200 mm 
200 
4 
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La fuerza axial resultante es: Pn = 291 – 3 ( 542 ) – 271 = -1606 kN (tracción ). 
Para obtener “ Mn “ se toman momentos respecto al centro de gravedad de la columna 
Momento del bloque de hormigón: M1 = 291 x 166 = 48306 kN.mm = 48.3 kN.m 
Momento de las capas de acero: M2 = 0.0 
M3 = 542 x ( 200 – 132.5 ) = 36.6 kN.m ; M4 = 542 x ( 200 – 200 ) = 0.0 kN.m 
M5 = 542 x ( 267.5-200 ) = 36.6 kN.m ; M6 = 271 x ( 335 – 200 ) = 36.6 kN.m 
El momento resistente es: Mn = 48.3 +36.6 + 36.6 + 36.6 = 158.1 kN.m 
La capacidad a flexión de esta columna para “ c = 65 mm “ es ( 158 kN.m , -1606 kN ). 
Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 fs5 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag 
# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) 
1 65 0 420 420 420 420 158 -1611 2.5 -10.1 
2 100 214 199 420 420 420 190 -941 3.0 -5.9 
3 135 317 11 295 420 420 213 -159 3.3 -1.0 
4 170 378 135 108 351 420 247 676 3.9 4.2 
5 205 418 216 15 187 388 256 1520 4.0 9.5 
6 240 420 274 102 70 242 246 2283 3.8 14.3 
7 275 420 317 167 17 134 231 2938 3.6 18.4 
8 310 420 350 217 84 49 209 3514 3.3 22.0 
9 345 420 377 257 137 18 181 4029 2.8 25.2 
10 380 420 399 290 181 72 148 4488 2.3 28.1 
11 415 420 417 317 218 118 111 4891 1.7 30.6 
12 450 420 420 340 248 156 72 5216 1.1 32.6 
13 485 420 420 360 274 189 39 5459 0.6 34.1 
14 500 420 420 367 285 202 31 5522 0.5 34.5 
101 
( 42.27 
) 
12 
3 
400 
3 
 
  
 
× 
  
y 166. 
mm 
sen 
9768 
= 
= 
Tabla 9.4 Resumen de cálculos de comportamiento columna ejemplo 9.8 
COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS CIRCULARES DE HORMIGÓN ARMADO 
FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS 
DATOS DE LA SECCIÓN 
INCR." c "= 35 D ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 
Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 fy (MPa) = 420 
ec= 0.003 d´2( mm ) = 132.5 As1(mm2) = 645 
B1= 0.8 d´3(mm) = 200 As2(mm2) = 1290 
A(mm2)= 125664 d´4(mm) = 267.5 As3(mm2) = 1290 
d´5(mm) = 335 As4(mm2) = 1290 
As5(mm2) = 645 
DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION 
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0 100 200 300 
0 1 2 3 4 5 
102 
7000 
6000 
5000 
4000 
3000 
2000 
1000 
0 
Mn ( kN.m ) 
Pn ( kN ) 
Figura 9.38 Diagrama de interacción de la columna circular del ejemplo 9.8 
40 
35 
30 
25 
20 
15 
10 
5 
0 
Mn / (Ag x h ) ( MPa) 
Pn / Ag ( MPa) 
Figura 9.39 Diagrama de interacción en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.8 
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0.00 0.05 0.10 0.15 
Mn ( kN.m ) Pn ( kN ) 
Figura 9.41 Diagramas de interacción para columna circular del ejemplo 9.8 
0 100 200 300 400 
103 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
Mn / (Ag x h x f´c ) 
Pn / ( Ag x f´c ) 
Figura 9.40 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.8 
9000 
8000 
7000 
6000 
5000 
4000 
3000 
2000 
1000 
0 
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9.4.8 Diseño a flexión y carga uniaxial de columnas cortas 
En columnas, al igual que en vigas y losas, el diseño de los elementos debe cumplir con 
unos márgenes de seguridad adecuados. Estos están indicados en las normas y códigos 
establecidos. Las cargas o tensiones externas de servicio se deben amplificar utilizando 
los factores “ γ “ y la resistencia se debe disminuir utilizando los coeficientes “ Φ “. Lo 
anterior significa que si una columna esta bien diseñada se debe cumplir: 
n u φ .P ≥ P y n u φ .M ≥ M ( 9.22 ) 
Utilizando el método de las deformaciones limites se pueden definir diferentes valores 
para el coeficiente “ Φ “ de acuerdo al comportamiento resistente de la columna. 
Cuando controla la tracción se cumple que: “ εt > 0.005 y c / dt < 0.375 “ y el valor de “ 
Φ = 0.90 “ para cualquier columna. Si controla la compresión se tiene que si: “ εt < 
0.002 y c / dt > 0.600 “ => “ Φ = 0.75 “ para columna con espirales y “ Φ = 0.65 “ en 
otros casos. Finalmente si las condiciones que controlan la resistencia de la columna son 
intermedias se cumple que “ 0.002 < εt < 0.005 y 0.375 < c / dt < 0.600 “ y el valor de “ 
Φ “ se obtiene por interpolación lineal con las siguientes expresiones: 
Si se aplican estos coeficientes a los diagramas “ Mn , Pn “ obtenidos en el numeral 
anterior se pueden obtener los diagramas “ ΦMn , ΦPn “ que son en definitiva los 
diagramas de interacción para el diseño estructural de columnas. 
Ejemplo 9.9 Se requiere determinar el diagrama de interacción de diseño de la 
columna del ejemplo 9.5. f´c = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa. 
104 
φ = 0.37 + 0.20 
Columna con espiral: t φ = 0.57 + 67.ε o ( )t c d 
φ = 0.23 + 0.25 
Columna con amarre: t φ = 0.48 + 83.ε o ( )t c d 
h = 400 mm 
b = 400 mm 
d´= 65 mm 
d´= 65 mm 
4 # 9 
4 # 9 
Figura 9.42 Sección de columna del ejemplo 9.5 
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Solución: El procedimiento es similar al realizado en el ejercicio 9.5 pero ahora se 
considera el coeficiente “ Φ “ en los cálculos respectivos. La tabla 9.5 y la grafica 9.43 
presenta los resultados obtenidos. 
Punto c Φ fs1 fs2 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c ) 
# (mm) coef. ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens. 
1 20 0.90 420 420 296 -1779 4.6 -11.1 0.13 -0.32 
2 65 0.90 0 420 229 -418 3.6 -2.6 0.10 -0.07 
3 110 0.90 250 420 357 549 5.6 3.4 0.16 0.10 
4 155 0.77 355 420 365 1008 5.7 6.3 0.16 0.18 
5 200 0.65 413 413 335 1235 5.2 7.7 0.15 0.22 
6 245 0.65 420 225 300 1840 4.7 11.5 0.13 0.33 
7 290 0.65 420 95 267 2335 4.2 14.6 0.12 0.42 
8 335 0.65 420 0 231 2772 3.6 17.3 0.10 0.49 
9 380 0.65 420 72 191 3171 3.0 19.8 0.09 0.57 
10 425 0.65 420 130 144 3522 2.3 22.0 0.06 0.63 
11 470 0.65 420 176 90 3522 1.4 22.0 0.04 0.63 
12 515 0.65 420 214 27 3522 0.4 22.0 0.01 0.63 
13 560 0.65 420 246 -44 3522 -0.7 22.0 -0.02 0.63 
14 605 0.65 420 273 -124 3522 -1.9 22.0 -0.06 0.63 
Por ejemplo si la columna indicada esta sometida a las siguientes cargas externas 
mayoradas ( Mu = 350 kN.m , Pu = 1250 kN ) se tiene: 
Excentricidad: e = ( 350 / 1250 ) = 0.28 m Î e / h = 0.28 / 0.40 = 0.70 > 0.2 
Si se entra a la grafica de la figura 9.43 se encuentra que esta pareja de puntos esta por 
fuera del diagrama de interacción y la columna no es adecuada. Se debe aumentar el 
refuerzo para lograr seguridad estructural. En la grafica 9.44 se encuentra que una 
cuantía de 0.038 es adecuada para esta columna. 
105 
Tabla 9.5 Resultados del diseño de la columna del ejemplo 9.9 
DISEÑO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO 
FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPAS COLUMNA E 
DATOS DE LA SECCIÓN 
b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 
h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 
d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 2580 ec= 0.003 
d´2( mm ) = 335 As2(mm2) = 2580 B1= 0.8 
p= 0.03225 
Pn (max)= 3522 
DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION 
p = 0.03225 
Mu / ( bh2 f´c ) = ( 350 x 106 / ( 400 x 4002 x 35 )) = 0.16 
Pu / ( bh f´c ) = ( 1250 x 103 / ( 400 x 400 x 35 )) = 0.22 
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Tipo: E 
f´c = 35 MPa 
fy = 420 MPa 
γ = 0.675 
Tipo: E 
f´c = 35 MPa 
fy = 420 MPa 
γ = 0.675 
P = 0.038 
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 
Figura 9.44 Diagrama de interacción adimensional de diseño de columnas tipo E 
106 
1.000 
0.900 
0.800 
0.700 
0.600 
0.500 
0.400 
0.300 
0.200 
0.100 
0.000 
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 
fi.Mn / ( bh^2f´c) 
fi.Pn / ( bhf´c) 
Figura 9.43 Diagrama de interacción de diseño de columna del ejemplo 9.9 
1 
0.8 
0.6 
0.4 
0.2 
0 
FMn / ( bh^2f´c) 
FPn / ( bhf´c) 
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De la misma forma se procede con otros valores de momento y carga axial. En general 
para cualquier columna sea tipo E, R, L o C se disponen de juegos de diagramas de 
interacción que ayudan a seleccionar rápidamente las cantidades de acero requeridas 
manejando las variables: recubrimientos, f´c, fy. La practica en nuestro medio es la que 
utilizan en los Estados Unidos de América. Los gráficos se encuentran definidos con la 
siguiente nomenclatura: Tipo de grafico: f´c : fy : γ. 
Por ejemplo la columna definida con la referencia: E4.60: 60 Î equivale a un tipo E ( 
acero en las dos caras normales al eje de la flexión ), hormigón de 4 ksi ( 28 MPa ), 
refuerzo de 60 ksi ( 420 MPa ) y coeficiente de separación del refuerzo 0.60. Si se 
expresa en el sistema internacional de unidades Î E28.420: 60. 
El valor de “ γ “ se determina con la ecuación 9.23 y permite definir que tanto 
recubrimiento se le ha dado a las capas de refuerzo mas cercanas a las caras de la 
columna. Si “ γ “ es bajo se tiene altos recubrimientos y viceversa. Por lo general para 
los valores típicos de trabajo “ γ “ varia entre 0.60 y 0.75. 
γ = ( 9.23 ) 
Para los siguientes ejemplos se utilizaran los diagramas de interacción de las figuras 
9.45 a 9.53. Se recomienda al lector no utilizar diagramas de otras referencias porque no 
están convenientemente actualizados. 
En resumen, el diseño de una columna corta de hormigón armado sometida a flexo-compresión 
El primer procedimiento es prácticamente el mas utilizado ya que el análisis estructural 
precede al diseño, y para realizar el análisis se debe dimensionar la edificación con el 
fin de obtener los desplazamientos y esfuerzos internos. Por lo general se procede así: 
ƒ Datos : b, h, f´c, fy, d, d´, Pu y Mu. 
ƒ El primer paso es hallar la excentricidad “ e = Mu / Pu “. 
ƒ Luego se determina la excentricidad relativa “ e / h “. Si “ e / h < 0.1 “ se 
recomienda usar una columna tipo C. Si “ 0.1 < e / h < 0.2 ” usar una columna 
tipo R y si “ e / h > 0.2 “ usar tipo E. La columna tipo L se usa cuando la 
relación entre h / b es mayor de 4.0 es decir la columna es mas una pantalla o 
muro estructural. 
ƒ Seleccionado el tipo de columna se busca el diagrama de interacción 
correspondiente en las ayudas de diseño y se procede a determinar la cuantía de 
refuerzo a flexión. 
107 
h − 2.d´ 
h 
uniaxial se puede realizar de varias formas: 
ƒ Cuando se asumen las dimensiones ( b, h ) y se debe hallar el refuerzo ( Ast ) 
ƒ Cuando se asume el refuerzo para hallar las dimensiones 
ƒ Cuando no se conoce ni dimensiones ni refuerzo. 
ƒ Finalmente se determinan los amarres o espirales necesarios. 
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Ejemplo 9.10 La columna del primer piso de un edificio de dos plantas soporta las 
cargas axiales en servicio indicadas en la figura 9.46. Determinar el refuerzo requerido 
en la columna “ Ast “ si por razones arquitectónicas las dimensiones deben ser: b = 400 
mm y h = 500 mm. Usar f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. 
Pv = 482 kN 
Pm = 645 kN 
Pv = 970 kN 
Mm = 115 kN.m 
Mv = 172 kN.m 
Revisar además si el refuerzo obtenido es adecuado cuando no esta presente la carga 
viva en la cubierta. 
Solución: El diseño se realizara primero actuando toda la carga axial y luego se 
revisara si este refuerzo cumple la condición de carga viva indicada. 
Para hallar la cantidad de acero se pueden resolver simultáneamente las ecuaciones de 
diseño 9.22, 9.10 y 9.15 o usar los diagramas de interacción previamente construidos 
como se indico anteriormente. El primer método es sin embargo un proceso largo por lo 
cual se prefiere el uso de los diagramas en lugar de utilizar las ecuaciones. 
Del grafico de la figura 9.47 obtenido con la ayuda de una hoja de calculo se marca el 
punto de coordenadas ( Mu / bh2 f´c , Pu / bh f´c ) Ù ( 0.15, 0.42 ). Y se obtiene por 
interpolación la cuantía de refuerzo requerida que en este caso esta entre 0.03 y 0.04. 
Se asumirá un valor intermedio de 0.035. 
108 
Figura 9.46 Esquema del ejemplo 9.10 
P kN u = 1.2× 645 +1.6× 970 = 2326. 
M kN m u = 1.2 ×115 +1.6×172 = 413. . 
e Î Se recomienda columna tipo E 
= 413 = 0.36 0.20 
e 0.18.m 
2326 
= 0.18 = > 
h 
0.50 
γ = 500 − 2× 65 = ≈ Utilizar el diagrama: E 4.60: 75. 
Sea d´= 65 mm Î 0.74 0.75 
500 
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La cantidad de acero es => Ast = 0.035 x 400 x 500 = 7000 mm2. Utilizando barras # 10 
este refuerzo equivale a: 7000 / 819 = 8.5 barras => se prefiere combinar con barras # 8 
y por tanteos se llega a: 6 # 10 + 4 # 8 = 6954 mm2 Ù p = 0.035 
109 
1.4 
1.2 
1 
0.8 
0.6 
0.4 
0.2 
0 
COLUMNA 
E 28.420: 74 
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 
Mn / ( bh^2 f´c) 
Pn / ( bh f´c ) 
Figura 9.47 Diagrama de interacción de diseño. Columna del ejemplo 9.10 
Para los amarres se asumen barras # 3 con el siguiente espaciamiento: 
ƒ 16 x db = 16 x 31.8 = 509 mm 
ƒ 48 x de = 48 x 12.7 = 610 mm 
ƒ La menor dimensión de la columna => 400 mm 
3# 10 + 2# 8 
3# 10 + 2# 8 
500 mm 
400 mm 
65 mm 
435 mm 
Figura 9.48 Sección de columna del ejemplo 9.10 
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DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 
_________________________________________________________________________________________________________ 
Con estas coordenadas se encuentra en la figura 9.47 una cuantía “ ρ = 0.025 “ la cual es 
menor que la obtenida cuando actúa toda la carga axial por lo que se concluye que el 
diseño es satisfactorio. 
Ejemplo 9.11 Se requiere diseñar una columna rectangular para que soporte una carga 
axial mayorada de 2350 kN y un momento mayorado de 735 kN.m. Los materiales a 
utilizar son: f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. Por razones económicas la cuantía de acero 
debe ser menor o igual al 3 %. Determinar las dimensiones optimas de la sección. 
Solución: El procedimiento es iterativo, se comienza asumiendo un valor de “ h “ el 
cual se va modificando a medida que se obtienen los resultados. 
Un primer ensayo es hallar el área de la sección con la expresión aproximada: 
Sin embargo, a diferencia de las vigas, aquí la excentricidad es importante y se debe 
tener en cuenta en la selección de las dimensiones. Ya que “ e = 735 / 2350 = 0.31 m “ 
se concluye que la columna esta controlada por la flexión y en estos casos es 
recomendable usar una sección tipo E. Sea h = 600 mm => e / h = 0.52 > 0.20 y se 
comprueba que es una columna tipo E. Sea d´= 75 mm => γ = 0.75. Si se dispone del 
diagrama de interacción E 28.420.75 se puede encontrar el valor de “ Pu / bhf´c “ 
conocidos “ e / h = 0.52 “ y “ p = 0.03 “. Este diagrama se presenta en la figura 9.49. 
De la figura 9.49 se concluye que el valor de “ Pu / ( bh f´c ) = 0.30 “. Si se despeja el 
valor del ancho de la columna se tiene: b = 466 mm el cual se aprox. a 450 mm. 
110 
Cuando la carga axial no tiene el aporte de la carga viva de la cubierta => 
P ( ) kN u = 1.2× 645 +1.6× 970 − 482 = 1555. 
M kN m u = 413. . 
e Î Se recomienda columna tipo E 
= 413 = 0.54 0.20 
e 0.27.m 
1555 
= 0.27 = > 
h 
0.50 
Para entrar al diagrama de interacción de la figura 9.47 se requiere: 
0.15 
M 
= = × 
φ M 
. 413 10 
= 
2 ´ 2 ´ 2 
6 
× × 
400 500 28 
c 
u 
n 
c 
bh f 
bh f 
0.28 
. 1555 103 
P 
= = × 
´ ´ = 
× × 
400 500 28 
c 
u 
φ P 
n 
c 
bhf 
bhf 
= × 
2350 10 
mm 
A ≥ 
P 
g = 
u 
128626. 
´ ( ) 
( ) 
( ) 
2 
3 
× + × 
0.45 28 0.03 420 
f + 
ρ 
f 
0.45. . 
c y 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
e / h = 0.52 
P = 0.03 
El refuerzo para esta columna esta constituido por: Ast = 0.03 x 450 x 600 = 6750 mm2 
que se pueden reemplazar por 8 # 9 para obtener una cuantía de p = 0.024 < 0.03. 
Ejemplo 9.12 Determinar el refuerzo longitudinal y los amarres respectivos para las 
dos siguientes columnas: a) rectangular que debe soportar las siguientes cargas 
mayoradas: Pu = 1600 kN y Mu = 150 kN.m y Vu = 73 kN. f´c = 21 MPa y fy = 420 
MPa y b) Una circular : Pu = 2550 kN, Mu = 85 kN.m, f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa 
Solución: a) En este caso solo se conocen las tensiones que producen las cargas 
externas mayoradas y se debe encontrar las dimensiones y el refuerzo de la columna. 
Por criterios prácticos y económicos se asumirá una cuantía de p = 1.5 % ( por lo 
general este valor esta entre el 1 % y el 2 % ). 
La excentricidad es de: e = 150 / 1600 = 0.09 m la cual indica que es una columna 
donde controla la carga axial. En estos casos el tipo R es adecuado por lo cual se 
asumirá inicialmente una sección cuadrada con b = h = ( 130240 )0.5 ≈ 360 mm. 
Sea b = h = 400 mm que representa un Ag = 160000 mm2 > 130240 mm2 => cumple. 
La excentricidad relativa es: e / h = 0.09 / 0.40 =0.225 > 0.20 => Columna tipo E. 
Sea d´= 65 mm Î γ = 0.675 por lo tanto se puede interpolar linealmente los valores de 
la cuantía obtenidos en los diagramas de interacción “ E 21.420:60 “ y “ E 21.420:75 “. 
Se usan los siguientes datos: Pu / (bhf´c ) = 0.48 y Mu / ( bh2f´c ) = 0.11 
111 
1.6 
1.4 
1.2 
1 
0.8 
0.6 
0.4 
0.2 
0 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 
Mu / ( bh^2 f´c ) 
Pu / ( bh f´c ) 
Figura 9.49 Diagrama de interacción columna E 28.420:75 Ejemplo 9.11 
3 
≥ × 
A 1600 10 mm g = 
( ) 
2 
130240. 
× + × 
0.45 21 0.015 420 
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Grafico E 21.420:75 
p = 0.018 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 
Grafico E 21.420:60 
p = 0.022 
La cuantía de refuerzo para esta columna es => p = ( 0.022 + 0.018 ) / 2 = 0.020. El 
refuerzo es: Ast = 0.020 x 400 x 400 = 3200 mm2 que equivalen a 4 # 9 + 2 # 7 para un 
Ast real = 4 x 645 + 2 x 387 = 3354 mm2 => Cumple. 
112 
1.4 
1.2 
1 
0.8 
0.6 
0.4 
0.2 
0 
Mu / ( bh^2 f´c ) 
Pu / ( bh f´c ) 
Figura 9.50 Diagrama de interacción E 21.420:75 
1.8 
1.6 
1.4 
1.2 
0.8 1 
0.6 
0.4 
0.2 
0 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 
Mu / (bh^2f´c) 
Pu / (bhf´c) 
Figura 9.51 Diagrama de interacción E 21.420.60 
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2 # 9 +1 # 7 
2 # 9 + 1 # 7 
400 mm 
400 mm 
65 mm 
# 3 @ 150 mm 
270 mm 
65 mm 
Verificando la capacidad máxima de carga axial de la columna se tiene: 
( P ) ( ( ) ) N kN . n 0.80 0.65 0.85 21 160000 3354 3354 420 2187 10 2187. 3 
En este caso “ Vu = 73 kN “ es mayor que “ V kN φ . c 2 = 67. “ y se debe colocar un 
refuerzo transversal mínimo. Verificando con estribos # 3 cada 150 mm que representan 
la cantidad mínima de estribos se tiene: 
La capacidad a cortante de la columna se incrementa a: V kN φ . n = 134 +100 = 234. la 
cual es suficiente para atender con un alto margen de confiabilidad la cortante externa. 
113 
Figura 9.52 Sección de columna del ejemplo 9.12 
max . φ = × × × × − + × = × = 
Esta capacidad es superior a la carga axial externa indicada de 1600 kN. 
Para los amarres usar barras # 3 @ 400 mm que en este caso controla. 
Para la cortante se tiene de la ecuación 5.33: 
3 
 
 
φ = × × × × × + × 
. 0.75 0.17 21 400 335 1 1600 10 3 
= × =   
  
V N kN c 134 10 134. 
× 
14.1 160000 
φ . = 0.75× 142× 420× 335 = × 3 = 
V N kN s 100 10 100. 
400 
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b) Para una primera estimación del diámetro de la columna se asumirá una cuantía de 
refuerzo del 1.5% => 
Se considera por tanto una columna de 500 mm de diámetro. La excentricidad es de “ e 
= 85 / 2550 = 0.033 m “ y “ e / D = 0.066 “ valor menor que 0.1 y se confirma que la 
columna es del tipo C. Si se asume un recubrimiento de 62.5 mm => γ = 0.75 y el 
grafico de interacción es: C 28.420:75 representado en la figura 9.53. 
Columna C 28.420:75 
Si se entra al diagrama de la figura 9.53 con “ Pu / Ag.f´c = 0.55 “ y “ Mu / Ag.D.f´c = 
0.046 “ => la cuantía da aprox. 1 % => se puede disminuir la sección o considerar que 
el diseño es correcto. Ast = 0.01 x 165210 = 1652 mm2 los cuales equivalen a 8 # 5. 
Para los amarres en espiral se pueden utilizar # 3 con paso de 75 mm. 
114 
3 
× 
4 165210 = 
= × Î 460.mm 
A 2550 10 mm g = 
( ) 
2 
165210. 
× + × 
0.45 28 0.015 420 
3.1416 
φ = 
1.4 
1.2 
1.0 
0.8 
0.6 
0.4 
0.2 
0.0 
0 0.05 0.1 0.15 0.2 
Mu/(bh^2 f´c) 
Pu/(bh f´c) 
Figura 9.53 Diagrama de interacción de la columna C 28.420:75 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 
115 
e/h=0.1 
e/h=0.2 
e/h=0.5 
e/h=1.0 
e/h=2.0 
1.60 
1.40 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
Mu/(bh^2 f´c) 
Pu/(bh f´c) 
Figura 9.54 Diagrama de interacción E21.420:60 
e/h=0.1 
e/h=0.2 
e/h=0.5 
e/h=1.0 
e/h=2.0 
1.60 
1.40 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
Mu/(bh^2 f´c) 
Pu/(bh f´c) 
Figura 9.55 Diagrama de interacción E21.420:75 
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_________________________________________________________________________________________________________ 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 
116 
e/h=0.1 
e/h=0.5 
e/h=1.0 
e/h=0.2 
e/h=2.0 
1.40 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
Mu/(bh^2 f´c) 
Pu/(bh f´c) 
Figura 9.54 Diagrama de interacción E28.420:60 
e/h=0.2 
e/h=0.5 
e/h=1.0 
e/h=2.0 
e/h=0.1 
1.40 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
Mu/(bh^2 f´c) 
Pu/(bh f´c) 
Figura 9.55 Diagrama de interacción E28.420:75 
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DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 
_________________________________________________________________________________________________________ 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 
117 
e/h =0.1 
e/h =0.2 
e/h =0.5 
e/h =1.0 
e/h = 2.0 
1.40 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
Mu / (Ag.h.f´c) 
Pu / ( Ag.f´c) 
Figura 9.56 Diagrama de interacción R21.420:60 
e/h = 0.1 
e/h =0.2 
e/h =0.5 
e/h =1.0 
e/h =2.0 
1.40 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
Mu / (Ag.h.f´c) 
Pu / (Ag.f´c) 
Figura 9.57 Diagrama de interacción R21.420:75 
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 
_________________________________________________________________________________________________________ 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 
118 
e/h = 0.1 
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1.00 
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0.00 
Mu / ( Ag.h.f´c) 
Pu / ( Ag.f´c) 
Figura 9.58 Diagrama de interacción R28.420:60 
e/h =0.1 
e/h =0.2 
e/h =0.5 
e/h =1.0 
e/h =2.0 
1.20 
1.00 
0.80 
0.60 
0.40 
0.20 
0.00 
Mu / ( Ag.h.f´c) 
Pu / (Ag.f´c) 
Figura 9.59 Diagrama de interacción R28.420:75 
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  • 1. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 9. DISEÑO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO 9.1 Introducción Los elementos estructurales sometidos principalmente a carga axial de compresión se conocen con el nombre genérico de columnas o pilares. Cuando hay presencia de flexión y esta es importante se le denomina “ viga- columna “. En el primer caso se tienen como ejemplo típico los bloques de hormigón a compresión y los pedestales; en estos no hay presencia de flexión y la columna trabaja prácticamente a carga axial. En el segundo caso se tienen los elementos verticales típicos en los edificios “ columnas “ las cuales pueden ser cortas si su resistencia es controlada por las dimensiones de la sección y la capacidad mecánica de sus materiales o esbeltas si la resistencia es controlada por sus deformaciones laterales ( pandeo ). En el estudio de la flexión del hormigón armado se introdujo el concepto de sección transformada fisurada y no fisurada y para ello se utilizo el ejemplo de las columnas cargadas axialmente. El lector debe revisar nuevamente este concepto para entender la metodología de trabajo en el diseño de columnas de hormigón armado. De la revisión de los temas anteriores se concluye que: La resistencia de una columna cargada axialmente se determina con la ecuación 9.1, con la inclusión de un factor de reducción de resistencia “ Φ “. Los factores que afectan la resistencia de las columnas son mas bajos que los de vigas ya que las columnas, a diferencia de estas, son parte vital de la estabilidad de una estructura ( la falla de una viga es localizada y no produce colapso de la estructura, por el contrario la falla de una columna la afecta parcial o totalmente con una alta posibilidad de colapso). Ya que es poco probable en la practica encontrar columnas en donde la excentricidad sea nula se recomienda realizar su diseño para una excentricidad mínima que varia de acuerdo al tipo de amarre transversal. Si la columna tiene amarres rectangulares la excentricidad mínima es del 10% de la dimensión de su sección en la dirección perpenticular al eje de la flexión. Si tiene amarre en espiral es de un 5%. Con el fin de simplificar y garantizar un diseño confiable de columnas con excentricidad mínima el código ACI ( NSR ) especifica una reducción del 20 % de la carga axial para columnas con amarres y un 15% para columnas con espirales. En estos casos las ecuaciones de diseño son la 9.2 y la 9.3. Columnas con amarres: 64 n ( g s ) c s y P = 0.85. A − A . f ´ + A . f ( 9.1 ) ( ( ) ) n c g s s y φ.P = 0.80φ. 0.85 f ´. A − A + A . f ( 9.2 ) Columnas con espiral: ( ( ) ) n c g s s y φ .P = 0.85φ. 0.85 f ´. A − A + A . f ( 9.3 ) ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 2. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ En donde el valor de “ Φ “ depende de como es el comportamiento de la columna en la falla. Si controla la compresión “ εt < 0.002 “ => “ Φ = 0.65 “ en columnas con amarres y “ Φ = 0.70 “ en columnas con espiral. Si controla la tracción “ εt > 0.005 “ => “ Φ = 0.90 “ en ambos casos. Para zonas de transición ( es decir hay agotamiento simultaneo por compresión y tracción ) “ 0.002 < εt < 0.005 “ el valor de “ Φ = 0.48 + 83 εt “ para columnas con amarres y “ Φ = 0.48 + 83 εt “ para columnas con espiral. El valor de la deformación “ εt “ es el de la capa de acero en la cara mas traccionada de la sección. 9.2 Comportamiento y falla de columnas cargadas axialmente Cuando una columna corta con amarres transversales se somete a una carga de compresión axial cercana a la falla ( caso típico de las cargas inducidas por sismos o fuertes impactos ), parte del hormigón que recubre el refuerzo se desprende y el acero longitudinal queda por tanto sin confinamiento lateral permitiendo así su pandeo y el posterior colapso de la columna. Este fenómeno conocido como “ descascaramiento “ puede evitarse si los amarres transversales están dispuestos de tal forma que su bajo espaciamiento evite el pandeo lateral del elemento. Si se considera ahora una situación similar a la anterior pero ya la columna tiene amarres en espiral, el hormigón del recubrimiento también se desprenderá pero el núcleo de hormigón continuara vertical y si la espiral tiene bajo espaciamiento la columna continuara soportando carga adicional superior a la que produce el desprendimiento del recubrimiento. Esta situación demuestra la efectividad de la espiral correctamente espaciada para confinar el hormigón en la columna y lo que es mas importante permite avisar con suficiente holgura la proximidad de la falla una vez se desprenda el recubrimiento. Comportamiento con alta cuantía de espiral Comportamiento con amarres transversales Comportamiento con cuantía del ACI Comportamiento con baja cuantía de espiral Carga Acortamiento Desprendimiento del recubrimiento Figura 9.1 Comportamiento bajo carga axial de columnas con amarres y en espiral 65 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 3. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ La practica que se ha difundido a nivel general es despreciar cualquier aumento de resistencia una vez se alcance el desprendimiento del recubrimiento ya que una vez se presente este fenómeno la columna pierde su confiabilidad en servicio, afirmación importante de los propietarios y usuarios de los edificios, a pesar de que aun funcione y continué funcionando bien por un determinado tiempo de servicio. Por esta razón recomienda diseñar la espiral para lograr una resistencia de la columna justo por encima de la que produce el desprendimiento del recubrimiento, permitiendo así mantener en posición la columna y permitir grandes deformaciones sin producir colapso lo que en definitiva se traduce en mayor confiabilidad cuando se produzcan sobrecargas excepcionales en la estructura. db dc D s La ecuación que define la cantidad optima de refuerzo en espiral recomendada en los códigos de construcción tiene en cuenta las recomendaciones anteriores y su deducción es la siguiente: la resistencia de la capa de hormigón que recubre el refuerzo esta dada por la expresión: 0.85. f ´. ( A − A ) c g c en donde “ Ac “ es el área del núcleo cuyo perímetro esta definido por el borde exterior de la espiral. Se puede demostrar que la resistencia de la espiral de cuantía “ ρs “ es: 2.ρ s .A f c . y . Igualando las dos tensiones y resolviendo para hallar la cuantía de la espiral se obtiene: ρ = − . Para mantener mayor Una vez se determine el porcentaje de la espiral se debe seleccionar su diámetro y espaciamiento ( paso ) con las siguientes ecuaciones: 66 Figura 9.2 Definición de variables en columnas con espiral c y A g f   1 425 . 0     s A f c ´ seguridad en “ ρs “ se recomienda usar la siguiente expresión: A ´ ρ = − c ( 9.4 ) y   0 . 45 g 1  f    s A f c V espiral = Volumen de una vuelta de la espiral = ρ . . . . . . s V nucleo volumen del nucleo de hormigon para el paso s . . . . . . . .( ) ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 4. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ En estas formulas “ Aesp “ es el área transversal del refuerzo en espiral, “ dc “ es el diámetro del núcleo de hormigón, “ db “ el diámetro de refuerzo en espiral como se indica en la figura 9.2. El procedimiento de calculo es sencillo: se asume un diámetro para la espiral y se halla el paso requerido “ s “. Si los resultados no son adecuados se puede ensayar otro diámetro hasta lograr los valores correctos. 9.3 Requisitos constructivos en columnas de hormigón armado Los códigos y normas de construcción ( ACI-318 y NSR-98 ) especifican algunas limitaciones en dimensiones, refuerzo, restricción lateral y otros conceptos relativos al diseño de las columnas de los edificios. A continuación se presentan las que son mas importantes para el diseño estructural. ƒ El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser inferior al 1 % del área total de la columna “ ρmin = 0.01 Ag “. Se ha comprobado que columnas que tienen cantidades de refuerzo menores del 1% fallan súbitamente en forma similar a una columna sin refuerzo. El valor del 1% cubre también problemas de tensiones internas debidas a la fluencia y la retracción del hormigón en servicio. En algunos casos se permiten cuantías inferiores al 1% si por razones arquitectónicas o constructivas las dimensiones son tales que prácticamente con ellas se soporta holgadamente toda la carga aplicada. Sin embargo se especifica que en ningún caso la cuantía sea inferior al 0.5% de Ag. ƒ El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser mayor del 8% de la sección total de la columna. Con esto se previene la congestión del refuerzo y las dificultades en el acabado final del hormigón. En la practica se han encontrado los problemas anteriores aun con cuantías del 5% y 6%. El uso de cuantías altas no solo afecta la apariencia final del hormigón sino también su capacidad de carga. Cuando se van a utilizar empalmes al traslapo es recomendable no superar la cuantía del 4%. En ningún caso se deben usar paquetes de barras para altas cuantías de refuerzo. ƒ El numero mínimo de barras longitudinales en una columna es de 4 para secciones con amarres rectangulares o circulares, 3 para amarres triangulares y 6 para secciones con espiral. La disposición de las barras afectara la resistencia a flexión de las columnas cargadas excéntricamente. ƒ Por lo general no se especifica una sección mínima de columna, sin embargo para dar un adecuado recubrimiento y espaciamiento al refuerzo es obvio que las mínimas dimensiones son de aproximadamente 200 mm o 250 mm. En edificios es aconsejable disminuir las dimensiones al máximo para lograr mayores espacios y donde sea posible tratar de ocultar las columnas dentro de los muros. ƒ Cuando se utilizan columnas con amarres, estos no deben tener diámetros menores que la barra # 3 para refuerzo longitudinal menor o igual a la # 10. Para barras longitudinales mayores a la # 10 o paquetes de barras se deben usar amarres # 4. Se pueden usar mallas electro soldadas o alambre corrugado con áreas equivalentes. 67 ( ) ( ) ( ) A d d 4. − A d d esp c b − π esp c b ρ = = ( 9.5 ) s s d 2 . 2 . . d s π . / 4 . c c ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 5. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ ƒ El espaciamiento centro a centro de los amarres no debe ser mayor que: a) 16 veces el diámetro de las barras longitudinales b) 48 veces el diámetro de los amarres y c) la menor dimensión de la columna. 16 db S < 48 de Min. ( b , h ) h b ƒ Los amarres deben estar dispuestos de tal forma que en cada esquina de la sección una barra longitudinal sirva de soporte lateral al amarre para este sujetarse de el con un gancho menor o igual a 135°. Se recomienda que ninguna barra longitudinal sea colocada a una distancia libre mayor de 150 mm de cada barra de soporte lateral. La figura 9.4 ilustra este requisito gráficamente para diferentes secciones de columna. Las secciones de la figura 9.4 con amares adicionales interiores son alternativamente costosas. Cuando las barras longitudinales se dispongan en circulo, se deben colocar también amarres circulares y ninguna barra debe amarrarse o restringirse individualmente. El ACI permite diseñar columnas sin amarres cuando por ensayos y análisis estructural se comprueba que estos no son necesarios sin afectar la resistencia y facilidad de construcción. Ya que existe poca evidencia experimental sobre el comportamiento de las columnas con barras empalmadas o paquetes de barras de refuerzo el ACI especifica colocar amarres adicionales en cada extremo del empalme y recomienda aplicar requisitos adicionales en aquellas regiones donde los empalmes son cercanos a la base de la columna. Los amarres no deben 68 Figura 9.3 Separación de los amarres en columnas ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 6. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ colocarse a mas de la mitad de su separación en la parte superior de las zapatas o losas de piso ni mas de la mitad de su separación por debajo de las losas. ƒ El código ACI y la norma NSR recomiendan que la separación mínima de espirales sea de 25 mm y la máxima de 75 mm. Cuando sean necesario empalmar barras longitudinales se debe usar soldadura o traslapo. Max.150 mm 69 Max. 150 mm Max. 150 mm > 150 mm > 150 mm > 150 mm Max. 150 mm Max. 150 mm Figura 9.4 Disposición típica de amarres en columnas ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 7. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Ejemplo 9.1 Diseñar una columna corta con amarres transversales cargada axialmente con un Pu = 2800 kN. Considerar f´c = 28 MPa y fy = 350 MPa. Solución: El procedimiento mas rápido es asumir una cuantía inicial de refuerzo y determinar con ella las dimensiones requeridas. Sea ρ = 0.02 ( Por lo general se asume un valor entre 0.01 y 0.03 ) Î Si Pu ≥ Φ Pn despejando Ag de la ecuación 9.2 se tiene: => Usar amarres # 3 cada 400 mm Estribos # 3 @ 400 mm 70 2800 103 ≥ × g A 0.70 × 0.80 × (0.85 × 28 − 0.85 × 0.02 × 28 + 0.02 × 350) A 164886.mm2 Seleccionar : b h 400.mm A 160000.mm2 g g ∴ ≥ ⇒ = = ⇒ = Para esta sección la cantidad de refuerzo se debe determinar nuevamente con 9.2 => 3 × 2800 10 3 − × × × 0.85 28 160 10 × 0.70 0.80 ≥ st A Î A 3654.mm2 st ≥ (350 − 0.85 × 28)       Con barras # 9 ( 645 mm2 ) => 3654 / 645 = 5.7 barras => 6 # 9 Ù Ast = 3870 mm2 Si se asumen amarres transversales # 3 Î ƒ 16 x 28.7 = 459 mm ƒ 48 x 9.5 = 456 mm ƒ Menor dimensión de columna = 400 mm h = 400 mm b = 400 mm 70 mm 70 mm 260 mm 70 mm 260 mm 70 mm Figura 9.5 Sección transversal de columna del ejemplo 9.1 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 8. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Ejemplo 9.2 Una columna de hormigón armado soporta en servicio una carga axial muerta y viva de Psd = 820 kN y Psv = 1360 kN. Determinar su refuerzo longitudinal la cuantía de la espiral y el diámetro de su sección si f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. Solución: Î Pu = 1.2 x 820 + 1.5 x 1360 = 3024 kN Si ρ = 0.02⇒ Con barras # 7 ( 387 mm2 ) se tienen: 2419 / 387 = 6.25 barras => Usar 8 # 7 que equivalen a un Ast = 3096 mm2. El Φ.Pn = 3195 kN > Pu = 3024 kN => Cumple! Considerando un recubrimiento libre de hormigón de 40 mm => El área del núcleo de la columna es: Ac = π ( 370 )2 / 4 = 107521 mm2 71 3024 103 ≥ × g A Î A 149525.mm2 g ≥ 0.75 × 0.85 × (0.85 × 28 − 0.85 × 0.02 × 28 + 0.02 × 420) El diámetro de la columna es: D = 4 ×149525 = 436.mm π Î Usar D = 450 mm Para este diámetro la columna tiene una sección de: A 4502 / 4 159043.mm2 g =π × =    − × × 0.85 28 159043 3024 × 103 × 0.75 0.85    ≥ st A => A 2419.mm2 g ≥ El refuerzo requerido es: (420 − 0.85 × 28) 0.45 159043 1  × 28 = min  ρ =  − La cuantía mínima de espiral es: 0.0144 420 107521 Si se asume un espiral de diámetro igual a la barra # 3 => despejando “ s “ de 9.5: ( ) s 52.mm = 4 × 71 × 370 − 9.5 Î Usar espiral # 3 con paso de 50 mm. × 0.0144 370 2 = 450 mm 370 mm Espiral # 3 con paso de 50 mm Figura 9.6 Sección de columna del ejemplo 9.2 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 9. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 9.4 Columnas sometidas a compresión y flexión uniaxial 9.4.1 Generalidades Las columnas sometidas solo carga axial son excepcionalmente escasas en el diseño estructural, por lo general siempre existe la posibilidad combinar la carga axial con flexión aun cuando esta no sea producida por acción externa alguna. La flexión se presenta por la continuidad de las estructuras que permite la transmisión de tensiones entre las diferentes componentes de la edificación. Por ejemplo la carga vertical y lateral en un edificio inicialmente actúa en las losas de piso, estas la transmiten a las vigas las cuales a su vez la llevan a las columnas para finalmente desplegarla en la cimentación. Esta secuencia en la transmisión de tensiones es la que da origen a la interacción de las diferentes solicitaciones en el interior de una estructura. Las losas pueden recibir la carga y transmitirla en una o en dos direcciones, las vigas pueden estar sometidas a flexión uni o biaxial mas cortante y torsión igualmente las columnas columnas con la particularidad de que en estas la carga axial es importante. Es requisito fundamental en el diseño de una columna considerar la flexión aunque el análisis de tensiones indique esta no esta presente o su magnitud no es importante; la razón de esto es que siempre existen desfases en la construcción que inevitablemente introducirán excentricidades adicionales a las inicialmente consideradas en los cálculos. Cuando un elemento de hormigón armado se somete a una combinación de carga axial mas flexión ( Mu , Pu ) como se indica en la figura 9.7 es conveniente reemplazar el sistema por uno estáticamente equivalente que representa la carga axial aplicada a una determinada distancia del eje de la columna. Esta distancia, llamada “ e: excentricidad “, se determina como la relación entre el momento y la carga axial: “ e = M / P “. P M P e = M / P Las columnas se pueden clasificar en función de la excentricidad equivalente, aquellas cuyo valor de “ e “ es pequeño se conocen como columnas sometidas principalmente a carga axial y su falla se iniciara por agotamiento del hormigón a compresión. De otra parte cuando “ e “ es alto la flexión controla el comportamiento y la falla se iniciara por la fluencia del refuerzo en la cara mas traccionada de la sección. 72 Figura 9.7 Excentricidad equivalente en columnas ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 10. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ En el estudio de las columnas, a diferencia de las vigas, el comportamiento antes de alcanzar la resistencia del elemento no es importante desde el punto de vista del diseño. La fisuración del hormigón aun en casos de altas excentricidades y las deflexiones laterales bajo cargas de servicio generalmente no son factores determinantes en su diseño estructural. Sin embargo para continuar una metodología de trabajo ya iniciada en el caso de la flexión se presentara aquí una resumen del comportamiento de las columnas excéntricas antes de alcanzar su resistencia estructural. El lector puede continuar con el numeral 9.4.5 si a su juicio lo considera conveniente. 9.4.2 Comportamiento de columnas bajo carga excéntrica Los primeros intentos por tratar de modelar el comportamiento de las columnas excéntricas mostraron grandes dificultades en la adopción de expresiones adecuadas que permitieran a los ingenieros interpretar matemáticamente el problema. Solo el análisis elástico y el principio de superposición permitió encontrar una expresión racional para la flexión y la carga axial. Las tensiones por flexión y fuerza axial en cualquier punto de una columna se pueden representar por la ecuación 9.6: En donde “ r2 = ( I / A ) “. Cuando la excentricidad es nula => fc = P / A y se tiene la columna concéntrica. El signo positivo es tracción y el negativo compresión. Para encontrar la excentricidad que produce tensión de compresión nula en una de las caras de la columna => de la ecuación 9.6 “ fc = 0.0 “ y se despeja el valor de “ e “ Î Esta excentricidad es la distancia del centroide de la sección al punto donde termina teóricamente la compresión, este punto se conoce como “ punto Kern “. Si el proceso se repite para cada eje de la sección se encuentra una región o área interior de la columna la cual se denomina “ Área Kern “. Cualquier carga aplicada dentro de esta región solo produce tensiones de compresión en la columna, si la carga se aplica fuera de esta área se producirá tracción en la cara opuesta a la donde se plica la carga. Por ejemplo para una sección rectangular de b = h = 400 mm el área Kern es la indicada en la figura 9.8. Este valor es aproximadamente el 17 % de la dimensión de la sección. Considerando las otras caras y hallando el área Kern se encuentra que el tercio medio de la sección representa la región donde solo hay tensiones de compresión. En otras palabras si la excentricidad “ e < h / 6 “ se puede concluir que la sección no tiene tensiones de tracción en ningún de sus puntos y esta sometida solo a compresión. 73 ( )  f P M . y P P . e . y P 1 e . y ( 9.6 ) c = ± = ± =  ± 2  r  A I A I A P 2 e r y e y   0 =  1 − .  ⇒ = A r 2 400 3 400 400 × × × 12 400 400 2       e 66.67.mm × 12 200 200 = = = ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 11. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ h = 400 mm b = 400 mm Área Kern 133 mm Si la carga se aplica en esta zona no se produce tracción en la columna En las primeras ediciones del código ACI se indicaba que si la relación “ e / h ≤ 1.0 “ se podía utilizar en los cálculos la sección elástica sin fisurar. En opinión de muchos investigadores de la época esta recomendación no solo era imprecisa sino poco realista respecto al comportamiento real de la columna ya que para esta cantidad la fisuración en la cara traccionada de la columna debía ser severa. En ediciones posteriores el ACI reconoció el hecho y propuso utilizar la sección sin fisurar si “ e / h ≤ 2 / 3“. Sin embargo aun para esta condición la fisuración era severa y muchos diseños realizados con esta especificación fueron adecuados no por la limitación en “ e / h “ sino por la aplicación de los factores de minoración de resistencia que permitían lograr altos márgenes de seguridad. 9.4.3 Columnas excéntricas sometidas a bajas excentricidades Los ensayos realizados en la Universidad de Illinois por los investigadores Richart y Olson en el año de 1938 mostraron que la capacidad de carga de las columnas de hormigón armado no disminuye tan rápidamente a medida que aumenta la excentricidad tal como lo había predicho el método anterior al calcular fc. Sobre estas bases el ACI nuevamente modifico la expresión de diseño de las columnas y adopto una ecuación 74 Figura 9.8 Área Kern en una columna ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 12. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ consistente con los nuevos resultados experimentales. La expresión indica que la relación entre las tensiones axiales reales por compresión ( fa ) y las admisibles ( Fa ) mas la relación entre las tensiones axiales por flexión real ( fb ) y las admisibles ( Fb ) deben ser menor o igual a la unidad, expresada matemáticamente es la 9.7. Los valores de “ fa “ y “ fb “ se obtienen de las cargas, Fa = γ ( 0.225f´c + fs.ρg ) donde γ es igual a 1.0 para columnas en espiral y 0.80 en otros casos. Fb = 0.45.f´c. La forma de la ecuación 9.7 es similar a la que se usa en el diseño de estructuras metálicas. En el limite superior cuando f + = 1.0 es la ecuación de una línea recta la cual se muestra en la figura 9.9. Se debe resaltar que en la practica es este limite superior es el que se usa en el diseño y el campo de aplicación de 9.7 esta limitado a relaciones “ e / h ≤ 2 / 3“. fa / Fa 1.0 mb / Mb Zona admisible 1.0 ( pa / Pa ) fb / Fb Figura 9.9 Tensiones admisibles en columnas a compresión excéntricas ACI-318-56 Por ejemplo si una columna de hormigón armado de b = h = 400 mm y una cuantía del 0.02 con f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa esta sometida a una carga axial de 1000 kN y un momento de 75 kN.m => se verifica que: 75 f + f b ≤ 1.0 ( 9. 7 ) F b a F a b f F b a F a Cumple e = = 0.075. m ⇒ e = 0.075 = 0.1875 < 2/ 3⇒ h 0.400 75 1000 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 13. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ = F MPa a = 0.225× 28 + 420× 0.02 = 14.70. Se concluye que la columna es satisfactoria para las condiciones de carga impuestas. Si por ejemplo la carga es de 1500 kN y el momento es de 100 kN.m esta misma columna no es correcta y se debe modificar su diseño. Llama la atención la similitud de la grafica de la figura 9.9 con lo que mas adelante se denominaran los diagramas de interacción para el diseño de columnas. Si por ejemplo se multiplican los valores de las ordenadas de la figura 9.9 por “ Ag / Ag “ se obtiene la relación carga axial aplicada sobre carga axial admisible. Igualmente si se multiplican las abscisas por la relación “ I / A “ se obtiene la relación momento aplicado sobre momento admisible. Se tiene así un grafico de relaciones unitarias de P y M. La figura 9.10 muestra la sección transversal de una columna rectangular cargada excéntricamente, lo mismo que su sección transformada y el perfil de cargas aplicadas, donde “ P “ esta localizada a una distancia “ e “ del centro de gravedad de la sección transformada. Si “ As = A´s “, hipótesis muy frecuente en columnas, la excentricidad se puede medir desde el centroide de la sección. e ( n – 1 ) A´s A´s As La carga axial produce tensiones uniformes de magnitud “ fa = P / At “ mientras el momento flector produce tensiones máximas de magnitud “ fb = ( M.y ) / It. Si se sustituye “ y = h / 2 “ las tensiones en la sección quedan: 76 1000 × 103 fa 6.25.MPa × 400 400 = 6 = 75 × 10 × 200 F = b 0.45× 28 = 12.60. MPa f MPa b 7.03. 3 × 400 400 /12 = 7.03 6.25 La relación de tensiones es: + = 0.425 + 0.558 = 0.983 < 1.0⇒ Cumple 12.60 14.70 Figura 9.10 Comportamiento de columnas en rango elástico no fisurado M h f P (max.min) = ± . ( 9.8 ) c A 2. I t t ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003 P ( n – 1 ) As h b
  • 14. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Las tensiones dadas por la expresión 9.8 se indican en la figura 9.11. Dependiendo del valor de “ fc,min “ la sección puede estar totalmente comprimida ( fc > 0.0 ) o traccionada ( fc < 0.0 ). En este ultimo caso si “ fc,min “ es menor que el modulo de rotura del hormigón “ fr “ la sección esta en rango elástico no fisurado y los cálculos de las tensiones internas se pueden hacer utilizando el concepto de la sección transformada. En caso contrario la sección esta fisurada. = + = P M fa fb fa + fb fc max Por medio de la ecuación 9.8 se puede determinar aquel valor de la excentricidad para la cual la sección esta fisurada. Este valor de se denomina excentricidad limite y se determina igualando las tensiones resultantes en la cara traccionada al valor “ fr “. Por ejemplo para una columna de b = h = 400 mm con f´c = 28 MPa y sometida a una carga axial P = 1000 kN Î la excentricidad limite es: El resultado indica que la sección se mantiene en rango elástico sin fisurar si el momento flector no supera el valor de 1000 x 0.102 = 102 kN.m. Este calculo se realizo sin considerar la presencia del acero de refuerzo, en el siguiente ejemplo se muestra como son los cálculos completos. Ejemplo 9.3 Se requiere determinar la excentricidad limite de una columna de hormigón armado de dimensiones b = 300 mm y h = 500 mm la cual esta sometida a una carga de compresión P = 1500 kN. La sección esta reforzada con 4 # 8 colocadas simétricamente como se indica en la figura 9.12. Utilizar f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa. 77 Figura 9.11 Tensiones en columnas excéntricas en rango elástico no fisurado P e h P M h f f P . . = − = − . = − c r A 2. I A 2. I t t t t ( ) ( ) e P At fr It ∴ lim = 2. + . ( 9. 9 ) P . h ( ) ( × 3 3 )( 4 ) e = × + × × 102.mm lim 2.1000 10 /160 10 0.62 28 400 /12 3 × × 1000 10 400 = ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 15. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Solución: Para determinar la “ elim. “ se requiere conocer las propiedades de At e It de la sección transformada no fisurada Î ( 9 – 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2 ( 9 – 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2 200 mm 200 mm 300 mm 500 mm Si la columna se somete a momentos flectores M ≤ 1500 x .119 = 179 kN.m se puede concluir que la sección trabaja elásticamente sin fisurar. 9.4.4 Columnas sometidas a grandes excentricidades Si la excentricidad en una columna supera el valor de “ e ( lim) “ nuevamente, al igual que en vigas, parte de la sección se hace ineficaz para soportar las tensiones generadas por las cargas y la situación cambia totalmente respecto al caso anterior. La figura 9.13 muestra la sección de una columna sometida a una carga axial con gran excentricidad si se define “ kt “ como la altura de la zona comprimida, “ dc “ la distancia del borde mas 78 Figura 9.12 Sección de columna del ejemplo 9.3 n = 204000 = ≈ A 300 500 150000.mm2 g = × = 9.29 9 4790 21 A 150000 8160 8160 166320.mm2 t = + + =   × = I 300 500 mm T × = × × +   2 6 4 3 2 8160 200 3778 10 12   f MPa r = 0.62× 21 = 2.8.  × ×   2.8 3778 10  × + 2 1500 10 166320 6 3   e = 119.mm (lim) 3 × × 1500 10 500 = ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 16. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ comprimido al eje central de la columna y “ ds “ la distancia del borde mas traccionado al eje central de la columna se tiene por cálculos estáticos lo siguiente: ( 2n – 1) A´s kt dc d´ ds d Cs Cc n.As T fc fs / n d - kt    − − = b f k C c t e  − ´  f d e h P n A f d k c  + −      − − −  h d e k f b k e h n A k d ( ) 0.0     − +       − + −   ´ ´ = 2 79 Figura 9.13 Tensiones en columnas excéntricas fisuradas Del equilibrio de la sección y tomando momentos respecto al eje de la carga => T d + e −C  k + e − d C e d d c s c ( ) ( ) 0.0 t  3  ´ = + − −  s c f n f f = d − k . s t f = Î c Ahora por semejanza de triángulos: c s k ( d − k )t t t k n  ´  C 2.n 1 .A . k d . T A . f n.A . f . d k ( ) c    − = =   t t s s s c k ´   s s f t t k = . c . 2 Reemplazando en la ecuación de equilibrio se obtiene:   . . . . t c t 2 1 . . . . ´ 3 2 . . . 2 2 k k t t s t t s c = n A f  h − d + e s c   ψ = 2n − 1 .A´ . f .  d´ + e − h s c    α . . . ´ ( ) Sean: 2  2 . c β = b f 2 y γ = e − h Se obtiene una expresión mas simplificada para resolver “ kt “: 2  ´ =    − −  α d k β γ ψ k k k d   . 0.0  −  +     t t 3  −   . . . t t t t k k Esta es una ecuación cúbica para hallar el valor de “ kt “, organizando términos Î ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 17. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Una vez conocido el valor de “ kt “ se determinan las tensiones en el hormigón “ fc “ y en las dos capas de acero para finalmente determinar la carga admisible. Ejemplo 9.4 Una columna de b = h = 450 mm esta reforzada con seis barras # 9 como se indica en la figura 9.14. Determinar la carga axial admisible en rango elástico fisurado para una excentricidad e = 480 mm. f´c = 21 MPa y fy = 280 MPa. 60 mm 60 mm P (adm) 450 mm 450 mm 380 mm 390 mm Solución: Inicialmente se determinara la posición del eje neutro “ kt “ y luego las cargas internas “ T “, “ Cc “ y “ Cs “ para finalmente calcular “ Padm “. 80 k3 + k2 + + k − d + d´ = t t t β β γ α ψ α ψ . . . ( ). ( . . ) 0.0 3 Figura 9.14 Sección de columna del ejemplo 9.4 n = 204000 = 9.29 ≅ 9 As = A´s = 3 x 645 = 1935 mm2 4790 21 A 9 1935 17415.mm2 t = × = A´ (2 9 1).1935 32895.mm2 t = × − = La tensión admisible a compresión del hormigón es: fc = 0.45 x 21 = 9.45 MPa = n A f  h − d + e s c   α . . . = 9 x 1935 x 9.45x ( 225 – 60 + 380 )=90 x 106  ´ 2 ψ = 2n − 1 .A´ . f .  d´ + e − h s c =(18 – 1 ).1935 x 9.45 x ( 60 + 380 – 225 ) =67 x 106    ( ) 2 . c b f β = = ( 450 x 9.45 ) / 2 = 2126 2 γ = e − h = ( 380 – 225 ) = 155 2 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 18. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 9.4.5 Comportamiento a nivel de resistencia . Refuerzo en dos capas ( As y A´s ) Cuando las cargas externas se incrementan a valores tales que la resistencia del acero tiende a “ fy “ y la del hormigón a “ f´c “ se presenta una redistribución no lineal de tensiones entre los dos materiales. Este proceso no solo es complejo sino que solo se puede interpretar mediante una correcta formulación de un modelo matemático racional ajustado a la evidencia experimental. En principio se puede considerar para el análisis la columna de la figura 9.15 sometida a una carga axial “ Pn “ localizada a una distancia “ e´ ” del centroide del refuerzo a tracción. Para mayor generalidad se asume que las dos capas de acero tienen áreas diferentes “ As ≠ A´s “ que obliga a localizar su eje centroidal en un punto diferente al eje geométrico de la sección. De forma similar al diseño a flexión en vigas y losas, se puede presentar una falla a tracción o una falla a compresión dependiendo de si el acero a tracción alcanza o no la tensión de fluencia. Sin embargo, contrario a lo de vigas, en este caso no se puede evitar una falla a compresión limitando la posición del eje neutro respecto a la altura efectiva de la sección tal como se procede en esos casos ya que el tipo de falla depende es de la 81 2126 3 + × 2 + × 6 + × 6 − × 8 + × 8 = t t t k k k . 2126 155. (90 10 67 10 ). (351 10 40 10 ) 0 3 3 + 465. 2 + 221543. − 5517×104 = 0 t t t k k k Al resolver la cúbica se encuentra que la raíz correcta es “ kt = 168 mm “.  − = s y f 9.45 112.MPa 0.5. f 9 390 168 As en rango elástico   ⇒ < = ×  168 = × − × − s y f 9.45 103.MPa 0.5. f ´ 2 9 1 168 60 A´s en rango elástico   ( ) ×  = < ⇒ 168 Se concluye que las tensiones en ambos aceros cumplen los limites admisibles. = 168×9.45 × = C N c 450 357210. 2  −  2 9  1 1935 168 60  × = C ( ) N s 9.45 199837. 168 = × − × ×  −   9 1935 390 168  × = T 9.45 217470.N 168 = × × ∴P = 357210 +199837 − 217470 = 339577.N = 340.kN La carga admisible para una excentricidad de “ e = 380 mm “ es “ P = 340 kN ”. ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 19. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ magnitud de la carga axial. Por lo general el acero a compresión en columnas excéntricas llevadas a la falla alcanza la tensión de fluencia, excepto cuando: a) el nivel de carga axial es bajo, b ) se utiliza acero de alta resistencia y c) cuando las dimensiones de la columna son tales que “d´ ” es grande. En la practica es frecuente suponer que “ A´s “ esta en fluencia y luego por relaciones geométricas de las deformaciones comprobar esta hipótesis. d´ e´ Pn d A´s b Cs Cc Figura 9.15 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excéntricas Las expresiones 9.10 y 9.11 definen la capacidad a flexión y carga axial de columnas excéntricas con refuerzo asimétrico. Sin embargo estas ecuaciones en la practica no son útiles porque se acostumbra referenciar la excentridad al eje central de la columna “ e “. Para lograr mayor aplicación a las anteriores ecuaciones es necesario referir la excentricidad a un punto denominado el “ centroide plástico de la sección “. Este punto esta localizado de tal forma que la carga externa produce una condición de falla solo por 82 Cs Del equilibrio de fuerzas horizontales en la figura 9.15 se tiene: P − C − C −T = 0 n s c Î . 0.85. . . . 0 − ´ ´ − ´ + = n s s c s s P A f f b a A f n c s s s s ∴P = 0.85. f ´.a.b + A´ . f ´ − A . f ( 9.10 ) Por lo general el acero a compresión esta en fluencia => f´s = fy Tomando momentos alrededor del acero a tracción se obtiene: P e − C d − d −C d − a n s c ( ) 0    . ´ . ´ . = 2 P .e 0.85 f .a.b. d a A f d d n c s s − +  ´ ´ ´ . ´.( ´ ) = ⋅  −  ( 9.11) 2 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003 h As εc ε´s εs c T a Cs Cc T 0.85.f´c
  • 20. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ carga axial. La figura 9.16 ilustra la forma de ubicar el centroide plástico en una columna con refuerzo asimétrico de dimensiones “ b “ y “ h “. C2 C1 C3 d´ Po Carga localizada en el centroide plástico A´s As b h h / 2 d" d Cuando la sección esta reforzada simétricamente “ As = A´s “ y el valor de la ecuación 9.12 se reduce considerablemente convirtiéndose en la 9.13. De nuevo considerando la figura 9.15 pero ahora realizando sumatoria de momentos respecto al centroide plástico de la sección se obtiene: 83 Figura 9.16 Localización del centroide plástico de una sección de columna De la definición: o c c st y P = 0.85 f ´.A + A . f : Carga axial en la columna Por sumatoria de momentos respecto al eje del refuerzo a tracción se tiene: . ´ 1 2 C d h C d d P d o = − +  .( ) . "  −  2  Reemplazando valores y despejando “ d´´ “ se obtiene: ( ) ( ) ´ ´ ´ ´ d f b h d h A f d d ´ ´ = 0.85 . . . − / 2 + . . − c s s ( 9.12 ) ( )c s s y f b h A A f ´´ 0.85 . . + + (. ´) d´´ d d − = ( 9.13 ) 2 P .e 0.85 f .a.b. d a d A f d d d A f d n c s s s s + − − +  ´ ´´ ´ . ´.( ´ ´´ ) . . ´´ =  − − ( 9.14 )  2  Reemplazando 9.13 en 9.14 para columnas con refuerzo simétrico Î ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 21. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ d´ e Pn d b Cs Cc Figura 9.17 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excéntricas Las ecuaciones 9.10, 9.14 y 9.15 son las relaciones de equilibrio básicas para columnas rectangulares sometidas a flexo-compresión. En estas ecuaciones es necesario recordar que parte del hormigón de la zona comprimida ha sido desplazado por el acero y esto no se ha considerado en las anteriores ecuaciones por el pequeño efecto que tiene en los resultados; sin embargo para cuantías altas, mayores al 4 %, su efecto es importante y es necesario considerarlo en los diseños. Lo que se hace es reemplazar el valor de “ f´s “ por “ ( f´s – 0.85.f´c ) “ logrando así compensar la carga de la misma manera como se ha disminuido el valor de la resistencia a compresión. Para una determinada columna la carga axial determinada con la ecuación 9.10 no debe ser mayor que la obtenida con la 9.2. Dependiendo de la magnitud de la excentricidad se pueden considerar tres tipos de comportamientos en las columnas: ƒ Cuando la excentricidad de la carga axial es alta, la falla se inicia por fluencia del acero a tracción ( fs = fy ). El acero a compresión puede estar en fluencia ( f´s = fy ) dependiendo de la deformación del hormigón a compresión (εc = 0.003) hipótesis que se debe comprobar por compatibilidad de deformaciones. ƒ Cuando la excentricidad es baja el hormigón alcanza inicialmente su máxima deformación (εc = 0.003) antes de que el acero a tracción inicie la fluencia. En estos casos la sección de la columna estará totalmente comprimida. ƒ Cuando la rotura se produce por la acción simultanea de fluencia del acero a tracción y máxima deformación del hormigón a compresión se llega a la condición intermedia. Las ecuaciones de compatibilidad para comprobar si el acero en ambas caras de una columna esta o no en fluencia se obtienen del perfil de deformaciones de la figura 9.17. Por semejanza de triángulos se obtiene: 84 P .e = 0.85 f ´.a.b.  h − a A´ f ´ h d´ A f d h ( 9.15) n c s s s s    − +     − +     2 . . 2 . . 2 2 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003 h A´s εc ε´s εs c T a Cs Cc T 0.85.f´c d" C.P
  • 22. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ C D εs εc A B ε´s d c d´ Para el triangulo OAB => ε = ε c s c (d − c) Para el triangulo OCD => ´ ε = ε c s ( ´ ) c d − d O Para una columna rectangular con refuerzo simétrico el análisis de su comportamiento a nivel de resistencia se logra utilizando las ecuaciones 9.10 y 9.15 comprobando las hipótesis de las deformaciones con 9.16 y 9.17. Por lo general para una determinada excentricidad “ e “ o una carga axial “ Pn “ son datos del problema: las dimensiones de la sección, la cantidad y distribución del refuerzo, el recubrimiento y la resistencia de los materiales ( b, h, d, d´, As, A´s, f´c, fy ) las incógnitas son : la profundidad del eje neutro “ c “, las tensiones en los aceros “ fs y f´s “ y “ Pn “ o “ e “. El procedimiento de análisis para una sección y excentricidad conocidas es el siguiente: inicialmente se asume una profundidad del eje neutro “ c “. Se determina luego la altura del bloque de Whitney usando la expresión “ a = β1.c “, se calculan las tensiones en los aceros a tracción y a compresión con 9.16 y 9.17 y luego la carga axial “ Pn “ con la ecuación 9.10, calcular finalmente la excentricidad correspondiente a esta carga usando la ecuación 9.15 y comparar este valor con la “ e “ inicial. Si son aproximadamente iguales se tiene la capacidad de carga axial de la columna, en caso contrario se deben repetir los cálculos anteriores usando un nuevo valor de “ c “. Si la excentricidad obtenida es mayor que la indicada se debe asumir un valor mayor de “ c “ y viceversa. Este proceso converge rápidamente y es muy simple con la ayuda de una calculadora programable o una hoja de calculo. Ya que el procedimiento anterior es largo y laborioso mas aun cuando no se dispone de eficientes herramientas de calculo como las calculadoras programables de gran capacidad y computadores portátiles, es practico utilizar tablas o gráficos que resuelvan 85 Despejando “ εs “ , “ ε´s “ y reemplazando “ fs = Es. εs “ ,“ fs = Es. εs “ Î ( ) f = ε .E . d − c ≤ ( 9.16 ) s c s y f c ( ´ ) f E c − d ≤ ´ ε . . ( 9.17 ) s c s y f c = ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 23. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ rápidamente el problema. De estas ayudas la mas conocida es el “ diagrama de interacción de columnas “ los cuales son gráficos similares al mostrado en la figura 9.18 y donde se relacionan los momentos y las cargas axiales para diferentes: Pn Columna con excentricidad pequeña. Controla la compresión Condición intermedia Columna con grande excentricidad Mn = Pn.e Columna sin excentricidad, solo compresión ( e = 0 ) Zona a compresión Zona a traccion Ejemplo 9.5 Se requiere analizar el comportamiento de la columna de la figura 9.19 utilizando un hormigón de f´c = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa. 86 a) Disposiciones en la colocación del refuerzo ( en dos o cuatro caras ) b) Resistencia de los materiales ( f´c y fy ) c) Dimensiones de recubrimientos ( d y d´ ) d) Secciones de columna ( rectangular y circular) Figura 9.18 Forma típica del diagrama de interacción y perfiles de deformación h = 400 mm b = 400 mm d´= 65 mm d´= 65 mm 4 # 9 4 # 9 Figura 9.19 Sección de columna del ejemplo 9.5 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 24. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Solución: primero se determina la capacidad de la sección sometida a compresión pura con la ecuación 9.2. Luego se asumen diferentes valores de “ c “ determinando los puntos que definen el diagrama de interacción de la columna . a) Capacidad de la columna solo a carga axial “ e = 0 “. b) Determinación de los valores de “ Pn “ y “ Mn “ para diferentes valores de “ c “. Este procedimiento se facilita con un programa o una hoja de calculo como se indica a continuación. Ya que el valor de “ c “ puede variar desde “ 0.0 “ hasta infinito ( cuando la columna es una viga ) se asumirán valores arbitrarios hasta lograr que Mn ≈ 0.0 para así graficar los puntos del primer cuadrante del diagrama. Las figuras 9.20, 9.21 y 9.22 muestran los tres tipos de gráficos de interacción mas utilizados. ( ) f MPa MPa s s 0.01246 204000 0.01246 2542. 420 ( ) f MPa MPa s s 0.002025 204000 0.002025 413. 420 ( ) f MPa MPa s 0.002025 s 204000 0.002025 413. 420 87 P ( ) ( ) N kN no 0.85 35 400 400 8 645 8 645 420 6774 10 . 6774. = × × × − × + × × = × 3 = P 6774 103 = × El valor expresado en términos de tensiones: no = 42. MPa A g × 400 400 6774 103 = × P El valor adimensional es: 1.21 ´ = × × 400 400 35 no A f × g c ƒ Para c = d´= 65 mm Î f´s = 0.0 ε = 0.003× 335 − 65 = ⇒ = × = > 335 C N kN c 0.85 35 0.80 65 400 619 10 619. = × × × × = × 6 = T = 2580× 420 = 1084×106N = 1084.kN P kN n = 619 −1084 = −465. M ( ) kN mm kN m n 619 (200 0.80 65/ 2) 1084 335 200 254 10 . 254 . = × − × + × − = × 3 = Este es el primer punto de la tabla 9.1 y corresponde “ e = 254 / - 465 = - 0.55 m ”. ƒ Para c = h / 2 = 200 mm Î ε = 0.003× 335 − 200 = ⇒ = × = < 200 − 200 65 ´ 0.003 = ⇒ = × = < 200 ε = × C N kN c 0.85 35 0.80 200 400 1904 10 1904. = × × × × = × 6 = ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 25. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ M ( ) ( ) kN m n = 1904× (200 − 0.80× 200/ 2) +1065× 335 − 200 +1065× 200 − 65 = 516 . Este es el cuarto punto de la tabla 9.1. Corresponde a un “ e = 0.27 m ” ( ) f MPa MPa s s 0.002420 204000 0.002420 494. 420 b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 d´( mm ) = 65 As(mm2) = 2580 ec= 0.003 d ( mm ) = 335 A´s(mm2) = 2580 B1= 0.80 Punto c fs f´s Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c ) (mm) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens. 1 65 420 0 254 -465 3.97 -2.91 0.113 -0.083 2 110 420 250 397 610 6.20 3.81 0.177 0.109 3 155 420 355 474 1309 7.40 8.18 0.211 0.234 4 200 413 413 516 1904 8.07 11.90 0.230 0.340 5 245 225 420 462 2836 7.23 17.72 0.206 0.506 6 290 95 420 411 3599 6.43 22.50 0.184 0.643 7 335 0 420 357 4273 5.57 26.71 0.159 0.763 8 380 -72 420 295 4888 4.60 30.55 0.132 0.873 9 425 -130 420 223 5464 3.48 34.15 0.099 0.976 10 470 -176 420 139 6012 2.17 37.57 0.062 1.073 11 515 -214 420 42 6538 0.66 40.86 0.019 1.168 12 560 -246 420 -67 7049 -1.05 44.06 -0.030 1.259 88 C T N kN s 2580 413 1065 10 1065. = = × = × 6 = P kN n = 1904 +1065 −1065 = 1904. ƒ Para c = d = 335 mm Î fs = 0.0 ε ´ = 0.003× 335 − 65 = ⇒ = × = > 335 C N kN c 0.85 35 0.80 335 400 3189 10 3189. = × × × × = × 6 = P kN n = 3189 + 2580× 420 = 4273. M ( ) kN mm kN m n 3189 (200 0.80 335/ 2) 1084 200 65 356 10 . 356 . = × − × + × − = × 3 = Este es el punto # 7 y corresponde a un “ e = 356 / 4273 = 0.08 m “. Tabla 9.1 Resumen de los resultados en los cálculos de la columna del ejemplo 9.5 COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPAS DATOS DE LA SECCIÓN DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION p = 0.03225 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 26. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 89 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 ( 357, 4273 ) ( 610, 397 ) ( 516, 1904 ) ( 0, 6774 ) 0 200 400 600 Mn ( kN.m) Pn ( kN ) Figura 9.20 Diagrama de interacción dimensional de la columna del ejemplo 9.5 50 40 30 20 10 0 e = 0.08 e = 0.27 e = 0.55 0 2 4 6 8 10 Mn / ( Ag h ) ( MPa ) Pn / Ag ( MPa ) Figura 9.21 Diagrama de interacción en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.5 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 27. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ e / h = 0.20 e / h = 0.68 Figura 9.22 Diagrama de interacción adimensional de la columna del ejemplo 9.5 Si se repiten los cálculos dela tabla 9.1 para las ocho cuantías de columnas se obtiene una familia de diagramas muy útiles en el diseño estructural y que se presentan en todos los manuales y ayudas de diseño. La figura 9.23 los ilustra para el ejemplo 9.5. 90 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Mn / ( Ag h f´c ) Pn / ( Ag f´c) 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 ρ = 0.01 ρ = 0.08 Mn 0 200 400 600 800 1000 Mn ( kN.m) Pn ( kN) Figura 9.23 Familia de diagramas de interacción del ejemplo 9.5 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 28. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 9.4.6 Comportamiento a nivel de resistencia. Refuerzo en todas las caras Cuando se presentan altos momentos flectores es mas económico concentrar parte o todo el refuerzo en las dos caras paralelas al eje de la flexión como se indica en la figura 9.24. Sin embargo para pequeñas excentricidades es decir alta carga axial y bajos momentos flectores y cuando por razones arquitectónicas se requieran disminuir al máximo las dimensiones de la sección transversal de la columna es practico distribuir el refuerzo en forma uniforme alrededor del perímetro de la sección. b En este caso, al existir varias capas de refuerzo, es probable que cuando se alcance la resistencia de la sección las barras de las capas intermedias no estén en fluencia aspecto que se debe tener en cuenta cuando se analiza el comportamiento de la sección, figura 9.25. Utilizando los principios explicados en el numeral anterior se pueden construir los diagramas de interacción de estas secciones aplicando las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad. Estos diagramas son la base fundamental del diseño de las columnas con refuerzo en todas las caras. La construcción de estos se explicara mejor con el siguiente ejemplo. Ts3 Figura 9.25 Tensiones y deformaciones en columnas con refuerzo en todas las caras 91 Figura 9.24 Distribución del refuerzo en columnas en dos y cuatro caras ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003 h b h Mu Mu εc εs1 εs2 εs3 εs Ts4 Cs1 Cc Cs2 c As1 As2 As3 As4
  • 29. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Ejemplo 9.6 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna del ejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las cuatro caras. h = 400 mm 8 # 9 b = 400 mm d´= 65 mm 135 mm 135 mm d´= 65 mm Solución: El procedimiento a seguir es similar al ejemplo anterior. En la tabla 9.2 y figuras 9.27 a 9.30 se muestran los resultados obtenidos. Punto c fs1 fs2 fs3 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c ) # (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens. 1 65 0 420 420 217 -736 3.4 -4.6 0.10 -0.13 2 110 250 420 420 338 177 5.3 1.1 0.15 0.03 3 155 355 178 420 406 1121 6.3 7.0 0.18 0.20 4 200 413 0 413 444 1904 6.9 11.9 0.20 0.34 5 245 420 112 225 406 2855 6.3 17.8 0.18 0.51 6 290 420 190 95 366 3635 5.7 22.7 0.16 0.65 7 335 420 247 0 320 4320 5.0 27.0 0.14 0.77 8 380 420 290 72 264 4945 4.1 30.9 0.12 0.88 9 425 420 324 130 197 5527 3.1 34.5 0.09 0.99 10 470 420 352 176 117 6081 1.8 38.0 0.05 1.09 11 515 420 374 214 24 6612 0.4 41.3 0.01 1.18 12 560 420 393 246 -82 7127 -1.3 44.5 -0.04 1.27 13 605 420 410 273 -204 7629 -3.2 47.7 -0.09 1.36 14 650 420 420 297 -339 8116 -5.3 50.7 -0.15 1.45 92 Figura 9.26 Sección de columna del ejemplo 9.6 Tabla 9.2 Resultados del análisis de la columna del ejemplo 9.6 COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS DATOS DE LA SECCIÓN b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1935 ec= 0.003 d´2( mm ) = 200 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8 d´3(mm) = 335 As3(mm2) = 1935 DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 30. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 93 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 200 400 600 800 1000 Mn (kN.m) Pn(kN) Figura 9.27 Diagrama de interacción de la columna 9.6 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 Mn / ( Ag h ) ( MPa) (Pn / Ag ) (MPa) Figura 9.28 Diagrama de interacción de la columna del ejemplo 9.6 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 31. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Mn 0 200 400 600 800 1000 94 2.00 1.80 1.60 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 [ Mn / (Ag.h.f´c)] [Pn / (Ag.f´c)] Figura 9.29 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.6 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 Mn ( kN.m) Pn ( kN) Figura 9.30 Diagrama completo de interacción del ejemplo 9.6 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 32. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Ejemplo 9.7 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna del ejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las dos caras laterales. h = 400 mm 8 # 9 b = 400 mm d´= 65 mm 90 mm 90 mm 90 mm d´= 65 mm Solución: El procedimiento también es similar al ejemplo 9.5. En la tabla 9.3 y figuras 9.32 a 9.35 se muestran los resultados obtenidos. Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c ) # (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens. 1 65 0 420 420 420 230 -1007 3.6 -6.3 0.10 -0.18 2 110 250 250 420 420 319 -36 5.0 -0.2 0.14 -0.01 3 155 355 0 355 420 359 934 5.6 5.8 0.16 0.17 4 200 413 138 138 413 388 1904 6.1 11.9 0.17 0.34 5 245 420 225 0 225 363 2874 5.7 18.0 0.16 0.51 6 290 420 285 95 95 333 3670 5.2 22.9 0.15 0.66 7 335 420 329 164 0 293 4367 4.6 27.3 0.13 0.78 8 380 420 362 217 72 243 5001 3.8 31.3 0.11 0.89 9 425 420 389 259 130 179 5591 2.8 34.9 0.08 1.00 10 470 420 410 293 176 103 6150 1.6 38.4 0.05 1.10 11 515 420 420 321 214 12 6676 0.2 41.7 0.01 1.19 12 560 420 420 344 246 -93 7176 -1.5 44.9 -0.04 1.28 13 605 420 420 364 273 -213 7665 -3.3 47.9 -0.10 1.37 14 650 420 420 381 297 -348 8146 -5.4 50.9 -0.16 1.45 95 Figura 9.31 Sección de columna del ejemplo 9.7 Tabla 9.3 Resumen de los resultados para la columna del ejemplo 9.7 COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS COLUMNA TIPO L DATOS DE LA SECCIÓN b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1290 ec= 0.003 d´2( mm ) = 155 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8 d´3(mm) = 245 As3(mm2) = 1290 d´4(mm) = 335 As4(mm2) = 1290 DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION p = 0.0323 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 33. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 0 100 200 300 400 500 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 96 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Mn (kN.m) Pn(kN) Figura 9.32 Diagrama de interacción dimensional columna del ejemplo 9.7 50.0 45.0 40.0 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 Mn / ( Ag h ) ( MPa) (Pn / Ag ) (MPa) Figura 9.33 Diagrama de interacción dimensional de columna del ejemplo 9.7 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 34. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Mn 0 200 400 600 800 1000 97 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 [ Mn / (Ag.h.f´c)] [Pn / (Ag.f´c)] Figura 9.34 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.7 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 Mn ( kN.m) Pn ( kN) Figura 9.35 Familia de diagramas de interacción columna del ejemplo 9.7 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 35. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 9.4.7 Comportamiento a nivel de resistencia. Columnas circulares El método anteriormente descrito para determinar por compatibilidad de deformaciones el comportamiento de los tres tipos de columnas rectangulares mas frecuentes en los edificios de hormigón armado ( R, E y L ) se puede aplicar al caso de columnas de forma circular ( C ). La figura 9.36 muestra como se determina “ c “ en estos casos considerando el mismo perfil de deformaciones visto en los ejemplos anteriores. De forma similar la profundidad del bloque comprimido es “ a = B1 c “. c εc =0.003 εs Cc Cs T1 T2 θ La principal característica de esta sección es que la zona a compresión es un segmento de circulo de altura “ a “ del cual se debe conocer su área y posición del centroide para determinar la fuerza de compresión en el hormigón y el momento resultante de esta fuerza respecto al centro de gravedad de la columna. De la geometría se obtiene que tanto el área como la posición del centroide se pueden obtener a partir del ángulo “ θ “ que hace la base del segmento con el radio como se muestra en la figura 9.36. El valor del ángulo “ θ “ depende de la altura del bloque comprimido de la sección así: Si “ a < h / 2 Î “ θ < 90° “ y se puede calcular con la ecuación 9.18: El área del segmento circular se expresa en función de “ θ “ mediante la ecuación 9.20 donde “ θ “ esta en radianes. El momento de esta área alrededor del centro de la 98 Figura 9.36 Perfil de tensiones y deformaciones para una columna circular  θ h a ( 9.18 )    = − − cos 1 2   2 h Si “ a > h / 2 Î “ θ > 90° “ y se puede calcular con la ecuación 9.19:  θ a h ( 9.19 )    − = − − 180 cos 1 2   2 h ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 36. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ columna se indica con la ecuación 9.21. Con estos parámetros se puede determinar el diagrama de interacción de la columna circular. A h2. θ senθ .cosθ ( 9.20 ) ( 9.21 ) En donde ” y “ es el valor de la distancia del centroide del área comprimida al eje neutro. La forma del diagrama de interacción de una columna circular se ve afectada por el numero de barras y su orientación relativa respecto al eje neutro. Por ejemplo en la columna de la figura 9.36 la capacidad de momento en dirección x-x es menor que la obtenida en dirección y-y efecto que debe tener muy en cuneta el diseñador de la estructura. Se recomienda que el diseño de columnas circulares se realice con el diagrama de la dirección mas desfavorable debido al poco control que se tiene durante la construcción de la edificación. Para casos donde el numero de barras es mayor de ocho ( 8 ) el problema se reduce considerablemente por la disposición circular del refuerzo a flexión de la columna. Ejemplo 9.8 Analizar en un diagrama de interacción el comportamiento de una columna circular de diámetro “ Φ = 400 mm “. Usar los mismos datos de los ejemplos anteriores para las propiedades de lo materiales, As = 8 # 9. 400 65 mm 132.5 mm 200 mm 267.5 mm 335 mm Solución: La metodología nuevamente es similar a la presentada en los ejemplos de columnas rectangulares. Inicialmente se determina la capacidad de la columna sometida a carga axial pura y luego se asumen varias posiciones de eje neutro y por compatibilidad y equilibrio se obtienen las parejas de puntos ( Mn , Pn ). 99  −    = 4  h sen 3 3 θ 12 A y      = . Figura 9.37 Sección de la columna del ejemplo 9.8 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 37. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ ( ) f MPa MPa s s 0.00311 204000 0.00311 634 420 ( ) f MPa MPa s s 0.00623 204000 0.00623 1271 420 ( ) f MPa MPa s s 0.00935 204000 0.00935 1907 420 ( ) f MPa MPa s 0.01246 s 204000 0.01246 2542 420 Se comprueba que todas las capas de acero están en fluencia cuando “ c = 65 mm “. Las fuerzas resultantes en cada capa son: Capa 1 => F1 = 0.0 Capa 2 => F2 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN Capa 3 => F3 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN Capa 4 => F4 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN Capa 5 => F5 = 645 mm2 * 420 MPa = 271 kN La resultante a compresión del hormigón es: 42.27o = × − ×   A 400 0.74 0.67 0.74  = mm 2 9768. 2 100 ƒ Capacidad a carga axial pura Î Excentricidad: e = 0.0 P ( ( ) ) kN n = 0.85×35× 125664 − 5160 + 5160× 420 = 5752 ƒ Para c = 65 mm Î εs1 = 0.0 y fs1 =0.0 0.003 132.5 65 2 2 ε = × − = ⇒ = × = > 65 0.003 200 65 3 2 ε = × − = ⇒ = × = > 65 0.003 267.5 65 4 2 ε = × − = ⇒ = × = > 65 0.003 335 65 5 2 ε = × − = ⇒ = × = > 65 θ Cc a = 0.80 x 65 =52 mm  −  cos 1 200 52  =  θ = − y Cc = 0.85×35× 9768 = 291×103N = 291.kN 200 mm 200 4 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 38. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ La fuerza axial resultante es: Pn = 291 – 3 ( 542 ) – 271 = -1606 kN (tracción ). Para obtener “ Mn “ se toman momentos respecto al centro de gravedad de la columna Momento del bloque de hormigón: M1 = 291 x 166 = 48306 kN.mm = 48.3 kN.m Momento de las capas de acero: M2 = 0.0 M3 = 542 x ( 200 – 132.5 ) = 36.6 kN.m ; M4 = 542 x ( 200 – 200 ) = 0.0 kN.m M5 = 542 x ( 267.5-200 ) = 36.6 kN.m ; M6 = 271 x ( 335 – 200 ) = 36.6 kN.m El momento resistente es: Mn = 48.3 +36.6 + 36.6 + 36.6 = 158.1 kN.m La capacidad a flexión de esta columna para “ c = 65 mm “ es ( 158 kN.m , -1606 kN ). Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 fs5 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag # (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) 1 65 0 420 420 420 420 158 -1611 2.5 -10.1 2 100 214 199 420 420 420 190 -941 3.0 -5.9 3 135 317 11 295 420 420 213 -159 3.3 -1.0 4 170 378 135 108 351 420 247 676 3.9 4.2 5 205 418 216 15 187 388 256 1520 4.0 9.5 6 240 420 274 102 70 242 246 2283 3.8 14.3 7 275 420 317 167 17 134 231 2938 3.6 18.4 8 310 420 350 217 84 49 209 3514 3.3 22.0 9 345 420 377 257 137 18 181 4029 2.8 25.2 10 380 420 399 290 181 72 148 4488 2.3 28.1 11 415 420 417 317 218 118 111 4891 1.7 30.6 12 450 420 420 340 248 156 72 5216 1.1 32.6 13 485 420 420 360 274 189 39 5459 0.6 34.1 14 500 420 420 367 285 202 31 5522 0.5 34.5 101 ( 42.27 ) 12 3 400 3     ×   y 166. mm sen 9768 = = Tabla 9.4 Resumen de cálculos de comportamiento columna ejemplo 9.8 COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS CIRCULARES DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS DATOS DE LA SECCIÓN INCR." c "= 35 D ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 fy (MPa) = 420 ec= 0.003 d´2( mm ) = 132.5 As1(mm2) = 645 B1= 0.8 d´3(mm) = 200 As2(mm2) = 1290 A(mm2)= 125664 d´4(mm) = 267.5 As3(mm2) = 1290 d´5(mm) = 335 As4(mm2) = 1290 As5(mm2) = 645 DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 39. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 0 100 200 300 0 1 2 3 4 5 102 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Mn ( kN.m ) Pn ( kN ) Figura 9.38 Diagrama de interacción de la columna circular del ejemplo 9.8 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Mn / (Ag x h ) ( MPa) Pn / Ag ( MPa) Figura 9.39 Diagrama de interacción en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.8 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 40. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 0.00 0.05 0.10 0.15 Mn ( kN.m ) Pn ( kN ) Figura 9.41 Diagramas de interacción para columna circular del ejemplo 9.8 0 100 200 300 400 103 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 Mn / (Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c ) Figura 9.40 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.8 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 41. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 9.4.8 Diseño a flexión y carga uniaxial de columnas cortas En columnas, al igual que en vigas y losas, el diseño de los elementos debe cumplir con unos márgenes de seguridad adecuados. Estos están indicados en las normas y códigos establecidos. Las cargas o tensiones externas de servicio se deben amplificar utilizando los factores “ γ “ y la resistencia se debe disminuir utilizando los coeficientes “ Φ “. Lo anterior significa que si una columna esta bien diseñada se debe cumplir: n u φ .P ≥ P y n u φ .M ≥ M ( 9.22 ) Utilizando el método de las deformaciones limites se pueden definir diferentes valores para el coeficiente “ Φ “ de acuerdo al comportamiento resistente de la columna. Cuando controla la tracción se cumple que: “ εt > 0.005 y c / dt < 0.375 “ y el valor de “ Φ = 0.90 “ para cualquier columna. Si controla la compresión se tiene que si: “ εt < 0.002 y c / dt > 0.600 “ => “ Φ = 0.75 “ para columna con espirales y “ Φ = 0.65 “ en otros casos. Finalmente si las condiciones que controlan la resistencia de la columna son intermedias se cumple que “ 0.002 < εt < 0.005 y 0.375 < c / dt < 0.600 “ y el valor de “ Φ “ se obtiene por interpolación lineal con las siguientes expresiones: Si se aplican estos coeficientes a los diagramas “ Mn , Pn “ obtenidos en el numeral anterior se pueden obtener los diagramas “ ΦMn , ΦPn “ que son en definitiva los diagramas de interacción para el diseño estructural de columnas. Ejemplo 9.9 Se requiere determinar el diagrama de interacción de diseño de la columna del ejemplo 9.5. f´c = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa. 104 φ = 0.37 + 0.20 Columna con espiral: t φ = 0.57 + 67.ε o ( )t c d φ = 0.23 + 0.25 Columna con amarre: t φ = 0.48 + 83.ε o ( )t c d h = 400 mm b = 400 mm d´= 65 mm d´= 65 mm 4 # 9 4 # 9 Figura 9.42 Sección de columna del ejemplo 9.5 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 42. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Solución: El procedimiento es similar al realizado en el ejercicio 9.5 pero ahora se considera el coeficiente “ Φ “ en los cálculos respectivos. La tabla 9.5 y la grafica 9.43 presenta los resultados obtenidos. Punto c Φ fs1 fs2 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x f´c ) Pn / ( Ag x f´c ) # (mm) coef. ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens. 1 20 0.90 420 420 296 -1779 4.6 -11.1 0.13 -0.32 2 65 0.90 0 420 229 -418 3.6 -2.6 0.10 -0.07 3 110 0.90 250 420 357 549 5.6 3.4 0.16 0.10 4 155 0.77 355 420 365 1008 5.7 6.3 0.16 0.18 5 200 0.65 413 413 335 1235 5.2 7.7 0.15 0.22 6 245 0.65 420 225 300 1840 4.7 11.5 0.13 0.33 7 290 0.65 420 95 267 2335 4.2 14.6 0.12 0.42 8 335 0.65 420 0 231 2772 3.6 17.3 0.10 0.49 9 380 0.65 420 72 191 3171 3.0 19.8 0.09 0.57 10 425 0.65 420 130 144 3522 2.3 22.0 0.06 0.63 11 470 0.65 420 176 90 3522 1.4 22.0 0.04 0.63 12 515 0.65 420 214 27 3522 0.4 22.0 0.01 0.63 13 560 0.65 420 246 -44 3522 -0.7 22.0 -0.02 0.63 14 605 0.65 420 273 -124 3522 -1.9 22.0 -0.06 0.63 Por ejemplo si la columna indicada esta sometida a las siguientes cargas externas mayoradas ( Mu = 350 kN.m , Pu = 1250 kN ) se tiene: Excentricidad: e = ( 350 / 1250 ) = 0.28 m Î e / h = 0.28 / 0.40 = 0.70 > 0.2 Si se entra a la grafica de la figura 9.43 se encuentra que esta pareja de puntos esta por fuera del diagrama de interacción y la columna no es adecuada. Se debe aumentar el refuerzo para lograr seguridad estructural. En la grafica 9.44 se encuentra que una cuantía de 0.038 es adecuada para esta columna. 105 Tabla 9.5 Resultados del diseño de la columna del ejemplo 9.9 DISEÑO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPAS COLUMNA E DATOS DE LA SECCIÓN b ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 2580 ec= 0.003 d´2( mm ) = 335 As2(mm2) = 2580 B1= 0.8 p= 0.03225 Pn (max)= 3522 DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION p = 0.03225 Mu / ( bh2 f´c ) = ( 350 x 106 / ( 400 x 4002 x 35 )) = 0.16 Pu / ( bh f´c ) = ( 1250 x 103 / ( 400 x 400 x 35 )) = 0.22 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 43. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Tipo: E f´c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0.675 Tipo: E f´c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0.675 P = 0.038 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Figura 9.44 Diagrama de interacción adimensional de diseño de columnas tipo E 106 1.000 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.000 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 fi.Mn / ( bh^2f´c) fi.Pn / ( bhf´c) Figura 9.43 Diagrama de interacción de diseño de columna del ejemplo 9.9 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 FMn / ( bh^2f´c) FPn / ( bhf´c) ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 44. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ De la misma forma se procede con otros valores de momento y carga axial. En general para cualquier columna sea tipo E, R, L o C se disponen de juegos de diagramas de interacción que ayudan a seleccionar rápidamente las cantidades de acero requeridas manejando las variables: recubrimientos, f´c, fy. La practica en nuestro medio es la que utilizan en los Estados Unidos de América. Los gráficos se encuentran definidos con la siguiente nomenclatura: Tipo de grafico: f´c : fy : γ. Por ejemplo la columna definida con la referencia: E4.60: 60 Î equivale a un tipo E ( acero en las dos caras normales al eje de la flexión ), hormigón de 4 ksi ( 28 MPa ), refuerzo de 60 ksi ( 420 MPa ) y coeficiente de separación del refuerzo 0.60. Si se expresa en el sistema internacional de unidades Î E28.420: 60. El valor de “ γ “ se determina con la ecuación 9.23 y permite definir que tanto recubrimiento se le ha dado a las capas de refuerzo mas cercanas a las caras de la columna. Si “ γ “ es bajo se tiene altos recubrimientos y viceversa. Por lo general para los valores típicos de trabajo “ γ “ varia entre 0.60 y 0.75. γ = ( 9.23 ) Para los siguientes ejemplos se utilizaran los diagramas de interacción de las figuras 9.45 a 9.53. Se recomienda al lector no utilizar diagramas de otras referencias porque no están convenientemente actualizados. En resumen, el diseño de una columna corta de hormigón armado sometida a flexo-compresión El primer procedimiento es prácticamente el mas utilizado ya que el análisis estructural precede al diseño, y para realizar el análisis se debe dimensionar la edificación con el fin de obtener los desplazamientos y esfuerzos internos. Por lo general se procede así: ƒ Datos : b, h, f´c, fy, d, d´, Pu y Mu. ƒ El primer paso es hallar la excentricidad “ e = Mu / Pu “. ƒ Luego se determina la excentricidad relativa “ e / h “. Si “ e / h < 0.1 “ se recomienda usar una columna tipo C. Si “ 0.1 < e / h < 0.2 ” usar una columna tipo R y si “ e / h > 0.2 “ usar tipo E. La columna tipo L se usa cuando la relación entre h / b es mayor de 4.0 es decir la columna es mas una pantalla o muro estructural. ƒ Seleccionado el tipo de columna se busca el diagrama de interacción correspondiente en las ayudas de diseño y se procede a determinar la cuantía de refuerzo a flexión. 107 h − 2.d´ h uniaxial se puede realizar de varias formas: ƒ Cuando se asumen las dimensiones ( b, h ) y se debe hallar el refuerzo ( Ast ) ƒ Cuando se asume el refuerzo para hallar las dimensiones ƒ Cuando no se conoce ni dimensiones ni refuerzo. ƒ Finalmente se determinan los amarres o espirales necesarios. ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 45. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Ejemplo 9.10 La columna del primer piso de un edificio de dos plantas soporta las cargas axiales en servicio indicadas en la figura 9.46. Determinar el refuerzo requerido en la columna “ Ast “ si por razones arquitectónicas las dimensiones deben ser: b = 400 mm y h = 500 mm. Usar f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. Pv = 482 kN Pm = 645 kN Pv = 970 kN Mm = 115 kN.m Mv = 172 kN.m Revisar además si el refuerzo obtenido es adecuado cuando no esta presente la carga viva en la cubierta. Solución: El diseño se realizara primero actuando toda la carga axial y luego se revisara si este refuerzo cumple la condición de carga viva indicada. Para hallar la cantidad de acero se pueden resolver simultáneamente las ecuaciones de diseño 9.22, 9.10 y 9.15 o usar los diagramas de interacción previamente construidos como se indico anteriormente. El primer método es sin embargo un proceso largo por lo cual se prefiere el uso de los diagramas en lugar de utilizar las ecuaciones. Del grafico de la figura 9.47 obtenido con la ayuda de una hoja de calculo se marca el punto de coordenadas ( Mu / bh2 f´c , Pu / bh f´c ) Ù ( 0.15, 0.42 ). Y se obtiene por interpolación la cuantía de refuerzo requerida que en este caso esta entre 0.03 y 0.04. Se asumirá un valor intermedio de 0.035. 108 Figura 9.46 Esquema del ejemplo 9.10 P kN u = 1.2× 645 +1.6× 970 = 2326. M kN m u = 1.2 ×115 +1.6×172 = 413. . e Î Se recomienda columna tipo E = 413 = 0.36 0.20 e 0.18.m 2326 = 0.18 = > h 0.50 γ = 500 − 2× 65 = ≈ Utilizar el diagrama: E 4.60: 75. Sea d´= 65 mm Î 0.74 0.75 500 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 46. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ La cantidad de acero es => Ast = 0.035 x 400 x 500 = 7000 mm2. Utilizando barras # 10 este refuerzo equivale a: 7000 / 819 = 8.5 barras => se prefiere combinar con barras # 8 y por tanteos se llega a: 6 # 10 + 4 # 8 = 6954 mm2 Ù p = 0.035 109 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 COLUMNA E 28.420: 74 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Mn / ( bh^2 f´c) Pn / ( bh f´c ) Figura 9.47 Diagrama de interacción de diseño. Columna del ejemplo 9.10 Para los amarres se asumen barras # 3 con el siguiente espaciamiento: ƒ 16 x db = 16 x 31.8 = 509 mm ƒ 48 x de = 48 x 12.7 = 610 mm ƒ La menor dimensión de la columna => 400 mm 3# 10 + 2# 8 3# 10 + 2# 8 500 mm 400 mm 65 mm 435 mm Figura 9.48 Sección de columna del ejemplo 9.10 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 47. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Con estas coordenadas se encuentra en la figura 9.47 una cuantía “ ρ = 0.025 “ la cual es menor que la obtenida cuando actúa toda la carga axial por lo que se concluye que el diseño es satisfactorio. Ejemplo 9.11 Se requiere diseñar una columna rectangular para que soporte una carga axial mayorada de 2350 kN y un momento mayorado de 735 kN.m. Los materiales a utilizar son: f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. Por razones económicas la cuantía de acero debe ser menor o igual al 3 %. Determinar las dimensiones optimas de la sección. Solución: El procedimiento es iterativo, se comienza asumiendo un valor de “ h “ el cual se va modificando a medida que se obtienen los resultados. Un primer ensayo es hallar el área de la sección con la expresión aproximada: Sin embargo, a diferencia de las vigas, aquí la excentricidad es importante y se debe tener en cuenta en la selección de las dimensiones. Ya que “ e = 735 / 2350 = 0.31 m “ se concluye que la columna esta controlada por la flexión y en estos casos es recomendable usar una sección tipo E. Sea h = 600 mm => e / h = 0.52 > 0.20 y se comprueba que es una columna tipo E. Sea d´= 75 mm => γ = 0.75. Si se dispone del diagrama de interacción E 28.420.75 se puede encontrar el valor de “ Pu / bhf´c “ conocidos “ e / h = 0.52 “ y “ p = 0.03 “. Este diagrama se presenta en la figura 9.49. De la figura 9.49 se concluye que el valor de “ Pu / ( bh f´c ) = 0.30 “. Si se despeja el valor del ancho de la columna se tiene: b = 466 mm el cual se aprox. a 450 mm. 110 Cuando la carga axial no tiene el aporte de la carga viva de la cubierta => P ( ) kN u = 1.2× 645 +1.6× 970 − 482 = 1555. M kN m u = 413. . e Î Se recomienda columna tipo E = 413 = 0.54 0.20 e 0.27.m 1555 = 0.27 = > h 0.50 Para entrar al diagrama de interacción de la figura 9.47 se requiere: 0.15 M = = × φ M . 413 10 = 2 ´ 2 ´ 2 6 × × 400 500 28 c u n c bh f bh f 0.28 . 1555 103 P = = × ´ ´ = × × 400 500 28 c u φ P n c bhf bhf = × 2350 10 mm A ≥ P g = u 128626. ´ ( ) ( ) ( ) 2 3 × + × 0.45 28 0.03 420 f + ρ f 0.45. . c y ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 48. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ e / h = 0.52 P = 0.03 El refuerzo para esta columna esta constituido por: Ast = 0.03 x 450 x 600 = 6750 mm2 que se pueden reemplazar por 8 # 9 para obtener una cuantía de p = 0.024 < 0.03. Ejemplo 9.12 Determinar el refuerzo longitudinal y los amarres respectivos para las dos siguientes columnas: a) rectangular que debe soportar las siguientes cargas mayoradas: Pu = 1600 kN y Mu = 150 kN.m y Vu = 73 kN. f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa y b) Una circular : Pu = 2550 kN, Mu = 85 kN.m, f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa Solución: a) En este caso solo se conocen las tensiones que producen las cargas externas mayoradas y se debe encontrar las dimensiones y el refuerzo de la columna. Por criterios prácticos y económicos se asumirá una cuantía de p = 1.5 % ( por lo general este valor esta entre el 1 % y el 2 % ). La excentricidad es de: e = 150 / 1600 = 0.09 m la cual indica que es una columna donde controla la carga axial. En estos casos el tipo R es adecuado por lo cual se asumirá inicialmente una sección cuadrada con b = h = ( 130240 )0.5 ≈ 360 mm. Sea b = h = 400 mm que representa un Ag = 160000 mm2 > 130240 mm2 => cumple. La excentricidad relativa es: e / h = 0.09 / 0.40 =0.225 > 0.20 => Columna tipo E. Sea d´= 65 mm Î γ = 0.675 por lo tanto se puede interpolar linealmente los valores de la cuantía obtenidos en los diagramas de interacción “ E 21.420:60 “ y “ E 21.420:75 “. Se usan los siguientes datos: Pu / (bhf´c ) = 0.48 y Mu / ( bh2f´c ) = 0.11 111 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Mu / ( bh^2 f´c ) Pu / ( bh f´c ) Figura 9.49 Diagrama de interacción columna E 28.420:75 Ejemplo 9.11 3 ≥ × A 1600 10 mm g = ( ) 2 130240. × + × 0.45 21 0.015 420 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 49. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ Grafico E 21.420:75 p = 0.018 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Grafico E 21.420:60 p = 0.022 La cuantía de refuerzo para esta columna es => p = ( 0.022 + 0.018 ) / 2 = 0.020. El refuerzo es: Ast = 0.020 x 400 x 400 = 3200 mm2 que equivalen a 4 # 9 + 2 # 7 para un Ast real = 4 x 645 + 2 x 387 = 3354 mm2 => Cumple. 112 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Mu / ( bh^2 f´c ) Pu / ( bh f´c ) Figura 9.50 Diagrama de interacción E 21.420:75 1.8 1.6 1.4 1.2 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Mu / (bh^2f´c) Pu / (bhf´c) Figura 9.51 Diagrama de interacción E 21.420.60 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 50. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 2 # 9 +1 # 7 2 # 9 + 1 # 7 400 mm 400 mm 65 mm # 3 @ 150 mm 270 mm 65 mm Verificando la capacidad máxima de carga axial de la columna se tiene: ( P ) ( ( ) ) N kN . n 0.80 0.65 0.85 21 160000 3354 3354 420 2187 10 2187. 3 En este caso “ Vu = 73 kN “ es mayor que “ V kN φ . c 2 = 67. “ y se debe colocar un refuerzo transversal mínimo. Verificando con estribos # 3 cada 150 mm que representan la cantidad mínima de estribos se tiene: La capacidad a cortante de la columna se incrementa a: V kN φ . n = 134 +100 = 234. la cual es suficiente para atender con un alto margen de confiabilidad la cortante externa. 113 Figura 9.52 Sección de columna del ejemplo 9.12 max . φ = × × × × − + × = × = Esta capacidad es superior a la carga axial externa indicada de 1600 kN. Para los amarres usar barras # 3 @ 400 mm que en este caso controla. Para la cortante se tiene de la ecuación 5.33: 3   φ = × × × × × + × . 0.75 0.17 21 400 335 1 1600 10 3 = × =     V N kN c 134 10 134. × 14.1 160000 φ . = 0.75× 142× 420× 335 = × 3 = V N kN s 100 10 100. 400 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 51. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ b) Para una primera estimación del diámetro de la columna se asumirá una cuantía de refuerzo del 1.5% => Se considera por tanto una columna de 500 mm de diámetro. La excentricidad es de “ e = 85 / 2550 = 0.033 m “ y “ e / D = 0.066 “ valor menor que 0.1 y se confirma que la columna es del tipo C. Si se asume un recubrimiento de 62.5 mm => γ = 0.75 y el grafico de interacción es: C 28.420:75 representado en la figura 9.53. Columna C 28.420:75 Si se entra al diagrama de la figura 9.53 con “ Pu / Ag.f´c = 0.55 “ y “ Mu / Ag.D.f´c = 0.046 “ => la cuantía da aprox. 1 % => se puede disminuir la sección o considerar que el diseño es correcto. Ast = 0.01 x 165210 = 1652 mm2 los cuales equivalen a 8 # 5. Para los amarres en espiral se pueden utilizar # 3 con paso de 75 mm. 114 3 × 4 165210 = = × Î 460.mm A 2550 10 mm g = ( ) 2 165210. × + × 0.45 28 0.015 420 3.1416 φ = 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Mu/(bh^2 f´c) Pu/(bh f´c) Figura 9.53 Diagrama de interacción de la columna C 28.420:75 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 52. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 115 e/h=0.1 e/h=0.2 e/h=0.5 e/h=1.0 e/h=2.0 1.60 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 Mu/(bh^2 f´c) Pu/(bh f´c) Figura 9.54 Diagrama de interacción E21.420:60 e/h=0.1 e/h=0.2 e/h=0.5 e/h=1.0 e/h=2.0 1.60 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 Mu/(bh^2 f´c) Pu/(bh f´c) Figura 9.55 Diagrama de interacción E21.420:75 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 53. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 116 e/h=0.1 e/h=0.5 e/h=1.0 e/h=0.2 e/h=2.0 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 Mu/(bh^2 f´c) Pu/(bh f´c) Figura 9.54 Diagrama de interacción E28.420:60 e/h=0.2 e/h=0.5 e/h=1.0 e/h=2.0 e/h=0.1 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 Mu/(bh^2 f´c) Pu/(bh f´c) Figura 9.55 Diagrama de interacción E28.420:75 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 54. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 117 e/h =0.1 e/h =0.2 e/h =0.5 e/h =1.0 e/h = 2.0 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 Mu / (Ag.h.f´c) Pu / ( Ag.f´c) Figura 9.56 Diagrama de interacción R21.420:60 e/h = 0.1 e/h =0.2 e/h =0.5 e/h =1.0 e/h =2.0 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 Mu / (Ag.h.f´c) Pu / (Ag.f´c) Figura 9.57 Diagrama de interacción R21.420:75 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
  • 55. DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________ 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 118 e/h = 0.1 e/h =0.2 e/h =0.5 e/h =1.0 e/h =2.0 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 Mu / ( Ag.h.f´c) Pu / ( Ag.f´c) Figura 9.58 Diagrama de interacción R28.420:60 e/h =0.1 e/h =0.2 e/h =0.5 e/h =1.0 e/h =2.0 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 Mu / ( Ag.h.f´c) Pu / (Ag.f´c) Figura 9.59 Diagrama de interacción R28.420:75 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003