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Sistemas de segundo orden
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a
una ecuación diferencial lineal de segundo orden

d 2 c (t )
dc(t )
d 2 r (t )
dr (t )
a0
+ a1
+ a2c(t ) = b0
+ b1
+ b2 r (t )
2
2
dt
dt
dt
dt
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:

a0 = 1, a1 = p, a2 = b2 = K , b0 = b1 = 0.
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:

R (s )

E (s )

K
s(s + p)

C (s )

donde

K

es una const.
que representa
una ganancia.

p

es una const. real
representa al polo
del sistema.
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Su función de transferencia de lazo cerrado es:

C ( s)
K
= 2
R ( s ) s + ps + K
C ( s)
=
R( s) 
s + p +

2


K

p2
 s + p −
−K

4
2



p2
−K

4


Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos
2

p
,
> K 2. Reales iguales si:
4
p2
<K
3. Complejos si
4

1. Reales diferentes si:

p2
=K
4

Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables
2
K = ωn

p = 2ζω n = 2σ
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

2
ωn
C ( s)
= 2
2
R ( s ) s + 2ζω n s + ω n

forma estándar del sistema
de segundo orden.

donde ω n es la frecuencia natural no amortiguada, σ se denomina
atenuación, ζ es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento
dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los
parámetros ζ y ω n .
Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:

(0 < ζ < 1): en este caso C ( s ) R ( s ) se escribe
2
ωn
C (s)
=
R ( s ) ( s + ζω n + jω d )( s + ζω n − jω d )

(1) Caso subamortiguado

2

donde ω d = ω n 1 − ζ se denomina fracuencia natural amortiguada. Si
es una entrada escalón, entonces
2
ωn
C ( s) = 2
2
( s + 2ζω n s + ω n ) s

R (s )
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Utilizando fracciones parciales

s + ζω n
ζω n
1
C (s) = −
−
2
2
2
s ( s + ζω n ) + ω d ( s + ζω n ) 2 + ω d
y conociendo que
-1 


s + ζω n
L 
= e −ζω nt cos ω d t
2
2
 ( s + ζω n ) + ω d 
-1 


ωd
L 
= e −ζω nt senω d t
2
( s + ζω n ) 2 + ω d 

Se obtiene la salida en el tiempo


1−ζ 2 

c (t ) = 1 −
sen ω d t + tan −1
2

ζ 
1−ζ


e −ζω nt

(t ≥ 0)
Sistemas de segundo orden
(2) Caso de amortiguamiento crítico (ζ

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

= 1) :

en este caso se tienen dos polos reales iguales y C (s ) ante un escalón es
2
ωn
C (s) =
(s + ω n )2 s

la transformada inversa arroja

c(t ) = 1 − e −ω nt (1 + ω nt )

(t ≥ 0)
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

(3) Caso sobreamortiguado (ζ > 1) :
en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una
entrada escalón, C (s ) es

C (s) =

( s + ζω n + ω n

2
ωn
ζ 2 − 1)( s + ζω n − ω n ζ 2 − 1) s

La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es

c (t ) = 1 +
−

1
2

2

2 ζ − 1(ζ + ζ − 1)
1
2

2

2 ζ − 1(ζ − ζ − 1)

e

e

−(ζ + ζ 2 −1)ω nt

−(ζ + ζ 2 −1)ω nt
Sistemas de segundo orden
2
1.8
1.6
1.4

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

ζ =0
ζ = 0.2
ζ = 0.4
ζ = 0.7

1.2

ζ = 0.8

1
0.8

ζ = 1 ca

0.6

ζ > 1 sa

0.4
0.2
0

0

2

4

6

8

10

Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.

12

Figura. Respuesta
al escalón de
diferentes sistemas
de segundo orden.
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden
2
ωn
C ( s) = 2
2
s + 2ζω n s + ωn

Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de c (t )
para (0 ≤ ζ < 1)

ωn
c (t ) =
e −ζωnt senωn 1 − ζ 2 t
1− ζ 2

(t ≥ 0)

para (ζ = 1)

ωn
c(t ) =
e −(ζ −
2 ζ 2 −1

ζ 2 −1)ζω nt

para (ζ > 1)
2
c(t ) = ωn te −ωnt

(t ≥ 0)

ωn
−
e −(ζ −
2 ζ 2 −1

ζ 2 −1)ζω nt

(t ≥ 0)
Sistemas de segundo orden
1

ζ =0

ζ = 0.2

0.8

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

ζ = 0.4

0.6

ζ = 0.7

0.4

ζ = 1 ca

0.2

ζ > 1 sa

0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0

2

4

6

8

10

12

Figura. Respuesta
al impulso de
diferentes sistemas
de segundo orden.
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Definición de los parámetros de la respuesta transitoria
Las características de desempeño de un sistema de control se comparan
basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica
transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de
responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La
respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes
parámetros.
1.4

c(t)

1.2

Mp
1

1. Tiempo de retardo

1

tr

2. Tiempo de crecimiento

0.8

tp

0.6

3. Tiempo pico

0.4

4. Sobreimpulso máximo

Mp

5. Tiempo de establecimiento

0.2

0

td

0
0

2
t r t p4

6

8

10

12

ts

14

16

18

20

ts

t

a continuación se definen…
Tiempo de retardo
, td . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del
valor final por primera vez.
Sistemas de segundo orden

2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta
aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del
10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación
de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.

c(t ) = 1 − e

−ζω ntr

ζ
(cos ωd t r +
senωd t r ) = 1
2
1− ζ

ζ
cos ωd t r +
senωd t r = 0
2
1− ζ
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

o bien



ζ
ζ
cos ωd t r +
cos ωd t r tan ωd t r = cos ωd t r 1 +
tan ωd t r  = 0
2
2
1− ζ
1−ζ


1 − ζ 2 ωd
tan ωd t r = −
=
ζ
−σ
el tiempo de crecimiento es

tr =

ω
1
π −β
tan −1  d  =
,


ωd
 − σ  ωd

β = tan −1

ωd
σ
ωd

β
σ
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

3.- Tiempo pico, t p . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el
primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación
de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene

ωn
−ζω nt p
( senω d t p )
e
=0
2
1−ζ
senω d t p = 0 , los valores que satisfacen esta ecuación son
0,π , 2π , 3π , , se elige el primer sobreimpulso.
π
ωd t p = π
⇒ tp =
ωd
Sistemas de segundo orden
SOBREPASO

Mp

4.

Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad
o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta
evaluada en el tiempo pico.

M p = c(t p ) − 1
= −e

ts π
ζ
π
cos ω d
+
senω d
2

ωd
ωd
1−ζ


−ζω n (π ω d ) 


= e −ζ ( ω n

Mp=e

ωd )π

(

−ζ

= e −( σ

)

1−ζ 2 π

ωd )π





5.- Tiempo de establecimiento,
5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva de
respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido,
generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para
sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2%
después de 4 constantes de tiempo:

4
4
t s = 4T =
=
ζω n σ
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Ejemplo: Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema

R (s )

375
s ( s + 34)

C (s )

Desarrollo:
La función de transferencia de lazo cerrado es
C ( s)
375
= 2
R ( s) s + 34 s + 375

Se utiliza la siguiente igualdad
2
375
ωn
= 2
2
s 2 + 34 s + 375 s + 2ζω n s + ωn
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

se obtiene
2
ω n = 375

2ζω n = 34

ω n = 375

σ = 17

34
ζ =
= 0.877876
2 375

ω d = 86

A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria

β = tan

−1 ω d

= 0.499 rad .

σ
π −β
tr =
= 0.2849 segundos
ωd
π
tp =
= 0.33876 segundos
ωd

M p = e −( σ

ts =

ωd )π

= 0.00315 = 0.315%

4
= 0.23529 segundos
σ

Nota: Analizar porque t s

< tr < t p
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Ejemplo: De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener
la función de transferencia.
1.4

c(t)

1421.2
127

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 00

2

4

6

8

10

12

14

0.75

16

18

20

t

Desarrollo: de la gráfica

142 − 127
Mp =
= 0.1181
127

t s = 0.75 segundos

Estos dos
Parámetros
Son suficientes
Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

ts
4
4
ts =
→ σ = = 5.3333
σ
ts

De

De

M p y conociendo σ

Mp =e

−( σ ω d ) π

− σπ
→ ωd =
= 7.84335
ln M p

Entonces

σ = 5.3333
ω d = 7.84335

2
ω n = σ 2 + ω d = 9.48486
σ
ζω n = σ → ζ =
= 0.56229
ωn

2
ωn
89.96256
G(s) = 2
= 2
2
s + 2ζω n s + ω n s + 10.666 s + 89.96256

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Sistemas de segundo orden

  • 2. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a una ecuación diferencial lineal de segundo orden d 2 c (t ) dc(t ) d 2 r (t ) dr (t ) a0 + a1 + a2c(t ) = b0 + b1 + b2 r (t ) 2 2 dt dt dt dt Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde: a0 = 1, a1 = p, a2 = b2 = K , b0 = b1 = 0. Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden: R (s ) E (s ) K s(s + p) C (s ) donde K es una const. que representa una ganancia. p es una const. real representa al polo del sistema.
  • 3. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Su función de transferencia de lazo cerrado es: C ( s) K = 2 R ( s ) s + ps + K C ( s) = R( s)  s + p +  2  K  p2  s + p − −K  4 2   p2 −K  4  Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos 2 p , > K 2. Reales iguales si: 4 p2 <K 3. Complejos si 4 1. Reales diferentes si: p2 =K 4 Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables 2 K = ωn p = 2ζω n = 2σ
  • 4. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 2 ωn C ( s) = 2 2 R ( s ) s + 2ζω n s + ω n forma estándar del sistema de segundo orden. donde ω n es la frecuencia natural no amortiguada, σ se denomina atenuación, ζ es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los parámetros ζ y ω n . Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario: (0 < ζ < 1): en este caso C ( s ) R ( s ) se escribe 2 ωn C (s) = R ( s ) ( s + ζω n + jω d )( s + ζω n − jω d ) (1) Caso subamortiguado 2 donde ω d = ω n 1 − ζ se denomina fracuencia natural amortiguada. Si es una entrada escalón, entonces 2 ωn C ( s) = 2 2 ( s + 2ζω n s + ω n ) s R (s )
  • 5. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Utilizando fracciones parciales s + ζω n ζω n 1 C (s) = − − 2 2 2 s ( s + ζω n ) + ω d ( s + ζω n ) 2 + ω d y conociendo que -1   s + ζω n L  = e −ζω nt cos ω d t 2 2  ( s + ζω n ) + ω d  -1   ωd L  = e −ζω nt senω d t 2 ( s + ζω n ) 2 + ω d   Se obtiene la salida en el tiempo  1−ζ 2   c (t ) = 1 − sen ω d t + tan −1 2  ζ  1−ζ   e −ζω nt (t ≥ 0)
  • 6. Sistemas de segundo orden (2) Caso de amortiguamiento crítico (ζ 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 = 1) : en este caso se tienen dos polos reales iguales y C (s ) ante un escalón es 2 ωn C (s) = (s + ω n )2 s la transformada inversa arroja c(t ) = 1 − e −ω nt (1 + ω nt ) (t ≥ 0)
  • 7. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 (3) Caso sobreamortiguado (ζ > 1) : en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una entrada escalón, C (s ) es C (s) = ( s + ζω n + ω n 2 ωn ζ 2 − 1)( s + ζω n − ω n ζ 2 − 1) s La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es c (t ) = 1 + − 1 2 2 2 ζ − 1(ζ + ζ − 1) 1 2 2 2 ζ − 1(ζ − ζ − 1) e e −(ζ + ζ 2 −1)ω nt −(ζ + ζ 2 −1)ω nt
  • 8. Sistemas de segundo orden 2 1.8 1.6 1.4 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 ζ =0 ζ = 0.2 ζ = 0.4 ζ = 0.7 1.2 ζ = 0.8 1 0.8 ζ = 1 ca 0.6 ζ > 1 sa 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario. 12 Figura. Respuesta al escalón de diferentes sistemas de segundo orden.
  • 9. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden 2 ωn C ( s) = 2 2 s + 2ζω n s + ωn Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de c (t ) para (0 ≤ ζ < 1) ωn c (t ) = e −ζωnt senωn 1 − ζ 2 t 1− ζ 2 (t ≥ 0) para (ζ = 1) ωn c(t ) = e −(ζ − 2 ζ 2 −1 ζ 2 −1)ζω nt para (ζ > 1) 2 c(t ) = ωn te −ωnt (t ≥ 0) ωn − e −(ζ − 2 ζ 2 −1 ζ 2 −1)ζω nt (t ≥ 0)
  • 10. Sistemas de segundo orden 1 ζ =0 ζ = 0.2 0.8 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 ζ = 0.4 0.6 ζ = 0.7 0.4 ζ = 1 ca 0.2 ζ > 1 sa 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 2 4 6 8 10 12 Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.
  • 11. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Definición de los parámetros de la respuesta transitoria Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes parámetros. 1.4 c(t) 1.2 Mp 1 1. Tiempo de retardo 1 tr 2. Tiempo de crecimiento 0.8 tp 0.6 3. Tiempo pico 0.4 4. Sobreimpulso máximo Mp 5. Tiempo de establecimiento 0.2 0 td 0 0 2 t r t p4 6 8 10 12 ts 14 16 18 20 ts t a continuación se definen…
  • 12. Tiempo de retardo , td . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.
  • 13. Sistemas de segundo orden 2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados. El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón. c(t ) = 1 − e −ζω ntr ζ (cos ωd t r + senωd t r ) = 1 2 1− ζ ζ cos ωd t r + senωd t r = 0 2 1− ζ
  • 14. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 o bien   ζ ζ cos ωd t r + cos ωd t r tan ωd t r = cos ωd t r 1 + tan ωd t r  = 0 2 2 1− ζ 1−ζ   1 − ζ 2 ωd tan ωd t r = − = ζ −σ el tiempo de crecimiento es tr = ω 1 π −β tan −1  d  = ,   ωd  − σ  ωd β = tan −1 ωd σ ωd β σ
  • 15. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 3.- Tiempo pico, t p . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene ωn −ζω nt p ( senω d t p ) e =0 2 1−ζ senω d t p = 0 , los valores que satisfacen esta ecuación son 0,π , 2π , 3π , , se elige el primer sobreimpulso. π ωd t p = π ⇒ tp = ωd
  • 16. Sistemas de segundo orden SOBREPASO Mp 4. Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico. M p = c(t p ) − 1 = −e ts π ζ π cos ω d + senω d 2  ωd ωd 1−ζ  −ζω n (π ω d )   = e −ζ ( ω n Mp=e ωd )π ( −ζ = e −( σ ) 1−ζ 2 π ωd )π    
  • 17. 5.- Tiempo de establecimiento, 5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido, generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de tiempo: 4 4 t s = 4T = = ζω n σ
  • 18. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Ejemplo: Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema R (s ) 375 s ( s + 34) C (s ) Desarrollo: La función de transferencia de lazo cerrado es C ( s) 375 = 2 R ( s) s + 34 s + 375 Se utiliza la siguiente igualdad 2 375 ωn = 2 2 s 2 + 34 s + 375 s + 2ζω n s + ωn
  • 19. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 se obtiene 2 ω n = 375 2ζω n = 34 ω n = 375 σ = 17 34 ζ = = 0.877876 2 375 ω d = 86 A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria β = tan −1 ω d = 0.499 rad . σ π −β tr = = 0.2849 segundos ωd π tp = = 0.33876 segundos ωd M p = e −( σ ts = ωd )π = 0.00315 = 0.315% 4 = 0.23529 segundos σ Nota: Analizar porque t s < tr < t p
  • 20. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Ejemplo: De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener la función de transferencia. 1.4 c(t) 1421.2 127 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 00 2 4 6 8 10 12 14 0.75 16 18 20 t Desarrollo: de la gráfica 142 − 127 Mp = = 0.1181 127 t s = 0.75 segundos Estos dos Parámetros Son suficientes
  • 21. Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 ts 4 4 ts = → σ = = 5.3333 σ ts De De M p y conociendo σ Mp =e −( σ ω d ) π − σπ → ωd = = 7.84335 ln M p Entonces σ = 5.3333 ω d = 7.84335 2 ω n = σ 2 + ω d = 9.48486 σ ζω n = σ → ζ = = 0.56229 ωn 2 ωn 89.96256 G(s) = 2 = 2 2 s + 2ζω n s + ω n s + 10.666 s + 89.96256