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EJERCICIOS DE VARIACIONES
1. Cuántos resultados distintos pueden producirse al lanzar una moneda cuatro veces al aire.
Solución.
Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 2, n = 4.
162VR 4
4,2 ==
2. Cuántos números de cuatro cifras distintos pueden formarse con los elementos del conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Solución.
Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 7, n = 4.
8404567V 4,7 =⋅⋅⋅=
3. ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir tres juguetes diferentes entre cuatro niños, de
manera que ningún niño tenga más de un juguete?
Solución.
Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 4 (niños), n = 3(juguetes).
24234V 3,4 =⋅⋅=
4. ¿De cuántas formas diferentes se pueden distribuir cinco bolas distintas en tres cajas
diferentes?
Solución.
Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 5 (bolas), n = 3 (cajas).
60345V 4,7 =⋅⋅=
5. En un examen se proponen diez preguntas; cada pregunta tiene tres respuestas posibles (a,b,c).
Si se contestan al azar, ¿cuántos exámenes distintos pueden producirse?
Solución.
Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 3 (a, b, c), n = 10 (10 respuestas).
590493VR 10
10,3 ==
6. Se extraen sucesivamente dos bolas de una bolsa que contiene seis de diferentes colores.
¿Cuántos resultados distintos pueden producirse? a) Con devolución. b) Sin devolución.
Solución.
Influye orden y elementos. m = 6 (colores), n = 2 (extracciones).
a) Admite repetición: 366VR 2
2,6 ==
b) No admite repetición. 3056V 2,6 =⋅=
7. El viaje de la ciudad A a la ciudad B se puede realizar por cinco carreteras distintas. ¿De
cuántas formas puede realizarse el viaje de ida y vuelta?
Solución.
Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 5 (carreteras), n = 2 (viajes, ida y
vuelta).
255VR 2
2,5 ==
8. De A a B puede irse en coche, avión, moto, tren o barco. ¿De cuántas formas posibles se
puede hacer el viaje de ida y vuelta?
Solución.
Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 5 (tipo de trasporte), n = 2 (viajes, ida
y vuelta).
255VR 2
2,5 ==
2
9. Resuelve: Vm, 2 + Vm−2, 2 + Vm−4, 2 =98.
Solución.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 985m4m3m2m1mm =−⋅−+−⋅−+−⋅
Se opera y se ordena, obteniendo una ecuación de 2º grado.
072m15m3 2
=−−
Resolviendo se obtiene



=
−=
8m
3m
. Se admite solo la positiva
10. Una matrícula de coche de un país europeo esta formada por 3 letras elegidas entre 27 y 4
números escogidos entre los números comprendidos entre 0 y 9. ¿Cuántos coches se pueden matricular en
cada país con este sistema?
Solución.
Formas de escoger tres letras:
Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 27, n = 3.
1968327VR 3
3,27 ==
Formas de escoger cuatro números.
1000010VR 4
4,10 ==
Cada combinación de letras se puede formar una matrícula con cada combinación numérica, y
viceversa, por tanto:
nº matrículas = 1968300001027VRVR 43
4,103,27 =⋅=⋅
11. Tiras dos dados diferentas al aire. ¿Cuántos resultados distintos pueden producirse?
Solución.
Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 6 (caras), n = 2 (dados).
366VR 2
2,6 ==
EJERCICIOS DE PERMUTACIONES
1. Resolver: 1m1m
3,2
m PCPP −− =+
Solución.
( ) ( )( )!11m!1m
!3!2
!m
−−=−+
⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )!2m!2m1m
232
!2m1mm
−=−⋅−+
⋅⋅
−⋅−⋅
Se simplifica ( )!2m − , se opera y se obtiene una ecuación de 2º grado.
( ) ( ) 11m
12
1mm
=−+
−⋅
: 02m
12
mm2
=−+
−
: 024m11m2
=−+
2. De Cuántas formas distintas pueden sentarse cuatro personas alrededor de una mesa.
Solución.
( ) 623¡3¡14PC4 =⋅==−=
3. De Cuántas formas pueden alinearse dos chicas y tres chicos.
Solución.
10
2
45
3¡2
¡345
3¡¡2
¡5
P 3,2
5 =
⋅
=
⋅
⋅⋅
=
⋅
=
3
4. De Cuántas formas pueden actuar en T.V. cuatro cantantes y tres humoristas.
Solución.
35
23
567
23¡4
¡4567
3¡¡4
¡7
P 3,4
7 =
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
=
5. De Cuántas formas distintas puede obtenerse la suma 8 al lanzar tres dados distintos y sumar
los números aparecidos.
Solución.
Posibilidades de suma 8 con tres dados:
6 + 1 + 1: 3
2
23
!2
!3
P2
3 =
⋅
==
5 + 2 + 1: 623!3P3 =⋅==
4 + 3 + 1: 623!3P3 =⋅==
4 + 2 + 2: 3
2
23
!2
!3
P2
3 =
⋅
==
3 + 3 + 2: 3
2
23
!2
!3
P2
3 =
⋅
==
Total = 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21
6. De cuántas formas pueden ordenarse siete personas, entre las que figuran Juan y María de
manera que Juan y María estén colocados uno al lado de otro.
Solución.
Se debe considerar que Juan y Maria forman una solo persona, y se multiplica por 2 ya que para
cada ordenación existen dos posibles posiciones de Juan y Maria.
1440234562!62P2 6 =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅
7. Se lanza una moneda ocho veces seguidas y se anotan sucesivamente los resultados obtenidos
en cada uno de los lanzamientos. Los ocho lanzamientos constituyen una experiencia. ¿En cuántas
experiencias se pueden obtener cinco caras y tres cruces?
Solución.
56
23
678
23!5
!5678
!3!5
!8
P 3,5
8 =
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
=
8. ¿Cuántas de las permutaciones formadas por los números {3, 4, 5, 6, 7, 8} empezarán por 3?
¿Cuántas por 64? ¿Cuántas terminarán por 875?
Solución.
- Que empiezan por 3: 1202345!5P5 =⋅⋅⋅==
- Que empiezan por 64: 24234!4P4 =⋅⋅==
- Que acaben en 875: 623!3P3 =⋅==
9. Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con los números {0, 1, 2, 3, 4}.
Solución.
Hay que descontar los números que empiezan por 0.
96241202342345!4!5PP 45 =−=⋅⋅−⋅⋅⋅=−=−
10. ¿De cuántas maneras pueden permutarse las letras de la palabra ESCAPARATE dejando fija
la P y de modo que los lugares ocupados por vocales no puedan ser ocupados por consonantes y
viceversa?
Solución.
- Consonantes: 4P
- Vocales: 3,2
5P
2404534
!32
!345
234
!3!2
!5
!4PP 3,2
54 =⋅⋅⋅=
⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅
⋅=⋅
4
EJERCICIOS DE COMBINACIONES
1. ¿Cuántas comisiones de tres alumnos pueden formarse con los 35 alumnos de una clase?
Solución.
( )
6545
23
333435
!3223
!32333435
!32!3
!35
!335!3
!35
3
35
C3
35 =
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
=
−⋅
=





=
Otra forma
6545
23
333435
P
V
C
3
3
353
35 =
⋅
⋅⋅
==
2. ¿Cuántos equipos de 5 atletas se podrían formar para participar en una competición con los
doce atletas mejor preparados?
Solución.
( )
792
2345
89101112
!72345
!789101112
!7!5
!12
!512!5
!12
5
12
C5
12 =
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=
−⋅
=





=
Otra forma
792
2345
89101112
P
V
C
5
5
125
12 =
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
==
3. En una carrera en la que toman parte 8 caballos se juega una apuesta que consiste en acertar
los dos primeros sin tener en cuenta el orden. ¿Cuántas apuestas diferentes pueden jugarse en esa carrera?
Solución.
28
!2
78
P
V
2
8
C
2
2
82
8 =
⋅
==





=
4. De los 48 trabajadores de una empresa se presentan 6 como candidatos a ocupar dos puestos
de representante de los trabajadores. ¿Cuántas elecciones son posibles?
Solución.
51227112
23456
434445464748
P
V
6
48
C
6
6
486
48 =
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
==





=
5. En un salón hay 6 matrimonios. Se eligen al azar dos de esas personas:
a) ¿Cuántas elecciones distintas son posibles?
b) ¿En cuántas de las elecciones posibles habrá dos hombres?
c) ¿En cuántas habrá una mujer y un hombre?
d) ¿En cuántas de las posibles elecciones habrá un matrimonio?
Solución.
a. 66
!2
1112
P
V
2
12
C
2
2
122
12 =
⋅
==





=
b. 15
!2
56
P
V
2
6
C
2
2
62
6 =
⋅
==





=
c. 3666
P
V
P
V
1
6
1
6
CC
1
1
6
1
1
61
6
1
6 =⋅=⋅=





⋅





=⋅
d. Existen seis matrimonios, por lo tanto 6.
6. En una línea férrea hay 18 estaciones. Si el tren para en todas las estaciones, ¿cuántos viajes
distintos pueden realizarse entre ellas?
Solución.
Hay que escoger la estación de salida y la de llegada, no influyendo el orden porque se
sobreentiende que es lo mismo el viaje de A a B que de B a A.
153
2
1718
P
V
2
18
C
2
2
182
18 =
⋅
==





=
5
7. Un alumno puede elegir 3 entre sus 15 compañeros de clase para realizar un viaje, ¿cuántas
elecciones distintas pueden hacerse?
Solución.
455
23
131415
P
V
3
15
C
3
3
153
15 =
⋅
⋅⋅
==





=
8. Con 5 clase de vino, ¿cuántas mezclas se pueden formar de tres vinos?
Solución.
10
23
345
P
V
3
5
C
3
3
53
5 =
⋅
⋅⋅
==





=
9. De cuántas formas posibles pueden elegirse dos botellas entre 18 existentes.
Solución.
153
2
1718
P
V
2
18
C
2
2
182
18 =
⋅
==





=
10. Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20 y 50 gr, ¿cuántas pesadas posibles pueden realizarse?
Solución.
=+++++=+++++
6
6
6
5
5
6
4
4
6
3
3
6
2
2
6
1
1
66
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
P
V
P
V
P
V
P
V
P
V
P
V
CCCCCC
63161520156
23456
23456
2345
23456
234
3456
23
456
2
56
1
6
=+++++=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
+
⋅⋅
⋅⋅⋅
+
⋅
⋅⋅
+
⋅
+=
6
EJERCICIOS DE COMBINATORIA
1. 10 amigos juegan 3 partidas de bolos y al final de cada una anotan el vencedor. ¿Cuántos
resultados podrían producirse?
Solución.
Influye orden (1ª, 2ª y 3ª partida), influyen elementos, y se pueden repetir.
100010VR 33
10 ==
2. En una reunión a la que asisten 8 personas, ¿cuántos saludos se intercambian?
Solución.
Influyen solo los elementos y no se pueden repetir.
28
!2
78
P
V
2
8
C
2
2
82
8 =
⋅
==





=
3. En una competición en la que participan 16 atletas, se dan tres medallas, oro, plata y bronce.
¿De cuántas formas pueden llevarse las medallas?
Solución.
Influyen orden y elementos y no se pueden repetir.
3360141516V3
16 =⋅⋅=
4. ¿De cuántas formas pueden repartirse 6 entradas numeradas para un concierto de rock 6
amigas?
Solución.
Solo influye el orden.
72023456!6P6 =⋅⋅⋅⋅==
5. En un torneo regional de ajedrez participan 18 jugadores y se clasifican tres de ellos para pasar
a la final. ¿Cuántas posibles clasificaciones hay?
Solución.
Solo influyen los elementos, no influye orden porque no se clasifican como 1º, 2º y 3º.
816
23
161718
P
V
3
18
C
3
3
183
18 =
⋅
⋅⋅
==





=
6. Un representante tiene que visitar cuatro pueblos A, B, C, D que comunican todos entre sí.
¿Cuántos itinerarios distintos podría hacer?
Solución.
Solo influye el orden
24234!4P4 =⋅⋅==
7. Calcular cuantos productos diferentes de dos factores se pueden formar con los dígitos 2, 3 y
5:
a) Sin repetición de factores.
b) Pudiendo repetirse los factores.
Solución.
Teniendo en cuenta que el producto de factores es conmutativo, solo influye el orden.
a. 3
2
23
P
V
C
2
2
32
3 =
⋅
==
b. 6
2
34
P
V
CCCR
2
2
42
4
2
123
2
3 =
⋅
==== −+
7
8. Te dan seis puntos sobre una circunferencia. ¿Cuántos segmentos podrías trazar al unirlos de
dos en dos? ¿Cuántos triángulos podrías formar con esos 6 puntos?
Solución.
Solo influye el orden:
- Número de segmentos: 15
!2
56
P
V
2
6
C
2
2
62
6 =
⋅
==





=
- Número de triángulos: 20
23
456
P
V
3
6
C
3
3
63
6 =
⋅
⋅⋅
==





=
9. Cuántos mensajes podría mandar utilizando el punto y la raya del alfabeto Morse que tengan
seis símbolos.
Solución.
Influyen orden y elementos y se pueden repetir.
642VR 66
2 ==
10. Las franjas de una diana están numeradas del 1 al 17. Un jugador anota las puntuaciones al
tirar tres dardos, ¿cuántas anotaciones distintas podría escribir?
Solución.
Teniendo en cuanta que existe 1ª, 2ª y 3ª tirada, influye orden y elementos.
491317VR 33
17 ==
11. Con las letras de la palabra Carlos, ¿cuántas palabras podrían escribirse? ¿Cuántas de ellas
tienen las vocales separadas?
Solución.
Solo influye el orden.
Total de palabras: 72023456P6 =⋅⋅⋅⋅=
Palabras con las vocales separadas. Se calculan como diferencia entre las totales y las palabras
que llevan las vocales juntas.
Vocales juntas: Se consideran ambas vocales como una sola letra, siendo entonces
permutaciones de cinco, pero hay que multiplicar por dos porque para cada ordenación habrá dos posible
posiciones de las vocales “ao” ó “oa”. 5P2⋅
Vocales separadas: 4802345223456P2P
56 PP
56 =⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅− 4342143421
12. Resuelve 20V 2,x =
Solución.
( ) 201xxVV 2
x2,x =−⋅==



>−=
=
=−−
0x:sentidotieneNo4x
5x
:020xx2
x = 5
13. Cuántas matrículas hay de la forma:
321321
NúmerosLetras
_______ −
Solución.
Influye orden y elementos, y se pueden repetir. Considerando el alfabeto español, sin tener en
cuenta las letras dobles, hay 27 letras.
Matrículas1083,1961027VRVR 6434
10
3
27 ×=⋅=⋅
8
14. En el lenguaje de los ordenadores un "Byte" es una secuencia de 8 dígitos formada por 0 y 1
de la forma, por ejemplo 00101101. ¿Cuántos bytes diferentes se pueden formar? ¿Cuántos tienen
exactamente 4 ceros y 4 unos?
Solución.
Se consideran los bytes formados 4 ceros y cuatro 1, por lo tanto solo influye el orden y hay
elementos repetidos.
70
234
5678
!4234
!45678
!4!4
!8
P 4,4
8 =
⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=
15. Cuántos números de tres cifras pares distintas son mayores que 500.
Solución.
Se trata de hacer números de tres cifras diferentes con los dígitos 0, 2, 4, 6, 8, que sean mayores
de 500. Influye el orden, los elementos y no se puede repetir, variaciones ordinarias. Se calculan todas las
posibles y se le restan las que empiezan por 0, 2 y 4, que serán las menores de 500.
{ { {
24343345V3VVVVV 2
4
3
5
__4
2
4
__2
2
4
__0
2
4
3
5 =⋅⋅−⋅⋅=⋅−=−−−
16. Resuelve:
a) 2,x4,x V20V ⋅=
b) 2xx P30P −⋅=
c) 2,n3,n V4C ⋅=
Solución.
a. 2,x4,x V20V ⋅= : ( ) ( ) ( ) ( )1xx203x2x1xx −⋅⋅=−⋅−⋅−⋅
Se simplifica los factores comunes y queda una ecuación de 2º grado.
( ) ( ) 203x2x =−⋅− : 206x5x2
=+− : 014x5x2
=−− :



=
−=
Válida:7x
válidaNo:2x
b. 2xx P30P −⋅= : ( )!2x30!x −⋅= : ( ) ( ) ( )!2x30!2x1xx −⋅=−⋅−⋅
Se simplifican los factoriales y queda una ecuación de segundo grado.
( ) 301xx =−⋅ :



=
−=
=−−
Válida:6x
válidaNo:5x
:030xx2
c. 2,n3,n V4C ⋅= : 2n.
3
3n,
V4
P
V
⋅= :
( ) ( ) ( )1nn4
23
2n1nn
−⋅⋅=
⋅
−⋅−⋅
Se simplifican los factores comunes y quedando una ecuación de 1º grado.
( ) 4
6
2n
=
−
: 26n =
17. En un plano hay 4 puntos rojos, 5 verdes y 6 azules, entre los cuales no hay tres alineados.
Hallar el número de rectas determinadas por:
a) Dos puntos de color rojo.
b) Dos puntos de mismo color.
c) Dos puntos de distinto color.
d) Un punto de color rojo y otro de color verde o azul.
Solución.
La recta que pasa por dos puntos es la misma independientemente del orden en que se tomen los
puntos, por lo tanto, solo influyen los elementos, son combinaciones.
a) Dos puntos de color rojo: 6
2
12
!2
34
P
V
C
2
2
42
4 ==
⋅
==
b) Dos puntos de mismo color: Es la suma de las rectas que forman los puntos de color rojo mas la
que forman los puntos de color verde mas las que forman los de color azul.
3115106
!2
56
!2
45
!2
34
P
V
P
V
P
V
CCC
2
2
6
2
2
5
2
2
42
6
2
5
2
4 =++=
⋅
+
⋅
+
⋅
=++=++
9
c) Dos puntos de distinto color: Se calculan como diferencia entre las totales menos las que forman
dos puntos de igual color.
( ) 743110531
!2
1415
31
P
V
CCCC
2
2
152
6
2
5
2
4
2
15 =−=−
⋅
=−=++−
d) Un punto de color rojo y otro de color verde o azul: Cada punto rojo forma una recta con cada
punto verde ó azul, se multiplica el número de puntos rojos por la suma de verdes y azules:
( ) 44654 =+⋅
18. Un tren tiene un vagón de 1ª, tres de 2ª, un coche restaurante, cuatro coches cama y una
locomotora. ¿De cuántas formas podemos formar el tren?
Solución.
Solo influye el orden, lo único que se puede hacer es cambiar el orden de los vagones. Hay que
tener en cuenta que existen vagones de mismo tipo y por tanto serán permutaciones con elementos
repetidos. La máquina solo puede ocupar la primera o la última posición, se tendrá en cuenta
multiplicando por 2 las permutaciones de los vagones.
Nº total de vagones = 1 + 3 + 1+ 4 = 9
Nº de trenes = 5040
!4!3
!9
2P2 43,
9 =
⋅
⋅=⋅
19. ¿De cuántas formas posibles pueden subir 6 personas en dos ascensores de 4 y 2 plazas
respectivamente? Hazlo de dos formas distintas y explica por qué es posible.
Solución.
Solo influyen los elementos, son combinaciones. Se puede calcular de dos formas diferentes, se
pueden escoger las cuatro personas que suben por el grande y las dos restantes subirán por el pequeño,
combinaciones de 6 elementos tomadas de cuatro en cuatro, ó se pueden seleccionar las dos que suben
por el pequeño y las restantes subirán en el grande, combinaciones de seis elementos tomadas de dos en
dos.
15
2
56
!2!4
!6
2
6
4
6
CC 2
6
4
6 =
⋅
=
⋅
=





=





==
20. De una baraja de cuarenta cartas se extraen sucesivamente y sin devolución dos cartas.
a) ¿Cuántos resultados distintos pueden darse?
b) ¿En cuántos resultados las dos cartas son oros?
c) ¿En cuántos resultados las dos cartas son del mismo palo?
d) ¿En cuántos resultados las dos cartas son de distinto palo?
e) ¿En cuántos resultados habrá un "as" y un "rey"?
f) ¿En cuántos resultados una de las dos cartas es un rey?
Solución.
a. Influye orden (sucesivamente) y elementos, no se pueden repetir.
15603940V2
40 =⋅=
b. Influye orden (sucesivamente) y elementos, no se pueden repetir, el cálculo se restringe a los
oros.
90910V2
10 =⋅=
c. Igual que el anterior, pero se repite cuatro veces, una por cada palo.
3609104V4VVVV 2
10
2
10
2
10
2
10
2
10 =⋅⋅==+++
d. Se obtiene por diferencia entre el número total de posibilidades menos las que las dos cartas son
iguales.
12003601560igualesdosTotal =−=−
e. Cada as puede ir acompañado de un rey (4×4), y se multiplica por dos porque puede ser as/rey o
rey/as.
32244 =⋅⋅
10
f. Parecido al anterior, cada rey puede ir acompañado de una de las 36 cartas que no son rey, y
multiplicado por dos por el orden.
2882364 =⋅⋅
21. Una bolsa contiene 6 bolas blancas y 4 bolas rojas. Se extraen dos bolas. Cuántos resultados
pueden producirse que tengan:
a) Las dos bolas blancas.
b) Las dos bolas rojas.
c) Una bola de cada color.
Solución.
a. Solo influyen los elementos, combinaciones.
15
2
56
P
V
2
6
C
2
2
62
6 =
⋅
==





=
b. Solo influyen los elementos, combinaciones.
6
2
34
P
V
2
4
C
2
2
42
4 =
⋅
==





=
c. Por diferencia entre las totales menos las que sean de igual color.
( ) ( ) 24615
2
910
2
4
2
6
2
10
CCC 2
4
2
6
2
10 =+−
⋅
=













+





−





=+−
22. La mesa presidencial de un acto público es circular y está formada por 8 personas. ¿De
cuántas formas pueden colocarse estas personas en la mesa presidencial si solamente el presidente tiene
un puesto fijo? Si el presidente quiere tener a su lado al secretario, ¿de cuántas formas se pueden colocar?
Solución.
Solo influye el orden, permutaciones circulares, no se tiene en cuenta al presidente por que
tienen posición fija.
( ) 720!6!17PC7 ==−=
Si el secretario ha de sentarse junto al presidente, solo permutamos seis posiciones, que se
multiplican por dos debido al orden en que se sienten presidente y secretario.
( ) 402!52!162PC2 2 =⋅=−⋅=⋅
23. ¿Cuántos números de 5 cifras existen en el sistema decimal que sean capicúas? ¿Y de 6
cifras?
Solución.
Un número capicúa es el que se lee de igual forma de izquierda a derecha que de derecha a
izquierda.
Si el número tiene cinco dígitos, se escogen los dos primeros teniendo en cuenta que influye el
orden, los elementos, se pueden repetir y la primera cifra no puede ser cero.
1
10
2
10 VVR −
1
10V ≡ Los que empiezan por cero, que serian de cinco dígitos
En la posición central puede ir cualquiera de los diez dígitos, se multiplica por 10,
Los dos últimos se repiten como los primeros pero invirtiendo el orden, teniendo en cuenta esto:
( ) ( ) 9001010010VVR10capicuásnº 1
10
2
10 =−⋅=−⋅=
De seis dígitos, se escogen los tres primeros teniendo en cuenta que influye el orden, los
elementos, se pueden repetir y el primero no puede ser cero, y los tres últimos se repiten en orden inverso.
9001001000VRVR 2
10
3
10 =−=−
11
24. De un conjunto formado por 5 chicos y 4 chicas hay que formar una comisión compuesta por
3 personas.
a) ¿Cuántas comisiones pueden formarse?
b) ¿En cuántas comisiones figurar solamente una chica?
c) ¿Y al menos dos chicas?
Solución.
a. Solo influyen los elementos, para que dos comisiones sean distintas, al menos una persona será
diferente, combinaciones.
84
23
789
P
V
3
9
C
3
3
93
9 =
⋅
⋅⋅⋅
==





=
b. Serán las comisiones formadas por una chica y dos chicos.
60
2
65
4
P
V
4C4
2
2
52
5 =
⋅
⋅=⋅=⋅
c. Serán la suma de las formadas por dos chicas y un chico más las formadas por tres chicas.
34
34
234
2
34
5
P
V
P
V
5CC5
3
3
4
2
2
43
4
2
4 =
⋅
⋅⋅
+
⋅
⋅=+⋅=+⋅
25. ¿Cuántos números de 5 cifras pueden formarse con las cifras 2, 3, 4, 5 y 6 que sean menores
que 65000?
Solución.
Solo influye el orden, a todos los posibles números de cinco cifras, le restamos todos los que
empiecen por 65.
1166120!3!5PP 35 =−=−=−
26. Se lanzan dos monedas distintas y un dado, ¿cuántos resultados diferentes pueden darse?
Solución.
Por cada cara que muestre el dado, se añaden los posibles resultados de dos monedas diferentes.
2426VR6 22
2 =⋅=⋅
27. Con los números {1, 2, 3, 4, 5}:
a) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir?
b) ¿Cuántos son capicúas?
c) Calcular la suma de todos ellos.
Solución.
a. Influye orden, elementos y se pueden repetir.
1255VR 33
5 ==
b. Se escogen los dos primeros y el tercero se repite adecuadamente para que sea capicúa.
255VR 22
5 ==
c. Se suman por separado las centenas, las decenas y la unidades.
( ) ( ) ( ) =⋅⋅+++++⋅⋅+++++⋅⋅++++ 2
5
2
5
2
5 VR112345VR1012345VR10012345
416251112515251152510152510015 =⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
28. Entre los 30 alumnos de clase se quieren formar equipos de dos alumnos para jugar al tenis.
a) ¿Cuántos equipos se pueden formar?
b) ¿En cuántos interviene un mismo alumno?
Solución.
a. Solo influyen los elementos, combinaciones.
435
2
2930
P
V
2
30
C
2
2
302
30 =
⋅
==





=
12
b. En 29 equipos, una con cada compañero. 29
1
29
P
V
1
29
C
1
1
291
29 ===





=
29. Calcular cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con los dígitos
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} que estén comprendidos entre 400 y 600.
Solución.
Serán los cuatrocientos y los quinientos. Influyen los elementos, el orden y no se pueden repetir.
{ {
7266VV 22
__4
2
6
__5
2
6 =+=+
30. Con los siete colores de arco iris cuantas banderas horizontales o verticales se pueden hacer
teniendo en cuenta:
a) Tricolor
b) Bicolor con tres franjas
Solución.
a. Influye orden elementos y no se puede repetir, se multiplica por dos por las posibilidades de
horizontal y vertical.
4205672V2 3
7 =⋅⋅⋅=⋅
b. Se seleccionan dos colores sin importar el orden, por cada combinación se pueden obtener dos
banderas de tres franjas bicolor. Ejemplo:



−−
−−
−
RAR
ARA
:AR
42
2
67
2
2
7
2C2 2
7 =
⋅
⋅=





⋅=⋅

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  • 1. 1 EJERCICIOS DE VARIACIONES 1. Cuántos resultados distintos pueden producirse al lanzar una moneda cuatro veces al aire. Solución. Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 2, n = 4. 162VR 4 4,2 == 2. Cuántos números de cuatro cifras distintos pueden formarse con los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Solución. Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 7, n = 4. 8404567V 4,7 =⋅⋅⋅= 3. ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir tres juguetes diferentes entre cuatro niños, de manera que ningún niño tenga más de un juguete? Solución. Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 4 (niños), n = 3(juguetes). 24234V 3,4 =⋅⋅= 4. ¿De cuántas formas diferentes se pueden distribuir cinco bolas distintas en tres cajas diferentes? Solución. Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 5 (bolas), n = 3 (cajas). 60345V 4,7 =⋅⋅= 5. En un examen se proponen diez preguntas; cada pregunta tiene tres respuestas posibles (a,b,c). Si se contestan al azar, ¿cuántos exámenes distintos pueden producirse? Solución. Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 3 (a, b, c), n = 10 (10 respuestas). 590493VR 10 10,3 == 6. Se extraen sucesivamente dos bolas de una bolsa que contiene seis de diferentes colores. ¿Cuántos resultados distintos pueden producirse? a) Con devolución. b) Sin devolución. Solución. Influye orden y elementos. m = 6 (colores), n = 2 (extracciones). a) Admite repetición: 366VR 2 2,6 == b) No admite repetición. 3056V 2,6 =⋅= 7. El viaje de la ciudad A a la ciudad B se puede realizar por cinco carreteras distintas. ¿De cuántas formas puede realizarse el viaje de ida y vuelta? Solución. Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 5 (carreteras), n = 2 (viajes, ida y vuelta). 255VR 2 2,5 == 8. De A a B puede irse en coche, avión, moto, tren o barco. ¿De cuántas formas posibles se puede hacer el viaje de ida y vuelta? Solución. Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 5 (tipo de trasporte), n = 2 (viajes, ida y vuelta). 255VR 2 2,5 ==
  • 2. 2 9. Resuelve: Vm, 2 + Vm−2, 2 + Vm−4, 2 =98. Solución. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 985m4m3m2m1mm =−⋅−+−⋅−+−⋅ Se opera y se ordena, obteniendo una ecuación de 2º grado. 072m15m3 2 =−− Resolviendo se obtiene    = −= 8m 3m . Se admite solo la positiva 10. Una matrícula de coche de un país europeo esta formada por 3 letras elegidas entre 27 y 4 números escogidos entre los números comprendidos entre 0 y 9. ¿Cuántos coches se pueden matricular en cada país con este sistema? Solución. Formas de escoger tres letras: Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 27, n = 3. 1968327VR 3 3,27 == Formas de escoger cuatro números. 1000010VR 4 4,10 == Cada combinación de letras se puede formar una matrícula con cada combinación numérica, y viceversa, por tanto: nº matrículas = 1968300001027VRVR 43 4,103,27 =⋅=⋅ 11. Tiras dos dados diferentas al aire. ¿Cuántos resultados distintos pueden producirse? Solución. Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. m = 6 (caras), n = 2 (dados). 366VR 2 2,6 == EJERCICIOS DE PERMUTACIONES 1. Resolver: 1m1m 3,2 m PCPP −− =+ Solución. ( ) ( )( )!11m!1m !3!2 !m −−=−+ ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!2m!2m1m 232 !2m1mm −=−⋅−+ ⋅⋅ −⋅−⋅ Se simplifica ( )!2m − , se opera y se obtiene una ecuación de 2º grado. ( ) ( ) 11m 12 1mm =−+ −⋅ : 02m 12 mm2 =−+ − : 024m11m2 =−+ 2. De Cuántas formas distintas pueden sentarse cuatro personas alrededor de una mesa. Solución. ( ) 623¡3¡14PC4 =⋅==−= 3. De Cuántas formas pueden alinearse dos chicas y tres chicos. Solución. 10 2 45 3¡2 ¡345 3¡¡2 ¡5 P 3,2 5 = ⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ =
  • 3. 3 4. De Cuántas formas pueden actuar en T.V. cuatro cantantes y tres humoristas. Solución. 35 23 567 23¡4 ¡4567 3¡¡4 ¡7 P 3,4 7 = ⋅ ⋅⋅ = ⋅⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ = 5. De Cuántas formas distintas puede obtenerse la suma 8 al lanzar tres dados distintos y sumar los números aparecidos. Solución. Posibilidades de suma 8 con tres dados: 6 + 1 + 1: 3 2 23 !2 !3 P2 3 = ⋅ == 5 + 2 + 1: 623!3P3 =⋅== 4 + 3 + 1: 623!3P3 =⋅== 4 + 2 + 2: 3 2 23 !2 !3 P2 3 = ⋅ == 3 + 3 + 2: 3 2 23 !2 !3 P2 3 = ⋅ == Total = 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21 6. De cuántas formas pueden ordenarse siete personas, entre las que figuran Juan y María de manera que Juan y María estén colocados uno al lado de otro. Solución. Se debe considerar que Juan y Maria forman una solo persona, y se multiplica por 2 ya que para cada ordenación existen dos posibles posiciones de Juan y Maria. 1440234562!62P2 6 =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅ 7. Se lanza una moneda ocho veces seguidas y se anotan sucesivamente los resultados obtenidos en cada uno de los lanzamientos. Los ocho lanzamientos constituyen una experiencia. ¿En cuántas experiencias se pueden obtener cinco caras y tres cruces? Solución. 56 23 678 23!5 !5678 !3!5 !8 P 3,5 8 = ⋅ ⋅⋅ = ⋅⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ = 8. ¿Cuántas de las permutaciones formadas por los números {3, 4, 5, 6, 7, 8} empezarán por 3? ¿Cuántas por 64? ¿Cuántas terminarán por 875? Solución. - Que empiezan por 3: 1202345!5P5 =⋅⋅⋅== - Que empiezan por 64: 24234!4P4 =⋅⋅== - Que acaben en 875: 623!3P3 =⋅== 9. Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con los números {0, 1, 2, 3, 4}. Solución. Hay que descontar los números que empiezan por 0. 96241202342345!4!5PP 45 =−=⋅⋅−⋅⋅⋅=−=− 10. ¿De cuántas maneras pueden permutarse las letras de la palabra ESCAPARATE dejando fija la P y de modo que los lugares ocupados por vocales no puedan ser ocupados por consonantes y viceversa? Solución. - Consonantes: 4P - Vocales: 3,2 5P 2404534 !32 !345 234 !3!2 !5 !4PP 3,2 54 =⋅⋅⋅= ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅= ⋅ ⋅=⋅
  • 4. 4 EJERCICIOS DE COMBINACIONES 1. ¿Cuántas comisiones de tres alumnos pueden formarse con los 35 alumnos de una clase? Solución. ( ) 6545 23 333435 !3223 !32333435 !32!3 !35 !335!3 !35 3 35 C3 35 = ⋅ ⋅⋅ = ⋅⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ = −⋅ =      = Otra forma 6545 23 333435 P V C 3 3 353 35 = ⋅ ⋅⋅ == 2. ¿Cuántos equipos de 5 atletas se podrían formar para participar en una competición con los doce atletas mejor preparados? Solución. ( ) 792 2345 89101112 !72345 !789101112 !7!5 !12 !512!5 !12 5 12 C5 12 = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ = ⋅ = −⋅ =      = Otra forma 792 2345 89101112 P V C 5 5 125 12 = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ == 3. En una carrera en la que toman parte 8 caballos se juega una apuesta que consiste en acertar los dos primeros sin tener en cuenta el orden. ¿Cuántas apuestas diferentes pueden jugarse en esa carrera? Solución. 28 !2 78 P V 2 8 C 2 2 82 8 = ⋅ ==      = 4. De los 48 trabajadores de una empresa se presentan 6 como candidatos a ocupar dos puestos de representante de los trabajadores. ¿Cuántas elecciones son posibles? Solución. 51227112 23456 434445464748 P V 6 48 C 6 6 486 48 = ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ ==      = 5. En un salón hay 6 matrimonios. Se eligen al azar dos de esas personas: a) ¿Cuántas elecciones distintas son posibles? b) ¿En cuántas de las elecciones posibles habrá dos hombres? c) ¿En cuántas habrá una mujer y un hombre? d) ¿En cuántas de las posibles elecciones habrá un matrimonio? Solución. a. 66 !2 1112 P V 2 12 C 2 2 122 12 = ⋅ ==      = b. 15 !2 56 P V 2 6 C 2 2 62 6 = ⋅ ==      = c. 3666 P V P V 1 6 1 6 CC 1 1 6 1 1 61 6 1 6 =⋅=⋅=      ⋅      =⋅ d. Existen seis matrimonios, por lo tanto 6. 6. En una línea férrea hay 18 estaciones. Si el tren para en todas las estaciones, ¿cuántos viajes distintos pueden realizarse entre ellas? Solución. Hay que escoger la estación de salida y la de llegada, no influyendo el orden porque se sobreentiende que es lo mismo el viaje de A a B que de B a A. 153 2 1718 P V 2 18 C 2 2 182 18 = ⋅ ==      =
  • 5. 5 7. Un alumno puede elegir 3 entre sus 15 compañeros de clase para realizar un viaje, ¿cuántas elecciones distintas pueden hacerse? Solución. 455 23 131415 P V 3 15 C 3 3 153 15 = ⋅ ⋅⋅ ==      = 8. Con 5 clase de vino, ¿cuántas mezclas se pueden formar de tres vinos? Solución. 10 23 345 P V 3 5 C 3 3 53 5 = ⋅ ⋅⋅ ==      = 9. De cuántas formas posibles pueden elegirse dos botellas entre 18 existentes. Solución. 153 2 1718 P V 2 18 C 2 2 182 18 = ⋅ ==      = 10. Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20 y 50 gr, ¿cuántas pesadas posibles pueden realizarse? Solución. =+++++=+++++ 6 6 6 5 5 6 4 4 6 3 3 6 2 2 6 1 1 66 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 P V P V P V P V P V P V CCCCCC 63161520156 23456 23456 2345 23456 234 3456 23 456 2 56 1 6 =+++++= ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ + ⋅⋅ ⋅⋅⋅ + ⋅ ⋅⋅ + ⋅ +=
  • 6. 6 EJERCICIOS DE COMBINATORIA 1. 10 amigos juegan 3 partidas de bolos y al final de cada una anotan el vencedor. ¿Cuántos resultados podrían producirse? Solución. Influye orden (1ª, 2ª y 3ª partida), influyen elementos, y se pueden repetir. 100010VR 33 10 == 2. En una reunión a la que asisten 8 personas, ¿cuántos saludos se intercambian? Solución. Influyen solo los elementos y no se pueden repetir. 28 !2 78 P V 2 8 C 2 2 82 8 = ⋅ ==      = 3. En una competición en la que participan 16 atletas, se dan tres medallas, oro, plata y bronce. ¿De cuántas formas pueden llevarse las medallas? Solución. Influyen orden y elementos y no se pueden repetir. 3360141516V3 16 =⋅⋅= 4. ¿De cuántas formas pueden repartirse 6 entradas numeradas para un concierto de rock 6 amigas? Solución. Solo influye el orden. 72023456!6P6 =⋅⋅⋅⋅== 5. En un torneo regional de ajedrez participan 18 jugadores y se clasifican tres de ellos para pasar a la final. ¿Cuántas posibles clasificaciones hay? Solución. Solo influyen los elementos, no influye orden porque no se clasifican como 1º, 2º y 3º. 816 23 161718 P V 3 18 C 3 3 183 18 = ⋅ ⋅⋅ ==      = 6. Un representante tiene que visitar cuatro pueblos A, B, C, D que comunican todos entre sí. ¿Cuántos itinerarios distintos podría hacer? Solución. Solo influye el orden 24234!4P4 =⋅⋅== 7. Calcular cuantos productos diferentes de dos factores se pueden formar con los dígitos 2, 3 y 5: a) Sin repetición de factores. b) Pudiendo repetirse los factores. Solución. Teniendo en cuenta que el producto de factores es conmutativo, solo influye el orden. a. 3 2 23 P V C 2 2 32 3 = ⋅ == b. 6 2 34 P V CCCR 2 2 42 4 2 123 2 3 = ⋅ ==== −+
  • 7. 7 8. Te dan seis puntos sobre una circunferencia. ¿Cuántos segmentos podrías trazar al unirlos de dos en dos? ¿Cuántos triángulos podrías formar con esos 6 puntos? Solución. Solo influye el orden: - Número de segmentos: 15 !2 56 P V 2 6 C 2 2 62 6 = ⋅ ==      = - Número de triángulos: 20 23 456 P V 3 6 C 3 3 63 6 = ⋅ ⋅⋅ ==      = 9. Cuántos mensajes podría mandar utilizando el punto y la raya del alfabeto Morse que tengan seis símbolos. Solución. Influyen orden y elementos y se pueden repetir. 642VR 66 2 == 10. Las franjas de una diana están numeradas del 1 al 17. Un jugador anota las puntuaciones al tirar tres dardos, ¿cuántas anotaciones distintas podría escribir? Solución. Teniendo en cuanta que existe 1ª, 2ª y 3ª tirada, influye orden y elementos. 491317VR 33 17 == 11. Con las letras de la palabra Carlos, ¿cuántas palabras podrían escribirse? ¿Cuántas de ellas tienen las vocales separadas? Solución. Solo influye el orden. Total de palabras: 72023456P6 =⋅⋅⋅⋅= Palabras con las vocales separadas. Se calculan como diferencia entre las totales y las palabras que llevan las vocales juntas. Vocales juntas: Se consideran ambas vocales como una sola letra, siendo entonces permutaciones de cinco, pero hay que multiplicar por dos porque para cada ordenación habrá dos posible posiciones de las vocales “ao” ó “oa”. 5P2⋅ Vocales separadas: 4802345223456P2P 56 PP 56 =⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅− 4342143421 12. Resuelve 20V 2,x = Solución. ( ) 201xxVV 2 x2,x =−⋅==    >−= = =−− 0x:sentidotieneNo4x 5x :020xx2 x = 5 13. Cuántas matrículas hay de la forma: 321321 NúmerosLetras _______ − Solución. Influye orden y elementos, y se pueden repetir. Considerando el alfabeto español, sin tener en cuenta las letras dobles, hay 27 letras. Matrículas1083,1961027VRVR 6434 10 3 27 ×=⋅=⋅
  • 8. 8 14. En el lenguaje de los ordenadores un "Byte" es una secuencia de 8 dígitos formada por 0 y 1 de la forma, por ejemplo 00101101. ¿Cuántos bytes diferentes se pueden formar? ¿Cuántos tienen exactamente 4 ceros y 4 unos? Solución. Se consideran los bytes formados 4 ceros y cuatro 1, por lo tanto solo influye el orden y hay elementos repetidos. 70 234 5678 !4234 !45678 !4!4 !8 P 4,4 8 = ⋅⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = ⋅ = 15. Cuántos números de tres cifras pares distintas son mayores que 500. Solución. Se trata de hacer números de tres cifras diferentes con los dígitos 0, 2, 4, 6, 8, que sean mayores de 500. Influye el orden, los elementos y no se puede repetir, variaciones ordinarias. Se calculan todas las posibles y se le restan las que empiezan por 0, 2 y 4, que serán las menores de 500. { { { 24343345V3VVVVV 2 4 3 5 __4 2 4 __2 2 4 __0 2 4 3 5 =⋅⋅−⋅⋅=⋅−=−−− 16. Resuelve: a) 2,x4,x V20V ⋅= b) 2xx P30P −⋅= c) 2,n3,n V4C ⋅= Solución. a. 2,x4,x V20V ⋅= : ( ) ( ) ( ) ( )1xx203x2x1xx −⋅⋅=−⋅−⋅−⋅ Se simplifica los factores comunes y queda una ecuación de 2º grado. ( ) ( ) 203x2x =−⋅− : 206x5x2 =+− : 014x5x2 =−− :    = −= Válida:7x válidaNo:2x b. 2xx P30P −⋅= : ( )!2x30!x −⋅= : ( ) ( ) ( )!2x30!2x1xx −⋅=−⋅−⋅ Se simplifican los factoriales y queda una ecuación de segundo grado. ( ) 301xx =−⋅ :    = −= =−− Válida:6x válidaNo:5x :030xx2 c. 2,n3,n V4C ⋅= : 2n. 3 3n, V4 P V ⋅= : ( ) ( ) ( )1nn4 23 2n1nn −⋅⋅= ⋅ −⋅−⋅ Se simplifican los factores comunes y quedando una ecuación de 1º grado. ( ) 4 6 2n = − : 26n = 17. En un plano hay 4 puntos rojos, 5 verdes y 6 azules, entre los cuales no hay tres alineados. Hallar el número de rectas determinadas por: a) Dos puntos de color rojo. b) Dos puntos de mismo color. c) Dos puntos de distinto color. d) Un punto de color rojo y otro de color verde o azul. Solución. La recta que pasa por dos puntos es la misma independientemente del orden en que se tomen los puntos, por lo tanto, solo influyen los elementos, son combinaciones. a) Dos puntos de color rojo: 6 2 12 !2 34 P V C 2 2 42 4 == ⋅ == b) Dos puntos de mismo color: Es la suma de las rectas que forman los puntos de color rojo mas la que forman los puntos de color verde mas las que forman los de color azul. 3115106 !2 56 !2 45 !2 34 P V P V P V CCC 2 2 6 2 2 5 2 2 42 6 2 5 2 4 =++= ⋅ + ⋅ + ⋅ =++=++
  • 9. 9 c) Dos puntos de distinto color: Se calculan como diferencia entre las totales menos las que forman dos puntos de igual color. ( ) 743110531 !2 1415 31 P V CCCC 2 2 152 6 2 5 2 4 2 15 =−=− ⋅ =−=++− d) Un punto de color rojo y otro de color verde o azul: Cada punto rojo forma una recta con cada punto verde ó azul, se multiplica el número de puntos rojos por la suma de verdes y azules: ( ) 44654 =+⋅ 18. Un tren tiene un vagón de 1ª, tres de 2ª, un coche restaurante, cuatro coches cama y una locomotora. ¿De cuántas formas podemos formar el tren? Solución. Solo influye el orden, lo único que se puede hacer es cambiar el orden de los vagones. Hay que tener en cuenta que existen vagones de mismo tipo y por tanto serán permutaciones con elementos repetidos. La máquina solo puede ocupar la primera o la última posición, se tendrá en cuenta multiplicando por 2 las permutaciones de los vagones. Nº total de vagones = 1 + 3 + 1+ 4 = 9 Nº de trenes = 5040 !4!3 !9 2P2 43, 9 = ⋅ ⋅=⋅ 19. ¿De cuántas formas posibles pueden subir 6 personas en dos ascensores de 4 y 2 plazas respectivamente? Hazlo de dos formas distintas y explica por qué es posible. Solución. Solo influyen los elementos, son combinaciones. Se puede calcular de dos formas diferentes, se pueden escoger las cuatro personas que suben por el grande y las dos restantes subirán por el pequeño, combinaciones de 6 elementos tomadas de cuatro en cuatro, ó se pueden seleccionar las dos que suben por el pequeño y las restantes subirán en el grande, combinaciones de seis elementos tomadas de dos en dos. 15 2 56 !2!4 !6 2 6 4 6 CC 2 6 4 6 = ⋅ = ⋅ =      =      == 20. De una baraja de cuarenta cartas se extraen sucesivamente y sin devolución dos cartas. a) ¿Cuántos resultados distintos pueden darse? b) ¿En cuántos resultados las dos cartas son oros? c) ¿En cuántos resultados las dos cartas son del mismo palo? d) ¿En cuántos resultados las dos cartas son de distinto palo? e) ¿En cuántos resultados habrá un "as" y un "rey"? f) ¿En cuántos resultados una de las dos cartas es un rey? Solución. a. Influye orden (sucesivamente) y elementos, no se pueden repetir. 15603940V2 40 =⋅= b. Influye orden (sucesivamente) y elementos, no se pueden repetir, el cálculo se restringe a los oros. 90910V2 10 =⋅= c. Igual que el anterior, pero se repite cuatro veces, una por cada palo. 3609104V4VVVV 2 10 2 10 2 10 2 10 2 10 =⋅⋅==+++ d. Se obtiene por diferencia entre el número total de posibilidades menos las que las dos cartas son iguales. 12003601560igualesdosTotal =−=− e. Cada as puede ir acompañado de un rey (4×4), y se multiplica por dos porque puede ser as/rey o rey/as. 32244 =⋅⋅
  • 10. 10 f. Parecido al anterior, cada rey puede ir acompañado de una de las 36 cartas que no son rey, y multiplicado por dos por el orden. 2882364 =⋅⋅ 21. Una bolsa contiene 6 bolas blancas y 4 bolas rojas. Se extraen dos bolas. Cuántos resultados pueden producirse que tengan: a) Las dos bolas blancas. b) Las dos bolas rojas. c) Una bola de cada color. Solución. a. Solo influyen los elementos, combinaciones. 15 2 56 P V 2 6 C 2 2 62 6 = ⋅ ==      = b. Solo influyen los elementos, combinaciones. 6 2 34 P V 2 4 C 2 2 42 4 = ⋅ ==      = c. Por diferencia entre las totales menos las que sean de igual color. ( ) ( ) 24615 2 910 2 4 2 6 2 10 CCC 2 4 2 6 2 10 =+− ⋅ =              +      −      =+− 22. La mesa presidencial de un acto público es circular y está formada por 8 personas. ¿De cuántas formas pueden colocarse estas personas en la mesa presidencial si solamente el presidente tiene un puesto fijo? Si el presidente quiere tener a su lado al secretario, ¿de cuántas formas se pueden colocar? Solución. Solo influye el orden, permutaciones circulares, no se tiene en cuenta al presidente por que tienen posición fija. ( ) 720!6!17PC7 ==−= Si el secretario ha de sentarse junto al presidente, solo permutamos seis posiciones, que se multiplican por dos debido al orden en que se sienten presidente y secretario. ( ) 402!52!162PC2 2 =⋅=−⋅=⋅ 23. ¿Cuántos números de 5 cifras existen en el sistema decimal que sean capicúas? ¿Y de 6 cifras? Solución. Un número capicúa es el que se lee de igual forma de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Si el número tiene cinco dígitos, se escogen los dos primeros teniendo en cuenta que influye el orden, los elementos, se pueden repetir y la primera cifra no puede ser cero. 1 10 2 10 VVR − 1 10V ≡ Los que empiezan por cero, que serian de cinco dígitos En la posición central puede ir cualquiera de los diez dígitos, se multiplica por 10, Los dos últimos se repiten como los primeros pero invirtiendo el orden, teniendo en cuenta esto: ( ) ( ) 9001010010VVR10capicuásnº 1 10 2 10 =−⋅=−⋅= De seis dígitos, se escogen los tres primeros teniendo en cuenta que influye el orden, los elementos, se pueden repetir y el primero no puede ser cero, y los tres últimos se repiten en orden inverso. 9001001000VRVR 2 10 3 10 =−=−
  • 11. 11 24. De un conjunto formado por 5 chicos y 4 chicas hay que formar una comisión compuesta por 3 personas. a) ¿Cuántas comisiones pueden formarse? b) ¿En cuántas comisiones figurar solamente una chica? c) ¿Y al menos dos chicas? Solución. a. Solo influyen los elementos, para que dos comisiones sean distintas, al menos una persona será diferente, combinaciones. 84 23 789 P V 3 9 C 3 3 93 9 = ⋅ ⋅⋅⋅ ==      = b. Serán las comisiones formadas por una chica y dos chicos. 60 2 65 4 P V 4C4 2 2 52 5 = ⋅ ⋅=⋅=⋅ c. Serán la suma de las formadas por dos chicas y un chico más las formadas por tres chicas. 34 34 234 2 34 5 P V P V 5CC5 3 3 4 2 2 43 4 2 4 = ⋅ ⋅⋅ + ⋅ ⋅=+⋅=+⋅ 25. ¿Cuántos números de 5 cifras pueden formarse con las cifras 2, 3, 4, 5 y 6 que sean menores que 65000? Solución. Solo influye el orden, a todos los posibles números de cinco cifras, le restamos todos los que empiecen por 65. 1166120!3!5PP 35 =−=−=− 26. Se lanzan dos monedas distintas y un dado, ¿cuántos resultados diferentes pueden darse? Solución. Por cada cara que muestre el dado, se añaden los posibles resultados de dos monedas diferentes. 2426VR6 22 2 =⋅=⋅ 27. Con los números {1, 2, 3, 4, 5}: a) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir? b) ¿Cuántos son capicúas? c) Calcular la suma de todos ellos. Solución. a. Influye orden, elementos y se pueden repetir. 1255VR 33 5 == b. Se escogen los dos primeros y el tercero se repite adecuadamente para que sea capicúa. 255VR 22 5 == c. Se suman por separado las centenas, las decenas y la unidades. ( ) ( ) ( ) =⋅⋅+++++⋅⋅+++++⋅⋅++++ 2 5 2 5 2 5 VR112345VR1012345VR10012345 416251112515251152510152510015 =⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 28. Entre los 30 alumnos de clase se quieren formar equipos de dos alumnos para jugar al tenis. a) ¿Cuántos equipos se pueden formar? b) ¿En cuántos interviene un mismo alumno? Solución. a. Solo influyen los elementos, combinaciones. 435 2 2930 P V 2 30 C 2 2 302 30 = ⋅ ==      =
  • 12. 12 b. En 29 equipos, una con cada compañero. 29 1 29 P V 1 29 C 1 1 291 29 ===      = 29. Calcular cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} que estén comprendidos entre 400 y 600. Solución. Serán los cuatrocientos y los quinientos. Influyen los elementos, el orden y no se pueden repetir. { { 7266VV 22 __4 2 6 __5 2 6 =+=+ 30. Con los siete colores de arco iris cuantas banderas horizontales o verticales se pueden hacer teniendo en cuenta: a) Tricolor b) Bicolor con tres franjas Solución. a. Influye orden elementos y no se puede repetir, se multiplica por dos por las posibilidades de horizontal y vertical. 4205672V2 3 7 =⋅⋅⋅=⋅ b. Se seleccionan dos colores sin importar el orden, por cada combinación se pueden obtener dos banderas de tres franjas bicolor. Ejemplo:    −− −− − RAR ARA :AR 42 2 67 2 2 7 2C2 2 7 = ⋅ ⋅=      ⋅=⋅