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  de	
  	
  14	
  1	
  	
  
	
  
ESCUELA	
  SUPERIOR	
  POLITÉCNICA	
  DEL	
  LITORAL	
  
FACULTAD	
  DE	
  CIENCIAS	
  NATURALES	
  Y	
  MATEMÁTICAS	
  
DEPARTAMENTO	
  DE	
  MATEMÁTICAS	
  
CURSO	
  DE	
  NIVELACIÓN	
  2014	
  (2S)	
  
CAPÍTULO:	
  	
  	
  T	
  R	
  I	
  G	
  O	
  N	
  O	
  M	
  E	
  T	
  R	
  Í	
  A	
  
D	
  E	
  B	
  E	
  R	
  	
  	
  	
  	
  5	
  
	
  
	
  
	
  
4.1	
  Ángulos	
  y	
  sus	
  medidas	
  
	
  
1) Defina:	
  
a) Semirrecta.	
  
b) Ángulo.	
  
c) Grado	
  sexagesimal.	
  
d) Radián.	
  
e) Ángulos	
  coterminales.	
  
f) Ángulos	
  consecutivos.	
  
g) Ángulos	
  adyacentes.	
  
h) Ángulos	
  complementarios.	
  
i) Ángulos	
  suplementarios.	
  
j) Ángulos	
  opuestos	
  por	
  el	
  vértice.	
  
	
  
2) Dos	
  ángulos	
  complementarios	
  son	
  siempre	
  agudos.	
  
a)	
  Verdadero	
   	
   b)	
  Falso	
  
Respuesta:	
  a)	
  
	
  
3) Dos	
  ángulos	
  suplementarios	
  son	
  siempre	
  agudos.	
  
a)	
  Verdadero	
   	
   b)	
  Falso	
  
Respuesta:	
  b)	
  
	
  
4) Dos	
  ángulos	
  opuestos	
  por	
  el	
  vértice	
  siempre	
  son	
  complementarios.	
  
a)	
  Verdadero	
   	
   b)	
  Falso	
  
Respuesta:	
  b)	
  
	
  
5) Dos	
  ángulos	
  opuestos	
  por	
  el	
  vértice	
  siempre	
  son	
  suplementarios.	
  
a)	
  Verdadero	
   	
   b)	
  Falso	
  
Respuesta:	
  b)	
  
	
  
6) Dos	
  ángulos	
  son	
  adyacentes	
  si	
  son	
  consecutivos	
  y	
  son	
  suplementarios.	
  
Respuesta:	
  a)	
  
	
  
7) La	
  medida	
  del	
  ángulo	
  suplementario	
  de	
  x	
  es	
  igual	
  a	
  123o
.	
  Calcule	
  la	
  medida	
  del	
  ángulo	
  x	
  y	
  la	
  
medida	
  de	
  su	
  ángulo	
  complementario.	
  
Respuesta:	
  57o
,	
  33o
	
  
	
  
8) Si	
  la	
  medida	
  de	
  8	
  ángulos	
  congruentes	
  es	
  igual	
  a	
  180o
,	
  calcule	
  la	
  medida	
  de	
  cada	
  ángulo	
  en	
  
radianes.	
  
	
   Respuesta:	
  π/8	
  
Página	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  de	
  	
  14	
  2	
  	
  
	
  
9) Transforme	
   cada	
   ángulo	
   de	
   grados	
   sexagesimales	
   a	
   radianes	
   y	
   ubíquelos	
   en	
   el	
   cuadrante	
  
respectivo.	
  
a) 420	
  °	
  
b) 2000°	
  
c) –300°	
  
d) –100°	
  
e) –510°	
  
f) 240°	
  
Respuesta:	
  a)	
  7π/3,	
  b)	
  100π/9,	
  c)	
  –5π/3,	
  d)	
  –5π/9,	
  e)	
  –17π/6,	
  f)	
  4π/3	
  
	
  
10) Transforme	
   cada	
   ángulo	
   de	
   radianes	
   a	
   grados	
   sexagesimales	
   y	
   ubíquelos	
   en	
   el	
   cuadrante	
  
respectivo.	
  
a)
!
!
	
  radianes	
  
b)
!!
!
	
  radianes	
  	
  
c) −
!!
!
	
  radianes	
  	
  
d) −
!!
!
	
  radianes	
  
e)
!!
!
	
  radianes	
  
f)
!!
!
	
  radianes	
  
Respuesta:	
  a)	
  60o
,	
  b)	
  120o
,	
  c)	
  –225o
,	
  d)	
  –630o
,	
  e)	
  210o
,	
  f)	
  150o
	
  
	
  
4.2	
  Funciones	
  trigonométricas	
  elementales	
  
	
  
11) Determine,	
  sin	
  usar	
  calculadora,	
  el	
  valor	
  numérico	
  de	
  las	
  siguientes	
  expresiones:	
  
a)	
   𝑐 𝑜𝑠 225!
	
   	
   b)	
   𝑡 𝑎𝑛 150!
	
   	
   c)	
   𝑠 𝑒𝑛 −
!
!
	
   	
   d)	
   𝑠 𝑒𝑐
!!
!
	
  
e)	
   𝑐 𝑜𝑡
!!
!
	
   	
   f)	
   𝑐 𝑠𝑐 300!
	
   	
   g)	
   𝑠 𝑒𝑛 315!
	
   	
   h)	
   𝑐 𝑜𝑠 −150!
	
  
Respuesta:	
   𝑎) −
!
!
, 𝑏) −
!
!
,      𝑐) −
!
!
  ,      𝑑) − 2,	
   𝑒) − 1,      𝑓) −
! !
!
,      𝑔) −
!
!
, ℎ) −
!
!
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
12) Especificando	
  los	
  resultados	
  parciales,	
  calcule	
  el	
  valor	
  numérico	
  de:	
  
𝑐𝑜𝑠 300!
+ 𝑠𝑒𝑛 330!
+ 𝑡𝑎𝑛 −135!
	
  
Respuesta:	
  1	
  
	
  
13) Especificando	
  los	
  resultados	
  parciales,	
  calcule	
  el	
  valor	
  numérico	
  de:	
  
3cos
π
6
!
"
#
$
%
&+ sen
5π
6
!
"
#
$
%
&− tan
π
3
!
"
#
$
%
& 	
  
Respuesta:	
  
3 +1
2
	
  
	
  
14) Especificando	
  los	
  resultados	
  parciales,	
  calcule	
  el	
  valor	
  numérico	
  de:  
𝑐𝑜𝑠 2𝜋
3
+tan   5𝜋
4
𝑠𝑒𝑛 5𝜋
3
	
  
	
  
Respuesta:	
  −
!
!
	
  
Página	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  de	
  	
  14	
  3	
  	
  
	
  
15) Especificando	
  los	
  resultados	
  parciales,	
  calcule	
  el	
  valor	
  numérico	
  de:	
  
2sen2 π
6
!
"
#
$
%
&cos2
π( )
4tan
π
4
!
"
#
$
%
&sen2 3π
4
!
"
#
$
%
&
	
  
Respuesta:	
  
!
!
	
  
	
  
16) Determine	
  los	
  valores	
  de	
  las	
  funciones	
  trigonométricas	
  del	
  ángulo	
  𝛼	
  definido	
  por	
  el	
  punto	
  P,	
  
el	
  origen	
  de	
  coordenadas	
  y	
  el	
  semieje	
   𝑋	
  positivo.	
  
	
  
a)	
   𝑃 = (0,1)	
  
Respuesta:	
  	
   𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = 1	
   𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0	
   	
   𝑡𝑎𝑛 𝛼   𝑒𝑠𝑡á  𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎	
   	
  
𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 0	
   	
   𝑠𝑒𝑐 𝛼   𝑒𝑠𝑡á  𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎	
   	
   𝑐𝑠𝑐 𝛼 = 1	
  
	
  
b)	
   𝑃 = (6, −7)	
  
Respuesta:	
  	
  	
   𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −
! !"
!"
	
   𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
! !"
!"
	
   	
   𝑡𝑎𝑛 𝛼 = −
!
!
	
   	
  
𝑐𝑜𝑡 𝛼 = −
!
!
	
   	
   𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
!"
!
	
   	
   𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −
!"
!
	
  
	
  
c)	
   𝑃 = (−3, −2)	
  
Respuesta:	
   	
  	
   𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = −
! !"
!"
	
   𝑐𝑜𝑠 𝛼 = −
! !"
!"
	
   𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
!
!
	
   	
  
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
!
!
	
   	
   𝑠𝑒𝑐 𝛼 = −
!"
!
	
   𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −
!"
!
	
  
	
  
17) En	
  cada	
  caso,	
  determine	
  los	
  valores	
  de	
  las	
  restantes	
  funciones	
  trigonométricas	
  sabiendo	
  que:	
  
	
  
a)	
   𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = −
!
!
	
  	
  ,	
  con	
   𝛼	
  en	
  el	
  tercer	
  cuadrante.	
  
Respuesta:	
   	
   𝑐 𝑜𝑠 𝛼 = −
!
!
	
  	
   𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
!
!
	
   	
   	
  
𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 3	
   	
   𝑠𝑒𝑐 𝛼 = −
! !
!
	
   	
   𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −2	
  
	
  
b)	
   𝑐 𝑜𝑠 𝛼 =
!
!
	
  	
  ,	
  con	
   𝛼	
  en	
  el	
  cuarto	
  cuadrante.	
  
Respuesta:	
   𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −
!
!
	
  	
   𝑡𝑎𝑛 𝛼 = −
!
!
	
  	
   	
  
𝑐𝑜𝑡 𝛼 = −
! !
!
	
  	
   𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
!
!
	
   	
   𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −
! !
!
	
  
	
  
c)	
   𝑡 𝑎𝑛 𝛼 = 3	
  	
  ,	
  con	
   𝛼	
  en	
  el	
  primer	
  cuadrante.	
  
Respuesta:	
   𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
! !"
!"
	
   	
   𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
!"
!"
	
   	
   	
  
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
!
!
	
   	
   𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 10	
   	
   𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
!"
!
	
  
	
  
18) El	
  valor	
  aproximado	
  de:	
       𝑐𝑜𝑠
!
!
−
!
!
+
!
!
−
!
!
+
!
!
−
!
!"
+ ⋯ 	
  
es	
  igual	
  a:	
  
a)	
  0	
   	
   b)	
  1/2	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
   c)	
  2	
   	
  	
  	
  	
  	
   d)	
  3	
   	
   e)	
  4	
  
Respuesta:	
  b)	
  
Página	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  de	
  	
  14	
  4	
  	
  
4.3	
  Gráficas	
  de	
  funciones	
  trigonométricas	
  
	
  
19) Bosqueje	
  la	
  gráfica	
  de	
  la	
  función	
   𝑓 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 ∈ −2𝜋, 2𝜋 	
  
	
  
20) Bosqueje	
  la	
  gráfica	
  de	
  la	
  función	
   𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 2𝜋𝑥 , 𝑥 ∈ −1,1 	
  
	
  
21) Bosqueje	
  la	
  gráfica	
  de	
  la	
  función	
   𝑓 𝑥 = −3𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 −
!
!
, 𝑥 ∈ −2,2 	
  
	
  
22) Considerando	
  la	
  función	
  del	
  ejercicio	
  anterior,	
  ahora	
  bosqueje	
  la	
  gráfica	
  de:	
  
𝑔 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑓 𝑥 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  y	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ℎ 𝑥 = 𝜇 𝑓 𝑥 	
  
	
  
23) Bosqueje	
   la	
   gráfica	
   de	
   la	
   función	
   f : −4π,4π!
"
#
$ ! " 	
   cuya	
   regla	
   de	
   correspondencia	
   es	
  
f x( )= 2e
cos x( )
.	
  Describa	
  las	
  características	
  de	
  esta	
  función:	
  inyectiva,	
  sobreyectiva,	
  biyectiva,	
  
inversible,	
  par,	
  impar,	
  intervalos	
  de	
  monotonía,	
  acotada,	
  periódica.	
  
	
  
24) Restrinja	
  el	
  dominio	
  para	
   x ∈ −2π,2π( )	
  y	
  bosqueje	
  la	
  gráfica	
  de	
   f x( )= ln sen x( )( )	
  
	
  
25) Defina	
  un	
  dominio	
  adecuado	
  y	
  bosqueje	
  la	
  gráfica	
  de	
  la	
  función	
   f x( )= e
ln cos πx( )( ) 	
  
	
  
26) Considere	
  la	
  gráfica	
  de	
  una	
  función	
  de	
  variable	
  real:	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Su	
  regla	
  de	
  correspondencia	
  es:	
  
a) f x( )= µ sen 2x( )( )	
  
b) f x( )= µ tan 2x( )( )	
  
c) f x( )= µ csc 2x( )( )	
  
d) f x( )= µ cot 2x( )( )	
  
e) f x( )= µ sec 2x( )( )	
  
Respuesta:	
  a)	
  
Página	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  de	
  	
  14	
  5	
  	
  
	
  
27) Respecto	
  a	
  la	
  función	
  de	
  variable	
  real	
   f 	
  tal	
  que	
   f x( )=
π
2
cos π x + π( )+1; x ∈ −3,5#
$
%
&,	
  
es	
  FALSO	
  que:	
  
a) f x( )≥ 0 	
  en	
  todo	
  su	
  dominio.	
  
b) Es	
  una	
  función	
  acotada.	
  
c) Es	
  creciente	
  en	
  el	
  intervalo	
   2,3( )	
  
d) Es	
  decreciente	
  en	
  el	
  intervalo	
  
!
!
,
!
!
	
  	
  
e) Es	
  una	
  función	
  periódica.	
  
Respuesta:	
  d)	
  
	
  
28) El	
  número	
  de	
  horas	
  de	
  luz	
  natural	
  para	
  un	
  área	
  particular	
  se	
  puede	
  modelar	
  con	
  la	
  expresión:	
  
𝐷(𝑡) =
5
2
𝑠𝑒𝑛
1
2
𝑡 −
𝜋
6
	
  
Donde	
   D	
   es	
   el	
   número	
   de	
   horas	
   de	
   luz	
   natural	
   y	
   t	
   es	
   el	
   día	
   del	
   año,	
   considerando	
   t=1	
  
correspondiente	
   al	
   primero	
   de	
   enero.	
   Trace	
   la	
   gráfica	
   de	
   esta	
   función	
   e	
   indique	
   período,	
  
amplitud	
  y	
  ángulo	
  de	
  fase.	
  
	
  
29) Exprese	
  la	
  amplitud	
  A	
  y	
  el	
  período	
  T	
  de	
  cada	
  función	
  en	
  los	
  problemas	
  siguientes	
  y	
  grafique	
  la	
  
función	
  sobre	
  el	
  intervalo	
  indicado:	
  
a)	
     𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥, −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋	
  
b)	
     𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠2𝑥, −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋	
  
c)	
     𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛4𝑥, −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋	
  
d)	
     𝑦 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠
!"
!
, −4 ≤ 𝑥 ≤ 4	
  
e)	
   𝑦   = 4 − 2𝑐𝑜𝑠
!
!
, −4𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 4𝜋	
  
	
  
30) Un	
   peso	
   de	
   6	
   libras	
   cuelga	
   del	
   final	
   de	
   un	
   resorte	
   que	
   se	
   estira	
   1/3	
   de	
   pie	
   debajo	
   de	
   la	
  
posición	
  del	
  equilibrio	
  y	
  entonces	
  se	
  libera.	
  Si	
  la	
  resistencia	
  del	
  aire	
  y	
  la	
  fricción	
  se	
  desprecian,	
  
la	
  distancia	
   𝑥,	
  que	
  el	
  peso	
  se	
  desplaza	
  con	
  respecto	
  de	
  su	
  posición	
  de	
  equilibrio	
  en	
  un	
  tiempo	
  
𝑡,	
  medido	
  en	
  segundos,	
  está	
  dada	
  por	
   𝑥 =
!
!
cos  (8𝑡).	
  Exprese	
  el	
  período	
  T	
  y	
  la	
  amplitud	
  A	
  de	
  
esta	
  función,	
  y	
  grafique	
  	
  para	
  0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.	
  
	
  
31) Un	
  generador	
  de	
  corriente	
  alterna	
  genera	
  una	
  corriente	
  dada	
  por	
  𝐼 = 30𝑠𝑒𝑛 120𝑡 	
  donde	
  	
  t	
  
es	
  el	
  tiempo	
  en	
  segundos.	
  ¿Cuál	
  es	
  la	
  amplitud	
  A	
  y	
  el	
  período	
  T	
  de	
  esta	
  función?	
  	
  ¿Cuál	
  es	
  la	
  
frecuencia	
   de	
   la	
   corriente?;	
   es	
   decir,	
   ¿Cuántos	
   ciclos	
   (períodos)	
   se	
   completarán	
   en	
   un	
  
segundo?	
  
	
  
32) Si	
  el	
  voltaje	
  E	
  en	
  un	
  circuito	
  eléctrico	
  tiene	
  una	
  amplitud	
  de	
  110	
  voltios	
  y	
  un	
  período	
  de	
  1/60	
  
segundos,	
  y	
  si	
  𝐸 = 110  𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠	
  	
  cuando	
  𝑡 = 0  𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠,	
  encuentre	
  una	
  ecuación	
  de	
  la	
  forma	
  
𝐸 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝐵𝑡 	
  que	
  entregue	
  el	
  voltaje	
  para	
  cualquier	
  valor	
  de	
   𝑡 ≥ 0.	
  
	
  
33) La	
  cantidad	
  de	
  bióxido	
  de	
  azufre,	
  obtenido	
  de	
  la	
  combustión	
  de	
  hidrocarburos,	
  liberado	
  hacia	
  
la	
   atmósfera	
   en	
   una	
   ciudad,	
   varía	
   durante	
   el	
   año.	
   Suponga	
   que	
   el	
   número	
   toneladas	
   de	
  
bióxido	
  de	
  azufre	
  liberado	
  hacia	
  la	
  atmósfera,	
  en	
  una	
  ciudad,	
  durante	
  la	
  semana	
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Grafique	
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Página	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  de	
  	
  14	
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34) En	
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  • 1. Página                  de    14  1       ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL   FACULTAD  DE  CIENCIAS  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS   DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS   CURSO  DE  NIVELACIÓN  2014  (2S)   CAPÍTULO:      T  R  I  G  O  N  O  M  E  T  R  Í  A   D  E  B  E  R          5         4.1  Ángulos  y  sus  medidas     1) Defina:   a) Semirrecta.   b) Ángulo.   c) Grado  sexagesimal.   d) Radián.   e) Ángulos  coterminales.   f) Ángulos  consecutivos.   g) Ángulos  adyacentes.   h) Ángulos  complementarios.   i) Ángulos  suplementarios.   j) Ángulos  opuestos  por  el  vértice.     2) Dos  ángulos  complementarios  son  siempre  agudos.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  a)     3) Dos  ángulos  suplementarios  son  siempre  agudos.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     4) Dos  ángulos  opuestos  por  el  vértice  siempre  son  complementarios.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     5) Dos  ángulos  opuestos  por  el  vértice  siempre  son  suplementarios.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     6) Dos  ángulos  son  adyacentes  si  son  consecutivos  y  son  suplementarios.   Respuesta:  a)     7) La  medida  del  ángulo  suplementario  de  x  es  igual  a  123o .  Calcule  la  medida  del  ángulo  x  y  la   medida  de  su  ángulo  complementario.   Respuesta:  57o ,  33o     8) Si  la  medida  de  8  ángulos  congruentes  es  igual  a  180o ,  calcule  la  medida  de  cada  ángulo  en   radianes.     Respuesta:  π/8  
  • 2. Página                  de    14  2       9) Transforme   cada   ángulo   de   grados   sexagesimales   a   radianes   y   ubíquelos   en   el   cuadrante   respectivo.   a) 420  °   b) 2000°   c) –300°   d) –100°   e) –510°   f) 240°   Respuesta:  a)  7π/3,  b)  100π/9,  c)  –5π/3,  d)  –5π/9,  e)  –17π/6,  f)  4π/3     10) Transforme   cada   ángulo   de   radianes   a   grados   sexagesimales   y   ubíquelos   en   el   cuadrante   respectivo.   a) ! !  radianes   b) !! !  radianes     c) − !! !  radianes     d) − !! !  radianes   e) !! !  radianes   f) !! !  radianes   Respuesta:  a)  60o ,  b)  120o ,  c)  –225o ,  d)  –630o ,  e)  210o ,  f)  150o     4.2  Funciones  trigonométricas  elementales     11) Determine,  sin  usar  calculadora,  el  valor  numérico  de  las  siguientes  expresiones:   a)   𝑐 𝑜𝑠 225!     b)   𝑡 𝑎𝑛 150!     c)   𝑠 𝑒𝑛 − ! !     d)   𝑠 𝑒𝑐 !! !   e)   𝑐 𝑜𝑡 !! !     f)   𝑐 𝑠𝑐 300!     g)   𝑠 𝑒𝑛 315!     h)   𝑐 𝑜𝑠 −150!   Respuesta:   𝑎) − ! ! , 𝑏) − ! ! ,      𝑐) − ! !  ,      𝑑) − 2,   𝑒) − 1,      𝑓) − ! ! ! ,      𝑔) − ! ! , ℎ) − ! !                       12) Especificando  los  resultados  parciales,  calcule  el  valor  numérico  de:   𝑐𝑜𝑠 300! + 𝑠𝑒𝑛 330! + 𝑡𝑎𝑛 −135!   Respuesta:  1     13) Especificando  los  resultados  parciales,  calcule  el  valor  numérico  de:   3cos π 6 ! " # $ % &+ sen 5π 6 ! " # $ % &− tan π 3 ! " # $ % &   Respuesta:   3 +1 2     14) Especificando  los  resultados  parciales,  calcule  el  valor  numérico  de:   𝑐𝑜𝑠 2𝜋 3 +tan   5𝜋 4 𝑠𝑒𝑛 5𝜋 3     Respuesta:  − ! !  
  • 3. Página                  de    14  3       15) Especificando  los  resultados  parciales,  calcule  el  valor  numérico  de:   2sen2 π 6 ! " # $ % &cos2 π( ) 4tan π 4 ! " # $ % &sen2 3π 4 ! " # $ % &   Respuesta:   ! !     16) Determine  los  valores  de  las  funciones  trigonométricas  del  ángulo  𝛼  definido  por  el  punto  P,   el  origen  de  coordenadas  y  el  semieje   𝑋  positivo.     a)   𝑃 = (0,1)   Respuesta:     𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = 1   𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0     𝑡𝑎𝑛 𝛼  𝑒𝑠𝑡á  𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎     𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 0     𝑠𝑒𝑐 𝛼  𝑒𝑠𝑡á  𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎     𝑐𝑠𝑐 𝛼 = 1     b)   𝑃 = (6, −7)   Respuesta:       𝑠𝑒𝑛 𝛼 = − ! !" !"   𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ! !" !"     𝑡𝑎𝑛 𝛼 = − ! !     𝑐𝑜𝑡 𝛼 = − ! !     𝑠𝑒𝑐 𝛼 = !" !     𝑐𝑠𝑐 𝛼 = − !" !     c)   𝑃 = (−3, −2)   Respuesta:       𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = − ! !" !"   𝑐𝑜𝑠 𝛼 = − ! !" !"   𝑡𝑎𝑛 𝛼 = ! !     𝑐𝑜𝑡 𝛼 = ! !     𝑠𝑒𝑐 𝛼 = − !" !   𝑐𝑠𝑐 𝛼 = − !" !     17) En  cada  caso,  determine  los  valores  de  las  restantes  funciones  trigonométricas  sabiendo  que:     a)   𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = − ! !    ,  con   𝛼  en  el  tercer  cuadrante.   Respuesta:     𝑐 𝑜𝑠 𝛼 = − ! !     𝑡𝑎𝑛 𝛼 = ! !       𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 3     𝑠𝑒𝑐 𝛼 = − ! ! !     𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −2     b)   𝑐 𝑜𝑠 𝛼 = ! !    ,  con   𝛼  en  el  cuarto  cuadrante.   Respuesta:   𝑠𝑒𝑛 𝛼 = − ! !     𝑡𝑎𝑛 𝛼 = − ! !       𝑐𝑜𝑡 𝛼 = − ! ! !     𝑠𝑒𝑐 𝛼 = ! !     𝑐𝑠𝑐 𝛼 = − ! ! !     c)   𝑡 𝑎𝑛 𝛼 = 3    ,  con   𝛼  en  el  primer  cuadrante.   Respuesta:   𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ! !" !"     𝑐𝑜𝑠 𝛼 = !" !"       𝑐𝑜𝑡 𝛼 = ! !     𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 10     𝑐𝑠𝑐 𝛼 = !" !     18) El  valor  aproximado  de:      𝑐𝑜𝑠 ! ! − ! ! + ! ! − ! ! + ! ! − ! !" + ⋯   es  igual  a:   a)  0     b)  1/2               c)  2             d)  3     e)  4   Respuesta:  b)  
  • 4. Página                  de    14  4     4.3  Gráficas  de  funciones  trigonométricas     19) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función   𝑓 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 ∈ −2𝜋, 2𝜋     20) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función   𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 2𝜋𝑥 , 𝑥 ∈ −1,1     21) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función   𝑓 𝑥 = −3𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 − ! ! , 𝑥 ∈ −2,2     22) Considerando  la  función  del  ejercicio  anterior,  ahora  bosqueje  la  gráfica  de:   𝑔 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑓 𝑥                                              y                                                            ℎ 𝑥 = 𝜇 𝑓 𝑥     23) Bosqueje   la   gráfica   de   la   función   f : −4π,4π! " # $ ! "   cuya   regla   de   correspondencia   es   f x( )= 2e cos x( ) .  Describa  las  características  de  esta  función:  inyectiva,  sobreyectiva,  biyectiva,   inversible,  par,  impar,  intervalos  de  monotonía,  acotada,  periódica.     24) Restrinja  el  dominio  para   x ∈ −2π,2π( )  y  bosqueje  la  gráfica  de   f x( )= ln sen x( )( )     25) Defina  un  dominio  adecuado  y  bosqueje  la  gráfica  de  la  función   f x( )= e ln cos πx( )( )     26) Considere  la  gráfica  de  una  función  de  variable  real:                               Su  regla  de  correspondencia  es:   a) f x( )= µ sen 2x( )( )   b) f x( )= µ tan 2x( )( )   c) f x( )= µ csc 2x( )( )   d) f x( )= µ cot 2x( )( )   e) f x( )= µ sec 2x( )( )   Respuesta:  a)  
  • 5. Página                  de    14  5       27) Respecto  a  la  función  de  variable  real   f  tal  que   f x( )= π 2 cos π x + π( )+1; x ∈ −3,5# $ % &,   es  FALSO  que:   a) f x( )≥ 0  en  todo  su  dominio.   b) Es  una  función  acotada.   c) Es  creciente  en  el  intervalo   2,3( )   d) Es  decreciente  en  el  intervalo   ! ! , ! !     e) Es  una  función  periódica.   Respuesta:  d)     28) El  número  de  horas  de  luz  natural  para  un  área  particular  se  puede  modelar  con  la  expresión:   𝐷(𝑡) = 5 2 𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑡 − 𝜋 6   Donde   D   es   el   número   de   horas   de   luz   natural   y   t   es   el   día   del   año,   considerando   t=1   correspondiente   al   primero   de   enero.   Trace   la   gráfica   de   esta   función   e   indique   período,   amplitud  y  ángulo  de  fase.     29) Exprese  la  amplitud  A  y  el  período  T  de  cada  función  en  los  problemas  siguientes  y  grafique  la   función  sobre  el  intervalo  indicado:   a)     𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥, −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋   b)     𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠2𝑥, −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋   c)     𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛4𝑥, −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋   d)     𝑦 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠 !" ! , −4 ≤ 𝑥 ≤ 4   e)   𝑦   = 4 − 2𝑐𝑜𝑠 ! ! , −4𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 4𝜋     30) Un   peso   de   6   libras   cuelga   del   final   de   un   resorte   que   se   estira   1/3   de   pie   debajo   de   la   posición  del  equilibrio  y  entonces  se  libera.  Si  la  resistencia  del  aire  y  la  fricción  se  desprecian,   la  distancia   𝑥,  que  el  peso  se  desplaza  con  respecto  de  su  posición  de  equilibrio  en  un  tiempo   𝑡,  medido  en  segundos,  está  dada  por   𝑥 = ! ! cos  (8𝑡).  Exprese  el  período  T  y  la  amplitud  A  de   esta  función,  y  grafique    para  0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.     31) Un  generador  de  corriente  alterna  genera  una  corriente  dada  por  𝐼 = 30𝑠𝑒𝑛 120𝑡  donde    t   es  el  tiempo  en  segundos.  ¿Cuál  es  la  amplitud  A  y  el  período  T  de  esta  función?    ¿Cuál  es  la   frecuencia   de   la   corriente?;   es   decir,   ¿Cuántos   ciclos   (períodos)   se   completarán   en   un   segundo?     32) Si  el  voltaje  E  en  un  circuito  eléctrico  tiene  una  amplitud  de  110  voltios  y  un  período  de  1/60   segundos,  y  si  𝐸 = 110  𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠    cuando  𝑡 = 0  𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠,  encuentre  una  ecuación  de  la  forma   𝐸 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝐵𝑡  que  entregue  el  voltaje  para  cualquier  valor  de   𝑡 ≥ 0.     33) La  cantidad  de  bióxido  de  azufre,  obtenido  de  la  combustión  de  hidrocarburos,  liberado  hacia   la   atmósfera   en   una   ciudad,   varía   durante   el   año.   Suponga   que   el   número   toneladas   de   bióxido  de  azufre  liberado  hacia  la  atmósfera,  en  una  ciudad,  durante  la  semana   𝑛  del  año   está  dada  por:               𝐴 𝑛 = ! ! + 𝑐𝑜𝑠 !" !"    ;            0 ≤ 𝑛 ≤ 104   Grafique  la  función  en  el  intervalo  indicado  y  describa  lo  que  muestra  la  gráfica.  
  • 6. Página                  de    14  6       34) En  los  problemas  siguientes,  encuentra  la  ecuación  de  la  forma   𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥 ,  que  produzca   la  gráfica  mostrada.   a)       b)       c)         d)      
  • 7. Página                  de    14  7     35) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función:     f x( )= sgn cos 2x( )( ) x ∈ −2π,2π# $ % &     36) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función:     f x( )= sen x 2 ! " # $ % & x ∈ −2π,2π) * + ,     37) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función:     f x( )=1− tan π − x( ) x ∈ −2π,2π# $ % &     38) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función:     f x( )= µ sec x( )( ) x ∈ −2π,2π# $ % &     4.4  Funciones  trigonométricas  inversas     39) Determine  el  ángulo   𝜃 ∈ [0,2𝜋)  en  cada  caso:   a)   𝑠 𝑒𝑛 𝜃 = ! ! ; 𝑐𝑜𝑠 𝜃 < 0                                  b)   𝑡 𝑎𝑛 𝜃 = ! ! ; 𝐶𝑜𝑠(𝜃) < 0   c)   𝑠 𝑒𝑐 𝜃 = 3; 𝑐𝑜𝑠(𝜃) > 0         d)   𝑠 𝑒𝑐 𝜃 = − !" !" ; 𝐶𝑠𝑐(𝜃) < 0   e)   𝑠 𝑒𝑛 𝜃 = ! ! ; 𝜃  𝑒𝑛  𝑒𝑙  𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜  𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒       f)   𝑐 𝑜𝑠 𝜃 = − ! !" ; 𝜃  𝑒𝑛  𝑒𝑙  𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟  𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒     40) Si   𝑓: −1, − ! ! → −𝜋, 𝜋   tal   que   𝑓 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2),   determine   la   regla   de   correspondecia  de  su  función  inversa  𝑓!! .  Luego  grafique  la  función  identidad,  𝑓y  𝑓!!  en  el   mismo  plano  cartesiano.   Respuesta:   𝑓!! 𝑥 = ! ! 𝑠𝑒𝑛 ! ! − 2 ;    𝑥 ∈ −𝜋, 𝜋     41) Si   𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ! !      y   𝑧 ∈ ! ! , 𝜋 ,  calcule   𝑐𝑜𝑠 𝑧 + 𝑡𝑎𝑛(𝑧)   Respuesta:   !!!! ! !     42) Al   considerar   dos   ángulos   en   el   primer   cuadrante,   el   valor   numérico   de   la   expresión   trigonométrica:   ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 3 1 arcsenarcsensen   es  igual  a:   a) 9 245 +   b) 9 245 −   c) 24−   d) 5   e) 1   Respuesta:  a)    
  • 8. Página                  de    14  8     43) Sea   la   función   de   variable   real   f x( )= e−2x−3 , x ≤ − 3 2 sen π x( ), − 3 2 < x < − 1 2 log1 2 2x +3( ), x ≥ − 1 2 $ % & & & ' & & & ,   la   regla   de   correspondencia  de  su  función  inversa  es:   a) f −1 x( )= −3−ln x( ) 2 , x ≥1 arcsen x( ) π , −1< x <1 1 2 # $ % & ' ( x −3 2 , x ≤ −1 * + , , , ,, - , , , , ,   b) f −1 x( )= ln x +3( ) 2 , x ≥ 3 2 arcsen x( ) 2π , −1< x < 3 2 2( ) x −1 2 , x ≤ −1 $ % & & && ' & & & &   c) f −1 x( )= arcsen π x( ) 2 , x ≥1 1 2 # $ % & ' ( x −3 2 , x <1 ) * + ++ , + + +   d) f −1 x( )= ln x( ) 2 , x ≥ 2 arcsen x( ) 2 , −1< x < 2 2x +1 2 , x ≤ −1 $ % & & && ' & & & &  
  • 9. Página                  de    14  9     e) f −1 x( )= −3−ln x( ) 2 , x ≤ − 3 2 arcsen x( ) π , − 3 2 < x < − 1 2 1 2 # $ % & ' ( x −3 2 , x ≥ − 1 2 * + , , , ,, - , , , , ,   Respuesta:  a)       44) Sean   dos   ángulos   de   medidas   α   y   β   que   están   en   el   primer   cuadrante,   donde   ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 5 2 arccosα  y   ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 10 3 arccosβ ,  entonces  la  medida  del  ángulo   βα +  es:   a)   6 π     b)   4 π     c)   3 π     d)   2 π     e)   3 2π   Respuesta:  b)       45) Defina  un  dominio  adecuado  y  bosqueje  la  gráfica  de  la  función   f x( )= arcsen 2x − 4( )   Respuesta:   dom f = 3 2 , 5 2 ! " # $ % &     46) Calcule  el  valor  solicitado  en  el  primer  cuadrante:   cos arcsen x( )( )     47) Calcule  el  valor  solicitado  en  el  tercer  cuadrante:   cos arctan x( )( )     48) Calcule  el  valor  solicitado  en  el  segundo  cuadrante:   sen arctan − 5 3 " # $ % & ' " # $ % & '     49) Calcule  el  valor  solicitado  en  el  cuarto  cuadrante:   arccos cos − π 6 " # $ % & ' " # $ % & '     50) El  valor  aproximado  de   ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+−+− ..... 1286432 coslog6 ππππππ π arcsen   es:   a)  0     b)  1     c)  –1     d)log6 π 1 2 ! " # $ % &     e) logπ 6 1 2 ! " # $ % &   Respuesta:  c)        
  • 10. Página                  de    14  10     51) Considere  que  los  ángulos  están  en  el  primer  cuadrante:   € x = sec arccos 3 2 " # $ % & ' " # $$ % & ''     € y = csc arccos 3 2 " # $ % & ' " # $$ % & ''   El  resultado  de  la  suma   x + y( )  es  igual  a:   a) € 2 3 3+ 3( )   b) € 1 2 3+ 2( )   c) € 3 2 2 + 2( )   d) € 1 3 2 + 3( )   e) € 1 2 3+ 3( )   Respuesta:  a)     52) Sea   f : −2,2" # $ % ! 0, π 3 " # & $ % '  definida  por   f x( )= 1 3 arcsen − x 2 ! " # $ % &+ π 6   La  regla  de  correspondencia  de   1− f ,  es:   a) f −1 : 0, π 3 " # $ % & ' ! −2,2" # % &/ f −1 x( )= −2sen 3x − π 2 ( ) * + , -   b) f −1 : 0, π 3 " # $ % & ' ! −2,2" # % &/ f −1 x( )= −2sen 3x( )   c) f −1 : 0, π 3 " # $ % & ' ! −2,2" # % &/ f −1 x( )= −cos 3x( )   d) f −1 : 0, π 3 " # $ % & ' ! −2,2" # % &/ f −1 x( )= 3sen 2x( )   e) f −1 : 0, π 3 " # $ % & ' ! −2,2" # % &/ f −1 x( )= −2sen 3x + π 2 ( ) * + , -   Respuesta:  a)     53) Si    α = arctan − 7 24 " # $ % & '    y     β = arccot 3 4 ! " # $ % &,       π 2 < α < π, π < β < 3π 2 ,    entonces  el  valor  de   cos α + β( ),  es  igual  a:   a) 4 5     b)   4 5 −     c)   5 4     d)   5 4 −     e)   125 44   Respuesta:  c)      
  • 11. Página                  de    14  11     4.5  Identidades  trigonométricas     54) Al  simplificar  la  expresión  trigonométrica:   −2cot 2x( ) cos3 x( )csc x( )− sen3 x( )sec x( )   se  obtiene:   a) –4     b)  –1     c)  –1/4     d)  1     e)  2     Respuesta:  b)     55) Demuestre  que:   1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑠𝑒𝑐(𝜃) = 𝑐𝑜𝑠!(𝜃) 1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)     56) Demuestre  que:   𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(4𝜃) 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠(4𝜃) = 𝑡𝑎𝑛(3𝜃)     57) Demuestre  las  siguientes  identidades:   a)       !!" !! !!!"(!!) !!" !! !!!"(!!) = 𝑡𝑎𝑛(6𝑥)         b)   𝑐 𝑜𝑠! ! ! = ! ! 1 + 𝑐𝑜𝑠 !! !     58) Demuestre  que:   1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1     59) Si   𝛼  y   𝛽  son  ángulos  interiores  de  un  triángulo  rectángulo,  y   𝑐 𝑜𝑠 𝛼 = ! !  ,    calcule:   𝑠𝑒𝑛 2𝛼 − 3𝑐𝑜𝑠(2𝛽) 𝑡𝑎𝑛 𝛽 + 𝑐𝑜𝑡(𝛼)   Respuesta:   ! !"     60) Demuestre,  de  ser  posible,  que:           !!"(!!!) !!"(!!!) = !!!!" ! !!"(!) !!!!" ! !!"(!)       61) La  expresión:   tan 2x( ) 1− sen x( )( ) 1+sec 2x( ) 1+ sen x( ) − sen 7x( )cos 5x( )+ 1 2csc 12x( ) ,  es  equivalente  a:   a) 0   b) 1   c) sec 12x( )   d) cos 12x( )   e) cot 12x( )   Respuesta:  a)    
  • 12. Página                  de    14  12     62) Una  de  las  siguientes  proposiciones  es  VERDADERA,  identifíquela:   a) ∀x, y ∈ ! sen x + y( )= sen x( )+ sen y( )# $ % &   b) ∀x, y ∈ ! 1 2 sen x − y( )+ sen x + y( )$ % & '= cos x( )sen y( ) $ % ( & ' )   c) ∀x ∈ ! cos2 x( )= 1−cos 2x( ) 2 $ % & & ' ( ) )   d) ∀x ∈ ! − 2n +1( )π,n ∈ Z{ } tan x 2 $ % & ' ( ) = 1−cos x( ) sen x( ) * + , , - . / /   e) ∀x ∈ ! cos 2x( )= sen2 x( )−cos2 x( )$ % & '   Respuesta:  d)     63) Demuestre,  de  ser  posible,  las  siguientes  identidades:     a)   𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 = 1 − 𝑡𝑎𝑛𝛼  𝑡𝑎𝑛𝛽 1 + 𝑡𝑎𝑛𝛼  𝑡𝑎𝑛𝛽   b)   𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝜋 3 = 4 tan 𝑥 + 3𝑠𝑒𝑐! 𝑥 𝑠𝑒𝑐! 𝑥 − 4𝑡𝑎𝑛! 𝑥   c)     𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos  (𝑥) cos  (2𝑥) − tan  (𝑥) 1 − 𝑡𝑎𝑛!(𝑥) = 0     64) Demuestre,  de  ser  posible,  las  siguientes  identidades:     a)   𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 1 + cos  (𝛼) + cos  (2𝛼) = tan  (𝛼)   b)   cos  (2𝛼) = 𝑐𝑠𝑐!(𝛼) − 2 𝑐𝑠𝑐!(𝛼)   c)     cos  (𝛼) 1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 1 + tan  (𝛼) 1 − tan  (𝛼)       4.6  Ecuaciones  e  inecuaciones  trigonométricas     65) Si   𝑅 𝑒 = −𝜋, 2𝜋 ,    determine  el  conjunto  de  verdad  del  predicado:   𝑝 𝜃 : 𝑡𝑎𝑛 2𝜃 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0   Respuesta:   𝐴 𝑝 𝜃 = − ! ! , − ! ! , − !! ! , ! ! , !! ! , !! ! , !!! !      
  • 13. Página                  de    14  13     66) Demuestre,  de  ser  posible,  que:   cos−1 3 10 " # $ % & '+cos−1 2 5 " # $ % & ' = π 4     67) Si   𝑅 𝑒 = −𝜋, 𝜋 ,    determine  el  conjunto  de  verdad  del  predicado:   𝑝 𝜃 : 𝜇 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 − 1 < 0   Respuesta:   𝐴 𝑝 𝜃 = ∅     68) Sea   el   conjunto   referencial   𝑅𝑒 = 0,2𝜋   y   los   predicados   𝑝 𝑥 : 1 − 2𝐶𝑜𝑠 ! ! = 1     y     𝑞 𝑥 : 𝑠𝑔𝑛 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 0.  Determine  el  conjunto  de  verdad   𝐴[𝑝 𝑥 → 𝑞 𝑥 ].   Respuesta:   𝐴[𝑝 𝑥 → 𝑞 𝑥 ] = 0, 𝜋 ∪ !! ! , 2𝜋     69) Sea   𝑅𝑒 = 0,2𝜋   y   el   predicado   𝑝 𝑥 : 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 1 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 .   Determine   el   conjunto   de   verdad   𝐴 𝑝 𝑥 .   Respuesta:   𝐴 𝑝 𝑥 =   ! ! , ! ! , !! ! , !! !         70)  Si   𝑅 𝑒 = −𝜋, 2𝜋 ,  determine  el  conjunto  de  verdad  del  predicado:   𝑝 𝜃 : 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃)   Respuesta:   𝐴 𝑝 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 !!! ! ! , 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 !!! ! !       71) Si   𝑅 𝑒 = −𝜋, 𝜋 ,  determine  el  conjunto  de  verdad  del  predicado:   𝑝 𝑥 : 𝑠𝑔𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑥 2 ≥ 1   Respuesta:   𝐴 𝑝 𝜃 = 𝑥 0 < 𝑥 ≤ 𝜋     72) Resuelva  para   𝑥  en  el  intervalo  indicado:   a)  1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,   𝑥 ∈ [0,2𝜋)     Respuesta:   𝑥 = 𝜋     b)  1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,   𝑥 ∈ ℝ!     Respuesta:   𝑥 = ! ! 4𝑛 − 3 ; 𝑛 ∈ ℕ     c)  1 + 2  𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,   𝑥 ∈ [0,2𝜋)   Respuesta:   𝑥 ∈ !! ! , !! !     d)  1 − 2  𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,   𝑥 ∈ ℝ!   Respuesta:   𝑥 ∈   ! ! , !! ! , !! ! , !"! ! , !"! !       73) Resuelva  para   𝑥  en  el  intervalo  indicado:     a)  4 𝑐𝑜𝑠! 𝑥 − 3 = 0,   𝑥 ∈ [0,2𝜋)     Respuesta:   𝑥 ∈   ! ! , !! ! , !! ! , !!! !    
  • 14. Página                  de    14  14     b)  2 𝑠𝑒𝑛! 𝑥 − 1 = 0,   𝑥 ∈ ℝ!   Respuesta:   𝑥 ∈   ! ! , !! ! , !! ! , !! ! , …       c)  2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 1,   𝑥 ∈ [0,2𝜋)         Respuesta:   𝑥 ∈   ! ! , !! ! , !! ! , !!! !       d)  2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 3,   𝑥 ∈ ℝ!   Respuesta:   𝑥 ∈   ! ! , ! ! , !! ! , !! !  , …     74) Sea   Re = 0,π! " # $   y   p x( ): tan 2x( )− 2sen x( )= 0 .   La   suma   de   los   elementos   de   Ap x( )   es   igual  a:   a)     0   b)   3 π     c)  π     d)   3 5π     e)   3 7π   Respuesta:  d)     75) Sea   Re = 0,2π( )  y   p x( ): sen x( )= cos x( ).  Determine   Ap x( )     76) Sea   Re = 0,π! " # $  y   p x( ): 2cos2 x( )− sen 2x( )= 0.  Determine   Ap x( )   Respuesta:  π/4,  π/2     77) Sea   Re = 0,2π( )  y   p x( ): sen x( )> 1 2 .  Determine   Ap x( )     78) Sea   Re = 0,2π( )  y   p x( ): cos x( )< 1 3 .  Determine   Ap x( )     79) Sea   Re = 0,2π! " # $   y   p x( ): 2sen2 x( )=1−cos x( )   entonces   la   suma   de   los   elementos   de   Ap x( )  es  igual  a:   a)     8π 3     b)  3π     c)   4π 3     d)   4π     e)   7π 3   Respuesta:  d)       80) Sea   Re = 0,2π! " # $  y   p x( ):sgn sen x( )cos x( )− 1 4 " # $ % & ' = 0  entonces  la  suma  de  los  elementos   de   Ap x( )  es  igual  a:   a)     π 12     b)   2π     c)   π 2     d)   π     e)   3π   Respuesta:  e)