concepts d'energia, treball i potencia. sistemes conservatius, energies potencials i cinètica , teoremes de treball i energia. problenes amb solucions.

1. Apunts de Física:
ENERGIA I TREBALL
1r de BATXILLERAT
jvsirerol – 2014

2. 2
1. Energia
1.1.Introducció
En cursos passats hem definit l’energia com una propietat (per tant, no és alguna
cosa material) dels cossos o sistemes que està relacionada amb la capacitat de produir
canvis en altres sistemes o/i en ells mateixos.
Per exemple, les plantes utilitzen part de l’energia rebuda del Sol per fer
possible les reaccions químiques necessàries per produir el seu aliment. A la vegada
algunes d’aquestes plantes, quan les mengem, ens proporcionen l’energia que
necessitem per a la nostre vida diària. En tots aquests processos, es produeixen
canvis, en el Sol, en les plantes i en noltros mateixos, tots ells relacionats amb el
concepte d’energia.
També vam veure i estudiar alguns dels aspectes en què es presenta l’energia.
Els més important són:
• Energia cinètica: Propietat assignada als cossos que tenen velocitat.
E mvc =
1
2
2
• Energia potencial: Propietat relacionada amb la posició o deformació del
cossos. Principalment, hem estudiat l’energia potencial gravitatòria que
assignem als cossos que es troben a prop de la superfície de la Terra.
E mghp =
• Energia interna: Propietat relacionada amb l’estructura interna dels cossos o
sistemes (energia química associada a l’energia dels enllaços entre els àtoms), de
la temperatura del cos i de la seva massa.
Recordem les unitats de l’energia.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
La unitat de l’energia en el Sistema Internacional és el Joule, J.
Altres unitats d’energia són:
- La caloria, cal, que equival a 4,18 Joules. No és del Sistema Internacional.
- També és unitat d’energia el kilowatt per hora, kWh, que és la unitat
d’energia que utilitzen les companyies elèctriques. L’equivalència amb el
Joule és: 1 kWh =3.600.000 J. Correspon a l’energia subministrada per una
potència de 1000W al llarg d’1 hora.
Si tenim en compte que una barreta d’una estufa elèctrica petita normalment
transfereix en una hora 1 kWh, podem comprendre que el Joule és una unitat
d’energia molt petita.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
També sabem que l’energia és una magnitud ESCALAR.
Aquest curs profunditzarem un poc més en el concepte d’energia.

3. 3
1.2. Concepte i propietats de l’energia.
Anem a revisar alguns dels conceptes del curs passat i introduir-ne de nous.
1.2.1. L’energia es transforma.
Podeu comprovar que en qualsevol sistema que hi hagi una transformació de
l’energia el sistema va canviant. Per exemple, quan pugem un cos des d’ un
pis a un altre, disminueix la nostre energia interna i augmenta l’energia
potencial del cos i la nostra, tot això acompanyat dels canvis de posició
corresponents(es produeix un canvi d’estat). Quan mengem, una part de
l’energia interna del menjar la guanyem noltros, cosa que ens possibilita
poder realitzar treballs, pensar, ... . Quan un cos cau, l’energia potencial es
transforma en cinètica i a la vegada van canviant la seva posició i la quantitat
de moviment, en definitiva, es modifica el seu estat.
1.2.2. L’energia es transfereix.
És a dir, quan un sistema guanya energia és perquè existeix un altre que perd
aquesta energia i igual a l’inrevés, si un sistema perd energia és perquè un
altre la guanya.
Hi ha diferents maneres de transferir energia, però bàsicament es redueixen a
realitzar un treball sobre un sistema o subministrar-li calor.
1.2.3. L’energia és una magnitud que es conserva.
L’energia es presenta de moltes maneres i es transforma d’un aspecte a un
altre i es transfereix d’un sistema a un altre. En aquest punt, la pregunta és:
Existeix algun requisit per aquestes transformacions i transferències?. Són
totes possibles?.
La primera pregunta té una resposta senzilla, la segona no tant.
Aquesta és la propietat més important de les que caracteritzen l’energia. Amb
això hem contestat a la primera pregunta.
Contestar a la segona pregunta és més complicat i està relacionat amb el
següent apartat.
L’energia es transforma i es presenta en aspectes
diferents a mida que els sistemes canvien.
L’energia es transfereix d’un sistema a un altre.
El requisit essencial per a qualsevol transformació i/o
transferència d’energia, és que l’energia es conservi.

4. 4
A-1. Indica les formes d’energia que podem trobar en un saltador de perxa al llarg
de tot el procés que implica l’esmentat salt, des de l’instant en què l’atleta encara no
ha començat la cursa, fins que cau sobre el matalàs després del salt. Avaluar,
qualitativament la conservació de l’energia al llarg de tot el procés.
A-2. Quin tipus d’energia té
l’aigua d’un pantà?. D’on
prové aquesta energia, és a
dir qui l’ha subministrada a
l’aigua?.
A-3. Com expliques que
una bombeta de les antigues
subministrés 1 Joule
d’energia lluminosa de cada
20 J d’energia elèctrica
consumida?.
1.2.4. L’energia és una magnitud que es degrada.
Per exemple, el motor d’un cotxe transforma aproximadament un 21% de
l’energia interna de la benzina en energia cinètica d’un cotxe, la resta passa al
medi en forma de calor. Finalment, quan el cotxe es pari tota l’energia
cinètica passarà al medi per mitjà de la calor (ara, amb els cotxes híbrids i
elèctrics, una part de l’energia cinètica és recupera). L’energia interna
guanyada pel medi és difícilment reutilitzable o aprofitable ja que està molt
dispersa. És en aquest sentit en què volem fer veure que l’energia es degrada
quan és utilitzada. Per tant, no tots els aspectes en què es presenta l’energia
són de la mateixa qualitat, no tots els aspectes de l’energia són igualment
utilitzables. L’energia elèctrica o l’energia interna de la benzina són de bona
qualitat ja que són fàcilment utilitzables, en canvi, difícilment podem fer ús
de l’energia que ha guanyat el medi a través de la calor. L’energia interna del
medi és de baixa qualitat, l’energia s’ha degradat.
Quan utilitzem l’energia, aquesta es transforma i es
presenta en aspectes menys utilitzables. ES DEGRADA.

5. 5
A-4. Hem vist en les activitats A1, A2, i A3, processos en els quals l’energia es
transforma i canvia el seu aspecte. Analitza l’evolució dels aspectes en què es
presenta l’energia en cada activitat i, en particular, l’aspecte final en cada procés.
Creus que són equivalents totes les formes d’energia?.
A-5. Posa alguns exemples més de degradació de l’energia.
1.2.5. L’energia és una magnitud que depèn de l’estat del sistema, no de
com s’hi ha arribat.
En primer lloc precisem el significat d’estat d’un sistema.
Cada tipus de sistema té les seves variables pròpies que determinen l’estat del
sistema, per exemple: En la mecànica clàssica, la que estudiem ara, les
variables que determinen l’estat d’un sistema són la posició i el moment
lineal.
El concepte d’Estat és essencial per resoldre molts problemes de
Física (Mecànica, Termodinàmica, Electromagnetisme, ...) i també de
Química. En aquesta UD ens dedicarem a aplicar el concepte a la Mecànica.
Així, direm que un cos es troba en un estat quan podem determinar la seva
posició i el seu moment lineal, la qual cosa també determina els valors de les
energies cinètica i potencial i, lògicament, la seva suma.
Per altra banda, és molt important donar-se compte que si Ep =
f(posició) i Ec = f(moment lineal) del corresponent estat, el valor de l’energia
no depèn de com ha arribat el sistema a aquest estat, és a dir, el valor de
l’energia no depèn en absolut de la història anterior del sistema fins arribar a
l’estat actual.
Per exemple, quan un cotxe es mou a 5 m/s dalt de la muntanya del Toro i
per un sistema de referència situat al peu de la muntanya, les seves energies
potencial i cinètica estan totalment determinades per la velocitat i l’alçada de
la muntanya i no té cap incidència en aquest valors el camí seguit pel cotxe
per arribar a dalt.
Un altre exemple. L’energia interna d’un gas depèn de l’estat del gas,
no de com s’hi hagi accedit a l’estat. En el cas d’un gas ideal el valor de la
seva energia interna únicament depèn de la temperatura, del nombre de mols
i d’una constant denominada capacitat calorífica; U =f(N,T,Cv). En aquesta
equació no apareix cap referència de com ha arribat el gas a aquest estat.
Direm que UN SISTEMA ES TROBA EN UN ESTAT
quan les seves propietats i les variables que el determinen
prenen valors específics.
El valor de l’energia tan sols depèn de l’estat on es troba.
No depèn del procés per accedir a aquest estat.

6. 6
Exemple - 1: Un cos que baixa per un pla inclinat.
Considerem un cos de 0,5 Kg de massa que es troba en repòs sobre un pla
inclinat a 2m per sobre de la superfície horitzontal tal com mostra la figura.
En aquesta situació si escollim com a origen d’energies potencials la
superfície horitzontal, podem calcular amb facilitat les energies cinètica i
potencial del cos en aquest estat. Així, per l’estat inicial, tindrem:
Figura 1
a. Que la seva energia potencial vindrà donada per:
E mgh x x Jp = = =0 5 9 8 2 9 8, , ,
b. I que la seva energia cinètica serà nul·la ja que el cos es troba en repòs
sobre el pla inclinat: 𝑣 = 0 ↔ 𝑝 = 0 i Ec=0.
c. NO tindrem en compte la seva energia interna, U, ja que considerarem
que el seu valor no es modificarà i no afectarà al possible moviment de
caiguda del cos pel pla inclinat. És a dir, de tots els tipus d’energia que
es poden definir d’un cos, tan sols fem balanç d’aquelles energies que es
poden modificar en aquest procés de baixada del cos que ocasiona
canvis d’estat.
Si suposem que no hi ha fricció, l’energia total del sistema, que serà igual a
la suma de les energies cinètica i potencial (Ja hem dit que no tindríem en
compte l’energia interna del cos), es conservarà. Així i tot, tant com vagi baixant
el cos per el pla inclinat es produiran diverses transformacions de l’energia. El
cos va perdent energia potencial ja que va perdent alçada i, per altra banda, la
velocitat i conseqüentment el moment lineal i l’energia cinètica van augmentant.
En el moment en què el cos arribi al final del pla inclinat, l’energia potencial
serà nul·la i la cinètica tindrà el seu valor màxim. En aquest procés, les
magnituds que determinen l’estat del sistema, la posició i la velocitat, van
canviant de forma continuada i , per tant, el sistema va canviant també d’estat
d’una manera continuada. En tot el procés sempre és possible establir
comparacions energètiques entre dos estats qualssevol. Això es pot fer sempre,
tant si el cos conserva la seva energia com si no ho fa (En aquest cas cal saber
com o quanta energia ha perdut el cos).
La pregunta que us podeu fer és: Per què serveix fer comparacions
energètiques entre dos estats diferents?. La resposta és que a partir d’aquestes
comparacions podem deduir-ne el valor que prenen les variables
característiques que determinen un dels dos estats del sistema que comparem si
coneixem els valors de les variables a l’altre estat.
Si retornem a l’exemple que ens ocupa i apliquem aquest procediment, poden
trobar el valor de la velocitat, del cos del nostre problema inicial, quan passa
per la posició del pla inclinat que es troba, per exemple, a 1m d’alçada:

7. 7
Com ja hem assenyalat, basta comparar l’estat inicial amb l’estat del cos
quan es troba a 1m d’alçada i imposar que el cos conserva la seva energia total
ja que suposem que no hi ha fricció i tampoc es modifica la seva energia interna:
- Estat inicial, h=2 m, v= 0 m/s: ET = Ep + Ec = 9,8 + 0 = 9,8 J
- Estat final, h= 1 m, v= ? m/s : ET = Ep + Ec = mgh + 1
2 mv2
= 9,8 J
Substituint valors i operant podem trobar amb facilitat que el valor de la
rapidesa quan es troba a 1m d’alçada és 4,43 m/s.
1.2.6. L’energia és una magnitud extensiva. El seu valor és directament
proporcional a la massa.
Si la massa del sistema es duplica l’energia del sistema també ho farà, i si la
massa d’un cos es redueix a una quarta part, l’energia també es reduirà en la
mateixa proporció.
A-6. Indica altres magnituds diferents de l’energia que siguin extensives. Enumera
magnituds que siguin intensives.
1.2.7. El valor de l’energia que assignem a cada estat del sistema no és
absolut.
Com hauràs pogut comprovar, el valor que pren l’energia potencial d’un
cos depèn del punt que elegim com origen, h=0, i l’energia cinètica pren un
valor que varia en funció del sistema de referència de l’observador (No és la
mateixa l’energia cinètica d’un cotxe mesurada per un observador que es
troba parat a la carretera que per un observador que també es troba en
moviment dintre d’un altre mòbil).
L’energia és una magnitud que denominem extensiva
perquè augmenta o es redueix si augmentem o reduïm la
massa del sistema, i sempre amb la mateixa proporció.
D’això podem deduir que el valor de l’energia que
assignem a cada estat del sistema no està totalment
determinat, no és absolut, és arbitrari.
En definitiva direm:
• Que una magnitud és Extensiva si és directament
proporcional a la massa. L’energia ho és.
• Per contraposició, direm que una magnitud
és Intensiva quan el seu valor no es
modifica, encara que multipliquem o dividim
el sistema.

8. 8
A-7. Dos observadors determinen experimentalment l’energia cinètica d’un mòbil.
Per a un dels observadors, l’energia cinètica pren el valor de 300.000 J i , per a
l’altre, el valor de l’energia és de 250.000 J. És possible que els dos observadors
tinguin raó?. Explica la resposta.
A-8. Dos cossos, de la mateixa massa, tenen respectivament unes energies potencial
inicials de 400 J i 100 J, els dos cossos estan inicialment en repòs i els deixem caure
de manera no simultània. Indica quin dels dos tindrà major rapidesa en l’instant que
el primer li resta una energia potencial de 375 J i al segon una energia potencial de
50 J. Raona la resposta.
Resum del concepte d’energia. Definició:
a) Encara que no tenim un coneixement precís d’allò que és l’energia, sí
sabem que és una propietat que té tot cos o sistema. És una magnitud que
es conserva, però que té la propietat de poder canviar d’aspecte (es
transforma), energia cinètica, potencial, radiant, nuclear, ..., i quan es
transforma es degrada.
b) La Física disposa de fórmules que permeten quantificar el valor de
l’energia en cadascun dels aspectes en el que es presenta. Algunes
d’aquestes fórmules ja les coneixeu: La de l’energia cinètica, potencial,
energia subministrada per un generador elèctric,... .
c) Tal i com ja hem indicat els fenòmens, passar d’un estat a un altre estat,
depenen de les variacions o transformacions de l’energia i no del valor
de l’energia que puguem assignar a un estat.
Definició: L’energia és una propietat extensiva que associem a
cada estat del sistema. La principal característica d’aquesta
propietat és que el valor numèric que puguem assignar al
sistema es manté constant si el sistema està aïllat, encara que
es puguin produir canvis en ell.
Ràpidament un pot pensar que això és molt greu ... , però la realitat és que no
ho és:
a. No és greu si quan fem un problema som coherents amb l’origen elegit. És a
dir, cal mantenir el mateix origen i criteri de signes al llarg de tot el
problema.
b. El segon, i el més important punt, és que els fenòmens i el
comportament dels cossos venen determinats per les
variacions de l’energia i no pel valor absolut d’aquesta.
Quan un cos cau, el valor de la seva rapidesa no depèn del
valor de l’energia potencial inicial, sinó de la variació de
l’energia potencial que ha tingut el cos.

9. 9
Exercicis:
E-1. El signe de l’energia:
a. Pot ser negativa l’energia cinètica d’un mòbil? Posa un exemple.
b. Pot ser negativa l’energia potencial gravitatòria? Posa un exemple.
E-2. Troba l’expressió que relaciona l’energia cinètica d’un cos amb el seu moment
lineal “p= m·v” en lloc de la velocitat .
E-3. Escriu l’expressió de l’energia cinètica d’un mòbil de massa “m” que es
desplaça a una rapidesa “v”. Indica com varia l’energia cinètica en els següents
casos:
a. La massa del mòbil es redueix a la meitat. Quina propietat de l’energia
apliques?.
b. La rapidesa del mòbil es redueix a la meitat.
E-4. Indica com varia l’energia potencial d’un cos en el següents casos:
a. La massa del cos es redueix a la meitat.
b. L’alçada del cos es redueix a la meitat.
E-5. Si 7 litres de benzina permeten a un cotxe recorre 100 km, quants quilòmetres
podrà recórrer el mateix cotxe, per carreteres semblants, amb un dipòsit amb 42
litres de benzina?. Quina propietat de l’energia apliques?.
E-6. Un ciclista, de 70 kg bicicleta inclosa, es troba en repòs en una superfície
horitzontal. Arranca de manera uniforme amb a= 0,5 m/s2
fins arribar a una
rapidesa de 40 km/h.
En una altra ocasió, el mateix ciclista baixa un pendent i arriba a un tram
horitzontal amb una rapidesa de 40 km/h. Indica per quin dels dos procediments té
més energia cinètica final. Quina propietat de l’energia apliques?.
E-7. Un cotxe de 1000 kg, amb el motor avariat, es troba en la part superior d’un
pendent de manera que està 10 m per sobre d’un tram de carretera horitzontal.
Deixem anar el cotxe, que inicialment estava en repòs, i aquest baixa el pendent i
continua pel tram horitzontal, recorrent en el pla 100 m fins que es para.
a. Indica el tipus d’energia que té el cotxe inicialment. Calcula el seu valor i
indica quina hipòtesi fas per trobar el seu valor.
b. Quin tipus d’energia té el cotxe al final del recorregut?. Quines forces actuen
sobre el mòbil al llarg del seu recorregut?.
c. Indica les transformacions energètiques que s’han produït al llarg del
recorregut.
d. Explica per cadascun dels apartats anteriors quina o quines propietat de
l’energia apliques

10. 10
2. Com podem variar l’energia d’un sistema?.
La termodinàmica és la part de la Física que estudia macroscòpicament
(macroscòpicament vol dir, que estudia les magnituds que podem mesurar directa o
indirectament amb els instrument normals de la vida quotidiana, per exemple la
pressió, la temperatura, el volum, el número de mols, la velocitat d’un cotxe, la seva
energia cinètica, ... . Magnituds microscòpiques són aquelles que determinen el
comportament de les molècules, àtoms o partícules que no podem observar ni
mesurar sense l’ajuda de d’instruments específics) les transformacions de l’energia,
canvis d’aspecte de l’energia, els diversos estats d’agregació de la matèria i les
condicions d’equilibri ja sigui tèrmic o químic. En particular El Primer Principi de la
Termodinàmica ens indica com podem variar l’energia d’un sistema.
El Primer Principi de la Termodinàmica implica
i. La conservació de l’energia.
ii. La definició del treball i el calor com a dues maneres de transferir
energia.
(*) Aquí “E ” representa l’energia total del sistema que és igual a la suma de les energies Interna,
Cinètica i Potencial. Això és:
E (energia total)= U(energia interna)+ Ep(energia potencial)+ Ec(energia cinètica)
Per Energia Interna, U, entendrem l’energia que tenen els cossos deguda a la seva estructura
atòmica, la seva temperatura i la massa del cos. En la majoria de problemes considerarem que
l’energia interna dels cossos roman invariable i no la tindrem en compte en la resolució de
problemes. A més, en molts dels nostres exercicis la masses seran puntuals i per elles no té sentit
definir energia interna, la Termodinàmica estudia sistemes macroscòpics.
Per calor , Q, entendrem tota forma de transferir energia entre dos sistemes a diferent
temperatura, radiació, convecció, conducció.
(**) És fàcil trobar llibres en què els criteris de signes són diferents als d’aquests apunts però no
representa cap problema si els canvis de signes són coherents.
*
Primer Principi de la Termodinàmica: Canviar l’energia d’un sistema
únicament es pot fer de dues maneres i a través dels límits del sistema:
realitzant un treball o proporcionant calor.
Expressem matemàticament aquesta idea de la manera següent:
on “Q” representa el calor, és a dir, l’energia transferida al o pel sistema a
causa d’una diferència de temperatura, i “W” representa el treball realitzat per
o sobre el sistema.
En general, “Q” i “W” seran positius quan són subministrats al
sistema i la variació d’energia del sistema pren un valor positiu,
>0, i seran negatius en el cas contrari, <0 .

11. 11
Exemple - 2: Donar energia a un sistema, en aquest cas, un gas.
Podem transferir energia a un gas donant-li calor, escalfant. El resultat
d’aquest procés, des del punt de vista macroscòpic, serà que el gas augmenta la
seva temperatura i pressió. També podem augmentar la temperatura del gas
realitzant un treball sobre ell, comprimint-lo o sacsejant-lo. Els efectes
macroscòpics produïts són exactament els mateixos que els que hem mencionat
abans. (Pel sistema, des del punt de vista microscòpic hi ha subtils diferències
entre l’aportació d’energia per treball i l’aportació d’energia per calor)
En definitiva els dos processos es tradueixen en un augment de l’energia interna
del gas.
A-9. En l’exemple anterior, hem vist que podem augmentar l’energia interna d’un
sistema donant-li calor o realitzant un treball sobre ell. Però, si , per exemple, volem
pujar un cos d’un quilogram a
un metre d’alçada no ho
aconseguirem subministrant-li
l’energia necessària,
ΔE mgh Jp = = 9 8, , en forma de
calor, Q= 9,8 J, però sí que ho
aconseguirem si subministrem
aquesta energia en forma de
treball. Una altra possibilitat és
tenir un mecanisme al qual li
subministrem calor, per
augmentar la seva energia
interna, i que la utilitzi per
realitzar el treball. Coneixes
algun d’aquests mecanismes?.

12. 12
3. El treball
3.1. Definició de treball.
La definició precisa de treball l’expressem de la següent manera:
La quantitat d’energia transferida, treball, del cos o partícula A al cos B ,
quan la primer exerceix sobre la segon una força constant 𝐹!" i aquest es
desplaça segons el vector ∆𝑟, ve donada per:
Figura 2
On ∆𝑟 i 𝐹!" , són magnituds vectorials i el punt representa el seu producte
escalar.
Si utilitzem la definició de producte escalar, podem torna escriure l’expressió
anterior de la següent manera:
𝑊!" = 𝐹!" · ∆𝑟 · cos 𝛼
On “ 𝐹!" i ∆𝑟 ” són els mòduls dels vectors força i desplaçament anteriors i
“𝛼” és l’angle que formen la direcció de la força amb la direcció del
desplaçament. Aquesta última expressió ens permet una nova interpretació dient
que el treball és igual al producte del desplaçament, ∆𝑟 , per la component de la
força que té la direcció del desplaçament, 𝑭 𝑨𝑩 · 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 𝑭𝒕 , força tangencial al
desplaçament o força en la direcció del moviment *
* (Aquesta força tangencial pot tenir el mateix sentit que el desplaçament o sentit contrari. En el
dibuix la força tangencial té el mateix sentit que el desplaçament. Si força i desplaçament tenen el
mateix sentit tindran el mateix signe i si tenen sentit contrari tindran signes contraris. Així era
com utilitzàvem aquesta equació a 4t d’ESO: 𝑊 = 𝑭𝒕 · ∆𝒙 ).
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 = 𝑊!" = 𝐹⃗!" · ∆𝑟!!!!⃗
El treball no és una propietat del sistema com l’energia. Realitzar un treball és
el nom que donem a una manera de transferir i/o transformar energia. El treball
realitzat sempre serà igual a la quantitat d’energia transferida i/o transformada.
Aquesta manera de transferir energia entre dos sistemes, cossos o
partícules, que denominem treball, es basa en la interacció que
existeix entre elles, la força.

13. 13
Algunes conseqüències de la definició de treball:
A-10.
a. Indica el treball realitzat per una força quan el cos no es desplaça.
b. Troba el valor del treball realitzat per una força que actua
perpendicularment al desplaçament.
c. Indica el valor del treball realitzat per una força que actua en sentit contrari
al desplaçament. Fes el mateix quan actua en el mateix sentit del
desplaçament.
d. Quin és el significat físic d’un treball que sigui positiu?. I d’un negatiu?.
e. Per què quan traslladem un moble d’un lloc a un altre procurem fer-ho pel
camí més curt? * .
* Veurem que existeixen unes forces que tenen la propietat de que el seu treball no
depèn del camí seguit i tan sols depenen del punt de partida i del d’arribada.
3.1.1. Com podem calcular el treball quan ens donen la força, F=(Fx,Fy), i el
desplaçament, ∆r(x,y), en components?.
En aquest cas existeix un mètode molt més ràpid de realitzar el producte
escalar dels dos vectors. Per fer-ho és suficient aplicar la definició de producte
escalar als vectors unitaris.
Així tenim:
1. =ii
!!
; 0. =ji
!!
; 1. =jj
!!
; 0. =ij
!!
I el producte escalar dels dos vector ens dona:
yFxFjjyFijxFjiyFiixF
jyixjFiFrFW
yxyyxx
yx
..).(.).(.).(.).(.
)..).(..(.
+=+++=
=++=Δ=
!!!!!!!!
!!!!!!
És molt important que ens donem compte que quan fem una
força sobre un cos, que realitza treball, el que transferim al cos
NO és la força, les forces no es transfereixen, el que transferim és
energia al cos. Per exemple quan tirem un cos verticalment cap
amunt, quan surt de la nostre mà, al cos no li “queda” un “poc”
de la força que li hem fet, el que li queda, el que li hem transferit,
és energia, en aquest cas, energia cinètica.

a ⋅

b =

a ⋅

b ⋅cosα on α és l'angle que formen els dos vectors

14. 14
A-11. Calcula el treball realitzat per una força de components 𝑭 =(3,2) N sobre un
cos que es desplaça segons el vector ∆𝒓 =(-5,8) m. Fes una representació dels dos
vectors. És necessari que la força provoqui el desplaçament del cos per calcular el
seu treball?.
Exemple - 3:
Una home que es troba sobre una superfície horitzontal sense fricció colpeja
un cos de 0,200 kg de massa, amb una força de 400 N al llarg de 0,10 m. Calcula
l’energia guanyada pel cos.
L’energia subministrada al cos per l’home serà igual al treball realitzat per
l’home sobre el cos. Aquest treball ve donat per l’expressió que acabem de trobar:
WAB= 𝑭 . ∆𝑟 . cos 𝛼
En aquest cas la força aplicada sobre el cos i el desplaçament podem suposar que
tenen la mateixa direcció i 𝛼 = 0. L’expressió del treball es redueix al producte de
la força pel desplaçament.
W F r x J= = =. ,Δ 400 010 40
Aquesta és l’energia guanyada pel cos a costa de la que ha perdut l’home. Si no
tenim en compte altres factors, com suar o augment de la temperatura del cos o del
medi, la pèrdua d’energia de l’home seria exactament igual a 40 Joules.
Exemple - 4:
Una persona vol aixecar un cos de 800 N amb l’ajuda d’una palanca (La
palanca és una màquina simple i una màquina és un enginy que ens ajuda a
transformar i a transferir energia, però mai a augmentar-la o disminuir-la) tal i com
ens mostra la figura. Si la persona realitza una força cap avall de 280 N i desplaça
el seu braç 1 m, quant pujarà el cos per l’acció de la palanca?.
Figura 3
El treball realitzat per la persona sobre la palanca serà igual al treball
realitzat per la palanca sobre el cos. Si per simplificar suposem que les forces es
realitzen en la direcció dels desplaçaments, el problema es redueix a:
F(home) . Dr(desplaçament palanca)= F(palanca) . h(recorregut del cos)
280 N . 1 m = 800 . h ; h= 0,35 m

15. 15
És a dir que el cos pujarà 35 cm.
És important remarcar que els dos treballs, el del home i el de la palanca,
són positius ja que les forces i els desplaçaments tenen el mateix sentit. També és
important veure que la palanca ens permet transferir energia d’una manera més
còmoda, però l’energia que guanya el cos és igual a la que perd la persona.
A-12. Comenta la frase següent: El motor subministra energia a un cotxe perquè es
pugui desplaçar. Indica altres màquines i especifica les transformacions
energètiques que realitza.
3.2. Treball realitzat per diverses forces sobre un cos.
El problema que ens plantegem ara és calcular el treball realitzat per un
conjunt de forces que actuen simultàniament sobre un mateix cos. La solució al
problema és fàcil i és senzillament la suma de cadascun dels treballs realitzats
per cada una de les forces amb els seus corresponents signes.
Hi ha alguna altra manera de fer el mateix?. La resposta és sí, i no és gens
difícil demostrar que si les forces que actuen simultàniament sobre el cos són f1,
f2, f3, ......, fn , i “FR” la força resultant de totes elles, llavors es compleix que:
W(f1) + W(f2) + W(f3) + ...... + W(fn) = W(FR)
És a dir, podem calcular el treball buscant primer la força resultant i després
calcular el seu treball.
En general, no recomanem un determinat sistema i en cada problema cal escollir el
més convenient.
A-13. Demostra que el treball total realitzat per un conjunt de forces que actuen
simultàniament sobre un cos és igual al treball realitzat per la força resultant.
A-14. Arrosseguem, 12 m, un cos de 10 kg
sobre una superfície horitzontal aplicant una
força de 40,89 N que forma un angle de 12º
respecte a l’horitzontal . La força de fricció
és de 30 N. Ajuda’t d’un dibuix i calcula la
força resultant, treball realitzat per cada una
de les forces, el treball total i el treball
realitzat per la força resultant.
A-15. Per a cada una de les forces del problema de l’activitat anterior, A-14,
representa gràficament la seva component en la direcció del moviment en funció del
desplaçament. Per a cada representació, calcula l’àrea que queda entre la gràfica i
l’eix d’abscisses. Compara els resultats obtinguts amb els de l’activitat A-14.

16. 16
3.3. Treball realitzat per una força variable.
La definició que hem donat de treball en l’apartat 3.1., únicament és vàlida
quan la força que actua sobre el cos és constant i l’angle que formen la força i el
desplaçament també ho és.
𝑊!" = 𝐹!" · ∆𝑟 · cos 𝛼
En aquest apartat ens plantegem calcular el treball realitzat per una força que
no sigui constant. El problema que ens trobem és que no podem aplicar
l’equació anterior i hem de buscar una nova expressió per calcular el treball en
aquests casos.
En primer lloc, recordarem un procediment per calcular el treball que sempre
és vàlid. El procediment consisteix en representar gràficament la component
tangencial de la força com a variable depenent respecte al desplaçament com
variable independent i calcular l’àrea que queda entre la gràfica i l’eix
d’abscisses. Aquesta àrea sempre és igual al treball realitzat per la força. Per
comprovar que això funciona bé, començarem pel cas més senzill, el cas d’una
força constant, FAB, que realitza un treball al llarg d’un desplaçament, ∆𝒙, i
veurem, tal i com mostra la figura adjunta, que efectivament es compleix que:
Figura
Ara, anem a fer una aplicació a una força variable. Com a primera aplicació
escollim el procés de comprimir, a velocitat constant i molt lentament sense que hi
hagi increment d’energia cinètica, un cos contra una molla. D’aquesta manera, ens
assegurem que la força que fem noltros sobre el cos és igual i de sentit contrari a la
força que fa la molla sobre el cos al llarg de tot el recorregut, tal i com mostra la
figura.
En el gràfic es representa la component tangencial de la força al
desplaçament. L’àrea compresa entre el gràfic d’aquesta
component de la força i l’eix abscisses sempre és igual al treball
realitzat per la força.
Figura 5

17. 17
Escollim aquest cas perquè la força que fa la molla té una expressió matemàtica
d’aspecte agradable. Efectivament, suposarem que la molla compleix la Llei de
Hooke i , per tant, l’expressió matemàtica de la força ve donada per:
• Força que fa la molla sobre el cos: 𝑭 𝒎 = −𝒌 · ∆𝒙
• La força que fem noltros, 𝐹!, sobre el cos serà: 𝑭 𝒂 = 𝒌 · ∆𝒙
On “k” és una constant que dóna compte de la duresa de la molla i “∆𝒙” és el
desplaçament de la molla respecte a la seva posició d’equilibri. El signe negatiu ens
indica que la força que fa la molla sobre el cos sempre és de sentit contrari al del
desplaçament provocat per la força exterior (Amb el criteri de signes de la figura anterior, la
força aplicada que fem noltros i el desplaçament són positius i la força que fa la molla tindria signe
negatiu. Cal remarcar que, com sempre, els signes de les forces i desplaçaments depenen únicament
del nostre criteri). També és important adonar-se que la força que fa la molla i,
conseqüentment, la que hem de fer noltros per a comprimir o estirar la molla,
augmenten de forma directament proporcional al desplaçament de la molla, per tant,
en aquest cas sempre són iguals i de signe contrari, 𝐹! = −𝐹!.
Si representem les forces que actuen sobre el cos mentre s’estira la molla llavors el
treball fet per cada força és l’àrea compresa entre el gràfic de les forces i l’eix del
desplaçament entre “0” i el valor “x”. Així podem veure que el treball fet per la força
aplicada i el treball fet per la força de la molla són iguals i de signe contrari. És a dir,
les àrees compreses són iguals i de signe contrari.
Ha de quedar clar que si la força aplicada fos més gran en mòdul que la força de la
molla, el seu treball seria major (en valor absolut) que el treball realitzat per la força
de la molla. Per tant, mentre que quan s’estira o comprimeix una molla una longitud
“x” el treball fet per la molla sempre valdrà:
𝑊 𝐹! = −
1
2
𝑘 · 𝑥!
el treball fet per la força aplicada pot ser igual, en valor absolut, al treball fet per la
molla si 𝐹! = 𝐹! o més gran que el treball fet per la molla si 𝐹! > 𝐹!
*
.
• Aquí es plantegen un parell de qüestions interesants:
− Què li passa al sistema quan 𝐹! > 𝐹! ?
− És possible que 𝐹! < 𝐹! ?
El valor d’aquestes àrees ve donat per:
• À𝑟𝑒𝑎 𝐹⃗! =
!!·!
!
=
!·!·!
!
= !
!
!·!!
• À𝑟𝑒𝑎 𝐹⃗! =
!!·!
!
=
!!·!·!
!
= !
!
!
!·!!
Per tant el treball:
• 𝑊!𝐹⃗!! =
!
!
𝑘 · 𝑥!
• 𝑊!𝐹⃗!! = −
!
!
𝑘 · 𝑥!
•
Figura 6

18. 18
Potència =
EnergiaTransferida
temps
Calor Treball
temps
=
/
La potència pot expressar-se en Joules partit per segon, però generalment en el
Sistema Internacional, la unitat utilitzada és el watt, W. Una altra unitat de potència
és el kilowatt, 1 kW = 1000 W. Finalment, cal destacar el cavall de vapor, CV, que
equival a 735 W*.
Tots els aparells domèstics, vehicles, motors, bombetes, ..., surten de fàbrica
amb la informació corresponent al treball o energia que poden transferir per unitat de
temps, és a dir, la potència. Per exemple, si una bombeta du la indicació de 100 W,
vol dir que transfereix i transforma 100 Joules cada segon.
* No confondre amb una unitat de potència del sistema anglès, horse-power, HP, 1
HP=746 W
A-16. Una persona porta una motocicleta de 50 cm3
i una altra persona una moto de
250 cm3
. Totes dues pugen la costa de Ses Piques.
Quines són les diferències i similituds que hi ha entre
els dos mòbils respecte les variables treball, temps i
potència.
A-17. Indica, de forma raonada, si la potència és una
magnitud escalar o vectorial.
A-18. Demostra que la potencia desenvolupada per un
mòbil que es mou a velocitat constant ve donada per:
vFP
!!
.=
On , F
!
, és la força que fa moure el mòbil i , v
!
, la seva
velocitat. El punt representa el producte escalar dels dos vectors.
4. Potència
La potència és una unitat que, com totes les altres, ens l’hem
inventada i que ens dóna informació del ritme amb què es realitza
un treball. És a dir, ens diu la quantitat d’energia que es transfereix
per unitat de temps a través d’un treball o en forma de calor.

19. 19
5. Relacions treball i energia:
Alguns exemples de les relacions entre treball i energia
5.1. Treball realitzat per una força aplicada sobre un cos quan sobre ell hi
actuen altres forces dissipatives i la força resultant és nul·la.
A-19. En molts dels processos relacionats amb esforços que realitzem en la vida
quotidiana passa que la força resultant que actua sobre un cos és nul·la. Un cas
d’aquest tipus sol passar quan empenyem un moble pesant per un camí horitzontal.
Sempre procurem moure’l a velocitat constant i que les acceleracions tan sols
representin una petitíssima part del trajecte. Explica raonadament el motiu
d’aquesta manera de procedir.
A-20. Indica i dibuixa les forces que actuen sobre el moble de l’activitat anterior
quan es desplaça a velocitat constant. Comenta els treballs de cada una de les
forces. Quant valdria el treball total o resultant?.
A-21. Indica si transferim o no energia al moble quan el desplacem. Què ha passat
amb aquesta energia?. Ha variat l’energia del moble al llarg del seu recorregut?.
Exercicis:
E-8. Calcular la força, paral·lela a la superfície, i el treball necessaris per fer
lliscar un moble de 40 kg al llarg de 14 m sobre una superfície horitzontal, sense que
hi hagi fricció ni augment de la velocitat.
E-9. Repeteix el mateix exercici anterior però suposa que el coeficient de fricció val
0,6.
E-10. Un cos de 10 kg es troba en la part superior d’un pla inclinat 30º i 4 m de
longitud. Deixem lliscar el cos i aquest baixa a velocitat constant. Trobar:
a. Totes les forces que actuen sobre el cos mentre baixa.
b. El coeficient de fricció entre el pla i el cos.
c. El treball realitzat per a cada una de les forces i el treball de la força resultant.
Definició: Força dissipativa.
A una força, com la força de fricció, la denominarem
dissipativa, sense que amb això es vulgui dir que el seu treball faci
desaparèixer l’energia, quan volem indicar que transfereix i transforma
l’energia de tal manera que presenta poques o nul·les possibilitats de
ser aprofitada.

20. 20
5.2. Forces Conservatives. Energia Potencial: Treball realitzat per una força
aplicada sobre un cos quan també hi realitzen treball forces conservatives i la
força resultant és nul·la.
Tal i com ja hem vist en l’apartat anterior, el treball que realitzem sobre un
cos, és a dir, l’energia que li transferim, no queda emmagatzemada totalment en
el cos quan sobre el sistema també hi realitza treball una força dissipativa fr , que
s’encarrega de dissipar totalment l’energia mecànica del cos a través del seu
treball.
Hi ha altres casos en què encara que el treball resultant sigui nul, degut a que
realitzen treball més d’una força, el sistema o el cos, sí guanya energia. Anem a
veure un parell d’aquests casos:
5.2.1. La força d’una molla és conservativa.
Considerem una altra vegada el cas de comprimir o estirar una molla de l’apartat
3.3.. Revisem el procés de comprimir la molla a través de la força, Fa, que
apliquem al cos, des del punt “x=xo=0” fins el punt “x=x1”, veure la figura.
Recordem que el procés es realitza de manera que no hi hagi increment
apreciable de la velocitat, és a dir, no hi ha increment de l’energia cinètica de la
massa. En segon lloc, en tot moment , Fa = - Fm , i la resultant de les forces que
actuen sobre el cos serà nul·la, FR = 0. Aquesta última condició imposa que el
treball resultant sobre el cos també serà zero.
Figura 9
D’entrada, sembla que la situació és la mateixa que la de l’apartat anterior en
el qual el treball resultant sobre el cos és també nul, però aquest és un cas
totalment diferent. Aquí, inicialment, la massa es troba en repòs en el punt ,
x=xo=0, la molla no fa cap força i noltros tampoc. En aquesta situació podem
assignar al sistema una energia mecànica inicial que perfectament podem
escollir com a zero.
Després de comprimir la molla fins, x=x1, el sistema massa - molla ja no es
troba en les mateixes condicions que quan es trobava a l’origen, x=0. En x1, si
deixem en llibertat al sistema, la massa no romandrà en repòs sinó que oscil·larà
entre els punts x=x1 i x=-x1 de forma indefinida sempre que no existeixi fricció.
Definició:
A la suma de les energies cinètica i potencial d’un cos li donem
el nom d’ENERGIA MECÀNICA del cos.

21. 21
És evident que el sistema “massa – molla” ara té una energia que abans no tenia.
Aquesta energia li hem subministrat noltros amb el nostre treball fet per la força,
𝑭 𝒂. La diferència entre aquest cas i el de l’apartat anterior no és el nostre treball,
la nostra força, la diferència està en l’altre força que actua sobre el cos, la de la
molla, 𝐹!. Ara, la força de la molla no és una força dissipativa, és una força que
permet que el sistema emmagatzemi l’energia que li transferim amb el nostre
treball.
La variació d’energia potencial de la molla serà igual a l’energia que li hem
subministrat amb el nostre treball, ∆𝐸! = 𝑊 𝐹! o bé a menys el treball fet per
la molla ∆𝐸! = −𝑊 𝐹! . Noltros escollirem aquesta última definició.
En l’apartat 3.3 hem calculat l’expressió del treball, per tant:
∆𝑬 𝒑 = −𝑾 𝑭 𝒎 =
𝟏
𝟐
·𝒌·𝒙 𝟐
El motiu d’escollir la variació de potencial d’aquesta manera és el següent: quan
s’estira una molla una distància “x” el treball fet per la molla sempre val el
mateix, en canvi, com ja sabeu, no passa el mateix amb la força aplicada.
5.2.3. Definició de Força Conservativa.
A continuació veurem algunes idees bàsiques sobre les forces conservatives
i les seves propietats:
Una definició intuïtiva de força conservativa: Imagina un cos sotmès a
l’única acció d’una força conservativa. Per fitxar idees, considerem el cas del
cos i la molla.
Què fa el sistema, després d’haver-lo comprimit, quan el deixem en llibertat
sota l’única acció de la força de la molla?. Tots sabem que el cos comença a
oscil·lar entre “x=x1 i x=-x1” . En els extrems el sistema, la molla, té energia
potencial i quan passa pel punt d’equilibri, x=0, el sistema, ara la massa, té
energia cinètica. En el procés es realitza de forma reiterada una transformació
i transferència d’energia potencial de la molla a cinètica del cos i de cinètica
del cos a potencial de la molla. El treball realitzat per la força de la molla és
el responsable de la transformació i transferència energètica, però fixeu-vos
que l’energia mecànica del sistema NO ES MODIFICA.
Aquesta idea ens pot servir per establir una primera definició de força
conservativa.
De la definició que acabem de veure, podem concloure que a cada força
conservativa li podem associar una energia potencial, per tant, tindrem tantes
energies potencials diferents com forces conservatives hi hagi. En aquest curs
A aquest tipus d’energia emmagatzemada pel sistema es
denomina Energia Potencial i la força feta per la molla ,
𝑭!!⃗ 𝒎, que possibilita, amb el seu treball, que el sistema pugui
emmagatzemar l’energia rep el nom de Força Conservativa.

22. 22
n’hem vist dues, la força gravitatòria i l’elàstica de la molla, per tant, tenim
l’energia potencial gravitatòria i l’energia potencial elàstica. L’equació que
relaciona les forces conservatives amb el seus potencials és la que acabem de
veure.
∆𝐸! = −𝑊 𝐹!"#$%&'()*'(
5.2.2. La força gravitatòria també és conservativa.
Seguint un raonament paral·lel al que hem utilitzat en l’apartat anterior resol
les següents activitats:
A-22. Suposa que aixequem un cos de massa “m” des del terra fins una alçada “h”.
Ho fem amb les mateixes condicions que quan vam comprimir la molla en l’apartat
anterior, és a dir, pugem el cos de manera que no hi hagi un increment apreciable en
la seva velocitat i energia cinètica.
a. Representa el cos i totes les forces que actuen sobre ell mentre puja i el
valor de les forces.
b. Troba les expressions que ens donen el treball de cadascuna de les forces
i calcula el treball total.
A-23. Creus que quan el cos arribi al final del seu recorregut tindrà la mateixa
energia que en la posició inicial?. A què es deu aquest resultat?.
A-24. Quin tipus de força és el pes?. Com es diu el tipus d’energia que queda
emmagatzemada en el sistema *?. Indica la relació que hi ha entre aquesta energia i
el treball fet per la força aplicada i la relació que hi ha amb el treball fet pel pes.
* En aquest cas, quan diem Sistema, hem d’entendre el conjunt format per la
Terra i la massa. I quan diem que el cos ha guanyat energia, en realitat és el
sistema “Terra – cos” que guanya energia, ja que el pes és el resultat de la
interacció entre la terra i el cos. Quan estudiem el Camp Gravitatori s’entendrà
millor aquesta idea i que el que fem aquest any és una bona aproximació degut
Definició: FORÇA CONSERVATIVA I FORÇA NO
CONSERVATIVA.
Quan el treball realitzat per una força en un sistema no modifica el
valor de l’energia mecànica del sistema sinó que únicament la
transforma, direm que la FORÇA ÉS CONSERVATIVA.
Conseqüentment, quan el treball realitzat per una força
sobre un sistema modifica l’energia mecànica del sistema
direm que la força és NO CONSERVATIVA.

23. 23
que les variacions d’energia potencial que experimenta la Terra en procés d’aquest
tipus és inapreciable.
5.3. Teorema de l’Energia Cinètica
Treball realitzat sobre un cos per una força resultant no nul·la.
En els apartats anteriors, hem vist què li passava a un sistema quan les forces i el
treball resultant sobre ell era zero. Ara veurem el que passa quan la força resultant
no és nul·la i el seu treball tampoc.
Si la força resultant que actua sobre un cos no és nul·la,
!
FR ≠ 0, el cos
accelerarà i, conseqüentment, es produirà una variació de la velocitat. Suposem que
aquesta força resultant sigui constant, per facilitar les equacions; això implica que
l’acceleració també ho serà. Amb aquestes condicions es poden produir les següents
situacions:
i. La força resultant és perpendicular a la direcció del moviment del cos.
ii. La força resultant té la mateixa direcció que el moviment del cos.
iii. La força resultant té una direcció que no és cap de les anteriors.
A-25. Indica en cada un dels casos anteriors:
a. El tipus de moviment que realitzarà el cos.
b. El treball que realitza la força resultant en cada cas.
c. En quins casos hi ha variació del mòdul de la velocitat, és a dir, de
l’energia cinètica?.
Calculem el treball realitzat per la força resultant i trobem una relació entre aquest
treball i la variació de la velocitat del cos.
Ja que solament realitza treball la component de la força resultant en la direcció
del moviment, suposarem que tenen la mateixa direcció i sentit. Si
!
FR
, és la força
resultant i Δ
!
r el desplaçament, el treball ve donat per:
W F F r F rR R R( ) . .
! ! !
= =Δ Δ
Per altra banda, si l’acceleració és constant, el moviment és uniformement
accelerat i es complirà:
F m aR R= . i també Δr v t a tR= +0
21
2
. .
i, a més, es compleix que t
v v
aR
=
− 0
. Substituint totes aquestes expressions en
l’equació del treball ens queda:

24. 24
Si la rapidesa final és major que la inicial, la massa haurà guanyat energia
cinètica i si la rapidesa final és menor que la inicial, haurà perdut energia cinètica. Ha
de quedar clar que si la massa guanya o perd energia és perquè hi ha un altre cos que
la perd o la guanya.
El resultat que hem obtingut té el desafortunat nom de Teorema de les Forces
Vives. Nosaltres li donarem el nom de “Teorema de l’Energia Cinètica”.
Aquest resultat és totalment compatible amb l’obtingut en l’apartat 5.2, és a
dir, si entre les forces que actuen sobre el cos n’hi ha que són conservatives o si la
resultant és una força conservativa, a més de produir-se una variació en l’energia
cinètica, també es produirà una variació de l’energia potencial. Saps algun exemple
en què la força resultant sigui una força conservativa i que, per tant, el seu treball
produeixi variacions de les energies potencial i cinètica?. Què passa en aquest cas
amb l’energia mecànica del sistema?.
Exemple - 5: Un coet de 20 Tm, accelera partint del repòs amb 𝑎 = −2 · 𝑔 , on
𝑔 = −9,8 · 𝚥 𝑚/𝑠!
. Calculeu:
a. La força que impulsa el coet i la força resultant.
b. El treball realitzat per cadascuna de les forces al llarg dels primers 100 m.
c. Les variacions de les energies cinètica, potencial i l’energia mecànica en aquest
100 m.
Solució:
En primer lloc, passem les unitats al Sistema Internacional:
m(massa del coet)= 20 Tm=2x104
kg
𝒑 = 𝒎 · 𝒈 = 2x104
. (-9,8 j)= -1,96x105
j N
𝒂= - 2.𝒈 = - 2. (-9,8 j) m/s2
= 19,60 j m/s2
.
a. Les forces que actuen sobre el cos són el seu pes, 𝒑, i la força de propulsió dels
motors del coet, Fa. La resultant, FR, d’aquestes dues forces és la que provoca
l’acceleració al coet.
𝑭 𝑹 =𝒑+ 𝑭 𝒂 i 𝑭 𝑹 = m. 𝒂
El valor de la força resultant el trobem de la segona equació:
𝑭 𝑹 = 2x104
. 19,60 j = 3,92x105
j N
Ara, de la primera equació, podem trobar el valor de la força aplicada que fan
els motors:
𝑭 𝒂 = 𝑭 𝑹 - 𝒑= 3,92x105
j - 2x104
. (-9,8 j) N = 5,88x105
j N
b. El treball realitzat per cada força ve donat per:
L’equació obtinguda ens indica que el treball realitzat per una
força resultant és igual a la variació de l’energia cinètica del cos.
* El Teorema de l’Energia Cinètica és vàlid SEMPRE, fins i
tot per forces variables.

25. 25
W(Fa)= Fa . ∆x = 5,88x105
j. 100 j = 5,88x107
Joules
W(FR)= FR . ∆x = 3,92x105
j. 100 j = 3,92x107
Joules
W(p)= p . ∆x = -1,96x105
j. 100 j = -1,96x107
Joules
c. Segons els continguts que acabem de veure tenim: Que el treball realitzat per la
força resultant és igual a la variació d’energia cinètica del coet i que el treball
realitzat per la força conservativa del pes és igual a menys la variació de
l’energia potencial. Per tant:
∆Ep = -W(p) = 1,96x107
Joules
∆Ec = W(FR) = 3,92x107
Joules
El coet ha augmentat les seves energies potencial i cinètica i la suma de les dues
ens dóna l’augment de la seva energia mecànica. Aquest augment de l’energia
mecànica és igual al treball realitzat per la força del motor:
Variació de l’energia mecànica = W(Fa)= 5,88x107
Joules
Exercicis:
E-11. Deixem caure un cos des d’una alçada “h” , podem considerar que no hi ha
fricció. Indica:
a. Actuen forces conservatives sobre el cos?. Realitzen treball?. Hi haurà variació
de l’energia potencial del cos?.
b. Existeix una força resultant no nul·la sobre el cos?. Realitza treball la força
resultant? Hi haurà variació de l’energia cinètica?.
E-12. Un cos de 30 kg de massa descansa sobre una superfície horitzontal. Si
apliquem una força paral·lela a la superfície de manera que el cos arranca amb una
acceleració de 0,5 m/s2
, calcula:
a. El valor de la força si el coeficient de fricció és 0,34.
b. El treball realitzat per a cada una de les forces que actuen sobre el cos i per la
força resultant al llarg d’un recorregut de 12 m.
c. Calcula la variació de l’energia cinètica del cos i la velocitat final en arribar als
12 m.
E-13. Un projectil de 16 g de massa
travessa els tres llapis de la figura. La
velocitat d’arribada és de 300 m/s i la de
sortida 200 m/s. Calcula el treball
realitzat per les forces de fricció.

26. 26
6. Sistemes Conservatius:
Teorema de la conservació de l’energia Mecànica.
En l’apartat 5.2.3 sobre forces conservatives, hem
dit i posat un exemple en el qual es mostra que si sobre un
sistema solament realitza treball una força conservativa,
l’energia mecànica del sistema es conserva. Ara ho
demostrarem d’una manera més rigorosa:
Suposem que la força resultant, FR, és a la vegada
una força conservativa. En aquestes condicions, quan el
sistema passa d’un estat a un altre, es compleix
simultàniament:
- Per ser força resultant: W(FR)= ∆Ec
- Per ser força conservativa: W(FR)= - ∆Ep
Combinant les dues equacions tenim: ∆Ec = - ∆Ep , és a
dir:
; o, el que és el mateix :
Teorema de conservació de l’Energia Mecànica:
Si sobre el sistema tan sols realitzen treball forces
conservatives, al passar d’un estat a un altre, la suma de les
variacions de les energies cinètica i potencial ha de ser zero. En
unes altres paraules, la suma de l’energia cinètica i potencial és
una constant del moviment.
Definició:
Un sistema sobre el qual únicament realitzen
treball forces conservatives es denomina SISTEMA
CONSERVATIU.

27. 27
Exemple - 6:
L’estat inicial que mostra la figura està format per tres masses iguals “m” lligades
per una corda que passa per dues politges. Calcular la distància màxima “h” que
baixarà el cos del centre quan es deixi en llibertat el sistema.
Solució:
La massa del mig baixa i les dues laterals pujaran. La pèrdua d’energia potencial de
la massa del mig serà igual a la que guanyaran les dues laterals. Es tracta d’un
sistema conservatiu i per tant es complirà:
ΔEc + ΔEp = 0
En aquest cas, si comparem l’estat inicial i el final no hi ha variació de l’energia
cinètica, ja que en els dos estats Ec=0.
Si la massa del mig baixa “h” cadascuna de les masses laterals pujarà “ h’=D- l ”.
Per tant es complirà:
m⋅ g⋅h = 2⋅m⋅ g⋅h' on h' = D −l = l2
+ h2
−l
de la primera equació trobem que: “h’= h/2” ( resultat lògic si tenim en compte
pugen dues masses, en baixa una i les masses són iguals)que substituint en la segona
equació trobem
h
2
= l2
+ h2
−l i trobem per "h" h =
4
3
h =
4
3
l
D
l
mm
m
α
p
T
pp
h
l
politges

28. 28
7. Sistemes NO conservatius.
Què passa quan sobre un sistema hi realitzen treball forces no conservatives?.
Existeix alguna equació de balanç energètic semblant a la que tenim per sistemes
conservatius?. És que no es compleix el principi de conservació de l’energia per
sistemes NO CONSERVATIUS?. En aquest apartat procurarem donar resposta a
aquestes preguntes.
En primer lloc, EL PRINCIPI DE CONSERVACIÓ DE L’ENERGIA ES
COMPLEIX SEMPRE. Amb sistemes NO CONSERVATIUS volem indicar que
el sistema no manté l’energia mecànica, tal i com passa en els conservatius.
L’energia no desapareix, es transfereix a altres sistemes. Per exemple, quan deixem
caure un cos per un pla inclinat, en el qual la fricció no és insignificant, part de
l’energia potencial inicial es transfereix i es transforma en un augment de les
energies internes del cos i del pla, degut al treball realitzat per les forces de fricció.
En els sistemes no conservatius hi haurà, per tant, una variació de l’energia
mecànica, EM, l’energia mecànica final no serà igual a la inicial, i aquesta diferència
serà exactament igual al treball realitzat sobre el sistema per les forces no
conservatives. Efectivament:
ΔE E E W FM M
f
M
i
nc= − = ( )
donat que l’energia mecànica és: E E EM c p= + , podem reescriure l’equació anterior
amb aspecte semblant al de l’equació corresponent dels sistemes conservatius.
Aquestes comparacions energètiques les podem fer mentre actuïn sobre el sistema
forces conservatives.
Definició:
Direm que un sistema és NO CONSERVATIU quan sobre el
sistema hi realitzen treball forces no conservatives.
A-27: L’helicòpter puja el cotxe.
El cotxe guanya energia potencial gravitatòria.
El cotxe guanya energia mecànica.
a. Quina
força
fa
el
treball
de
variar,
en
aquest
cas
augmentar,
l’energia
mecànica
del
cotxe?
b. És
o
no
conservativa
aquesta
força?

29. 29
8. Resolució de problemes per “Balanç Energètic” o per “Dinàmica”?
Les equacions de balanç energètic ens serveixen, principalment quan sobre el
sistema hi actuen forces conservatives i així, poder comparar dos estats diferents
d’un determinat sistema. Per exemple, si coneixem l’estat inicial i la variació de
l’energia potencial, o energies potencials, d’un sistema al passar d’un estat a l’altre,
amb l’equació de balanç energètic, podrem trobar la variació d’energia cinètica i la
velocitat de la partícula en l’estat final. Com és lògic la proposta també és vàlida a
l’inrevés.
• Si el sistema és conservatiu, no hi ha variació en l’energia mecànica del sistema i
l’equació de balanç energètic és:
Δ ΔE Ep c+ = 0
• Si el sistema és no conservatiu, La variació de l’energia mecànica del sistema és
igual al treball realitzat per les forces no conservatives que actuen sobre el
sistema, i l’equació és:
Δ ΔE E W Fp c nc+ = ( )
!
on “
!
Fnc
” són les forces no conservatives que actuen sobre el sistema
Exemple - 7:
Considerem un cos de massa de 10 kg que es troba en repòs a una alçada de
4m sobre un pla inclinat “30º”. Calcular la velocitat del cos quan arribi al final del
pla inclinat si la força de fricció sobre el cos val 17 N.
Solució: En aquest cas degut a l’existència d’una força de fricció, ja veiem que no es
tracte d’un procés conservatiu i el cos que baixa pel pla inclinat no conservarà la
seva energia mecànica. En aquest cas l’equació de balanç energètic és:
Δ ΔE E W Fp c nc+ = ( )
!
i la força no conservativa és la força de fricció,
! !
F fnc r= .
En la situació inicial l’avaluació energètica és el següent:
𝐸!
!
= 𝑚 · 𝑔 · ℎ i Ec
i
= 0.
Per altra banda, l’avaluació energètica final serà: Ep
f
= 0 i E mvc
f
f=
1
2
2
El treball realitzat per la força no conservativa de fricció prendrà el següent valor:

30. 30
W f f s f
h
sinr r r( ) = − = −
α
Substituint tots aquests resultats a l’equació de balanç energètic, ens queda:
0
1
2
02
− + − = −mgh mv f
h
sinf r
α
La velocitat final ens queda:
𝑣! =
!" !"!
!!
!"# !
!
=
!·!(!"·!,!!!"
!,!)
!"
= 7,16 𝑚/𝑠
Volem insistir, una vegada més, que mentre el cos que baixa pel pla inclinat no es
troba en un únic estat, sinó que, a mesura que baixa, canvia constantment el seu estat
i constantment varien les seves energies cinètica i potencial. Les equacions de balanç
energètic ens permeten comparar qualsevols dos estats diferents del sistema.
En aquest exemple, que hem resolt a través de les equacions de balanç
energètic, no hem tingut en compte en cap moment com ha estat el moviment (
uniforme, accelerat, uniformement accelerat) no ens ha fet falta, ja que l’energia és
una funció d’estat i és suficient comparar els dos estats que ens interessen; aquest és
un dels avantatges d’utilitzar les equacions de balanç energètic. Un altre avantatge,
és que les equacions de balanç energètic són escalares mentre que les equacions de
la Dinàmica són vectorials i, com sabeu, les equacions escalares són més fàcils de
resoldre. Dit això, cal afegir que aquest exemple també es pot resoldre perfectament
utilitzant els principis de la dinàmica i, en aquest cas, com la força resultant és
constant i el moviment és uniformement accelerat, la solució és fàcil. Però, què passa
si la força resultant no és constant i, per tant, el moviment no és uniformement
accelerat?. La resposta és que no passa res, tan sols que la solució no és tan fàcil i
necessitem saber fer operacions que ara desconeixem (resoldre equacions
diferencials). Aquesta és una bona raó per utilitzar les equacions de balanç energètic
sempre que sigui possible.
No sempre és possible aplicar les equacions de balanç energètic.
A continuació us indiquem algunes situacions en els quals hem d’aplicar les
equacions de la dinàmica i no podem aplicar les de balanç energètic:
• Per saber si un cos es troba o no en un estat d’equilibri. Per exemple, saber
l’acceleració amb la qual es mourà un cos quan el col·loquem sobre un pla
inclinat i volem saber si es quedarà parat o si baixarà i, si baixa, amb quina
acceleració ho farà.
• Per trobar l’equació del moviment del cos, e(t), és a dir, saber com evoluciona un
cos al llarg del temps, o trobar v(t), o a(t).
• Per calcular la velocitat amb què ha de girar un satèl·lit per mantenir-se en òrbita
circular al voltant d’un planeta.

31. 31
Exemple - 8: Anem a veure un exemple en què es combinen els 2 mètodes
Considerem un cos de 2 kg de massa que es troba 0,5 m per sobre d’una
molla, de constant K= 200 N/m, col·locada verticalment, tal com mostra la figura 13
(a). Si deixem caure el cos, que inicialment es troba en repòs, sobre la molla,
calculeu:
1. El desplaçament màxim de la molla, x1, respecta a la posició inicial per
l’impacte del cos, tal i com mostra la figura 13 (b).
2. La posició final d’equilibri, x2, respecte la posició inicial de la molla, si el
sistema pateix una petita dissipació d’energia que va esmorteint el moviment
vibratori, tal i com mostra la figura 13 (c).
Figura 13 (a) Figura 13 (b) Figura 13 (c)
Solució:
a. Per trobar quant es comprimeix la molla, el valor d’x1 de la figura (b), ho farem
per balanç d’energies comparant l’estat inicial, figura (a), amb l’estat final ,
figura (b).
En l’estat inicial, amb el criteri signes i origen escollits, el sistema té tan sols
energia potencial gravitatòria de la massa de 2 kg, mentre que l’energia
potencial elàstica és nul·la ja que la molla no es troba deformada:
E vita mghp
i
(gra .) = i E mollap
i
( ) = 0
En l’estat final, figura (b), les respectives energies potencials prenen els següents
valors:
E v mgxp
f
(gra ) = 1
i E molla Kxp
f
( ) =
1
2 1
2
En les equacions de balanç energètic no intervé el temps i, per tant, no
podem obtenir a partir d’elles equacions del tipus e(t), o v(t), o a(t). Tampoc
podem fer comparacions amb altres estats si el sistema es troba en un sol estat
com el d’equilibri(les energies cinètica i potencial del sistema no varien i són
constants). Són aquestes les situacions en les que únicament és possible resoldre
el problema aplicant les equacions de la dinàmica.

32. 32
cal remarcar que amb el nostre criteri de signes, x1 ha de ser negatiu. També és
important veure que en aquest exemple no hi ha variació de l’energia cinètica, ja
que és zero, tant en l’instant inicial com en final.
Si suposem que la pèrdua d’energia del sistema és mínima en una primera
oscil·lació, el sistema serà conservatiu i es complirà l’equació de balanç
energètic per a aquests sistemes.
Δ ΔE v E mollap p(gra ) ( )+ = 0 ⇔ E g E g E m E mp
f
p
i
p
f
p
i
( ) ( ) ( ) ( )− + − = 0
substituïm les expressions ens queda:
mgx mgh Kx1 1
21
2
0 0− + − =
substituint les dades del problema ens queda la següent equació de segon grau:
100 19 6 9 8 01
2
1x x+ − =, ,
D’aquesta equació obtenim dos resultats:
x1= -0,426 m i x1= 0,23 m
El resultat que demana el problema és x1= -0,426 m, ja que ha de ser negatiu.
Quin és el significat físic de l’altre resultat?.
b. En aquest apartat ens trobem en una situació, figura 13 (c), en la qual el sistema
es troba en un únic estat i no tenim informació del valor de la pèrdua d’energia
del sistema, per tant no podem aplicar les equacions de balanç energètic i cal
aplicar la dinàmica.
Per tant, en la situació d’equilibri es complirà que la suma de forces sobre el cos ha
de ser zero:
! !
F pm + = 0.
Si considerem que cap dalt és el sentit positiu i substituïm el valor de les
forces, tenim:
− − =K x i mg iΔ 2 0
! !
.
Ara tan sols ens falta aïllar l’increment d’ics. Δx
mg
K2 = −
substituint el valors de l’enunciat trobem: Δx x m2 2 0 098= = − , , per a la posició
d’equilibri.

33. 33
Exercicis:
E-14. Tenim un cos de 0,8 kg que penja d’una molla de constant K= 1200 N/m.
Quant s’ha estirat la molla? És pot resoldre el problema per energies?
E-15. Llancem un cos de 2 Kg sobre una superfície horitzontal amb una velocitat
inicial de 8 m/s. Després de recorre 3m sobre la superfície, la velocitat s’ha reduït a
la meitat. Calculeu:
a. El treball realitzat per la força de fricció.
b. El valor de la força de fricció.
c. El coeficient de fricció.
E-16. Disparem perpendicularment i cap amunt un projectil de 100 g amb una
velocitat de sortida de 3000 m/s. Calcula l’alçada a què arribarà.
E-17. Deixem lliscar un cos de 4 kg de massa per un pla inclinat 30º i 4 m de
longitud. Si la velocitat inicial del cos és nul·la i la d’arribada al final del pla 3 m/s,
indiqueu:
a. Si el sistema és o no conservatiu.
b. En cas que no ho sigui trobeu el coeficient de fricció.
E-18. Un muntacàrregues, de 200 Kg de massa, baixa amb una acceleració de 0,25
m/s2. Calculeu:
a. La força que fa el cable del muntacàrregues.
b. Les variacions de les energies cinètica, potencial i total després de recórrer 2 m.
RESUM DE LES RELACIONS ENTRE TREBALL I ENERGIA:
• Tan
sols
té
sentit
parlar
d’Energia
Potencials
(gravitatòria,
elàstica,
elèctrica,
...)
en
els
processos
en
què
realitza
treball
una
Força
Conservativa.
La
relació
existent
entre
els
dos
és:
• El
Treball
realitzat
per
una
Força
Resultant
sobre
un
cos,
sigui
conservativa
o
no,
sempre
és
igual
a
la
variació
de
l’Energia
Cinètica
del
cos:
• En
un
Sistema
Conservatiu
les
úniques
forces
que
realitzen
treball
són
les
conservatives.
En
els
sistemes
conservatius
tan
sols
es
produeixen
transformacions
entre
l’energia
potencial
i
la
cinètica
però
l’energia
mecànica
total
és
manté
constant:
o
bé
• Un
sistema
tan
sols
pot
variar,
guanyar
o
perdre,
la
seva
energia
mecànica
si
sobre
ell
realitzen
treball
forces
no
conservatives:

34. 34
9. Qüestions i Problemes.
1. Indica si són vertaderes o falses les següents afirmacions:
a. Si dividim una habitacle amb una paret per la meitat, l’energia interna de
cadascuna de les parts és la meitat de la total inicial.
b. L’energia cinètica d’un mòbil que es desplaça a velocitat “v” depèn del tipus
de moviment que ha realitzat per arribar a aconseguir la velocitat.
c. De l’equació de l’energia cinètica en podem deduir el vector velocitat.
d. L’energia elèctrica “consumida” per una bombeta es dissipa i desapareix.
e. El treball és un dels aspectes en què es presenta l’energia.
f. El treball realitzat per una força sobre un cos sempre és diferent de zero quan
el cos es desplaça.
g. El treball realitzat per una força sobre un cos és igual a l’àrea de la gràfica
força tangencial al desplaçament sobre l’eix “y” i desplaçament eix “x”.
h. Les màquines i motors són enginys que subministren energia.
i. La potència del treball d’una força és constant si la força ho és.
j. La potència ens informa de la quantitat d’energia subministrada per unitat de
temps.
k. Els motors més potents realitzen més treball.
l. El treball realitzat per una força sobre un cos és igual a la variació de
l’energia cinètica del cos.
m. El treball realitzat sobre un cos en contra d’una força conservativa és igual a
la variació de l’energia potencial del cos, sempre que la força resultant sigui
nul·la.
n. La suma dels treballs realitzats per forces no conservatives és igual a la
variació de l’energia mecànica del cos.
o. El treball i l’energia són magnituds escalares però la potència és vectorial.
Solució: a) V; b) F; c) F; d) F; e) F; f) F; g) V; h) F; i) F; j) V; k) F; l) F; m) V;
n) V; o) F.
2. Descriu tots els canvis energètics que es produeixen quan un tenista colpeja la
pilota. Estudia el procés, segueix la pista de l’energia, des de l’instant que el
jugador prepara el cop fins que la pilota arriba al terra i, finalment, es para.
3. Una força de 100 N actua sobre un cos quan aquest es desplaça 5 m en línia recta.
Calcula el treball realitat per la força en els següents casos. Interpreteu els
resultats.
a. La força té la mateixa direcció i sentit que el desplaçament.
b. La força forma un angle de 30º amb el desplaçament.
c. Forma un angle de 120º amb el desplaçament.
d. Forma un angle de 180º amb el desplaçament.
e. Forma un angle de 270º amb el desplaçament.
Sol: a) 500J; b) 433J; c) -250J; d) -500J; e) 0J.

35. 35
4. Fem girar un cos de 200 g que es troba sobre una
plataforma horitzontal a 1 m de l’eix de rotació, la
rapidesa màxima a què es pot moure el cos sense sortir
disparat de la plataforma és 1,26 m/s. Calculeu:
a. Quin tipus d’acceleració té el cos? Quin és el valor
d’aquesta acceleració?.
b. El valor de la força que provoca l’acceleració. Qui o
què realitza la força?.
c. Quin és el valor mínim del coeficient de fregament.
d. El treball realitzat per la força.
Sol: a) Centrípeta, 1,59m/s2
; b) 0,32N, la força de fricció; c) 0,16 ; d) 0J.
5. El valor de la força de fricció que actua sobre un cos és 100 N, calculeu el treball
realitzat per la força quan traslladem el cos des del punt (0,0) fins el punt (4,3),
pels següents camins:
a. Seguint la línia recta que uneix els dos punts.
b. Del punt (0,0) al punt (4,0) i, després, fins el punt (4,3).
c. Una altra manera de definir força conservativa és utilitzar la propietat que
tenen aquestes forces que el seu treball per traslladar un cos entre dos punts
no depèn del camí seguit per anar d’un punt a un altre. Justifica, utilitzant
aquesta definició, si la força de fricció és o no conservativa.
Sol: a) 500J; b) 700J ; NO.
6. Un cos de 30 kg es troba sobre una superfície horitzontal amb la qual té un
coeficient de fricció de 0,2. Calcula la força, paral·lela a la superfície, que cal
aplicar per aconseguir una acceleració de 0,4 m/s2
. Si fem un recorregut de 10m,
calcula el treball realitzat per a cada una de les forces que actuen sobre el cos.
Quina és la variació de l’energia cinètica del cos?.
Sol: W(Fa)= 708J ; W(Ff)= -588J ; W(p)=W(N)=0 ; 𝑊 𝐹! = ∆𝐸! = 120𝐽.
7. Estirem un cos de 60 kg sobre una superfície horitzontal amb la qual té un
coeficient de fricció de 0,4. Estirem el cos al llarg de 20 m amb una força de 240
N que forma un angle de 30º amb l’horitzontal. Calculeu:
a. El treball realitzat per a cada una de les forces que actuen sobre el cos i el
treball realitzat per la força resultant.
b. Representa gràficament la component tangencial de la força aplicada en
funció del desplaçament i troba l’àrea compresa entre la gràfica i l’eix
d’abscisses.
c. Calcula l’acceleració del cos
d. Calcula la variació de l’energia cinètica del cos.
e. Troba l’equació que ens dóna la potencia que desenvolupa la força aplicada a
cada un dels instants que dura el recorregut.
Sol: a) W(p)=W(N)=0 , W(Fa)=4157J , W(Ff)= -3744J , W(FR)= 413J
c)a=0,34m/s2
d) 𝑊 𝐹! = ∆𝐸! = 413𝐽 ; e) mua à 𝑃 =
!!·!"# !"·!.!
!
= 𝑐𝑡𝑒. 𝑡

36. 36
8. La força resultant que actua sobre un cos de 10
kg varia amb l’espai recorregut de la manera
que indica la figura. Calcula el treball realitzat
per la força i la velocitat del cos quan arriba als
15 m si el treball s’inverteix en donar energia
cinètica al cos.
Sol: 250J
9. Un projectil de 0,020 kg és disparat per una escopeta. La longitud del canó és 0,5
m i un diàmetre intern de 8,0 mm. La pressió dels gasos per sobre de
l’atmosfèrica, que considerem constant és de 6,91x103
atmosferes (1 atmosfera =
1,013x105
N/m2
). Suposa que no hi ha fricció i que l’escopeta roman immòbil i
calcula: Recorda que P=F/S.
a. La força dels gasos sobre el projectil i
el treball realitzat per la força.
b. L’energia cinètica del projectil i la
velocitat de sortida del canó.
Sol: a) 35185 N ; b) Ec=17592,5J , v= 1326 m/s.
10. Calcula el temps mínim que necessita un motor d’1 CV de potència efectiva, la
transmet al moble, per pujar un moble de 120 kg a una alçada de 18 m.
Sol: 28,8s
11. Troba la potència efectiva que desenvolupa un motor quan puja un cos de 120 kg
de massa a una alçada de 100 m en 1 minut.
Sol: 1960 W
12. Un llançador de pes accelera des del repòs fins 15 m/s una bola de 7,3 kg. Si en
el procés inverteix 1,5 s, calcula la potència que transmet ala bola.
Sol: 547,5W
13. Un urbanista treballa en un projecte d’una part de la ciutat que es troba a la falda
d’una muntanya. Quin és el pendent màxim que poden tenir els carrers perquè els
pugui pujar fins i tot un cotxe poc potent de 900 kg i 30 CV amb una velocitat
mínima de 54 Km/h?.
Sol: 9,6º
14. Un pèndol simple està format per una massa de 300 g que penja d’un fil d’1 m de
longitud i massa inapreciable. Separem el pèndol un angle de 30º respecte de la
posició d’equilibri. Calculeu:
a. La variació de l’energia potencial del pèndol en aquest procés.
b. El treball realitzat per cadascuna de les forces que han actuat sobre el sistema
i si el desplaçament s’ha realitzat sense augment de l’energia cinètica.
c. Si deixem en llibertat el sistema, troba la velocitat de la massa quan passi per
la posició d’equilibri.
Sol: a)Ep= 0,39J ; b) W(Fa)= 0,39J , W(p)= -0,39J , W(T)=0J ; c) v=1,6m/s.

37. 37
15. Tarzan corre a 8 m/s i, per a pujar a un arbre de forma ràpida, s’agafa a la carrera
a una liana, de massa inapreciable, que penja verticalment. A quina alçada
aconseguirà arribar Tarzan?. Depèn el resulta de la longitud de la liana?, i de la
massa de Tarzan?.
Sol: 3,27 m, NO i NO.
16. Un cos de massa 4 kg es mou sobre una superfície
horitzontal sense fricció amb una velocitat de 10
m/s. Xoca contra una molla de constant 1000 N/m,
quina és la longitud màxima que es comprimirà la
molla?.
Sol: 0,63m.
17. Un pantà deixa caure aigua a raó de 600 kg/s sobre una turbina generadora
d’electricitat que es troba 100 m més avall. Si el rendiment del mecanisme és del
65%, quina és la potència que subministra la turbina?.
Sol: 382,2x103
W
18. Tenim un cos de 6 kg lligat a una molla de constant 700 N/m. El conjunt es troba
sobre una superfície horitzontal sense fricció. Si estirem el cos de manera que la
magnitud de la força aplicada augmenti amb la mateixa proporció que ho fa la
força de la molla, el cos es desplaçarà sense que guanyi energia cinètica. Així,
augmentem la força aplicada fins un valor màxim de 350 N. Es demana:
a. Quant s’estirarà la molla?.
b. Quin és treball realitzat per la força aplicada?. I per la força de la molla?.
c. Quina és la variació d’energia potencial del sistema?.
d. Si deixem oscil·lar en llibertat al sistema, quina serà la velocitat del cos quan
passi per la posició d’equilibri?.
Sol: a) 0,5 m; b) 87,5J, -87,5J; c) 87,5J; d) 5,4 m/s.
19. Dels extrems d’una corda que passa per una politja pengen dues masses de 3 i 4
kg respectivament. Si, inicialment, les dues masses es troben a la mateixa alçada i
deixem en llibertat el sistema, calcula la velocitat de les masses quan es troben
separades 2 m.
Sol: 1,67 m/s
20. Una massa de 0,6 kg es troba sobre una plataforma horitzontal sense fricció i pot
girar al voltant d’un eix central. La massa es troba lligada a l’eix de rotació per
una molla de 20 cm de longitud quan no està
deformada. Si la constant de la molla és de 400
N/m, i la massa gira amb una velocitat angular de
10,6 rad/s, calcula:
a. L’increment de longitud de la molla.
b. L’energia mecànica del sistema.
Sol: a) 0,04 m ; b) 1,1J

38. 38
21. Des d’1 m per sobre d’una molla que està col·locada verticalment sobre el terra,
deixem caure un cos de 250 g. Calcula la constant de la molla si la seva
deformació màxima, per l’impacte del cos, és de 50 cm.
Sol: K=19,6 N/m
22. Des d’una alçada de 20 m sobre la superfície de la Terra, llancem una massa de
200 g amb una velocitat de 20 m/s i formant un angle de 60º amb l’horitzontal.
Escull com a origen la superfície de la Terra i calcula:
a) L’energia total inicial de la massa (Es considera situació inicial l’instant
que la massa surt amb la velocitat de 20 m/s).
b) L’energia total quan es troba a 25 m sobre el terra.
c) La velocitat del cos per a aquesta alçada.
d) L’alçada màxima a què arribarà i la seva energia cinètica en aquest
instant.
Sol: a) EM= 79,2J ; b) 79,2J ; c) 17,4 m/s ; d) 35,3m , 10J.
23. Calcula el treball necessari per aturar un cotxe de 950 kg que es mou amb una
velocitat de 108 km/h sobre un tram horitzontal.
Sol: 427,5x103
J
24. Una massa de 2 kg és empesa contra una molla, de constant k= 500 N/m,
comprimint-la 20 cm. Es deixa en llibertat el sistema i la molla impulsa el cos
sobre una superfície horitzontal de 20 cm de longitud (que és el que es
comprimeix la molla), que continua amb un pla inclinat 45º. El coeficient de
fricció val 0,2
a. Troba la velocitat del cos quan abandona la molla.
b. Troba l’espai recorregut sobre el pla inclinat.
c. Podries trobar l’equació del moviment del cos, e(t), a partir de les
equacions de balanç energètic?.
Sol: a) 3 m/s ; b) 0,45 m; c) No
25. Deixem caure verticalment una massa de 10 kg des d’una alçada de 20 m i arriba
al terra 2,4 segons més tard. Calcula la velocitat d’arribada al terra i indica si
podem considerar el sistema com a conservatiu. Si no ho és, calcula el treball
realitzat per les forces no conservatives.
Sol: NO, W(Ff)= -571J
26. Un alumne utilitza l’ascensor de l’Institut per pujar al segon pis. Indica les
variacions de les energies cinètica i potencial de l’alumne quan passa pel primer
pis. Introdueix les variables que creguis necessàries.

39. 39
27. Dues vagonetes petites estan pressionant fortament una molla encara que no estan
enganxades a ella, com mostra la figura. Estant inicialment tot el sistema en
repòs. En un moment donat es deixa anar el sistema i les dues vagonetes surten
disparades en sentits contraris i cal suposar que no hi ha fricció:
a. On està emmagatzemada l’energia del
sistema? Quina és la quantitat de moviment
inicial del sistema?.
b. Si la vagoneta de 10 kg surt amb una rapidesa
de 12 m/s, amb quina velocitat sortirà l’altra
vagoneta?
c. Quina era l’energia potencial elàstica de la
molla?.
Sol: a) molla, 0 kg.m/s; b) 20m/s; c) 1920J.
28. Un tauró blanc de 5,4 m de llarg i 2175 kg
de massa es llança des de sota a una
velocitat de 9 m/s contra una foca de 120
kg que prenia el sol tranquil·lament a la
superfície de l’aigua, determina:
a. La velocitat amb què sortirà de l’aigua
el tauró després d’engolir-se la foca
tal i com mostra la imatge. Per a fer
aquest càlcul no tenir en compte
forces de fricció ni pes.
b. Si el temps de l’impacte amb la foca és de 0,6 s quina és la força que hi
hagut entre la foca i el tauró.
Sol: a) 8,53m/s ; b) 1704N
29. Seguint amb el problema anterior: Si l’angle d’incidència del tauró amb la
superfície de l’aigua en el moment d’engolir-se la foca era de 30º i surt de l’aigua
amb el mateix angle respecte a la superfície i surt amb la velocitat que has
calculat en l’aparta “a” del problema anterior, calcula:
a. L’alçada màxima a què arribarà.
b. La distància que hi haurà entre el punt d’on ha sortit de l’aigua i el punt
on torna a caure.
Nota: per aquest problema sí cal tenir en compte la gravetat. Es tracta
d’un moviment parabòlic.
Sol: a) 0,93m ; b) 6,43m

40. 40
30. Tenim dos cossos de masses “ M1= m” i “M2= 2.m” on “m= 3 kg” que es troben
sobre una superfície horitzontal sense fricció. Entre els dos cossos hi ha una
molla pressionen gràcies a unes lligadures externes. La molla , de constant k=
1200 N/m, es troba comprimida 20 cm i no està lligada a cap dels dos cossos. Tot
el sistema està lligat i inicialment en repòs.
a. Quina energia potencial té emmagatzemada la molla? Quina és la
quantitat de moviment total
del sistema en aquesta
situació inicial?.
b. Si traiem les lligadures i
deixem que la molla impulsi
els dos cossos, quina serà l’energia cinètica total de les dues masses
impulsades per la molla? Què valdrà la quantitat de moviment total del
sistema? Quina serà la relació entre les quantitats de moviment de les
dues masses?
c. Dedueix l’expressió de l’energia cinètica en funció de la quantitat de
moviment.
d. Quina serà la quantitat de moviment i la velocitat de cada massa en
abandonar la molla?
Sol: a) 24J; b) 24J, 0 kg.m/s, 𝑝! + 𝑝! = 0 ; c) 𝐸! =
!!
!!
; d) -4,6m/s, 2,3 m/s.
31. Un peix es mou amb acceleracions ràpides i curtes. La seva massa és d’1 kg i es
desplaça gràcies a la seva cua que impulsa 1,5 l d’aigua en 0,5 s i una velocitat de
5 m/s en sentit contrari al moviment. Calcula:
a. La velocitat del peix després de cada impuls.
b. La força que impulsa el peix mentre accelera.
c. L’energia total que consumeix el peix en cada impuls.
d. La potència del peix.
Sol: a) 7,5 m/s; b) 15 N; c) 47J; d) 94W.
32. Un bloc de fusta de 5 kg es troba lligada a una molla de constant 1000 N/m que
es troba sobre una superfície horitzontal sense fricció. Un projectil de 150 g de
massa i una velocitat de 300 m/s, s’incrusta en el bloc de fusta. Calcula:
a. La velocitat del bloc després d’incrustar-se el projectil, tot suposant que es
tracta d’una col·lisió perfectament inelàstica.
b. La longitud que es comprimirà la molla.
Sol: a) 8,74 m/s; b) 0,63m.
33. Calcula la velocitat a la qual es mourà el sistema de
la figura quan la massa que penja hagi baixat 2 m
sortint del repòs. El coeficient de fricció en la
superfície horitzontal és 0,3.
Sol: 3,7 m/s

41. 41
34. El sistema que tenim en la figura es troba inicialment
en repòs i la molla no fa força. La constant de la
molla val 400 N/m, el coeficient de fricció val 0,2 i
les masses respectives són m1= m2= 3 kg. Calcular el
punt més baix que arribarà la massa m1 respecte de
la posició inicial quan es deixa en llibertat al
sistema.
Sol: 0,12m.