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Derivadas. Teoremas
2º Bachillerato
Esquema
Tasa de variación media en un intervalo
Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b],
contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:
f(b) – f(a)
b – aTm f[a, b] =
La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una
función, en un intervalo, por unidad de variable independiente.
Pendiente positiva Pendiente negativa
Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo
La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en España
entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, donde
x representa el tiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el número
de afiliados expresado en millones.
El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999
es: f(19) – f(0)
19 = 0,1241
Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el
número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000
personas por año.
Tasa de variación instantánea
La tasa de variación instantánea TVI(x) o ti(x), en un punto, es el límite de las tasas
de variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez más
pequeños:
TVI (x) = ti(x) = h
xfhxf
h
)()(
lim
0
−+
→
Derivada de una función en un punto
Si el límite existe y es finito,
la derivada de f(x) en x=p es
Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite.
f '(p) =
h→o
lim
f(p+h) – f(p)
h
h→o
lim
f(p+h) – f(p)
h
Interpretación geométrica de la derivada
Al hacer que h → 0, ocurrirá que
• p + h tiende (se acerca) a p
• Q recorre la curva acercándose a P
• La recta secante a la curva se
convierte en la recta tangente
• La inclinación de la recta secante tiende
a la inclinación de la recta tangente
Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p .
0
( ) ( )
lim ( )
h
f p h f p
f p
h→
+ −
′=
Ecuación de la recta tangente
a
f(a)
αt
αt
Entonces:
• Pendiente de la tangente: mt = f '(a)
• Ecuación de la recta tangente:
t ≡ y – f(a) = f '(a) (x – a)
t
Ecuación de la recta que pasa por un
punto A(a, b) y de pendiente m:
y – b = m (x – a)
Ecuación de la recta normal
Como la tangente y la normal son
perpendiculares sus pendientes son
inversas y cambiadas de signo.
Entonces:
Pendiente de la tangente: mt = f '(p)
Ecuación de la recta tangente:
y – f(p) = f '(p) (x – a)
Pendiente de la normal:
mn = –1/f '(p)
Ecuación de la normal:
y – f(p) = [–1/f '(p)] (x – a)
Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:
y – f(p) = m (x – p)
Derivadas laterales
α
a
β
f '(a+
) = tg α > 0
f '(a–
) = tg β < 0
Por ser f '(a+
) ≠ f '(a–
), f(x) no es
derivable en el punto a.
La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe,
dado por f '(a+
) =
h
xfhxf
h
)()(
lim*
0
−+
+
→
Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y
por la izquierda y las derivadas laterales coinciden.
La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si
existe, dado por f '(a –
) =
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
−+
−−
→
Teorema
Una función derivable en un punto es continua en dicho punto.
( ) ( )
( ) ( )
f a h f a
f a h f a h
h
+ −
+ − = ×
( )0 0
( ) ( )
lim ( ) ( ) lim
h h
f a h f a
f a h f a h
h→ →
+ − 
+ − = × ÷
 
0 0
( ) ( )
lim lim
h h
f a h f a
h
h→ →
+ −
= ×
( ) 0 0f a′= × =
0
lim ( ) ( )
h
f a h f a
→
+ = ( ) es continua enf x x a=
( ) es derivable enf x x= a
Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto
f'(0–
) =
h → 0–
lim
f(a + h) – f(a)
h =
h → 0–
lim
– h
h = –1
Relación continuidad y derivabilidad
Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.
y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto
f'(0+
) =
h → 0+
lim
f(a + h) – f(a)
h =
h → 0+
lim
h
h = 1
Puesto que las derivadas laterales en 0 son
diferentes la función no es derivable en dicho
punto.
= tgα
= tg β
Función derivada
f '(3) =
h→0
lim
f(3 + h) – f(3)
h
=
h→0
lim
(3 + h)2
– 32
h
=
h→0
lim
h (h + 6)
h
= 6
• Derivada de f(x) = x2
en el punto 2:
f '(x) =
h→0
lim
f(x + h) – f(x)
h
=
h→0
lim
(x + h)2
– x2
h
=
h→0
lim
h (h + 2x)
h
= 2x
• Derivada de f(x) = x2
en el punto 3:
f '(2) =
h→0
lim
f(2 + h) – f(2)
h
=
h→0
lim
(2 + h)2
– 22
h
=
h→0
lim
h (h + 4)
h
= 4
Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2
es f '(x) = 2x
Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a
cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.
Para obtener la derivada en x
Consecuencias de la definición de derivada
• La función derivada no identifica totalmente a la función, pues funciones que
se diferencian en una constante, tienen la misma función derivada.
Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante ⇒ f’(x) = g’(x)
h(x)= g(x) + k’ siendo k’ una constante ⇒ h’(x) = g’(x)
Geométricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante una
traslación de vector paralelo al eje Y y módulo k ó k’. Por ello las tangentes a las
tres funciones son paralelas.
Derivadas de operaciones con funciones
Sean f y g dos funciones derivables en un punto x ∈ R y sea c un número real.
Entonces las funciones c·f, f + g, f·g y f/g (si g(x) ≠ 0) son también derivables en x.
• Además se tiene:
(cf)'(x) = cf '(x)
(f + g) '(x) = f '(x) + g'(x)
(f – g) '(x) = f '(x) – g'(x)
(fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)
)(
)(')·()()·('
)( 2
'
xg
xgxfxgxf
x
g
f −
=





Demostración de la regla de derivación del cociente
Enunciado: La derivada de un cociente
)(
)()·()()·(
)()(
)(lim)(·
)()(
lim
)()(
1
lim
)()()()·(
lim
)()·()()(
lim
)()(
1
lim
)()(
)()()()(
lim
)()(
)()()()(
lim
)(
)(
)(
)(
lim
)()(
lim)(
2
''
000
000
00
00
'
)()·()()·(
xg
xgxfxgxf
h
hxgxg
xfxg
h
xfhxf
hxgxg
h
hxgxfxgxf
h
xgxfxghxf
hxgxg
h
hxgxg
hxgxfxghxf
h
hxgxg
hxgxfxghxf
h
xg
xf
hxg
hxf
h
x
g
f
hx
g
f
x
g
f
hhh
hhh
hh
hh
xgxfxgxf
−
=
=




 +−
+
−+
+
=
=




 +−
+
−+
+
=
=
+
+−+
=
+
+−+
=
=






−





+
+
=






−+





=





→→→
→→→
→→
→→
+−
)(
)(')·()()·('
)(
'
2
xg
xgxfxgxf
x
g
f −
=





Derivada de una función compuesta: regla de la cadena
Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota
por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)).
La función h(x) = (2x – 1)2
es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t2
t2
= (2x–1)2x 2x–1 = t
R R
f
R
g
x (2x–1)2
h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)2
= (g o f)(x)
Ejemplo:
Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es
derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es:
(gºf)'(a) = g'(f(a)) .
f '(a)
Ejemplo:
Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)2
⇒
⇒ (gºf)'(x) = g'(f(x)) .
f '(x) = 2(2x – 1) .
(2x – 1)' = 2(2x – 1) .
2
Regla de la cadena: Demostración
[ ]
)('))·(('
)()(
lim·
)()(
))(())((
lim
)()(
lim·
)()(
))(())((
lim
·
))(())((
lim
))(())((
lim'))((
0)()(
00
0
0
)()(
)()(
xgxgf
h
xghxg
xghxg
xgfhxgf
h
xghxg
xghxg
xgfhxgf
h
xgfhxgf
h
xgfhxgf
xgf
hxghxg
hh
h
h
xghxg
xghxg
=
−+
−+
−+
=
=
−+
−+
−+
=
=






 −+
=
−+
=
→→+
→→
→
→
−+
−+
Enunciado: La derivada de la composición de funciones (fog)(x)
es: f ‘(g(x)) · g’(x)
Derivada de la función inversa
• Se denomina función inversa de una función f a una nueva función,
denotada por f–1
, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f–1
(f(x)) = x.
• Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla:
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
Las gráficas de f y f–1
son simétricas respecto a la bisectriz del primer
cuadrante.
X
Y
f(x)
f –1
(x) • (x, f(x))
(f(x), x)
•
Sea f una función definida en un inter-
valo abierto D en el que admite fun-
ción inversa siendo f derivable. Enton-
ces se tiene que, para todo punto
xdel dominio de f-1
en el que f-1
es deri-
vable y en el que f '(f–1
(x)) ≠ 0 la deri-
vada de f–1
viene dada por:
))(('
1
)()'( 1
1
xff
xf −
−
=
Tabla de derivadas de las funciones elementales
Función Derivada
f(x) = sen x f '(x) = cos x
f(x) = cos x f '(x) =– sen x
f(x) = tan x f '(x) =
1
Cos 2
x
f(x) = arcsen x f '(x) =
1
1 – x
2
f(x) = arccos x f '(x) =
–1
1 – x 2
f(x) = arctan x f '(x) =
1
1 + x 2
Función Derivada
f(x) = c (constante) f '(x) = 0
f(x) = x n
f '(x) = n x n – 1
f(x) = e x
f '(x) = e x
f(x) = a
x
(a > 0) f '(x) = a
x
ln a
f(x) = ln x f '(x) =
1
x
f(x) = logax, (a > 0) f '(x) =
1
x ln a
Obtención de la derivada de la función logaritmo neperiano
1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o
Sean ( ) y ( ) ln( ).x
f x e g x x= =
1
1
2. Derivada función recíproca
1
( ) ( ) .
( ( ))
f x
f f x
−
−
′ =
′ } ln
1
( ) x
g x
e
′ =
Vamos a calcular la derivada de ln( )x a partir de la función exponencial
La derivada de es
1
x
ln( )x
Demostración de la derivada de la función seno
Vamos a calcular la derivada de sen( )x
0
0
Como
limcos cos( )
2
2
lim 1
2
h
h
h
x x
h
sen
h
→
→
 
+ = ÷
 
 
 ÷
  =
0
sen( ) sen( )
(sen( )) =lim =
h
x h x
x
h→
+ −
′
Usando la definición de derivada:
0
2 cos sen
2 2
lim
h
h h
x
h→
   
× + × ÷  ÷
   
=
























+=
























+
=
→→
2
2
·
2
coslim
2
2
·
2
cos
lim
00 h
h
sen
h
x
h
h
sen
h
x
hh
La derivada de sen (x) es
Cos (x)
Obtención de la derivada de la función arcoseno
Vamos a calcular la derivada de arcsen( )x
1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o
1
1
2. Derivada función recíproca
1
( ) ( ) .
( ( ))
f x
f f x
−
−
′ =
′ }
1
( )
cos(arcsen( ))
g x
x
′ =
Sean ( ) sen( ) y ( ) arcsen( ).f x x g x x= =
La derivada es:
2
1
1 x−
Como:
( )
2 2
cos(arcsen ) 1 sen(arcsen ) 1x x x= − = −
Obtención de la derivada de la función arco tangente
Vamos a calcular la derivada de arctg( )x
1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o
1
1
2. Derivada función recíproca
1
( ) ( ) .
( ( ))
f x
f f x
−
−
′ =
′
} 2
1
( )
1 tg (arctg( ))
g x
x
′ =
+
Sean ( ) tg( ) y ( ) arctg( ).f x x g x x= =
La derivada es:
2
1
1 x+
Como:
( )tg arctg x x=
Máximos y mínimos relativos
Una función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe un
intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo x
perteneciente al intervalo.
• La función y = x2
– 6x + 8 tiene un mínimo relativo
en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos.
• La función y = x2
– 6x + 8 tiene un mínimo absoluto
en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene
máximo absoluto en su dominio.
• La función y = x2
– 6x + 8 tiene un mínimo absoluto
en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese
mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el
punto (1, 3).
• La función y = x2
– 6x + 8 no tiene máximos ni
mínimos en el intervalo (4, 5).
•m(3, -1)
1 5
Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica)
Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o
mínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0
Si la función es constante
entonces f '(c) = 0
Si A es máximo, la tangente
en x = c es horizontal. Su
pendiente es 0
Si A es mínimo, la tangente
en x = c es horizontal. Su
pendiente es 0
f '(c) = 0
f '(c) = 0
f '(c) = 0
Teorema de Rolle. Interpretación geométrica
Si una función y = f(x) cumple que:
• Es continua en el intervalo cerrado [a, b].
• Es derivable en su interior (a, b).
• f(a) = f(b).
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0.
Geométricamente este teorema expresa que una función que cumpla las hipótesis anteriores
va a tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la tangente es horizontal.
a
f(a)
b
f(b)
f '(c) = 0
=
c
a
f(a)
b
f(b)=
f '(c) = 0
c
a
f(a) f(b)
b
=
f '(c) = 0
c
Teorema de Rolle: Demostración
• Demostración:
• f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene máximo
absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b]. ∀ x ∈ [a,b] m ≤ f(x) ≤ M.
∀ ∃ x1
∈ [a,b] ∋ f(x1
)=M. ∃ x2
∈ [a,b] ∋ f(x2
)=m.
• Si m = M => ∀ x ∈ [a,b] f(x) = M (la función es constante) => f'(x) = 0
• Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1
o x2
, corresponde al
interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo m= f(x2
)=> (a,b) se comporta
como un entorno de x2. Se cumple que ∀ x ∈ (a,b) f(x2
) ≤ f(x) por lo que
f presenta un mínimo relativo en x2
. (1)
• f es derivable por hipótesis. (2)
• De 1) y 2), por la condición necesaria para la existencia de mínimos
relativos f'(x2
)=0 como queríamos demostrar
Si una función y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es
derivable en su interior (a, b), y f(a) = f(b).
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0.
Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretación geométrica
Si una función y = f(x) cumple que:
• Es continua [a, b].
• Es derivable (a, b).
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que:
f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c). Es decir: f’( c) =
• Geométricamente: si una función que cumple las hipótesis anteriores va a a tener al
menos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por los
puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
• Analíticamente: si una función cumple las hipótesis anteriores, en algún punto c ∈(a,b) la
razón incremental o tasa de variación media (f(b) – f(a)) / (b – a), es igual a la derivada en
dicho punto.
c
•
•
c'
Pendiente de AB:
f(b) – f(a)
b – a
f '(c) = f '(c') =
f(b) – f(a)
b – a
c y c' son los puntos
que verifican el teorema
ab
afbf
−
− )()(
• Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + h·x, h ∈ R.
• g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.
g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.
• Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle
=> f(a) + h·a = f(b) + h·b => f(a) - f(b) = h·b – h·a = h·(b - a)
• => por el teorema de Rolle, existe c ∈ (a,b) tal g'(c) = 0
• Por definición de g(x); g’(x) = f ‘(x) +h, g’(c) =f ‘(c) +h =0 luego f ‘(c ) = – h
y por tanto:
Teorema del valor medio o de Lagrange: Demostración
Si una función y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b).
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que
f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c).
ab
bfaf
h
−
−
=
)()(
ab
afbf
hcf
−
−
=−=
)()(
)('
Demostración: Sea h(x) = f(x) + kg(x)
• 1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b].
• 2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b).
• 3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle.
f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b), k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a)
De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle ∃ c ∈(a,b) tal que h'(c) = 0.
• h'(x)=f'(x)+kg'(x) h'(c)=f'(c)+kg'(c)=0 f'(c)/g'(c) = -k
Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado
)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
=
−
−
)()(
)()(
bgag
afbf
k
−
−
=
0(c)g'yg(a)g(b)si
)('
)('
)()(
)()(
≠≠=
−
−
cg
cf
agbg
afbf
Enunciado: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en
(a, b), existe un punto c (a, b) tal que:
Consecuencias del teorema del valor medio (I)
• Si f(x) cumple las hipótesis del teorema de
Lagrange en [a, b]:
f(a) = f(b) + (b – a) .
f '(c) con c ∈ (a, b).
• Si b = a + h, entonces c = a + θh con θ ∈ (0, 1).
c
•
a + ha + θh
Si f(x) es continua en [a – h, a + h] y derivable en su interior entonces:
f(a + h) = f(a) + h · f '(a + θh) con θ ∈ (0, 1).
Expresión del valor de una función en el entorno de x = a
Consecuencias del teorema del valor medio (II)
Si una función f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es
constante en dicho intervalo.
Caracterización de las funciones constantes
• f(x) es derivable en (a, b).
• f(x) tiene derivada nula en (a, b).
En consecuencia: f(x) = k en (a, b).
• Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos
de (a, b) en los que es derivable (en c no es
derivable).
• No es constante en (a, b).
Consecuencias del teorema del valor medio
(III)
Si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervalo
abierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo.
Relación entre funciones con igual derivada
• En el intervalo (0, 2Π) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada.
• Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene
de la otra trasladándola paralelamente al eje OY.
Regla de L'Hôpital (I)
Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+
, a–
, +∞, –∞}.
Una aproximación geométrica al teorema:
Indeterminación del tipo
0
0
f(C)
g(C)
=
CA
CB
≈
CA'
CB'
=
f '(a)
g '(a)
Supongamos que
x→u
lim f(x) =
x→u
lim g(x) = 0 y que g(x) ≠ 0 en un entorno de u.
Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito).
=
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
)('
)('
lim
xg
xf
ax→
se verifica que:
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
)('
)('
lim
xg
xf
ax→
Regla de L'Hôpital (II)
Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+
, a–
, +∞, –∞}
∞
∞
Indeterminación del tipo:
Supongamos que
x→u
lim f(x) =
x→u
lim g(x) = y que g(x)≠0 en un entorno de u.
Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito).
=
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
)('
)('
lim
xg
xf
ax→
se verifica que:
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
)('
)('
lim
xg
xf
ax→
∞
Regla de L'Hôpital (III)
Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+
, a–
, +∞, –∞}
Supongamos que hemos de calcular:
x→u
lim [f (x).g(x)]
Indeterminación del tipo 0 · ∞
↓ ↓
Salvando indeterminaciones del tipo 0. • ∞
[ ]
es
0
0
es
∞
∞
==
→→→
)(
1
)(
lim
)(
1
)(
lim)()·(lim
xf
xg
xg
xf
xgxf
uxuxux
Podemos convertir esa expresión en una 0/0 o en una ∞/∞
Regla de L'Hôpital (IV)
Salvando indeterminaciones del tipo 1∞
, ∞0
, 00
Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+
, a–
, +∞, –∞}
A =
x→u
lim [f(x)g(x)
]Tomando neperianos: L A = L(
x→u
lim [f(x)g(x)
]).
Supongamos que hemos de calcular:
x→u
lim [f(x)g(x)
]
Y que este límite es indeterminado de cualquiera de los tipos 1
∞
ó ∞0
ó 00
.
De donde: L A =
x→u
lim L [f (x)g(x)
], por ser la función logaritmo continua
Y por las propiedades de los logaritmos L A =
x→u
lim [g(x) . L f(x)]
Este límite es indeterminado 0 .∞ y se puede calcular por L'Hôpital. Sea M su valor
Tendremos: L A = M⇒ A = eM
.
Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I)
1.–
x→0
lim
ex
–x–1
x(ex
–1)
=
x→0
lim
ex
–1
ex
–1 + xex =
x→0
lim
ex
2ex
+ xex =
1
2
Indet
0
0
L'Hôpital Indet
0
0
L'Hôpital
2.–
x→0
lim [sen
x
2
. ctg x] =
Indet 0.∞
x→0
lim
sen
x
2
tg x
=
Indet
0
0
L'Hôpital
x→0
lim
1
2
cos
x
2
1+tg2
x
= 1
2
3.–
x→0
lim







r
4x –
r
2x(erx
+ 1) =
r > 0
Indet ∞– ∞
x→0
lim
rerx
– r
4xerx
+ 4x
=
Indet
0
0
L'Hôpital
x→0
lim
r2
erx
4erx
+ 4xrerx
+ 4
=
r2
8
Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (II)
4.-
x→1+
lim x
1
x-1 =
Indet 1∞
A⇒L A = L






x→1+
lim (x
1
x–1) =
x→1+
lim 







L 







x
1
x–1 =
x→1+
lim
L x
x–1
=
Indet
0
0
L'Hôpital
x→1+
lim
1/x
1
= 1
Si LA = 1 ⇒ A = e1
= e
5.-
x→0+
lim





1
sen x
x
= A
Indet ∞0
⇒L A = L








x→0+
lim





1
sen x
x
=
x→0+
lim






L





1
sen x
x
=
=
x→0+
lim
– L sen x
1/x
=
Indet
∞
∞
L'Hôpital
x→0+
lim
ctg x
1/x2 =
x→0+
lim
x2
tg x
=
Indet
0
0
L'Hôpital
x→0+
lim
2x
1 + tg2
x
= 0
Si LA = 0 ⇒ A = e0
= 1
X
Y
Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo
[
a
]
bx
f(x)
x+h
f(x+h)
h
Función creciente en [a, b]
f(x) < f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0
X
Y
[
a
]
b
x
f(x)
Función decreciente en [a, b]
f(x) > f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0
f(x+h)
x+h
h
f ’(x) >0 f ‘ (x) < 0
Derivadas y curvatura: concavidad
Las pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f ' es creciente ⇒ su derivada que es f “
debe ser f”(x) > 0 ⇒ función concava
X
Y
[
a
]
b
α1
α2
x1 x2
tg α1 < tg α2 ⇒ f '(x1) < f '(x2)
X
Y
[
a
]
bx1 x2
α1
α2
Derivadas y curvatura: convexidad
X
Y
[
a
]
bx1 x2
a1
a2
X
Y
[
a
]
b
a1
a2
x1 x2
tg a1 > tg a2 ⇒ f '(x1) > f '(x2)
Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f ' es decreciente ⇒ su derivada que es
f " debe ser negativa f” (x) < 0 ⇒ función cónvexa
Puntos de inflexión
X
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Derivadas. teoremas

  • 3. Tasa de variación media en un intervalo Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x), mediante el cociente: f(b) – f(a) b – aTm f[a, b] = La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una función, en un intervalo, por unidad de variable independiente. Pendiente positiva Pendiente negativa
  • 4. Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en España entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, donde x representa el tiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el número de afiliados expresado en millones. El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999 es: f(19) – f(0) 19 = 0,1241 Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000 personas por año.
  • 5. Tasa de variación instantánea La tasa de variación instantánea TVI(x) o ti(x), en un punto, es el límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez más pequeños: TVI (x) = ti(x) = h xfhxf h )()( lim 0 −+ →
  • 6. Derivada de una función en un punto Si el límite existe y es finito, la derivada de f(x) en x=p es Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite. f '(p) = h→o lim f(p+h) – f(p) h h→o lim f(p+h) – f(p) h
  • 7. Interpretación geométrica de la derivada Al hacer que h → 0, ocurrirá que • p + h tiende (se acerca) a p • Q recorre la curva acercándose a P • La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente • La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p . 0 ( ) ( ) lim ( ) h f p h f p f p h→ + − ′=
  • 8. Ecuación de la recta tangente a f(a) αt αt Entonces: • Pendiente de la tangente: mt = f '(a) • Ecuación de la recta tangente: t ≡ y – f(a) = f '(a) (x – a) t Ecuación de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m: y – b = m (x – a)
  • 9. Ecuación de la recta normal Como la tangente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Entonces: Pendiente de la tangente: mt = f '(p) Ecuación de la recta tangente: y – f(p) = f '(p) (x – a) Pendiente de la normal: mn = –1/f '(p) Ecuación de la normal: y – f(p) = [–1/f '(p)] (x – a) Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m: y – f(p) = m (x – p)
  • 10. Derivadas laterales α a β f '(a+ ) = tg α > 0 f '(a– ) = tg β < 0 Por ser f '(a+ ) ≠ f '(a– ), f(x) no es derivable en el punto a. La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe, dado por f '(a+ ) = h xfhxf h )()( lim* 0 −+ + → Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y por la izquierda y las derivadas laterales coinciden. La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe, dado por f '(a – ) = h xfhxf h )()( lim 0 −+ −− →
  • 11. Teorema Una función derivable en un punto es continua en dicho punto. ( ) ( ) ( ) ( ) f a h f a f a h f a h h + − + − = × ( )0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim h h f a h f a f a h f a h h→ → + −  + − = × ÷   0 0 ( ) ( ) lim lim h h f a h f a h h→ → + − = × ( ) 0 0f a′= × = 0 lim ( ) ( ) h f a h f a → + = ( ) es continua enf x x a= ( ) es derivable enf x x= a Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto
  • 12. f'(0– ) = h → 0– lim f(a + h) – f(a) h = h → 0– lim – h h = –1 Relación continuidad y derivabilidad Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto. y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto f'(0+ ) = h → 0+ lim f(a + h) – f(a) h = h → 0+ lim h h = 1 Puesto que las derivadas laterales en 0 son diferentes la función no es derivable en dicho punto. = tgα = tg β
  • 13. Función derivada f '(3) = h→0 lim f(3 + h) – f(3) h = h→0 lim (3 + h)2 – 32 h = h→0 lim h (h + 6) h = 6 • Derivada de f(x) = x2 en el punto 2: f '(x) = h→0 lim f(x + h) – f(x) h = h→0 lim (x + h)2 – x2 h = h→0 lim h (h + 2x) h = 2x • Derivada de f(x) = x2 en el punto 3: f '(2) = h→0 lim f(2 + h) – f(2) h = h→0 lim (2 + h)2 – 22 h = h→0 lim h (h + 4) h = 4 Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista. Para obtener la derivada en x
  • 14. Consecuencias de la definición de derivada • La función derivada no identifica totalmente a la función, pues funciones que se diferencian en una constante, tienen la misma función derivada. Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante ⇒ f’(x) = g’(x) h(x)= g(x) + k’ siendo k’ una constante ⇒ h’(x) = g’(x) Geométricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante una traslación de vector paralelo al eje Y y módulo k ó k’. Por ello las tangentes a las tres funciones son paralelas.
  • 15. Derivadas de operaciones con funciones Sean f y g dos funciones derivables en un punto x ∈ R y sea c un número real. Entonces las funciones c·f, f + g, f·g y f/g (si g(x) ≠ 0) son también derivables en x. • Además se tiene: (cf)'(x) = cf '(x) (f + g) '(x) = f '(x) + g'(x) (f – g) '(x) = f '(x) – g'(x) (fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x) )( )(')·()()·(' )( 2 ' xg xgxfxgxf x g f − =     
  • 16. Demostración de la regla de derivación del cociente Enunciado: La derivada de un cociente )( )()·()()·( )()( )(lim)(· )()( lim )()( 1 lim )()()()·( lim )()·()()( lim )()( 1 lim )()( )()()()( lim )()( )()()()( lim )( )( )( )( lim )()( lim)( 2 '' 000 000 00 00 ' )()·()()·( xg xgxfxgxf h hxgxg xfxg h xfhxf hxgxg h hxgxfxgxf h xgxfxghxf hxgxg h hxgxg hxgxfxghxf h hxgxg hxgxfxghxf h xg xf hxg hxf h x g f hx g f x g f hhh hhh hh hh xgxfxgxf − = =      +− + −+ + = =      +− + −+ + = = + +−+ = + +−+ = =       −      + + =       −+      =      →→→ →→→ →→ →→ +− )( )(')·()()·(' )( ' 2 xg xgxfxgxf x g f − =     
  • 17. Derivada de una función compuesta: regla de la cadena Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)). La función h(x) = (2x – 1)2 es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t2 t2 = (2x–1)2x 2x–1 = t R R f R g x (2x–1)2 h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)2 = (g o f)(x) Ejemplo: Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es: (gºf)'(a) = g'(f(a)) . f '(a) Ejemplo: Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)2 ⇒ ⇒ (gºf)'(x) = g'(f(x)) . f '(x) = 2(2x – 1) . (2x – 1)' = 2(2x – 1) . 2
  • 18. Regla de la cadena: Demostración [ ] )('))·((' )()( lim· )()( ))(())(( lim )()( lim· )()( ))(())(( lim · ))(())(( lim ))(())(( lim'))(( 0)()( 00 0 0 )()( )()( xgxgf h xghxg xghxg xgfhxgf h xghxg xghxg xgfhxgf h xgfhxgf h xgfhxgf xgf hxghxg hh h h xghxg xghxg = −+ −+ −+ = = −+ −+ −+ = =        −+ = −+ = →→+ →→ → → −+ −+ Enunciado: La derivada de la composición de funciones (fog)(x) es: f ‘(g(x)) · g’(x)
  • 19. Derivada de la función inversa • Se denomina función inversa de una función f a una nueva función, denotada por f–1 , cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f–1 (f(x)) = x. • Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) Las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. X Y f(x) f –1 (x) • (x, f(x)) (f(x), x) • Sea f una función definida en un inter- valo abierto D en el que admite fun- ción inversa siendo f derivable. Enton- ces se tiene que, para todo punto xdel dominio de f-1 en el que f-1 es deri- vable y en el que f '(f–1 (x)) ≠ 0 la deri- vada de f–1 viene dada por: ))((' 1 )()'( 1 1 xff xf − − =
  • 20. Tabla de derivadas de las funciones elementales Función Derivada f(x) = sen x f '(x) = cos x f(x) = cos x f '(x) =– sen x f(x) = tan x f '(x) = 1 Cos 2 x f(x) = arcsen x f '(x) = 1 1 – x 2 f(x) = arccos x f '(x) = –1 1 – x 2 f(x) = arctan x f '(x) = 1 1 + x 2 Función Derivada f(x) = c (constante) f '(x) = 0 f(x) = x n f '(x) = n x n – 1 f(x) = e x f '(x) = e x f(x) = a x (a > 0) f '(x) = a x ln a f(x) = ln x f '(x) = 1 x f(x) = logax, (a > 0) f '(x) = 1 x ln a
  • 21. Obtención de la derivada de la función logaritmo neperiano 1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o Sean ( ) y ( ) ln( ).x f x e g x x= = 1 1 2. Derivada función recíproca 1 ( ) ( ) . ( ( )) f x f f x − − ′ = ′ } ln 1 ( ) x g x e ′ = Vamos a calcular la derivada de ln( )x a partir de la función exponencial La derivada de es 1 x ln( )x
  • 22. Demostración de la derivada de la función seno Vamos a calcular la derivada de sen( )x 0 0 Como limcos cos( ) 2 2 lim 1 2 h h h x x h sen h → →   + = ÷      ÷   = 0 sen( ) sen( ) (sen( )) =lim = h x h x x h→ + − ′ Usando la definición de derivada: 0 2 cos sen 2 2 lim h h h x h→     × + × ÷  ÷     =                         +=                         + = →→ 2 2 · 2 coslim 2 2 · 2 cos lim 00 h h sen h x h h sen h x hh La derivada de sen (x) es Cos (x)
  • 23. Obtención de la derivada de la función arcoseno Vamos a calcular la derivada de arcsen( )x 1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o 1 1 2. Derivada función recíproca 1 ( ) ( ) . ( ( )) f x f f x − − ′ = ′ } 1 ( ) cos(arcsen( )) g x x ′ = Sean ( ) sen( ) y ( ) arcsen( ).f x x g x x= = La derivada es: 2 1 1 x− Como: ( ) 2 2 cos(arcsen ) 1 sen(arcsen ) 1x x x= − = −
  • 24. Obtención de la derivada de la función arco tangente Vamos a calcular la derivada de arctg( )x 1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x= =o o 1 1 2. Derivada función recíproca 1 ( ) ( ) . ( ( )) f x f f x − − ′ = ′ } 2 1 ( ) 1 tg (arctg( )) g x x ′ = + Sean ( ) tg( ) y ( ) arctg( ).f x x g x x= = La derivada es: 2 1 1 x+ Como: ( )tg arctg x x=
  • 25. Máximos y mínimos relativos Una función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe un intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo x perteneciente al intervalo. • La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo relativo en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos. • La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene máximo absoluto en su dominio. • La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el punto (1, 3). • La función y = x2 – 6x + 8 no tiene máximos ni mínimos en el intervalo (4, 5). •m(3, -1) 1 5
  • 26. Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica) Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o mínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0 Si la función es constante entonces f '(c) = 0 Si A es máximo, la tangente en x = c es horizontal. Su pendiente es 0 Si A es mínimo, la tangente en x = c es horizontal. Su pendiente es 0 f '(c) = 0 f '(c) = 0 f '(c) = 0
  • 27. Teorema de Rolle. Interpretación geométrica Si una función y = f(x) cumple que: • Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. • Es derivable en su interior (a, b). • f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0. Geométricamente este teorema expresa que una función que cumpla las hipótesis anteriores va a tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la tangente es horizontal. a f(a) b f(b) f '(c) = 0 = c a f(a) b f(b)= f '(c) = 0 c a f(a) f(b) b = f '(c) = 0 c
  • 28. Teorema de Rolle: Demostración • Demostración: • f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b]. ∀ x ∈ [a,b] m ≤ f(x) ≤ M. ∀ ∃ x1 ∈ [a,b] ∋ f(x1 )=M. ∃ x2 ∈ [a,b] ∋ f(x2 )=m. • Si m = M => ∀ x ∈ [a,b] f(x) = M (la función es constante) => f'(x) = 0 • Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2 , corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo m= f(x2 )=> (a,b) se comporta como un entorno de x2. Se cumple que ∀ x ∈ (a,b) f(x2 ) ≤ f(x) por lo que f presenta un mínimo relativo en x2 . (1) • f es derivable por hipótesis. (2) • De 1) y 2), por la condición necesaria para la existencia de mínimos relativos f'(x2 )=0 como queríamos demostrar Si una función y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es derivable en su interior (a, b), y f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0.
  • 29. Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretación geométrica Si una función y = f(x) cumple que: • Es continua [a, b]. • Es derivable (a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que: f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c). Es decir: f’( c) = • Geométricamente: si una función que cumple las hipótesis anteriores va a a tener al menos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). • Analíticamente: si una función cumple las hipótesis anteriores, en algún punto c ∈(a,b) la razón incremental o tasa de variación media (f(b) – f(a)) / (b – a), es igual a la derivada en dicho punto. c • • c' Pendiente de AB: f(b) – f(a) b – a f '(c) = f '(c') = f(b) – f(a) b – a c y c' son los puntos que verifican el teorema ab afbf − − )()(
  • 30. • Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + h·x, h ∈ R. • g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas. g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables. • Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle => f(a) + h·a = f(b) + h·b => f(a) - f(b) = h·b – h·a = h·(b - a) • => por el teorema de Rolle, existe c ∈ (a,b) tal g'(c) = 0 • Por definición de g(x); g’(x) = f ‘(x) +h, g’(c) =f ‘(c) +h =0 luego f ‘(c ) = – h y por tanto: Teorema del valor medio o de Lagrange: Demostración Si una función y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c). ab bfaf h − − = )()( ab afbf hcf − − =−= )()( )('
  • 31. Demostración: Sea h(x) = f(x) + kg(x) • 1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b]. • 2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b). • 3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle. f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b), k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a) De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle ∃ c ∈(a,b) tal que h'(c) = 0. • h'(x)=f'(x)+kg'(x) h'(c)=f'(c)+kg'(c)=0 f'(c)/g'(c) = -k Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado )(' )(' )()( )()( cg cf agbg afbf = − − )()( )()( bgag afbf k − − = 0(c)g'yg(a)g(b)si )(' )(' )()( )()( ≠≠= − − cg cf agbg afbf Enunciado: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:
  • 32. Consecuencias del teorema del valor medio (I) • Si f(x) cumple las hipótesis del teorema de Lagrange en [a, b]: f(a) = f(b) + (b – a) . f '(c) con c ∈ (a, b). • Si b = a + h, entonces c = a + θh con θ ∈ (0, 1). c • a + ha + θh Si f(x) es continua en [a – h, a + h] y derivable en su interior entonces: f(a + h) = f(a) + h · f '(a + θh) con θ ∈ (0, 1). Expresión del valor de una función en el entorno de x = a
  • 33. Consecuencias del teorema del valor medio (II) Si una función f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es constante en dicho intervalo. Caracterización de las funciones constantes • f(x) es derivable en (a, b). • f(x) tiene derivada nula en (a, b). En consecuencia: f(x) = k en (a, b). • Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos de (a, b) en los que es derivable (en c no es derivable). • No es constante en (a, b).
  • 34. Consecuencias del teorema del valor medio (III) Si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervalo abierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo. Relación entre funciones con igual derivada • En el intervalo (0, 2Π) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada. • Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene de la otra trasladándola paralelamente al eje OY.
  • 35. Regla de L'Hôpital (I) Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+ , a– , +∞, –∞}. Una aproximación geométrica al teorema: Indeterminación del tipo 0 0 f(C) g(C) = CA CB ≈ CA' CB' = f '(a) g '(a) Supongamos que x→u lim f(x) = x→u lim g(x) = 0 y que g(x) ≠ 0 en un entorno de u. Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito). = )( )( lim xg xf ax→ )(' )(' lim xg xf ax→ se verifica que: )( )( lim xg xf ax→ )(' )(' lim xg xf ax→
  • 36. Regla de L'Hôpital (II) Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+ , a– , +∞, –∞} ∞ ∞ Indeterminación del tipo: Supongamos que x→u lim f(x) = x→u lim g(x) = y que g(x)≠0 en un entorno de u. Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito). = )( )( lim xg xf ax→ )(' )(' lim xg xf ax→ se verifica que: )( )( lim xg xf ax→ )(' )(' lim xg xf ax→ ∞
  • 37. Regla de L'Hôpital (III) Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+ , a– , +∞, –∞} Supongamos que hemos de calcular: x→u lim [f (x).g(x)] Indeterminación del tipo 0 · ∞ ↓ ↓ Salvando indeterminaciones del tipo 0. • ∞ [ ] es 0 0 es ∞ ∞ == →→→ )( 1 )( lim )( 1 )( lim)()·(lim xf xg xg xf xgxf uxuxux Podemos convertir esa expresión en una 0/0 o en una ∞/∞
  • 38. Regla de L'Hôpital (IV) Salvando indeterminaciones del tipo 1∞ , ∞0 , 00 Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+ , a– , +∞, –∞} A = x→u lim [f(x)g(x) ]Tomando neperianos: L A = L( x→u lim [f(x)g(x) ]). Supongamos que hemos de calcular: x→u lim [f(x)g(x) ] Y que este límite es indeterminado de cualquiera de los tipos 1 ∞ ó ∞0 ó 00 . De donde: L A = x→u lim L [f (x)g(x) ], por ser la función logaritmo continua Y por las propiedades de los logaritmos L A = x→u lim [g(x) . L f(x)] Este límite es indeterminado 0 .∞ y se puede calcular por L'Hôpital. Sea M su valor Tendremos: L A = M⇒ A = eM .
  • 39. Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I) 1.– x→0 lim ex –x–1 x(ex –1) = x→0 lim ex –1 ex –1 + xex = x→0 lim ex 2ex + xex = 1 2 Indet 0 0 L'Hôpital Indet 0 0 L'Hôpital 2.– x→0 lim [sen x 2 . ctg x] = Indet 0.∞ x→0 lim sen x 2 tg x = Indet 0 0 L'Hôpital x→0 lim 1 2 cos x 2 1+tg2 x = 1 2 3.– x→0 lim        r 4x – r 2x(erx + 1) = r > 0 Indet ∞– ∞ x→0 lim rerx – r 4xerx + 4x = Indet 0 0 L'Hôpital x→0 lim r2 erx 4erx + 4xrerx + 4 = r2 8
  • 40. Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (II) 4.- x→1+ lim x 1 x-1 = Indet 1∞ A⇒L A = L       x→1+ lim (x 1 x–1) = x→1+ lim         L         x 1 x–1 = x→1+ lim L x x–1 = Indet 0 0 L'Hôpital x→1+ lim 1/x 1 = 1 Si LA = 1 ⇒ A = e1 = e 5.- x→0+ lim      1 sen x x = A Indet ∞0 ⇒L A = L         x→0+ lim      1 sen x x = x→0+ lim       L      1 sen x x = = x→0+ lim – L sen x 1/x = Indet ∞ ∞ L'Hôpital x→0+ lim ctg x 1/x2 = x→0+ lim x2 tg x = Indet 0 0 L'Hôpital x→0+ lim 2x 1 + tg2 x = 0 Si LA = 0 ⇒ A = e0 = 1
  • 41. X Y Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo [ a ] bx f(x) x+h f(x+h) h Función creciente en [a, b] f(x) < f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0 X Y [ a ] b x f(x) Función decreciente en [a, b] f(x) > f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0 f(x+h) x+h h f ’(x) >0 f ‘ (x) < 0
  • 42. Derivadas y curvatura: concavidad Las pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f ' es creciente ⇒ su derivada que es f “ debe ser f”(x) > 0 ⇒ función concava X Y [ a ] b α1 α2 x1 x2 tg α1 < tg α2 ⇒ f '(x1) < f '(x2) X Y [ a ] bx1 x2 α1 α2
  • 43. Derivadas y curvatura: convexidad X Y [ a ] bx1 x2 a1 a2 X Y [ a ] b a1 a2 x1 x2 tg a1 > tg a2 ⇒ f '(x1) > f '(x2) Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f ' es decreciente ⇒ su derivada que es f " debe ser negativa f” (x) < 0 ⇒ función cónvexa
  • 44. Puntos de inflexión X Y P(a, f(a)) f" < 0 f" > 0 f"(a) = 0 Son los puntos en los que la función cambia de curvatura