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Problemas modelos: Lenguaje algebraico
1. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad
de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una?
Solución
1º. Comprender el problema.
Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder
determinarlas. Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija.
Ordenamos los elementos del problema:
Hoy dentro de 8 años
La madre x x + 8
La hija y y + 8
2º. Concebir un plan.
Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:
x = 27 + y x + 8 = 2(y +8)
Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremos por el
método de sustitución.
3º Ejecutar el plan. x = 27 + y
Entonces: 27 + y +8 = 2(y +8) de donde 35 -16 = y ⇒ y = 19, x = 46
4º Examinar la solución obtenida.
La solución obtenida es factible por ser entera. El método empleado se puede usar en
problemas “similares”.
2. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de
20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su
número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido
una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres,
mujeres y niños han ido de excursión.
1
Solución . Sean:
hombres x
mujeres y
niños z
Luego:
x + y + z = 20
x + y = 3z Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
x = y + 1 Se resuelve por reducción:
Restamos a la 1º ecuación la 2ª
z =20-3z ⇒ 4z = 20 ⇒ z =5 , sustituyendo en la 2ª nos queda:
x +y =15 que junto con la 3ª forman un sistema de dos ecuaciones:
x –y =1
Sumando nos queda 2x = 16 ⇒ x =8 , y =7
Otra forma: Por Gauss
El sistema que resulta es:
x + y + z = 20
-2 y + 3z = 1
z = 5
Sustituyendo en la 2º ecuación
2y = 3z-1 = 14 ⇒ y =7
Sustituyendo los valores hallados en la 1ª ecuación:
x = 20 –y –z = 20-7-5=8
2
3. Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas, propone un
problema que puede enunciarse así: el consumo en una cafetería de un vaso de
limonada, tres sandwiches y siete bizcochos ha costado 1 chelín y 2 peniques,
mientras que un vaso de limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos vale 1
chelín y 5 peniques. Hallar cuál es el precio:
1º) De un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho.
2º) De dos vasos de limonada, tres sandwiches y cinco bizcochos.
Resolver el problema recordando que 1 chelín vale 12 peniques.
Solución
Es un problema con tres incógnitas y sólo dos condiciones, luego los valores de las
incógnitas no se podrán determinar.
Llamamos: x al precio de un vaso de limonada, y al de un sándwich y z al de un
bizcocho.
Entonces: x + 3y + 7z = 14 (peniques)
x + 4y + 10z = 17
Lo resolvemos por Gauss: el sistema escalonado es:
x + 3y + 7z = 14 (peniques)
y + 3z = 3,
que tiene menos ecuaciones que incógnitas. Es por tanto un sistema compatible
indeterminado.
4-En una competición deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres
categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas
infantiles, por una parte excede en una unidad al número de cadetes y por otra,
coincide con el quíntuplo del número de juveniles. Determina el número de
atletas que hay en cada categoría.
Solución
Llamamos: x al número de atletas infantiles, y al número de atletas cadetes, z al
número de atletas juveniles
3
Se verifica
x =15, sustituyendo se obtiene y = 29, y =6
Aplicando el método de Gauss
5. En cierta heladería por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos
te cobran 34 un día. Otro día por 4 copas de la casa y 4 horchatas te cobran
44 €, y un tercer día te piden 26 € por una horchata y 4 batidos. ¿Tienes
motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta
incorrecta?
Solución
Planteamiento:
Llamamos x al precio de la copa de la casa
y al precio de la horchata
z al precio del batido
Se tiene:
x +2y+ 4z=34
4x+ 4y =44, simplificando x + y = 11 (1 )
y +4z=26
Si restamos las ecuaciones 1ª y 3ª se tiene:
x +y = 8 por lo que el sistema es incompatible
4
6. En una reunión hay 40 personas. La suma del número de hombres y mujeres
triplica el número de niños. El número de mujeres excede en 6 a la suma del
número de hombres más el número de niños. Averiguar razonadamente cuántos
hombres, mujeres y niños hay.
Solución
Llamamos:
x al nº de hombres
y al nº de mujeres
z al nº de niños
Se tiene:
Restando las dos primera ecuaciones, se obtiene 4z=40, de donde z =10.
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Problemas modelos

  • 1. Problemas modelos: Lenguaje algebraico 1. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una? Solución 1º. Comprender el problema. Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas. Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija. Ordenamos los elementos del problema: Hoy dentro de 8 años La madre x x + 8 La hija y y + 8 2º. Concebir un plan. Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas: x = 27 + y x + 8 = 2(y +8) Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremos por el método de sustitución. 3º Ejecutar el plan. x = 27 + y Entonces: 27 + y +8 = 2(y +8) de donde 35 -16 = y ⇒ y = 19, x = 46 4º Examinar la solución obtenida. La solución obtenida es factible por ser entera. El método empleado se puede usar en problemas “similares”. 2. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. 1
  • 2. Solución . Sean: hombres x mujeres y niños z Luego: x + y + z = 20 x + y = 3z Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x = y + 1 Se resuelve por reducción: Restamos a la 1º ecuación la 2ª z =20-3z ⇒ 4z = 20 ⇒ z =5 , sustituyendo en la 2ª nos queda: x +y =15 que junto con la 3ª forman un sistema de dos ecuaciones: x –y =1 Sumando nos queda 2x = 16 ⇒ x =8 , y =7 Otra forma: Por Gauss El sistema que resulta es: x + y + z = 20 -2 y + 3z = 1 z = 5 Sustituyendo en la 2º ecuación 2y = 3z-1 = 14 ⇒ y =7 Sustituyendo los valores hallados en la 1ª ecuación: x = 20 –y –z = 20-7-5=8 2
  • 3. 3. Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas, propone un problema que puede enunciarse así: el consumo en una cafetería de un vaso de limonada, tres sandwiches y siete bizcochos ha costado 1 chelín y 2 peniques, mientras que un vaso de limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos vale 1 chelín y 5 peniques. Hallar cuál es el precio: 1º) De un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho. 2º) De dos vasos de limonada, tres sandwiches y cinco bizcochos. Resolver el problema recordando que 1 chelín vale 12 peniques. Solución Es un problema con tres incógnitas y sólo dos condiciones, luego los valores de las incógnitas no se podrán determinar. Llamamos: x al precio de un vaso de limonada, y al de un sándwich y z al de un bizcocho. Entonces: x + 3y + 7z = 14 (peniques) x + 4y + 10z = 17 Lo resolvemos por Gauss: el sistema escalonado es: x + 3y + 7z = 14 (peniques) y + 3z = 3, que tiene menos ecuaciones que incógnitas. Es por tanto un sistema compatible indeterminado. 4-En una competición deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al número de cadetes y por otra, coincide con el quíntuplo del número de juveniles. Determina el número de atletas que hay en cada categoría. Solución Llamamos: x al número de atletas infantiles, y al número de atletas cadetes, z al número de atletas juveniles 3
  • 4. Se verifica x =15, sustituyendo se obtiene y = 29, y =6 Aplicando el método de Gauss 5. En cierta heladería por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos te cobran 34 un día. Otro día por 4 copas de la casa y 4 horchatas te cobran 44 €, y un tercer día te piden 26 € por una horchata y 4 batidos. ¿Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta incorrecta? Solución Planteamiento: Llamamos x al precio de la copa de la casa y al precio de la horchata z al precio del batido Se tiene: x +2y+ 4z=34 4x+ 4y =44, simplificando x + y = 11 (1 ) y +4z=26 Si restamos las ecuaciones 1ª y 3ª se tiene: x +y = 8 por lo que el sistema es incompatible 4
  • 5. 6. En una reunión hay 40 personas. La suma del número de hombres y mujeres triplica el número de niños. El número de mujeres excede en 6 a la suma del número de hombres más el número de niños. Averiguar razonadamente cuántos hombres, mujeres y niños hay. Solución Llamamos: x al nº de hombres y al nº de mujeres z al nº de niños Se tiene: Restando las dos primera ecuaciones, se obtiene 4z=40, de donde z =10. Sustituyendo: Sumando 2y=46, y =23, x =7 5
  • 6. 6. En una reunión hay 40 personas. La suma del número de hombres y mujeres triplica el número de niños. El número de mujeres excede en 6 a la suma del número de hombres más el número de niños. Averiguar razonadamente cuántos hombres, mujeres y niños hay. Solución Llamamos: x al nº de hombres y al nº de mujeres z al nº de niños Se tiene: Restando las dos primera ecuaciones, se obtiene 4z=40, de donde z =10. Sustituyendo: Sumando 2y=46, y =23, x =7 5