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Sistema de ecuaciones lineales 3x3
Método de eliminación Gauss Jordán
¿Qué es el método de Gauss Jordán 3x3?
El método de eliminación de Gauss-Jordán se refiere a
una estrategia utilizada para obtener la forma escalonada
por filas de una matriz. El objetivo es escribir la matriz A
A con el número 1 como entrada en la diagonal principal y
con todos los ceros debajo
Método de eliminación Gauss Jordán
 Definición del método de Gauss
 El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente
 de forma que este sea escalonado.
 Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que
pondremos
 los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).
Sistemas de ecuaciones equivalentes
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si se cumple que:
1 = Todos los coeficientes son ceros.
2 = Dos filas son iguales.
3 = Una fila es proporcional a otra
4 = Una fila es combinación lineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1 = Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma
expresión, el sistema resultante es equivalente.
2 = Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un
número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3 = Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo
sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
 4 Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones
del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos,resulta otro sistema
equivalente al primero.
 5 Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro
sistema equivalente.
 Ejemplo
 Sumamos en ambos lados de la primera ecuación y se obtiene
 Por el primer criterio de equivalencia tenemos que el sistema original es equivalente con el
sistema
 EJEMPLO
 Multiplicamos por ambos lados de las ecuaciones y por el segundo criterio de equivalencia se tiene que el
sistema original es equivalente con el nuevo sistema obtenido
 A la tercera ecuación le sumamos la segunda ecuacíon, se obtiene un sistema de ecuaciones que por el
criterio 3 es equivalente con el sistema original
 Sustituimos la segunda ecuación por la suma de la primera ecuación con la segunda ecuación multiplicada
por tres. Se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 4 es equivalente con el sistema original
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  • 1. Sistema de ecuaciones lineales 3x3 Método de eliminación Gauss Jordán ¿Qué es el método de Gauss Jordán 3x3? El método de eliminación de Gauss-Jordán se refiere a una estrategia utilizada para obtener la forma escalonada por filas de una matriz. El objetivo es escribir la matriz A A con el número 1 como entrada en la diagonal principal y con todos los ceros debajo
  • 2. Método de eliminación Gauss Jordán  Definición del método de Gauss  El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente  de forma que este sea escalonado.  Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos  los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).
  • 3. Sistemas de ecuaciones equivalentes Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si se cumple que: 1 = Todos los coeficientes son ceros. 2 = Dos filas son iguales. 3 = Una fila es proporcional a otra 4 = Una fila es combinación lineal de otras. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones 1 = Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente. 2 = Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente. 3 = Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
  • 4.  4 Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos,resulta otro sistema equivalente al primero.  5 Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.  Ejemplo
  • 5.  Sumamos en ambos lados de la primera ecuación y se obtiene  Por el primer criterio de equivalencia tenemos que el sistema original es equivalente con el sistema  EJEMPLO
  • 6.  Multiplicamos por ambos lados de las ecuaciones y por el segundo criterio de equivalencia se tiene que el sistema original es equivalente con el nuevo sistema obtenido  A la tercera ecuación le sumamos la segunda ecuacíon, se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 3 es equivalente con el sistema original  Sustituimos la segunda ecuación por la suma de la primera ecuación con la segunda ecuación multiplicada por tres. Se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 4 es equivalente con el sistema original
  • 7. Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene:  1) Una sola (única) solución. Ocurre este caso cuando las dos rectas correspondientes no están paralelas, y entonces se cruzan en un solo punto.  El sistema 2x – y = 0 x + y = 1  tiene la única solución x = 1/3, y = 2/3.  El sistema 2x - y = 0 4x - 2y = 1  (2) Ninguna solución. Ocurre este caso cuando las dos rectas son paralelas y distintas.  no tiene ninguna solución.  El sistema  x - y = 2 -2x + 2y = -4
  • 8.  (3) Un número infinito de soluciones. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones representan la misma recta. En este caso, se represente las soluciones por designar una variable como arbitraria y despejar a la otra  tiene un número infinito de soluciones: x = 2 + y, y arbitraria.