Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.

41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง

  • Sé el primero en comentar

41 ฟังก์ชันชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม ตอนที่4_อสมการเลขชี้กำลัง

  1. 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม (เนื้อหาตอนที่ 4) อสมการเลขชี้กาลัง โดย รองศาสตราจารย์ เพ็ญพรรณ ยังคง สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
  2. 2. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย 1. บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม 2. เนื้อหาตอนที่ 1 เลขยกกาลัง - เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม - เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานอนตรรกยะ - เขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนอตรรกยะ 3. เนื้อหาตอนที่ 2 ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม - ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง - กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง - สมการเลขชี้กาลัง 4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลอการิทึม - ฟังก์ชันลอการิทึม - กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม - สมการลิการิทึม 5. เนื้อหาตอนที่ 4 อสมการเลขชี้กาลัง - ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง - สมการและอสมการของเลขยกกาลัง - ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน 6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการลอการิทึม - ทบทวนสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม - สมการและอสมการลอการิทึม - ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกียวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชัน ลอการิทึม 7. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1) 8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2) 9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง) 1
  3. 3. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนส าหรั บ ครู และนั ก เรี ย นทุ ก โรงเรี ย นที่ ใ ช้ สื่ อ ชุ ด นี้ ร่ ว มกั บ การเรี ย นการสอนวิ ช าคณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้ 2
  4. 4. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้เรื่อง ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึมหมวด เนื้อหาตอนที่ 4 (4/5)หัวข้อย่อย 1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง 2. สมการและอสมการของเลขชี้กาลัง 3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวันจุดประสงค์การเรียนรู้ เพื่อให้ผู้เรียน 1. สามารถแก้สมการของเลขชี้กาลังได้ 2. สามารถแก้อสมการของเลขชี้กาลังได้ 3. สามารถนาความรู้เรื่องฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปแก้ปัญหาต่างๆ ในชีวิตประจาวันได้ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ผู้เรียนสามารถ 1. อธิบายหลักการและแก้สมการของเลขชี้กาลังได้ 2. อธิบายหลักการและแก้อสมการของเลขชี้กาลังได้ 3. นาความรู้เรื่องการแก้สมการและอสมการของเลขชี้กาลังไปใช้แก้ปัญหาได้ 3
  5. 5. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ เนื้อหาในสื่อการสอน 4
  6. 6. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง 5
  7. 7. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง 6
  8. 8. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 2. สมการและอสมการเลขชี้กาลัง 7
  9. 9. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 2. สมการและอสมการเลขชี้กาลัง สื่อ ตอนนี้เราอาศัยความรู้เ รื่อ งฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่งในการหาเซตคาตอบของสมการและอสมการของเลขชี้กาลัง ดังนั้น ในตอนต้นจึงขอทบทวนความรู้เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และเน้นว่าฟังก์ชันเลขยกกาลังก็เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงสามารถอ้างสมบัติต่างๆ ของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งได้ 8
  10. 10. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ จากตัวอย่างข้างต้น ผู้สอนควรเน้นให้นักเรียนสังเกตว่า เราอ้างสมบัติการเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งของฟังก์ชันเลขยกกาลังตรงไหนและอย่างไร และทาแบบฝึกหัดย่อยเพิ่มเติม แบบฝึกหัดย่อยตอบคาถามสั้นๆ ต่อไปนี้ x1. 3 729 แล้ว x 2 x x2. 7 49 แล้ว x 9
  11. 11. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ x x 3 6 43. แล้ว x 4 9 x 3 14. 25 x 1 แล้ว x 5 x x5. 5 2 แล้ว x x 1 x 16. 9 7 แล้ว xคาตอบ 11. 6 2. 2 3 2 4. 35. 0 6. 1 เมื่อนักเรียนทาแบบฝึกหัดย่อยนี้แล้ว ผู้สอนลองถามนักเรียนว่า ข้อใดบ้างที่อ้างสมบัติการเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และข้อใดไม่ได้อ้างการเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะเหตุใด ตัวอย่างต่อไปจะเพิ่มความซับซ้อนในการหาเซตของคาตอบของสมการเลขชี้กาลัง ซึ่งเราต้องจัดเตรียมหรือจัดรูปของสมการที่โจทย์กาหนดให้เสียใหม่ เพื่อให้อยู่ในรูปเลขยกกาลังที่มีฐานเป็นจานวนที่เท่ากันเสียก่อน แล้วจึงจะอ้างความเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพื่อสรุปว่าเลขชี้กาลังจะต้องเท่ากัน 10
  12. 12. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 11
  13. 13. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ จากตัวอย่างข้างต้น ผู้สอนอาจแนะนานักเรียนว่า บางครั้งในการแก้สมการเลขชี้กาลัง ถ้าเราแปลงสมการเก่าที่ซับซ้อนให้เป็นสมการใหม่ โดยการเลือกสมมติตัวแปรใหม่ที่เหมาะสม 2x x ตัวอย่างเช่น 3 3 10 3 3 3 0 สมการเก่า x x โดยการสมมติให้ A 3 หรือแทน A ด้วย 3 ในสมการเก่า ก็จะได้ 2 3A 10A 3 3 0 สมการใหม่ซึ่งจะเป็นสมการกาลังสองที่นักเรียนคุ้นเคยและสามารถแก้สมการได้ง่าย x เมื่อหาค่า A จากสมการใหม่ได้แล้ว ก็จะหาค่า x ได้จาก A 3 12
  14. 14. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 13
  15. 15. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ในการแก้สมการ บางครั้งอาจไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการที่กาหนดให้ แสดงว่าไม่มีคาตอบของสมการนั้นๆ ซึ่งก็จะได้ว่าเซตคาตอบของสมการเป็นเซตว่างหรือ {} เพื่อให้นักเรียนได้เห็นสมการซึ่งไม่มีคาตอบ ให้ผู้สอนลองยกตัวอย่างต่อไปนี้ตัวอย่าง จงหาค่า x ที่สอดคล้องสมการ 5 2x 2 5 x 3 0 x 2วิธีทา 5 2 5 x 3 0 x 2 ให้ A 5 ดังนั้น A 2A 3 = 0 2 A 2A 1 2 = 0 2 (A 1) 2 = 0 นั่นคือ (A 1)2 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น จะไม่มีจานวนจริง A ที่สอดคล้องตามสมการ เพราะว่า A 5x ดังนั้นก็จะไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องตามสมการ นั่นคือ เซตคาตอบของสมการนี้จะเท่ากับ { } หรือ แบบฝึกหัดที่ 11. จงหาเซตคาตอบของสมการต่อไปนี้ 5x 2 x 1 x 2x 1 x 6 1.1 2 64 1.2 3 27 9 x x x 4 x 3 x 2 1.3 25 6 5 5 0 1.4 5 5 29 5 x x x 2x 1 x 1.5 10 25 29 10 10 4 0 1.6 3 4 3 9 0 x y z 4 12 12 122. ถ้า 2 5 7 70 แล้ว มีค่าเท่าใด x y z 4 2 2m 2 8m 8 m3. ถ้า (x 18x 81) (x 3) (x 3) แล้ว 2 มีค่าเท่าใด x y 2x y x4. ถ้า 5 625 5 และ 3 243 3 แล้ว มีค่าเท่าใด y log 4 x log x 3 25. ถ้า 4 x 3 x แล้ว x มีค่าเท่าใด 14
  16. 16. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้คาตอบ 1. 1.1 {4} 1.2 {3} 1.3 {0, 1} 1.4 { 2} 1.5 { 1, 1} 1.6 {1, 2} 2. 3 1 3. 2 4. 3 5. 2 เราได้ดูสื่อเกี่ยวกับการแก้สมการเลขชี้กาลัง และได้ทาแบบฝึกหัดเพิ่มเติมไปแล้ว ซึ่งจะทาให้นักเรียนสามารถหาเซตคาตอบของสมการที่กาหนดให้ได้ในระดับหนึ่งแล้ว ต่อไปเราจะพูดถึงการแก้อสมการเลขชี้กาลัง ซึ่งต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันลดหรือฟังก์ชันเพิ่มของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง จึงขอทบทวนความรู้ในส่วนนี้เสียก่อน เพราะจะต้องมีการอ้างสมบัติการเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด โดยดูจากฐานของเลขชี้กาลังเป็นสาคัญ 15
  17. 17. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ผู้สอนให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ x1 x21. x1 x2 3 3 x1 x22. x1 x2 4 4 x 1 x 33. x 1 x 3 5 5 x 2x 1 4 44. x 2x 1 3 3 x 2 x 15. x 1 x 2 2 2 4 x 16. 4 x 1 3 3 3 2x 1 5 57. 3 2x 1 4 4 2 x 2 1 2 x 4 4 1 x8. 1 2 1 x 3 3คาตอบ 1. < 2.  3. < , < 4.  5. > , < 6. > 7. > 8. > , > 16
  18. 18. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ผู้สอนให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ x1 x2 1 11. x1 x2 2 2 x 4 x 1 1 12. x 4 x 1 3 3 3 x 2 x 3 33. 3 x 2 x 5 5 x 1 3 1 14. x 1 3 5 5 2 x 2 1 2 x 4 4 2 x5. 1 2 2 x 7 7คาตอบ 1. > 2. < 3. > , < 4. < 5. > , < 17
  19. 19. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ แบบฝึกหัดเพิ่มเติมจงเติมเครื่องหมาย , , , ลงใน 2x 3 x 5 2 21. 2x 3 x 5 3 3 2 x x 1 4 42. 2 x x 1 3 3 x x 1 2 x x 1 3 1 33. 1 2 3 3 6 6 18
  20. 20. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ log 3 x log 3 (3x 1)4. log x 3 log (3x 3 1) 2 2คาตอบ 1. > 2. < 3.  4. < 19
  21. 21. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ แบบฝึกหัดย่อย 1จงหาเซตของคาตอบของอสมการต่อไปนี้ x 1 x 1 5x 1 x 2 1 11. 9 3 2. 2 16 2x 2 x 2x 2 x 13. 3 1 4. 2 3x 4 8 2x 1 2x 3 1 1 3x 2 14x 25. 6. 7 343 4 2 2 x 2x 3 17. 1 3คาตอบ 11. [ 1, ) 2. ( 1, 5) 3. ( , ) (0, ) 2 1 14. ( , 6 ] [1, ) 5. ( , ) 6. [ 5, ] 2 37. ( , 1) (3, ) 20
  22. 22. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 21
  23. 23. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ เพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจวิธีการหาเซตคาตอบของอสมการเพิ่มขึ้น ผู้สอนควรเพิ่มตัวอย่างอีกสักสองสามตัวอย่างดังนี้ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตของคาตอบของอสมการ 3 4 x 5 6 x 2 9 x 0วิธีทำ จากอสมการ 3 4 x 5 6 x 2 9 x 0 2x x x 2x จะได้ 3 2 5 2 3 2 3 0 2x 2 x x 3A 5AB 2B 0 (ให้ A 2 ,B 3 ) (3A B )(A 2B ) 0 x x x x เพราะว่า A 2 ,B 3 ดังนั้น 3A B 3 2 3 0 ดังนั้นจะได้ว่า A 2B 0 x x นั่นคือ A 2B หรือ 2 2 3 x 2 ดังนั้น 2 3 x 2 และจะได้ log log 2 3 2 x log log 2 3 log 2 log 2 x 2 log 2 log 3 log 3 22
  24. 24. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ log 2 ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการนี้คือ x |x log 2 log 3ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตของคาตอบของอสมการ 10 5 2x 29 10 x 10 2 2x 0วิธีทำ จากอสมการ 10 5 2x 29 10 x 10 2 2x 0 x 2 x x x 2 จะได้ 10 5 29 5 2 10 2 0 2 2 x x 10A 29AB 10B 0 (ให้ A 5 ,B 2 ) (5A 2B )(2A 5B ) 0 ถ้า 5A 2B 0 จะได้ 5A 2B x x 5 5 2 2 x 1 x 1 5 2 นั่นคือ x 1 0 หรือ x 1 ดังนั้น 5A 2B 0 เมื่อ x 1 และ 5A 2B 0 เมื่อ x 1 ถ้า 2A 5B 0 จะได้ 2A 5B x x 2 5 5 2 x 1 x 1 5 2 นั่นคือ x 1 0 หรือ x 1 ดังนั้น 2A 5B 0 เมื่อ x 1 และ 2A 5B 0 เมื่อ x 1 จากข้อมูลข้างต้นจะได้ว่า (5A2B) < 0 (5A2B) > 0  (2A5B) < 0 (2A5B) > 0    ดังนั้นจะสรุปได้ว่า (5A 2B)(2A 5B) 0 เมื่อ x ( , 1] [1, ) 23
  25. 25. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ แบบฝึกหัดย่อย 2จงหาเซตของคาตอบของสมการต่อไปนี้ 2x 1 x1. 3 4 3 9 0 x 2 x 1 x2. 3 3 3 39 x 3 x 2 x 13. 5 5 31 5 x x x4. 10 25 29 10 10 4 0 x5. log 3 (7 3 18) 2x x 4 x 16. 2 4 48 24
  26. 26. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้คาตอบ1. [1, 2 ] 2. (1, )3. ( , 1] 4. [ 1, 1]5. [ 2, ) 6. ( , 1]หมายเหตุ ค่าของ log 2 และ log 3 ที่กาหนดให้ ก็เป็นค่าโดยประมาณ 25
  27. 27. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 10 2x 1 3 x 2วิธีทา จากสมการที่กาหนดให้ จะได้ 2x 1 x 2 log 10 = log 3 (2x 1) log 10 = (x 2) log 3 (2x 1) = (x 2) log 3 2x x log 3 = 2 log 3 1 x(2 log 3) = (2 log 3 1) (2 log 3 1) 2 log 3 1 x = = 2 log 3 log 3 2(หมายเหตุ ถ้ากาหนดค่าของ log 3 ก็จะสามารถหาค่าของ x ได้)ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า x จากสมการ n (1 x) n (1 x) 1วิธีทา จาก n (1 x) n (1 x) 1 1 x จะได้ n = 1 1 x 1 x ดังนั้น = e 1 x 1 x = e ex x ex = e 1 e 1 x = e 1 3x 5 2 xตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคาตอบของอสมการ e 3 3x 5 2 xวิธีทา จาก e 3 (เราเลือกใช้ลอการิทึมฐาน e ) จะได้ 3x 5 2 x ne  n 3 (3x 5) n e  (2 x) n 3 3x x n 3  2 n 3 5 ( ne 1) 26
  28. 28. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 2 n 3 5 ดังนั้น x  3 n 3 2 n 3 5 เซตคาตอบของอสมการนี้คือ , 3 n 3 แบบฝึกหัดเพิ่มเติม1. จงหาค่าของจานวนจริง x จากสมการ 2x 1 1.1 3 8 x 1 2x 3 1.2 5 2 x x 2 x 4 x 3 1.3 3 5 3 52. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 2.1 4 25x 3 10x 4x 0 x 2x 2.2 2 3 8 3คาตอบ 3 log 2 log 3 3 log 2 log 51. 1.1 x 1.2 x 2 log 3 2 log 2 log 5 3 log 2 1 1.3 x log 5 log 3 2 log 22. 2.1 x 2.2 x log 3 4 log 2 log 5 27
  29. 29. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน 28
  30. 30. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 3. ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน ต่อไปจะเป็นการนาความรู้เรื่องฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปประยุกต์ใช้ ซึ่งในสื่อจะเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเลขชี้กาลังที่เข้าไปเกี่ยวข้องกับชีวิตประจาวัน นักเรียนจะได้เห็นว่าเรานาความรู้เรื่องฟังก์ชันเลขชี้กาลังไปคานวณหรืออธิบาย อัตรา หรือจานวนประชากร หรือการเปลี่ยนแปลงในอนาคตได้อย่างไร 29
  31. 31. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 30
  32. 32. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ นักเรียนอาจสงสัยว่า รู้ได้อย่างไรว่าความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของต้นไม้และเวลาที่ผ่านพ้นไปจะเป็นไปตามสมการที่กาหนดให้ ผู้สอนคงต้องบอกให้นักเรียนทราบว่า ความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ในโจทย์บางครั้งเป็นสมมติฐานที่นักวิทยาศาสตร์คาดเดา และบางครั้งก็ได้มีการทาวิจัยและได้ข้อสรุปความสัมพันธ์ตามสมการที่กาหนดให้ แต่ในบางครั้ง ตัวเลขหรือจานวนในสถานการณ์จริงก็เป็นจานวนที่มีทศนิยมหลายตาแหน่ง อาจไม่สะดวกในการใช้คานวณ ในตัวอย่างจึงอาจใช้ตัวเลขสมมติเพื่อความเหมาะสมหรือสะดวกในการคานวณ ซึ่งในชีวิตประจาวันจริง เราก็สามารถคานวณโดยใช้หลักการคานวณเดียวกัน และในการคานวณเราใช้ลอการิทึมช่วยในการคานวณให้ง่ายขึ้นโดยบางกรณี (บางครั้ง) ค่าที่ได้เป็นเพียงค่าโดยประมาณเท่านั้น เนื่องจากข้อจากัดของค่าจากตารางลอการิทึม ซึ่งเป็นค่าประมาณทศนิยมเพียง 4 ตาแหน่ง เมื่อนาไปบวก/ลบ/คูณ/หาร ก็จะได้ผลลัพท์เป็นค่าโดยประมาณ 31
  33. 33. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ เพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจหรือเห็นได้ชัดเจนว่า ในสื่อเลือกใช้ลอการิทึมฐาน e ในการคานวณระยะเวลาว่า นานเท่าไรจึงจะมีปริมาตร 4,000 ลูกบาศก์ฟุต แล้วอ้างว่าสะดวกกว่าและง่ายกว่าทาไมจึงเป็นเช่นนั้น ผู้สอนอาจแสดงให้นักเรียนเห็นว่า ถ้าใช้ลอการิทึมฐานอื่นแล้วอาจยุ่งยากกว่าโดยลองเลือกใช้ลอการิทึมฐาน 10 ก็ได้ ดังนี้ t จากความสัมพันธ์ 4000 100e t จะได้ e 40 32
  34. 34. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ถ้าเราเลือกใช้ลอการิทึมฐาน 10 ก็จะได้ t log e = log 40 t log e = log 40 log 40 t = log eจากตารางลอการิทึมฐาน 10 จะได้ log e 0.4343 และ log 40 1.6021 1.6021 ดังนั้น t 3.6889 0.4343หรือถ้าเราใช้ลอการิทึมฐาน 3 ก็จะได้ t log3 e log3 40 log3 40 ดังนั้น t (ซึ่งจะมีปัญหาในการคานวณค่าของ t เพราะเรา log3 e ไม่มีตารางค่าของลอการิทึมฐาน 3) 33
  35. 35. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ในชีวิตประจาวันเรายังมีเรื่องที่เกี่ยวกับการเงินและการธนาคารซึ่งอาศัยความรู้เรื่องฟังก์ชันเลขยกกาลังและฟังก์ชันลอการิทึมช่วยในการคานวณ ตัวอย่างเช่น เราทราบว่าสูตรที่ใช้คานวณเงินรวมโดยคิดดอกเบี้ยทบต้น คือ n S P (1 i)เมื่อ Sn หมายถึงเงินรวมที่ได้จากการคิดดอกเบี้ยทบต้นของเงินต้น P บาท และคิดอัตราดอกเบี้ย iและคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นจานวน n คาบ ถ้าเรารู้อัตราดอกเบี้ยของการฝากเงินและรู้ว่าคิดดอกเบี้ยทบต้นกี่ครั้ง ก็จะสามารถคานวณเงินรวมของการฝากเงินได้ทันทัน แต่การแทนค่าในสูตร ต้องแทนค่าให้ถูกต้อง จึงต้องมีวิธีหาค่า i และ n ที่ชัดเจน โดยผู้สอนอาจยกตัวอย่างให้ดูสัก 2-3 ตัวอย่าง 34
  36. 36. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ตัวอย่าง 1 ฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่ง 50,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ยในอัตราร้อยละ 2.5ต่อปี คิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุก 4 เดือน ฝากนาน 2 ปี จงหาว่าเมื่อครบ 2 ปี จะได้เงินรวมเท่าไรวิธีทำ จากโจทย์จะได้ P 50000 2.5 r 100 i (เมื่อ r คืออัตราดอกเบี้ยต่อปี) m 3 n 2 3 6 ( 2 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้น 6 ครั้ง) n ดังนั้น เงินรวม Sn = P(1 i) 6 0.025 = 50000 1 3  52552.67 บาทตัวอย่าง 2 น้องพลอยต้องการใช้เงิน 1,000,000 บาท ในอีก 10 ปีข้างหน้านับจากวันนี้ ถ้าธนาคารมีโปรแกรมฝากพิเศษระยะเวลา 10 ปี คิดดอกเบี้ยให้ร้อยละ 4.5 ต่อปี และคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกครึ่งปี น้องพลอยควรจะฝากเงินในวันนี้เป็นจานวนเท่าใด จึงจะมีเงินในบัญชี 1,000,000 บาทในอีก 10 ปีข้างหน้า (ไม่มีการคิดภาษีของดอกเบี้ยของเงินฝากพิเศษนี้)วิธีทำ น้องพลอยต้องการหาเงินเต้น P บาท ซึ่งจะทาให้ S (เงินรวม) = 1,000,000 บาท 4.5 i = (คิดทบต้นปีละ 2 ครั้ง) 100 2 n = 10 2 (คิดทบต้นเป็นจานวน 10 2 ครั้ง) n แทนค่าในสูตร S P (1 i) 20 2.25 1, 000, 000 = P 1 100 6 20 10 = P 1 0.0225 6 20 log 10 = log P 1 0.0225 6 = log P 20 log (1.0225) 35
  37. 37. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ log P  6 20(0.0097) 5.8067 5  log (10 6.407)  640700 ดังนั้น น้องพลอยต้องฝากเงินวันนี้เป็นจานวน 640,700 บาท เพื่อว่าอีก 10 ปีข้างหน้า จะมีเงิน 1,000,000 บาทในบัญชีตัวอย่าง 3 ธนาคารแห่งหนึ่งให้ดอกเบี้ยเงินฝากประจาพิเศษเป็นแบบทบต้น m ครั้งต่อปี โดยให้ดอกเบี้ย เมื่อสิ้นปี ผู้ฝากจะได้ดอกเบี้ยที่แท้จริงเป็นไปตามสมการ m r rm 1 1 mเมื่อ rm แทน ดอกเบี้ยที่ได้รับจริงเมื่อสิ้นปี (ของเงินต้น 1 บาท) r แทน อัตราดอกเบี้ยที่ธนาคารกาหนดให้ต่อปี (ของเงินต้น 1 บาท) m แทน จานวนครั้งที่ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นใน 1 ปีก. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.75% ต่อปี โดยคิดทบต้น ทุก 4 เดือนข. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.5% ต่อปี โดยคิดทบต้น ทุกเดือนค. จงหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงที่เกิดจากการคิดดอกเบี้ยด้วยอัตรา 3.25% ต่อปี โดยคิดทบต้น ทุกวัน 3.75วิธีทำ ก. จากโจทย์ r , m 4 100 4 3.75 ดังนั้น r4 = 1 1 100 4  0.03803 (ร้อยละ 3.80) 3.65 ข. จากโจทย์ r , m 12 100 12 3.65 ดังนั้น r12 = 1 1 100 12  0.03557 (ร้อยละ 3.557) 36
  38. 38. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 3.4 ค. จากโจทย์ r , m 365 100 365 3.4 ดังนั้น r365 = 1 1 100 365  0.03562 (ร้อยละ 3.562)ตัวอย่าง 4 ในการทาปฏิกิริยาทางเคมีสาร A เปลี่ยนไปเป็นสาร B ในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับปริมาณของสาร A ที่เหลืออยู่ โดยที่สมการความสัมพันธ์ kt Q(t ) Ceโดยที่ Q เป็นปริมาณของสาร A ที่เหลืออยู่ เมื่อเวลาผ่านไป t ชั่วโมง ถ้าตอนเริ่มต้นมีสาร Aอยู่ 100 กรัม หลังจากนั้น 3 ชั่วโมง มีสาร A เหลืออยู่ 85 กรัม ถ้าทิ้งให้ทาปฏิกิริยานาน 9 ชั่วโมงจะเหลือสาร A กี่กรัม ktวิธีทำ จาก Q(t ) Ce ……………* เมื่อ t 0,Q 100 แทนค่าในสมการ * จะได้ k (0) 100 = Ce  C = 100 kt ดังนั้น Q(t ) 100e ……………** เมื่อ t 3,Q 85 แทนค่าในสมการ ** 3k 85 = 100e 3k 85 e = 100 k 3 85 e = 100 t 85 3  Q(t ) = 100 100 37
  39. 39. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 9 85 3 เมื่อ t 9, Q = 100 100 3 85 = 100 100 = 61.4125 กรัม แบบฝึกหัดย่อย1. ถ้าอัตราการเจริญเติบโตของประชากรหนูในเมืองๆ หนึ่ง ณ เวลาหนึ่ง เป็นไปตามสมการ t m(t ) m0 (1 0.065) เมื่อ แทน จานวนของหนูเมื่อเวลาผ่านไป t (เดือน) m(t ) m 0 แทน จานวนของหนู ณ จุดเริ่มต้น t แทน เวลา มีหน่วยเป็นเดือน 1.1 จงหาว่าเมืองนี้มีหนูกี่ตัวเมื่อเวลาผ่านไป 4 เดือน ถ้าจานวนหนู ณ จุดเริ่มต้นเท่ากับ 150 ตัว 1.2 เมื่อไรจานวนหนูของเมืองนี้จะเป็น 3000 ตัว2. สมพรต้องการฝากเงินแบบพิเศษ 5 ปี เป็นจานวน 400,000 บาท โดยมีธนาคาร 2 ธนาคารให้ ข้อเสนอดังนี้ ธนาคาร A คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ทุกๆ 3 เดือน โดยมีอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 4.5 ต่อปี ธนาคาร B คิดดอกเบี้ยแบบทบต้นให้ทุกๆ 4 เดือน โดยมีอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 4.65 ต่อปี ธนาคาร C เสนอผลตอบแทนร้อยละ 4 ต่อปี แต่คิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุกเดือน จงหาว่าสมพรควรจะเลือกธนาคารใด จึงจะได้ผลตอบแทนสูงสุด3. ฝากเงินแบบพิเศษกับธนาคาร 300,000 บาท โดยธนาคารให้เลือกฝาก 3 แบบ ดังนี้ ก. อัตราดอกเบี้ย 4.45 คิดทบต้นทุก 3 เดือน ข. อัตราดอกเบี้ย 4.25 คิดทบต้นทุกเดือน ค. อัตราดอกเบี้ย 4.05 คิดทบต้นทุกวัน แบบใดให้ผลตอบแทนเมื่อสิ้นปีสูงสุด 38
  40. 40. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้คาตอบ1. 1.1 193 ตัว 1.2 2 เดือน 26 วัน2. A (500, 300.21) , B (503, 800.86) , C (488, 398.64) เลือกธนาคาร B3. ก (313, 574.43) , ข (313, 001.31) , ค (312, 398.69) เลือกแบบ ก. 39
  41. 41. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ สรุปสาระสาคัญประจาตอน 40
  42. 42. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ สรุปสาระสาคัญประจาตอน 41
  43. 43. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ 42
  44. 44. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 43
  45. 45. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ แบบฝึกหัดระคน 3x 1 x1. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (2 )(5 ) 800 1. ( , 2] 2. [ 5, ) 3. ( , 2 ] [ 5, ) 4. [ 2, 5 ] x x x2. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3 4 5 6 2.9 0 1. ( , log 2 3 ] 2. [ log 2 3, ) 3. ( , log 3 3 ] 4. [ log 3 3, ) 2 2 1 13. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3 x 12 3 2x 27 0 เป็นสับเซตของเซตใด 1. ( , 2 ] [ 3, ) 2. ( , 1) (1, ) 1 1 1 3. ( , ) [ , ) 4. ( , ] (2, ) 3 2 4 2 x (x 2) x 1 14. เซตคาตอบของอสมการ 3 คือเซตในข้อใด 5 5 1. ( 2, 0) (1, ) 2. ( 3, 0) (2, ) 3. ( , 3) ( 3, 1) 4. ( 3, 0) (1, ) 3 2x 1 x5. เซตคาตอบของอสมการ 3 1 4 3 คือเซตในข้อใด 1. [1, 2 ] 2. ( , 1] [ 2, ) 3. ( , 2 ] [1, ) 4. [ 2, 1] 2x (x 1) x 2 1 16. เซตคาตอบของอสมการ เป็นสับเซตของข้อใด e e 1 1. ( 1, 3) 2. ( , ) [1, ) 3 3. ( , 2) (1, ) 4. ( 2, 4) 44
  46. 46. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง ่ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ้ log5 x log5 77. เซตคาตอบของอสมการ 7 x 14 เป็นสับเซตของข้อใด 1. ( , 6) 2. ( 3, 5) 3. (5, ) 4. ( 1, 4)8. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ cos cos ก. e 6 e 3 1 1 e e ข. sin sin 3 6 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ผิด และ ข. ถูก 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด9. กาหนดให้ 0 a b 1 และ 0 x y แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง x y x y 1. a b 2. a b x y y x y x y 3. a a 4. a b log (5x 4) log (2x 5)10. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (0.7) 0.7 0.7 0.7 คือเซตในข้อใด log x log (2x 3) 1. x |4 3 4 3 2. x | log3 e(x 1) log3 e (x 2) 0 x 1 x 1 1 1 3. x | 3 9 n (3x 2) n (2x 1) 4. x | log3 e log3 e 0 45

    Sé el primero en comentar

    Inicia sesión para ver los comentarios

  • DandelionAmorete

    Nov. 1, 2013
  • nititathchaikuad

    Jun. 26, 2014
  • ssuserc1dda4

    Sep. 26, 2016
  • arriyasithalon3

    Oct. 12, 2016
  • ssuser96ce121

    Sep. 14, 2020

Vistas

Total de vistas

5.082

En Slideshare

0

De embebidos

0

Número de embebidos

5

Acciones

Descargas

136

Compartidos

0

Comentarios

0

Me gusta

5

×