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Matemática
Serie 1 para estudiantes de Secundaria
De la prensa a la Matemática
Fascículo 9: ENCUESTAS
Ministerio de Educación
Van de Velde 160, San Borja
Primera edición, 2007
Tiraje: 28 000 ejemplares
Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A.
Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,
Chacra Ríos Sur, Lima 01
Hecho el Depósito Legal en la
Biblioteca Nacional del Perú
Nro. 2007-00287
Coordinación y supervisión general MED
Antonieta Cubas Mejía
Supervisión pedagógica MED
Daniel Giovanni Proleón Patricio
Verificación de estilo MED
Miguel Humberto Fuentes Huerta
Autoría
Ediciones El Nocedal S.A.C.
Coordinador
Rubén Hildebrando Gálvez Paredes
Elaboración pedagógica
Felipe Eduardo Doroteo Petit
Itala Esperanza Navarro Montenegro
Edgar Justo Chacón Nieto
Daniel José Arroyo Guzmán
Colaboración especial
María Amparo Vega Aguilar
Hilda B. Villafane Rodríguez
Revisión pedagógica
Hno. Marino La Torre Mariño
Revisión académica
Armando Zenteno Ruiz
Diseño y diagramación
Virginia Rosalía Artadi León
Ilustraciones
Patricia Nishimata Oishi
Brenda Román González
Fotografía
Enrique Bachmann
Corrector de estilo
Marlon Aquino Ramírez
c
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
Z_Creditos Ser1 Est. 01-10.indd 9Z_Creditos Ser1 Est. 01-10.indd 9 6/18/07 4:22:24 PM6/18/07 4:22:24 PM
1
PRESENTACIÓN
El presente fascículo es un material autoinstructivo que facilita el desarrollo de
las capacidades fundamentales, específicas, y las capacidades del área de Mate-
mática, así como la vivencia de los valores propuestos en el Diseño Curricular
Nacional de Educación Básica Regular del nivel de Educación Secundaria.
El conocimiento, como representación de la realidad, suele asumir formas com-
plejas, pero utilitarias. En muchas áreas del saber hay que establecer formas de
simbolización y proyección que exigen del investigador condiciones y capaci-
dades que hagan suficientemente fértiles las acciones que van a caracterizar su
tarea científica. Uno de esos campos es la Estadística, rama de la Matemática
de gran desarrollo y cultivo a partir del siglo pasado, y que en la actualidad es
aplicada por políticos, economistas, educadores, militares, antropólogos, mé-
dicos, ingenieros, psicólogos, astrónomos, etc.
¿Quién no conoce que en la actualidad la vida social y práctica se organizan
en torno a sondeos de opinión, variables y niveles de producción, promedio
de cociente intelectual, resultados de evaluación, resultados de experimentos;
términos de gran frecuencia en el análisis e interpretación de los datos que la
ciencia provee y que nos ayudan a comprender el mundo?
En este fascículo se planteará cómo las fuentes de comunicación constituyen
los medios básicos de información respecto de los hechos humanos o de la
naturaleza, y que además permiten hacer comprensible el mundo donde nos
movilizamos.
El fascículo contiene las guías y procedimientos que el alumno requiere para
concebir e instrumentalizar los modos de acceso en forma técnica, así como
el bagaje matemático para entender el entorno y su consecuente manejo prác-
tico.
Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de sa-
beres previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, chistes
matemáticos, curiosidades matemáticas, bibliografía y enlaces web.
Presentación...........................................................................................................................	1
Índice .....................................................................................................................................	 2
Organizador visual de contenidos..........................................................................................	 3
Motivación.............................................................................................................................	 4
Logros de aprendizaje............................................................................................................	 4
Recuperación de saberes previos ..........................................................................................	 4
1.	Estadística........................................................................................................................	 5
	 1.1	 Conceptos básicos.......................................................................................................	 5
	 Actividad 1.........................................................................................................................	 7
2.	Distribución de frecuencias para datos no agrupados..............................................................	 8
	 2.1	 Frecuencia absoluta.....................................................................................................	 8
	 2.2	 Frecuencia relativa......................................................................................................	 9
	 2.3	 Frecuencia porcentual.................................................................................................	 9
	 2.4	 Gráficos de distribución de frecuencias......................................................................	 9
	 2.5	 Tipos de gráficas..........................................................................................................	10
	 2.6	 Importancia de los gráficos estadísticos......................................................................	13
	 2.7	 Partes de un gráfico ....................................................................................................	13
	 2.8	 Frecuencia absoluta acumulada...................................................................................	14
	 Actividad 2.........................................................................................................................	 16
3.	Distribución de frecuencias para datos agrupados......................................................	17
	 3.1	 ¿Qué hacer para agrupar datos? .................................................................................	17
	 3.2	 Elaboración de tablas estadísticas ..............................................................................	18
	 3.3	 Gráficos de datos agrupados........................................................................................	 21
	 Actividad 3 ........................................................................................................................	 22
4.	Medidas de tendencia central .......................................................................................	 23
	 4.1	 Media aritmética .........................................................................................................	 23
	 4.2	 Moda ...........................................................................................................................	 25
	 4.3	 Mediana.......................................................................................................................	 27
	 Actividad 4 ........................................................................................................................	 28
5.	Evaluación .......................................................................................................................	 29
6.	Metacognición ................................................................................................................	 30
Bibliografía comentada .........................................................................................................	 31
Enlaces web............................................................................................................................	 32
Índice
paraestudiantesde1ro.y2do.desecundaria
Medios
básicos
ENCUESTAS
Fuentesde
comunicación
Información
NaturalezaHechos
humanos
comprendeel
estudiodela
Definición
Estadística
Partes
Importancia
Tipos
queconstituyen
los
de
respectoa
abordandolas
de
clasificándolasen
siendosiendo
su
mostrando
para
mostrandosus
tratandosu
sean
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trabajando
las
sean
su
conlas
Conceptos
VariablesMuestra
CualitativasCuantitativas
NominalesDiscretasContinuasOrdinales
Datosno
agrupados
Datos
agrupados
Gráficas
Medidas
Tendencia
central
Media
aritmética
Mediana
Porcentual
Relativa
Distribución
Absoluta
Moda
Frecuencias
Población
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 3Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 3 5/28/07 10:35:23 PM5/28/07 10:35:23 PM
4
Serie 1 / DE LA PRENSAA LA
MATEMÁTICA
LOGROS DE APRENDIZAJE
Identifica conceptos básicos de la Estadística, a
travésdelaresolucióndesituacionesplanteadas,
trabajando cooperativamente.
Aplica algoritmos y sigue procesos para la ela-
boración de tablas de frecuencia y gráficos de
datos agrupados y no agrupados en forma orde-
nada y con precisión.
Procesa la información mediante la relación, la
transformación y la aplicación de medidas de
tendencia central, mostrando precisión.
Lee atentamente y responde en una hoja aparte.
Ordena en forma ascendente los siguientes números:
5; -6; 4; ½; 6; 9; -3; 8, 5; 4,5
Se tiene las calificaciones de 20 estudiantes en el área de
Ciencias Histórico Sociales:
14, 16, 12, 08, 17, 06, 08, 11, 12, 10, 15, 14, 12, 11, 13,
17, 15, 16, 14, 16.
Ordena en forma ascendente los datos dados.
¿Cuántos estudiantes tienen la menor calificación?
¿Cuántos estudiantes tienen la mayor calificación?
¿Cuál es la calificación/es que más se repite/n?
¿Cuántos estudiantes desaprobaron el área y cuántos
aprobaron?
Durante el primer bimestre obtuviste las siguientes no-
tas de matemáticas: 14; 12; 16; 18. ¿Cuál será tu nota
bimestral?
RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS
ENCUESTAS
Motivación
Cada cinco años, en nuestro país,
vivimos pendientes de las encuestas
de los medios de comunicación
(periódicos, revistas, radio, TV
y la internet) que nos llevarán a
determinar quién será el nuevo
presidente, quiénes tienen más
opciones, qué regiones se inclinan
más por uno y por otro candidato.
Sin embargo, las encuestas son
usadas todo el tiempo, y nos sirven
para determinar, por ejemplo, qué productos se cotizan más, cuáles se cotizan menos, etc. Y así, diversas
opiniones que nos muestran diferentes situaciones a partir de las cuales podemos decidir.
En el recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, se muestra una serie de características de los padres,
como sus gustos y costumbres. Asimismo, el otro recorte periodístico nos muestra los porcentajes de los
gastos por el “Día de la Madre”, su crecimiento respecto del año anterior, las actividades que se realizaron
por dicha celebración, los lugares preferidos para las compras y otros datos. Y el recuadro restante nos
presenta las tasas de interés en soles y euros, así como la rentabilidad anual de las Administradoras de Fondos
Privados (AFP). El presente fascículo nos permitirá aprender a construir y analizar estos datos empleando la
Técnica de la Frecuencia y haciendo uso de las diversas estadísticas.
Conociendo mejor a papá
Ya que mañana es el
Día del Padre resulta
jaejrieroiearjo fales
feoarejai rajeia gus-
mfdiam rfaiejfa oda
afj eoirj ae a fiemesa
jfieoajraoir eachocola-
aej4roai erar ai rpapá
ajeirjaiorja merfamilia
rejaoijraieraer fueron
eiajraoir ar era felices.
Sabía que... (%)
De los jefes de hogar son hombres
De los jefes de familia son mayores de 18 años
De los jefes de familia poseen una cuenta de ahorro
De los padres tienen un celular
De los padres acuden a los centros comerciales
De los padres van a los supermercados
81.6
34.7
31.4
47.6
29.7
58.3
Principales pasatiempos (%)
33,0%
Escuchan
música
28,4%
Miran
televisión
15,2%
Leen
libros
11,2%
Hacen
deportes
3,5%
Computación,
internet
3,2%
Tocan
instrumento
musical
2,8%
Cocinan
2,6%
Leen
periódicos
PERFIL DEL CONSUMIDOR
12 ECONOMÍA
Deportes que más practican (%)
Fútbol
Caminata
Gimnasio
Natación
Correr-Footing
Bicicleta
Básquet
Tenis
Ajedrez
37.6
4.4
3.1
2.9
2.8
2.1
1.7
1.6
1.6
Grado de instrucción (%)
Secundaria completa
Técnica completa
Superior completa
Secundaria completa
Posgrado
Superior incompleta
Primaria completa
Técnica completa
Ningún nivel
26.7%
19.8%
18.3%
9.6%
7.3%
5.9%
4.8%
2.9%
0.3%
42.9
28.6
9.1
8.7
5.7
4.1
3.2
3.0
Ocupación (%)
Trabajador independiente
Empleado
Obrero
Jubilado
Profesional independiente
Estudiante
Desempleado
Ejecutivo empresario
Gasto en regalos por el Día de la
Madre llegó a S/. 176 millones
MARKETING: Estudio
22 9 de setiembre del 2004 / EL PERIODICO
Como resultado de la encuesta del
periódico, “Conociendo mejor a
papá”, en ocupación nos dan como
opciones: trabajador independiente,
empleado, obrero, etc., a estas
opciones se les llama variables
cualitativas, y son susceptibles
de clasificación, no se pueden medir.
Como resultado de la encuesta del
periódico, “Conociendo mejor a
papá”, en ocupación nos dan como
opciones: trabajador independiente,
empleado, obrero, etc., a estas
opciones se les llama variables
cualitativas, y son susceptibles
de clasificación, no se pueden
medir. En cambio, para edades y
tallas obtendrás números, a estos
caracteres estadísticos se les llama
variables cuantitativas; por lo
general, para las edades y número
de vecinos se presentan con números
enteros positivos, mientras que para
las tallas se presentan con números
reales (decimales). A las primeras
se les llama variables cuantitativas
discretas, se pueden contar, como
el número de alumnos de cada aula
de tú institución educativa, y en el
segundo caso, variables cuantitativas
continuas, se pueden medir como
en el caso de las tallas, los pesos, el
tiempo o la temperatura.
Como resultado de la encuesta del
periódico, “Conociendo mejor a
papá”, en ocupación nos dan como
opciones: trabajador independiente,
empleado, obrero, etc., a estas
opciones se les llama variables
cualitativas, y son susceptibles
de clasificación, no se pueden
medir. En cambio, para edades y
tallas obtendrás números, a estos
caracteres estadísticos se les llama
variables cuantitativas; por lo
general, para las edades y número
de vecinos se presentan con números
enteros positivos, mientras que para
las tallas se presentan con números
reales (decimales). En cambio, para
edades y tallas obtendrás números,
a estos caracteres estadísticos se les
llama variables cuantitativas.
Como resultado de la encuesta del
periódico, “Conociendo mejor a
papá”, en ocupación nos dan como
opciones: trabajador independiente,
empleado, obrero, etc., a estas
opciones se les llama variables
cualitativas, y son susceptibles
de clasificación, no se pueden
medir. En cambio, para edades y
tallas obtendrás números, a estos
caracteres estadísticos se les llama
variables cuantitativas; por lo
general, para las edades y número
de vecinos se presentan con números
enteros positivos, mientras que para
las tallas se presentan con números
reales (decimales). A las primeras
se les llama variables cuantitativas
discretas, se pueden contar, como
el número de alumnos de cada aula
de tú institución educativa, y en el
segundo caso, variables cuantitativas
continuas, se pueden medir como
en el caso de las tallas, los pesos, el
tiempo o la temperatura.
En cambio, para edades y tallas
obtendrás números, a estos
caracteres estadísticos se les llama
variables cuantitativas; por lo
general, para las edades y número
de vecinos se presentan con números
enteros positivos, mientras que para
las tallas se presentan con números
reales (decimales). A las primeras
se les llama variables cuantitativas
discretas, se pueden contar, como
el número de alumnos de cada aula
de tú institución educativa, y en el
segundo caso, variables cuantitativas
continuas, se pueden medir como
en el caso de las tallas, los pesos, el
tiempo o la temperatura.
Como resultado de la encuesta del
periódico, “Conociendo mejor a
papá”, en ocupación nos dan como
opciones: trabajador independiente,
empleado, obrero, etc., a estas
opciones se les llama variables
cualitativas, y son susceptibles
de clasificación, no se pueden
medir. En cambio, para edades y
tallas obtendrás números, a estos
caracteres estadísticos se les llama
variables cuantitativas; por lo
general, para las edades y número
de vecinos se presentan con números
enteros positivos, mientras que para
las tallas se presentan con números
reales (decimales).
En cambio, para edades y tallas
obtendrás números, a estos
caracteres estadísticos se les llama
variables cuantitativas; por lo
general, para las edades y número
de vecinos se presentan con números
enteros positivos, mientras que para
las tallas se presentan con números
reales (decimales). A las primeras
se les llama variables cuantitativas
discretas, se pueden contar, como
el número de alumnos de cada aula
de tú institución educativa, y en el
segundo caso, variables cuantitativas
continuas, se pueden medir como
en el caso de las tallas, los pesos, el
tiempo o la temperatura.
A las primeras se les llama variables
cuantitativas discretas, se pueden
contar, como el número de alumnos
de cada
aula de tú institución
educativa, y en el segundo caso,
variables cuantitativas continuas, se
pueden medir.
Cifra presentó un
crecimiento de 21%
respecto al gasto
realizado en la campaña
del 2005
78,0%
29,1%
7,3%
6,6%
3,1%
2,9%
Reunión familiar en alguna casa
Almuerzo/cena/desayuno fuera de casa
Visita al cementerio
Paseo familiar
Nada
Otros
¿Qué hizo usted el Día de la Madre?
Con respecto al 2005,
crece la proporción que
celebra el Día de la Madre
comiendo fuera de casa
(17% a 29%)
Gasto total en regalos
Gasto per cápita
promedio
NSE C
37%
S/. 65'557.576
S/. 77
2,9%
Gasto per cápita
S/. 65'557.576
NSE D
24%
S/. 42'097.579
S/. 55 NSE A/B
39%
S/. 68'374.379
S/. 104
AFP-Rentabilidad anual del Fondo 2
Cifras provisionales, al 24 de mayo
Integra
Horizonte
Unión Vida
Profuturo
22,00%
22,50%
23,00%
23,50%
24,00%
Por disposición de la SBS, Prima no puede
mostrar rentabilidad hasta que cumpla un
año de operaciones.
Fuente: SBS
Tasas de interés
Soles Euros
5,50%
5,18%
4,85%
4,53%
4,20%
3,00%
2,68%
2,35%
2,03%
1,70%
ON 7d 30d 60d 90d 180d 360d
Fuente: División Mercado de Capitales -
Interbank
PORTA
FOLIO
fascículo 9 / eNCUESTAS
1. estadística
1.1 Conceptos básicos
Definición de Estadística
Es una parte de la Matemática aplicada que nos proporciona instrumentos
para recopilar, organizar, resumir, presentar, analizar, hacer predicciones e
interpretar datos para tomar decisiones sobre determinados hechos o fenó-
menos de estudio.
Antiguamente la Estadística solo era aplicada a los asuntos del Estado.Ahora,
frecuentemente la Estadística se emplea para acontecimientos ordinarios,
tales como predicción del tiempo, mediciones, probabilidades futbolísticas,
uso popular de productos alimenticios, simpatía de algún personaje público,
etc. Pero para ello, es necesario que la Estadística se use adecuadamente
para hacer más eficiente las investigaciones que nos proponemos a realizar,
por lo que todos los investigadores se deben familiarizar con las técnicas y
conceptos básicos de esta ciencia tan útil.
Estadística Descriptiva.- Es la parte de la Estadística que se encarga
de recolectar, clasificar, organizar, resumir, presentar y analizar en forma
descriptiva sin sacar conclusiones de tipo general.
Estadística Inferencial.- Es la parte de la Estadística, cuyo propósito es
inferir o deducir conclusiones y/o predicciones con respecto a una pobla-
ción en estudio a partir de la información de una muestra. Para asegurar la
validez de las inferencias utiliza las Probabilidades.
Población y muestra
Ahora, observa la noticia de la página 4.
Como en el recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, tú puedes
aplicar una encuesta a tus vecinos que sean padres. Puedes tomar las
mismas preguntas: edad, ocupación, grado de instrucción, pasatiempos,
deportes que practican o crear otras preguntas. Los padres de la cuadra
donde vives serían tu muestra y los vecinos de la manzana la población
o universo de tu investigación. Estos son conceptos estadísticos.
Población.- Es el conjunto de personas u objetos susceptibles de
ser estudiados.
Ejemplos: una institución educativa donde se puede estudiar las
tallas de los estudiantes, nivel de desnutrición, la procedencia de
sus padres. En una ferretería, un stock de focos, etc.
Descriptiva Inferencial
Estadística
Estas dos partes de la
Estadística no son mutuamente
excluyentes ya que para
utilizar los métodos de la
estadística inferencial, se
requiere conocer los métodos
de la estadística descriptiva.
PRIMERA DIVISIÓN
Equipos PJ PG PE PP GF GC DIF PTS
1. FBC Melgar 8 5 1 2 14 13 +1 16
2.AlianzaAtlético 8 4 3 1 9 4 +5 15
3. Cienciano 8 4 2 2 14 8 +6 14
4. Alianza Lima 8 4 2 2 14 10 +4 14
5. San Martín 8 4 2 2 13 10 +3 14
6. Universitario 8 3 2 3 12 10 +2 11
7. Sporting Cristal 8 2 4 2 11 12 -1 10
8. Sport Boys 7 2 3 2 10 7 +3 9
9. Dep. Municipal 8 2 2 4 11 13 -2 8
10. Sport áncash 7 1 4 2 6 6 0 7
11. Bolognesi 8 1 3 4 5 15 -10 6
12. Total Clean 8 1 0 7 6 17 -11 3
Tabla de posiciones
El Comercio, 19 de marzo de 2007.
6
Muestra.- Es un subconjunto de la población, o parte representativa de
una población que se desea estudiar.
Ejemplo: un grupo de 485 personas de la ciudad de Lima, seleccionado,
se le hace una encuesta sobre el programa de erradicación de cultivo de
coca.
Variables estadísticas y su clasificación
En una encuesta como la presentada en la página 4 aparecen características
como los nombres de los padres con sus ocupaciones, sus edades y sus ta-
llas. A cada una de estas características se les denomina variables.
Variable estadística.- Característica o características de una población
susceptible de ser medida.
Como resultado de la encuesta periodística “Conociendo mejor a papá”,
en cuanto a ocupación, nos da como opciones: trabajador independiente,
empleado, obrero, etc. A estas opciones se les llama variables cualitativas,
son susceptibles de clasificar y no se pueden medir. En cambio, para eda-
des y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama
variables cuantitativas. Por lo general, las edades o número de vecinos se
presentan con números enteros positivos, mientras que las tallas se presen-
tan con números reales, decimales. A las primeras se les llama variables
cuantitativas discretas, se pueden contar (por ejemplo, el número de alum-
nos/alumnas de cada aula de tu institución educativa); y, en el segundo caso,
variables cuantitativas continuas, que se pueden medir (como en el caso
de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura).
El siguiente esquema te ilustrará mejor sobre las clases de variables:
Variable Nominal Variable Ordinal
nacionalidad,
sexo, estado civil
VARIABLES
Cuantitativa
(se puede medir)
Variable Discreta Variable Continua
tallas y pesos
de alumnos,
temperatura, etc.
año, días de la
semana, fecha
¿Está de acuerdo o en desacuerdo
con el programa de erradicación
de cultivo de coca impulsado por el
Estado Peruano?
De acuerdo 57%
En desacuerdo 36%
No precisa 7%
LAS PROTESTAS
Base: total de entrevistados
¿Usted aprueba o desaprueba...?
Los movimientos de protesta en
general
Aprueba 49%
Desaprueba 47%
No precisa 4%
El bloqueo de pistas y carreteras que
se producen en los actos de protesta
Aprueba 16%
Desaprueba 83%
No precisa 1%
EPOPEYA
Base: total de entrevistados que conocen o han
oído hablar del documento chileno sobre la
Guerra del Pacífico llamado “Epopeya”.
¿Con relación al documental, qué
actitud tiene usted?
Está bien que el Gobierno
Peruano le haya dado importancia,
porque perjudica nuestras
relaciones con Chile 58%
El Gobierno Peruano no
debería darle tanta importancia,
es sólo un documento 40%
No precisa 2%
¿Le gustaría o no ver el documental
chileno “Epopeya”?
Sí 81%
No 19%
ENCUESTA LIMA
N° de vecinos, N° de
CD’s vendidos, N° de
hijos, etc.
Cualitativa
(no se puede medir): es una
cualidad o atributo
Muestra probabilística de 485
personas
El Comercio, 18 de marzo de 2007.
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 6Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 6 5/28/07 10:35:25 PM5/28/07 10:35:25 PM
7
Fascículo 9 / ENCUESTAS
Actividad 1
Identifica conceptos básicos de la Estadística, a través
de la resolución de situaciones planteadas, trabajando
cooperativamente.
Formen un equipo de cuatro integrantes.
– Sorteen cada una de las actividades, escribiendo en
un papelito el número de actividad y eligiendo al azar
uno de ellos.
– Resuelvan la situación que les tocó.
– Compartan con los otros integrantes del grupo, el
procedimiento que utilizaron para resolver la situa-
ción que les tocó.
– Escúchense con mucho respeto valorando en todo
momento lo que dice la otra persona.
1. Considerando a los estudiantes de tu institución
educativa, completa el siguiente cuadro, depen-
diendo si el carácter estadístico es constante (in-
variable) o variable:
2. Ubica los siguientes caracteres estadísticos en el
cuadro según corresponda:
a. Profesión de los padres.
b. Diámetros de tubos de agua.
c. Carrera que deseas estudiar.
d. Número de acciones vendidas en la Bolsa.
e. Capacidad del depósito de gasolina de un auto
modelo Tico.
f. Número de granos de una espiga.
g. Número de goles marcados en los partidos de
fútbol del último domingo.
h. Color de ojos del conejo.
3. Llena el siguiente crucigrama estadístico:
4. En la “Encuesta Lima” de la pestaña de la pági-
na 6, identifique las variables para los tres casos
de encuestas y vea qué clase de variables son.
5. Como te sugeríamos antes, elabora una encuesta
a los padres de la cuadra donde vives.
En la encuesta puedes tomar las mismas pre-
guntas como: edad, ocupación, grado de ins-
trucción, pasatiempos, deportes que practican o
crear otras. Es muy importante trabajar con res-
ponsabilidad y anotar tus datos con veracidad.
Los datos de tu encuesta podrías organizarlos en
un cuadro como este:
Propiedades es ¿Por qué?
Sexo variable
Estatura
N° de cursos
primer año
Distancia de tu
casa a la I.E. constante
Mes de
nacimiento
Orden Cualitativa Discretas Continuas
a
b
c
d
e
f
g
h
Nombres Ocupación Edad Tallas
2
E
S
T
A
D
I
S
T
I
C
A
F
R
E
C
U
E
N
C
I
A
O
S
6
4
1
7
5
8
3
9
1. Variable que se puede medir.
2. Conjunto de valores.
3. Variable que no se puede medir.
4. Tipo de variable que se puede contar.
5. Conjunto de personas u objetos a ser estudiados.
6. Característica que se puede medir.
7. Resultado de la observación.
8. Subconjunto de una población.
9. Ciencia que se encarga de recopilar, representar
y analizar los datos recolectados de una determi-
nada población.
NO
EESCRIB
RIBIRRIRRR
RIB
SSSCR
SES
NO
NO ESCRIBIR
SCR
N O E S C R I B I R
Serie1-Fasc9-EST.indd 7Serie1-Fasc9-EST.indd 7 5/8/07 9:18:22 PM5/8/07 9:18:22 PM
Serie 1 / de la prensaa la
matemática
Observa que en un breve cuadro puedes resumir los datos y tener la facilidad
de contestar las siguientes preguntas:
–	 Considerando la Tabla 1:
a.	 ¿Cuántos padres son obreros?
b.	 ¿Cuántos padres son jubilados?
c.	 ¿A qué ocupación se dedica la mayoría de los padres?
d.	 ¿Hay más padres empleados o estudiantes?
–	 Considerando la Tabla 2
a.	 ¿Cuántos padres tienen menor edad?
b.	 ¿Cuántos padres tienen mayor edad?
c.	 ¿Cuál es la edad que más se repite?
Con este mismo proceso puedes seguir organizando las demás preguntas de
tu encuesta y cualquier otra investigación.
Supongamos que en tu cuadra existen 12 padres, de los cuales: 3 son emplea-
dos públicos, 4 obreros, 1 estudiante, 2 empresarios, 2 jubilados; y que sus
2.1 Frecuencia absoluta
Ocupación Frecuencia
( fi
)
Obreros
Empleados
Empresarios
Jubilados
Estudiantes
4
3
2
2
1
Total 12
Tabla 1: Variable cualitativa
Edades Conteo Frecuencia ( fi
)
20 años
25 años
38 años
40 años
42 años
58 años
60 años
/
//
///
/
//
/
//
1
2
3
1
2
1
2
Total 12
Tabla 2: Variable cuantitativa discreta
Tablas.- Son cuadros que facilitan la comprensión y
posterior análisis y utilización de los datos, los cua-
les deben constar de:
•	 Un título adecuado que exprese brevemente su
contenido.
•	 Considerar fuente de datos.
•	 Las unidades en que se expresan los datos.
Frecuencia absoluta.- Número de veces que apa-
rece un valor. Se denota por: fi
.
La Estadística nos permite medir
diversos aspectos de la población.
2. distribución de
frecuencias
DATOS AGRUPADOS
para
no
San Isidro
Lima
Miraflores
Surco
San J. de Lurigancho
La Victoria
La Molina
Surquillo
Lince
San Martín de Porres
Ate
Barranco
Breña
Chorrillos
Comas
El Agustino
Jesús María
Los Olivos
Magdalena
Pueblo Libre
Rímac
San J. de Miraflores
San Luis
San Borja
San Miguel
Santa Anita
Independencia
Villa El Salvador
Villa María del Triunfo
Ancón
Carabayllo
Lurín
Pachacámac
Pucusana
Puente Piedra
San Bartolo
18
12
9
6
5
4
4
4
4
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
En Lima existen unos 140 notarios, pero
en San Isidro se agrupa la mayor parte de
ellos. De otro lado, la comparación de costos
que hace el Indecopi respecto a las tarifas
notariales regidas o no por un arancel nos da
un panorama de cómo variarían los precios.
Carta	 Precio	 Arancel	 Var.
notarial	 promedio	 notarial	 %
emitida	 *	 **
en el
mismo
distrito	
	 S/. 18,7	 S/. 19,6	 4,7
Carta
notarial
emitada a
menos de
15 km del
distrito
notarial
	 S/. 25,4	 S/. 32,7	 28,6
Copias
certificadas
	 S/. 9,0	 S/. 19,6	 117,7
Legalización
de firmas	 S/. 9,1	 S/. 11,4	 25,6
* Vigentes entre el 7 de febrero y el 7 de marzo del año 2003.
** Vigente en 1993.
Comparación de precios en servicios notariales
Fuente: Página web del Colegio de Notarios/Indecopi El Comercio, 18 de marzo de 2007
“Cuadro de frecuencias de la existencia de notarios en la
ciudad de Lima”.
edades fueran: 20 años, 38 años, 28 años, 40 años,
25 años, 42 años, 58 años, 60 años, 38 años, 60 años,
42 años, 25 años.
Podrías organizarlos en las tablas siguientes, llama-
das Tablas de distribución de frecuencias.
Así están divididos
9
2.2 Frecuencia relativa
Vuelve a observar el recorte periodístico de la página 4. En la lámina del
recorte periodístico “Conociendo mejor a papá” también puedes observar
el grado de instrucción de los padres, pero las frecuencias las dan en porcen-
taje, a esta frecuencia se le llama frecuencia relativa.
¿Cómo se obtiene la frecuencia relativa?
Si consideramos la Tabla 1, de las ocupaciones, tienes que dividir cada una
de las frecuencias absolutas entre el número total de datos (suma de todas
las frecuencias absolutas).
4
12
0 33
3
12
0 25
2
12
0 17
1
12
0 08= = = =, ; , ; , ; ,
Luego, la frecuencia relativa es:
Frecuencia relativa.- Es el cociente entre las frecuencias absolutas y el
número total de datos. Se denota por: hi
.
Su tabla de frecuencias relativas y conceptuales será:
Ocupación fi
absoluta hi
relativa pi
porcentual
Obreros
Empleados
Empresarios
Jubilados
Estudiantes
4
3
2
2
1
0.33
0.25
0.17
0.17
0.08
33%
25%
17%
17%
8%
Total 12 1.00 100%
Completa la tabla de frecuencia relativa y porcentual de la Tabla 2.
Edades fi
absoluta hi
relativa pi
porcentual
20 años
25 años
38 años
40 años
42 años
58 años
60 años
1
2
3
1
2
1
2
0.08
0.17
…
…
…
…
…
8%
17%
…
…
…
…
…
Total 12 … …
2.4 Gráficos de distribución de frecuencias
Los datos también pueden presentarse mediante gráficos, como los de la
lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, la de los gas-
tos por regalos realizados en este año por el “Día de la Madre” u otros que
seguramente has visto en medios de comunicación (la televisión, los perió-
dicos, revistas, etc.). Observa detenidamente los siguientes gráficos:
2.3 Frecuencia porcentual
Frecuencia porcentual.- Es la frecuencia relativa expresada en porcen-
tajes. Se denota por: pi
.
Para expresar la frecuencia relativa en porcentaje, se multiplica por 100 a
la frecuencia relativa.
Tabla 3
Tabla 4
Personajes
¿Cuál cree usted que es
la principal razón por la
qué Ántero Flores-Aráoz
renunció al PPC?
(Del total de entrevistados que
conocen o han oído hablar sobre la
renuncia de Ántero Flores-Aráoz al
Partido Popular Cristiano)
La actitud poco fraterna
de algunos dirigentes del PPC
No aceptaba el liderazgo
de Lourdes Flores
Aspira a ser primer ministro
del gobierno de Alan García
Lourdes Flores no quiere que
compita con ella para la
candidatura de las elecciones
presidenciales del 2011
No precisa
30%
25%
22%
15%
8%
Fuente: Apoyo Opinión y Mercado S.A.
¿Está usted de acuerdo
o en desacuerdo con el
nombramiento de Julio
César Uribe como técnico de
la selección peruana?
(Del total de entrevistados
aficionados al fútbol)
61%
35%
4%
De acuerdo
En desacuerdo
No precisa
¿Cree usted que el Perú
clasificará o no clasificará al
Mundial de Sudáfrica 2010?
(Del total de entrevistados
aficionados al fútbol)
32%
54%
14%
Clasificará
No clasificará
No precisa
El Comercio, 18 de marzo de 2007.
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10
Serie 1 / DE LA PRENSAA LA
MATEMÁTICA
2.5 Tipos de gráficas
a. Gráfico de líneas
¿Cómo se construyen?
Sigue el siguiente proceso:
1º Construye un sistema de coordenadas.
2º Haz corresponder un punto del eje de la abscisa o eje X
positivo con los datos de la variable en estudio, cuidando
el orden y la proporción de distancias entre dato y dato.
Observando el gráfico tenemos:
– Que la mayor parte de los padres son tra-
bajadores.
Gráfico estadístico.- Es la representación de los datos o valores
recogidos, en forma de dibujo, de tal modo que se pueda percibir
fácilmente los hechos esenciales y compararlos con otros. Permite
dar una visión panorámica de la totalidad de la información.
78,0%
29,1%
7,3%
6,6%
3,1%
2,9%
Reunión familiar en alguna casa
Almuerzo/cena/desayuno fuera de casa
Visita al cementerio
Paseo familiar
Nada
Otros
¿Qué hizo usted el Día de la Madre?
Con respecto al 2005,
crece la proporción que
celebra el Día de la Madre
comiendo fuera de casa
(17% a 29%)
Gasto total en regalos
Gasto per cápita
promedio
NSE C
37%
S/. 65'557.576
S/. 77
NSE D
24%
S/. 42'097.579
S/. 55 NSE A/B
39%
S/. 68'374.379
S/. 104
Tasas de interés
Soles Euros
5,50%
5,18%
4,85%
4,53%
4,20%
3,00%
2,68%
2,35%
2,03%
1,70%
ON 7d 30d 60d 90d 180d 360d
Fuente: División Mercado de Capitales -
Interbank
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
28
42
Trab. Ind. Obr. Jub. Prof.I. Est. Des. Ejec.
variable
*
*
*
*
*
*
*
f
3º Sobre el eje de la ordenada o eje Y (verti-
cal), ubica los valores de la frecuencia ab-
soluta o de la frecuencia relativa.
4º Ubica el punto en el primer cuadrante, que
represente al par variable y su frecuencia.
Considerando la tabla ubicaremos el punto
que representa al par (obrero y su respecti-
va frecuencia) y demás pares:
AFP-Rentabilidad anual del Fondo 2
Cifras provisionales, al 24 de mayo
Integra
Horizonte
Unión Vida
Profuturo
22,00%
22,50%
23,00%
23,50%
24,00%
Por disposición de la SBS, Prima no puede
mostrar rentabilidad hasta que cumpla un
año de operaciones.
Fuente: SBS
Gráfico 3
Gráfico 2
Gráfico 1
ocupación
1990 2000 2001 2002 2003 2004 2005
35
30
25
20
15
10
5
0
26,7 27,9
29,61 29,37
33,45
26,1 26,11
Importación de libros
Actualmente el ingreso de los libros al país está gravado
con el 12% de aranceles.
En millones de dólares.
El Comercio, 19 de marzo de 2007.
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 10Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 10 6/13/07 10:36:11 AM6/13/07 10:36:11 AM
11
Fascículo 9 / ENCUESTAS
Las variables de datos principalmente usadas en los gráficos de barras
son las de tipo cualitativo (llamado también categórico) y las variables
discretas. Para variables continuas seguiremos un procedimiento espe-
cial más adelante.
– Un menor número de padres son desempleados y ejecutivos.
– Un gran número de padres son empleados.
Luego, el gráfico de líneas es la representación de los datos mediante
líneas.
b. Gráfico de barras
Es aquella representación gráfica bidimensional donde los datos son re-
presentados por un conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente,
de manera que la extensión de los mismos es proporcional a la magnitud
que se quiere representar.
Los rectángulos o barras pueden estar colocados horizontal o vertical-
mente. En este último caso reciben también el nombre de gráficos de
columnas.
Considerando la lámina del periódico, veremos que los caracteres esta-
dísticos como edad de los padres, ocupación y deportes que más practi-
can, están representados en gráficos de barras horizontales.
Considerando la Tabla 2, su gráfico de barras es el siguiente:
c. Gráfico circular
De los gráficos que se presentan al inicio de la sección 2.4 se observa un
informe periodístico sobre las actividades realizadas y el porcentaje de
gastos por regalos realizados en el 2006, por el “Día de la Madre”. El
primero está representado en un gráfico de barras. El segundo, si obser-
vas bien el estuche de Mamá, (pag 10) es también un gráfico estadístico,
llamado gráfico circular. Algunos investigadores lo llaman también
gráfico de sectores.
Edades ( f i
)
20 años
25 años
38 años
40 años
42 años
58 años
60 años
1
2
3
1
2
1
2
Tabla 2 Gráfico 4
0
1
2
3
4
20años
38años
42años
60años
Frecuencia ( fi
)
Frecuencia ( fi
)
25años
40años
58años
158
1.847
2000
76
1.308
2001
121
2002
211
1.992
2003
309
2.718
2004
336
3.509
2005
1.479
0
Reediciones
Primera edición
Números de títulos producidos
En el Perú
Gráfica de producción de libros
en el Perú
El Comercio, 19 de marzo de 2007.
Planifique su rutina diaria
Son numerosos las actividades que usted puede realizar a diario, no sólo para mantenerse en forma, sino
principalmente para prevenir enfermedades. Escoja las que más prefiere.
1,050
700
700
560
560
560
490
455
420
420
315
315
280
245
210
151
140
105
105Tipear en la computadora
Tener sexo
Manejar un auto
Lavar la ropa
Jugar al bowling
Bañar al perro
Jugar pimpón
Bailar
Jugar el golf
Nadar
Mover muebles
Practicar aeróbicos
Hacer jogging
Montar bicicleta (20 km/hora)
Hacer abdominales
Subir escaleras
Correr (10 km/hora)
Jugar fútbol
Practicar Tae Bo
Consumo de calorías por actividad (1 hora) Actividad física recreacional
por nivel socioeconómico (Mujeres)
Nivel socioeconómico bajo
Nivel socioeconómico alto
Chile Perú Brasil
3%
13%
7,2%
17%
26,3%
2,8%
Plan para una semana
Gastar más de
1.500 kcalorías
Subir
20 pisos
Caminar
15 km
1 kcaloría = 1.000 calorías
El Comercio, 18 de marzo de 2007.
Fuente: Caloriesperhour.com/ Dr. Víctor Matsudo
Gráfica en forma horizontal
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 11Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 11 5/28/07 10:35:28 PM5/28/07 10:35:28 PM
12
	 Observa cómo se elabora un gráfico circular con los datos de la tabla.
	 1º Se reparten los 360º del círculo en partes proporcionales, para lo cual
realizamos una regla de tres simple en cada caso:
	 Observa el gráfico adjunto
En el recuadro interior nos indican los colores que representan cada va-
riable; a este recuadro se le llama leyenda.
Este tipo de representación permite visualizar mejor y es más apropiada
para reflejar datos cuya variable es cualitativa. También es frecuente su
uso para frecuencias relativas.
	 Análisis del gráfico:
	 El sector verde, el más amplio, nos indica que el mayor porcentaje de alum-
nos/alumnas viaja en bus escolar, seguido de los que viajan en bus urbano.
Número de alumnos Grados sexagesimales
200	 360º
80	 xº
200	 360
30	 xº
200	 360
50	 xº
200	 360
40	 xº
Variable estadística Bus
escolar Automóvil Bus
urbano Bicicleta Total
Frecuencia absoluta
(Nº de alumnos) 80 30 50 40 200
USO DE LOS MEDIOS DE TRANSPORTETabla 5
Bus escolar
Automóvil
Bus urbano
Bicicleta
Estas
medidas
permitirán
dividir el
círculo en
sectores que
representarán
a cada variable
Frecuencia absoluta (Nº de alumnos)
Bus escolar
Automóvil
Bus urbano
Bicicleta
Gráfico 6
	 El gráfico circular es la representación de
datos mediante un círculo, donde se hace
corresponder un sector circular con cada una
de las variables, de tal manera que el arco del
sector sea proporcional a la frecuencia, para lo
cual se hace corresponder el número total de
datos con los 360º que mide la longitud de la
circunferencia.
	 ¿Cómo se construye?
	 Sigue el procedimiento mediante el siguiente
ejemplo:
	 Consideraremos los datos de la tabla que co-
rresponden a una encuesta hecha a 200 alum-
nos/alumnas, teniendo como carácter estadísti-
co el medio de transporte que usan para ir de
su casa al colegio. La tabla está construida en
forma horizontal.
Sí No Sí No
Acceso a
una biblioteca
Acceso a
Internet
1 ¿Qué le parece más adecuado
para la educación de su hijo?
2 Usa Internet como fuente de
consulta porque...
Es más
rápido 79,7%
Es más
confiable 4,9%
Es más
barato 4,2%
No tiene
acceso a
una biblioteca
11,2%
Respuestas: 757Respuestas: 769
3 ¿Cuán útil cree usted que es
Internet para la educación
de su hijo?
Muy útil 38,9%
Útil 45,2%
Algo útil 14,4%
Nada útil 1,6%
Respuestas: 763
6 ¿Cuál cree que es el mayor aporte
de Internet a la educación de
sus hijos?
Mayor acceso
a la información 58,6%
21,2%
14,3%
5,9%
Respuestas: 760
Los familiariza rápidamente
con las nuevas tecnologías
Nuevas opciones
para aprender
Posibilidad de
interactuar con otros
4 ¿Cree que Internet estimula
la investigación?
Respuestas: 758
5 ¿Supervisa usted que su hijo no
copie de Internet los trabajos?
Respuestas: 755
El Comercio, 18 de marzo de 2007.
Fuente: www.elcomercioperu.com.pe
43,3% 56,7%
30,1%
69,9% 48,2%51,8%
La red y la educación de sus hijos
Un sondeo realizado a través de la página web de El Comecio nos ofrece una imagen de lo que nuestros
lectores piensan de Internet como herramienta educativa.
Gráfico circular sobre sondeo del uso educativo de Internet
Destinos de las exportaciones
de libros
De libros, folletos e impresos del Perú 2005
Otros
27%
Chile
23%
EE.UU.
20%
México
10%
Ecuador
15%
El Salvador
15%
El Comercio, 19 de marzo de 2007.
13
fascículo 9 / eNCUESTAS
	 Con solo observar, podemos decir que la menor cantidad de estudiantes
viajan en automóvil.
d.	 Pictogramas
	 Observando la lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a
papá”, veremos que la representación gráfica de la frecuencia porcentual
de las variables se da mediante imágenes. También podemos encontrar
gráficos con representación de objetos y/o personas, a los cuales se les
denomina Pictogramas.
Ejemplos:
1.	 Principales pasatiempos
	 El signo musical representa que el 33,0% de padres
escucha música.
	 La cuchara nos muestra que a 2,8% de los padres les
gusta cocinar.
	 La raqueta nos muestra que el 11,2% de los padres
hace deporte.
	 Así puedes deducir en los demás casos.
2.	 Número de hijos por familia
	 Nos muestra que la mayoría de las familias de la muestra tienen
dos hijos, seguidas de las que tienen un solo hijo. Además, que la
menor cantidad de familias de la muestra tiene 5 hijos.
2.6 Importancia de los gráficos estadísticos
a.	 Son esenciales en el estudio y presentación de trabajos estadísticos y de
investigación. Los datos, al ser transformados en dibujo, permiten un
examen visual que constituye, muchas veces, la primera etapa del análi-
sis e interpretación de datos.
b.	 Permiten observar en forma instantánea el comportamiento de la varia-
ble o variables.
c.	 Permiten formar una idea bastante aproximada sobre la tendencia de las
variables en el futuro.
2.7 Partes de un gráfico estadístico
Para la presentación de los resultados de un trabajo estadístico debe conside-
rarse los siguientes elementos:
1.	 El título: que exprese el contenido del gráfico.
2.	 La escala: se utiliza el sistema cartesiano, graduándose cada eje según la
naturaleza de las variables y frecuencias.
3.	 El cuerpo: viene a ser el gráfico en sí.
4.	 La fuente: indica el origen de los datos estadísticos que se están repre-
sentando. Si proviene de una encuesta, quiénes la realizaron y la fecha en
que se hizo.
33,0%
Escuchan
música
28,4%
Miran
televisión
15,2%
Leen
libros
11,2%
Hacen
deportes
3,5%
Computación,
Internet
3,2%
Tocan
instrumento
musical
2,8%
Cocinan
2,6%
Leen
periódicos
1 2 3 4 5
Cuerpo
Fuente
Título
14
Tabla 6: Número de
hermanos de estudiantes
del tercer grado
Número de
hermanos
(xi
)
Número de
estudiantes
( fi
)
0
1
2
3
4
5
6
3
9
13
2
1
1
1
30
Fuente: Entrevista a alumnos
Número de
hermanos
(xi
)
fi
Fi
0
1
2
3
4
5
6
3
9
13
2
1
1
1
3
12
25
27
28
29
30
Total 30
Tabla de frecuencias
absolutas acumuladas
Tabla 7:
(xi
) fi
Fi
Hi
0
1
2
3
4
5
6
3
9
13
2
1
1
1
3
12
25
27
28
29
30
Total 30
3
30
= 0.1
12
30
= 0.4
25
30
= 0.83
27
30
= 0.9
28
30
= 0.93
29
30
= 0.96
30
30
= 1
Tabla 8:
A estos valores los llamaremos frecuencia absoluta acumulada. Para el
resto de los valores de la variable estadística calcularemos las frecuencias
absolutas acumuladas en la Tabla 7, que denominaremos tabla de frecuen-
cias absolutas acumuladas.
¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a tres hermanos?	
Rpta.: 27
¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a cuatro hermanos?	
Rpta.: 28
¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a cinco hermanos?	
Rpta.: 29
¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a seis hermanos?	
Rpta.: 30, que, como observarás, es igual al número total de datos.
Luego:
Frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable xi
, es la
suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a xi
.
Se representa por Fi
Fi
= f1
+ f2
+ f3
+…+ fi
Si existe la frecuencia absoluta acumulada, ¿será posible calcular la fre-
cuencia relativa acumulada? ¿Cómo la calculamos?
Dividimos cada una de las frecuencias absolutas acumuladas, Fi
, entre el
número total de los datos, y obtendremos la frecuencia relativa acumulada.
La representaremos por Hi
es decir:
Podemos construir la Tabla 8, que denominaremos tabla de frecuencias
relativas acumuladas:
H H H H 2 3 7
3
30
2
30
25
30
30
3
   ; ; ; ......... ;
00
Sería: 3 + 9 = 12
2. 	 ¿Cuántos estudiantes tienen menos e igual a 2 hermanos?
Sería: 3 + 9 + 13 = 25
2.8 Frecuencia absoluta acumulada
Consideremos la siguiente situación: a los estudiantes de un aula de tercer
grado de una institución educativa se les preguntó el número de hermanos
que tenían. De los 30 estudiantes, algunos tenían un solo hermano; la mayoría
tenía dos hermanos. En la Tabla 6 presentamos el número de hermanos y el
número de estudiantes según la situación indicada.
Si nos hacen las siguientes preguntas:
1. 	 ¿Cuántos estudiantes tienen menos de dos hermanos?
Tabla de frecuencias
relativas acumuladas
15
Ejemplos:
1.	 Construir las tablas de frecuencias absolutas, relativas,
acumuladas absolutas y acumuladas relativas, de los si-
guientes experimentos:
a. 	 Si al lanzar una moneda 100 veces obtenemos: 64
caras y 36 cruces.
b. 	 Si al lanzar un dado 1 000 veces obtenemos: uno
170 veces, dos 185 veces, tres 195 veces, cuatro 160
veces, cinco 120 veces y seis 170 veces.
Resolución:
En las tablas siguientes podemos dar nuestras respuestas:
a.
xi
fi
hi
Fi
Hi
Cara 64 0,64 64 0,64
Cruz 36 0,36 100 1
100 1
xi
fi
hi
Fi
Hi
1
2
3
4
5
6
170
185
195
160
120
170
0,17
0,185
0,195
0,16
0,12
0,17
170
355
550
710
830
1 000
0,17
0,355
0,550
0,710
0,830
1
1 000 1
b.
Teniendo en cuenta los datos de la tabla 10, representaremos
gráficamente a las frecuencias absolutas acumuladas o
también denominadas “ojiva”.
Tabla 9 Tabla 10
xi
Fi
1
2
3
4
5
6
170
355
550
710
830
1000
Tabla de frecuencia
acumulada
Tabla 11
1 2 3 4 5 6
0
500
1000
1500
variable
Ojiva
frecuenciaacumulada
xi
Fi
Gráfico 7
Luego:
Encuestas sobre congresistas
OPCIONES
Siempre o
casi siempre
La mayoría
de las veces
Pocas
veces
Nunca o
casi nunca
No
Precisa
Total
%
Cumplen las
promesas ofrecidas
durante ñas campañas
electorales
2.0 % 4.0 % 57.0 % 36.0 % 1.0 % 100%
Usan sus cargos para
benifio personal 53.0 % 33.0 % 11.0 % 2.0 % 2.0 %
100
%
Toman las decisiones
correctas para el país 5.0 % 13.0 % 64.0 % 16.0 % 3.0 %
100
%
¿Qué tan honestos u honrados cree que son los
congresistas?
1%
46%
24%
28%
1%
No precisa
Mucho
Algo
Poco
honrado
Nada
FICHA TÉCNICA / Encuestadora: Pontificia Universidad
Católica del Perú / Nº de registro: 0108-REE/JNE / Uni-
verso: Mayores de 18 años, habitantes de 31 distritos de
Lima Metropolitana / Marco Muestral: Se hizo utilizando
como marco muestral la cartografía digital del INEI del 2004
/ Tamaño de la muestra: 449 personas / Error: ± 4.62% /
Nivel de confianza: 95% / Técnica: probabilística polietá-
pica / Fecha: 2 y 3 de marzo del 2007 / Financiamiento:
Pontificia Universidad Católica del Perú. Ficha completa en
página web: www.pucp.edu.pe
Fuente: Pontificia Universidad Católica del Perú
En general, ¿con qué frecuencia diría Ud. que los
congresistas...?
¿Recuerda usted alguna ley aprobada por el
Parlamento actual?
10%
Sí
90%
No
La República, 18 de marzo de 2007.
Frecuencia relativa acumulada de un valor xi
, es el co-
ciente entre la frecuencia absoluta acumulada del xi
y el
número total de datos. La frecuencia absoluta acumulada
del valor xi
se representa por Hi
Ventas totales
En el Perú
El mercado edito-
rial iniciaría una
moderada reacti-
vación. La Cámara
Peruana del Libro
considera que este
año habrá un creci-
miento de 15%.
En millones de
US$.
30 38 42
55 60
70
10
8 14
11 16 23
12
14
23
15
26
16
2001
2002
2003
2004
2005
2006
La República, 19 de marzo de 2007.
2. 	 Considerando la situación de los estudiantes del tercer
grado de una institución educativa, que vimos anterior-
mente, sobre el número de hermanos que tenía cada uno
de ellos, se informó también que provenían de diferentes
Textos escolares
Interés general
Colecciones
placismo
16
Serie 1 / de la prensaa la
matemática
Actividad 2
últimas emergencias
Lluvias intensas y heladas se han presentado desde la quincena de febrero en Ayacucho, Huancavelica,
Junín, Huánuco, Pasco, Cusco, Cajamarca, Arequipa y Apurímac. En los últimos días se han producido
desbordes de ríos y huaicos que han afectado viviendas, centros educativos y áreas de cultivo, informó el
Instituto Nacional de Defensa Civil (INDECI).
-	 Forma un equipo de cinco personas.
-	 Analicen y llenen la siguiente tabla.
-	 Interpreten el gráfico correspondiente.
EVALUACIÓN DE DAÑOS PRODUCIDOS POR HELADAS Y GRANIZADAS
	I
	
	
	
	
xi
fi
Fi
hi
Hi
Cajamarca
Huaraz
Lima
Arequipa
Ayacucho
19
7
2
1
1
19
26
28
29
30
30 1 1
xi
fi
Fi
hi
Hi
%
0
1
2
3
4
5
6
3
9
13
2
1
1
1
3
12
25
27
28
29
30
10
40
83
90
93
96
100
N = 30 1 1
3
30
9
30
13
30
2
30
1
30
1
30
13
30
3
30
12
30
25
30
27
30
28
30
29
30
30
30
19
30
19
30
7
30
26
30
2
30
28
30
1
30
29
30
1
30
30
30
Recuerda que
la frecuencia
relativa puede
expresarse en
porcentaje,
multiplicando
por 100,
también
se realiza
el mismo
procedimiento
para Hi
.
Tabla 12
Tabla 13
Región
xi
fi
Afectados
Fi
fi
casas
afectadas
Fi
Ha de cultivo
perdido : fi
Fi
Ayacucho 162,230 475 16,299
Huancavelica 218,600 670 22,306
Junín 2,500 300 3,646
Puno 800 302 4,507
Apurímac 144,630 401 1562
Huánuco 900 200 2,854
Pasco 341 180 887
Arequipa 1,443 396 300
Cusco 1,320 201 2,132
Cajamarca 850 90 54
Total
provincias: 19 de ellos eran cajamarquinos, 7 eran huaracinos, dos limeños,
un arequipeño y un ayacuchano. Debemos construir las tablas de frecuen-
cias absolutas, relativas, acumuladas absolutas y acumuladas relativas, de
los lugares de donde provienen y del número de hermanos:
Resolución:
Como en el caso anterior, daremos las respuestas en una sola tabla:
-	 Representar gráficamente los resultados (mínimo 2 gráficos diferentes) .
-	 Interprete resultados y hagan conclusiones.
-	 ¿Puedes hacer un gráfico con el cual se note claramente que la región más afectada fue Huancavelica en
comparación con las otras regiones?
-	 Encuentre dos regiones de tal manera que, al unirlas, el porcentaje de hectáreas afectadas sea del 8,10%
con respecto al total de hectáreas afectadas.
17
fascículo 9 / eNCUESTAS
3. distribución
de frecuencias
Hasta aquí, en nuestros ejemplos, no hemos utilizado variables continuas ni
variables discretas en mayor número, es más, dijimos que tenían un proceso
especial. ¿Qué hacer en esos casos? Veamos.
para
DATOS AGRUPADOS
3.1 ¿Qué hacer para agrupar datos?
A continuación, vamos a sistematizar cómo debemos proceder ordenada-
mente con los datos de una muestra con variable continua:
1. 	 Recoger los datos: tomar datos mediante instrumentos de recolec-
ción de datos (encuesta, fichas de entrevista o de observación).
2. 	 Ordenación de los datos: una vez recogidos los datos, los colocare-
mos en orden creciente o decreciente.
3. 	 Rango: determinar las diferencia entre el mayor y menor de los da-
tos. Se representa por R.
4. 	 Agrupación de datos: agrupar los datos en intervalos de clases, di-
vidiendo el rango entre el número de intervalos. Así, todas las clases
deben tener la misma amplitud o longitud.
	 Respecto a cuántos intervalos tomar, no hay respuesta única, depende
de los propósitos del estudio. Si el número de intervalos (k) es muy
pequeño, se pierde información; mientras que, si es muy grande, se
introducen distorsiones y no es muy manejable. Existe una regla que
nos puede dar una orientación, se llama Regla de Sturges, cuyo valor
se halla con la siguiente fórmula: K = 1 + 3,3 log N, donde N es el
número de datos; además, cuando K resulte un número decimal, este
valor debe aproximarse al número entero, de acuerdo con las reglas
de aproximación.
5. 	 Determinación de la amplitud o longitud de los intervalos.
	 Se determina dividiendo el rango entre el número de intervalos:
Recuerda que las variables continuas están representadas por los pesos,
las tallas, las temperaturas.
l =
R
K
Variables continuas
	Intervalo de clase
	 Es el conjunto de todos los números comprendidos entre dos valores dados,
llamados límites inferior y superior del intervalo. Se denota por:
	 [Li
- Ls
]
	 Li
es límite inferior
	 Ls
es límite superior Estrategia de
ingreso al mercado
Primera fase
Acopio Venta Exportación
Segunda fase
Extender la producción Envasado
Exportación peruana
Higos frescos y secos (En US$)
600.000
500.000
400.000
300.000
200.000
100.000
2005 2006
215.493
504.979
134% de
crecimiento
Fuentes: Patricia Zumaeta / ADEX Trade
El Comercio, 18 de marzo de 2007.
18
Serie 1 / DE LA PRENSAA LA
MATEMÁTICA Con el fin de que la clasificación sea uniforme, los intervalos se deben
construir de tal manera que el extremo superior de una clase coincida
con el extremo inferior de la siguiente. Así, en el intervalo [40 – 45 se
contabilizan todos los pesos desde los 40 kg (incluido este valor) hasta
45 kg (excluido este valor que se contabiliza en la siguiente clase).
Si [a – b  es el intervalo de clase, se tiene que:
a: Límite inferior o valor mínimo que puede tomar un dato.
b: Límite superior que no puede ser igualado ni superado por un dato.
3.2 Elaboración de tablas estadísticas
En ella deberán figurar los intervalos de clase, el Conteo. Efectuaremos el
recuento de los datos, ubicándolos en la clase respectiva, y las frecuencias,
ya sean absolutas, relativas, acumuladas. También se puede hacer una sola
tabla donde se incluya las frecuencias absolutas, relativas, acumuladas, ab-
solutas acumuladas, las frecuencias relativas acumuladas y los porcentajes.
Ejemplo:
1. Recogiendo los pesos de 72 estudiantes de dos secciones del primer gra-
do de secundaria del colegio Guadalupe, tenemos:
44; 47,2; 45,5; 40; 41,8; 38; 47,6; 40,4; 51; 49,5; 43,5; 54; 39,4;
44,2; 39; 53,6, 40,2; 41,3; 40,2; 55; 40,7; 53; 43,5; 44; 49; 46,4; 41,2;
45; 44,8; 47,1; 49,5; 50,8; 52,3; 39,7; 49; 36; 42,4; 43; 46; 41,5; 40;
48,5; 45,1; 47,2; 49,8; 43; 41,5; 44,9; 40,2; 47; 38,6; 50; 40,7; 39,6;
51,9; 42; 45,2; 40,3; 40,5; 42,6; 48; 40; 39,3; 46,3; 40,6; 37,8; 39,1;
41,4; 39; 48; 42,5; 40
a. Identifica los 7 datos con menor valor.
b. Determina cuántos estudiantes pesan menos de 40 kg
c. Determina cuántos estudiantes pesan entre 46 kg y 56 kg
d. Determina qué porcentaje de estudiantes pesa 51 kg o más.
Resolución:
1. El grupo de datos presenta dos características a resaltar: son muchos
y, además, forman un abanico muy grande de valores. Por ello, lo más
práctico es agruparlos en intervalos de clase.
Marca de clase ( xi
) La marca de clase de un intervalo de clase
[ Li
- Ls
 se define como la semisuma de los límites inferior y superior de
cada intervalo de clase. Esto es:
Donde:
xi
es marca de clase
Ls
es límite superior
Li
es límite inferior
El término histograma fue
utilizado por primera vez por
Karl Pearson (1857-1936)
en sus conferencias sobre
gráficos estadísticos en
1981.
Karl Pearson, inglés, ejerció
la abogacía al tiempo que
continuaba simultáneamente
con sus actividades políticas
y literarias.
A los veintisiete años
comenzó a impartir clases de
Matemática aplicada en la
Universidad de Londres.
Hizo aportes importantísimos
a la Estadística, que es
la que actualmente tiene
mayor influencia en todos los
campos del saber.
19
Fascículo 9 / ENCUESTAS
2. Podemos ordenar los datos de menor a mayor o de mayor a menor. O
podemos organizarlos ya en la tabla después de formados los intervalos
de clases.
3. Por otra parte, determinamos la amplitud de cada intervalo, primero ha-
llamos el rango o recorrido de la variable en estudio:
R = 55 – 36 = 19
4. Usando la regla de Sturges: “k = 1 + 3, 3 log N”
calculamos el número de intervalos. Esto es:
k = 1 + 3, 3 log (72)
k = 1 + 3, 3 (1,86)
k = 7,138 ⇒ k ≈ 8
Luego consideramos 8 intervalos de clase.
5. Calculemos ahora la amplitud de cada intervalo: 19 dividido entre el
número de intervalos, que puede ser 8, da por cociente 2,4 (aproximado
al décimo), pero para facilitar el trabajo sin dejar de incluir algún dato,
decidimos que el valor de la amplitud de cada intervalo sea 2,5.
6. Agrupamos y organizamos los datos y elaboramos una tabla.
[36 – 38,5〉 36; 37,8; 38
[38,5 – 41〉 38,6; 39; 39; 39,1; 39,3; 39,4; 39,6; 39,7; 40; 40; 40; 40; 40,2;
40,2; 40,2; 40,3; 40,4; 40,5; 40,6; 40,7; 40,7;
[41 – 43,5〉 41,2; 41,3; 41,4; 41,5; 41,5; 41,8; 42; 42,4; 42,5; 42,6; 43; 43
[43,5 – 46〉 43,5; 43,5; 44; 44; 44,2; 44,8; 44,9; 45; 45,1; 45,2; 45,5
[46 – 48,5〉 46; 46,3; 46,4; 47; 47,1; 47,2; 47,2; 47,6; 48; 48
[48, 5 – 51〉 48,5; 49; 49; 49,5; 49,5; 49,8; 50; 50,8
[51 – 53,5〉 51; 51,9; 52,3; 53
[53,5 – 56] 53,6; 54; 55
Con la tabla anterior, podemos responder las siguientes preguntas:
a. Los 7 pesos de menor valor son 36; 37,8; 38; 38,6; 39; 39,1; 39,3.
b. 11 estudiantes pesan menos de 40 kg.
Sin embargo, las preguntas restantes y otras más que podrían plantearse,
se responden mejor con ayuda de una tabla de frecuencias, para cuya
confección hacemos primero un conteo de los datos:
Tabla 15
Tabla 14
Intervalo de clase
(peso corporal expresado en kg)
Conteo
[36 – 38,5〉 III
[38,5 – 41〉 IIII IIII IIII IIII I
[41 – 43,5〉 IIII IIII II
[43,5 – 46〉 IIII IIII I
[46 – 48.5〉 IIII IIII
[48,5 – 51〉 IIII III
[51 – 53,5〉 IIII
[53,5 – 56] III
HISTOGRAMA
Intervalos de clase
Polígono de Frecuencia
Curva de frecuencias
PESO CORPORAL DE LOS ESTUDIANTES
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 19Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 19 6/12/07 1:50:34 PM6/12/07 1:50:34 PM
20
Serie 1 / DE LA PRENSAA LA
MATEMÁTICA
En la tabla de frecuencias aparecen, además de cada uno de los ocho inter-
valos de clase y sus respectivas frecuencias, las marcas de clase obtenidas
mediante la semisuma de los respectivos valores extremos de cada uno de
los intervalos. Así, la marca de clase del primer intervalo es el número que
representa al intervalo de clase. Esto es:
Marca de clase del intervalo 36 38 5
2
37 25
+
=
,
, → xi
= 37,25
La marca de clase nos será útil para graficar los datos agrupados.
Comprueba en la tabla si la marca de clase obtenida es la que corresponde a
cada intervalo de clase.
Recordemos que la amplitud de un intervalo de clase es la diferencia entre
los límites superior e inferior de un intervalo de clase.
Si todos los intervalos tienen la misma amplitud, podemos simbolizarlo
con “c”. Así, en este caso todos los intervalos tienen la misma amplitud:
(c = 2,5)
En adelante, para simplificar nuestro aprendizaje, asumiremos que todos los
intervalos de clase presentan la misma amplitud.
Como se puede observar en la tabla, la penúltima columna corresponde a la
frecuencia relativa, identificada con el símbolo “h”. Los valores de la fre-
cuencia relativa también se pueden expresar como porcentaje si el cociente
anteriormente señalado es multiplicado por 100:
Frecuencia relativa porcentual: pi
= hi
100%
Con ayuda de la última tabla, damos respuesta a las preguntas:
c. Los estudiantes que pesan entre 46 kg y 56 kg son 25, pues (10 + 8 + 4
+ 3 = 25)
d. El porcentaje de estudiantes que pesan 51 kg o más es 9,73 %.
(5,56 % + 4,17 % = 9,73 %)
7. Elaboramos la tabla estadística:
Peso corporal de los estudiantes
Intervalo
de clase
Marca de
clase ( xi
)
Frecuencia
( fi
)
Frecuencia
relativa ( hi
)
Frecuencia relativa
porcentual (hi
100) %
36 – 38,5〉 37,25 3 0,0417 4,17 %
38,5 – 41〉 39,75 21 0,2917 29,17 %
41 – 43,5〉 42,25 12 0,1667 16,67 %
43,5 – 46〉 44,75 11 0,1528 15,28 %
46 – 48.5〉 47,25 10 0,1389 13, 89 %
48,5 – 51〉 49,75 8 0,1111 11,11 %
51 – 53,5〉 52,25 4 0,0556 5,56 %
53,5 – 56] 54,75 3 0,0417 4,17 %
n = 72
Tabla 16
John Forbes Nash. Matemático
estadounidense.
Premio Nobel 1994.
Nació el 13 de junio de 1928 en
Bluefield, Virginia.
Contribuyó en el desarrollo de la
Teoría de Juegos.
http://www.adeptis.ru/vinci/john_
forbes_nash10.jpg
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 20Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 20 5/28/07 10:35:29 PM5/28/07 10:35:29 PM
21
Fascículo 9 / ENCUESTAS
Peso corporal de los estudiantes
Intervalo
de clase
Marca de clase
( xi
)
Frecuencia
( fi
)
Hi
[36 – 38,5〉 37,25 3 3
[38,5 – 41〉 39,75 21 24
[41 – 43,5〉 42,25 12 36
[43,5 – 46〉 44,75 11 47
[46 – 48.5〉 47,25 10 57
[48,5 – 51〉 49,75 8 65
[51 – 53,5〉 52,25 4 69
[53,5 – 56] 54,75 3 72
n = 72
2
37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
3.3 Gráfico de datos agrupados
¿Cómo representar los datos agrupados en intervalos de clase?
Se construirán en forma similar al gráfico de barras y se les llamará histo-
gramas.
Histogramas y polígonos de frecuencia
Histogramas: son un conjunto de rectángulos que tienen:
a. Sus bases sobre el eje x, con centros en las marcas de clase y longitud
igual a la amplitud de los intervalos. Por tanto, sus lados laterales son
comunes.
b. Superficies proporcionales a las frecuencias de clase. Si los intervalos
de clase tienen todos iguales tamaños, las alturas de los rectángulos son
proporcionales a las frecuencias de clase.
Ejemplo: Considerando las frecuencias absolutas de los pesos del ejemplo
anterior, ordenados en la tabla tenemos:
10
37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25
0
20
30
40
50
60
70
80
90
Asimismo, su representación gráfica en un histograma se observa en el gráfico
10(a) y la ojiva de sus frecuencias absolutas acumuladas en el gráfico 10(b).
Tabla 17
Gráfico 10 (b)Gráfico 10 (a)
platicúrtica
normal
leptocúrtica
Distribución simétrica de curvas de
frecuencia
Distribución asimétrica de las
curvas de frecuencia
Asimetría negativa cola a la izquierda
Asimetría positiva cola a la derecha
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 21Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 21 6/12/07 1:50:56 PM6/12/07 1:50:56 PM
22
Serie 1 / DE LA PRENSAA LA
MATEMÁTICA
Actividad 3
Aplica algoritmos y sigue procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados en
forma ordenada y con precisión.
Resuelve la siguiente situación presentando un informe escrito. Considerando los pesos de 30 estudiantes,
completa la siguiente tabla:
Apartir de los datos de la tabla:
a. Construye su histograma de frecuencia absoluta.
b. Grafica su polígono de frecuencia absoluta.
c. Grafica su ojiva.
¿Cuántas personas pesan más de 55 kilogramos? y ¿cuántas personas pesan menos de 60 kilogramos?
2
34,75 37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25 54,75
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Peso
(Kg)
Marca de
clase
Nº de
estudiantes ( fi
)
Fi
hi
Hi
[40 – 45
[45 – 50
[50 – 55
[55 – 60
[60 – 65
[65 – 70
[70 – 75
[75 – 80
42,5
47,5
57,5
62,5
72,5
1
3
10
9
4
2
1
1
4
23
27
29
n = 30 1
1
30
3
30
10
30
9
30
4
30
2
30
1
30
30
30
29
30
23
30
14
30
1
30
Observa que el
polígono tiene dos
ordenadas en cero
Polígonos de frecuencia
Cuando construimos el histograma, consideramos las marcas de clase. Si ubi-
camos los puntos de las marcas de clase en la base de los rectángulos y unimos
dichos puntos con el de la frecuencia respectiva, estaremos construyendo un
polígono, incluida la porción del eje X. A dicho polígono lo llamaremos Polí-
gono de frecuencia. Si con-
sideramos la frecuencia rela-
tiva, estaríamos graficando
el Polígono de frecuencia
relativa. El área del polígo-
no es igual a la suma de las
áreas de los rectángulos del
histograma.
Gráfico 11
La curva de frecuencia del
gráfico 11, comprende a
una distribución asimétrica
positiva, es decir, con cola a
la derecha.
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 22Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 22 5/28/07 10:35:31 PM5/28/07 10:35:31 PM
23
Fascículo 9 / ENCUESTAS
4. MEDIDAS
de TENDENCIA
Cuando quieres saber cómo vas en una determinada área, por ejemplo, Ma-
temática, ¿qué haces? Recuerdas tus calificaciones de los indicadores de lo-
gro: “Interpretas representaciones gráficas de distribución de frecuencias”;
“Aplicas y utilizas algoritmos y procesos para la elaboración de tablas de
frecuencia y gráficos de datos agrupados”, además de otros indicadores de
participaciones, exposiciones, etc. Luego calculas tu promedio, ¿no es cier-
to?, es decir, sumas tus calificaciones y las divides entre el número de cali-
ficaciones, obteniendo un número que representa al conjunto de tus notas.
Y si tus padres te preguntan: “¿Cómo vas en el área de Ciencia, tecnología
y ambiente?”, tú respondes: “De mis siete calificaciones tengo cuatro dieci-
séis, un trece y dos doces”. Al dar esta respuesta a tus padres estás haciendo
Estadística, estás utilizando estadígrafos. En el primer caso estás calculando
la media aritmética y en el segundo caso la moda. A estas medidas se les
llama Medidas de Tendencia Central, porque son pocos números que re-
sumen o centralizan información en lugar de toda la distribución de frecuen-
cias. Sirven para poder relacionar y comparar información de manera más
sencilla. Son medidas de tendencia central la Media, la Mediana, la Moda,
entre otras.
CENTRAL
4.1 Media aritmética
Si tus calificaciones en el área de Matemática referentes a: “Interpreta re-
presentaciones gráficas de distribución de frecuencias”; “Aplica y utiliza
algoritmos y procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráficos
de datos agrupados” y otros indicadores de participaciones, exposiciones,
son: 16; 16;13; 12; 16; 12; 16; entonces la media aritmética sería:
Tu promedio sería 14.
Luego:
Llamamos media aritmética de una serie de N valores, al cociente obteni-
do al dividir la suma de dichos valores entre el número total de datos (n).
La denotamos como x , que representa la media aritmética y x1
, x2
, …, xn
son valores dados. Así tenemos:
x
     
 
16 16 13 12 16 12 16
7
101
7
14 4,
Cuando quieres saber cómo te va en
determinado curso, utilizas medidas de
tendencia central.
En una encuesta hecha por
estudiantes sobre el número
de habitantes por vivienda en
el pueblo joven “El Arenal”
del distrito de Villa María
del Triunfo se obtuvo lo
siguiente, en una muestra de
20 viviendas.
Número de
viviendas
Número de
habitaciones
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
3
2
5
2
4
2
2
3
2
3
2
2
3
2
1
2
3
2
2
La medida de tendencia
central más representativa
para esta información está
dada por:
y significa que el promedio
de habitaciones por casa en el
pueblo joven “El Arenal” es
de 2,45.
24
Serie 1 / de la prensaa la
matemática Significado de la media aritmética.- La media aritmética significa el valor
promedio de la distribución de datos, es el valor promedio en la distribución.
Cuando tenemos una serie de datos x1
+ x2
+ x3
+ … + xn
, para indicar uno,
cualquiera de ellos, escribimos xi
. Igualmente, para indicar la suma de todos
ellos empleamos la expresión simbólica: xi
i
n



El símbolo ∑ se llama sumatoria. Es la letra mayúscula griega sigma, que
equivale a nuestra S, por eso la empleamos para indicar la suma de valores.
La expresión se lee: suma de xi
desde i igual a 1 hasta n. Si la desarrollamos,
obtenemos:
x x x xi
i
n
n

    

 2 ...
Empleando este símbolo, la fórmula de la media aritmética queda de la si-
guiente manera:
x
x
n
i
i
n
 


Características de la media aritmética:
-	 Son las medidas de centralización más utilizadas.
-	 Su cálculo aritmético es sencillo.
-	 Tienen en cuenta todos los datos de la observación.
-	 No son aplicables a variables cualitativas.
Ejemplo:
1.	 Considerando una muestra mayor, tenemos la temperatura de 20 estu-
diantes, organizados en la tabla 18:
Resolución:
Con el fin de facilitar el cálculo podemos multiplicar cada valor de la varia-
ble estadística por su frecuencia absoluta correspondiente, sumar los resul-
tados y dividir por el tamaño de la muestra:
x
x

        
 
37 2 37 5 4 38 7 38 5 4 39 3
20
38
, ,
Temperatura
xi
Nº de alumnos
fi
37° 2
37,5° 4
38° 7
38,5° 4
39° 3
Total 20
La expresión general de la media aritmética es:
x
x f
f
i i
i
n
i
i
n







En el caso de que la variable sea continua, la media se calcula a partir de la
marca de clase o valor medio de cada intervalo:
x
x fi i
i
n





n
Tabla 18
Precio de metales en la
Bolsa de Lima
Precio de
metales $
Enero
2006
Diciembre
2006
Variación
Porcentual
Oro 520,00 635,00 23%
Plata 9,04 12,90 43%
Cobre 2,08 2,84 36%
Zinc 0,85 1,95 129%
Plomo 0,50 0,77 54%
Fuente: 	 BOOMBERS
	 LONDON METAL EXCHANGE.
Vea usted la manera de calcular el promedio del
valor del oro.
	
El promedio del valor del oro es de 567,5
dólares.
25
Fascículo 9 / ENCUESTAS
Media aritmética para datos agrupados
Para hallar la media aritmética en datos agrupados utilizaremos la misma
fórmula. Por ejemplo: considerando el peso de 72 estudiantes, de la siguiente
tabla, queremos saber: ¿cuál es el promedio de los pesos, es decir, su media
aritmética?
Resolución:
Consideremos las marcas de clase y las frecuencias absolutas. Construiremos
una nueva columna, donde colocaremos los productos de las marcas y
frecuencias de cada clase.
Intervalo de clase Marca de clase ( xi
) Frecuencia ( fi
) xi
fi
[36 - 38,5〉 37,25 3 111.75
[38,5 – 41〉 39,75 21 834.75
[41 – 43,5〉 42,25 12 507
[43,5 – 46〉 44,75 11 492.25
[46 – 48.5〉 47,25 10 472.5
[48,5 – 51〉 49,75 8 398
[51 – 53,5〉 52,25 4 209
[53,5 – 56] 54,75 3 164.25
Total 72 3 189,5
x
x f
n
x x
i i
= fi = fi =
 3189 5
72
44 29
,
,
Luego, la media aritmética será 44,29; que significa que el peso promedio de
los 72 estudiantes es de 44,29 kg.
4.2 Moda
Todos hemos oído la expresión “está de moda” o “es la moda”. Si buscamos
el significado de la palabra moda, encontramos: “Costumbre o uso que prima
en un determinado grupo social”.
En Estadística se mantiene este significado.
Moda es entendida como el valor de la variable estadística que tiene
máxima frecuencia. Se simboliza: Mo
Tabla 19
Luego:
La moda puede no ser única. Así, si hay dos modas, la distribución se llama
bimodal, si tiene tres modas, trimodal, y así sucesivamente. Cuando la variable
está agrupada en intervalos de clase, hablaremos de intervalo modal.
Significado de la Moda.- Significa el valor que más número de veces se
repite en una distribución.
Ejemplo:
1. Dadas las edades de un conjunto de niños que viajan en un autobús escolar:
7, 9, 10, 8, 11, 13, 15, 10, 13, 7, 13. ¿Cuál será su moda? MO
= 13
2. Consideremos las calificaciones de 30 estudiantes:
Moda en la vida cotidiana.
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 25Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 25 5/28/07 10:35:31 PM5/28/07 10:35:31 PM
26
Serie 1 / DE LA PRENSAA LA
MATEMÁTICA
Moda para datos agrupados
Si consideramos las edades de 22
personas agrupadas en la siguiente
tabla, podemos hallar su moda en datos
agrupados. Debemos seguir el siguiente
procedimiento:
Edades fi
2 – 6 3
6 – 10 5
10 – 14 8
14 – 18 4
18 – 22 ] 2
22
a. Determinemos la clase modal, es decir, la clase que contiene la moda
Observando la tabla, esta será: [10 – 14? , pues es la que tiene la mayor
frecuencia (8).
b. Luego Li
= 10 (Límite inferior de la clase modal)
C = 4 (Amplitud del intervalo)
c. ∆1
= fi
– fi – 1
∆1 1
= 3
Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase contigua
inferior.
d. ∆2
= fi
– fi + 1
∆2 2
= 4
Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase contigua
superior.
e. Para datos agrupados existe la fórmula siguiente, que aplicaremos para
calcular la moda:
→
→
Reemplazando nuestros datos en la fórmula tenemos:
MO
= 10
3
3 4
4+
+
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜
MO
= 10 + 1,71 luego, la moda será:
MO
= 11,71
Calificaciones 8 9 10 11 13 15 16 17 18
Nº de alumnos 1 2 3 1 8 3 2 8 2
Calcular la moda:
Las modas son: MO
= 13 y MO
= 17, son los valores de la variable que tienen
mayor frecuencia. Es bimodal, significando que la mayor cantidad de veces
que se repiten son las calificaciones de 13 y 17.
Tabla 21
Donde:
M0
es moda
Li
es límite interior del intervalo modal
C es amplitud de clase
fi
es frecuencia del intervalo modal
Lo que significa que: la edad que más veces se repite entre las 22 personas
es aproximadamente 12.
Tabla 20
∆1
= fi
– fi –1
∆2
= fi
– fi +1
Cras Lurigancho
Distribución muestral de
internos por tipo de delito,
según zona de residencia.
Lima-enero 1993.
Fuente: PUCP: Encuesta por
muestreo. Tipo de delito es una
variable nominal, y la moda es la
medida de tendencia central que le
corresponde.
Mo
= Tipo de delito = Robo
Tipo de
delito
Resi-
dencial
Urba-
na
Mar-
ginal
Total
Robo - - 8 8
Tráfico
de
droga
3 1 3 7
Honor
sexual 1 - 3 4
Crimen 1 1 2 4
Otros 1 - 1 2
TOTAL 6 2 17 25
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 26Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 26 5/28/07 10:35:34 PM5/28/07 10:35:34 PM
27
Fascículo 9 / ENCUESTAS
Estadísticas deportivas
Imagina una gran final
de fútbol. Falta muy poco
para el final del partido; el
marcador señala 0 a 0 y el
árbitro pita penal a favor del
equipo local. ¿A qué jugador
elegirá el entrenador para
patearlo? El entrenador
ojea los datos que tiene de
sus tres mejores tiradores.
El primero ha pateado 6
penales esta temporada y ha
metido 4; el segundo tiró 7
y metió 6 y el tercero hizo 2
goles en 5 tiros.
¿A cuál de ellos elegirías tú?
Como ves, la Estadística
ayuda a tomar decisiones
en muchos campos. Pero no
garantiza el éxito. Quizá el
jugador con mejores datos
tiene un mal momento, está
nervioso o se equivoca y
tira el balón a las nubes.
Habrá estropeado sus
estadísticas y habrá causado
un tremendo disgusto a los
aficionados.
4.3 Mediana
Dadaunavariableestadística,podemosdisponerdevaloresenordencreciente
o decreciente. El valor que ocupa el lugar central se llama mediana. Según
esto, podemos definirla como:
Mediana.- Es el valor de la variable estadística que deja igual número de
observaciones inferiores y superiores a ella. La simbolizaremos por Me
.
En el caso de que el número de datos sea impar, la mediana coincide con uno
de los datos. Si el número de datos es par, tenemos dos valores centrales; en
este caso se toma como mediana el promedio de los dos.
Significado de la mediana: es el dato que divide en dos partes iguales a toda
la distribución.
Ejemplo:
1. Dada la serie estadística correspondiente a los pesos en kilos de nueve niños:
10; 12; 18; 14; 20; 19; 17; 22; 15, calcular la mediana de dichos pesos.
Resolución: primero ordenamos los datos (puede ser en forma ascendente
o descendente): 10 – 12 – 14 – 15 – 17 – 18 – 19 – 20 – 22, luego
ubicamos el dado central. La media es 17, entonces: Me
= 17
Lo mismo que significa que 4 niños tienen pesos de 10 a 15 kilos y los
otros 4 niños tienen pesos de 18 a 22 kilos.
2. Si consideramos las edades de 10 personas en un consultorio médico:
50; 25; 12; 20; 45; 08; 15; 24; 60; 17. ¿Cuál será su mediana?
Resolución: Como en el caso anterior, ordenamos los datos:
60 – 50 – 45 – 25 – 24 – 20 – 17 – 15 – 12 – 08
En este caso, hay dos valores centrales: 24 y 20; luego, la mediana es:
M Mee 

 
24 20
2
22.
Lo mismo que significa que el 50% de las personas tienen edades entre
8 y 22 años y el otro 50% de las personas tienen edades comprendidas
entre 22 y 60 años.
Mediana para datos agrupados
Si consideramos los datos agrupados de la siguiente tabla, para determinar la
mediana en datos agrupados, debemos seguir el siguiente procedimiento:
Edades fi
Fi
2 – 6 3 3
6 – 10 5 8
10 – 14 8 16
14 – 18 4 20
18 – 22  2 22
Total 22
Tabla 22
a. Determinemos cuál es la clase que contiene a la mediana, esto es:
n
2
22
2
11  (undécima posición), donde n es el número total de datos.
Once respecto a la frecuencia acumulada corresponde en la tabla al
intervalo de clase [ 10 - 14 .
b. Teniendo en cuenta la tabla dada determinaremos algunos datos:
28
Actividad 4
Procesa la información mediante la relación, la transformación y la aplicación de medidas de tendencia central,
mostrando precisión.
Organizados en grupo de cuatro estudiantes, resuelvan las situa-
ciones planteadas y entréguenlas a su profesor/a para que pueda
revisar sus aportes.
1.	 De acuerdo con el gráfico, basado en un informe de la Cá-
mara de Comercio de un país latinoamericano, se nos mues-
tra los ingresos de las principales empresas de este país en el
Perú. Responde:
a.	 ¿Cuál es la media aritmética de sus ingresos?
b.	 ¿Qué empresa representa la moda? ¿Por qué?
c.	 ¿Qué valor representa la mediana? ¿Qué significa este
valor?
2.	 Elaboren una encuesta para determinar algunas características de los estudiantes de su colegio como:
estatura, peso y edad.
	 Elijan una muestra de 50 estudiantes de su grado y entrevístenlos. Cada integrante deberá entrevistar
a 10 estudiantes.
	 Elaboren una tabla de frecuencias completa.
El Perú es un mercado
rentable para las
empresas del país
latinoamericano
S/. 4,379
FACTURACIÓN TOTAL
DE LAS EMPRESAS
EN EL 2003
INGRESOS DE LAS PRINCIPALES EMPRESASEN EL PERÚ En S/. millones (2003)
Nogal S.A.	
1,036Tiendas La Estrella S.A.	
833Molinosa	
337Aerocusco S.A.	
300Eterno Perú S.A.	
247Clan Vuelo Alto S.A.	
215Indama S.A.	
200Boticas Unidas S.A.	
197Chogun S.A.	
178Productos Ricos Perú S.A.	
171
	 Li
= 10	 (Li
es el límite inferior de la clase que contiene la mediana)
	 f3
= 8	 (frecuencia absoluta de la tercera clase)
	 F3
= 16	 (frecuencia acumulada de la tercera clase)
	 Fi-1
= F3-1
= F2
entonces F2
= 8 (frecuencia acumulada de la clase inferior
al de la clase donde se encuentra la mediana)
	 C = 4	 (amplitud del intervalo que contiene a la mediana)
c.	 Para datos agrupados existe la fórmula siguiente, la que aplicaremos:
Sustituyendo los datos que tenemos en la fórmula tenemos:
	 Me = 0
 8
8
4






	 Me = 10 + 1,5, luego, la mediana será 11,5. Esto es:
	 Me = 11,5
	 Significa que el 50% de estudiantes tienen edades comprendidas entre
12 y 22 años.
Mo  Me  X
X  Me  Mo
X = Me = Mo
29
5. EVALUACIÓN
Cada alumno resuelve los problemas o ejercicios formulados. Para luego socializar sus respuestas con su
profesor y compañeros.
1. ¿Cuál es la suma de todo los valores de las frecuencias relativas, distribuidos en una tabla de
frecuencia?
2. En una distribución de frecuencias en la que se estudia las tallas de 300 personas se sabe que la
mediana es igual a 1,66 m ¿Qué nos indica este resultado?
3. ¿Cuál de las medidas de tendencia central depende del orden de los datos?
4. La media y la mediana de un conjunto de cinco números naturales distintos es 7 y el rango es 6.
Determina los números.
5. Realiza el siguiente experimento: lanza una
moneda de un sol 50 veces y coloca los
resultados en la siguiente tabla:
6. A 500 estudiantes de primer grado de
Educación Secundaria se les aplicó un test
sobre su parecer respecto del colegio y sus
respuestas fueron:
Elabora una tabla considerando todos los tipos de frecuencias y representalo a través de una gráfica
circular.
7. De la tabla de frecuencias siguiente, se tiene:
Si la moda es 30, cuya frecuencia es 15:
a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
b. ¿Cuántas personas tienen 25 años?
c. ¿Cuál es su media aritmética?
8. Las edades de los empleados de una empresa son: 22; 27; 35; 34, 25; 30; 28; 27; 29; 26; 25; 23; 29;
37; 31; 24; 31; 37; 28; 34; 39; 24; 24; 32; 28; 34; 31; 35; 27; 30; 28; 36; 35; 27; 24; 36; 32; 29; 38; 34;
24; 36; 23; 33; 38; 32; 36; 25; 33; 30; 25; 23; 35; 28; 37; 36; 31; 33; 22; 32; 29; 29; 28; 25; 31; 24.
a. Elabora una tabla de distribución de frecuencia completa.
b. Construye histograma de frecuencias relativas.
c. Determina e interpreta sus medidas de tendencia central.
9. En el siguiente cuadro, determina la medida
de tendencia central más adecuada para
la variable: Tipo de cáncer. Interpreta el
resultado.
Variable Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Cara
Sello
Total
Gusta mucho
Gusta
No gusta
No gusta nada
15%
56%
19%
10%
Edades fi
%
20 28
25 32
30
Totales
Instituto de Neoplásica
Paciente hospitalizados por tipo de cáncer según sexo
Tipo de
cáncer
SEXO
Total
Masculino(M) Femenino (F)
Gástrico 15 10 25
Vejigal 20 8 28
Oseo 5 12 17
Pulmonar 10 6 16
Mamario -- 23 23
Uterino -- 18 18
TOTAL 50 77 128
Sugerencia:
Masculino: Mo = Cáncer vejigal
Femenino: Mo = Cáncer mamario
¿Por qué? ¡INTERPRÉTALO!
Fuente: Realizado PUCP en Instituto Neoplásica:
Dpto de Estadística.
N O E S C R I B I RB I R
N O E
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 29Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 29 5/28/07 10:35:35 PM5/28/07 10:35:35 PM
30
Serie 1 / DE LA PRENSAA LA
MATEMÁTICA
Responde en una hoja aparte:
1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades
propuestas?
2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?
3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?
4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?
5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor dificultad?
6. ¿Cómo lograste superar estas dificultades?
7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor dificultad?
8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas dificultades?
9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este
fascículo?
10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar este
fascículo?
6. METACOGNICIÓN
Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir,
sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.
Muy bueno Bueno Regular Deficiente
¿Por qué?
11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo?
Explica.
12.¿Tuvistelaoportunidaddecompartirtusconocimientosconalgunosdetuscompañeros?
¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?
N O E S C R I B I R
Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 30Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 30 5/28/07 10:35:35 PM5/28/07 10:35:35 PM
31
fascículo 9 / eNCUESTAS
1.	Ángeles Consuelo, Carmen y Adriana La Hoz Mendizabal. Estadística Aplicada a la
Educación. Lima. Fondo Editorial de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos,
1997.
	 Presenta los aspectos básicos de la Estadística en siete unidades. En la primera lo
referente a la presentación de datos, cuadros estadísticos y tablas de frecuencia. La
segunda y tercera unidad se refieren al cálculo e interpretación de diferentes estadígrafos
que resumen los datos para su análisis. En cuarta unidad hace una descripción e
interpretación de distribución de frecuencias. La quinta unidad desarrolla los procesos
de regresión y correlación. La sexta, probabilidades; y la séptima unidad trata la teoría
del muestreo.
2.	 Fernández Ch., Juan. J. EstadísticaAplicada. Lima. FondoEditorialdelaUniversidad
Nacional Mayor de San Marcos, 1993.
	 Presenta técnicas para la investigación, desarrollo de los conceptos básicos de la
Estadística y su aplicación como instrumento para estudiar e investigar en el área de la
Ciencias Sociales.
3.	 Perelman, Y. Matemáticas recreativas. Barcelona. Ediciones Martínez Roca, 1987.
	 El propósito de esta obra, como lo dice su autor, reside expresamente en destacar la
parte del juego que tiene la resolución de cualquier acertijo, colección de pasatiempos,
rompecabezas e ingeniosos trucos.
4.	 Timoteo Valentín, Salvador. Historia de la Matemática. Lima. Editorial Ingeniería,
1990.
	 Presenta la historia de la Matemática sobre la base de hechos importantes realzando
los aportes matemáticos que han constituido hitos fundamentales en esta ciencia. La
primera parte presenta algunos personajes que han contribuido al desarrollo de la
Matemática. La segunda es un conjunto de datos históricos y la tercera comprende
anécdotas y curiosidades en torno a la Matemática y a los hombres que hicieron aportes
a ella.
5.	 Véliz C, Carlos. Estadística. Lima. Editorial San Marcos, 1993.
	 Contiene los métodos estadísticos que se desarrollan en tres partes esenciales: la
Estadística Descriptiva, la Probabilidad y la Estadística Inferencial.
Bibliografía
comentada
32
Serie 1 / de la prensaa la
matemática
1.	 http://platea.pntic.mec.es/jescuder/estadist.htm
	 Contiene curiosidades matemáticas y fórmulas de matemáticas a través del tiempo.
	
2.	 www.cortland.edu/flteach/stat-sp.html
	Contiene conceptos básicos de estadística de manera fundamentada.
3.	 www. Aulafacil.com/curso Estadística/Lecc-2
	thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidácticas/53-1-u-indice.html-4k
	 Los dos últimos contienen cursos de Estadística descriptiva, con ejemplos y problemas
resueltos.
4.	 http://www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html
	 Trata de temas didácticos de Estadística general.
	
5.	 http://www.pwpamplona.com/wen/descriptiva/descriptiva.htm
	 Contiene temas de Estadística descriptiva y una introducción a la Estadística inferencial
organizadas didácticamente.
6.	 http:// books. google.com.pe
	 Contiene textos con chistes matemáticos diversos y en general humor sobre temas
variados.
Enlaces
web

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Estadística

  • 1. Matemática Serie 1 para estudiantes de Secundaria De la prensa a la Matemática Fascículo 9: ENCUESTAS Ministerio de Educación Van de Velde 160, San Borja Primera edición, 2007 Tiraje: 28 000 ejemplares Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318, Chacra Ríos Sur, Lima 01 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nro. 2007-00287 Coordinación y supervisión general MED Antonieta Cubas Mejía Supervisión pedagógica MED Daniel Giovanni Proleón Patricio Verificación de estilo MED Miguel Humberto Fuentes Huerta Autoría Ediciones El Nocedal S.A.C. Coordinador Rubén Hildebrando Gálvez Paredes Elaboración pedagógica Felipe Eduardo Doroteo Petit Itala Esperanza Navarro Montenegro Edgar Justo Chacón Nieto Daniel José Arroyo Guzmán Colaboración especial María Amparo Vega Aguilar Hilda B. Villafane Rodríguez Revisión pedagógica Hno. Marino La Torre Mariño Revisión académica Armando Zenteno Ruiz Diseño y diagramación Virginia Rosalía Artadi León Ilustraciones Patricia Nishimata Oishi Brenda Román González Fotografía Enrique Bachmann Corrector de estilo Marlon Aquino Ramírez c MINISTERIO DE EDUCACIÓN Z_Creditos Ser1 Est. 01-10.indd 9Z_Creditos Ser1 Est. 01-10.indd 9 6/18/07 4:22:24 PM6/18/07 4:22:24 PM
  • 2. 1 PRESENTACIÓN El presente fascículo es un material autoinstructivo que facilita el desarrollo de las capacidades fundamentales, específicas, y las capacidades del área de Mate- mática, así como la vivencia de los valores propuestos en el Diseño Curricular Nacional de Educación Básica Regular del nivel de Educación Secundaria. El conocimiento, como representación de la realidad, suele asumir formas com- plejas, pero utilitarias. En muchas áreas del saber hay que establecer formas de simbolización y proyección que exigen del investigador condiciones y capaci- dades que hagan suficientemente fértiles las acciones que van a caracterizar su tarea científica. Uno de esos campos es la Estadística, rama de la Matemática de gran desarrollo y cultivo a partir del siglo pasado, y que en la actualidad es aplicada por políticos, economistas, educadores, militares, antropólogos, mé- dicos, ingenieros, psicólogos, astrónomos, etc. ¿Quién no conoce que en la actualidad la vida social y práctica se organizan en torno a sondeos de opinión, variables y niveles de producción, promedio de cociente intelectual, resultados de evaluación, resultados de experimentos; términos de gran frecuencia en el análisis e interpretación de los datos que la ciencia provee y que nos ayudan a comprender el mundo? En este fascículo se planteará cómo las fuentes de comunicación constituyen los medios básicos de información respecto de los hechos humanos o de la naturaleza, y que además permiten hacer comprensible el mundo donde nos movilizamos. El fascículo contiene las guías y procedimientos que el alumno requiere para concebir e instrumentalizar los modos de acceso en forma técnica, así como el bagaje matemático para entender el entorno y su consecuente manejo prác- tico. Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de sa- beres previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, chistes matemáticos, curiosidades matemáticas, bibliografía y enlaces web.
  • 3. Presentación........................................................................................................................... 1 Índice ..................................................................................................................................... 2 Organizador visual de contenidos.......................................................................................... 3 Motivación............................................................................................................................. 4 Logros de aprendizaje............................................................................................................ 4 Recuperación de saberes previos .......................................................................................... 4 1. Estadística........................................................................................................................ 5 1.1 Conceptos básicos....................................................................................................... 5 Actividad 1......................................................................................................................... 7 2. Distribución de frecuencias para datos no agrupados.............................................................. 8 2.1 Frecuencia absoluta..................................................................................................... 8 2.2 Frecuencia relativa...................................................................................................... 9 2.3 Frecuencia porcentual................................................................................................. 9 2.4 Gráficos de distribución de frecuencias...................................................................... 9 2.5 Tipos de gráficas.......................................................................................................... 10 2.6 Importancia de los gráficos estadísticos...................................................................... 13 2.7 Partes de un gráfico .................................................................................................... 13 2.8 Frecuencia absoluta acumulada................................................................................... 14 Actividad 2......................................................................................................................... 16 3. Distribución de frecuencias para datos agrupados...................................................... 17 3.1 ¿Qué hacer para agrupar datos? ................................................................................. 17 3.2 Elaboración de tablas estadísticas .............................................................................. 18 3.3 Gráficos de datos agrupados........................................................................................ 21 Actividad 3 ........................................................................................................................ 22 4. Medidas de tendencia central ....................................................................................... 23 4.1 Media aritmética ......................................................................................................... 23 4.2 Moda ........................................................................................................................... 25 4.3 Mediana....................................................................................................................... 27 Actividad 4 ........................................................................................................................ 28 5. Evaluación ....................................................................................................................... 29 6. Metacognición ................................................................................................................ 30 Bibliografía comentada ......................................................................................................... 31 Enlaces web............................................................................................................................ 32 Índice
  • 5. 4 Serie 1 / DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA LOGROS DE APRENDIZAJE Identifica conceptos básicos de la Estadística, a travésdelaresolucióndesituacionesplanteadas, trabajando cooperativamente. Aplica algoritmos y sigue procesos para la ela- boración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados y no agrupados en forma orde- nada y con precisión. Procesa la información mediante la relación, la transformación y la aplicación de medidas de tendencia central, mostrando precisión. Lee atentamente y responde en una hoja aparte. Ordena en forma ascendente los siguientes números: 5; -6; 4; ½; 6; 9; -3; 8, 5; 4,5 Se tiene las calificaciones de 20 estudiantes en el área de Ciencias Histórico Sociales: 14, 16, 12, 08, 17, 06, 08, 11, 12, 10, 15, 14, 12, 11, 13, 17, 15, 16, 14, 16. Ordena en forma ascendente los datos dados. ¿Cuántos estudiantes tienen la menor calificación? ¿Cuántos estudiantes tienen la mayor calificación? ¿Cuál es la calificación/es que más se repite/n? ¿Cuántos estudiantes desaprobaron el área y cuántos aprobaron? Durante el primer bimestre obtuviste las siguientes no- tas de matemáticas: 14; 12; 16; 18. ¿Cuál será tu nota bimestral? RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS ENCUESTAS Motivación Cada cinco años, en nuestro país, vivimos pendientes de las encuestas de los medios de comunicación (periódicos, revistas, radio, TV y la internet) que nos llevarán a determinar quién será el nuevo presidente, quiénes tienen más opciones, qué regiones se inclinan más por uno y por otro candidato. Sin embargo, las encuestas son usadas todo el tiempo, y nos sirven para determinar, por ejemplo, qué productos se cotizan más, cuáles se cotizan menos, etc. Y así, diversas opiniones que nos muestran diferentes situaciones a partir de las cuales podemos decidir. En el recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, se muestra una serie de características de los padres, como sus gustos y costumbres. Asimismo, el otro recorte periodístico nos muestra los porcentajes de los gastos por el “Día de la Madre”, su crecimiento respecto del año anterior, las actividades que se realizaron por dicha celebración, los lugares preferidos para las compras y otros datos. Y el recuadro restante nos presenta las tasas de interés en soles y euros, así como la rentabilidad anual de las Administradoras de Fondos Privados (AFP). El presente fascículo nos permitirá aprender a construir y analizar estos datos empleando la Técnica de la Frecuencia y haciendo uso de las diversas estadísticas. Conociendo mejor a papá Ya que mañana es el Día del Padre resulta jaejrieroiearjo fales feoarejai rajeia gus- mfdiam rfaiejfa oda afj eoirj ae a fiemesa jfieoajraoir eachocola- aej4roai erar ai rpapá ajeirjaiorja merfamilia rejaoijraieraer fueron eiajraoir ar era felices. Sabía que... (%) De los jefes de hogar son hombres De los jefes de familia son mayores de 18 años De los jefes de familia poseen una cuenta de ahorro De los padres tienen un celular De los padres acuden a los centros comerciales De los padres van a los supermercados 81.6 34.7 31.4 47.6 29.7 58.3 Principales pasatiempos (%) 33,0% Escuchan música 28,4% Miran televisión 15,2% Leen libros 11,2% Hacen deportes 3,5% Computación, internet 3,2% Tocan instrumento musical 2,8% Cocinan 2,6% Leen periódicos PERFIL DEL CONSUMIDOR 12 ECONOMÍA Deportes que más practican (%) Fútbol Caminata Gimnasio Natación Correr-Footing Bicicleta Básquet Tenis Ajedrez 37.6 4.4 3.1 2.9 2.8 2.1 1.7 1.6 1.6 Grado de instrucción (%) Secundaria completa Técnica completa Superior completa Secundaria completa Posgrado Superior incompleta Primaria completa Técnica completa Ningún nivel 26.7% 19.8% 18.3% 9.6% 7.3% 5.9% 4.8% 2.9% 0.3% 42.9 28.6 9.1 8.7 5.7 4.1 3.2 3.0 Ocupación (%) Trabajador independiente Empleado Obrero Jubilado Profesional independiente Estudiante Desempleado Ejecutivo empresario Gasto en regalos por el Día de la Madre llegó a S/. 176 millones MARKETING: Estudio 22 9 de setiembre del 2004 / EL PERIODICO Como resultado de la encuesta del periódico, “Conociendo mejor a papá”, en ocupación nos dan como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc., a estas opciones se les llama variables cualitativas, y son susceptibles de clasificación, no se pueden medir. Como resultado de la encuesta del periódico, “Conociendo mejor a papá”, en ocupación nos dan como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc., a estas opciones se les llama variables cualitativas, y son susceptibles de clasificación, no se pueden medir. En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar, como el número de alumnos de cada aula de tú institución educativa, y en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, se pueden medir como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura. Como resultado de la encuesta del periódico, “Conociendo mejor a papá”, en ocupación nos dan como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc., a estas opciones se les llama variables cualitativas, y son susceptibles de clasificación, no se pueden medir. En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas. Como resultado de la encuesta del periódico, “Conociendo mejor a papá”, en ocupación nos dan como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc., a estas opciones se les llama variables cualitativas, y son susceptibles de clasificación, no se pueden medir. En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar, como el número de alumnos de cada aula de tú institución educativa, y en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, se pueden medir como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura. En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar, como el número de alumnos de cada aula de tú institución educativa, y en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, se pueden medir como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura. Como resultado de la encuesta del periódico, “Conociendo mejor a papá”, en ocupación nos dan como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc., a estas opciones se les llama variables cualitativas, y son susceptibles de clasificación, no se pueden medir. En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). En cambio, para edades y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas; por lo general, para las edades y número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que para las tallas se presentan con números reales (decimales). A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar, como el número de alumnos de cada aula de tú institución educativa, y en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, se pueden medir como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura. A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar, como el número de alumnos de cada aula de tú institución educativa, y en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, se pueden medir. Cifra presentó un crecimiento de 21% respecto al gasto realizado en la campaña del 2005 78,0% 29,1% 7,3% 6,6% 3,1% 2,9% Reunión familiar en alguna casa Almuerzo/cena/desayuno fuera de casa Visita al cementerio Paseo familiar Nada Otros ¿Qué hizo usted el Día de la Madre? Con respecto al 2005, crece la proporción que celebra el Día de la Madre comiendo fuera de casa (17% a 29%) Gasto total en regalos Gasto per cápita promedio NSE C 37% S/. 65'557.576 S/. 77 2,9% Gasto per cápita S/. 65'557.576 NSE D 24% S/. 42'097.579 S/. 55 NSE A/B 39% S/. 68'374.379 S/. 104 AFP-Rentabilidad anual del Fondo 2 Cifras provisionales, al 24 de mayo Integra Horizonte Unión Vida Profuturo 22,00% 22,50% 23,00% 23,50% 24,00% Por disposición de la SBS, Prima no puede mostrar rentabilidad hasta que cumpla un año de operaciones. Fuente: SBS Tasas de interés Soles Euros 5,50% 5,18% 4,85% 4,53% 4,20% 3,00% 2,68% 2,35% 2,03% 1,70% ON 7d 30d 60d 90d 180d 360d Fuente: División Mercado de Capitales - Interbank PORTA FOLIO
  • 6. fascículo 9 / eNCUESTAS 1. estadística 1.1 Conceptos básicos Definición de Estadística Es una parte de la Matemática aplicada que nos proporciona instrumentos para recopilar, organizar, resumir, presentar, analizar, hacer predicciones e interpretar datos para tomar decisiones sobre determinados hechos o fenó- menos de estudio. Antiguamente la Estadística solo era aplicada a los asuntos del Estado.Ahora, frecuentemente la Estadística se emplea para acontecimientos ordinarios, tales como predicción del tiempo, mediciones, probabilidades futbolísticas, uso popular de productos alimenticios, simpatía de algún personaje público, etc. Pero para ello, es necesario que la Estadística se use adecuadamente para hacer más eficiente las investigaciones que nos proponemos a realizar, por lo que todos los investigadores se deben familiarizar con las técnicas y conceptos básicos de esta ciencia tan útil. Estadística Descriptiva.- Es la parte de la Estadística que se encarga de recolectar, clasificar, organizar, resumir, presentar y analizar en forma descriptiva sin sacar conclusiones de tipo general. Estadística Inferencial.- Es la parte de la Estadística, cuyo propósito es inferir o deducir conclusiones y/o predicciones con respecto a una pobla- ción en estudio a partir de la información de una muestra. Para asegurar la validez de las inferencias utiliza las Probabilidades. Población y muestra Ahora, observa la noticia de la página 4. Como en el recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, tú puedes aplicar una encuesta a tus vecinos que sean padres. Puedes tomar las mismas preguntas: edad, ocupación, grado de instrucción, pasatiempos, deportes que practican o crear otras preguntas. Los padres de la cuadra donde vives serían tu muestra y los vecinos de la manzana la población o universo de tu investigación. Estos son conceptos estadísticos. Población.- Es el conjunto de personas u objetos susceptibles de ser estudiados. Ejemplos: una institución educativa donde se puede estudiar las tallas de los estudiantes, nivel de desnutrición, la procedencia de sus padres. En una ferretería, un stock de focos, etc. Descriptiva Inferencial Estadística Estas dos partes de la Estadística no son mutuamente excluyentes ya que para utilizar los métodos de la estadística inferencial, se requiere conocer los métodos de la estadística descriptiva. PRIMERA DIVISIÓN Equipos PJ PG PE PP GF GC DIF PTS 1. FBC Melgar 8 5 1 2 14 13 +1 16 2.AlianzaAtlético 8 4 3 1 9 4 +5 15 3. Cienciano 8 4 2 2 14 8 +6 14 4. Alianza Lima 8 4 2 2 14 10 +4 14 5. San Martín 8 4 2 2 13 10 +3 14 6. Universitario 8 3 2 3 12 10 +2 11 7. Sporting Cristal 8 2 4 2 11 12 -1 10 8. Sport Boys 7 2 3 2 10 7 +3 9 9. Dep. Municipal 8 2 2 4 11 13 -2 8 10. Sport áncash 7 1 4 2 6 6 0 7 11. Bolognesi 8 1 3 4 5 15 -10 6 12. Total Clean 8 1 0 7 6 17 -11 3 Tabla de posiciones El Comercio, 19 de marzo de 2007.
  • 7. 6 Muestra.- Es un subconjunto de la población, o parte representativa de una población que se desea estudiar. Ejemplo: un grupo de 485 personas de la ciudad de Lima, seleccionado, se le hace una encuesta sobre el programa de erradicación de cultivo de coca. Variables estadísticas y su clasificación En una encuesta como la presentada en la página 4 aparecen características como los nombres de los padres con sus ocupaciones, sus edades y sus ta- llas. A cada una de estas características se les denomina variables. Variable estadística.- Característica o características de una población susceptible de ser medida. Como resultado de la encuesta periodística “Conociendo mejor a papá”, en cuanto a ocupación, nos da como opciones: trabajador independiente, empleado, obrero, etc. A estas opciones se les llama variables cualitativas, son susceptibles de clasificar y no se pueden medir. En cambio, para eda- des y tallas obtendrás números, a estos caracteres estadísticos se les llama variables cuantitativas. Por lo general, las edades o número de vecinos se presentan con números enteros positivos, mientras que las tallas se presen- tan con números reales, decimales. A las primeras se les llama variables cuantitativas discretas, se pueden contar (por ejemplo, el número de alum- nos/alumnas de cada aula de tu institución educativa); y, en el segundo caso, variables cuantitativas continuas, que se pueden medir (como en el caso de las tallas, los pesos, el tiempo o la temperatura). El siguiente esquema te ilustrará mejor sobre las clases de variables: Variable Nominal Variable Ordinal nacionalidad, sexo, estado civil VARIABLES Cuantitativa (se puede medir) Variable Discreta Variable Continua tallas y pesos de alumnos, temperatura, etc. año, días de la semana, fecha ¿Está de acuerdo o en desacuerdo con el programa de erradicación de cultivo de coca impulsado por el Estado Peruano? De acuerdo 57% En desacuerdo 36% No precisa 7% LAS PROTESTAS Base: total de entrevistados ¿Usted aprueba o desaprueba...? Los movimientos de protesta en general Aprueba 49% Desaprueba 47% No precisa 4% El bloqueo de pistas y carreteras que se producen en los actos de protesta Aprueba 16% Desaprueba 83% No precisa 1% EPOPEYA Base: total de entrevistados que conocen o han oído hablar del documento chileno sobre la Guerra del Pacífico llamado “Epopeya”. ¿Con relación al documental, qué actitud tiene usted? Está bien que el Gobierno Peruano le haya dado importancia, porque perjudica nuestras relaciones con Chile 58% El Gobierno Peruano no debería darle tanta importancia, es sólo un documento 40% No precisa 2% ¿Le gustaría o no ver el documental chileno “Epopeya”? Sí 81% No 19% ENCUESTA LIMA N° de vecinos, N° de CD’s vendidos, N° de hijos, etc. Cualitativa (no se puede medir): es una cualidad o atributo Muestra probabilística de 485 personas El Comercio, 18 de marzo de 2007. Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 6Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 6 5/28/07 10:35:25 PM5/28/07 10:35:25 PM
  • 8. 7 Fascículo 9 / ENCUESTAS Actividad 1 Identifica conceptos básicos de la Estadística, a través de la resolución de situaciones planteadas, trabajando cooperativamente. Formen un equipo de cuatro integrantes. – Sorteen cada una de las actividades, escribiendo en un papelito el número de actividad y eligiendo al azar uno de ellos. – Resuelvan la situación que les tocó. – Compartan con los otros integrantes del grupo, el procedimiento que utilizaron para resolver la situa- ción que les tocó. – Escúchense con mucho respeto valorando en todo momento lo que dice la otra persona. 1. Considerando a los estudiantes de tu institución educativa, completa el siguiente cuadro, depen- diendo si el carácter estadístico es constante (in- variable) o variable: 2. Ubica los siguientes caracteres estadísticos en el cuadro según corresponda: a. Profesión de los padres. b. Diámetros de tubos de agua. c. Carrera que deseas estudiar. d. Número de acciones vendidas en la Bolsa. e. Capacidad del depósito de gasolina de un auto modelo Tico. f. Número de granos de una espiga. g. Número de goles marcados en los partidos de fútbol del último domingo. h. Color de ojos del conejo. 3. Llena el siguiente crucigrama estadístico: 4. En la “Encuesta Lima” de la pestaña de la pági- na 6, identifique las variables para los tres casos de encuestas y vea qué clase de variables son. 5. Como te sugeríamos antes, elabora una encuesta a los padres de la cuadra donde vives. En la encuesta puedes tomar las mismas pre- guntas como: edad, ocupación, grado de ins- trucción, pasatiempos, deportes que practican o crear otras. Es muy importante trabajar con res- ponsabilidad y anotar tus datos con veracidad. Los datos de tu encuesta podrías organizarlos en un cuadro como este: Propiedades es ¿Por qué? Sexo variable Estatura N° de cursos primer año Distancia de tu casa a la I.E. constante Mes de nacimiento Orden Cualitativa Discretas Continuas a b c d e f g h Nombres Ocupación Edad Tallas 2 E S T A D I S T I C A F R E C U E N C I A O S 6 4 1 7 5 8 3 9 1. Variable que se puede medir. 2. Conjunto de valores. 3. Variable que no se puede medir. 4. Tipo de variable que se puede contar. 5. Conjunto de personas u objetos a ser estudiados. 6. Característica que se puede medir. 7. Resultado de la observación. 8. Subconjunto de una población. 9. Ciencia que se encarga de recopilar, representar y analizar los datos recolectados de una determi- nada población. NO EESCRIB RIBIRRIRRR RIB SSSCR SES NO NO ESCRIBIR SCR N O E S C R I B I R Serie1-Fasc9-EST.indd 7Serie1-Fasc9-EST.indd 7 5/8/07 9:18:22 PM5/8/07 9:18:22 PM
  • 9. Serie 1 / de la prensaa la matemática Observa que en un breve cuadro puedes resumir los datos y tener la facilidad de contestar las siguientes preguntas: – Considerando la Tabla 1: a. ¿Cuántos padres son obreros? b. ¿Cuántos padres son jubilados? c. ¿A qué ocupación se dedica la mayoría de los padres? d. ¿Hay más padres empleados o estudiantes? – Considerando la Tabla 2 a. ¿Cuántos padres tienen menor edad? b. ¿Cuántos padres tienen mayor edad? c. ¿Cuál es la edad que más se repite? Con este mismo proceso puedes seguir organizando las demás preguntas de tu encuesta y cualquier otra investigación. Supongamos que en tu cuadra existen 12 padres, de los cuales: 3 son emplea- dos públicos, 4 obreros, 1 estudiante, 2 empresarios, 2 jubilados; y que sus 2.1 Frecuencia absoluta Ocupación Frecuencia ( fi ) Obreros Empleados Empresarios Jubilados Estudiantes 4 3 2 2 1 Total 12 Tabla 1: Variable cualitativa Edades Conteo Frecuencia ( fi ) 20 años 25 años 38 años 40 años 42 años 58 años 60 años / // /// / // / // 1 2 3 1 2 1 2 Total 12 Tabla 2: Variable cuantitativa discreta Tablas.- Son cuadros que facilitan la comprensión y posterior análisis y utilización de los datos, los cua- les deben constar de: • Un título adecuado que exprese brevemente su contenido. • Considerar fuente de datos. • Las unidades en que se expresan los datos. Frecuencia absoluta.- Número de veces que apa- rece un valor. Se denota por: fi . La Estadística nos permite medir diversos aspectos de la población. 2. distribución de frecuencias DATOS AGRUPADOS para no San Isidro Lima Miraflores Surco San J. de Lurigancho La Victoria La Molina Surquillo Lince San Martín de Porres Ate Barranco Breña Chorrillos Comas El Agustino Jesús María Los Olivos Magdalena Pueblo Libre Rímac San J. de Miraflores San Luis San Borja San Miguel Santa Anita Independencia Villa El Salvador Villa María del Triunfo Ancón Carabayllo Lurín Pachacámac Pucusana Puente Piedra San Bartolo 18 12 9 6 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 En Lima existen unos 140 notarios, pero en San Isidro se agrupa la mayor parte de ellos. De otro lado, la comparación de costos que hace el Indecopi respecto a las tarifas notariales regidas o no por un arancel nos da un panorama de cómo variarían los precios. Carta Precio Arancel Var. notarial promedio notarial % emitida * ** en el mismo distrito S/. 18,7 S/. 19,6 4,7 Carta notarial emitada a menos de 15 km del distrito notarial S/. 25,4 S/. 32,7 28,6 Copias certificadas S/. 9,0 S/. 19,6 117,7 Legalización de firmas S/. 9,1 S/. 11,4 25,6 * Vigentes entre el 7 de febrero y el 7 de marzo del año 2003. ** Vigente en 1993. Comparación de precios en servicios notariales Fuente: Página web del Colegio de Notarios/Indecopi El Comercio, 18 de marzo de 2007 “Cuadro de frecuencias de la existencia de notarios en la ciudad de Lima”. edades fueran: 20 años, 38 años, 28 años, 40 años, 25 años, 42 años, 58 años, 60 años, 38 años, 60 años, 42 años, 25 años. Podrías organizarlos en las tablas siguientes, llama- das Tablas de distribución de frecuencias. Así están divididos
  • 10. 9 2.2 Frecuencia relativa Vuelve a observar el recorte periodístico de la página 4. En la lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a papá” también puedes observar el grado de instrucción de los padres, pero las frecuencias las dan en porcen- taje, a esta frecuencia se le llama frecuencia relativa. ¿Cómo se obtiene la frecuencia relativa? Si consideramos la Tabla 1, de las ocupaciones, tienes que dividir cada una de las frecuencias absolutas entre el número total de datos (suma de todas las frecuencias absolutas). 4 12 0 33 3 12 0 25 2 12 0 17 1 12 0 08= = = =, ; , ; , ; , Luego, la frecuencia relativa es: Frecuencia relativa.- Es el cociente entre las frecuencias absolutas y el número total de datos. Se denota por: hi . Su tabla de frecuencias relativas y conceptuales será: Ocupación fi absoluta hi relativa pi porcentual Obreros Empleados Empresarios Jubilados Estudiantes 4 3 2 2 1 0.33 0.25 0.17 0.17 0.08 33% 25% 17% 17% 8% Total 12 1.00 100% Completa la tabla de frecuencia relativa y porcentual de la Tabla 2. Edades fi absoluta hi relativa pi porcentual 20 años 25 años 38 años 40 años 42 años 58 años 60 años 1 2 3 1 2 1 2 0.08 0.17 … … … … … 8% 17% … … … … … Total 12 … … 2.4 Gráficos de distribución de frecuencias Los datos también pueden presentarse mediante gráficos, como los de la lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, la de los gas- tos por regalos realizados en este año por el “Día de la Madre” u otros que seguramente has visto en medios de comunicación (la televisión, los perió- dicos, revistas, etc.). Observa detenidamente los siguientes gráficos: 2.3 Frecuencia porcentual Frecuencia porcentual.- Es la frecuencia relativa expresada en porcen- tajes. Se denota por: pi . Para expresar la frecuencia relativa en porcentaje, se multiplica por 100 a la frecuencia relativa. Tabla 3 Tabla 4 Personajes ¿Cuál cree usted que es la principal razón por la qué Ántero Flores-Aráoz renunció al PPC? (Del total de entrevistados que conocen o han oído hablar sobre la renuncia de Ántero Flores-Aráoz al Partido Popular Cristiano) La actitud poco fraterna de algunos dirigentes del PPC No aceptaba el liderazgo de Lourdes Flores Aspira a ser primer ministro del gobierno de Alan García Lourdes Flores no quiere que compita con ella para la candidatura de las elecciones presidenciales del 2011 No precisa 30% 25% 22% 15% 8% Fuente: Apoyo Opinión y Mercado S.A. ¿Está usted de acuerdo o en desacuerdo con el nombramiento de Julio César Uribe como técnico de la selección peruana? (Del total de entrevistados aficionados al fútbol) 61% 35% 4% De acuerdo En desacuerdo No precisa ¿Cree usted que el Perú clasificará o no clasificará al Mundial de Sudáfrica 2010? (Del total de entrevistados aficionados al fútbol) 32% 54% 14% Clasificará No clasificará No precisa El Comercio, 18 de marzo de 2007. Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 9Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 9 5/28/07 10:35:26 PM5/28/07 10:35:26 PM
  • 11. 10 Serie 1 / DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA 2.5 Tipos de gráficas a. Gráfico de líneas ¿Cómo se construyen? Sigue el siguiente proceso: 1º Construye un sistema de coordenadas. 2º Haz corresponder un punto del eje de la abscisa o eje X positivo con los datos de la variable en estudio, cuidando el orden y la proporción de distancias entre dato y dato. Observando el gráfico tenemos: – Que la mayor parte de los padres son tra- bajadores. Gráfico estadístico.- Es la representación de los datos o valores recogidos, en forma de dibujo, de tal modo que se pueda percibir fácilmente los hechos esenciales y compararlos con otros. Permite dar una visión panorámica de la totalidad de la información. 78,0% 29,1% 7,3% 6,6% 3,1% 2,9% Reunión familiar en alguna casa Almuerzo/cena/desayuno fuera de casa Visita al cementerio Paseo familiar Nada Otros ¿Qué hizo usted el Día de la Madre? Con respecto al 2005, crece la proporción que celebra el Día de la Madre comiendo fuera de casa (17% a 29%) Gasto total en regalos Gasto per cápita promedio NSE C 37% S/. 65'557.576 S/. 77 NSE D 24% S/. 42'097.579 S/. 55 NSE A/B 39% S/. 68'374.379 S/. 104 Tasas de interés Soles Euros 5,50% 5,18% 4,85% 4,53% 4,20% 3,00% 2,68% 2,35% 2,03% 1,70% ON 7d 30d 60d 90d 180d 360d Fuente: División Mercado de Capitales - Interbank 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 42 Trab. Ind. Obr. Jub. Prof.I. Est. Des. Ejec. variable * * * * * * * f 3º Sobre el eje de la ordenada o eje Y (verti- cal), ubica los valores de la frecuencia ab- soluta o de la frecuencia relativa. 4º Ubica el punto en el primer cuadrante, que represente al par variable y su frecuencia. Considerando la tabla ubicaremos el punto que representa al par (obrero y su respecti- va frecuencia) y demás pares: AFP-Rentabilidad anual del Fondo 2 Cifras provisionales, al 24 de mayo Integra Horizonte Unión Vida Profuturo 22,00% 22,50% 23,00% 23,50% 24,00% Por disposición de la SBS, Prima no puede mostrar rentabilidad hasta que cumpla un año de operaciones. Fuente: SBS Gráfico 3 Gráfico 2 Gráfico 1 ocupación 1990 2000 2001 2002 2003 2004 2005 35 30 25 20 15 10 5 0 26,7 27,9 29,61 29,37 33,45 26,1 26,11 Importación de libros Actualmente el ingreso de los libros al país está gravado con el 12% de aranceles. En millones de dólares. El Comercio, 19 de marzo de 2007. Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 10Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 10 6/13/07 10:36:11 AM6/13/07 10:36:11 AM
  • 12. 11 Fascículo 9 / ENCUESTAS Las variables de datos principalmente usadas en los gráficos de barras son las de tipo cualitativo (llamado también categórico) y las variables discretas. Para variables continuas seguiremos un procedimiento espe- cial más adelante. – Un menor número de padres son desempleados y ejecutivos. – Un gran número de padres son empleados. Luego, el gráfico de líneas es la representación de los datos mediante líneas. b. Gráfico de barras Es aquella representación gráfica bidimensional donde los datos son re- presentados por un conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente, de manera que la extensión de los mismos es proporcional a la magnitud que se quiere representar. Los rectángulos o barras pueden estar colocados horizontal o vertical- mente. En este último caso reciben también el nombre de gráficos de columnas. Considerando la lámina del periódico, veremos que los caracteres esta- dísticos como edad de los padres, ocupación y deportes que más practi- can, están representados en gráficos de barras horizontales. Considerando la Tabla 2, su gráfico de barras es el siguiente: c. Gráfico circular De los gráficos que se presentan al inicio de la sección 2.4 se observa un informe periodístico sobre las actividades realizadas y el porcentaje de gastos por regalos realizados en el 2006, por el “Día de la Madre”. El primero está representado en un gráfico de barras. El segundo, si obser- vas bien el estuche de Mamá, (pag 10) es también un gráfico estadístico, llamado gráfico circular. Algunos investigadores lo llaman también gráfico de sectores. Edades ( f i ) 20 años 25 años 38 años 40 años 42 años 58 años 60 años 1 2 3 1 2 1 2 Tabla 2 Gráfico 4 0 1 2 3 4 20años 38años 42años 60años Frecuencia ( fi ) Frecuencia ( fi ) 25años 40años 58años 158 1.847 2000 76 1.308 2001 121 2002 211 1.992 2003 309 2.718 2004 336 3.509 2005 1.479 0 Reediciones Primera edición Números de títulos producidos En el Perú Gráfica de producción de libros en el Perú El Comercio, 19 de marzo de 2007. Planifique su rutina diaria Son numerosos las actividades que usted puede realizar a diario, no sólo para mantenerse en forma, sino principalmente para prevenir enfermedades. Escoja las que más prefiere. 1,050 700 700 560 560 560 490 455 420 420 315 315 280 245 210 151 140 105 105Tipear en la computadora Tener sexo Manejar un auto Lavar la ropa Jugar al bowling Bañar al perro Jugar pimpón Bailar Jugar el golf Nadar Mover muebles Practicar aeróbicos Hacer jogging Montar bicicleta (20 km/hora) Hacer abdominales Subir escaleras Correr (10 km/hora) Jugar fútbol Practicar Tae Bo Consumo de calorías por actividad (1 hora) Actividad física recreacional por nivel socioeconómico (Mujeres) Nivel socioeconómico bajo Nivel socioeconómico alto Chile Perú Brasil 3% 13% 7,2% 17% 26,3% 2,8% Plan para una semana Gastar más de 1.500 kcalorías Subir 20 pisos Caminar 15 km 1 kcaloría = 1.000 calorías El Comercio, 18 de marzo de 2007. Fuente: Caloriesperhour.com/ Dr. Víctor Matsudo Gráfica en forma horizontal Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 11Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 11 5/28/07 10:35:28 PM5/28/07 10:35:28 PM
  • 13. 12 Observa cómo se elabora un gráfico circular con los datos de la tabla. 1º Se reparten los 360º del círculo en partes proporcionales, para lo cual realizamos una regla de tres simple en cada caso: Observa el gráfico adjunto En el recuadro interior nos indican los colores que representan cada va- riable; a este recuadro se le llama leyenda. Este tipo de representación permite visualizar mejor y es más apropiada para reflejar datos cuya variable es cualitativa. También es frecuente su uso para frecuencias relativas. Análisis del gráfico: El sector verde, el más amplio, nos indica que el mayor porcentaje de alum- nos/alumnas viaja en bus escolar, seguido de los que viajan en bus urbano. Número de alumnos Grados sexagesimales 200 360º 80 xº 200 360 30 xº 200 360 50 xº 200 360 40 xº Variable estadística Bus escolar Automóvil Bus urbano Bicicleta Total Frecuencia absoluta (Nº de alumnos) 80 30 50 40 200 USO DE LOS MEDIOS DE TRANSPORTETabla 5 Bus escolar Automóvil Bus urbano Bicicleta Estas medidas permitirán dividir el círculo en sectores que representarán a cada variable Frecuencia absoluta (Nº de alumnos) Bus escolar Automóvil Bus urbano Bicicleta Gráfico 6 El gráfico circular es la representación de datos mediante un círculo, donde se hace corresponder un sector circular con cada una de las variables, de tal manera que el arco del sector sea proporcional a la frecuencia, para lo cual se hace corresponder el número total de datos con los 360º que mide la longitud de la circunferencia. ¿Cómo se construye? Sigue el procedimiento mediante el siguiente ejemplo: Consideraremos los datos de la tabla que co- rresponden a una encuesta hecha a 200 alum- nos/alumnas, teniendo como carácter estadísti- co el medio de transporte que usan para ir de su casa al colegio. La tabla está construida en forma horizontal. Sí No Sí No Acceso a una biblioteca Acceso a Internet 1 ¿Qué le parece más adecuado para la educación de su hijo? 2 Usa Internet como fuente de consulta porque... Es más rápido 79,7% Es más confiable 4,9% Es más barato 4,2% No tiene acceso a una biblioteca 11,2% Respuestas: 757Respuestas: 769 3 ¿Cuán útil cree usted que es Internet para la educación de su hijo? Muy útil 38,9% Útil 45,2% Algo útil 14,4% Nada útil 1,6% Respuestas: 763 6 ¿Cuál cree que es el mayor aporte de Internet a la educación de sus hijos? Mayor acceso a la información 58,6% 21,2% 14,3% 5,9% Respuestas: 760 Los familiariza rápidamente con las nuevas tecnologías Nuevas opciones para aprender Posibilidad de interactuar con otros 4 ¿Cree que Internet estimula la investigación? Respuestas: 758 5 ¿Supervisa usted que su hijo no copie de Internet los trabajos? Respuestas: 755 El Comercio, 18 de marzo de 2007. Fuente: www.elcomercioperu.com.pe 43,3% 56,7% 30,1% 69,9% 48,2%51,8% La red y la educación de sus hijos Un sondeo realizado a través de la página web de El Comecio nos ofrece una imagen de lo que nuestros lectores piensan de Internet como herramienta educativa. Gráfico circular sobre sondeo del uso educativo de Internet Destinos de las exportaciones de libros De libros, folletos e impresos del Perú 2005 Otros 27% Chile 23% EE.UU. 20% México 10% Ecuador 15% El Salvador 15% El Comercio, 19 de marzo de 2007.
  • 14. 13 fascículo 9 / eNCUESTAS Con solo observar, podemos decir que la menor cantidad de estudiantes viajan en automóvil. d. Pictogramas Observando la lámina del recorte periodístico “Conociendo mejor a papá”, veremos que la representación gráfica de la frecuencia porcentual de las variables se da mediante imágenes. También podemos encontrar gráficos con representación de objetos y/o personas, a los cuales se les denomina Pictogramas. Ejemplos: 1. Principales pasatiempos El signo musical representa que el 33,0% de padres escucha música. La cuchara nos muestra que a 2,8% de los padres les gusta cocinar. La raqueta nos muestra que el 11,2% de los padres hace deporte. Así puedes deducir en los demás casos. 2. Número de hijos por familia Nos muestra que la mayoría de las familias de la muestra tienen dos hijos, seguidas de las que tienen un solo hijo. Además, que la menor cantidad de familias de la muestra tiene 5 hijos. 2.6 Importancia de los gráficos estadísticos a. Son esenciales en el estudio y presentación de trabajos estadísticos y de investigación. Los datos, al ser transformados en dibujo, permiten un examen visual que constituye, muchas veces, la primera etapa del análi- sis e interpretación de datos. b. Permiten observar en forma instantánea el comportamiento de la varia- ble o variables. c. Permiten formar una idea bastante aproximada sobre la tendencia de las variables en el futuro. 2.7 Partes de un gráfico estadístico Para la presentación de los resultados de un trabajo estadístico debe conside- rarse los siguientes elementos: 1. El título: que exprese el contenido del gráfico. 2. La escala: se utiliza el sistema cartesiano, graduándose cada eje según la naturaleza de las variables y frecuencias. 3. El cuerpo: viene a ser el gráfico en sí. 4. La fuente: indica el origen de los datos estadísticos que se están repre- sentando. Si proviene de una encuesta, quiénes la realizaron y la fecha en que se hizo. 33,0% Escuchan música 28,4% Miran televisión 15,2% Leen libros 11,2% Hacen deportes 3,5% Computación, Internet 3,2% Tocan instrumento musical 2,8% Cocinan 2,6% Leen periódicos 1 2 3 4 5 Cuerpo Fuente Título
  • 15. 14 Tabla 6: Número de hermanos de estudiantes del tercer grado Número de hermanos (xi ) Número de estudiantes ( fi ) 0 1 2 3 4 5 6 3 9 13 2 1 1 1 30 Fuente: Entrevista a alumnos Número de hermanos (xi ) fi Fi 0 1 2 3 4 5 6 3 9 13 2 1 1 1 3 12 25 27 28 29 30 Total 30 Tabla de frecuencias absolutas acumuladas Tabla 7: (xi ) fi Fi Hi 0 1 2 3 4 5 6 3 9 13 2 1 1 1 3 12 25 27 28 29 30 Total 30 3 30 = 0.1 12 30 = 0.4 25 30 = 0.83 27 30 = 0.9 28 30 = 0.93 29 30 = 0.96 30 30 = 1 Tabla 8: A estos valores los llamaremos frecuencia absoluta acumulada. Para el resto de los valores de la variable estadística calcularemos las frecuencias absolutas acumuladas en la Tabla 7, que denominaremos tabla de frecuen- cias absolutas acumuladas. ¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a tres hermanos? Rpta.: 27 ¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a cuatro hermanos? Rpta.: 28 ¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a cinco hermanos? Rpta.: 29 ¿Cuántos estudiantes tienen menos o igual a seis hermanos? Rpta.: 30, que, como observarás, es igual al número total de datos. Luego: Frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable xi , es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a xi . Se representa por Fi Fi = f1 + f2 + f3 +…+ fi Si existe la frecuencia absoluta acumulada, ¿será posible calcular la fre- cuencia relativa acumulada? ¿Cómo la calculamos? Dividimos cada una de las frecuencias absolutas acumuladas, Fi , entre el número total de los datos, y obtendremos la frecuencia relativa acumulada. La representaremos por Hi es decir: Podemos construir la Tabla 8, que denominaremos tabla de frecuencias relativas acumuladas: H H H H 2 3 7 3 30 2 30 25 30 30 3    ; ; ; ......... ; 00 Sería: 3 + 9 = 12 2. ¿Cuántos estudiantes tienen menos e igual a 2 hermanos? Sería: 3 + 9 + 13 = 25 2.8 Frecuencia absoluta acumulada Consideremos la siguiente situación: a los estudiantes de un aula de tercer grado de una institución educativa se les preguntó el número de hermanos que tenían. De los 30 estudiantes, algunos tenían un solo hermano; la mayoría tenía dos hermanos. En la Tabla 6 presentamos el número de hermanos y el número de estudiantes según la situación indicada. Si nos hacen las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántos estudiantes tienen menos de dos hermanos? Tabla de frecuencias relativas acumuladas
  • 16. 15 Ejemplos: 1. Construir las tablas de frecuencias absolutas, relativas, acumuladas absolutas y acumuladas relativas, de los si- guientes experimentos: a. Si al lanzar una moneda 100 veces obtenemos: 64 caras y 36 cruces. b. Si al lanzar un dado 1 000 veces obtenemos: uno 170 veces, dos 185 veces, tres 195 veces, cuatro 160 veces, cinco 120 veces y seis 170 veces. Resolución: En las tablas siguientes podemos dar nuestras respuestas: a. xi fi hi Fi Hi Cara 64 0,64 64 0,64 Cruz 36 0,36 100 1 100 1 xi fi hi Fi Hi 1 2 3 4 5 6 170 185 195 160 120 170 0,17 0,185 0,195 0,16 0,12 0,17 170 355 550 710 830 1 000 0,17 0,355 0,550 0,710 0,830 1 1 000 1 b. Teniendo en cuenta los datos de la tabla 10, representaremos gráficamente a las frecuencias absolutas acumuladas o también denominadas “ojiva”. Tabla 9 Tabla 10 xi Fi 1 2 3 4 5 6 170 355 550 710 830 1000 Tabla de frecuencia acumulada Tabla 11 1 2 3 4 5 6 0 500 1000 1500 variable Ojiva frecuenciaacumulada xi Fi Gráfico 7 Luego: Encuestas sobre congresistas OPCIONES Siempre o casi siempre La mayoría de las veces Pocas veces Nunca o casi nunca No Precisa Total % Cumplen las promesas ofrecidas durante ñas campañas electorales 2.0 % 4.0 % 57.0 % 36.0 % 1.0 % 100% Usan sus cargos para benifio personal 53.0 % 33.0 % 11.0 % 2.0 % 2.0 % 100 % Toman las decisiones correctas para el país 5.0 % 13.0 % 64.0 % 16.0 % 3.0 % 100 % ¿Qué tan honestos u honrados cree que son los congresistas? 1% 46% 24% 28% 1% No precisa Mucho Algo Poco honrado Nada FICHA TÉCNICA / Encuestadora: Pontificia Universidad Católica del Perú / Nº de registro: 0108-REE/JNE / Uni- verso: Mayores de 18 años, habitantes de 31 distritos de Lima Metropolitana / Marco Muestral: Se hizo utilizando como marco muestral la cartografía digital del INEI del 2004 / Tamaño de la muestra: 449 personas / Error: ± 4.62% / Nivel de confianza: 95% / Técnica: probabilística polietá- pica / Fecha: 2 y 3 de marzo del 2007 / Financiamiento: Pontificia Universidad Católica del Perú. Ficha completa en página web: www.pucp.edu.pe Fuente: Pontificia Universidad Católica del Perú En general, ¿con qué frecuencia diría Ud. que los congresistas...? ¿Recuerda usted alguna ley aprobada por el Parlamento actual? 10% Sí 90% No La República, 18 de marzo de 2007. Frecuencia relativa acumulada de un valor xi , es el co- ciente entre la frecuencia absoluta acumulada del xi y el número total de datos. La frecuencia absoluta acumulada del valor xi se representa por Hi Ventas totales En el Perú El mercado edito- rial iniciaría una moderada reacti- vación. La Cámara Peruana del Libro considera que este año habrá un creci- miento de 15%. En millones de US$. 30 38 42 55 60 70 10 8 14 11 16 23 12 14 23 15 26 16 2001 2002 2003 2004 2005 2006 La República, 19 de marzo de 2007. 2. Considerando la situación de los estudiantes del tercer grado de una institución educativa, que vimos anterior- mente, sobre el número de hermanos que tenía cada uno de ellos, se informó también que provenían de diferentes Textos escolares Interés general Colecciones placismo
  • 17. 16 Serie 1 / de la prensaa la matemática Actividad 2 últimas emergencias Lluvias intensas y heladas se han presentado desde la quincena de febrero en Ayacucho, Huancavelica, Junín, Huánuco, Pasco, Cusco, Cajamarca, Arequipa y Apurímac. En los últimos días se han producido desbordes de ríos y huaicos que han afectado viviendas, centros educativos y áreas de cultivo, informó el Instituto Nacional de Defensa Civil (INDECI). - Forma un equipo de cinco personas. - Analicen y llenen la siguiente tabla. - Interpreten el gráfico correspondiente. EVALUACIÓN DE DAÑOS PRODUCIDOS POR HELADAS Y GRANIZADAS I xi fi Fi hi Hi Cajamarca Huaraz Lima Arequipa Ayacucho 19 7 2 1 1 19 26 28 29 30 30 1 1 xi fi Fi hi Hi % 0 1 2 3 4 5 6 3 9 13 2 1 1 1 3 12 25 27 28 29 30 10 40 83 90 93 96 100 N = 30 1 1 3 30 9 30 13 30 2 30 1 30 1 30 13 30 3 30 12 30 25 30 27 30 28 30 29 30 30 30 19 30 19 30 7 30 26 30 2 30 28 30 1 30 29 30 1 30 30 30 Recuerda que la frecuencia relativa puede expresarse en porcentaje, multiplicando por 100, también se realiza el mismo procedimiento para Hi . Tabla 12 Tabla 13 Región xi fi Afectados Fi fi casas afectadas Fi Ha de cultivo perdido : fi Fi Ayacucho 162,230 475 16,299 Huancavelica 218,600 670 22,306 Junín 2,500 300 3,646 Puno 800 302 4,507 Apurímac 144,630 401 1562 Huánuco 900 200 2,854 Pasco 341 180 887 Arequipa 1,443 396 300 Cusco 1,320 201 2,132 Cajamarca 850 90 54 Total provincias: 19 de ellos eran cajamarquinos, 7 eran huaracinos, dos limeños, un arequipeño y un ayacuchano. Debemos construir las tablas de frecuen- cias absolutas, relativas, acumuladas absolutas y acumuladas relativas, de los lugares de donde provienen y del número de hermanos: Resolución: Como en el caso anterior, daremos las respuestas en una sola tabla: - Representar gráficamente los resultados (mínimo 2 gráficos diferentes) . - Interprete resultados y hagan conclusiones. - ¿Puedes hacer un gráfico con el cual se note claramente que la región más afectada fue Huancavelica en comparación con las otras regiones? - Encuentre dos regiones de tal manera que, al unirlas, el porcentaje de hectáreas afectadas sea del 8,10% con respecto al total de hectáreas afectadas.
  • 18. 17 fascículo 9 / eNCUESTAS 3. distribución de frecuencias Hasta aquí, en nuestros ejemplos, no hemos utilizado variables continuas ni variables discretas en mayor número, es más, dijimos que tenían un proceso especial. ¿Qué hacer en esos casos? Veamos. para DATOS AGRUPADOS 3.1 ¿Qué hacer para agrupar datos? A continuación, vamos a sistematizar cómo debemos proceder ordenada- mente con los datos de una muestra con variable continua: 1. Recoger los datos: tomar datos mediante instrumentos de recolec- ción de datos (encuesta, fichas de entrevista o de observación). 2. Ordenación de los datos: una vez recogidos los datos, los colocare- mos en orden creciente o decreciente. 3. Rango: determinar las diferencia entre el mayor y menor de los da- tos. Se representa por R. 4. Agrupación de datos: agrupar los datos en intervalos de clases, di- vidiendo el rango entre el número de intervalos. Así, todas las clases deben tener la misma amplitud o longitud. Respecto a cuántos intervalos tomar, no hay respuesta única, depende de los propósitos del estudio. Si el número de intervalos (k) es muy pequeño, se pierde información; mientras que, si es muy grande, se introducen distorsiones y no es muy manejable. Existe una regla que nos puede dar una orientación, se llama Regla de Sturges, cuyo valor se halla con la siguiente fórmula: K = 1 + 3,3 log N, donde N es el número de datos; además, cuando K resulte un número decimal, este valor debe aproximarse al número entero, de acuerdo con las reglas de aproximación. 5. Determinación de la amplitud o longitud de los intervalos. Se determina dividiendo el rango entre el número de intervalos: Recuerda que las variables continuas están representadas por los pesos, las tallas, las temperaturas. l = R K Variables continuas Intervalo de clase Es el conjunto de todos los números comprendidos entre dos valores dados, llamados límites inferior y superior del intervalo. Se denota por: [Li - Ls ] Li es límite inferior Ls es límite superior Estrategia de ingreso al mercado Primera fase Acopio Venta Exportación Segunda fase Extender la producción Envasado Exportación peruana Higos frescos y secos (En US$) 600.000 500.000 400.000 300.000 200.000 100.000 2005 2006 215.493 504.979 134% de crecimiento Fuentes: Patricia Zumaeta / ADEX Trade El Comercio, 18 de marzo de 2007.
  • 19. 18 Serie 1 / DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA Con el fin de que la clasificación sea uniforme, los intervalos se deben construir de tal manera que el extremo superior de una clase coincida con el extremo inferior de la siguiente. Así, en el intervalo [40 – 45 se contabilizan todos los pesos desde los 40 kg (incluido este valor) hasta 45 kg (excluido este valor que se contabiliza en la siguiente clase). Si [a – b  es el intervalo de clase, se tiene que: a: Límite inferior o valor mínimo que puede tomar un dato. b: Límite superior que no puede ser igualado ni superado por un dato. 3.2 Elaboración de tablas estadísticas En ella deberán figurar los intervalos de clase, el Conteo. Efectuaremos el recuento de los datos, ubicándolos en la clase respectiva, y las frecuencias, ya sean absolutas, relativas, acumuladas. También se puede hacer una sola tabla donde se incluya las frecuencias absolutas, relativas, acumuladas, ab- solutas acumuladas, las frecuencias relativas acumuladas y los porcentajes. Ejemplo: 1. Recogiendo los pesos de 72 estudiantes de dos secciones del primer gra- do de secundaria del colegio Guadalupe, tenemos: 44; 47,2; 45,5; 40; 41,8; 38; 47,6; 40,4; 51; 49,5; 43,5; 54; 39,4; 44,2; 39; 53,6, 40,2; 41,3; 40,2; 55; 40,7; 53; 43,5; 44; 49; 46,4; 41,2; 45; 44,8; 47,1; 49,5; 50,8; 52,3; 39,7; 49; 36; 42,4; 43; 46; 41,5; 40; 48,5; 45,1; 47,2; 49,8; 43; 41,5; 44,9; 40,2; 47; 38,6; 50; 40,7; 39,6; 51,9; 42; 45,2; 40,3; 40,5; 42,6; 48; 40; 39,3; 46,3; 40,6; 37,8; 39,1; 41,4; 39; 48; 42,5; 40 a. Identifica los 7 datos con menor valor. b. Determina cuántos estudiantes pesan menos de 40 kg c. Determina cuántos estudiantes pesan entre 46 kg y 56 kg d. Determina qué porcentaje de estudiantes pesa 51 kg o más. Resolución: 1. El grupo de datos presenta dos características a resaltar: son muchos y, además, forman un abanico muy grande de valores. Por ello, lo más práctico es agruparlos en intervalos de clase. Marca de clase ( xi ) La marca de clase de un intervalo de clase [ Li - Ls  se define como la semisuma de los límites inferior y superior de cada intervalo de clase. Esto es: Donde: xi es marca de clase Ls es límite superior Li es límite inferior El término histograma fue utilizado por primera vez por Karl Pearson (1857-1936) en sus conferencias sobre gráficos estadísticos en 1981. Karl Pearson, inglés, ejerció la abogacía al tiempo que continuaba simultáneamente con sus actividades políticas y literarias. A los veintisiete años comenzó a impartir clases de Matemática aplicada en la Universidad de Londres. Hizo aportes importantísimos a la Estadística, que es la que actualmente tiene mayor influencia en todos los campos del saber.
  • 20. 19 Fascículo 9 / ENCUESTAS 2. Podemos ordenar los datos de menor a mayor o de mayor a menor. O podemos organizarlos ya en la tabla después de formados los intervalos de clases. 3. Por otra parte, determinamos la amplitud de cada intervalo, primero ha- llamos el rango o recorrido de la variable en estudio: R = 55 – 36 = 19 4. Usando la regla de Sturges: “k = 1 + 3, 3 log N” calculamos el número de intervalos. Esto es: k = 1 + 3, 3 log (72) k = 1 + 3, 3 (1,86) k = 7,138 ⇒ k ≈ 8 Luego consideramos 8 intervalos de clase. 5. Calculemos ahora la amplitud de cada intervalo: 19 dividido entre el número de intervalos, que puede ser 8, da por cociente 2,4 (aproximado al décimo), pero para facilitar el trabajo sin dejar de incluir algún dato, decidimos que el valor de la amplitud de cada intervalo sea 2,5. 6. Agrupamos y organizamos los datos y elaboramos una tabla. [36 – 38,5〉 36; 37,8; 38 [38,5 – 41〉 38,6; 39; 39; 39,1; 39,3; 39,4; 39,6; 39,7; 40; 40; 40; 40; 40,2; 40,2; 40,2; 40,3; 40,4; 40,5; 40,6; 40,7; 40,7; [41 – 43,5〉 41,2; 41,3; 41,4; 41,5; 41,5; 41,8; 42; 42,4; 42,5; 42,6; 43; 43 [43,5 – 46〉 43,5; 43,5; 44; 44; 44,2; 44,8; 44,9; 45; 45,1; 45,2; 45,5 [46 – 48,5〉 46; 46,3; 46,4; 47; 47,1; 47,2; 47,2; 47,6; 48; 48 [48, 5 – 51〉 48,5; 49; 49; 49,5; 49,5; 49,8; 50; 50,8 [51 – 53,5〉 51; 51,9; 52,3; 53 [53,5 – 56] 53,6; 54; 55 Con la tabla anterior, podemos responder las siguientes preguntas: a. Los 7 pesos de menor valor son 36; 37,8; 38; 38,6; 39; 39,1; 39,3. b. 11 estudiantes pesan menos de 40 kg. Sin embargo, las preguntas restantes y otras más que podrían plantearse, se responden mejor con ayuda de una tabla de frecuencias, para cuya confección hacemos primero un conteo de los datos: Tabla 15 Tabla 14 Intervalo de clase (peso corporal expresado en kg) Conteo [36 – 38,5〉 III [38,5 – 41〉 IIII IIII IIII IIII I [41 – 43,5〉 IIII IIII II [43,5 – 46〉 IIII IIII I [46 – 48.5〉 IIII IIII [48,5 – 51〉 IIII III [51 – 53,5〉 IIII [53,5 – 56] III HISTOGRAMA Intervalos de clase Polígono de Frecuencia Curva de frecuencias PESO CORPORAL DE LOS ESTUDIANTES Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 19Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 19 6/12/07 1:50:34 PM6/12/07 1:50:34 PM
  • 21. 20 Serie 1 / DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA En la tabla de frecuencias aparecen, además de cada uno de los ocho inter- valos de clase y sus respectivas frecuencias, las marcas de clase obtenidas mediante la semisuma de los respectivos valores extremos de cada uno de los intervalos. Así, la marca de clase del primer intervalo es el número que representa al intervalo de clase. Esto es: Marca de clase del intervalo 36 38 5 2 37 25 + = , , → xi = 37,25 La marca de clase nos será útil para graficar los datos agrupados. Comprueba en la tabla si la marca de clase obtenida es la que corresponde a cada intervalo de clase. Recordemos que la amplitud de un intervalo de clase es la diferencia entre los límites superior e inferior de un intervalo de clase. Si todos los intervalos tienen la misma amplitud, podemos simbolizarlo con “c”. Así, en este caso todos los intervalos tienen la misma amplitud: (c = 2,5) En adelante, para simplificar nuestro aprendizaje, asumiremos que todos los intervalos de clase presentan la misma amplitud. Como se puede observar en la tabla, la penúltima columna corresponde a la frecuencia relativa, identificada con el símbolo “h”. Los valores de la fre- cuencia relativa también se pueden expresar como porcentaje si el cociente anteriormente señalado es multiplicado por 100: Frecuencia relativa porcentual: pi = hi 100% Con ayuda de la última tabla, damos respuesta a las preguntas: c. Los estudiantes que pesan entre 46 kg y 56 kg son 25, pues (10 + 8 + 4 + 3 = 25) d. El porcentaje de estudiantes que pesan 51 kg o más es 9,73 %. (5,56 % + 4,17 % = 9,73 %) 7. Elaboramos la tabla estadística: Peso corporal de los estudiantes Intervalo de clase Marca de clase ( xi ) Frecuencia ( fi ) Frecuencia relativa ( hi ) Frecuencia relativa porcentual (hi 100) % 36 – 38,5〉 37,25 3 0,0417 4,17 % 38,5 – 41〉 39,75 21 0,2917 29,17 % 41 – 43,5〉 42,25 12 0,1667 16,67 % 43,5 – 46〉 44,75 11 0,1528 15,28 % 46 – 48.5〉 47,25 10 0,1389 13, 89 % 48,5 – 51〉 49,75 8 0,1111 11,11 % 51 – 53,5〉 52,25 4 0,0556 5,56 % 53,5 – 56] 54,75 3 0,0417 4,17 % n = 72 Tabla 16 John Forbes Nash. Matemático estadounidense. Premio Nobel 1994. Nació el 13 de junio de 1928 en Bluefield, Virginia. Contribuyó en el desarrollo de la Teoría de Juegos. http://www.adeptis.ru/vinci/john_ forbes_nash10.jpg Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 20Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 20 5/28/07 10:35:29 PM5/28/07 10:35:29 PM
  • 22. 21 Fascículo 9 / ENCUESTAS Peso corporal de los estudiantes Intervalo de clase Marca de clase ( xi ) Frecuencia ( fi ) Hi [36 – 38,5〉 37,25 3 3 [38,5 – 41〉 39,75 21 24 [41 – 43,5〉 42,25 12 36 [43,5 – 46〉 44,75 11 47 [46 – 48.5〉 47,25 10 57 [48,5 – 51〉 49,75 8 65 [51 – 53,5〉 52,25 4 69 [53,5 – 56] 54,75 3 72 n = 72 2 37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 3.3 Gráfico de datos agrupados ¿Cómo representar los datos agrupados en intervalos de clase? Se construirán en forma similar al gráfico de barras y se les llamará histo- gramas. Histogramas y polígonos de frecuencia Histogramas: son un conjunto de rectángulos que tienen: a. Sus bases sobre el eje x, con centros en las marcas de clase y longitud igual a la amplitud de los intervalos. Por tanto, sus lados laterales son comunes. b. Superficies proporcionales a las frecuencias de clase. Si los intervalos de clase tienen todos iguales tamaños, las alturas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de clase. Ejemplo: Considerando las frecuencias absolutas de los pesos del ejemplo anterior, ordenados en la tabla tenemos: 10 37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25 0 20 30 40 50 60 70 80 90 Asimismo, su representación gráfica en un histograma se observa en el gráfico 10(a) y la ojiva de sus frecuencias absolutas acumuladas en el gráfico 10(b). Tabla 17 Gráfico 10 (b)Gráfico 10 (a) platicúrtica normal leptocúrtica Distribución simétrica de curvas de frecuencia Distribución asimétrica de las curvas de frecuencia Asimetría negativa cola a la izquierda Asimetría positiva cola a la derecha Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 21Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 21 6/12/07 1:50:56 PM6/12/07 1:50:56 PM
  • 23. 22 Serie 1 / DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA Actividad 3 Aplica algoritmos y sigue procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados en forma ordenada y con precisión. Resuelve la siguiente situación presentando un informe escrito. Considerando los pesos de 30 estudiantes, completa la siguiente tabla: Apartir de los datos de la tabla: a. Construye su histograma de frecuencia absoluta. b. Grafica su polígono de frecuencia absoluta. c. Grafica su ojiva. ¿Cuántas personas pesan más de 55 kilogramos? y ¿cuántas personas pesan menos de 60 kilogramos? 2 34,75 37,25 39,75 42,25 44,75 47,25 49,75 52,25 54,75 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Peso (Kg) Marca de clase Nº de estudiantes ( fi ) Fi hi Hi [40 – 45 [45 – 50 [50 – 55 [55 – 60 [60 – 65 [65 – 70 [70 – 75 [75 – 80 42,5 47,5 57,5 62,5 72,5 1 3 10 9 4 2 1 1 4 23 27 29 n = 30 1 1 30 3 30 10 30 9 30 4 30 2 30 1 30 30 30 29 30 23 30 14 30 1 30 Observa que el polígono tiene dos ordenadas en cero Polígonos de frecuencia Cuando construimos el histograma, consideramos las marcas de clase. Si ubi- camos los puntos de las marcas de clase en la base de los rectángulos y unimos dichos puntos con el de la frecuencia respectiva, estaremos construyendo un polígono, incluida la porción del eje X. A dicho polígono lo llamaremos Polí- gono de frecuencia. Si con- sideramos la frecuencia rela- tiva, estaríamos graficando el Polígono de frecuencia relativa. El área del polígo- no es igual a la suma de las áreas de los rectángulos del histograma. Gráfico 11 La curva de frecuencia del gráfico 11, comprende a una distribución asimétrica positiva, es decir, con cola a la derecha. Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 22Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 22 5/28/07 10:35:31 PM5/28/07 10:35:31 PM
  • 24. 23 Fascículo 9 / ENCUESTAS 4. MEDIDAS de TENDENCIA Cuando quieres saber cómo vas en una determinada área, por ejemplo, Ma- temática, ¿qué haces? Recuerdas tus calificaciones de los indicadores de lo- gro: “Interpretas representaciones gráficas de distribución de frecuencias”; “Aplicas y utilizas algoritmos y procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados”, además de otros indicadores de participaciones, exposiciones, etc. Luego calculas tu promedio, ¿no es cier- to?, es decir, sumas tus calificaciones y las divides entre el número de cali- ficaciones, obteniendo un número que representa al conjunto de tus notas. Y si tus padres te preguntan: “¿Cómo vas en el área de Ciencia, tecnología y ambiente?”, tú respondes: “De mis siete calificaciones tengo cuatro dieci- séis, un trece y dos doces”. Al dar esta respuesta a tus padres estás haciendo Estadística, estás utilizando estadígrafos. En el primer caso estás calculando la media aritmética y en el segundo caso la moda. A estas medidas se les llama Medidas de Tendencia Central, porque son pocos números que re- sumen o centralizan información en lugar de toda la distribución de frecuen- cias. Sirven para poder relacionar y comparar información de manera más sencilla. Son medidas de tendencia central la Media, la Mediana, la Moda, entre otras. CENTRAL 4.1 Media aritmética Si tus calificaciones en el área de Matemática referentes a: “Interpreta re- presentaciones gráficas de distribución de frecuencias”; “Aplica y utiliza algoritmos y procesos para la elaboración de tablas de frecuencia y gráficos de datos agrupados” y otros indicadores de participaciones, exposiciones, son: 16; 16;13; 12; 16; 12; 16; entonces la media aritmética sería: Tu promedio sería 14. Luego: Llamamos media aritmética de una serie de N valores, al cociente obteni- do al dividir la suma de dichos valores entre el número total de datos (n). La denotamos como x , que representa la media aritmética y x1 , x2 , …, xn son valores dados. Así tenemos: x         16 16 13 12 16 12 16 7 101 7 14 4, Cuando quieres saber cómo te va en determinado curso, utilizas medidas de tendencia central. En una encuesta hecha por estudiantes sobre el número de habitantes por vivienda en el pueblo joven “El Arenal” del distrito de Villa María del Triunfo se obtuvo lo siguiente, en una muestra de 20 viviendas. Número de viviendas Número de habitaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 3 2 5 2 4 2 2 3 2 3 2 2 3 2 1 2 3 2 2 La medida de tendencia central más representativa para esta información está dada por: y significa que el promedio de habitaciones por casa en el pueblo joven “El Arenal” es de 2,45.
  • 25. 24 Serie 1 / de la prensaa la matemática Significado de la media aritmética.- La media aritmética significa el valor promedio de la distribución de datos, es el valor promedio en la distribución. Cuando tenemos una serie de datos x1 + x2 + x3 + … + xn , para indicar uno, cualquiera de ellos, escribimos xi . Igualmente, para indicar la suma de todos ellos empleamos la expresión simbólica: xi i n   El símbolo ∑ se llama sumatoria. Es la letra mayúscula griega sigma, que equivale a nuestra S, por eso la empleamos para indicar la suma de valores. La expresión se lee: suma de xi desde i igual a 1 hasta n. Si la desarrollamos, obtenemos: x x x xi i n n       2 ... Empleando este símbolo, la fórmula de la media aritmética queda de la si- guiente manera: x x n i i n    Características de la media aritmética: - Son las medidas de centralización más utilizadas. - Su cálculo aritmético es sencillo. - Tienen en cuenta todos los datos de la observación. - No son aplicables a variables cualitativas. Ejemplo: 1. Considerando una muestra mayor, tenemos la temperatura de 20 estu- diantes, organizados en la tabla 18: Resolución: Con el fin de facilitar el cálculo podemos multiplicar cada valor de la varia- ble estadística por su frecuencia absoluta correspondiente, sumar los resul- tados y dividir por el tamaño de la muestra: x x             37 2 37 5 4 38 7 38 5 4 39 3 20 38 , , Temperatura xi Nº de alumnos fi 37° 2 37,5° 4 38° 7 38,5° 4 39° 3 Total 20 La expresión general de la media aritmética es: x x f f i i i n i i n      En el caso de que la variable sea continua, la media se calcula a partir de la marca de clase o valor medio de cada intervalo: x x fi i i n     n Tabla 18 Precio de metales en la Bolsa de Lima Precio de metales $ Enero 2006 Diciembre 2006 Variación Porcentual Oro 520,00 635,00 23% Plata 9,04 12,90 43% Cobre 2,08 2,84 36% Zinc 0,85 1,95 129% Plomo 0,50 0,77 54% Fuente: BOOMBERS LONDON METAL EXCHANGE. Vea usted la manera de calcular el promedio del valor del oro. El promedio del valor del oro es de 567,5 dólares.
  • 26. 25 Fascículo 9 / ENCUESTAS Media aritmética para datos agrupados Para hallar la media aritmética en datos agrupados utilizaremos la misma fórmula. Por ejemplo: considerando el peso de 72 estudiantes, de la siguiente tabla, queremos saber: ¿cuál es el promedio de los pesos, es decir, su media aritmética? Resolución: Consideremos las marcas de clase y las frecuencias absolutas. Construiremos una nueva columna, donde colocaremos los productos de las marcas y frecuencias de cada clase. Intervalo de clase Marca de clase ( xi ) Frecuencia ( fi ) xi fi [36 - 38,5〉 37,25 3 111.75 [38,5 – 41〉 39,75 21 834.75 [41 – 43,5〉 42,25 12 507 [43,5 – 46〉 44,75 11 492.25 [46 – 48.5〉 47,25 10 472.5 [48,5 – 51〉 49,75 8 398 [51 – 53,5〉 52,25 4 209 [53,5 – 56] 54,75 3 164.25 Total 72 3 189,5 x x f n x x i i = fi = fi = Â 3189 5 72 44 29 , , Luego, la media aritmética será 44,29; que significa que el peso promedio de los 72 estudiantes es de 44,29 kg. 4.2 Moda Todos hemos oído la expresión “está de moda” o “es la moda”. Si buscamos el significado de la palabra moda, encontramos: “Costumbre o uso que prima en un determinado grupo social”. En Estadística se mantiene este significado. Moda es entendida como el valor de la variable estadística que tiene máxima frecuencia. Se simboliza: Mo Tabla 19 Luego: La moda puede no ser única. Así, si hay dos modas, la distribución se llama bimodal, si tiene tres modas, trimodal, y así sucesivamente. Cuando la variable está agrupada en intervalos de clase, hablaremos de intervalo modal. Significado de la Moda.- Significa el valor que más número de veces se repite en una distribución. Ejemplo: 1. Dadas las edades de un conjunto de niños que viajan en un autobús escolar: 7, 9, 10, 8, 11, 13, 15, 10, 13, 7, 13. ¿Cuál será su moda? MO = 13 2. Consideremos las calificaciones de 30 estudiantes: Moda en la vida cotidiana. Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 25Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 25 5/28/07 10:35:31 PM5/28/07 10:35:31 PM
  • 27. 26 Serie 1 / DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA Moda para datos agrupados Si consideramos las edades de 22 personas agrupadas en la siguiente tabla, podemos hallar su moda en datos agrupados. Debemos seguir el siguiente procedimiento: Edades fi 2 – 6 3 6 – 10 5 10 – 14 8 14 – 18 4 18 – 22 ] 2 22 a. Determinemos la clase modal, es decir, la clase que contiene la moda Observando la tabla, esta será: [10 – 14? , pues es la que tiene la mayor frecuencia (8). b. Luego Li = 10 (Límite inferior de la clase modal) C = 4 (Amplitud del intervalo) c. ∆1 = fi – fi – 1 ∆1 1 = 3 Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase contigua inferior. d. ∆2 = fi – fi + 1 ∆2 2 = 4 Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase contigua superior. e. Para datos agrupados existe la fórmula siguiente, que aplicaremos para calcular la moda: → → Reemplazando nuestros datos en la fórmula tenemos: MO = 10 3 3 4 4+ + Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ MO = 10 + 1,71 luego, la moda será: MO = 11,71 Calificaciones 8 9 10 11 13 15 16 17 18 Nº de alumnos 1 2 3 1 8 3 2 8 2 Calcular la moda: Las modas son: MO = 13 y MO = 17, son los valores de la variable que tienen mayor frecuencia. Es bimodal, significando que la mayor cantidad de veces que se repiten son las calificaciones de 13 y 17. Tabla 21 Donde: M0 es moda Li es límite interior del intervalo modal C es amplitud de clase fi es frecuencia del intervalo modal Lo que significa que: la edad que más veces se repite entre las 22 personas es aproximadamente 12. Tabla 20 ∆1 = fi – fi –1 ∆2 = fi – fi +1 Cras Lurigancho Distribución muestral de internos por tipo de delito, según zona de residencia. Lima-enero 1993. Fuente: PUCP: Encuesta por muestreo. Tipo de delito es una variable nominal, y la moda es la medida de tendencia central que le corresponde. Mo = Tipo de delito = Robo Tipo de delito Resi- dencial Urba- na Mar- ginal Total Robo - - 8 8 Tráfico de droga 3 1 3 7 Honor sexual 1 - 3 4 Crimen 1 1 2 4 Otros 1 - 1 2 TOTAL 6 2 17 25 Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 26Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 26 5/28/07 10:35:34 PM5/28/07 10:35:34 PM
  • 28. 27 Fascículo 9 / ENCUESTAS Estadísticas deportivas Imagina una gran final de fútbol. Falta muy poco para el final del partido; el marcador señala 0 a 0 y el árbitro pita penal a favor del equipo local. ¿A qué jugador elegirá el entrenador para patearlo? El entrenador ojea los datos que tiene de sus tres mejores tiradores. El primero ha pateado 6 penales esta temporada y ha metido 4; el segundo tiró 7 y metió 6 y el tercero hizo 2 goles en 5 tiros. ¿A cuál de ellos elegirías tú? Como ves, la Estadística ayuda a tomar decisiones en muchos campos. Pero no garantiza el éxito. Quizá el jugador con mejores datos tiene un mal momento, está nervioso o se equivoca y tira el balón a las nubes. Habrá estropeado sus estadísticas y habrá causado un tremendo disgusto a los aficionados. 4.3 Mediana Dadaunavariableestadística,podemosdisponerdevaloresenordencreciente o decreciente. El valor que ocupa el lugar central se llama mediana. Según esto, podemos definirla como: Mediana.- Es el valor de la variable estadística que deja igual número de observaciones inferiores y superiores a ella. La simbolizaremos por Me . En el caso de que el número de datos sea impar, la mediana coincide con uno de los datos. Si el número de datos es par, tenemos dos valores centrales; en este caso se toma como mediana el promedio de los dos. Significado de la mediana: es el dato que divide en dos partes iguales a toda la distribución. Ejemplo: 1. Dada la serie estadística correspondiente a los pesos en kilos de nueve niños: 10; 12; 18; 14; 20; 19; 17; 22; 15, calcular la mediana de dichos pesos. Resolución: primero ordenamos los datos (puede ser en forma ascendente o descendente): 10 – 12 – 14 – 15 – 17 – 18 – 19 – 20 – 22, luego ubicamos el dado central. La media es 17, entonces: Me = 17 Lo mismo que significa que 4 niños tienen pesos de 10 a 15 kilos y los otros 4 niños tienen pesos de 18 a 22 kilos. 2. Si consideramos las edades de 10 personas en un consultorio médico: 50; 25; 12; 20; 45; 08; 15; 24; 60; 17. ¿Cuál será su mediana? Resolución: Como en el caso anterior, ordenamos los datos: 60 – 50 – 45 – 25 – 24 – 20 – 17 – 15 – 12 – 08 En este caso, hay dos valores centrales: 24 y 20; luego, la mediana es: M Mee     24 20 2 22. Lo mismo que significa que el 50% de las personas tienen edades entre 8 y 22 años y el otro 50% de las personas tienen edades comprendidas entre 22 y 60 años. Mediana para datos agrupados Si consideramos los datos agrupados de la siguiente tabla, para determinar la mediana en datos agrupados, debemos seguir el siguiente procedimiento: Edades fi Fi 2 – 6 3 3 6 – 10 5 8 10 – 14 8 16 14 – 18 4 20 18 – 22  2 22 Total 22 Tabla 22 a. Determinemos cuál es la clase que contiene a la mediana, esto es: n 2 22 2 11  (undécima posición), donde n es el número total de datos. Once respecto a la frecuencia acumulada corresponde en la tabla al intervalo de clase [ 10 - 14 . b. Teniendo en cuenta la tabla dada determinaremos algunos datos:
  • 29. 28 Actividad 4 Procesa la información mediante la relación, la transformación y la aplicación de medidas de tendencia central, mostrando precisión. Organizados en grupo de cuatro estudiantes, resuelvan las situa- ciones planteadas y entréguenlas a su profesor/a para que pueda revisar sus aportes. 1. De acuerdo con el gráfico, basado en un informe de la Cá- mara de Comercio de un país latinoamericano, se nos mues- tra los ingresos de las principales empresas de este país en el Perú. Responde: a. ¿Cuál es la media aritmética de sus ingresos? b. ¿Qué empresa representa la moda? ¿Por qué? c. ¿Qué valor representa la mediana? ¿Qué significa este valor? 2. Elaboren una encuesta para determinar algunas características de los estudiantes de su colegio como: estatura, peso y edad. Elijan una muestra de 50 estudiantes de su grado y entrevístenlos. Cada integrante deberá entrevistar a 10 estudiantes. Elaboren una tabla de frecuencias completa. El Perú es un mercado rentable para las empresas del país latinoamericano S/. 4,379 FACTURACIÓN TOTAL DE LAS EMPRESAS EN EL 2003 INGRESOS DE LAS PRINCIPALES EMPRESASEN EL PERÚ En S/. millones (2003) Nogal S.A. 1,036Tiendas La Estrella S.A. 833Molinosa 337Aerocusco S.A. 300Eterno Perú S.A. 247Clan Vuelo Alto S.A. 215Indama S.A. 200Boticas Unidas S.A. 197Chogun S.A. 178Productos Ricos Perú S.A. 171 Li = 10 (Li es el límite inferior de la clase que contiene la mediana) f3 = 8 (frecuencia absoluta de la tercera clase) F3 = 16 (frecuencia acumulada de la tercera clase) Fi-1 = F3-1 = F2 entonces F2 = 8 (frecuencia acumulada de la clase inferior al de la clase donde se encuentra la mediana) C = 4 (amplitud del intervalo que contiene a la mediana) c. Para datos agrupados existe la fórmula siguiente, la que aplicaremos: Sustituyendo los datos que tenemos en la fórmula tenemos: Me = 0 8 8 4       Me = 10 + 1,5, luego, la mediana será 11,5. Esto es: Me = 11,5 Significa que el 50% de estudiantes tienen edades comprendidas entre 12 y 22 años. Mo Me X X Me Mo X = Me = Mo
  • 30. 29 5. EVALUACIÓN Cada alumno resuelve los problemas o ejercicios formulados. Para luego socializar sus respuestas con su profesor y compañeros. 1. ¿Cuál es la suma de todo los valores de las frecuencias relativas, distribuidos en una tabla de frecuencia? 2. En una distribución de frecuencias en la que se estudia las tallas de 300 personas se sabe que la mediana es igual a 1,66 m ¿Qué nos indica este resultado? 3. ¿Cuál de las medidas de tendencia central depende del orden de los datos? 4. La media y la mediana de un conjunto de cinco números naturales distintos es 7 y el rango es 6. Determina los números. 5. Realiza el siguiente experimento: lanza una moneda de un sol 50 veces y coloca los resultados en la siguiente tabla: 6. A 500 estudiantes de primer grado de Educación Secundaria se les aplicó un test sobre su parecer respecto del colegio y sus respuestas fueron: Elabora una tabla considerando todos los tipos de frecuencias y representalo a través de una gráfica circular. 7. De la tabla de frecuencias siguiente, se tiene: Si la moda es 30, cuya frecuencia es 15: a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? b. ¿Cuántas personas tienen 25 años? c. ¿Cuál es su media aritmética? 8. Las edades de los empleados de una empresa son: 22; 27; 35; 34, 25; 30; 28; 27; 29; 26; 25; 23; 29; 37; 31; 24; 31; 37; 28; 34; 39; 24; 24; 32; 28; 34; 31; 35; 27; 30; 28; 36; 35; 27; 24; 36; 32; 29; 38; 34; 24; 36; 23; 33; 38; 32; 36; 25; 33; 30; 25; 23; 35; 28; 37; 36; 31; 33; 22; 32; 29; 29; 28; 25; 31; 24. a. Elabora una tabla de distribución de frecuencia completa. b. Construye histograma de frecuencias relativas. c. Determina e interpreta sus medidas de tendencia central. 9. En el siguiente cuadro, determina la medida de tendencia central más adecuada para la variable: Tipo de cáncer. Interpreta el resultado. Variable Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Cara Sello Total Gusta mucho Gusta No gusta No gusta nada 15% 56% 19% 10% Edades fi % 20 28 25 32 30 Totales Instituto de Neoplásica Paciente hospitalizados por tipo de cáncer según sexo Tipo de cáncer SEXO Total Masculino(M) Femenino (F) Gástrico 15 10 25 Vejigal 20 8 28 Oseo 5 12 17 Pulmonar 10 6 16 Mamario -- 23 23 Uterino -- 18 18 TOTAL 50 77 128 Sugerencia: Masculino: Mo = Cáncer vejigal Femenino: Mo = Cáncer mamario ¿Por qué? ¡INTERPRÉTALO! Fuente: Realizado PUCP en Instituto Neoplásica: Dpto de Estadística. N O E S C R I B I RB I R N O E Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 29Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 29 5/28/07 10:35:35 PM5/28/07 10:35:35 PM
  • 31. 30 Serie 1 / DE LA PRENSAA LA MATEMÁTICA Responde en una hoja aparte: 1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas? 2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué? 3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo? 4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades? 5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor dificultad? 6. ¿Cómo lograste superar estas dificultades? 7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor dificultad? 8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas dificultades? 9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo? 10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar este fascículo? 6. METACOGNICIÓN Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos. Muy bueno Bueno Regular Deficiente ¿Por qué? 11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo? Explica. 12.¿Tuvistelaoportunidaddecompartirtusconocimientosconalgunosdetuscompañeros? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho? N O E S C R I B I R Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 30Z_Serie1-Fasc9-EST.indd 30 5/28/07 10:35:35 PM5/28/07 10:35:35 PM
  • 32. 31 fascículo 9 / eNCUESTAS 1. Ángeles Consuelo, Carmen y Adriana La Hoz Mendizabal. Estadística Aplicada a la Educación. Lima. Fondo Editorial de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, 1997. Presenta los aspectos básicos de la Estadística en siete unidades. En la primera lo referente a la presentación de datos, cuadros estadísticos y tablas de frecuencia. La segunda y tercera unidad se refieren al cálculo e interpretación de diferentes estadígrafos que resumen los datos para su análisis. En cuarta unidad hace una descripción e interpretación de distribución de frecuencias. La quinta unidad desarrolla los procesos de regresión y correlación. La sexta, probabilidades; y la séptima unidad trata la teoría del muestreo. 2. Fernández Ch., Juan. J. EstadísticaAplicada. Lima. FondoEditorialdelaUniversidad Nacional Mayor de San Marcos, 1993. Presenta técnicas para la investigación, desarrollo de los conceptos básicos de la Estadística y su aplicación como instrumento para estudiar e investigar en el área de la Ciencias Sociales. 3. Perelman, Y. Matemáticas recreativas. Barcelona. Ediciones Martínez Roca, 1987. El propósito de esta obra, como lo dice su autor, reside expresamente en destacar la parte del juego que tiene la resolución de cualquier acertijo, colección de pasatiempos, rompecabezas e ingeniosos trucos. 4. Timoteo Valentín, Salvador. Historia de la Matemática. Lima. Editorial Ingeniería, 1990. Presenta la historia de la Matemática sobre la base de hechos importantes realzando los aportes matemáticos que han constituido hitos fundamentales en esta ciencia. La primera parte presenta algunos personajes que han contribuido al desarrollo de la Matemática. La segunda es un conjunto de datos históricos y la tercera comprende anécdotas y curiosidades en torno a la Matemática y a los hombres que hicieron aportes a ella. 5. Véliz C, Carlos. Estadística. Lima. Editorial San Marcos, 1993. Contiene los métodos estadísticos que se desarrollan en tres partes esenciales: la Estadística Descriptiva, la Probabilidad y la Estadística Inferencial. Bibliografía comentada
  • 33. 32 Serie 1 / de la prensaa la matemática 1. http://platea.pntic.mec.es/jescuder/estadist.htm Contiene curiosidades matemáticas y fórmulas de matemáticas a través del tiempo. 2. www.cortland.edu/flteach/stat-sp.html Contiene conceptos básicos de estadística de manera fundamentada. 3. www. Aulafacil.com/curso Estadística/Lecc-2 thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidácticas/53-1-u-indice.html-4k Los dos últimos contienen cursos de Estadística descriptiva, con ejemplos y problemas resueltos. 4. http://www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html Trata de temas didácticos de Estadística general. 5. http://www.pwpamplona.com/wen/descriptiva/descriptiva.htm Contiene temas de Estadística descriptiva y una introducción a la Estadística inferencial organizadas didácticamente. 6. http:// books. google.com.pe Contiene textos con chistes matemáticos diversos y en general humor sobre temas variados. Enlaces web