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Sistemas Lineales
                     Helmuth villavicencio fern´ndez
                                               a


  1. Resolver

                               3x − y + 5z   = −4
                              4x + 5y + 3z   = 5
                               x + 6y − 2z   = 9



Soluci´n
      o
                                   
                         3 −1 5
  1. Hagamos A =  4 5           3  matriz del sistema lineal.
                         1 6 −2
     Para resolver el sistema dado usaremos el m´todo de la ”matriz ampliada”.
                                                e
                                                                   
              3 −1 5 −4                            0 −19 11 −31
                                    f − 3f3
           4 5          3    5  1              4    5      3    5 
                                       ∼
              1 6 −2 9                             1   6     −2    9

    Donde f1 − 3f3 significa que a la primera fila le restamos el triple de la
    tercera, as´ el resto.
               ı
                                                                  
            0 −19 11 −31                        0 −19 11 −31
          4                     f2 − 4f3     0 −19 11 −31 
                  5      3 5 
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            1     6     −2 9                    1     6   −2     9
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             0   −19 11     −31                  0    −19    11   −31
                                  f − f1
            0   −19 11     −31  2             0     0      0    0 
                                    ∼
             1    6  −2      9                   1     6     −2    9
    Como el rango de la matriz inicial es igual al rango de la matriz ampliada,
    entonces el sistema es compatible.
    Como rango(A) = 2 < 3 donde 3 = variables ⇒ el sistema inicial posee
    infinitas soluciones con 3 − 2 = 1 variable libre.
                     31 11t                     28t 15
    Si z = t ⇒ y =      +    reemplazando x = −    −
                     19   19                    19   19
                                   28t 15 31 11t
                     ∴ C.S. = {−      − ;    +    ;t : t ∈    }
                                   19  19 19   19




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Sistemali1

  • 1. Sistemas Lineales Helmuth villavicencio fern´ndez a 1. Resolver 3x − y + 5z = −4 4x + 5y + 3z = 5 x + 6y − 2z = 9 Soluci´n o   3 −1 5 1. Hagamos A =  4 5 3  matriz del sistema lineal. 1 6 −2 Para resolver el sistema dado usaremos el m´todo de la ”matriz ampliada”. e     3 −1 5 −4 0 −19 11 −31 f − 3f3  4 5 3 5  1  4 5 3 5  ∼ 1 6 −2 9 1 6 −2 9 Donde f1 − 3f3 significa que a la primera fila le restamos el triple de la tercera, as´ el resto. ı     0 −19 11 −31 0 −19 11 −31  4 f2 − 4f3  0 −19 11 −31  5 3 5  ∼ 1 6 −2 9 1 6 −2 9     0 −19 11 −31 0 −19 11 −31 f − f1  0 −19 11 −31  2  0 0 0 0  ∼ 1 6 −2 9 1 6 −2 9 Como el rango de la matriz inicial es igual al rango de la matriz ampliada, entonces el sistema es compatible. Como rango(A) = 2 < 3 donde 3 = variables ⇒ el sistema inicial posee infinitas soluciones con 3 − 2 = 1 variable libre. 31 11t 28t 15 Si z = t ⇒ y = + reemplazando x = − − 19 19 19 19 28t 15 31 11t ∴ C.S. = {− − ; + ;t : t ∈ } 19 19 19 19 1