Método simplex

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se explica el método simplex así como ejemplos del mismo.

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Método simplex

  1. 1. MÉTODO SIMPLEX El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución. COMO SE APLICA EL MÉTODO SIMPLEX Para la aplicación del método Simplex se transforma el modelo de programación original, formado por restricciones funcionales de desigualdad, en un modelo de forma estándar, integrado por restricciones de igualdad equivalentes. Esta conversión se logra con la introducción de variables de holguras y/o superávit. QUIEN CREO EL MÉTODO SIMPLEX Este famosísimométodo fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.. PARA QUE SE UTILIZA EL MÉTODO SIMPLEX El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables.
  2. 2. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. FASES DEL MÉTODO SIMPLEX 1. Convertir las desigualdades en igualdades 2. Igualar la función objetivo a cero 3. Escribir la tabla inicial simplex 4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base 5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. ¿QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD? Una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos, (o listado finito de elementos), los cuales pueden ser números reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de columnas. La matriz idéntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo número tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y todos los demás componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idéntica o identidad de orden n, y se denota por: La importancia de la teoría de matrices en el Método Simplex es fundamental, dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus problemas.
  3. 3. VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex. Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=". Por ejemplo:
  4. 4. Ejemplos de Método simplex. Despejar: 1) Z=300x1+500x2 x1+2x2=120 x1+x2+4x=90 Z -300x1-500x2 x1+2x2+x3=120 2) Z -300x1-500x2=0 x1+2x2+x3=120 x1+x2+x4=90 3) Tabla simplex Z X1 X2 X3 X4 Resultados 1 -300 -500 0 0 0 120/2=80 90/1=90
  5. 5. 0 1 2 1 0 120 0 1 1 0 1 90 Z X1 X2 X3 X4 Resultados 1 -300 -500 0 0 0 0 1/2 1 1/2 0 60 0 1 1 0 1 90 Z X1 X2 X3 X4 Resultados 0 1/2 1 1/2 0 60 1 -300 -500 0 0 0 1 -50 0 250 0 30000 Z X1 X2 X3 X4 Resultados 0 1/2 1 1/2 0 60 Columna pivote. Número pivote.
  6. 6. 0 1 1 0 1 90 0 1/2 0 -1/2 1 30 Z X1 X2 X3 X4 Resultados 1 -50 0 250 0 30000 0 1/2 1 1/2 0 60 0 1/2 0 -1/2 1 30 Z X1 X2 X3 X4 Resultados 1 -50 0 250 0 30000 0 1/2 1 1/2 0 60 0 1 0 -1 2 60 Z X1 X2 X3 X4 Resultados 1 0 0 200 100 33000 0 0 1 1 1 30 0 1 0 -1 2 60 Resultado= Z=33000 x1=60 x2=30 Una empresafabrica ensambles tipo A y tipo B aprovechando las unidades sobrantes que son conectoresy tubos. Ensamble. Mp Ax1 Bx2 u.disponibles Con 5 5 35 Tubo 6 9 56 60/(1/2)=120 30/(1/2)
  7. 7. El valor de los ensambles Tipo a $10 USD Tipo b $12 USD Función objetivo (Max) Z=10x1+12x2 Restricciones 5x1+5x2<=35 6x1+9x2<=56 X1+x2>=0 Despejes Z X1 X2 X3 X4 Resultados 1 -10 -12 0 0 0 0 5 5 1 0 35/5=5 0 6 9 0 1 60 Z X1 X2 X3 X4 Resultados 1 -10 -12 0 0 0 0 5 5 1 0 35 0 2/3 9 0 1/9 56/9 Z X1 X2 X3 X4 Resultados 1 -2 0 0 4/3 224/3
  8. 8. 0 5/3 0 1 -5/9 35/9=5/3 0 2/3 1 0 1/9 -56/9=2/3 Z X1 X2 X3 X4 Resultados 1 0 0 6/5 2/3 238/3 0 1 0 3/5 -1/9 7/3 0 0 1 -2/5 3/9 14/3 Z= 238/3 X1=7/3 X2=14/3 Con 7/3 del ensamble tipo a 14/3 del ensamble tipo b se obtiene una ganancia max de 238/3 Maximizar Z= 150x1 +200x2 Sujeto a 40x1+60x2<=74000 Sujeto b 20x1+25x2<=3300 Sujeto c X1+x2<=150 Despeje Z= 150x1 +200x2=0 40x1+60x2+x3=74000 20x1+25x2+x4=3300 X1+x2+x5=150
  9. 9. Z X1 X2 X3 X4 X5 resultado 1 -150 -200 0 0 0 0 0 40 60 1 0 0 7400 0 20 25 0 1 0 33000 0 1 1 0 0 1 150 Z X1 X2 X3 X4 X5 resultado 1 -150 -200 0 0 0 0 0 2/3 1 1/60 0 0 7400/60 0 20 25 0 1 0 33000 0 1 1 0 0 1 150 Z X1 X2 X3 X4 X5 resultado 1 -50/3 0 10/3 0 0 74000/3 0 2/3 1 1/60 0 0 7400/60 0 10/3 0 -5/12 1 0 650/3 0 1/3 0 -1/60 0 1 80/3 Z X1 X2 X3 X4 X5 resultado 1 -50/3 0 10/3 0 0 25750 0 2/3 1 1/60 0 0 80 0 1 0 1/8 3/10 0 65 0 1/3 0 1/60 -1/10 1 5 Z=25750 X2=80 sujeto a X1=65 sujeto b X5=5 sujeto c
  10. 10. Maximizar Z= 50x1+56x2 Sujeto a x1+2x<=80 Sujeto b 3x1+2x2<=220 Sujeto c 2x1+3x2<=210 Z X1 X2 X3 X4 X5 Resultado 1 -50 -56 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 80 0 3 2 0 1 0 220 0 2 3 0 0 1 210 Z X1 X2 X3 X4 X5 Resultado 1 -38/3 0 0 0 56/3 3920 0 1/3 0 1 0 1/3 10 0 5/3 0 0 1 -2/3 80 0 2/3 1 0 0 1/3 70 Z X1 X2 X3 X4 X5 Resultado 1 0 0 38 0 6 4300 0 1 0 3 0 -1 30 0 0 0 5 1 -4/3 60 0 0 1 0 0 1 50 Z=4300 X1=30 X2=60 X3=50 Maximizar
  11. 11. Z=2x1+x2-3x3+5x4 Sujeto a x1+7x2+3x3+7x4<=46 Sujeto b 3x1-x2+x3+2x4<=8 Sujeto c 2x1+3x2-x3+x4<=10 Donde X1,x2,x3,x4>=0 Z-2x1+x2-3x3+5x4=0 x1+7x2+3x3+7x4+x5=46 3x1-x2+x3+2x4+x6=8 2x1+3x2-x3+x4+x7=10 Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 resultado 1 -2 -1 3 -5 0 0 0 0 0 1 7 3 7 1 0 0 446 0 3 -1 1 2 0 1 0 8 0 2 3 -1 1 0 0 1 10 Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 resultado 1 11/2 -7/2 6/2 0 0 5/2 0 20 0 -19/2 -21/2 -1/2 0 1 -7/2 0 18 0 3/2 -1/2 ½ 1 0 ½ 0 4 0 1/2 7/2 -3/2 0 0 -1/2 1 2 Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 resultado 1 7/3 0 16/3 0 1/3 4/3 0 26 0 - 1 -1/21 0 2/21 -1/3 0 12/7
  12. 12. 19/21 0 22/21 0 10/21 1 1/21 1/3 0 34/7 0 11/3 0 -4/3 0 -1/3 2/3 1 0 Z=26 X2=12/7 X4=34/7 X7=0 BIBLIOGRAFÍA http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el- ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de- operaciones/m%C3%A9todo-simplex/ http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_s%C3%ADmplex http://es.slideshare.net/eileen017/el-metodo-simplex-3189293 http://investigaciondeoperacionesind331.blogspot.mx/p/metodo- simplex.html

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