Apakah Eulerian Graph itu? Apakah Hamiltonian Graph itu?

1. LAPORAN TUGAS TEORI GRAPH
EULERIAN GRAPH DAN HAMILTONIAN GRAPH
JEROL VIDEL LIOW
12/340197/PPA/04060
PROGRAM STUDI S2 MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
YOGYAKARTA
2014

2. DAFTAR ISI
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
I PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
II EULERIAN DAN HAMILTONIAN GRAPH . . . . . . . . 3
2.1. EULERIAN GRAPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. HAMILTONIAN GRAPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IIIPENUTUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ii

3. BAB I
PENDAHULUAN
Teori Graph merupakan bagian dari matematika diskrit yang telah
mengalami perkembangan yang sangat cepat. Masalah "Jembatan Konigs-
berg" yang dipresentasikan oleh seorang ahli matematika bernama Leonhard
Euler p ada tahun 1736 dikenal sebagai permulaan pembahasan teori gra-
ph (Harju; 2007): Selain mengalami perkembangan secara teori dalam bidang
matematika diskrit, teori graph sendiri telah memberikan manfaat dalam pe-
nerapannya di bidang-bidang jaringan komunikasi, ilmu komputer, jaringan
listrik, jalur transportasi, teknik kimia, dan lainnya.
Seperti yang disinggung di atas, masalah "Jembatan Konigsberg" mem-
beri sumbangan penting dalam teori graph. Kasusnya yaitu, dapatkah orang
melalui "Jembatan Konigsberg" tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat
semula? Dalam bahasa teori graph, setiap edge harus tepat satu kali dilewati
dalam melakukan perlintasan untuk kembali ke verteks awal dalam suatu gra-
ph yang diberikan. Jelas bahwa tidak semua graph memiliki sifat seperti ini.
Dari sinilah muncul konsep mengenai Eulerian Graph.
Dalam tulisan ini akan diberikan beberapa kajian mengenai Eulerian
Graph: de

4. nisi serta beberapa hasil berupa lemma dan teorema mengenainya.
Diperlukan beberapa konsep yang diharapkan dapat menjadi modal dalam
pembahasan selanjutnya, yaitu pengertian-pengertian mengenai path, chain,
cycle, cirkuit, connected graph, serta lemma yang sangat terkenal dalam pem-
bahasan teori graph, yakni Handshaking Lemma.
De

5. nisi-de

6. nisi dan lemma berikut berdasar dalam buku Teori Graph -
Bahan Kuliah Pasca Sarjana Jurusan Matematika UGM karangan Prof. Se-
tiadji.
1

7. 2
Path. Suatu barisan edge dengan sifat bahwa semua edge-nya tidak boleh ada
yang sama, kecuali verteks-nya disebut path.
Chain. Suatu barisan edge dimana baik edge maupun verteks-nya berlainan
disebut chain.
Cycle. Cycle merupakan path tertutup.
Circuit. Circuit merupakan chain tertutup.
Connected Graph. Suatu graph G dikatakan connected jika untuk setiap
dua verteks dari G sekurang-kurangnya dihubungkan dengan satu chain. Gra-
ph yang hanya terdiri atas satu verteks dikatakan connected. Graph dengan
lebih dari satu komponen disebut disconnected.
Handshaking Lemma. Jumlah semua degree dalam suatu graph G adalah
genap, yakni dua kali banyaknya edge dalam graph G.
Berikut diberikan suatu masalah yang disebut sebagai masalah "Perja-
lanan Salesman". Seseorang berkunjung ke suatu provinsi dan berharap dapat
mengunjungi setiap kota dengan biaya seminimal mungkin. Hal ini hanya da-
pat dimungkinkan jika dia melakukan perjalanan dengan melalui semua kota
tepat satu kali, dan secara langsung melalui hanya tepat satu jalan penghu-
bung kota. Dalam bahasa teori graph, apakah terdapat graph yang mana
setiap verteks-nya dapat dilalui dengan tepat satu kali, dan kembali ke ver-
teks awal. Sudah tentu tidak semua graph memiliki sifat seperti ini, sehingga
menuntun pada suatu kajian lagi mengenai Hamiltonian Graph.
Tulisan ini membahas mengenai Eulerian Graph dan Hamiltonian Gra-
ph. Pada bagian pertama diberikan pengertian serta beberapa hasil berkaitan
dengan Eulerian Graph, di antaranya menyatakan kapan suatu connected gra-
ph dikatakan sebagai Eulerian Graph. Di bagian berikutnya akan diberikan
kajian mengenai Hamiltonian Graph, yaitu akan dinyatakan apa yang menjadi
syarat cukup bagi suatu graph untuk menjadi Hamiltonian Graph.

8. BAB II
EULERIAN DAN HAMILTONIAN GRAPH
Masalah "Jembatan Konigsberg" seperti yang telah disinggung dalam
bagian pendahuluan menampilkan suatu kasus bagaimana suatu graph dilalui
sedemikian hingga setiap kali melakukan perlintasan sampai kembali ke titik
awal, setiap edge dihindari untuk dilintasi sebanyak lebih dari satu kali. De-
ngan kata lain, jika diberikan graph G seperti pada Gambar 2.1, apakah setiap
edge dapat dilewati dengan tepat satu kali (verteks-nya dapat lebih dari sekali)
dalam sekali perlintasan untuk kembali ke verteks awal?
Gambar 2.1 Graph "Jembatan Konigsberg"
Untuk menjawab persoalan ini, diperlukan beberapa konsep mengenai
Eulerian Graph yang akan dibahas sebagai berikut.
2.1. EULERIAN GRAPH
Konsep pertama yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah Eulerian
Graph.
De

9. nisi 2.1.1 (Setiadji) Suatu connected graph disebut Eulerian graph jika
dapat ditemukan suatu path tertutup yang memuat semua edge dari graph G,
sehingga juga memuat semua verteks dari graph G. Path yang demikian disebut
3

10. 4
Eulerian path. Jika tidak terdapat path tertutup, tetapi dapat ditemukan path
yang tidak tertutup, maka graph tersebut dinamakan semi Eulerian. Suatu
graph yang tidak dapat ditemukan sedikitnya satu path disebut non Eulerian.
Berikut diberikan contoh Eulerian graph, semi Eulerian, dan non Eu-
lerian.
Contoh 2.1.2 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Eulerian Graph
Dari graph G, dapat ditemukan barisan edge:
v1 ! v2 ! v3 ! v4 ! v5 ! v6 ! v7 ! v5 ! v3 ! v7 ! v2 ! v6 ! v1:
Barisan edge tersebut melaui semua edge dari graph G, yaitu merupakan Eu-
lerian path. Dari sini maka graph G dinamakan Eulerian graph.
Contoh 2.1.3 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3 semi Eulerian Graph
Dari graph G, tidak terdapat path tertutup, tetapi dapat ditemukan
barisan edge:
v1 ! v2 ! v3 ! v4 ! v5 ! v6 ! v3 ! v5 ! v1 ! v6 ! v2:

11. 5
Barisan edge tersebut merupakan path yang tidak tertutup, tetapi melalui se-
mua edge dari graph G. Dengan demikian graph G merupakan semi Eulerian.
Contoh 2.1.4 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4 non Eulerian graph
Dari graph G, tidak dapat ditemukan path yang memuat semua edge
maupun semua verteks dari graph G. Dengan demikian, graph G merupakan
non Eulerian.
Berikut diberikan lemma yang menyatakan syarat cukup bagi suatu
graph yang memiliki paling sedikit satu circuit.
Lemma 2.1.5 (Setiadji) Jika G suatu graph dengan degree setiap verteksnya
genap, maka G mempunyai sekurang-kurangnya satu circuit.
Bukti. Jika G terdiri dari loop-loop atau multiple edges maka diperoleh
penyelesaian yang trivial.
Misalkan G adalah simple graph dan misalkan v adalah sembarang verteks
dari graph G, maka akan dapat ditemukan edge sequence: v ! v1 ! v2 !
; dimana v1 dipilih sedemikian sehingga berlainan dengan v sebab degree
dari setiap verteks genap.
Karena graph G adalah berhingga maka suatu waktu pasti diperoleh suatu
verteks yang sama dengan verteks sebelumnya. Jadi pasti terdapat circuit
dalam graph G.

12. 6
Teorema berikut merupakan teorema yang sangat penting karena me-
nyatakan karakterisasi dari Eulerian graph, yaitu syarat cukup dan syarat perlu
dari suatu connected graph untuk menjadi Eulerian graph.
Teorema 2.1.6 (Setiadji) Suatu connected graph G adalah eulerian jika dan
hanya jika degree dari setiap verteksnya genap.
Bukti. (=)) Misalkan P adalah Eulerian path dari graph G. Pasti P melalui
sembarang verteks, dimana verteks tersebut memberikan dua degree kepada
verteks itu. Karena setiap edge ada pada P tepat satu kali, maka setiap
verteks mempunyai degree genap.
((=) Digunakan bukti dengan induksi matematik. Ambil sebarang connected
graph G, setiap verteks dari G mempunyai degree sekurang-kurangnya dua.
Dan menurut Lemma 2.1.5, G pasti mempunyai circuit C. Jika C memuat
setiap edge dari G, maka persoalan selesai. Tetapi jika tidak, laluilah dalam
G edge-edge dari C, buat graph H dimana jumlah edge-nya lebih kecil dari
jumlah edge dalam G dan setiap verteks dari H mempunyai degree genap.
Karena induksi hipotesa, setiap komponen dari H mempunyai Eulerian path.
Mulailah dari salah satu komponen, misalnya H2. Pilihlah komponen yang lain
(misal H1) untuk memperoleh Eulerian path P1 yang memuat komponen H2
dan H1. Demikian seterusnya (lihat Gambar 2.5) sampai diperoleh Eulerian
path yang memuat semua verteks dan berakhir di verteks mula-mula (initial
verteks).
Gambar 2.5 Eulerian graph

13. 7
Akibat 2.1.7 (Wilson, 1996) Suatu connected graph G merupakan Eulerian
jika dan hanya jika keluarga edgenya dapat dipisah-pisahkan atas circuit-circuit
yang saling asing.
Bukti. (=)) Diketahui connected graph G adalah Eulerian graph yang non-
trivial. Berdasarkan Teorema 2.1.6, setiap verteks dari G memiliki degree
genap. Jadi, degree terkecil dari G adalah dua. Dari Lemma 2.1.5, maka
G pasti mempunyai circuit, katakan circuit Z. Penghapusan edge-edge dari
Z menghasilkan spanning subgraph G1 dan setiap verteks dalam G1 mem-
punyai degree genap. Jika G1 tidak mempunyai edge, maka terbukti. Jika
sebaliknya ulangi proses diatas sehingga menghasilkan spanning subgraph G2
dimana setiap verteks-nya mempunyai degree genap. Dan seterusnya, proses
terus diulangi sampai diperoleh totally disconnected graph Gn dan mempu-
nyai partisi-partisi terdiri atas edge-edge dari G yang merupakan n-circuit.
((=) Diketahui connected graph G yang keluarga edge-nya dapat dipisah-
pisahkan atas circuit-circuit yang saling asing. Karena circuit dapat dipan-
dang sebagai cycle, maka G dapat dipandang terpartisi ke dalam cycle-cycle
yang saling asing.
Misal Z1 adalah salah satu cycle dari partisi. Jika G hanya memuat Z1, bukti
selesai yaitu G Eulerian. Jika tidak, yaitu terdapat cycle lain katakan Z2
dengan verteks v dalam Z2 yang juga sekaligus merupakan verteks dari Z1,
maka path dari G dimulai dari v serta memuat cycle Z1 dan Z2. Jadi terdapat
path tertutup dimana semua edge-nya adalah cycle-cycle Z1 dan Z2. Teruskan
proses diatas untuk semua cycle dalam G sehingga akhir dari proses diperoleh
path tertutup yang memuat semua edge dari G. Dengan demikian, G meru-
pakan Eulerian.
Akibat 2.1.8 (Wilson, 1996) Suatu connected graph G adalah semi Eulerian
jika dan hanya jika G mempunyai tepat dua verteks dengan degree ganjil.
Bukti. (=)) Diketahui connected graph G adalah semi Eulerian. Berarti
terdapat path P yang tidak tertutup dari graph G, dimana P melalui setiap

14. 8
edge dengan tepat satu kali dan dengan demikian P melalui setiap verteks
dari G. Misalkan v dan w merupakan verteks awal dan verteks akhir dari
P. Karena setiap edge pada P dilalui dengan tepat satu kali, maka setiap
kali melalui verteks dalam G, harus ada dua edge yang dilalui. Ini berlaku
untuk semua verteks dalam G, kecuali v dan w. Ini berarti setiap verteks dari
G memiliki degree genap, kecuali v dan w. Selain edge awal dan edge akhir,
terdapat dua edge setiap kali melalui verteks v maupun w. Dengan demikian,
verteks yang memiliki degree ganjil hanya v dan w.
((=) Diketahui connected graph G yang mempunyai tepat dua verteks de-
ngan degree ganjil. Katakan dua verteks dengan degree ganjil tersebut dengan
u dan v. Misalkan H graph baru yang diperoleh dari G dengan menambahkan
verteks baru w dan menghubungkannya dengan verteks u dan v. Dari sini
maka diperoleh H merupakan connected graph dengan semua verteks memi-
liki degree genap. Berdasarkan Teorema 2.1.6, maka H merupakan Eulerian
graph. Misalkan P Eulerian path dari H dengan verteks w sebagai initial
point. Dari sini maka dengan menghapus kembali w, terdapat path yang tidak
tertutup P0 yang memuat semua edge dari G, dengan u sebagai verteks awal
dan v sebagai verteks akhir. Dengan demikian, G merupakan semi Eulerian
graph.
Jika dalam semi Eulerian graph mempunyai tepat dua verteks dengan
degree ganjil, maka pasti ada semi Eulerian path yang dimulai dari salah satu
verteks dengan degree ganjil dan diakhiri pada verteks dengan degree ganjil
yang lain. Dengan menggunakan Handshaking Lemma, suatu graph tidak
dapat dengan tepat mempunyai suatu verteks dengan degree ganjil. Sebab
jumlah degree dari seluruh verteks harus genap. Dari sini maka diambil suatu
kesimpulan yang kemudian dapat diangkat menjadi sebuah teorema, tetapi
sekaligus dapat dipandang sebagai algoritma untuk mendapatkan Eulerian
path dalam graph G. Algoritma ini sering pula disebut sebagai Algoritma
Fleury.

15. 9
Teorema 2.1.9 (Setiadji) Misal G adalah connected graph, maka kalimat-
kalimat berikut ekuivalen :
(i) G adalah Eulerian.
(ii) Setiap verteks dari G mempunyai degree genap.
(iii) Himpunan edge dari G dapat digolong-golongkan (dipisah-pisahkan) men-
jadi cycle-cycle yang saling asing.
Bukti. (i) =) (ii) Misalkan P adalah Eulerian path dari graph G. Pasti P
melalui sembarang verteks, dimana verteks tersebut memberikan dua degree
kepada verteks itu. Karena setiap edge ada pada P tepat satu kali, maka
setiap verteks mempunyai degree genap.
(ii) =) (iii) Pandang G connected graph yang non-trivial, dan setiap verteks
mempunyai degree genap. Jadi degree terkecil adalah dua. Selanjutnya G pas-
ti mempunyai cycle katakan Z. Penghapusan edge-edge dari Z menghasilkan
spanning subgraph G1 dan setiap verteks dalam G1 mempunyai degree ge-
nap. Jika G1 tidak mempunyai edge, maka (iii) terbukti. Jika sebaliknya ula-
ngi proses diatas sehingga menghasilkan spanning subgraph G2 dimana setiap
verteks-nya mempunyai degree genap. Dan seterusnya, proses terus diulangi
sampai diperoleh totally disconnected graph Gn dan mempunyai partisi-partisi
terdiri atas edge-edge dari G yang merupakan n-cycle.
(iii) =) (i) Misal Z1 adalah salah satu cycle dari partisi. Jika G hanya me-
muat Z1, bukti selesai yaitu G Eulerian. Jika tidak, yaitu terdapat cycle lain
katakan Z2 dengan verteks v dalam Z2 yang juga sekaligus merupakan verteks
dari Z1, maka path dari G dimulai dari v serta memuat cycle Z1 dan Z2. Jadi
terdapat path tertutup dimana semua edge-nya adalah cycle-cycle Z1 dan Z2.
Teruskan proses diatas untuk semua cycle dalam G sehingga akhir dari proses
diperoleh path tertutup yang memuat semua edge dari G. Dengan demikian,
G merupakan Eulerian.

16. 10
Berikut diberikan contoh sebagai penerapan untuk Teorema 2.1.9
Contoh 2.1.10 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.6.
Gambar 2.6 Eulerian graph
Dari graph G, himpunan edge dari G dapat digolong-golongkan (dipisah-
pisahkan) menjadi cycle-cycle yang saling asing. Dengan demikian, graph G
merupakan Eulerian.
Penyelesaian bagi masalah Jembatan Konigsberg diberikan dalam
Contoh 2.1.11 berikut.
Contoh 2.1.11 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.7.
Gambar 2.7 Graph Jembatan Konigsberg
Dari graph G, himpunan edge dari G tidak dapat digolong-golongkan
(dipisah-pisahkan) menjadi cycle-cycle yang saling asing. Selain itu, terdapat
verteks yang berderajat ganjil, yaitu (v1) = (v3) = (v4) = 3 dan (v2) = 5.
Dari sini, maka graph G merupakan Eulerian.
Dengan demikian, berdasarkan Contoh 2.1.11, diperoleh jawaban untuk
kasus: Apakah 'Jembatan Konigsberg' dapat dilalui dengan tepat satu kali

17. 11
dan kembali lagi ke tempat semula?, yakni tidak dapat. Hal ini dikarenak-
an Jembatan Konigsberg tidak memenuhi syarat cukup sebagai Eulerian
graph.
Berikut diperhatikan suatu kasus yang sering disebut sebagai masalah
Perjalanan Salesman. Seseorang berkunjung ke suatu provinsi dan berha-
rap dapat mengunjungi setiap kota dengan biaya seminimal mungkin. Hal ini
hanya dapat dimungkinkan jika dia melakukan perjalanan dengan melalui se-
mua kota tepat satu kali, dan secara langsung melalui hanya tepat satu jalan
penghubung kota. Dalam bahasa teori graph, maka masalah ini adalah apakah
terdapat graph yang mana setiap verteks-nya dapat dilalui dengan tepat satu
kali saja, untuk dapat kembali ke verteks awal. Sudah tentu tidak semua gra-
ph memiliki sifat seperti ini, sehingga menuntun pada suatu kajian mengenai
Hamiltonian Graph.
2.2. HAMILTONIAN GRAPH
Di atas telah dibahas adanya path tertutup yang memuat setiap edge
dari connected graph G yang diberikan. Persoalan yang hampir sama seperti di
atas, tetapi lebih sulit yaitu adanya path tertutup yang melalui setiap verteks
dari G dengan tepat satu kali. Sekarang akan diberikan kajian mengenai Ha-
miltonian Graph, yaitu selain memberikan de

18. nisinya, juga akan dinyatakan
apa yang menjadi syarat cukup bagi suatu graph untuk menjadi Hamiltonian
Graph.
De

19. nisi 2.2.1 (Setiadji) Diberikan graph G. Circuit dalam graph G yang me-
muat semua verteks dari G, yakni circuit tersebut incident dengan setiap ver-
teks dari graph G, dinamakan Hamiltonian circuit. Graph G yang memiliki
Hamiltonian circuit disebut Hamiltonian graph.
Graph yang mempunyai chain yang melalui setiap verteks dari G disebut semi
Hamiltonian graph, chain-nya disebut Hamiltonian chain.

20. 12
Bipartite graph mempunyai beberapa Hamiltonian chain yang tidak
merupakan Hamiltonian circuit. Tidak ada bipartite graph dengan jumlah
verteks ganjil yang mempunyai Hamiltonian circuit (setiap simple circuit
dalam suatu bipartite graph mempunyai jumlah edges genap yang incident
dengan setiap verteks dengan jumlah genap juga). Jadi setiap Hamiltonian
graph pasti mempunyai Hamiltonian chain tetapi tidak sebaliknya. Sehingga
setiap Hamiltonian graph pasti semi Hamiltonian graph. Tidak setiap graph
mempunyai Hamiltonian chain maupun Hamiltonian circuit; graph yang
tidak mempunyai Hamiltonian circuit juga tidak mempunyai Hamiltonian
chain disebut non Hamiltonian graph (misalkan tree). Berikut diberikan
contoh Hamiltonian Graph, semi Hamiltonian Graph, dan non Hamiltonian
Graph.
Contoh 2.2.2 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.8.
Gambar 2.8 Hamiltonian Graph
Dari graph G, dapat ditemukan barisan edge:
v1 ! v2 ! v3 ! v4 ! v5 ! v6 ! v7 ! v8 ! v1:
Barisan edge tersebut merupakan circuit, dan karena circuit tersebut melalui
setiap verteks dari graph G, maka circuit tersebut dinamakan Hamiltonian
circuit, sehingga graph G dinamakan Hamiltonian graph.

21. 13
Contoh 2.2.3 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.9.
Gambar 2.9 semi Eulerian Graph
Dari graph G, tidak terdapat chain tertutup, tetapi dapat ditemukan
barisan edge:
v4 ! v6 ! v5 ! v7 ! v3 ! v1 ! v2:
Barisan edge tersebut merupakan chain yang tidak tertutup, dan melalui se-
mua verteks dari graph G, sehingga chain tersebut merupakan Hamiltonian
chain. Dengan demikian, graph G merupakan semi Hamiltonian graph.
Contoh 2.2.4 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.10.
Gambar 2.10 non Hamiltonian graph
Dari graph G, tidak dapat ditemukan chain yang memuat semua verteks
dari graph G. Dengan demikian, graph G merupakan non Hamiltonian.

22. 14
Teorema 2.2.5 (Setiadji) Jika G adalah simple graph dengan banyak verteks
n 3, dan (v)
1
2
n untuk setiap verteks v, maka G adalah Hamiltonian.
Bukti. Diketahui G adalah simple graph dengan banyak verteks n 3, dan
(v)
1
2
n untuk setiap verteks v. Diambil k verteks baru yang dihubungkan
dengan semua verteks dari G. Misal k adalah banyak minimum verteks baru
sedemikian hingga G = G+G1 Hamiltonian, dengan G1 = fp1; p2; p3; ; pkg.
Akan dibuktikan bahwa k = 0. Diandaikan k6= 0 atau k 0, maka karena G
Hamiltonian, ada Hamiltonian circuit untuk G, misal :
v ! p1 ! w ! x ! y ! ! v:
Maka v atau w tidak ajacent (sebab jika v dan w ajacent, maka p1 tidak di-
perlukan atau dapat dihapus. Dalam hal ini, tidak mungkin sebab k = banyak
minimum verteks baru sedemikian sehingga G Hamiltonian). Jika x titik se-
barang yang ajacent dengan v, maka x pasti tidak berada di Hamiltonian
circuit di atas, sehingga x tidak ajacent dengan w.
Jadi, (x ajacent dengan v ) =) (x ajacent dengan w).
Sekarang diambil :
= fx 2 G0jx ajacent dengan vg

23. = fx 2 G0jx tidak ajacent dengan wg
Sehingga

24. , yaitu jj j

25. j.
Diperhatikan jj 1
2n + k sehingga j

26. j 1
2n + k.
Dari sini maka, banyak titik dalam G yang tidak ajacent dengan w 1
2n+k,
dan banyak titik dalam G yang adjacent dengan w 1
2n + k.
Sehingga diperoleh banyak titik dalam G = n + k 1
2n + k.
Hal ini merupakan kontradiksi, sehingga pengandaian ditolak dan terbukti
k = 0 atau G = G Hamiltonian.

27. 15
Penerapan dari Teorema 2.2.5 diberikan dalam contoh berikut.
Contoh 2.2.6 Diperhatikan graph G seperti pada Gambar 2.11.
Gambar 2.11 Hamiltonian graph
Dari graph G, diperoleh sejumlah enam verteks, dan (vi) =
1
2
6 = 3,
untuk setiap i = 1; 2; :::; 6: Berdasarkan Teorema 2.2.5, maka graph G meru-
pakan Hamiltonian graph.
Hamiltonian circuit dari graph G: a1, a7, a8, a5, a6, a2,
atau
v1 ! v2 ! v5 ! v3 ! v6 ! v4 ! v1:

28. BAB III
PENUTUP
3.1. Kesimpulan
3.2. Saran
16

29. DAFTAR PUSTAKA
Harju,T, 2007, Lecture Notes on GRAPH THEORY, Department of Mathe-
matics University of Turku : Finland.
Setiadji, - , Teori Graph - Bahan Kuliah Pasca Sarjana Jurusan Matematika
UGM, Jurusan Matematika UGM: Yogyakarta.
Wilson, 1996 , Introduction to Graph Theory, edisi ke 4, Addison Wesley Lo-
ngman Limited: Edinburgh Gate.
17