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Por: Keiner Kenedy Ochoa Díaz
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
CEAD – VALLEDUPAR
Lic. MATEMATICAS
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
2023
INTRODUCCION
A continuación, estudiaremos las relaciones establecidas entre el lenguaje
algebraico y el pensamiento funcional junto a la utilidad que se le puede dar al
momento de utilizar las expresiones algebraicas, teoremas, identidades y
ecuaciones trigonométricas.
A demás daremos solución al los ejercicios correspondiente al inciso a, de cada
una de las tareas.
Tarea 1
Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la ley del seno y coseno, Los triángulos
se deben graficar únicamente con el uso del programa GeoGebra.
a=17m b=42m c=31m
■ Hallamos el ángulo A por el
teorema del coseno
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 = −2𝑏𝑐 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2
−2𝑏𝑐
= 𝐶𝑜𝑠𝐴
𝐶𝑜𝑠𝐴 =
(17)2− 42 2 − (31)2
−2(42)(31)
𝐶𝑜𝑠𝐴 =
−2436
−2604
𝐴 = 𝐶𝑜𝑠−1
2436
2604
𝐴 = 20,7°
■ Hallamos el ángulo B por el
teorema del coseno
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐵
𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 = −2𝑎𝑐 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐵
𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2
−2𝑎𝑐
= 𝐶𝑜𝑠𝐵
𝐶𝑜𝑠𝐵 =
(42)2− 17 2 − (31)2
−2(17)(31)
𝐶𝑜𝑠𝐵 = −
257
527
𝐵 = 𝐶𝑜𝑠−1 −
257
527
𝐵 = 119,2°
■ Hallamos el ángulo C con el
teorema del Seno
𝑏
𝑆𝑒𝑛𝐵
=
𝑐
𝑆𝑒𝑛𝐶
𝑆𝑒𝑛𝐶 =
𝑐 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝐵
𝑏
𝐶 = 𝑆𝑒𝑛−1
𝑐 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝐵
𝑏
𝐶 = 𝑆𝑒𝑛−1
31 ∗ 𝑆𝑒𝑛 119,2
42
𝐶 = 40,1°
Tarea 2
Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos (A y B)
de cada triángulo rectángulo que aparecen abajo.
a=17m b=42m c=31m
■ Hallamos el ángulo A=∝ por medio del
teorema de Pitágoras utilizando el Coseno
de ∝
𝐶𝑜𝑠 ∝=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑜𝑠 ∝=
4
4,5
∝= 𝐶𝑜𝑠−1
4
4,5
∝= 27,266°
■ Hallamos el ángulo B= 𝛽 por medio del
teorema de Pitágoras utilizando el Seno de 𝛽
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑆𝑒𝑛𝛽 =
4
4,5
𝛽 = 𝑆𝑒𝑛−1
4
4,5
𝛽 = 62,734°
Tarea 3
Realizar las siguientes identidades trigonométricas
𝐶𝑠𝑐𝑥
𝐶𝑜𝑡𝑥
=
1
𝐶𝑜𝑠𝑥
Solución:
Usando la identidad trigonométrica 𝐶𝑜𝑡𝑥 =
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
reemplazamos
𝐶𝑠𝑐𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
=
1
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
∗ 𝐶𝑠𝑐𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
=
1 ∗
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑠𝑐𝑥 =
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑠𝑐𝑥 =
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝑥
𝐶𝑠𝑐𝑥 =
𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠𝑥
∗
1
𝑆𝑒𝑛𝑥
𝐶𝑠𝑐𝑥 = 1 ∗
1
𝑆𝑒𝑛𝑥
𝐶𝑠𝑐𝑥 =
1
𝑆𝑒𝑛𝑥
Usando la identidad trigonométrica 𝐶𝑠𝑐𝑥 =
1
𝑆𝑒𝑛𝑥
reemplazamos
𝐶𝑠𝑐𝑥 = 𝐶𝑠𝑐𝑥
Tarea 4
Revisar y realizar las siguientes ecuaciones trigonométricas
2𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1
Usando la identidad
trigonométrica 𝐶𝑜𝑠2
𝑥 = 1 −
𝑆𝑒𝑛2
𝑥 reemplazamos
2 1 − 𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1
2 − 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0
−2𝑆𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0
Multiplicamos por -1
2𝑆𝑒𝑛2𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0
Multiplicamos por 2 y dividimos entre
2
2 2𝑆𝑒𝑛2
𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1
2
= 0
4𝑆𝑒𝑛2
𝑥 − 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 2
2
= 0
Factorizando tenemos:
2𝑆𝑒𝑛𝑥 − 2 ∗ 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1
2
= 0
Factor común 2
2 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 ∗ 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1
2
= 0
𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 ∗ 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0
■ Entonces:
𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 ó 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0
𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0
𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1
𝑥 = 𝑆𝑒𝑛−1 1
𝑥 = 90°
2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0
𝑆𝑒𝑛𝑥 = −
1
2
𝑥 = 𝑆𝑒𝑛−1 −
1
2
𝑥 = 30°
Tarea 5
Halla los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 10 cm y 18 cm respectivamente
y forman un ángulo de 43°
∝= 43°
∝= 43°
𝛽 = 137°
𝛽 = 137°
a
a
b
b
■ Para hallar la medida de los ángulos
debemos tener en cuenta los siguientes
aspectos:
■ Dos ángulos opuestos por un vértice
formado por dos rectas tienen la
misma medida. Por lo tanto, ya
tenemos dos ángulos de 43°
■ La sumatoria de los ángulos totales en
un giro completo es igual a 360°,
entonces hacemos:
𝛽 + 𝛽 + 43 + 43 = 360
2𝛽 + 86 = 360
2𝛽 = 360 − 86
𝛽 =
274
2
𝛽 = 137
■ Para hallar la medida de los lados debemos
tener en cuenta que:
■ Las diagonales de un paralelogramo se
cortan en su punto medio. Por lo tanto,
después del punto medio la diagonal se
dividirá entre dos.
■ Llamaremos a las diagonales X y Y donde:
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2
■ Las diagonales y los lados de los
paralelogramos forman triángulos. Por lo
tanto, podemos hallar la medida de sus lados
utilizando teorema del Coseno para lados de
triángulos.
■ Entonces hallamos el lado a y el lado b,
utilizando el teorema del Coseno.
𝑎2 = (𝑥1)2+ 𝑦1)2 − 2 ∗ (𝑥1 ∗ 𝑦1 ∗ 𝐶𝑜𝑠(∝)
𝑎2 = (9)2+ 5)2 − 2(9 ∗ 5 ∗ 𝐶𝑜𝑠(43)
𝑎2 = 81 + 25 − 90 ∗ 𝐶𝑜𝑠(43)
𝑎 = 81 + 25 − 90 ∗ 𝐶𝑜𝑠 43
𝑎 = 6,339𝑐𝑚
■ Para el lado b
𝑏2 = (𝑥1)2+ 𝑦2)2 − 2 ∗ (𝑥1 ∗ 𝑦2 ∗ 𝐶𝑜𝑠(∝)
𝑏2
= (9)2
+ 5)2
− 2(9 ∗ 5 ∗ 𝐶𝑜𝑠(137)
𝑏2
= 81 + 25 − 90 ∗ 𝐶𝑜𝑠(137)
𝑏 = 81 + 25 − 90 ∗ 𝐶𝑜𝑠 137
𝑏 = 13,108𝑐𝑚

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Resolución de ejercicios de álgebra, trigonometría y geometría analítica

  • 1. Por: Keiner Kenedy Ochoa Díaz UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD CEAD – VALLEDUPAR Lic. MATEMATICAS ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 2023
  • 2. INTRODUCCION A continuación, estudiaremos las relaciones establecidas entre el lenguaje algebraico y el pensamiento funcional junto a la utilidad que se le puede dar al momento de utilizar las expresiones algebraicas, teoremas, identidades y ecuaciones trigonométricas. A demás daremos solución al los ejercicios correspondiente al inciso a, de cada una de las tareas.
  • 3. Tarea 1 Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la ley del seno y coseno, Los triángulos se deben graficar únicamente con el uso del programa GeoGebra. a=17m b=42m c=31m
  • 4. ■ Hallamos el ángulo A por el teorema del coseno 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 = −2𝑏𝑐 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 −2𝑏𝑐 = 𝐶𝑜𝑠𝐴 𝐶𝑜𝑠𝐴 = (17)2− 42 2 − (31)2 −2(42)(31) 𝐶𝑜𝑠𝐴 = −2436 −2604 𝐴 = 𝐶𝑜𝑠−1 2436 2604 𝐴 = 20,7° ■ Hallamos el ángulo B por el teorema del coseno 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐵 𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 = −2𝑎𝑐 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐵 𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 −2𝑎𝑐 = 𝐶𝑜𝑠𝐵 𝐶𝑜𝑠𝐵 = (42)2− 17 2 − (31)2 −2(17)(31) 𝐶𝑜𝑠𝐵 = − 257 527 𝐵 = 𝐶𝑜𝑠−1 − 257 527 𝐵 = 119,2° ■ Hallamos el ángulo C con el teorema del Seno 𝑏 𝑆𝑒𝑛𝐵 = 𝑐 𝑆𝑒𝑛𝐶 𝑆𝑒𝑛𝐶 = 𝑐 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝐵 𝑏 𝐶 = 𝑆𝑒𝑛−1 𝑐 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝐵 𝑏 𝐶 = 𝑆𝑒𝑛−1 31 ∗ 𝑆𝑒𝑛 119,2 42 𝐶 = 40,1°
  • 5. Tarea 2 Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos (A y B) de cada triángulo rectángulo que aparecen abajo. a=17m b=42m c=31m
  • 6. ■ Hallamos el ángulo A=∝ por medio del teorema de Pitágoras utilizando el Coseno de ∝ 𝐶𝑜𝑠 ∝= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝐶𝑜𝑠 ∝= 4 4,5 ∝= 𝐶𝑜𝑠−1 4 4,5 ∝= 27,266° ■ Hallamos el ángulo B= 𝛽 por medio del teorema de Pitágoras utilizando el Seno de 𝛽 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑆𝑒𝑛𝛽 = 4 4,5 𝛽 = 𝑆𝑒𝑛−1 4 4,5 𝛽 = 62,734°
  • 7. Tarea 3 Realizar las siguientes identidades trigonométricas 𝐶𝑠𝑐𝑥 𝐶𝑜𝑡𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑠𝑥 Solución: Usando la identidad trigonométrica 𝐶𝑜𝑡𝑥 = 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 reemplazamos 𝐶𝑠𝑐𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝐶𝑠𝑐𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥 ∗ 1 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 1 ∗ 1 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑛𝑥 Usando la identidad trigonométrica 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑛𝑥 reemplazamos 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 𝐶𝑠𝑐𝑥
  • 8. Tarea 4 Revisar y realizar las siguientes ecuaciones trigonométricas 2𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 Usando la identidad trigonométrica 𝐶𝑜𝑠2 𝑥 = 1 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 reemplazamos 2 1 − 𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 2 − 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 −2𝑆𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 Multiplicamos por -1 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0 Multiplicamos por 2 y dividimos entre 2 2 2𝑆𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 2 = 0 4𝑆𝑒𝑛2 𝑥 − 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 2 2 = 0 Factorizando tenemos: 2𝑆𝑒𝑛𝑥 − 2 ∗ 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 2 = 0 Factor común 2 2 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 ∗ 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 2 = 0 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 ∗ 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0 ■ Entonces: 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 ó 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 𝑆𝑒𝑛𝑥 = 1 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛−1 1 𝑥 = 90° 2𝑆𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0 𝑆𝑒𝑛𝑥 = − 1 2 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛−1 − 1 2 𝑥 = 30°
  • 9. Tarea 5 Halla los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 10 cm y 18 cm respectivamente y forman un ángulo de 43° ∝= 43° ∝= 43° 𝛽 = 137° 𝛽 = 137° a a b b
  • 10. ■ Para hallar la medida de los ángulos debemos tener en cuenta los siguientes aspectos: ■ Dos ángulos opuestos por un vértice formado por dos rectas tienen la misma medida. Por lo tanto, ya tenemos dos ángulos de 43° ■ La sumatoria de los ángulos totales en un giro completo es igual a 360°, entonces hacemos: 𝛽 + 𝛽 + 43 + 43 = 360 2𝛽 + 86 = 360 2𝛽 = 360 − 86 𝛽 = 274 2 𝛽 = 137 ■ Para hallar la medida de los lados debemos tener en cuenta que: ■ Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Por lo tanto, después del punto medio la diagonal se dividirá entre dos. ■ Llamaremos a las diagonales X y Y donde: 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 ■ Las diagonales y los lados de los paralelogramos forman triángulos. Por lo tanto, podemos hallar la medida de sus lados utilizando teorema del Coseno para lados de triángulos.
  • 11. ■ Entonces hallamos el lado a y el lado b, utilizando el teorema del Coseno. 𝑎2 = (𝑥1)2+ 𝑦1)2 − 2 ∗ (𝑥1 ∗ 𝑦1 ∗ 𝐶𝑜𝑠(∝) 𝑎2 = (9)2+ 5)2 − 2(9 ∗ 5 ∗ 𝐶𝑜𝑠(43) 𝑎2 = 81 + 25 − 90 ∗ 𝐶𝑜𝑠(43) 𝑎 = 81 + 25 − 90 ∗ 𝐶𝑜𝑠 43 𝑎 = 6,339𝑐𝑚 ■ Para el lado b 𝑏2 = (𝑥1)2+ 𝑦2)2 − 2 ∗ (𝑥1 ∗ 𝑦2 ∗ 𝐶𝑜𝑠(∝) 𝑏2 = (9)2 + 5)2 − 2(9 ∗ 5 ∗ 𝐶𝑜𝑠(137) 𝑏2 = 81 + 25 − 90 ∗ 𝐶𝑜𝑠(137) 𝑏 = 81 + 25 − 90 ∗ 𝐶𝑜𝑠 137 𝑏 = 13,108𝑐𝑚