1. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
____________________________________________________________________________
Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου – Γενικής Παιδείας – Επανάληψη Διαφορικού Λογισμού – 2ο Υυλλάδιο
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης
2ο
Υυλλάδιο
1ο
ΘΕΜΑ
Δίνεται συνάρτηση f(x) = x3.
Α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο A(2, f(2))
Β. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εφαπτόμενη έχει με την Cf και άλλο κοινό σημείο Β, εκτός του Α
και να το βρείτε.
Γ. Να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτόμενης της Cf στο Β είναι τετραπλάσια από τη κλίση της
εφαπτόμενης της Cf στο Α.
2ο
ΘΕΜΑ
Έστω g συνάρτηση παραγωγίσιμη και g(2) = 5 καθώς και g΄(2) = 3.
Αν f(x) = x2∙g(x) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο Α(2, f(2))
3ο
ΘΕΜΑ
Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο g(x) =   )x(fxf  , x є (0, +∞), f παραγωγίσιμη με
f(x) є (0, +∞) με f(2) = 4, f ΄(2) = 4, f(4) = 4, f ΄(4) = 4.
Α. Να βρείτε τη g΄(x).
Β. Αν η εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(1, f(1))
είναι παράλληλη στην ευθεία ε: y = 1, να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης g στο σημείο Β(1, g(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.
Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g στο
σημείο Γ(4, g(4))
4ο
ΘΕΜΑ
Εταιρεία κατασκευής Ηλεκτρονικών υπολογιστών χρησιμοποιεί, ως μοντέλο πώλησης των προϊόντων
της, συναρτήσει του χρόνου τη σχέση:
4t
t80
)t(K 2

 , όπου t ο χρόνος κυκλοφορίας του προϊόντος σε
μήνες και K(t) το πλήθος των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών που πουλά στον αντίστοιχο χρόνο σε
χιλιάδες τεμάχια.
Α. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής των πωλήσεων της εταιρείας μετά την πάροδο ενός μήνα από την
κυκλοφορία κάποιου προϊόντος της στην αγορά.
Β. Να βρεθεί πότε οι πωλήσεις κάποιου προϊόντος της εταιρείας μεγιστοποιούνται.
Γ. Να βρεθεί η μέγιστη ποσότητα σε χιλιάδες τεμάχια που πουλά η εταιρεία.

2. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
____________________________________________________________________________
Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου – Γενικής Παιδείας – Επανάληψη Διαφορικού Λογισμού – 2ο Υυλλάδιο
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης
5ο
ΘΕΜΑ
Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π(x) κάθε μονάδας ενός προϊόντος συναρτήσει του
πλήθους x μονάδων παραγωγής σύμφωνα με τον τύπο Π(x) = 10008 –
3
x2
.
Το κόστος παραγωγής ανά μονάδα προϊόντος είναι 6 ευρώ και επιπλέον η βιομηχανία πληρώνει 2
ευρώ φόρο για κάθε μονάδα προϊόντος.
Να βρείτε:
Α. Τα έσοδα Ε(x) από την πώληση x μονάδων προϊόντος
Β. Το κόστος Κ(x) των x μονάδων προϊόντος
Γ. Πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιομηχανία ώστε να έχει το μέγιστο κέρδος;
6ο
ΘΕΜΑ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 – 6x.
Α. Να υπολογιστεί το όριο:
3x
)x(f
im
3x 



Β. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόμενης στο Α(–2, f(–2))
Γ. Να εξετάσετε αν η παραπάνω εφαπτόμενη τέμνει την γραφική παράσταση της f και σε άλλο σημείο
εκτός του Α.
Δ. Να αποδείξετε ότι: 2
x)x(f)x(fx 
7ο
ΘΕΜΑ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + 3x2 – 9x + α2 – 4α, x ∈ℝ όπου α πραγματική σταθερά
Α. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο.
Β. Αν f(x1) = 3f(x2) + 50, όπου x1 η θέση του τοπικού μεγίστου και x2 η θέση του τοπικού ελαχίστου,
να βρείτε την τιμή του πραγματικού α.
Γ. Για την τιμή του α που βρήκατε στο Β. ερώτημα να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων της Cf
που είναι κάθετες στο y΄y άξονα.
Δ. Να βρείτε την τιμή του x για την οποία ο ρυθμός μεταβολής γίνεται ελάχιστος.