Matematica grupo # 7

PROYECTO DE AULA
Sistema Nacional de Nivelación y
Admisión (SNNA)
Área de Educación Comercial y Administración
Carrera: Ingeniería en Marketing
Materia: Matemáticas
Estudiante:ArelysAlburqueque
Viviana Castro
Karen Jatti
Viviana Niño
JamilexRodriguez
YomiraRodriguez
Docente: Licdo. Víctor Chicaiza

PROYECTO DE AULA
Contenido
SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS...................................................................................... 3
SIMPLIFICAR FRACIONES CON EXPONENTES ................................................................................ 4
SIMPLIFICAR FRACIONES CON RADICALES.................................................................................... 5
SUMA O DIFERENCIAS DE POTENCIAS IMPAR. ............................................................................. 7
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICCIÓN Y SUSTRACIÓN .............................................. 8
RACIONALIZACIÓN ........................................................................................................................ 9
EXPRESIONES CON DENOMINADORES CON RADICALES (SUMA O RESTA DE RADICALES)........ 10
ECUACIONES................................................................................................................................ 11
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNICA ........................................................... 11
PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO. ................................................................. 12
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS..................................................... 14
INECUACIONES LINEALES ............................................................................................................ 18
INECUACIONES CUADRATICAS.................................................................................................... 19
SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO........................................................................ 20
SISTEMA DE DOS ECUACIONES ................................................................................................... 21
METODO GRÁFICO ...................................................................................................................... 21
METODO DE REDUCCIÓN............................................................................................................ 23
METODO DE IGUALACIÓN........................................................................................................... 24
METODO DE SUSTITUCIÓN ......................................................................................................... 25
MÉTODO DETERMINANTE........................................................................................................... 26
SISTEMA DE TRES ECUACIUONES CON UNA INCOGNICA ........................................................... 27
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ................................................................................................. 29
CONJUNTOS................................................................................................................................. 31

SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN: Es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos
entre sí. Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es
irreducible y entonces la fracción está reducida a su más simple expresión o su mínima
expresión.
PASOS:
1. Podemos resolver por partes ósea el numerador primero y después el
denominador o todo al mismo tiempo.
2. Procedemos a verificar si nos encontramos con unos de los casos de
factorización y lo resolvemos.
3. Luego realizamos la suma o la diferencia de fracciones. Tomamos un numerador
que le corresponda tanto al primer factor como en el segundo factor. MCD. Con el
denominador común se divide para el denominador y se multiplica por el
numerador.
4. Se multiplica extremos con extremos, medios con medios.
5. Si se puede se reduce términos semejantes.
6. Obtenemos la respuesta.
EJEMPLO:
1.- X+2 3
X2 _
1 X+1
4X – 1
X2
+ 2x -3
X + 2 3(X-1)
(X+1) (X-1) (X+1) (X-1)
4X - 1
(X+3) (X-1)

(X + 2) + 3 (X - 1)
(X - 1) (X + 1)
(4X - 1)
(X + 3) (X - 1)
X + 2 + 3X - 3
(X - 1) (X + 1)
4X – 1
(X + 3) (X -1)
4X – 1
(X - 1) (X + 1)
4X – 1
(X + 3) (X -1)
(4X – 1) (X + 3) (X - 1)
(X-1) (X+1) (4X-1)
X – 3
X + 1 R//
SIMPLIFICAR FRACIONES CON EXPONENTES
2-4 -2
2-2
- 2-3
1 -2
24
1 1
2 2
8

1 -2
24
1 1
4 8
-2
1
24
1
8
-2
23
24
-2
2-1
22
= R//
SIMPLIFICAR FRACIONES CON RADICALES
Es reducir a su más simple expresión.
Un radical esta reducido a su más simple expresión cuando la cantidad su radical es
entera y del menor grado posible.
Para simplificar radicales debe tenerse muy presente (361) que para extraer una raíz a
un producto se extrae dicha raíz a cada uno de los factores, o sea. En la simplificación
de radicales consideramos.
Pasos:
1.- Convertimos los radicales a exponentes.
2.- Cuando tenemos una multiplicación con exponentes, los exponentes se suman.

3.-Al momento que nos queda un factor así (21/2
)1/3
los exponentes se deben de
multiplicar.
4.- Luego que tenemos una fracción con la misma base se procede a restar los
exponentes.
5.- Luego con el resultado que nos queda multiplicamos y nos da el resultado. En este
caso cuando se multiplica una base con exponente los exponentes se deben multiplicar.
Ejemplo:
2 . 23
2 . 4 =
32
21/2
. 23
21/2
. =
25 1/4
2 1/2 +3
21/2
. =
25/4
2 7/2 1/2
21/2
. =
25/4
2 7/4
21/2
. =
25/4
2 1/2 + 7/4 – 5/4
=
22/2
= 2

SUMA O DIFERENCIAS DE POTENCIAS IMPAR.
Se presenta cuando no es factor común o diferencias de cuadrados perfectos se prueba la
suma o diferencia de potencias impares, cuya regla es que se sumen o resten los
términos que tengan potencias iguales pero impares.
ESTRUCTURA
Tienen dos términos de los cuales por lo general se puede extraer la raíz quinta o
séptima y están separados por el signo más o menos
Si el signo es positivo en la respuesta van alternados
Si el signo es negativo en la respuesta van todos positivos
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA SUMA O DIFERENCIA DE DOS
POTENCIAS IMPARES.
1) Se extrae la raíz a la cantidad que están elevados los términos.
2) A las raíces se las opera con el mismo signo, multiplicando por las raíces pero
en un orden, siempre que es el primer término elevada a una potencia menos que
la inicial y la segunda elevada a la cero.
La primera potencia va bajando hasta llegar a cero mientras que la segunda sube
hasta llegar a la potencia menos que la inicial.
Ejemplo:
1+ 128X14
= 1+ 2X2
(1)6
+ (1)5
(2X2
)-(1)4
(2X2
)2
+ (1)3
(2X2
)3
–
12X2
(1)2
(2X2
)4
+ (1) (2X2
)5
- (2X2
)6
R// 16
-2X2
+4X4
-8X6
+16X8
-32X10
+64X12

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICCIÓN Y
SUSTRACIÓN
Pasos:
1.- La raíz cuadrada del primer término y la raíz cuadrada del segundo término y el
doble producto de esas raíces y vemos que ese trinomio no es cuadrado perfecto.
2.- Para que sea un cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término se
convierta lo mismo del segundo pero que el trinomio novaría hay que resaltarle la
mínima cantidad que se suma. Se la suma y se la resta.
3.- Luego las raíces las elevamos al cuadrado menos la cantidad restada.
4.- Se nos presenta una diferencia de cuadrados perfectos y procedemos a resolverlo.
Ejemplo:
121X4
– 133X2
Y2
+ 36Y8
11X2
6Y4
2 (11X 2
. 6Y4
) = 132X2
Y4
121X4
– 133X2
Y2
+ 36Y8
X2
Y2
- X2
Y2
121X4
– 132X2
Y2
+ 36Y8
- X4
Y4
(11X 2
. 6Y4
) – (X2
Y4
)
(11X2
- 6Y4
– XY2
) (11X2
- 6Y4
– XY2
)
(11X2
– XY2
- 6Y4
) (11X2
+ XY2
- 6Y4
) R//

RACIONALIZACIÓN
Definición: Es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción
equivalente cuyo denominador sea racional cuando se racionaliza el denominador
irracional de una fracción desaparece todo signo radical del denominador.
PROCEDIMIENTO PARA RACIONALIZAR.
1) El ejercicio dado se lo multiplica por una diferencia de cuadrados del
denominador según el signo que tenga por ejemplo si es positivo se lo multiplica
por un signo negativo.
2) El resultado de la multiplicación será el denominador por la diferencia obtenida
y en denominador sus términos serán elevados al cuadrado y el numerador
tendrá dicha raíz por la base que tiene.
3) Resuelvo la multiplicación planteada y como las raíces del denominador están
elevados al cuadrado esto significa que se simplificaran.
4) Entonces nuestro denominador se encontrara sin radicales que estarán separados
por el signo menos esto se debe a que es una diferencia.
5) Se resuelve lo que queda establecido en el denominador.
Ejemplo:
7 7 . 5 + 3
= =
5 - 3 5 + 3 5 - 3
7 5 + 7 3
=
5 - 3
7 5 + 7 3
=
5 - 3

7 5 + 7 3
=
2
EXPRESIONES CON DENOMINADORES CON RADICALES
(SUMA O RESTA DE RADICALES)
10 4
1 + 3 2 - 2
10 1- 3 4 2 + 2
1 + 3 1- 3 2 - 2 2 + 2
10 (10 – 1 3) 4 (2 + 2)
(1)2
- 3 (2)2
– ( 2 2
)
10 - 10 3 8 – 4 2
2 2
- 105
(1 – 3) 42
(2 + 2)
21
21
- 5 ( 1 - 5 ) - 2 ( 2 + 2 2 )

- 5 + 5 3 - 4 - 2 2
- 9 + 5 3 - 2 3 R//
ECUACIONES
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNICA
Esta es una operación importantísima que consiste en convertir una ecuación
fraccionaria en una ecuación equivalente entera, es decir, sin denominadores.
La supresión de denominadores se funda en la prioridad, ya conocida de las
igualdades.
Pasos:
1.- Primero pasamos a un lado todas las x y al otro los números enteres.
2.- Procedemos a multiplicar las fracciones dadas
3.- En caso de que se puedas implicar lo hacemos
4.- Para resolver la suma o diferencia de fracciones escogemos un
denominador que satisfaga a cada fracción.
5.- Dividimos el numerador por el denominador multiplicado por el numerador.
6.- Luego igualamos todo a cero, para que se elimine el numerador
multiplicamos tanto del lado derecho como izquierdo.
7.- Volvemos a dejar x a un lado y los números enteros al otro, siempre cuando
pasa un número al otro lado su signo debe ser cambiado.
8.- Como x está multiplicando pasa a dividir y obtenemos el valor de x.
3 2X – 1 - 4 3X + 2 - 1 X - 2 + 1 = 0
5 6 3 4 5 3 5

6X – 3 - 12X + 8 - X – 2 = 1
30 12 15 5
1
6X – 3 - 4 (3X + 2) - X – 2 = 1
30 12 15 5
3
6X – 3 - 3X + 2 - X – 2 - 1 = 0
30 3 15 5
2 ( 6X - 3) - 5 ( 3X + 2) - ( X - 2 ) + 3 = 0
15
12X - 6 - 15X - 10 - X - 2 - 3
12 X - 15X - X = 6 + 10 - 2 + 3
- 4X = 16
X = 16
4
X = 4
PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Definición: Existen numerosos problemas cuya resolución se reduce a la de una
ecuación de primer grado con una incógnita.

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS CON ECUACIONES DE
PRIMER GRADO.
1) Plantear conforme consista las condiciones del problema, el cual debe tener una
incógnita a buscar.
2) Luego se unen los datos obtenidos y se iguala al valor que nos proporciona el
problema.
3) Se despeja la incógnita en la ecuación planteada.
4) Se comprueba si la solución hallada satisface el problema.
PROBLEMA.
El costo de producción por ejemplar de una revista semanal es de $28. El ingreso de
distribuidor es de $24 por copias más un 20 % de los ingresos por concepto de
publicidad anunciada en publicación y venderse cada semana para obtener utilidades
semanales de $ 1.000,00
Solución:
Número de ejemplares 20 24x 6x
100 100 125
Costo total por semana 28 x + 3000
100
Ingreso total por semana 24 x + 3.000 6x
100 125
24 x + 3.000 6x 28 x + 3.000 = 1.000
100 125 100
500 24 x + 3.000 6x 28 x + 3.000 = 1.000
100 125 100

500 -4 x + 3.000 + 6x = 1.000
100 125
-20 (x + 3.000) + 24x = 500.000
-20 x - 60.000) + 24x = 500.000
4x = 500.000 + 60.000
X = 560.000
4
X = 140.000
Debería vender 140.000 para obtener $ 1000,00
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES
CUADRÁTICAS.
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
ECUACIONES CUADRÁTICAS mediante un trinomio de la forma
1) Los números de los dos extremos tienen raíces cuadráticas es un trinomio de la
forma
2) Cada respuesta obtenida se la iguala a cero para despejar y los
resultados obtenidos será el valor que se le dará a estas expresiones que es donde
cortara la parábola en el eje de las x.

3) Se determina la vértice es por donde va a pasar la parábola en x con la formula
y mediante la formula .
Vértice.
Discriminante

POR LA FORMULA GENERAL.
1) Se resuelve la ecuación mediante la fórmula para esto es necesario ordenar la
ecuación.
2) Se le da orden alfabético a la ecuación.
3) Para comprobar se está bien se saca la discriminante mediante la siguiente
formula que será igual al número que está en la raíz.
Y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
## 1 X
-8
-
7
-
6
-
5
-
4 -3
-
2
-
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
(-2,5 ; 12,5) -12
-Y

X2
+ 5X - 6 X2
+ 5X - 6
(1) 2
+ 5(1) - 6 (0)2
+ 5(0) - 6 =0
1 + 5 - 6 = 0 - 6
6 -6 =0

INECUACIONES LINEALES
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER INECUACIONES LINEALES.
1) Se resuelve las operaciones establecidas en el ejercicio.
2) Se iguala toda la inecuación a cero.
3) Se reducen términos semejantes.
4) El número que estaba multiplicando a la x pasa a dividir al lado contrario.
Ejemplo
2X - 6 + 3X 8X + 21
2X - 3X - 8X 21 + 6
- 3X 27
3X - 27
9
X - 27
9
1
X -9
-00 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00+
-00, -9

INECUACIONES CUADRATICAS.
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER INECUACIONES CUADRATICAS.
1) Paso todos los términos de la ecuación al lado izquierdo igualándolo a cero.
2) Los números de los dos extremos tienen raíces cuadráticas es un trinomio de la
forma
3) Cada respuesta obtenida se la iguala a cero para despejar x y los resultados
obtenidos serán los que van a ir graficados en la recta.
Ejemplo:
X2
+ X - 6 0
(X + 3) (X - 2) O
X1 X + 3 = 0
X = - 3
X2 X - 2 = 0
X = 2
-00 -3 -2 -1 0 1 2 3 00+

(-00, 2) U (-3, 00+)
( -3, 00+) (-00, 2) R //
SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Definición: la solución del sistema es, en cada caso, la intersección de los conjuntos
definidos por cada inecuación que lo constituye.
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UN SISTEMA DE INECUACIONES.
1) Se procede a despejar la incógnita de la primera inecuación con el resultado
obtenido será el primer punto de la recta.
2) Se despeja la segunda inecuación con el resultado se obtiene el punto donde se
va a corta la recta por segunda vez.
3) Se une los dos resultaron que cortaron la recta y mediante una comprobación se
sabrá si va incluido o no este será nuestro resultado del sistema de dos
inecuaciones.
Ejemplo:
4X - 1 8X + 7
X + 5 3X - 1
4X - 8 7 + 1 X + 5 3X - 1
4X -8 X - 3X - 5 -1
(-1) – 2X -6 (-1)
X - - 8 2X 6
4 X 6
X -2 2
X 3

-00 -3 -2 -1 0 1 2 3 00+
-00 -3 -2 -1 0 1 2 3 00+
-2, 3
SISTEMA DE DOS ECUACIONES
METODO GRÁFICO
1) Se iguala a cero las x y las y de las primera ecuación para obtener valores para
graficar.
2) Lo mismos se hace en la segunda ecuación se iguala a cero las x y las y de las
primera ecuación para obtener valores.
7X + 9Y = 42
12X + 10Y = - 4
X Y X Y
0 5 0 0.4
6 0 -0.33 0
1 3,88
X= 0 X = 0

7 (0) + 9 Y = 42 12 (0) + 10 Y - 4
9Y = 42 10 Y = 4
Y = 42 Y = 4
9 10
Y = 0 Y=
0
7 X + 9(0) = 42 12X + 10 (0) - 4
X = 42 X = 4
7 12
Y = 1
7(1) + 9 Y = 42
9Y = - 7 + 42
Y = 53
9
Y
7
6
5
4
3
2

-X 1 X
-7 -6 -5 -4 -3 -2 .1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
METODO DE REDUCCIÓN
1) Se multiplica las ecuaciones por un número conveniente, para igualar el valor
absoluto de los coeficientes de una misma incógnita.
2) Según que dichos coeficientes resultan de igual o distinto signo, se restan o
suman las ecuaciones, con lo que se consigue eliminar dicha incógnita.
3) Se resuelve la ecuación de primer grado en la otra incógnita que así resulta.
4) Se reemplaza esta por su valor en una de las ecuaciones dadas y se obtiene el
valor de la primera incógnita o bien se calcula esta incógnita por el mismo
método.
-10 7X + 9Y = 42 -70X – 90Y = - 420
9 12X + 10Y = - 4 108X +90Y = -36
38X // = 456
X= -456
38
X=-12
12(-12) + 10 Y = -4 10Y =140
-144 + 10Y = -4 10
10Y = -4 +144 Y = 14

METODO DE IGUALACIÓN
1) Se despeja una de las incógnitas en las dos ecuaciones.
2) Se igualan las expresiones obtenidas. De ahí el nombre de método de igualación.
3) Se resuelve la ecuación de primer grado en la otra incógnita que así resulta.
4) Se reemplaza el valor obtenido de esta última incógnita en cualquiera de las dos
expresiones que resultaron al despejar la primera, y se obtiene así su valor.
7X + 9Y = 42 7X = -9Y + 42
12X + 10Y = - 4 X = -9Y + 42
7
12X + 10Y = - 4
X = - 10Y - 4
12
-9Y + 42 = -10 - 4
7 12
-9Y + 42 -10 - 4 =0
7 12
(84) 12 (-9Y + 42) – 7 (-10Y – 4) = 0 (84)
84
- 108Y + 504 + 70Y + 28 = 0
-38Y + 532 = 0
-38Y = -532
Y= -532
-38
Y= 14
12X + 10(14)=-14

12X + 140 = -4
12X = -140 -4
X = - 144
12
X= -12
METODO DE SUSTITUCIÓN
1) Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema.
2) Se sustituye en la otra ecuación dicha incógnita por la expresión obtenida. De
ahí el nombre de método de sustitución-
3) Se resuelve la ecuación con una incógnita, que así resulta.
4) Esta incógnita se reemplaza por el valor el valor obtenido, en la expresión que
resulto al despejar la primera y se calcula así el valor de esta.
7X + 9Y = 42 7X = -9Y + 42
12X + 10Y = - 4 X = -9Y + 42
7
12X + 10Y = - 4
X = - 10Y - 4
12
-9Y + 42 = -10 - 4
7 12
12(-9Y + 42) – 7 (- 4 – 10 Y)
84
-108Y + 504 + 28 + 70Y
-108Y + 70Y = -504 – 28

- 38Y = - 532
Y= - 52
-38
Y= 14
X= - 4 – 10 (14)
12
X= - 4 – 140
12
X= - 144
12
X= -12
MÉTODO DETERMINANTE
Para estudiar este método es necesario definir previamente que se entiende por:
Determinante de segundo orden dados 4 números: la notación
simbólica.
Se llama determinantes de segundo orden y significa la diferencia entre el producto
y el producto .
7X + 9Y = 42
12X + 10Y = - 4
42 9

X= -4 10 42(10) – (-4) (9) = 420 + 36 = 456 =-12
7 9 7(10) - 12 (9) 70 – 108 -38
12 10
7 42
Y= 12 -4 7(-4) – 12(42) = -28 - 504 = -532 =14
7 9 7(10) - 12 (9) 70 – 108 -38
12 10
SISTEMA DE TRES ECUACIUONES CON UNA INCOGNICA
DEFINICION: Se llama sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas
a tres ecuaciones de primer grado con las mismas incógnitas cada una, deben admitir
simultáneamente las mismas raíces. Dichas raíces constituyen la solución del sistema.
5X – 2Y + Z = 24
2X + 5Y – 2Z =-14
X - 4Y + 3Z = 26
5X – 2Y + Z = 24
2X + 5Y – 2Z =-14
5X = 2Y – Z + 24
X= 2Y - Z + 24
1Y
2

5
REMPLAZO X EN LA SEGUNDA ECUACION
2(2Y – Z + 24) + 5Y - 2Z + 14 = 0
5
(5) 4Y – 2Z + 48 + 5Y - 2Z + 14 = 0(5)
5
4Y - 2Z + 48 + 25Y – 10 Z +70 =0
29Y - 12Z + 118 CUARTA ECUACIÓN
2X + 5Y – 2Z =-14
X - 4Y + 3Z = 26
X= -5Y + 2Z - 14 = 0
2
(2) -5Y + 2Z - 14 - 4Y + 3Z -26 =0 (2)
2
-5Y + 2Z – 14 - 8Y + 6Z - 52
-13Y + 8Z - 66
29Y - 12Z = - 118 232Y – 96Z = - 944
-13Y + 8Z = 66 -156Y + 96Z = 792
76Y // = -152
Y= -152
76
Y = -2
-13 (-2) + 8 Z = 66
26 + 8 Z = 66
8Z = -26 + 66
Z = 40
8
2Y
3

Z= 5
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
ENCONTRAR LA PENDIENTE DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS
(-5,2 ) ; (4, -2 ), LA ECUACIÓN DE LA RECTA, LA DISTANCIA ENTRE
ESTOS DOS PUNTOS Y LA DISTANCIA DEL PUNTO (4,-2) A LA RECTA 2x-
y-2=0.
En el siguiente caso es recomendado seguir el orden de las formulas dadas.
Pendiente.
Ecuación de la recta.

Distancia entre el punto (-5,2) ; (4, -7).
Distancia entre el punto (7,9) a la recta 2x-y+1.
X Y

0 -2
-1 0
CONJUNTOS
1.- Debemos saber cuánto vale cada conjunto
2.- y por cuanto esta el RE
3.- saber cuántas intersecciones hay
4.- Saber cuántas uniones hay
5.- Luego lo reemplaza en la formula.
Ejemplo:
Se hizo una
encuesta a 100
personas acerca de
la película
que les gusta y
se
obtuvieron por:
y
7
6
5
4
3
3,44 2
1
##
-
7
-
6 -5
-
4 -3
-
2
-
1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
-1
-2 2X-Y-2
-3
-4
-5
-6
-7
##

620 veían JARRY; 400veian batalla; 590 veían pince, 195 veían JARRY y batalla, 190
preferían ver batalla y pince, 400 ven JARRY pince, 300 prefieren JARRY y pince pero
no batalla.
Determine el número de personas que no ven estas películas.
125 95 115
100
300 90
590
N (J)= =620
N (B)= =400
N (BA)= =590
N (J n BA)= 400
N (B n BA) = 190
N (J n B) = 195
N ( J n B ) - N ( J n B n B A ) = 300
400 100
1: Simplificación algebraica SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí:

PROCEDIMIENTO:
Se dividen el numerador y denominador por sus factores comunes hasta que
sean primos entre si
Sacamos mínimos común múltiplo y pasamos a realizar la operación
Términos polinomios:
Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los
factores comunes al numerador y denominador.
Ejemplo:
Polinomios:
R//
Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los
factores comunes al numerador y denominador.
2.- Factorización “trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.
Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto, la raíz cuadrado de es
la raíz cuadrada de es y el doble producto de estas raíces es
luego este trinomio no es cuadrado perfecto.

para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término
se convierte en lo cual se consigue sumándole , pero para que
el trinomio no varie hay que restarle la misma cantidad y tendremos:

) )R//
3.- Factorización” suma o diferencia de potencias iguales impares”
Factorar + 32 este es una expresión que puede escribirse + , dividiendo
por x+2 tendremos:
-
R//
4.- La suma de 2 números es 59 y si el mayor se divide por el menor el
cociente es 2 y el residuo 5. Hallar los números.
X=número mayor 59-y y el número menor Cociente=2
Residuo=5
x-5=2(59-x) comprobación= 59-y=59-41=18
x-5=118-2x
x+2x=118+5
3x=123
X=41
Números hallados 41 y 18 //R
4.- RACIONALIZACION
Se trata de eliminar las raíces del denominar.

Y lo hacemos, multiplicando el denominador con la fracción que nos dan y
procedemos a realizar la facción:
6.- Problemas con ecuaciones de primer grado con una incógnita.
5x+6=10x+5
5x-10x=-6+5
(-1)-5x=1(-1)
5x=-1
X=-
7.- Inecuación lineal
Procedemos a realizar la ecuación normal en donde el resultado lo vamos a
graficar en la recta
3x-14<7x-2
3x-7x<-2+14 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
(-1)-4x<12(-1) (-3,+∞)
X>-3
8.- Inecuación cuadrática
Cuando las ecuación esta elevada al cuadrado y la respuesta es cuadrado
9.-representacion grafica de una ecuación cuadrática

15x-11x+5+ =(0)
+4x+5=0
(x+5)(x-1)
+4x+5
0+5
Y=
Y=
Y= 7
VERTICE:
X=
Y=
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6
-1
-2
-3
-4
-5

-6
-7
-8
-9
10.- ECUACIONES CON 3 INCOGNITAS
6X+3Y+2Z=12
9X-Y+4Z=37
10X+5Y+3Z=21
1Y2
6X+3Y+2Z
9X-Y+4Z=37
X=
9 +3+2Z=37
–Y +4Z-37=0(2)
36-9Y-6-2+8Z+74=0
2Y3
9X-Y+4Z=37
10X+5Y+3Z=21
X=
9 -5Y+4Z-37=0(10)
–Y+4Z-37=0(10)
180-45Y-27+10Y+40Z-370=0

-55Y-181+13Z
4Y5
-13 -11Y+2Z=38
2 -55Y+13Z=181
143Y-26Z=-494
-110+ 26 =362
33Y =-132
Y= - 4
-11(-4)+2Z=38 6x+3(-4)+2(-3)=12
+44+2Z=38 6x=12+12+6
2Z=38-44 x= 30/6 x= 5
2Z=
Z=-3
Método determinante
-3x+7y=29
5x-9y=-35
X= =
Y= -3 29

Encuentre la ecuación de la recta con pendiente -4 y que pasa por el origen.
Determine el punto de la recta que tiene coordenada x=2
y- =m(x- )
y-0=-4(x-0)
y-0=-4x
y=-4x
x=2
x=-4(2)
x=8
x=1
x=-4(1)
x=-4
Calcula la distancia 2,1 a la recta de la ecuación.
3x+4y-2=0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9

4y=-3x+2
Y=mx+b
D=
D=
se hizo una encuesta a 100 personas acerca del canal de tv donde prefieren
ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados.
640 veían tele amazonas
400 veían canal 1
540 veían ecu avisa
195 veían tele amazonas y canal uno
190 preferían canal 1 y ecu avisa
100 veían amazonas y ecu avisa
300 veían tele amazonas y ecu avisa pero no canal uno
Determinar el número de personas que no ven estos estos canales

RE:1000 E C1
590=100 195=95 400=115
100
400=300 190=90
620=195
T
N(t)=620
N(cu)=400
N(e)=590
N(t e)=400
N(u E)=190
N(t u)=195
N(t e)-n(t)(u e)

CONJUNTOS:
B
RE:
1
C
2 3 A
5
6 7 8 4
9 10
11
12
A= (A-B ) (C-D)
B= (A B C )C
E=
(CC
A) – B
C – A B

. SIMPLIFICAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS (CARATULA,
NUMERACION, ENCABEZADO)
Una expresión es Algebraica si contiene en su denominador y/o denominador
expresiones algebraicas.
Para simplificar una fracción algebraica el denominador y el denominador deben estar
expresado en factores no en sumandos es decir no pueden estar escritos en forma
polinomica. La simplificación de fracciones algebraicas se basa en la siguiente
propiedad. Cada vez que se simplifica una fracción algebraica, se está obteniendo una
fracción equivalente.
2. FACTORIZACION SUMA O RESTA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES
Cuando no es factor común ó diferencia de cuadrado perfecto se prueba la suma o
diferencia de potencias impares iguales, la primera regla es que sea suma ó resta, que
tengan potencias iguales pero impares.
1. Primero se extrae la raíz igual a la cantidad que están elevados los términos.
2. A Las raíces se las opera con el mismo signo, multiplicado por las raíces pero en un
orden siempre que es el primer término elevado a una potencia menos a la inicial y la
segunda elevado a la 0, la primera va bajando hasta llegar a 0 y la segunda sube hasta
que hasta llegar a una potencia menos que la potencia inicial.
+ -
=
=
= R.

3. PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA
INCOGNITA
Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los del mayor con los
del número intermedio equivalga al número menor disminuido en 8.
Número menor = x
Número intermedio = x+1
Número mayor = x+2
Los del número mayor serán (x+ 2)
Los del número intermedio serán (x +1)
El menor disminuido en 8 será x-8
(X+2) + (X+1) = x-8
= x-8
6(x+2) + 26(x+1) =39(x-8)
6x+12+26x+26= 39x -312
6x+ 26x -39x = -12 -26 -312
-7x = -350
X= -
X= 50 R.
4. RACIONALIZAR
La racionalización de radicales es un proceso en donde se tiene que eliminar la raíz o
raíces que están en el denominador de una fracción.
Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión
equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador
y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar, se elimine la raíz
del denominador.

5. REPRESENTACION GRAFICA DE UN INTERVALO
Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales
que están comprendidos entre dos cuales quiera de sus elementos.
Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la
misma recta real.
Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos,
los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.
Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.
Sean a y b dos números reales tales que a b.
La notación a < x < b se usa solamente cuando x está entre a y b, y a es menor que
b. Por ejemplo, al resolver:
La solución en notación de intervalo es [-1, 2) cuya gráfica es:

6. INECUACION LINEAL
En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o
más incógnitas en los miembros de la desigualdad.1 2
Si la desigualdad es del tipo
o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se
denomina inecuación en sentido amplio.3
Del mismo modo en que se hace la diferencia entre igualdad y ecuación, una inecuación
que es válida para todos las variables se llama inecuación incondicional y las que son
válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones
condicionales.4
Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.
-2x + 1 ≤ x – 3
-2x – x ≤ - 3 – 1 ∞ ∞
(-1) - 3≤ - 4 (-1) 0
3x ≥ 4
X ≥
7. INECUACIONES CUADRATICAS
Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable
tiene exponente 2 y es en su forma general de una de las formas siguientes ax2 + bx + c
≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c ; 0, también puede tener el signo
de desigualdad (d≥ bx + c),
pero se puede llevar a una de
las formas anteriores haciendo
transformaciones
equivalentes.
– 6x + 8 > 0
(X -4) (X -2) > 0
X-4 >0 x -2 > 0
x=4 x=2
(-∞, 2) U (4, +∞)
8. ECUACIONES CUADRATICAS

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita,
que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la
incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1
es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de
segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque
pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente
forma:
ax2
+ bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que
corresponda en cada caso particular.
Ejercicio
Tienes la ecuación si das un valor a x obtienes otro para y, este valor
lo llevábamos al eje de coordenadas y fijábamos un punto.
Dábamos otro valor a x y obteníamos el correspondiente a y .Con estos dos valores
conseguíamos el segundo punto.
Al unir los dos puntos determinábamos la recta. Todos los puntos de la recta son
respuestas de la ecuación.
En el caso de las ecuaciones de 2º grado su representación gráfica es muy diferente.
Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser 2):
Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable
dependiente y tome los suyos:
En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente – 2 y por fin, –
3. La variable dependiente y recibirá los valores: 9,4,0, 4 y 9
Podemos escribir:

Colocamos en el eje de coordenadas los puntos:
y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura
siguiente:
9. DETERMINANTES
-3x + 7y= 29
5x – 9y = -35
29 7
-35 -9 (29) (-9) (-7) (-35) - 261+ 245 -16
X= = = = = 2
-3 7 (-3) (-9) -7 (5) 27 - 35 8
5 -9

-3 29
5 -35 (-3) (-35) – (29) (5) 105- 145 -40
Y= = = = = 5
-3 7 -8 -8 8
5 -9
REDUCCIÓN
Y-3y + 2 = x+18 = -y – 3y +2 = x+18 = 0
7 10 7 10
x- 4x +1 = 2y – 5 = 70y – 10 (3y+2) -7 (x+18) = 0
9 3 70
X – 4x+1 -2y-5 = 0 70y-30y-20-7x-126 = 0
5 -7x+40y= 146 -35x+200y =730
7 7 5x-6y= -14 35x - 42y = -98
9x-4x-1-6y+15 = 0 4 // 158y=632
9 316
Y= 632 = 4
158
79
1
Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas de 1er grado (CORREGIR GRAFICO)
3x+2y+z = 1
5x+3y+4z =2

x+ y-z = 1
1 Y 2
3x+2y+z=1 5 1-2y-7 + 3y +4z= 2 -y+7z-1=0
5x+3y+4z=2 3
3x= 1-2y -z 5-10y-5z + 3y+4z – 2= 0
X= 1-2y-z 3
5- 10y-5z+9y+12z-6 = 0
2 Y 3 4 Y 5
5x+3y+4z = 2 -y + 7z =1 -2y+14z = 2
X+ y-z =1 -2y+9z=-3 2y - 9z =3
X=1-y+z // 5z = 5
5(1-y+z) +34+4z-2=0 z=1
5-5y+5z+3y+4z-2=0
-2y+9z+3=0 -y +7(1) =1
-y + 7=1
-y= 1-7
Y=6
X= 1-2 (6) -1 x= - 4
3 y= 6
X= 1-12-1 z= 1
3
X= -12
3
X= - 4
Conjuntos
Considere el Re = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10

Y los conjuntos A B = 1, 2, 7
(B C) - A = 8, 9
(A B C) c = 5, 6
N (A)= N (B) = 6
Entonces es verdad que
A: 1, 2, 3,4, 5
B: 5, 6, 7
C: N (A C) = 2
D: (B C) U (A C)
Simplificación con fracciones
Es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entres si
Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible y
entonces la fracción esta reducida a su más simple expresión a su mínima expresión
REGLA. Si sus términos son polinomios , se descomponen en factores los polinomios
todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador.
Resolvemos los casos de factorización que
tengamos
Reducimos términos semejantes
//
Simplificar con exponentes
Cualquier factor del numerador de una expresión se puede pasar al denominador y
viceversa con tal de cambiarle el signo a su exponente
Re:

= //R.
SIMPLIFICAR CON RAICES
Simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión cuando la cantidad
subradical es entera y del menor grado menor grado posible .para simplificar radicales
debe tenerse muy presente que para extraer una raíz a un producto se extrae dicha raíz a
cada uno de sus factores ósea en la simplificación de radicales consideramos los dos
casos
1° cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el
índice
//R.
2|cuando los factores de loa cantidad subradical y el índice tienen su divisor común
= = //R.
Simplificar
= //R:
RACIONALIZAR
Operar para eliminar los radicales del denominador de una fracción
=
=

=
//R
Factorar una suma diferencia de potencia impares iguales
Esta expresión puede escribirse
Dividendo por x +2 tenemos
Luego
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
La raíz cuadrada de es
La raíz cuadrada de 36 es 6
Para que fuera cuadrado perfecto su 2° termino debería ser -2 . y es
- 16
Pero - 16 se convierte en sumándole 4
Pues tendremos - 16 + 4 =
Y para que no cambie les restamos lo mismo
2
-4a2
b2
=

//R
PROBLEMA CON ECUACIONES
A tiene 1 más que B si B gastara 8 tendría 4 menos que los de lo que tiene A ¿Cuánto
tiene cada uno?
Datos
=-4(x+1)
Sistema de ecuaciones de 2 incógnitas
Es la reunión de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Reducimos para que una educación lineal
3x + y = 8 (2)
3x – 4y = 12
Método de igualación;
1°despejamos cualquiera de
las incógnitas,
2°Se igualan entre si los dos
valores a que hemos
obtenidos
3°ya tenemos una sola
ecuación con una incógnita,
Método por sustitución
1° despejamos cualquiera de las
incógnitas, por ejemplo x

Resolvemos por cualquier método
REMPLAZAMOS LAS Y EN CUALQUIERA DE LAS DOS ECUACIONES
3x + = 8
Sistema de inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas
(incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las
inecuaciones se llaman también desigualdades de condición
Resolver una inecuación es hallar los valores de las incógnitas que satisfacen la
inecuación.
-oo
Método por reducción
1° se hacen iguales los
coeficientes de una incógnita
2°como los coeficientes que
hemos igualados tienen distintos
signos, se suman estas
ecuaciones por ello se elimina
3°sustituyendo en cualquiera de
las dos ecuaciones dadas

SISTEMA DE ECUACIONES DE 3 INCOGNITAS
ESCOGEMOS DOS ECUACIONES Y LA RESOLVEMOS POR CUALQUIER
METODO PARA TENER UNA ECUACION DE DOS INCOGNITAS
ESCOGEMOS LA (1) Y (3)Obtenemos la (4) ecuación
Escogemos la ecuación que no habíamos escogidos con cualquiera de las otras dos
Escogemos la (1) y (3) para obtener la (5) ecuación
Escogemos la 4 y 5 para encontrar el valor de3 las variables, lo hacemos por cualquier
método
Encontramos el valor de Z
Remplazamos el valor encontrado en la ecuación 4 o 5, para encontrar el siguiente valor

Y=
Y= encontramos valor de Y
Remplazamos los valores encontrados en cualquiera de las ecuaciones originales
44x+64-42-1=0
44x=-64+42+1
44x=21
X= hemos encontrado el valor de x
X= Y=
Resolución grafica de un sistema de dos ecuaciones de dos ecuaciones con dos
incógnitas
En se tiene
X=0 y=-3

Y=0 x=6
En se tiene
X=0 y=-1
Y=0 x= 2
Funciones (Parábolas)
Formula
Representar gráficamente la ecuación
= =
Y= 12
-6(-1)+5 y = o - 6 (0) + 5
Y=1 + 6 +5 y= 5
Y=12
Valores
X=1
y=12
X=0 Y
=5
Las líneas son paralelas, no hay
puntos de intersección, luego el
sistema no tiene solución; las
ecuaciones son incompatibles
x y

En ella se ve
Que la curva corta el eje de las x en dos puntos cuyos abscisas son 1 y 5 que son la
raíces del trinomio x =1 y=5
Con fracciones
1: Agrupación de términos semejantes en el numerador.
2: En el denominador sacamos el factor común.
3x
3
-12x-x2
y+4y (3x3
-12x)-(x2
y-4y)
X4
- 5x3
– 14x2
x2
(x2
-5x-14x)
3: En los términos del numerador sacamos el factor común de cada
término.
3x(x2
-4)- y(x2
-4)
x2
(x-7) (x+2)
4:En el denominador realizamos el caso de trinomio de la forma ax
2
+bx+
c.
(x
2
-4) (3x-4)

X
2
(x-7) (x+2)
5:En el siguiente procedimiento descomponemos el x2
-4 en dos factores
(x+2) (x-2) (3x-4)
x2
(x-7) (x+2)
6: Simplificamos los términos que son iguales.
(x+2) (x-2) (3x-4)
x2
(x-7) ( x+2)
7: Y finalmente nos queda este resultado, simplificado en su mas mínima
expresión.
(x-2) (3x – y)
x2
(x-7)
1) SIMPLIFICAR EXPRESIONES
CON FRACCIONES
Procedimiento
1) realizamos la parte superior del ejercicio, sacamos el factor común y Dividimos numerador
y denominador por el máximo común divisor.
2) procedemos a cambiar el signo ya que el paréntesis esta precedido de
un signo negativo y nos queda
3) escribimos el mismo denominador y simplificamos lo de la parte superior.

4) al simplificar nos queda
5) realizamos la parte inferior del ejercicio, sacamos el factor común y Dividimos numerador
y denominador por el máximo común divisor.
6) multiplicamos y nos queda y en denominador el mismo
factor común que es
7) se procede a simplificar y nos queda y el mismo denominador.
8) unimos el resultado de la parte inferior con la superior y resolvemos, se multiplica
extremos con extremos y medios con medios y nos queda
2) Con raíces
= R/
PROCEDIMIENTO
1)resolvemos las fracciones superior del numerador de la division invirtiendo el tercer
termino que tiene como exponente negativo a convertirlo en positivo
y el denominador que da igual.
2) Y la parte inferior queda de igual por el momento.
3) sacamos el maximo comun divisor de los terminos superior que es 10 y nos
queda sumamos el numerador y el denominador queda igual .
4) resolvemos las fracciones del denominador de la division
2. Libro Fundamento de Matemáticas para bachillerato ESPOL (pág. 142)
3) EXPONENCIALES

= = = =
= = //
PROCEDIMIENTO
1. Los términos elevados a las expresión negativa pero par se invierte el termino y
queda elevado al cuadrado y la parte inferior se divide el termino en un quebrado pero
su numerador y denominador al cuadrado.
2. El quebrado en general se rompe paréntesis y por ende los exponentes cambian al
término
3. queda resultado o ya está roto los paréntesis.
4. En la parte posterior o denominador se restan las “X “
5. 6. 7. Se simplifica términos semejantes
8. respuesta después de simplificar los términos.
3. Libro Fundamento de Matemáticas para bachillerato ESPOL (pág. 135)
2: Factorización
2)Trinomio cuadrado perfecto por addicion o sustraccion
11 6
132

R/
PROCEDIMIENTO
luego
es un trinomio no es un cuadrado perfecto.
+ 25 -25
- 25 = - 25
Factorizando la diferencia de cuadrado= ) )
Ordenando= )
4. Algebra Valor – Ejercicio 96 pág. 157
Suma o resta de potencias iguales impares

PROCEDIMIENTO
1) hay que multiplicar el numerador y el denominador por este
resultado es elque da el producto notable de los binomios conjugados.
.
Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador
y nos queda
5) http://es.scribd.com/doc/14528113/RACIONALIZACION-DE-RADICALES
1:Se procede a sacar las raícescorrespondientes de cada factor.
X
5
+ 32 = (x + 2)
X+2
2: Descomponemos cada termino el número de veces a la que este elevada
la raíz en el primer termino va disminuyendo y en el segundo va
aumentando.
X
5
+ 32 = x
4
– x3
(2) + x2
( 2
2
) – x ( 2
3
) + 2
4
X+2
3:Procedemos a realizar la multiplicación de cada termino.
= x
4
– 2x
3
+ 4x
2
– 8x + 16
4: En un factor se dejan las raíces y en otro se pone el producto de cada
multiplicación.
x
5
+ 32 = (x+2) (x4
– 2x3
+4x2
- 8x + 16)

3.Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción
1: Sacamos las raíces del primer y tercer termino
25x
4
– 139x
2
y
2
+ 81y
4
5x
2
9y
2
2: Procedemos a multiplicar las raíces por 2
2(5x
2
) (9y
2
) = 90x
2
y
2
3: Como el resultado no es el mismo al segundo término del ejercicio
procedemos a sumar y a restar la cantidad que falta para que sea igual al
segundo término.
25x
4
– 139x
2
y
2
+ 81y
4
+49x2y2 -49x2y2
25x
4
– 90x
2
y
2
+ 81y
4
– 49x
2
y
2
4:Una vez obtenido el resultado de la suma o resta, separamos en 2
factores.
(25x
4
– 90x
2
y
2
+ 81y
4
) – 49x
2
y
2
5: En un factor resolvemos el caso que se presente en este caso es el T.C.P

(5x
2
– 9y
2
) – 49x
2
y
2
6: Como el resultado que nos quedo es una diferencia de cuadrados la
dividimos en 2 factores en donde uno va a ser positivo y el otro negativo.
((5x
2
– 9y
2
) + 7xy)((5x
2
– 9y
2
) – 7xy) (5x
2
+7xy-9y
2
) (5x
2
-7xy – 9y
2
)
4:Racionalización
R/
PROCEDIMIENTO
1) hay que multiplicar el numerador y el denominador por este resultado es elque
da el producto notable de los binomios conjugados.
Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador
y nos queda
6. http://es.slideshare.net/sita.yanis/gua-racionalizacion-complementaria
Suma o resta de raíces
1: Multiplicamos todo el ejercicio por el mismo término que el
denominador pero con signo diferente.
2 4
X
2
- 2 4
X
6 3
x - 1
x + 1 x - 1
2:Procedemos a realizar la multiplicación tanto del numerador como del
denominador.
(x - x3
)(x - 1)
( x) 2
– (1)2

3: Simplificamos las expresiones semejantes.
(x-x
2
) – ( x – x
3
) (1 – x)(x- x ) - (x - x )
1 - x 1-x
5: Problemas de 1er
grado con una incógnita
Sandra pago $66.oo por una pasta dental, un jabón y un shampoo. Si el costo de la
pasta excede en $15 al del jabón y en $3.oo al del shampoo, determinar el costo de
cada uno de los artículos.
DATOS
Costo de pasta de diente= X por lo tanto
Costo de jabón X-15 el costo de la pasta dental
$28
Costo del shampoo x-13 jabón $13 y el shampoo $25
Se plantea la Ecuación
-(X-15)+(x-3)=66
3X-18=66
3X=66+13
3X=84
X=
X=28 R//
A puede hacer 1 obra en 3 días y B en 5 días en cuanto tiempo pueden
hacer la obra trabajando los 2 juntos?
A= 3 días El tiempo en que A hace la obra es 1/3 y el de B es de 1/5
B= 5 días Sumamos el tiempo de A y el de B 1 + 1 = 1 = 8 = 1

A y B = x 3 5 x 5 x
8x = 15
x=15/8 días
x= 17/8
= 1 día y 21 horas
6: Sistema de Inecuaciones
1:Dejamos de un lado las x y del otro lado los términos sobrantes con sus
signos cambiados.
3x – 1<5x + 7 = 3x – 5x <7 + 1
x +4 >2x – 1= x-2x= -1- 4
2:Procedemos a realizar la ecuación dada.
-2x <8
2x >- 8
X >- 4
3:Realizamos el mismo procedimiento con la otra ecuación
X -2x >-1 - 4
-x >- 5
x < 5
4:Una vez obtenidos los 2 puntos lo planteamos en la recta.

7: Inecuaciones Lineales
1: Resolvemos el caso dado en este caso es un Trinomio de la forma x
2
+
bx + c
2: Luego al valor independiente lo igualamos a 0 y lo graficamos en la
recta.
x
2
+ x – 132 R: ( -00,-12) U ( 11,+00)
(x + 12) (x -11) > 0
X +12 = 0 -00 +00
X = - 12 -12 011
X – 11 = 0
X = 11
8: Inecuaciones Cuadráticas
X=5
5
4
3
2
1
1
-
X
X

Y X=
Y=-3
Y=(6)-6(6)+5 X=
Y=36-36+5 X=
Y=5 X=-3
PROCEDIMIENTO
1) resolver el trinomio de cuadrado perfecto y nos queda
igualamos y
aplicamos esta formula y remplazmos con un
numero sea a las x o las y.
y asi cuando x=5 y=0 cuando x=1 y=0 cuando x=2 y=-3 cuando x=6 x=5 y
lo graficamos.
8Algebra de baldor ejercicio 11 pag 312
x
2
- x 3 (2x – 6) (2x + 1) = 0
210 2
x
2
x 3 (x -3) (2x+1) = 0
5 2 10 x-3= 0 2x + 1
x y
5 0
1 0
2 -3
6 5
6
134
2 5
5 2
2
1
4
1 3
3
4
-
Y

2x
2
– 5x - 3 = 0 x1=3 x2=-1/2
10
(-1/2)
2
-1/23¼ + 1 3 1 + 1 3
5 2 10 54 10 20 4 10
3
1+5 3 6 3 3 3
2010 20 10 10 10
10
X Y Y= (2-1)
2
-5(-1)-3 Y= 2X
2
- 5X - 3
0 -3 =2+5-3 =2(1)
2
-5(1) -3
1 -6 =4 =2-5-3
- 1 4Y= 2(-2)
2
–5(-2)-3 = -6
- 2 15 =8+10-3 Y= 2(2)2
– 5(2)-3
2 -5 =15 =8-10-3
3 0 = -5
- 1 0
Y= 2(3)
2
-5(3)-3
=18-15-3
= 0
4

2 3
3
5
6
9:Función (0,4)
Y=2x+4 = f (x) =2x+4 4
YX Y= 2 (0) + 4
4 0 y= +4
0 -2 0=2X+4 -2
2x= 4 (-2, 0)
x= 4/2
x= -2
10: Determinantes
-3x + 7y= 29
5x – 9y = -35
29 7
-35 -9 (29) (-9) (-7) (-35) - 261+ 245 -16
X= = = = =2
-3 7 (-3) (-9) -7 (5) 27 - 35 8
5 -9

-3 29
5 -35 (-3) (-35) – (29) (5) 105- 145 -40
Y= = = = = 5
-3 7 -8 -8 8
5 -9
11:Reducción
Y-3y + 2 = x+18 = -y – 3y +2 = x+18 = 0
7 10 7 10
x- 4x +1 = 2y – 5 = 70y – 10 (3y+2) -7 (x+18) = 0
9 3 70
X – 4x+1 -2y-5 = 0 70y-30y-20-7x-126 = 0
9 3 5 -7x+40y= 146 -35x+200y =730
7 5x-6y= -14 35x - 42y = -98
9x-4x-1-6y+15 = 0 4 // 158y=632
9 316
Y= 632 = 4
158
79
1

12: Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas de 1er grado
3x+2y+z = 1 1
5x+3y+4z =2 2
x+ y-z = 1 3
Seleccionamos las ecuaciones 1 Y 2 y despejamos una variable
Método de reducción
3x+2y+z=1 51-2y-7 + 3y +4z= 2 -y+7z-1=0
5x+3y+4z=2 3ecuación Nº 4
3x= 1-2y -z 5-10y-5z + 3y+4z – 2=0
X= 1-2y-z 3
3
5- 10y-5z+9y+12z-6 = 0
Seleccionamos las ecuaciones 2 y3 y despejamos una variable.
5x+3y+4z = 2
X=1-y+z
5(1-y+z) +34+4z-2=0
5-5y+5z+3y+4z-2=0
-2y+9z+3=0 ecuación Nº 5

Seleccionamos las ecuaciones 4 y 5 y despejamos una variable.
-y + 7z =1 -2y +14z = 2
-2y+9z=-3 2y - 9z =3
// 5z = 5
Z = 1 Primera incógnita
Reemplazo z en 4
-y + 7(1) =1
-y + 7 = 1
-y= 1-7
Y = 6 Segunda incógnita
X= 1-2 (6) -1
3y= 6
X= 1-12-1z= 1
3
X= -12
3
X= - 4 Tercera incógnita
grafico de funciones

Y –3X+2=9
Y=9+3X-2
Y=-3X+7
10) INTERACCION DE RECTA EN EL PLANO
2X-Y=5
X+Y=7
2X-Y=5 X+Y=7
(-1)-Y=5-2X (-1) 0+Y=7
Y=2X-5 Y=7
Y=2(0)-5
Y –3X=9 X+Y=7
Y=-5 X+0=7
Y=2X-5 X=7
0=2X-5
X Y
0 -5
5/2 0
X Y
0 7
7 0
9
8
7
6
5
4
Y=-3(0)+7
Y=0+7
Y=7
Y=-3(1)+7
Y=-3+7
Y=4
3
2
1
1
52 3 414 35 2
-
X
X
1
1
2
3
5
4
Y=-3(2)+7
Y=-6+7
Y=1
Y=-3(-1)+7
Y=3+7
Y=10
-
Y

-2X=-5
X= =2.5
10. inventado por Jamiilex Rodríguez
11) INECUACIÓN LINEAL
6X-10>3X+5
6X-3X>5+10 6(6)-10>(6)+5
3X>15 36-10>18+5
26>23
X>
X>5(5, +oo)
PROCEDIMIENTO
Al realizar la inecuación pasamos todos los términos con variable X a lado izquierdo y
los términos sin variables a lado derecho y asi al resolver el lado izquierdo nos quedan
3x y al otro lado 15 al despejar x nos queda que al simplificar nos da X>5 y lo
representamos en la recta.
Y
9
8
Y=7-Y
7
6
4
(4.3)
3
2
1
7
X1
-
X 5 4 3 2 1
Y=2X-
5
2
3
4
5
6
7
865432
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8-3 -2 -1-4-5-6-7-8
-oo

11.
http://calculo.cc/Problemas/Problemas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/inecua
ciones/probl_inecuaciones.html
12) INECUACIÓN CUADRATICA
(X-6)(X+1)>0
X-6>0 X+1>0
X>6 X>-1 (-oo, -1) (6,+oo)
1) Al resolver la inecuación cuadrática resolvemos el trinomio cuadrado perfecto que
esta en el lado izquierdo de signo que lo separa del 0 y no queda (X-6)(X+1)>0
2) a ambos termino los hago mayor que 0 y nos da la respuesta de X>6 y X>-1
3) lo representamos en la recta y ponemos los intervalos.
12.http://google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&sou=web&cd=OCE4QFJAM&=htt
p%3ª%”gauss.acatian.unam.mx%2Fresource%Fview.php%3Fid%3D103%62redirect
%3D1&el=txjE4_8QTVuoC4C4CQCNFP9YLxTUr7holfMsnOGCWSBsiqlQ
13) SITEMA DE ECUACIONES LINEALES
2X -X<-1-2
-oo
0 1 2 3 4 5 6 7 8-3 -2 -1-4-5-6-7-8
+o
o
-oo

2X -X<-3
X X>3
13Algebra de Baldor ejercicio 176 pág. 352
14) SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
METODO DE IGUALACIÓN
6X-3Y=6
8X=7Y-9+5 X= 6X-3(4)=6
8X=7Y-4 6X-12=6
X= 6X=6+12
(6)(7Y-4)=(8)(3Y+6) 6X=18
42Y-24=24Y+48 X=3
42Y-24Y=48+24
18Y=72
Y= Y=4
METODO DE SUSTITUCIÓN
6 =3Y+6 8X-7Y=-4
8X-7(4)=-4
21Y-12=(4)(3Y+6) 8X-28=-4
0 1 2 3 4 5 6 7 8-3 -2 -1-4-5-6-7-8

21Y-12=12Y+24 8X=-4+28
21Y-12Y=24+12 X=
9Y=36
Y= = Y=4
METODO DE REDUCCIÓN
8X-7Y=-4
Y= = Y=4
PROCEDIMIENTO
Al realizar la reducción hay que tener en cuenta que numero hay que multiplicar para así poder
reducir X y hallar el valor de Y. para encontrar el valor X hay que sustituir lo que vale Y para
así poder encontrar el valor de X
METODO GRAFICO
X Y
3 4
4 3
X Y
1 0
3 4
X=
3
12
8X-7(4)=-4
8X-28=-4
8X=-4+28
8X=24
X=
X=3
8(4)-7Y=-4
32-7Y=-4
-7Y=-4-24
(-1)-7Y=-28(-1)
7Y=28
Y=
1
1
2
2
2
3
4
5
3 4 5345
X-
X 1
1
2
3
6
4
7
8
9

DETERMINANTE
X= = =3 X=3
Y= = =
PROCEDIMENTO
Para resolver el determinante hay que primero encontrar el valor de X hay que escoger
los numero de la tercera fila con el segunda fila sombre el primera fila con la segunda fila y se
multiplicar cruzado y se restan. Así mismo se encuentra el valor de Y pero la primera fila
con la tercera fila sobre el primera fila con la segunda fila y se multiplicar cruzado y se
restan. Y al restar se llega al valor de x.
14Algebra de Baldor ejercicio 176 pág. 352
15) ECUACIONES DE 2do GRADO CON 3 INCOGNITAS
6X-3(0)=6
X=
X=1
6(3)-3Y=6
18-3Y=6
-3Y=6-18
(-1)-3Y=-12(-1)
3Y=12)
Y=
Y=4

Y=9-X-2Z
3X+6(9X-2Z)-5Z=1
3X+54-6X-12Z-5Z=1 4Y=1-2X+3Z
-3X-17Z+53=0 Y=
(2)3X+6
6X+3-6X+9Z-10Z-2=0 -
Z+1=0
y
3X=36
Z=1 X=
X=12
Y=9-X-2Z
Y=9-12-2(1)
Y=9-2-2
Y=5
15. Algebra de Baldor Ejercicio 1 Pág. 179
16)DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
d=
d=
d=
d=
4
5
4 5
1
2
-2
3
4
-
3
-45 6
1
2 3 4
5
78
Y
1
2
3
5
4
6
7
8
(4,5)
(3,
2)

d=
16. Inventado por Jamilex Rodrìguez
17) CONJUNTO
En una empresa de servicio medioambiental va ampliar su red comercial, y por
ello necesita incorporar a 25 comerciales. La empresa requiere fundamentalmente
personas que posean, al menos una de las características siguientes.
a) Alguna experiencia en el área de ventas
b) Formación técnica
c) Conocimientos en ingles
En concreto, la empresa ofrece 12 plazas para lo de la característica a) 14 para los
de la característica b) 11 plazas para los de las características para los de las
características c) ahora bien, la empresa quiere que 5 comerciales posean la
característica a) y b), que 3 comerciales posean a) y c), que 6 comerciales posean
b) y c).
Se pregunta
1) ¿Cuántos de esos 25 comerciales quiere la empresa que posean las tres
características citadas?
2) ¿A cuántos comerciales se les exige nada más que la característica: tener
conocimiento de inglés?
3) ¿Cuántos tiene alguna experiencia en ventas y tienen conocimiento de
inglés, pero no tienen formación técnica?
4) ¿Cuántos comerciales tienen nada más que una de las características
pedidas?
SOLUCIÓN
N(V)+N(T)+N(I)-N(V.T)-N(V.I)-N(T.I)+(V.T.I)
25=12+14+11 5 3 6N(V.T.I)
25-23+N(V.T.I)

Así pues, N(V.T.I.=2 lo que quiere decir que la empresa requiere a dos personas con
conocimiento de inglés, formación técnica y alguna experiencia en la área de ventas.
Se exige tener conocimientos de inglés nada más que a 4 personas, es decir, esas cuatro
personas no tienen por qué tener formación técnica, ni experiencia en ventas.
Hay una persona con conocimientos de inglés y con experiencia en ventas, pero no
tiene formación técnica
6 con experiencia en ventas
5 con formación técnica
4 con conocimiento de ingles
15 comerciales tienen nada más que una de las características pedidas
17. Libro Fundamento de Matemáticas para bachillerato ESPOL (Pág. 135)
18. ENCONTRAR LA REGIÓN SOMBREADA
Re
T V
I
<<<<<<<<
<<<<
5
2
3
0 5
2
8
4
41
B
A
C
1
2
8
9
12
5
3
4
10
76
1
1

A= {4, 5, 6, 7, 8}
B= {1, 3, 7, 8, 10, 11}
C={4, 5, 6, 7, 8}
C-A={2,3,9, 10}
(C-A)
A-B{4, 5, 6}
[(C-A) {3, 4, 5, 6, 10}
13: Conjuntos
Considere el Re = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10
Y los conjuntos A B = 1, 2, 7
(B C) - A = 8, 9
(A B C) c = 5, 6
N (A)= N (B) = 6
Entonces es verdad que
A: 1, 2, 3,4, 5
B: 5, 6, 7
Re:

C: N (A C) = 2
D: (B C) U (A C)

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