SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 78
La transformada de Laplace
Sea  f(t)  una función definida para  t  ≥  0,  su transformada de Laplace se define como: donde  s  es una variable compleja  Se dice que la transformada de Laplace de  f(t)  existe si la integral converge. La transformada de Laplace
Pierre-Simon Laplace   (1749 - 1827)  "Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
[object Object],[object Object],Notación:
Condiciones suficientes de existencia de la TL Si f(t) es continua a trozos en [0,  ∞) y  Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:  Entonces: L{f(t)} = F(s) existe   s > a.
Unicidad de la TL Si f 1 (t) y f 2 (t) poseen la misma TL: L{f 1 (t) } = L{f 2 (t) }= F(s), entonces el teorema de Lerch garantiza que
Calcula la transformada de f(t) = 1: Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
Calcula la transformada de f(t) = t n :
Calcula la transformada de f(t) = e -t :
Calcula la transformada de f(t) = Ae at :
Calcula la transformada de f(t) = sen(at): Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at)
Calculemos la transformada de f(t) = e iat :
c 1 t La función Heaviside o escalón unidad: c 0 1
Función delta de Dirac área = 1 Sea la función parametrizada: Observemos que
Así la transformada de la función delta de Dirac es:
Funciones periódicas Supongamos que  f  ( t ) es una función periódica de periodo  T .  Entonces: donde  F 1 ( s ) es la transformada de Laplace de la función  f ( t )  sobre el primer periodo y cero fuera. T
Demostración
Ejemplo: onda cuadrada a 2a
Tabla de transformadas de Laplace   a s e s n t t s t at n n    1 ! s 1 1 1 1 1 2 
 
 
 
 
 
La TF es un caso particular de la TL Supongamos que    es complejo:    =    + i    Antitransformando tendríamos (observa que    es la variable conjugada):
Recordemos que    =    + i    . Si tomamos    constante: Llegamos a la integral compleja:
Re (  ) Im(  )  - γ es analítica para  todo    perteneciente a la  región en rojo. Camino de integración:    cte y    de - ∞ a  + ∞. Donde suponemos un    tal que Haciendo  s = i   = i(   + i  )  llegamos a la transformada de  Laplace.
Al proceso inverso de encontrar  f(t)  a partir de  F(s)  se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante: conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.  Transformada inversa de Laplace
Re(s) Im(s) γ γ  determina un contorno vertical  en el plano complejo, tomado de  tal manera que todas las singularidades de F(s) queden  a su izquierda. Con condiciones de existencia:
Por ejemplo, determinemos: Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1,  entonces basta con tomar  γ > -1. Tomemos  γ = 0 y el  contorno de integración C de la figura.  Re(s) Im(s) γ=0 -1 C 1 R -R 0 por la desigualdad ML  cuando R ->∞  con t ≥0. Haciendo R ->∞  y utilizando  teoría de residuos:
Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito  de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical  Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para  todo s del semiplano Re(s)     γ y |s| > R, tenemos que Entonces si t > 0: En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s)  polinomios  de grado n y d respectivamente, d > n;  entonces podemos usar la igualdad anterior.
Ejemplo, determinar:
1. Linealidad :   Si  c 1  y  c 2  son constantes,  f 1 (x)  y  f 2 (x)  son funciones cuyas transformadas de Laplace son  F 1 (x)  y  F 2 (x) ,  respectivamente;   entonces: La transformada de Laplace es un operador lineal. Propiedades
Demostración:
2. Desplazamiento temporal   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s F e t t d f e e dt t t f e dt t t u t t f e s X dt t f e s F st s st t st st st                            
Ejemplo: 3 t
3. Desplazamiento en frecuencias Ejemplo:
4. Cambio de escala en tiempo
5. Derivada de la transformada de Laplace
6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:  donde  f(0)  es el valor de  f(t)  en  t = 0. La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:
En forma similar: Demostración:
Supongamos que: Entonces:
 
 
Gracias a esta propiedad y a la linealidad de  la TL podemos convertir una ec. diferencial como en una ec. algebraica Resolver para y(t) Resolver para  Y(s)
Ec. Diferencial Ec. Algebraica Transformada de  Laplace
Si resolvemos la ec. algebraica: y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución,  Y(s) , encontraremos la solución de la ec. diferencial.
Ec. Algebraica Solución de la  Ec. Diferencial Inversa de la  Transformada  de Laplace
La transformada inversa de Laplace de: es
es la solución de la ec. diferencial: De modo que:
Para conseguirlo hemos aplicado: Primero, que la TL y su inversa son lineales: etc... Y segundo, la TF de las derivadas de una  función son:
A este método se le conoce como  cálculo de Heaviside . Por ejemplo: Y antitransformando obtendremos la solución.
Veamos un ejemplo concreto: Resolver la ec. diferencial
Ejemplo Resolver
Ejemplo: Resolver
7. Transformada de Laplace de la integral de una función Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p  ≥ 0,  entonces: para Re(s) > p.
Ejemplo: 8. Transformada de Laplace de f(t)/t
Ejemplo: 9. TF de f(t)cos(at) y f(t)sen(at)
10. Teorema del valor final Si   existe, entonces: 11. Teorema del valor inicial El valor inicial  f(0)  de la función  f(t)  cuya  transformada de Laplace es  F(s),  es:
Recordemos que la operación   se  conoce  como la convolución de  y    y se denota como  La transformada de Laplace de esta operación está dada por:  12. Integral de convolución
Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0,  entonces la convolución queda: Así que para estas funciones podemos definirla convolución  como:
Ejemplo: Verificar que funciona para f(t) = t y g(t) = e -2t  con valores 0 para t < 0.
De hecho, podemos utilizar la convolución para encontrar  transformadas inversas de Laplace:
Resolver la ec.integro-diferencial:
Antitransformando:
Raíces del denominador  D ( s ) o polos de F(s): Caso I  – Polos reales simples Caso II  – Polos reales múltiples Caso III – Polos complejos conjugados Caso IV – Polos complejos conjugados   múltiples Desarrollo en fracciones parciales:  Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa,  descomponiendo la función en componentes más sencillos.
Ejemplo Caso I  – Polos reales simples
 
método alternativo y resolver...
La transformada inversa de Laplace es:
Otro ejemplo Transformada inversa de Laplace:
Caso II  – Polos reales múltiples Ejemplo Polos reales simples Polos reales múltiples
 
Transformada inversa de Laplace:
En general, para polos reales múltiples:
Caso III  – Polos complejos conjugados ejemplo conjugados complejos Transformada inversa de Laplace:
ejemplo Transformada inversa de Laplace: donde
Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III, teniendo en cuenta que trabajamos con complejos. Caso IV  – factores complejos conjugados múltiples

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1
ERICK CONDE
 
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Aplicaciones de las ecuaciones diferencialesAplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Virgilio Granda
 
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferenciales
Solucionario de dennis g zill   ecuaciones diferencialesSolucionario de dennis g zill   ecuaciones diferenciales
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferenciales
jhonpablo8830
 
Solucionario ecuaciones diferenciales
Solucionario ecuaciones diferencialesSolucionario ecuaciones diferenciales
Solucionario ecuaciones diferenciales
Daniel Mg
 
Aplicaciones La Transformada De Laplace
Aplicaciones La Transformada De LaplaceAplicaciones La Transformada De Laplace
Aplicaciones La Transformada De Laplace
KJEP
 
Ejercicios jacobi
Ejercicios jacobiEjercicios jacobi
Ejercicios jacobi
djp951
 
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOLFuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
Francisco Rivas
 
Solucionario ecuaciones diferenciales dennis zill[7a edicion]
Solucionario ecuaciones diferenciales dennis zill[7a edicion]Solucionario ecuaciones diferenciales dennis zill[7a edicion]
Solucionario ecuaciones diferenciales dennis zill[7a edicion]
Laura Cortes
 
Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2
ERICK CONDE
 
Clase 06 aplicaciones de ecuaciones diferenciales
Clase 06  aplicaciones de ecuaciones diferencialesClase 06  aplicaciones de ecuaciones diferenciales
Clase 06 aplicaciones de ecuaciones diferenciales
Jimena Rodriguez
 
Ejercicios propuestos Electrostática
Ejercicios propuestos ElectrostáticaEjercicios propuestos Electrostática
Ejercicios propuestos Electrostática
Kike Prieto
 

La actualidad más candente (20)

Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1
 
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Aplicaciones de las ecuaciones diferencialesAplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
 
ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...
ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...
ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...
 
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferenciales
Solucionario de dennis g zill   ecuaciones diferencialesSolucionario de dennis g zill   ecuaciones diferenciales
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferenciales
 
Aplicaciones de la Transformada de Laplace. 3 ejercicios resueltos por Ing. R...
Aplicaciones de la Transformada de Laplace. 3 ejercicios resueltos por Ing. R...Aplicaciones de la Transformada de Laplace. 3 ejercicios resueltos por Ing. R...
Aplicaciones de la Transformada de Laplace. 3 ejercicios resueltos por Ing. R...
 
Solucionario ecuaciones diferenciales
Solucionario ecuaciones diferencialesSolucionario ecuaciones diferenciales
Solucionario ecuaciones diferenciales
 
Aplicaciones La Transformada De Laplace
Aplicaciones La Transformada De LaplaceAplicaciones La Transformada De Laplace
Aplicaciones La Transformada De Laplace
 
Ejercicios sobre Transformada de Laplace
Ejercicios sobre Transformada de LaplaceEjercicios sobre Transformada de Laplace
Ejercicios sobre Transformada de Laplace
 
Tabla de propiedades de la transformada de laplace
Tabla de propiedades de la transformada de laplaceTabla de propiedades de la transformada de laplace
Tabla de propiedades de la transformada de laplace
 
52983063 series-de-fourier
52983063 series-de-fourier52983063 series-de-fourier
52983063 series-de-fourier
 
Ejercicios jacobi
Ejercicios jacobiEjercicios jacobi
Ejercicios jacobi
 
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOLFuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
 
Transformada de Laplace ejercicios resueltos
Transformada de Laplace ejercicios resueltosTransformada de Laplace ejercicios resueltos
Transformada de Laplace ejercicios resueltos
 
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
 
Solucionario ecuaciones diferenciales dennis zill[7a edicion]
Solucionario ecuaciones diferenciales dennis zill[7a edicion]Solucionario ecuaciones diferenciales dennis zill[7a edicion]
Solucionario ecuaciones diferenciales dennis zill[7a edicion]
 
Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2
 
Clase 06 aplicaciones de ecuaciones diferenciales
Clase 06  aplicaciones de ecuaciones diferencialesClase 06  aplicaciones de ecuaciones diferenciales
Clase 06 aplicaciones de ecuaciones diferenciales
 
Resolución de ecuaciones diferenciales con MATLAB R2015a
Resolución de ecuaciones diferenciales  con  MATLAB  R2015aResolución de ecuaciones diferenciales  con  MATLAB  R2015a
Resolución de ecuaciones diferenciales con MATLAB R2015a
 
Ejercicios propuestos Electrostática
Ejercicios propuestos ElectrostáticaEjercicios propuestos Electrostática
Ejercicios propuestos Electrostática
 
Ejercicios unidad 5
Ejercicios unidad 5Ejercicios unidad 5
Ejercicios unidad 5
 

Destacado (8)

La Transformada De Laplace
La Transformada De LaplaceLa Transformada De Laplace
La Transformada De Laplace
 
Transformada de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
Transformada de Laplace
 
Tabla de Dualidad Transformada Z, Transformada de LaPlace y Discreta.
Tabla de Dualidad Transformada Z, Transformada de LaPlace y Discreta.Tabla de Dualidad Transformada Z, Transformada de LaPlace y Discreta.
Tabla de Dualidad Transformada Z, Transformada de LaPlace y Discreta.
 
Transformadas de laplace
Transformadas de laplaceTransformadas de laplace
Transformadas de laplace
 
Ecuaciones diferenciales demostracion laplace cos(t)
Ecuaciones diferenciales demostracion laplace cos(t)Ecuaciones diferenciales demostracion laplace cos(t)
Ecuaciones diferenciales demostracion laplace cos(t)
 
Aplicaciones Reales Laplace
Aplicaciones Reales LaplaceAplicaciones Reales Laplace
Aplicaciones Reales Laplace
 
Tabla de transformadas de laplace
Tabla de transformadas de laplaceTabla de transformadas de laplace
Tabla de transformadas de laplace
 
G1 transformada de laplace
G1 transformada de laplaceG1 transformada de laplace
G1 transformada de laplace
 

Similar a 11 Transformada De Laplace

Transformada inversa de laplace
Transformada inversa de laplaceTransformada inversa de laplace
Transformada inversa de laplace
David Palacios
 
G2 monografia transformada de laplace
G2 monografia transformada de laplaceG2 monografia transformada de laplace
G2 monografia transformada de laplace
Centro de Multimedios
 
Transformada de laplace
Transformada de laplaceTransformada de laplace
Transformada de laplace
genessis_10
 

Similar a 11 Transformada De Laplace (20)

Transformada inversa de laplace
Transformada inversa de laplaceTransformada inversa de laplace
Transformada inversa de laplace
 
Transformada de laplace
Transformada de laplaceTransformada de laplace
Transformada de laplace
 
G2 monografia transformada de laplace
G2 monografia transformada de laplaceG2 monografia transformada de laplace
G2 monografia transformada de laplace
 
Tema iii transformada de laplace matematica iv uts
Tema iii transformada de laplace matematica iv utsTema iii transformada de laplace matematica iv uts
Tema iii transformada de laplace matematica iv uts
 
Laplace
LaplaceLaplace
Laplace
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE
 TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
 
Unidad 3 ed
Unidad 3 edUnidad 3 ed
Unidad 3 ed
 
Ampte07
Ampte07Ampte07
Ampte07
 
TEORÍA E.D.
TEORÍA E.D.TEORÍA E.D.
TEORÍA E.D.
 
Derivada de la transformada
Derivada de la transformadaDerivada de la transformada
Derivada de la transformada
 
oriana hidalgo
oriana hidalgooriana hidalgo
oriana hidalgo
 
Tanformacion laplace
Tanformacion laplaceTanformacion laplace
Tanformacion laplace
 
Teoria de tranformada de la place
Teoria de tranformada de la placeTeoria de tranformada de la place
Teoria de tranformada de la place
 
Unidad iii
Unidad iiiUnidad iii
Unidad iii
 
Transformada de laplace
Transformada de laplaceTransformada de laplace
Transformada de laplace
 
Transformada de laplace
Transformada de laplaceTransformada de laplace
Transformada de laplace
 
Resumen laplace
Resumen laplaceResumen laplace
Resumen laplace
 
5.Transformada_de_Laplace.pdf
5.Transformada_de_Laplace.pdf5.Transformada_de_Laplace.pdf
5.Transformada_de_Laplace.pdf
 
Transformada de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
Transformada de Laplace
 
Transformada de laplace
Transformada de laplaceTransformada de laplace
Transformada de laplace
 

11 Transformada De Laplace

  • 2. Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como: donde s es una variable compleja Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge. La transformada de Laplace
  • 3. Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) &quot;Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos.&quot;
  • 4.
  • 5. Condiciones suficientes de existencia de la TL Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito: Entonces: L{f(t)} = F(s) existe  s > a.
  • 6. Unicidad de la TL Si f 1 (t) y f 2 (t) poseen la misma TL: L{f 1 (t) } = L{f 2 (t) }= F(s), entonces el teorema de Lerch garantiza que
  • 7. Calcula la transformada de f(t) = 1: Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
  • 8. Calcula la transformada de f(t) = t n :
  • 9. Calcula la transformada de f(t) = e -t :
  • 10. Calcula la transformada de f(t) = Ae at :
  • 11. Calcula la transformada de f(t) = sen(at): Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at)
  • 12. Calculemos la transformada de f(t) = e iat :
  • 13. c 1 t La función Heaviside o escalón unidad: c 0 1
  • 14. Función delta de Dirac área = 1 Sea la función parametrizada: Observemos que
  • 15. Así la transformada de la función delta de Dirac es:
  • 16. Funciones periódicas Supongamos que f ( t ) es una función periódica de periodo T . Entonces: donde F 1 ( s ) es la transformada de Laplace de la función f ( t ) sobre el primer periodo y cero fuera. T
  • 19. Tabla de transformadas de Laplace   a s e s n t t s t at n n    1 ! s 1 1 1 1 1 2 
  • 20.  
  • 21.  
  • 22.  
  • 23.  
  • 24.  
  • 25. La TF es un caso particular de la TL Supongamos que  es complejo:  =  + i  Antitransformando tendríamos (observa que  es la variable conjugada):
  • 26. Recordemos que  =  + i  . Si tomamos  constante: Llegamos a la integral compleja:
  • 27. Re (  ) Im(  )  - γ es analítica para todo  perteneciente a la región en rojo. Camino de integración:  cte y  de - ∞ a + ∞. Donde suponemos un  tal que Haciendo s = i  = i(  + i  ) llegamos a la transformada de Laplace.
  • 28. Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante: conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin. Transformada inversa de Laplace
  • 29. Re(s) Im(s) γ γ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas las singularidades de F(s) queden a su izquierda. Con condiciones de existencia:
  • 30. Por ejemplo, determinemos: Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1, entonces basta con tomar γ > -1. Tomemos γ = 0 y el contorno de integración C de la figura. Re(s) Im(s) γ=0 -1 C 1 R -R 0 por la desigualdad ML cuando R ->∞ con t ≥0. Haciendo R ->∞ y utilizando teoría de residuos:
  • 31. Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para todo s del semiplano Re(s)  γ y |s| > R, tenemos que Entonces si t > 0: En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s) polinomios de grado n y d respectivamente, d > n; entonces podemos usar la igualdad anterior.
  • 33. 1. Linealidad : Si c 1 y c 2 son constantes, f 1 (x) y f 2 (x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F 1 (x) y F 2 (x) , respectivamente; entonces: La transformada de Laplace es un operador lineal. Propiedades
  • 35. 2. Desplazamiento temporal   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s F e t t d f e e dt t t f e dt t t u t t f e s X dt t f e s F st s st t st st st                            
  • 37. 3. Desplazamiento en frecuencias Ejemplo:
  • 38. 4. Cambio de escala en tiempo
  • 39. 5. Derivada de la transformada de Laplace
  • 40. 6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por: donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0. La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:
  • 41. En forma similar: Demostración:
  • 43.  
  • 44.  
  • 45. Gracias a esta propiedad y a la linealidad de la TL podemos convertir una ec. diferencial como en una ec. algebraica Resolver para y(t) Resolver para Y(s)
  • 46. Ec. Diferencial Ec. Algebraica Transformada de Laplace
  • 47. Si resolvemos la ec. algebraica: y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s) , encontraremos la solución de la ec. diferencial.
  • 48. Ec. Algebraica Solución de la Ec. Diferencial Inversa de la Transformada de Laplace
  • 49. La transformada inversa de Laplace de: es
  • 50. es la solución de la ec. diferencial: De modo que:
  • 51. Para conseguirlo hemos aplicado: Primero, que la TL y su inversa son lineales: etc... Y segundo, la TF de las derivadas de una función son:
  • 52. A este método se le conoce como cálculo de Heaviside . Por ejemplo: Y antitransformando obtendremos la solución.
  • 53. Veamos un ejemplo concreto: Resolver la ec. diferencial
  • 56. 7. Transformada de Laplace de la integral de una función Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p ≥ 0, entonces: para Re(s) > p.
  • 57. Ejemplo: 8. Transformada de Laplace de f(t)/t
  • 58. Ejemplo: 9. TF de f(t)cos(at) y f(t)sen(at)
  • 59. 10. Teorema del valor final Si existe, entonces: 11. Teorema del valor inicial El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es:
  • 60. Recordemos que la operación se conoce como la convolución de y y se denota como La transformada de Laplace de esta operación está dada por: 12. Integral de convolución
  • 61. Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0, entonces la convolución queda: Así que para estas funciones podemos definirla convolución como:
  • 62. Ejemplo: Verificar que funciona para f(t) = t y g(t) = e -2t con valores 0 para t < 0.
  • 63. De hecho, podemos utilizar la convolución para encontrar transformadas inversas de Laplace:
  • 66. Raíces del denominador D ( s ) o polos de F(s): Caso I – Polos reales simples Caso II – Polos reales múltiples Caso III – Polos complejos conjugados Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples Desarrollo en fracciones parciales: Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos.
  • 67. Ejemplo Caso I – Polos reales simples
  • 68.  
  • 69. método alternativo y resolver...
  • 70. La transformada inversa de Laplace es:
  • 71. Otro ejemplo Transformada inversa de Laplace:
  • 72. Caso II – Polos reales múltiples Ejemplo Polos reales simples Polos reales múltiples
  • 73.  
  • 75. En general, para polos reales múltiples:
  • 76. Caso III – Polos complejos conjugados ejemplo conjugados complejos Transformada inversa de Laplace:
  • 77. ejemplo Transformada inversa de Laplace: donde
  • 78. Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III, teniendo en cuenta que trabajamos con complejos. Caso IV – factores complejos conjugados múltiples