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                                                          CONJUNTOS


¿Qué aprenderemos hoy?                                                  ¿Qué materiales utilizaremos?

   A identificar conjuntos y sus                                       -     Libro de consulta de matemática nivel
    propiedades
                                                                              secundaria, que contenga el tema de
   A resolver problemas que impliquen
                                                                              conjuntos y sus relaciones
    la utilización de las clases de
    conjuntos y las relaciones entre
    ellos.


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                                             BIOGRAFÍA GEORG CANTOR
(San Petersburgo, 1845-Halle, Alemania, 1918) Matemático alemán de origen ruso.
(...)En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich, pero tras la muerte de su padre, un año
después, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió matemáticas, física y
filosofía. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la
Universidad de Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos.
Entre 1874 y 1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos
que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de
puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos
tienen «el mismo tamaño». Consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de
elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos «números transfinitos» y articuló
una aritmética transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879. Sin embargo, el
concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y por ello se granjeó algunos enemigos,
especialmente Leopold Kronecker, que hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en una institución
docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su trabajo y constantemente atacado por
Kronecker, sufrió su primera crisis nerviosa en 1884. Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo
XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido tanto en la
Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera
como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de excepcional importancia en el desarrollo de la
matemática moderna (...)
                                             Extracto de “Biografía de Cantor, Georg Ferdinand”
                                         http://www.biografica.info/biografia-de-cantor-georg-ferdinand-423


Investiga con tus compañeros:

a) Menciona tres matemáticos que dieron aportes en la teoría de conjuntos. En una tabla,
   compara sus aportes y sus vidas.

b) ¿Qué entiendes por conjunto? Escribe brevemente al respecto.
    .............................................................................................................................................
    .............................................................................................................................................
    .............................................................................................................................................
    .............................................................................................................................................


                                                                                                                                             1
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01



         Determinación de conjuntos

                                       Recordemos:
    Por extensión: Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran uno a uno
     sus elementos. Por ejemplo:

     A     1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10                 B    t , a, r, e

    Por comprensión: Un conjunto se determina por comprensión cuando se nombra una
     cualidad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo:

     C      x/ x      , x 10                      D     x / x son las letras de la palabra tarea




      Actividades

4. En tu cuaderno determina por comprensión los siguientes conjuntos:

     a) A      2, 4,6                                        c) F      f , u, t , b, o, l
     b) B      0;1;3;6;9;12;15;18;21;24                       d) L    m, a, t, e, i, c


5. En tu cuaderno determina por extensión los siguientes conjuntos:

     a) Q      x/ x         ,x 2                              c) H     los satelites de la tierra
     b) K      las letras de la palabra abracadabra           d) M      x/ x         , x 5 10




          Clases de conjuntos

                                               Recordemos:

     Conjunto vacío o nulo: Es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo:
                        R    x/ x    , 15 x 16 , G          x / x es un caballo volador

     Conjunto unitario: Es aquel que tiene un solo elemento. Por ejemplo:
                        V      x / x es la capital del Perú ; J      x/ x      ,7 x 8



                                                                                                    2
                                                                       Prof. Beatriz Toledo López
01



   Conjunto finito: Es aquel que tiene una cantidad limitada de elementos:
            P       x/ x      , x 2 20 , K           x / x son las letras de la palabra conjunto

   Conjunto infinito: Es aquel que tiene un número ilimitado de elementos. Por ejemplo:
                     V     x / x son las estrellas del universo ; Y          x/ x       , x 10

           Conjunto Universal: es el aquel que contiene o incluye a otros conjuntos. Se representa
           con la letra U. Por ejemplo:
           Si:       A     x / x son aves        B   x / x son herbívoros    C      x / x son carnívoros
           Por lo tanto:
                                                 U   x / x son animales




     Relaciones entre conjuntos

   Inclusión de conjuntos: Se dice que el conjunto A está incluido en B si todos los
    elementos de A pertenecen también a B. Se denota:

                                             A   B    Se lee A B
    Por ejemplo:
    Sean los conjuntos : A        2,3, 4,5,6 , B 2, 4,6 y C 2,8,9
        B        A porque 2, 4 y 6 también son elementos del conjunto B
        C        A porque no todos los elementos de C pertenecen al conjunto A

   Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si poseen exactamente los mismos
    elementos. Por ejemplo:
    Si : R 1, a, 2, b, t y S a, t , 2, b,1
        R        S puesto que todos los elementos de R son también los de S

   Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos iguales. Por
    ejemplo:
    Si F x / x, son los números naturales impares y G x / x, son los números naturales pares

   Conjunto potencia: Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Si
    el conjunto dado es A, se denota P ( A) . Por ejemplo:
    Si A         a, b entonces A            a b a;b

    En general: Si un conjunto “A” tiene “n” elementos P( A) 2n subconjuntos.



                                                                                                           3
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01


     Actividades


1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos, infinitos y unitarios

   a) L     x / x es un día de la semana               ..............................................................
   b) K      x / x, x N                                ..............................................................
   c) F      x / x, x N                                ..............................................................
   d) O      x /x es un habitante de la luna           ..............................................................
   e) Z      x/ x       , 489 x 491                    ..............................................................

2. Halla la relación      , , y que existe entre cada par de conjuntos

   a) A      x/ x       , x 10
        U    x / x, x

   b) C     x / x son las vocales de la palabra mamá
        S   x / xes la primera letra del alfabeto

   c)   A    x/ x       ,9 x 15
        N   13;14;15;16;17

   d) I     x/ x        ,8 x 16
        V   x/ x        ,8 2x 12




¿Qué aprendimos hoy?

3. Si “W” es un conjunto unitario, hallar x + y. Si:
1. Determina los siguientes conjuntos por extensión

   a)      /       . Si x=2y
   W A2x x3; x y ; es unnúmero par menor que10
    b) B     x/ x         ;8 x 12
    c) C     x / x es una vocal de la palabra murciélago
    d) D     x / x eslacapital del país Atlántida

2. Determina los siguientes conjuntos por extensión

    a) A     2;4;6;8
    b) B     p; e; r; u
    c) C     0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10


                                                                                                                   4
                                                                      Prof. Beatriz Toledo López
01



3. Sean los conjuntos:
   X 1;2;3;4;5;6 ; Y         2;4;6 y Z        x/ x         ;1 x 6

   Escribe    , , o , según corresponda:

   a)    X...........Z                                       b) 2...............Z
   c)   3............Y                                       d) 6...............X
   e)   12..........X                                        f) 0...............Z
   g)    Z...........5                                       h) 4...............Y


4. Halla el valor de “x” para que los siguientes conjuntos sean unitarios:

   a) M       x;6                     ..........................................................................................

   b)   N     2x 1;19                 ..........................................................................................

   c) . L      x 13;2                 .........................................................................................




 Reforzando lo aprendido

 1. Repasa en un libro de consulta los siguientes temas:

     Determinación de conjuntos
     Clases de conjuntos
     Relaciones entre conjuntos



 Enlaces Web

                                           Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web:
 Aula Virtual - Conjuntos
 http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm

 Video “ Operaciones con conjuntos”
 http://www.youtube.com/watch?v=IlVLknpaBBU

 Teoría de conjuntos
 http://enciclopedia.us.es/index.php/Teor%C3%ADa_de_conjuntos


                                                                                                                                   5
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Matemáticas

  • 1. 01 CONJUNTOS ¿Qué aprenderemos hoy? ¿Qué materiales utilizaremos?  A identificar conjuntos y sus - Libro de consulta de matemática nivel propiedades secundaria, que contenga el tema de  A resolver problemas que impliquen conjuntos y sus relaciones la utilización de las clases de conjuntos y las relaciones entre ellos. Lee con atención la siguiente lectura BIOGRAFÍA GEORG CANTOR (San Petersburgo, 1845-Halle, Alemania, 1918) Matemático alemán de origen ruso. (...)En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich, pero tras la muerte de su padre, un año después, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió matemáticas, física y filosofía. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen «el mismo tamaño». Consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos «números transfinitos» y articuló una aritmética transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879. Sin embargo, el concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y por ello se granjeó algunos enemigos, especialmente Leopold Kronecker, que hizo lo imposible por arruinar su carrera. Estancado en una institución docente de tercera clase, privado del reconocimiento por su trabajo y constantemente atacado por Kronecker, sufrió su primera crisis nerviosa en 1884. Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de excepcional importancia en el desarrollo de la matemática moderna (...) Extracto de “Biografía de Cantor, Georg Ferdinand” http://www.biografica.info/biografia-de-cantor-georg-ferdinand-423 Investiga con tus compañeros: a) Menciona tres matemáticos que dieron aportes en la teoría de conjuntos. En una tabla, compara sus aportes y sus vidas. b) ¿Qué entiendes por conjunto? Escribe brevemente al respecto. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 1 Prof. Beatriz Toledo López
  • 2. 01 Determinación de conjuntos Recordemos:  Por extensión: Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran uno a uno sus elementos. Por ejemplo: A 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 B t , a, r, e  Por comprensión: Un conjunto se determina por comprensión cuando se nombra una cualidad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo: C x/ x , x 10 D x / x son las letras de la palabra tarea Actividades 4. En tu cuaderno determina por comprensión los siguientes conjuntos: a) A 2, 4,6 c) F f , u, t , b, o, l b) B 0;1;3;6;9;12;15;18;21;24 d) L m, a, t, e, i, c 5. En tu cuaderno determina por extensión los siguientes conjuntos: a) Q x/ x ,x 2 c) H los satelites de la tierra b) K las letras de la palabra abracadabra d) M x/ x , x 5 10 Clases de conjuntos Recordemos:  Conjunto vacío o nulo: Es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo: R x/ x , 15 x 16 , G x / x es un caballo volador  Conjunto unitario: Es aquel que tiene un solo elemento. Por ejemplo: V x / x es la capital del Perú ; J x/ x ,7 x 8 2 Prof. Beatriz Toledo López
  • 3. 01  Conjunto finito: Es aquel que tiene una cantidad limitada de elementos: P x/ x , x 2 20 , K x / x son las letras de la palabra conjunto  Conjunto infinito: Es aquel que tiene un número ilimitado de elementos. Por ejemplo: V x / x son las estrellas del universo ; Y x/ x , x 10 Conjunto Universal: es el aquel que contiene o incluye a otros conjuntos. Se representa con la letra U. Por ejemplo: Si: A x / x son aves B x / x son herbívoros C x / x son carnívoros Por lo tanto: U x / x son animales Relaciones entre conjuntos  Inclusión de conjuntos: Se dice que el conjunto A está incluido en B si todos los elementos de A pertenecen también a B. Se denota: A B Se lee A B Por ejemplo: Sean los conjuntos : A 2,3, 4,5,6 , B 2, 4,6 y C 2,8,9 B A porque 2, 4 y 6 también son elementos del conjunto B C A porque no todos los elementos de C pertenecen al conjunto A  Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si poseen exactamente los mismos elementos. Por ejemplo: Si : R 1, a, 2, b, t y S a, t , 2, b,1 R S puesto que todos los elementos de R son también los de S  Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos iguales. Por ejemplo: Si F x / x, son los números naturales impares y G x / x, son los números naturales pares  Conjunto potencia: Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Si el conjunto dado es A, se denota P ( A) . Por ejemplo: Si A a, b entonces A a b a;b En general: Si un conjunto “A” tiene “n” elementos P( A) 2n subconjuntos. 3 Prof. Beatriz Toledo López
  • 4. 01 Actividades 1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos, infinitos y unitarios a) L x / x es un día de la semana .............................................................. b) K x / x, x N .............................................................. c) F x / x, x N .............................................................. d) O x /x es un habitante de la luna .............................................................. e) Z x/ x , 489 x 491 .............................................................. 2. Halla la relación , , y que existe entre cada par de conjuntos a) A x/ x , x 10 U x / x, x b) C x / x son las vocales de la palabra mamá S x / xes la primera letra del alfabeto c) A x/ x ,9 x 15 N 13;14;15;16;17 d) I x/ x ,8 x 16 V x/ x ,8 2x 12 ¿Qué aprendimos hoy? 3. Si “W” es un conjunto unitario, hallar x + y. Si: 1. Determina los siguientes conjuntos por extensión a) / . Si x=2y W A2x x3; x y ; es unnúmero par menor que10 b) B x/ x ;8 x 12 c) C x / x es una vocal de la palabra murciélago d) D x / x eslacapital del país Atlántida 2. Determina los siguientes conjuntos por extensión a) A 2;4;6;8 b) B p; e; r; u c) C 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 4 Prof. Beatriz Toledo López
  • 5. 01 3. Sean los conjuntos: X 1;2;3;4;5;6 ; Y 2;4;6 y Z x/ x ;1 x 6 Escribe , , o , según corresponda: a) X...........Z b) 2...............Z c) 3............Y d) 6...............X e) 12..........X f) 0...............Z g) Z...........5 h) 4...............Y 4. Halla el valor de “x” para que los siguientes conjuntos sean unitarios: a) M x;6 .......................................................................................... b) N 2x 1;19 .......................................................................................... c) . L x 13;2 ......................................................................................... Reforzando lo aprendido 1. Repasa en un libro de consulta los siguientes temas:  Determinación de conjuntos  Clases de conjuntos  Relaciones entre conjuntos Enlaces Web Si tienes Internet, ingresa a las siguientes páginas web: Aula Virtual - Conjuntos http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm Video “ Operaciones con conjuntos” http://www.youtube.com/watch?v=IlVLknpaBBU Teoría de conjuntos http://enciclopedia.us.es/index.php/Teor%C3%ADa_de_conjuntos 5 Prof. Beatriz Toledo López