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AUTOINSTRUCTIVO Nº 01
Conociendo el conjunto de números reales (R)
I. Datos informativos
1. Institución
2. Carreras
3. Área
: IESPP “Mons. Elías Olázar”
: Comunicación y Ciencia Tecnología y Ambiente.
: Matemática
4. Ciclo : III
5. Fecha : 04 / 05 / 2020
6. Duración : 04 horas
7. Formador : Juan Carlos Rivero Altuna.
II. Indicador de desempeño e Indicador específico.
Indicador de desempeño
Indicador
específico
Producto
/evidencia
Técnica
/Instrumento
Analiza y resuelve situaciones
problemáticas de diferentes fuentes de
información que involucren lógica
proposicional, teoría conjuntista,
conjuntos numéricos, expresiones
algebraicas, ecuaciones e inecuaciones
utilizando diferentes métodos heurísticos
en resolución de problemas.
Identifica las
principales
características de los
conjuntos numéricosy
sus operaciones y
realiza una exposición
grupal
Exposición
grupal
Rúbrica
Escala actitudinal
Ficha de
ejercicios
III. Desarrollo
Analiza la siguiente información (20 minutos)
Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un
decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. Se pueden
representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia
el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1
se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.;
alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta
de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por
matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero
no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard
Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales.
En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición
concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en
1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener
amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática.Fue lograda la construcción
y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos
europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos
sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard
Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind)
FORMACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS REALES (ℝ)
1. Te invitamos a reflexionar
Responde las siguientes preguntas: (20 minutos)
 ¿Cómo se puede expresar un número real?
…………………………………………………………………………………………..……………..……………………………
……………………………………………………………………
 ¿Quiénes utilizaron por primera vez las fracciones?
…………………………………………………………………………………………..……………..……
……………………………………………………………………………………………
 Hablar acerca de los números negativos
…………………………………………………………………………………………..……………..…
………………………………………………………………………………………………
 ¿Qué entiendes por número natural? Brinda ejemplos
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….
2. Teorizo y aprendo (55 minutos)
Lee y analiza la siguiente información el conjunto de números reales:
La unión de los conjuntos de números racionales e
irracionales recibe el nombre de conjunto de números
reales.
Al conjunto de los números reales se representa así: ℝ
Es decir ℚ  I = ℝ:
Gráficamente
Citemos algunos elementos del conjunto R:
R = 0,4; 2 ; 1,57; 3 ; 1 ; 5 ; ; e;
3
2
 ; 0,45;
0; 3
8 ; -2,56;
4
7
; ...
 NOTAS
I. Aún existe números que no están dentro de R
como, por ejemplo:
3
8 = ? (no tiene solución en R)
3
8 = ? (no tiene solución en R)
3
25 = ? (no tiene solución en R)
En general
n
a = ? (no tiene solución en R)
donde: n : par a : número negativo
ℕ
ℤ
ℚ
I
ℝ
LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA
El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES está
dado por la unión del CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS RACIONALES con el CONJUNTO DE
LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Es decir: R = Q
 I
Cada uno de estos conjuntos pueden ser
representados en la recta numérica.
Para los números naturales (N):
Para los números enteros (Z):
Para los números racionales (Q):
Si en la recta numérica donde hemos ubicado a los
números racionales, ubicamos también a los
números irracionales (con aproximación al décimo),
tendremos entonces representados a los
NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA.
Así:
Comentarios alrededor de la RECTA NUMÉRICA para
ℝ :
 Si sólo ubicamos a los NATURALES o a los
ENTEROS en la RECTA NUMÉRICA, no a todos los
puntos les corresponde un número ℕ o ℤ.
 Si ubicamos a los RACIONALES o a los
IRRACIONALES o a los REALES en la RECTA
NUMÉRICA, cada uno de sus infinitos puntos están
asociados con cada uno de los infinitos números ℚ,
I o ℝ.
 Los números ℕ, ℤ, ℚ, I, ℝ situados a la derecha del
CERO siempre son POSITIVOS. Los que se sitúan
a la izquierda del CERO siempre son NEGATIVOS.
Así: Si a es un número real a > 0, significa que el
número a es positivo. a < 0, significa que el número
a es negativo.
 Los conjuntos ℕ, ℤ, ℚ, I, ℝ representados en la
recta numérica están ordenados de menor a mayor
de izquierda a derecha, a lo largo de toda la recta.
Por eso decimos que el conjunto R es ORDENADO.
Es decir:
 Entre dos números reales, por más cerca que se
encuentren el uno del otro en la recta numérica,
siempre hay otro número real. Esto nos permite
afirmar que entre dos números reales existen otros
infinitos números reales; por lo tanto decimos que
el conjunto R es DENSO.
 Todo número real tiene un punto asociado a él en la
recta numérica; por eso decimos que el conjunto R
es COMPLETO.
 COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Si tenemos dos números reales, siempre es posible
saber cuál de ellos es mayor. Para esto bastará con
ubicarlos en la recta numérica y tomar el de la
izquierda como el menor de ambos números.
Así:
0 1 2 3 4 5 ...
0-1-2-3-4-5 +1 +2 +3 +4 +5... ...
0-1-2-3-4-5 +1 +2 +3 +4 +5......
.
......
.
10/33/20,5-5/2
0-1-2-3-4-5 +1 +2 +3 +4 +5....... .......
0,5
-
5/2 3/2 10/3
0-1/2-6 +1
a
0
b
a < b
Si no los ubicamos en la recta numérica, es posible
comparar dos números reales considerando lo siguiente:
 Si los dos números reales son de signo distinto,será
mayor el de signo positivo.
Ejemplos: (1) -1,5404 < 2
(2) 7 > 11
 Si los dos números reales son del mismo signo, será
conveniente expresarlos como decimales, para
establecer el número real mayor, para ello deberá
obtenerse una misma cantidad de cifras en la parte
decimal y luego ignorando la coma decimal se les
compara como si fueran números enteros.
Ejemplos:
(1) 5 > 3 porque 2,2360679... > 1,7320508
(2) Comparar
3
7
 y 5
Escribiendo en decimales:
3
7
 = -2,3333...
5 = -2,6457513
Entonces –2,333... > -2,6457513...,
ya que : -2,3 > -2,6
3. Aplico lo aprendido
Resuelve los siguientes ejercicios (35 minutos)
 Completa el siguiente cuadro con > o < según
corresponda
Número
real a
> ó <
Número
real b
2 5
 10
0,3
0,33
-7,55 -7,56
20,05 20,5
2
2
0,70
3,2 -3,2
0,42356 0,42456
4. Compruebo lo que aprendí.
(PRODUCTO Nº 1)
Resuelve los siguientes ejercicios (50 minutos)
Completa el siguiente cuadro con > o < según
corresponda
Número
real a
> ó <
Número
real b
-7,563 -7,463
– 2 2
0,72 0,7272
-6,1515 -6,15
4,5 4,51
-5,21 -5,2
1/3 – 0,33
Resuelve los siguientes problemas
1. El número real que le sigue a 1 es:
a) 1,1 b) 1,00001 c) 2
d) 1,01 e) Indeterminable
2. ¿Cuál de los siguientes gráficos es correcto?
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) Sólo IV e) I y IV
3. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?
a) –7
2
es número entero
b) –0,0775 es número real
c) 3,7 es número racional
d) 5
1/2
es racional
e) 2 : 2 tiene como resultado irracional
ℕ ℤ ℤ ℚ
ℤ ℚ ℝ
ℚ I
IVIII
I II
4. ¿Cuál es el número real que antecede a 6?
a) 5 b) 5,9 c) 5,99
d) 5,999 e) Indeterminable
5. Dar un número real comprendido entre
7
1
y
2
1
a)
9
1
b)
28
9
c)
11
1
d)
5
3
e)
5
4
6. Marcar Verdadero (V) o Falso (F)
 5  ℝ ( )

2
1
  ℚ ( )
 3,2  I ( )
 -1,6  ℝ ( )
 ℝ  Z ( )
 ℕ  ℚ ( )
 ℚ  ℝ ( )
5. Reflexiono sobre lo aprendido (20 minutos)
 ¿Qué aprendí en esta sesión?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………
 ¿Cómo lo aprendí?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………
 ¿Qué dificultades tuve?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………
 ¿Para qué me sirve lo aprendido?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………
IV. Referencias
Colegio Trilce. (2003). Matemática: segundo grado. Lima, Perú
I T E M S
ESCALA DE ESTIMACIÓN PARA LA AUTOEVALUACIÓN
Estudiante:…………..………………………………………………………………..…….................................
Área:…MATEMÁTICA……Fecha:………………………………………………….
Carrera: ……………………………………………………… Semestre: I
DIMENSIÓN: Personal
CRITERIO DE DESEMPEÑO:
Demuestra ética, compromiso y autodisciplina en las tareas académicas y práctica pedagógica que asume en
cuanto a su especialidad
INSTRUCCIÓN: Debes indicar tu opinión, siendo lo más sincero y objetivo posible.
0
Nada
1
A
veces
2
Regularmente
3
Casi
siempre
4
Siempre
1
Realizo las actividades planteadas en el
autoinstructivo dentro del tiempo
establecido
2
Muestro disposición e interés para las
clases y el trabajo a distancia del área
3
Solicito apoyo al formador para aclarar
mis dudas a través de los medios
señalados
4
Presento mis tareas en el tiempo
señalado y por los medios establecidos
5
Demuestro cuidado y esmero en la
entrega de los productos o trabajos
6
Muestro sinceridad y honestidad en la
realización de los trabajos.
7
Profundizo, investigo y repaso en casa
los temas tratados
8
Guardo respeto al profesor y presto
atención cuando brinda las orientaciones
9
Leo y cumplo los criterios de evaluación
de los productos o trabajos
encomendados
10
Realizo las tareas y trabajos con tiempo
para prevenir contratiempos de última
hora
SUB TOTAL
TOTAL
CALIFICATIVO VIGESIMAL
COMENTARIO:(aquí puede incluir fortalezas identificadas y dificultades encontradas, recomendaciones.)
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………….
Firma:
ESCALA

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Números reales

  • 1. AUTOINSTRUCTIVO Nº 01 Conociendo el conjunto de números reales (R) I. Datos informativos 1. Institución 2. Carreras 3. Área : IESPP “Mons. Elías Olázar” : Comunicación y Ciencia Tecnología y Ambiente. : Matemática 4. Ciclo : III 5. Fecha : 04 / 05 / 2020 6. Duración : 04 horas 7. Formador : Juan Carlos Rivero Altuna. II. Indicador de desempeño e Indicador específico. Indicador de desempeño Indicador específico Producto /evidencia Técnica /Instrumento Analiza y resuelve situaciones problemáticas de diferentes fuentes de información que involucren lógica proposicional, teoría conjuntista, conjuntos numéricos, expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones utilizando diferentes métodos heurísticos en resolución de problemas. Identifica las principales características de los conjuntos numéricosy sus operaciones y realiza una exposición grupal Exposición grupal Rúbrica Escala actitudinal Ficha de ejercicios III. Desarrollo Analiza la siguiente información (20 minutos) Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros. Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática.Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind)
  • 2. FORMACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ) 1. Te invitamos a reflexionar Responde las siguientes preguntas: (20 minutos)  ¿Cómo se puede expresar un número real? …………………………………………………………………………………………..……………..…………………………… ……………………………………………………………………  ¿Quiénes utilizaron por primera vez las fracciones? …………………………………………………………………………………………..……………..…… ……………………………………………………………………………………………  Hablar acerca de los números negativos …………………………………………………………………………………………..……………..… ………………………………………………………………………………………………  ¿Qué entiendes por número natural? Brinda ejemplos …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………. 2. Teorizo y aprendo (55 minutos) Lee y analiza la siguiente información el conjunto de números reales: La unión de los conjuntos de números racionales e irracionales recibe el nombre de conjunto de números reales. Al conjunto de los números reales se representa así: ℝ Es decir ℚ  I = ℝ: Gráficamente Citemos algunos elementos del conjunto R: R = 0,4; 2 ; 1,57; 3 ; 1 ; 5 ; ; e; 3 2  ; 0,45; 0; 3 8 ; -2,56; 4 7 ; ...  NOTAS I. Aún existe números que no están dentro de R como, por ejemplo: 3 8 = ? (no tiene solución en R) 3 8 = ? (no tiene solución en R) 3 25 = ? (no tiene solución en R) En general n a = ? (no tiene solución en R) donde: n : par a : número negativo ℕ ℤ ℚ I ℝ
  • 3. LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES está dado por la unión del CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES con el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Es decir: R = Q  I Cada uno de estos conjuntos pueden ser representados en la recta numérica. Para los números naturales (N): Para los números enteros (Z): Para los números racionales (Q): Si en la recta numérica donde hemos ubicado a los números racionales, ubicamos también a los números irracionales (con aproximación al décimo), tendremos entonces representados a los NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA. Así: Comentarios alrededor de la RECTA NUMÉRICA para ℝ :  Si sólo ubicamos a los NATURALES o a los ENTEROS en la RECTA NUMÉRICA, no a todos los puntos les corresponde un número ℕ o ℤ.  Si ubicamos a los RACIONALES o a los IRRACIONALES o a los REALES en la RECTA NUMÉRICA, cada uno de sus infinitos puntos están asociados con cada uno de los infinitos números ℚ, I o ℝ.  Los números ℕ, ℤ, ℚ, I, ℝ situados a la derecha del CERO siempre son POSITIVOS. Los que se sitúan a la izquierda del CERO siempre son NEGATIVOS. Así: Si a es un número real a > 0, significa que el número a es positivo. a < 0, significa que el número a es negativo.  Los conjuntos ℕ, ℤ, ℚ, I, ℝ representados en la recta numérica están ordenados de menor a mayor de izquierda a derecha, a lo largo de toda la recta. Por eso decimos que el conjunto R es ORDENADO. Es decir:  Entre dos números reales, por más cerca que se encuentren el uno del otro en la recta numérica, siempre hay otro número real. Esto nos permite afirmar que entre dos números reales existen otros infinitos números reales; por lo tanto decimos que el conjunto R es DENSO.  Todo número real tiene un punto asociado a él en la recta numérica; por eso decimos que el conjunto R es COMPLETO.  COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Si tenemos dos números reales, siempre es posible saber cuál de ellos es mayor. Para esto bastará con ubicarlos en la recta numérica y tomar el de la izquierda como el menor de ambos números. Así: 0 1 2 3 4 5 ... 0-1-2-3-4-5 +1 +2 +3 +4 +5... ... 0-1-2-3-4-5 +1 +2 +3 +4 +5...... . ...... . 10/33/20,5-5/2 0-1-2-3-4-5 +1 +2 +3 +4 +5....... ....... 0,5 - 5/2 3/2 10/3 0-1/2-6 +1 a 0 b a < b
  • 4. Si no los ubicamos en la recta numérica, es posible comparar dos números reales considerando lo siguiente:  Si los dos números reales son de signo distinto,será mayor el de signo positivo. Ejemplos: (1) -1,5404 < 2 (2) 7 > 11  Si los dos números reales son del mismo signo, será conveniente expresarlos como decimales, para establecer el número real mayor, para ello deberá obtenerse una misma cantidad de cifras en la parte decimal y luego ignorando la coma decimal se les compara como si fueran números enteros. Ejemplos: (1) 5 > 3 porque 2,2360679... > 1,7320508 (2) Comparar 3 7  y 5 Escribiendo en decimales: 3 7  = -2,3333... 5 = -2,6457513 Entonces –2,333... > -2,6457513..., ya que : -2,3 > -2,6 3. Aplico lo aprendido Resuelve los siguientes ejercicios (35 minutos)  Completa el siguiente cuadro con > o < según corresponda Número real a > ó < Número real b 2 5  10 0,3 0,33 -7,55 -7,56 20,05 20,5 2 2 0,70 3,2 -3,2 0,42356 0,42456 4. Compruebo lo que aprendí. (PRODUCTO Nº 1) Resuelve los siguientes ejercicios (50 minutos) Completa el siguiente cuadro con > o < según corresponda Número real a > ó < Número real b -7,563 -7,463 – 2 2 0,72 0,7272 -6,1515 -6,15 4,5 4,51 -5,21 -5,2 1/3 – 0,33 Resuelve los siguientes problemas 1. El número real que le sigue a 1 es: a) 1,1 b) 1,00001 c) 2 d) 1,01 e) Indeterminable 2. ¿Cuál de los siguientes gráficos es correcto? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo IV e) I y IV 3. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso? a) –7 2 es número entero b) –0,0775 es número real c) 3,7 es número racional d) 5 1/2 es racional e) 2 : 2 tiene como resultado irracional ℕ ℤ ℤ ℚ ℤ ℚ ℝ ℚ I IVIII I II
  • 5. 4. ¿Cuál es el número real que antecede a 6? a) 5 b) 5,9 c) 5,99 d) 5,999 e) Indeterminable 5. Dar un número real comprendido entre 7 1 y 2 1 a) 9 1 b) 28 9 c) 11 1 d) 5 3 e) 5 4 6. Marcar Verdadero (V) o Falso (F)  5  ℝ ( )  2 1   ℚ ( )  3,2  I ( )  -1,6  ℝ ( )  ℝ  Z ( )  ℕ  ℚ ( )  ℚ  ℝ ( ) 5. Reflexiono sobre lo aprendido (20 minutos)  ¿Qué aprendí en esta sesión? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………  ¿Cómo lo aprendí? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………  ¿Qué dificultades tuve? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………  ¿Para qué me sirve lo aprendido? ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… IV. Referencias Colegio Trilce. (2003). Matemática: segundo grado. Lima, Perú
  • 6. I T E M S ESCALA DE ESTIMACIÓN PARA LA AUTOEVALUACIÓN Estudiante:…………..………………………………………………………………..……................................. Área:…MATEMÁTICA……Fecha:…………………………………………………. Carrera: ……………………………………………………… Semestre: I DIMENSIÓN: Personal CRITERIO DE DESEMPEÑO: Demuestra ética, compromiso y autodisciplina en las tareas académicas y práctica pedagógica que asume en cuanto a su especialidad INSTRUCCIÓN: Debes indicar tu opinión, siendo lo más sincero y objetivo posible. 0 Nada 1 A veces 2 Regularmente 3 Casi siempre 4 Siempre 1 Realizo las actividades planteadas en el autoinstructivo dentro del tiempo establecido 2 Muestro disposición e interés para las clases y el trabajo a distancia del área 3 Solicito apoyo al formador para aclarar mis dudas a través de los medios señalados 4 Presento mis tareas en el tiempo señalado y por los medios establecidos 5 Demuestro cuidado y esmero en la entrega de los productos o trabajos 6 Muestro sinceridad y honestidad en la realización de los trabajos. 7 Profundizo, investigo y repaso en casa los temas tratados 8 Guardo respeto al profesor y presto atención cuando brinda las orientaciones 9 Leo y cumplo los criterios de evaluación de los productos o trabajos encomendados 10 Realizo las tareas y trabajos con tiempo para prevenir contratiempos de última hora SUB TOTAL TOTAL CALIFICATIVO VIGESIMAL COMENTARIO:(aquí puede incluir fortalezas identificadas y dificultades encontradas, recomendaciones.) ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………. Firma: ESCALA