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11                 LÍMITES DE FUNCIONES.
                   CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
 Página 272

 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
                                 2
 El valor de la función f (x) = x + 4x – 45 para x = 5 no se puede obtener directa-
                                  2x – 10
 mente porque el denominador se hace cero. Lo obtendremos por aproximaciones
 sucesivas, dando a x los valores 4; 4,9; 4,99; …

 I   Comprueba que:
     f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995

 I   Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …

 I   ¿Te parece razonable afirmar que, cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x)
     se aproxima a 7? Lo expresamos así: lím f (x) = 7
                                                         x→5

                  x2   + 4x – 45 , entonces:
 I   Si f (x) =
                       2x - 10
     f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995
     lím f (x) = 7
     x→5

                                           2
 I   Calcula, análogamente,           lím x + 6x – 27 .
                                      x→3    2x – 6

 I   f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995
     lím f (x) = 6
     x→3


 Problema 1
 Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si
 es continua o discontinua:

                                                                  4           x<0
         2                                                       
 a) y =  x + 3           x<1                              b) y =  4 – x      0≤x≤5
         5 – x2          x≥1                                      2x – 11
                                                                              x>5

                                                                   x2        x<0
         —                                                       
 c) y =  √x + 3          x<1                              d) y =  2x        0≤x<3
         2/x             x≥1                                     x+2        x≥3
                                                                  



 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                1
a)                                    b)
            6                                             6

            4                                             4

            2                                             2

      –2              2                    –4        –2             2   4   6   8
           –2                                             –2


c)                6                             d)
                                                                8
                  4
                                                                6
                  2
                                                                4
      –4    –2            2   4   6                             2
                 –2

                 –4                                        –2           2   4   6


Las tres primeras son continuas y d) es discontinua.




Página 273
Problema 2
                                                                                    x 2 – 3x + 1
Vamos a comprobar que la gráfica de la función y = f (x) =                                             se
                                                                                        x–1
aproxima a la recta de ecuación y = x – 2.

I    Completa en tu cuaderno esta representación, obteniendo los valores de f (x)
     para los siguientes valores de x :

            5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11




Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                     2
Comprueba para valores muy grandes de x que la diferencia entre curva y
    recta llega a ser muy pequeña.

                                 x                  50           100     1 000
                                 y = f (x)
                                 y=x–2
                                 DIFERENCIA


    De este modo se comprueba que la recta y = x – 2 es asintota de la función
       x 2 – 3x + 1
    y=
           x–1
I   Comprueba, mediante pasos similares a los anteriores, que la función
         x3
    y= 2      tiene por asíntota a la recta de ecuación y = x + 2.
       x – 2x

I
        x      5       6          7           8     9       10     11            10

     f (x)   2,75     3,8        4,83    5,86      6,88     7,89   8,9            8

                                                                                  6
    x                 50               100         1 000                          4
    y = f (x)       47,98             97,99       997,999
                                                                                  2
    y=x–2             48                98          998
    DIFERENCIA       0,02              0,01        0,001                    –2        2   4   6   8   10
                                                                                 –2




                                x3                                               10
I   Para y = f (x) =
                           x2   – 2x
                                                                                  8

    x                 50               100         1 000                          6

    y = f (x)       52,08            102,04 1 002,004                             4

    y=x+2             52              102     1 002                               2
    DIFERENCIA       0,08             0,04    0,004
                                                                            –2        2   4   6   8
                                                                                 –2




Página 275
1. Explica por qué la función y = x 2 – 5 es continua en todo Á.
    Porque es polinómica.

2. Explica por qué la función y = √ 5 – x es continua en (– ∞, 5].
    Porque (–∞, 5] es su dominio, y en él no hay ningún punto crítico.


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                        3
3. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es con-
   tinua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta:
              x+2                            2                                         2
   a) y =                            b) y = x – 3x                             c) y = x – 3
              x–3                              x                                        x
                                             3x – 4, x < 3                            3 si x ≠ 4
   d) y = 1                          e) y =                                   f) y = 
          x2                                 x + 1, x ≥ 3                             1 si x = 4
   a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical).
   b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto).
   c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
   d) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
   e) Salto en x = 3.
   f ) Salto en x = 4.


Página 278
1. Calcula el valor de los siguientes límites:
                3
   a) lím                                                 b) lím (cos x – 1)
      x→0      x–2                                           x→0

          3
   a) –                                                   b) –2
          2
2. Calcula estos límites:
   a) lím √ x 2 – 3x + 5                                  b) lím log10 x
      x→2                                                    x → 0,1

   a) √ 3                                                 b) –1


Página 279
                           3                            si x ≠ 3 sea continua en
3. Calcula k para que y =  x – 2x + k                                                 Á .
                          7                             si x = 3
                                        
      lím (x 3 – 2x + k) = 21 + k       
     x→3                                
                                           21 + k = 7 → k = –14
    f (3) = 7                           


Página 281
4. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican.
   Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del
   punto. Representa gráficamente los resultados.
                  x3
   a) f (x) =         en –2, 0 y 2                        b) f (x) = 4x – 12 en 2, 0 y 3
                x2 –4                                                (x – 2)2
                x 2 – 2x + 1                                               x4
   c) f (x) =                en 1 y –3                    d) f (x) =              en 0 y –3
                x 2 + 2x – 3                                           x 3 + 3x 2


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                  4
a) f (x) =          x3
                 (x + 2) (x – 2)
                              
         lím     f (x) = –∞   
       x → –2–                
                                 No existe      lím     f (x)                –2       2   3
                 f (x) = +∞                    x → –2
         lím                  
       x → –2+

        lím f (x) = 0
       x→0

                              
        lím      f (x) = –∞   
       x → 2–
                              
                                 No existe lím f (x)
                                              x→2
        lím + f (x) = +∞      
       x→2



   b) f (x) = 4 (x – 3)
              (x – 2)2

        lím f (x) = – ∞
       x→2
                                                                      2   3
        lím f (x) = –3
       x→0
                                                                 –3
        lím f (x) = 0
       x→3



   c) f (x) =       (x – 1)2
                 (x – 1) (x + 3)

        lím f (x) = 0
       x→1
                                                                              –3   1
                              
         lím     f (x) = +∞   
       x → –3–
                              
                                 No existe    lím      f (x)
                 f (x) = –∞                   x → –3
         lím                  
       x → –3+


                     x4
   d) f (x) =
                 x 2 (x
                      + 3)

        lím f (x) = 0
       x→0
                                                                              –3
                              
         lím     f (x) = –∞   
       x → –3–
                              
                                 No existe    lím      f (x)
                 f (x) = +∞                   x → –3
         lím                  
       x → –3+



Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                             5
Página 282
1. Di el límite cuando x → + ∞ de las siguientes funciones dadas por sus gráficas:

                                                                                               y = f4(x)
                                             y = f2(x)
                                                                         y = f3(x)
             y = f1(x)


      lím    f1 (x) = –∞                                  lím        f2 (x) = –3
    x → +∞                                               x → +∞
      lím    f3 (x) = +∞                                  lím        f4 (x) no existe
    x → +∞                                               x → +∞



Página 283
1. Di el valor del límite cuando x → + ∞ de las siguientes funciones:

   a) f (x) = –x 2 + 3x + 5                  b) f (x) = 5x 3 + 7x                    c) f (x) = x – 3x 4
                 1                                              1                                  x3 – 1
   d) f (x) =                                e) f (x) = –                            f ) f (x) =
                3x                                              x2                                  –5
   a) –∞                                     b) +∞                                   c) –∞
   d) 0                                      e) 0                                    f ) –∞


2. Como        lím (x 3 – 200x 2) = + ∞, halla un valor de x para el cual x 3 – 200x 2
             x → +∞
   sea mayor que 1 000 000.
   Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 800 000 000.

                              1                                                                    1
3. Como         lím                = 0, halla un valor de x para el cual                                    sea
             x → +∞      x 2 – 10x                                                            x 2 – 10x
   menor que 0,0001.
   Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 0,00000101.



Página 284
4. Calcula       lím      f (x) y representa sus ramas:
                x → +∞

                  1                                                        3
   a) f (x) =                                              b) f (x) =
                 3x                                                        x
                  1
   c) f (x) = –                                            d) f (x) = 3x – 5
                  x2




Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                              6
a) 0                                                     b) 0




   c) 0                                                     d) +∞




5. Calcula         lím     f (x) y representa sus ramas:
                x → +∞
                  x3 – 1                                               x2 – 3
   a) f (x) =                                             b) f (x) =
                   –5                                                   x3
                   x3                                                  1 – x3
   c) f (x) =                                             d) f (x) =
                  x2–3                                                 1 + x3



   a) –∞                                                    b) 0




   c) +∞                                                    d ) –1

                                                                           –1




Página 285
1. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:
            x 2 + 3x + 11                              x 2 + 3x
   a) y =                                     b) y =
                x+1                                     x+1

                                
   a)     lím f (x) = – ∞       
        x → –1–                 
                                   x = –1 es asíntota vertical
          lím f (x) = +∞                                                       –1
        x → –1+

                                
   b)     lím f (x) = +∞        
        x → –1–                 
                                   x = –1 es asíntota vertical
          lím     f (x) = – ∞   
        x → –1+
                                                                                –1




Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                       7
2. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas:
            x2 + 2                               x2 + 2
   a) y =                            b) y =
            x 2 – 2x                          x2 – 2x + 1

                              
   a)    lím f (x) = +∞       
        x → 0–                
                                 x = 0 es asíntota vertical
         lím f (x) = –∞       
        x → 0+                                                                         2
                              
         lím f (x) = –∞       
        x → 2–                
                                 x = 2 es asíntota vertical
         lím f (x) = +∞       
        x → 2+

                              
   b) lím – f (x) = +∞        
        x→1                   
                                 x = 1 es asíntota vertical
         lím f (x) = +∞                                                       1
        x → 1+




Página 287
3. Halla las ramas infinitas, cuando x → + ∞, de estas funciones. Sitúa la curva
   respecto a su asíntota:

              x                                                      x3
   a) y =                                                 b) y =
            1 + x2                                                 1 + x2


   a)    lím     f (x) = 0 → y = 0 es asíntota horizontal.
        x → +∞




   b) y = x +      –x   → y = x es asíntota oblicua.                               1
                 1 + x2
                                                                                           1




4. Halla las ramas infinitas, x → +∞, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a
   sus asíntotas, si las hay:
            x2 + 2                                                 3    2
   a) y =                                                 b) y = 2x – 3x + 7
            x 2 – 2x                                                  x


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                 8
a)     lím      f (x) = 1 → y = 1 es asíntota horizontal.
         x → +∞                                                                                1




   b) grado de P – grado de Q ≥ 2
          lím      f (x) = +∞ → rama parabólica hacia arriba.
         x → +∞




Página 288
1. Halla        lím     f (x) y representa la rama correspondiente:
              x → –∞

    f (x) = –2x 3 + 7x 4 – 3

        lím   f (x) =        lím    7x 4 = + ∞
    x → –∞              x → –∞




2. Halla        lím     f (x) y traza las ramas correspondientes:
              x → –∞
   a) f (x) = (x 2 + 3)/(–x 3)                            b) f (x) = –x 3/(x 2 + 3)

                                      x2             1
   a)     lím      f (x) =     lím         = lím       =0
         x → –∞               x → – ∞ –x 3  x → – ∞ –x




                                     –x 3
   b)     lím      f (x) =     lím        = lím –x = +∞
         x → –∞               x → –∞ x2    x → –∞




Página 289
3. Halla las ramas infinitas, x → – ∞ de estas funciones y sitúa la curva respecto a
   las asíntotas:
                  1                           x                      x2                              x3
   a) y =                          b) y =                 c) y =                      d) y =
              x2   +1                       1 + x2                 1 + x2                          1 + x2



Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                              9
a)    lím     f (x) = 0 → y = 0 es asíntota horizontal.
        x → –∞




   b)    lím f (x) = 0 → y = 0 es asíntota horizontal.
        x → –∞




   c)    lím f (x) = 1 → y = 1 es asíntota horizontal.                          1
        x → –∞




   d) y = x +       –x   → y = x es asíntota oblicua.                           1
                  1 + x2
                                                                                        1




4. Halla las ramas infinitas, cuando x → – ∞, y si tienen asíntotas, sitúa la curva
   respecto a ellas:
             x4                       x2 + 2                      2                3     2
   a) y =                    b) y =                       c) y = x + 3x   d) y = 2x – 3x
            x2 + 1                    x 2 – 2x                    x+1                x

   a) grado P – grado Q ≥ 2
         lím f (x) = +∞ → rama parabólica.
        x → –∞




   b)    lím f (x) = 1 → y = 1 es asíntota horizontal.                          1
        x → –∞




                        –2
   c) y = x + 2 +          → y = x + 2 es asíntota oblicua.                         2
                       x+1
                                                                           –2



   d)    lím f (x) =       lím    (2x 2 – 3x) = +∞
        x → –∞           x → –∞




Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                              10
Página 297

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR

1     a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua?

      b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad.

      a)                                b)                           c)
                       2                          2


                  –2            2            –2        2                       –2       2
                       –2                         –2


      d)                                e)                           f)
                   4                              4                             4

                   2                              2                             2


             –2             2       4        –2        2                  –2        2       4


      a) Solo la a).

      b) b) Rama infinita en x = 1 (asíntota vertical).
           c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
           d) Salto en x = 2.
           e) Punto desplazado en x = 1; f (1) = 4; lím f (x) = 2.
                                                                  x→1
           f ) No está definida en x = 2.



2     Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

      a) y =        3                                      b) y =      x
                  x2 + x                                            (x – 2)2
                   x–1                                                    1
      c) y =                                               d) y =
                  2x + 1                                            x 2 + 2x + 3

      e) y =         2                                     f) y =     1
                  5x – x 2                                          x2 – 2

      a) 0 y –1                                            b) 2

             1
      c) –                                                 d) Continua
             2
      e) 0 y 5                                             f ) √2 y – √2


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                  11
3     Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x = 0 y en x = –2:
                1                                                      x
      a) y =                                              b) y =
               √x                                                    x2 – 4

      c) y = √ x 2 – 4                                    d) y = √ 7 – 2x

      a) No es continua ni en x = 0 ni en x = –2.
      b) Sí es continua en x = 0, no en x = –2.
      c) No es continua en x = 0, sí en x = –2.
      d) Continua en x = 0 y en x = –2.


4     Indica para qué valores de            Á   son continuas las siguientes funciones:
                       x
      a) y = 5 –                                          b) y = √ x – 3
                       2

      c) y = √ –3x                                        d) y = √ 5 – 2x

      a)   Á                                              b) [3, +∞)

      c) (–∞, 0]                                               (
                                                          d) –∞,
                                                                       5
                                                                       2   ]
5     Calcula los siguientes límites:

      a) lím 5 –
           x→0
                   (       x
                           2   )                          b)       lím (x 3 – x)
                                                                 x → –1

                   1–x
      c) lím                                              d)       lím 2 x
           x→3     x–2                                           x → 0,5

      e)     lím       √ 10 + x – x 2                     f ) lím log2 x
           x → –2                                                x→4

      g) lím cos x                                        h) lím e x
           x→0                                                   x→2

      a) 5                                                b) 0
      c) –2                                               d) √ 2
      e) 4                                                f) 2
      g) 1                                                h) e 2


6     Calcula el límite cuando x → + ∞ de cada una de las siguientes funciones.
      Representa el resultado que obtengas.

      a) f (x) = x 3 – 10x                                b) f (x) = √ x 2 – 4
                       3–x                                            2
      c) f (x) =                                          d) f (x) = x – 2x
                        2                                               –3


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                            12
☛ Dale a x “valores grandes” y saca conclusiones.

      a) lím f (x) = +∞                                   b) lím f (x) = +∞
         x → +∞                                              x → +∞




      c) lím f (x) = –∞                                   d) lím f (x) = –∞
         x → +∞                                              x → +∞




7     Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x → – ∞ y
      representa la información que obtengas.

      a) lím       f (x) = –∞                             b) lím       f (x) = +∞
         x → –∞                                              x → –∞




      c) lím       f (x) = +∞                             d) lím       f (x) = –∞
         x → –∞                                              x → –∞




8     Comprueba, dando valores grandes a x, que las siguientes funciones tienden a
      0 cuando x → +∞.

      a) f (x) =        1                                 b) f (x) = 100
                   x2   – 10                                         3x 2
                   –7                                                      2
      c) f (x) =                                          d) f (x) =
                   √x                                                  10x 2 – x 3

      Representa gráficamente su posición sobre el eje OX o bajo el eje OX.

      a) lím       f (x) = 0                                     b) lím     f (x) = 0
         x → +∞                                                    x → +∞




      c) lím       f (x) = 0                                     d) lím     f (x) = 0
         x → +∞                                                    x → +∞




Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                          13
9     Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

      a) lím (7 + x – x 3)                                b) lím    x 2 – 10x – 32
           x → +∞                                            x → +∞        5

      c) lím
           x → +∞
                    (– x3  4
                               +
                                   x
                                   2    )
                                     – 17                 d) lím (7 – x)2
                                                             x → +∞


10    Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x → – ∞ y
      representa la información que obtengas.
      Resolución de los ejercicios 9 y 10:
      a)     lím (7 + x – x 3) = –∞;             lím   (7 + x – x 3) = +∞
           x → +∞                            x → –∞




      b)          x 2 – 10x – 32 = + ∞
             lím
           x → ±∞        5




      c)     lím
           x → ±∞
                    ( –x
                       3
                           4
                               +
                                   x
                                   2    )
                                     – 17 = –∞




      d)     lím (7 – x)2 = + ∞
           x → ±∞




Página 298
11    Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

      a) lím          3                                   b) lím    –2x 2
           x → + ∞ (x – 1)2                                  x → +∞ 3 – x

      c) lím         –1                                   d) lím          1
           x → +∞   x2 – 1                                   x → +∞   (2 – x)3

      e) lím
                  2x – 1
                                                          f ) lím   x2 + 5
           x → +∞ x + 2                                      x → +∞ 1 – x

                  2 – 3x                                            3 – 2x
      g) lím                                              h) lím
           x → +∞ x + 3                                      x → +∞ 5 – 2x

12    Calcula el límite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando x → –∞.
      Resolución de los ejercicios 11 y 12:


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                       14
a)               3     = 0;            3     =0
                                                                      Y
            lím                     lím
           x → +∞   (x – 1)2      x → – ∞ (x – 1)2                    4
                                                                       2
                                                                                   X
                                                                 –4 –2     2   4
                                                                      –2
                                                                      –4


      b)          –2x 2 = + ∞;        –2x 2 = –∞
            lím                  lím
           x → +∞ 3 – x        x → –∞ 3 – x



                                                                      Y
      c)             –1 = 0;           –1 = 0                         4
            lím                lím
           x → +∞ x 2 – 1    x → –∞ x 2 – 1
                                                                       2
                                                                                   X
                                                                 –4 –2     2   4
                                                                      –2
                                                                      –4



      d)               1     = 0;            1     =0
            lím                     lím
           x → +∞   (2 – x)3      x → – ∞ (2 – x)3



                                                                      Y
                    2x – 1             2x – 1                         4
      e)    lím            = 2;   lím         =2
           x → +∞   x+2         x → –∞ x + 2                           2
                                                                                   X
                                                                 –4 –2     2   4
                                                                      –2
                                                                      –4




      f)          x 2 + 5 = –∞;        x 2 + 5 = +∞
            lím                   lím
           x → +∞ 1 – x         x → –∞ 1 – x


                                                                      Y
                                                                      4
                  2 – 3x              2 – 3x
      g)    lím          = –3;   lím         = –3                      2
           x → +∞  x+3         x → –∞ x + 3
                                                                                   X
                                                                 –4 –2     2   4
                                                                      –2
                                                                      –4

                                                                      Y
                                                                      4
                  3 – 2x              3 – 2x
      h)    lím          = 1;   lím          =1                        2
           x → +∞ 5 – 2x      x → – ∞ 5 – 2x
                                                                                   X
                                                                 –4 –2     2   4
                                                                      –2
                                                                      –4



Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                         15
2x
13    Dada la función y =                  , halla:
                                       1–x
               2x                                                          2x
      a) lím –                                                 b) lím +
          x→1 1–x                                                     x→1 1–x
                       2x                                                       2x
      c) lím                                                   d) lím
         x → +∞       1–x                                             x → –∞   1–x
      Representa gráficamente los resultados obtenidos.
      a) + ∞
      b) –∞
      c) –2                                    1
      d) –2
                                       –2




14       f1(x)                              f2(x)


                                               –2

               –2


      Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones:
                                    1                   –1
                                  f1 (x) =  y f2 (x) =
                                 (x + 2)2              x+2
      ¿Cuál es el límite de cada una de estas funciones cuando x → –2?
      ☛ Observa la función cuando x → –2 por la izquierda y por la derecha.
                                  
         lím   –
                    f1 (x) = +∞   
       x → –2                     
                                      lím     f1 (x) = +∞
         lím        f1 (x) = +∞      x → –2
       x → –2+
                                  
         lím   –
                    f2 (x) = +∞   
       x → –2                     
                                     No existe      lím     f2 (x)
         lím        f2 (x) = –∞                    x → –2
       x → –2+


15                                                    Sobre la gráfica de la función f (x), halla:
                                                      a) lím f (x)                   b) lím f (x)
                                                           x → –3–                     x → –3+

                    –3            2                   c) lím f (x)                   d) lím f (x)
                                                           x→0                         x → –∞




Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                      16
e) lím f (x)                                         f ) lím f (x)
          x → 2–                                               x → 2+

      g) lím f (x)                                         h) lím f (x)
          x → +∞                                               x → –2

      a) + ∞                                               b) –∞
      c) 2                                                 d) 0
      e) 0                                                 f) 3
      g) + ∞                                               h) 0


16    Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la expresión
      analítica y di si son continuas o discontinuas en x = 1.


                                                           2
                 
      a) f (x) =  1 – x si x ≤ 1
                        2

                  x – 1 si x > 1                    –2            2




                  x + 2 si x < 1                          2
      b) f (x) = 
                 3      si x > 1
                                                     –2            2



                  2
      c) f (x) =  x si x ≠ 1                                  2
                  –1 si x = 1
                                                          –2           2

      a) Continua
      b) Discontinua
      c) Discontinua


                               2
17    Dada la función f (x) =  x + 1 si x < 0 , halla:
                               x + 1 si x ≥ 0
      a) lím f (x)                       b) lím f (x)                      c) lím f (x)
         x → –2                              x→3                             x→0

      ☛ Para que exista límite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los límites
      laterales.
      a) 5
      b) 4
      c) lím – f (x) =       lím f (x) = lím f (x) = 1
          x→0              x → 0+            x→0



Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                            17
 2
18    Comprueba si la función f (x) =  x – 1 si x < 0 es continua en x = 0.
                                       x – 1 si x ≥ 0
      ☛ Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que
        lím f (x) = f (0).
       x→0


        lím f (x) = lím f (x) = lím f (x) = –1 = f (0)
       x → 0–           x → 0+           x→0

      Es continua en x = 0.




Página 299
19    Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se
      indican:

                  (3 – x)/2 si x < –1
      a) f (x) =                      en x = –1
                  2x + 4    si x > –1

                        2
      b) f (x) =  2 – x     si x < 2             en x = 2
                  (x/2) – 3 si x ≥ 2
                  3x    si x ≤ 1
      c) f (x) =                 en x = 1
                  x + 3 si x > 1

      a) No, pues no existe f (–1).

      b) lím – f (x) = lím + f (x) = f (2) = –2. Sí es continua en x = 2.
          x→2              x→2

      c) lím – f (x) = 3 ≠ lím + f (x) = 4. No es continua en x = 1.
          x→1                    x→1




PARA RESOLVER
20    Calcula los siguientes límites:
                     4x                                            2
      a) lím                                              b) lím 2x + 3x
          x → 0 x2    – 2x                                  x→0     x
               3    2                                             2
      c) lím 3h – 2h                                      d) lím h – 7h
        h→0      h                                          h→0     4h
      ☛ Saca factor común y simplifica cada fracción.

                     4x                                            x (2x + 3)
      a) lím                = –2                          b) lím              =3
          x→0     x (x – 2)                                  x→0       x

      c) lím  h2 (3h – 2) = 0                             d) lím
                                                                   h (h – 7)
                                                                             =–
                                                                                7
          h→0      h                                         h→0      4h        4


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                      18
21    Resuelve los siguientes límites:
              2                                                         x3 + 1
      a) lím x – 1                                         b) lím
        x→1 x – 1                                                x → –1 x 2 + x

      c) lím    x+2                                        d) lím    x2 – x – 2
         x → –2 x 2 – 4                                          x→2   x–2
                      x+3                                              x4 – 1
      e) lím                                               f ) lím
         x → –3 x 2   + 4x + 3                                   x → 1 x2 – 1

                   (x + 1) (x – 1)
      a) lím                       =2
          x→1          (x – 1)
                x3 + 1                   2           3
      b) lím      2 + x
                        = lím (x + 1) (x – x + 1) =    = –3
         x → –1 x        x → –1     x (x + 1)       –1
                    (x + 2)        1                          (x + 1) (x – 2)
      c) lím                    =–                     d) lím                 =3
         x → –2 (x + 2) (x – 2)    4                      x→2     (x – 2)

      e) lím
                    (x + 3)
                                =–
                                   1                         (x – 1) (x 3 + x 2 + x + 1) = 2
                                                       f ) lím
         x → –3 (x + 3) (x + 1)    2                     x→1      (x – 1) (x + 1)


22    Resuelve los siguientes límites:
                    3x 2
      a) lím                                               b) lím 1 – (x – 2)2
          x → + ∞ (x – 1)2                                       x → –∞

      c) lím       1–x                                     d) lím       x3 + 1
         x → + ∞ (2x + 1)2                                       x → –∞  5x

      a) 3          b) –∞            c) 0              d) +∞


23    Calcula el límite cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞ de las siguientes fun-
      ciones y representa las ramas que obtengas:

      a) f (x) = –1                                        b) f (x) = 10x – x 3
                 x2
                   2                                                      1 – 12x 2
      c) f (x) = x                                         d) f (x) =
                x–1                                                         3x 2

      a) lím       f (x) = 0;     lím      f (x) = 0
         x → +∞                  x → –∞


      b) lím       f (x) = –∞;       lím     f (x) = +∞
          x → +∞                   x → –∞


      c) lím       f (x) = +∞;      lím      f (x) = –∞
         x → +∞                    x → –∞


      d) lím       f (x) = –4;      lím     f (x) = –4
          x → +∞                  x → –∞                                   –4



Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                 19
x2
24    Calcula el límite de la función f (x) =                           en x = 3, x = 0 y x = –1.
                                                            x2 + x
                         3
        lím f (x) =                                         lím f (x) = 0
       x→3               4                                 x→0

         lím      f (x) = +∞                                lím     f (x) = –∞
       x → –1–                                            x → –1+


25    Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su
      denominador:
                     3x                                                  x–1
      a) f (x) =                                          b) f (x) =
                    2x + 4                                              x 2 – 2x
                    x 2 – 2x                                            t 3 – 2t 2
      c) f (x) =                                          d) f (t) =
                     x2 – 4                                                 t2

      a) lím       f (x) = +∞;       lím     f (x) = –∞
         x → –2–                   x → –2+

                      x–1
      b) f (x) =
                    x (x – 2)
          lím f (x) = –∞;          lím f (x) = +∞;         lím f (x) = – ∞;            lím f (x) = +∞
         x → 0–                  x → 0+                   x → 2–                      x → 2+

                       x (x – 2)
      c) f (x) =
                    (x – 2) (x + 2)
                             2  1
          lím f (x) =          = ;  lím f (x) = +∞;   lím f (x) = –∞
         x→2                 4  2 x → –2–           x → –2+

                   t 2 (t – 2)
      d) f (t) =               ; lím f (t ) = –2
                        t2       t→0


26    Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva con respecto a ellas:
                     2x                                                 x–1
      a) f (x) =                                          b) f (x) =
                    x–3                                                 x+3
                     1                                                      1
      c) f (x) =                                          d) f (x) =
                    2–x                                                 x2   +9

      e) f (x) =      3x                                  f ) f (x) =      –1
                    x2 –1                                               (x + 2)2

      a) Asíntota vertical: x = 3
         Asíntota horizontal: y = 2                                 2



                                                                                  3




Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                          20
b) Asíntota vertical: x = –3
         Asíntota horizontal: y = 1
                                                                                1

                                                                     –3




      c) Asíntota vertical: x = 2
         Asíntota horizontal: y = 0
                                                                                    2




      d) Asíntota vertical: y = 0
         No tiene más asíntotas.




      e) Asíntota vertical: x = 1, x = –1
         Asíntota horizontal: y = 0                                       –1        1




      f ) Asíntota vertical: x = –2
         Asíntota horizontal: y = 0                                   –2




27    Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua.
      Hállala y estudia la posición de la curva respecto a ella:
                    2                                                          2
      a) f (x) = 3x                                       b) f (x) = 3 + x – x
                 x+1                                                     x
                   2                                                  2
      c) f (x) = 4x – 3                                   d) f (x) = x + x – 2
                   2x                                                  x–3

                   2x 3 – 3                                              2
      e) f (x) =                                          f ) f (x) = –2x + 3
                    x2 – 2                                             2x – 2


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                          21
a)   3x 2 = 3x – 3 +  3
           x+1             x+1
           Asíntota oblicua: y = 3x – 3                                           1

                                                                         –3


                  2           3
      b) 3 + x – x = –x + 1 +
             x                x                                              1
           Asíntota oblicua: y = –x + 1                                           1




           2            3
      c) 4x – 3 = 2x –
           2x          2x                                                    1

           Asíntota oblicua: y = 2x                                               1




          2                   10
      d) x + x – 2 = x + 4 +
            x–3              x–3                                                      4

           Asíntota oblicua: y = x + 4

                                                                        –4




           2x 3 – 3
      e)            = 2x + 4x – 3
            x2 – 2          x2 – 2                                           1
           Asíntota oblicua: y = 2x                                               1



             2                 1
      f ) –2x + 3 = –x – 1 +
           2x – 2            2x – 2
                                                                         –1
           Asíntota oblicua: y = –x – 1
                                                                             –1




28    Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ca-
      da una de ellas:
                      2                                            5x – 2
      a) y = (3 – x )                                     b) y =
              2x + 1                                               2x – 7
                                                                        x2
      c) y = x + 2                                        d) y =
             x2 – 1                                                x2   +x+1
                 x3                                                  2
      e) y =                                              f ) y = 3x
               x2 –4                                              x+2


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                            22
1    13    49/4                                        Y
      a) y =     x–    +
               2     4   2x + 1                                       2
                         1      1    13                                                                  X
         Asíntotas: x = – ; y =   x–                             –2        2        4        6   8
                         2      2     4                               –2
                                                                      –4




                                                                               Y
                             5      7
      b) Asíntotas: y =        ; x=                                             4
                             2      2
                                                                                2
                                                                                                         X
                                                                 –6 –4 –2                    2   4   6
                                                                               –2
                                                                               –4


                                                                               Y
      c) Asíntotas: y = 0; x = ±1                                               4
                                                                                2
                                                                                                         X
                                                                 –6 –4 –2                    2   4   6
                                                                               –2
                                                                               –4


                                                                               Y
      d) Asíntotas: y = 1
                                                                                4
                                                                                2
                                                                                                         X
                                                                 –6 –4 –2                    2   4   6
                                                                               –2
                                                                               –4


                          4x                                                   Y
      e) y = x +
                    (x + 2) (x – 2)                                             4
         Asíntotas: y = x; x = –2, x = 2                                        2
                                                                                                         X
                                                                 –6 –4 –2                    2   4   6
                                                                               –2
                                                                               –4


                                                                                    Y
                                                                                    2
      f ) Asíntotas: x = –2; y = 3x – 6
                                                                                    1
                                                                                                         X
                                                                 –3 –2 –1                    1   2   3
                                                                                        –1
                                                                                        –2
                                                                                        –3



Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                               23
29    Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa
      la curva:
               x4 – 1                                              (x + 3)2
      a) y =                                              b) y =
                x2                                                 (x + 1)2

                  1                                                 x2 – 1
      c) y =                                              d) y =
               9 – x2                                              2x 2 + 1
                2                                                   x3
      e) y = 2x                                           f) y =
             x+3                                                   2x – 5


      a)     lím f (x) = +∞;         lím f (x) = +∞
           x → +∞                  x → –∞
           Asíntota vertical: x = 0



      b) Asíntota vertical: x = –1
                                                                                  1
           Asíntota horizontal: y = 1
                                                                             –1




      c) Asíntotas verticales: x = 3, x = –3
           Asíntota horizontal: y = 0                                 –3                  3




                                                                                  1
                                          1
      d) Asíntota horizontal: y =
                                          2



      e) Asíntota vertical: x = –3
           Asíntota oblicua: y = 2x – 6                                     –4        4

                                                                                 –6




      f)    lím f (x) = +∞;          lím f (x) = +∞
           x → +∞                  x → –∞
                                      5                                           1 2 3
           Asíntota vertical: x =
                                      2


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                24
Página 300
                                                x2 – 4
30    Prueba que la función f (x) =                      solo tiene una asíntota vertical y otra
                                                x 2 – 2x
      horizontal.
      ☛ Al hallar lím f (x) verás que no es ∞.
                       x→2


        lím f (x) = 2;       lím f (x) = –∞;         lím f (x) = +∞;    lím     f (x) = 1
       x→2                 x → 0–                   x → 0+             x → ±∞

      Asíntota vertical: x = 0
      Asíntota horizontal: y = 1


31    Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que
      obtengas:
               x2 – x – 6
      a) lím
          x → 3 x 2 – 3x

                x 2 – 3x + 2
      b) lím
          x → 1 x 2 – 2x + 1


             x2 – x – 6       (x – 3) (x + 2)   5
      a) lím            = lím                 =                                             3
         x→3  x 2 – 3x   x→3     x (x – 3)      3
                                                                                            2
                                                                                            1
                                                                                                1 2 3

              x 2 – 3x + 2       (x – 2) (x – 1)       x–2
      b) lím               = lím                 = lím
          x→1 x 2 – 2x + 1
                             x→1    (x – 1)2       x→1 x – 1

          Calculamos los límites laterales:
                                                                                                1
                 x–2                 x–2
           lím         = + ∞; lím          = –∞
          x → 1– x – 1        x → 1– x – 1
                              x 2 – 3x + 2
          No existe lím
                        x → 1 x 2 – 2x + 1



32    Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
                x 2 – 2x
      a) lím
          x → 0 x3 + x2

                     x3 + x2
      b) lím
          x → –1 x 2  + 2x + 1
              x4 – 1
      c) lím
          x→1 x – 1

                  2x 2 – 8
      d) lím
          x → 2 x 2 – 4x + 4



Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                      25
x 2 – 2x       x (x – 2)           x–2
      a) lím          = lím            = lím
         x→0 x 3 + x2
                       x→0  x 2 (x + 1) x → 0 x (x + 1)
         Calculamos los límites laterales:
                     x–2                    x–2
           lím               = +∞; lím              = –∞
          x → 0–   x (x + 1)       x → 0+ x (x + 1)



                        x3 + x2           x 2 (x + 1)          x2
      b) lím                      = lím               = lím
          x → –1    x2   + 2x + 1  x → –1 (x + 1)  2
                                                       x → –1 x+1                         –1

         Calculamos los límites laterales:
                   x2                  x2
            lím         = –∞;   lím         = +∞
          x → –1– x + 1       x → –1+ x + 1
                                                                                               4


             x4 – 1       (x – 1) (x 3 + x 2 + x + 1)
      c) lím        = lím                             =4
         x→1 x – 1   x→1             x–1                                                           1




                    2x 2 – 8        2 (x – 2) (x + 2)       2 (x + 2)
      d) lím                  = lím                   = lím
         x→2       x2– 4x + 4  x→2       (x – 2)2      x→2    x–2
                                                                                                       2
         Calculamos los límites laterales:
                   2 (x + 2)             2 (x + 2)
           lím –             = –∞; lím             = +∞
          x→2        x–2           x→2 +   x–2



33    Halla las asíntotas de las funciones:
                  x3                                              3
      a) y =                                              b) y = x + 1
                 x2 – 1                                            x
                 2x 2 + 5                                           x2 + 1
      c) y =                                              d) y =
               x 2 – 4x + 5                                        (x 2 – 1)2
              2                                                            5
      e) y = x – 5x + 4                                   f) y = x + 1 +
                x–5                                                        x
                           x
      a) y = x +                                          b) Asíntota vertical: x = 0
                    (x – 1) (x + 1)
         Asíntotas verticales: x = –1, x = 1
         Asíntota oblicua: y = x

      c) Asíntota horizontal: y = 2                       d) Asíntota horizontal: y = 0
                                                             Asíntotas verticales: x = ±1

      e) x = 5, y = x                                     f ) Asíntota vertical: x = 0
                                                             Asíntota oblicua: y = x + 1


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                             26
34    Representa las siguientes funciones y explica si son discontinuas en alguno
      de sus puntos:
                  2x – 1 si x < 3
      a) f (x) = 
                  5 – x si x ≥ 3
                 1      si x ≤ 0
      b) f (x) =  2
                  x + 1 si x > 0
                  2
      c) f (x) =  x – 2 si x < 2
                 x      si x > 2

      a) Discontinua en x = 3.                      Y

                                                    4
                                                    2
                                                                                               X
                                                              1       2     3 4     5   6
                                                         –2




      b) Función continua.                                        Y

                                                                  8
                                                                  6
                                                                  4
                                                                  2
                                                                                                  X
                                                    –4 –2                   2   4   6   8



      c) Discontinua en x = 2.                           Y

                                                          4
                                                          2
                                                    –1                1                        X
                                                                            2   3   4   5
                                                         –2




35    a) Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior en x = –3 y x = 5.
      b) Halla, en cada una de ellas, el límite cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞.

      a) lím       f (x) = –7;    lím f (x) = 0;         lím          f (x) = –∞;           lím        f (x) = –∞
         x → –3                  x→5                    x → +∞                           x → –∞

      b) lím       f (x) = 1;    lím f (x) = 26;         lím              f (x) = +∞;       lím        f (x) = 1
          x → –3                 x→5                    x → +∞                           x → –∞

      c) lím       f (x) = 7;    lím f (x) = 5;         lím       f (x) = + ∞;           lím          f (x) = +∞
         x → –3                  x→5                x → +∞                              x → –∞


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                                      27
36    Calcula los límites cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞ de las siguientes fun-
      ciones:
      a) f (x) = 2x – 1                                   b) f (x) = 0,75x
      c) f (x) = 1 + e x                                  d) f (x) = 1/e x

      a) lím        f (x) = +∞;      lím    f (x) = 0
           x → +∞                  x → –∞
      b) lím        f (x) = 0;     lím     f (x) = +∞
           x → +∞                 x → –∞

      c) lím        f (x) = +∞;      lím    f (x) = 1
           x → +∞                  x → –∞

      d) lím        f (x) = 0;     lím     f (x) = +∞
           x → +∞                 x → –∞



37    Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones exponenciales:
      a) y = 2 x + 3                                      b) y = 1,5 x – 1
      c) y = 2 + e x                                      d) y = e –x

      a) lím        f (x) = +∞;      lím    f (x) = 0
           x → +∞                  x → –∞
           Asíntota horizontal cuando x → –∞: y = 0

      b) lím        f (x) = +∞;      lím     f (x) = –1
           x → +∞                  x → –∞
           Asíntota horizontal cuando x → –∞: y = –1

      c) lím        f (x) = +∞;      lím    f (x) = 2
           x → +∞                  x → –∞
           Asíntota horizontal cuando x → –∞: y = 2

      d) lím        f (x) = 0;     lím     f (x) = +∞
           x → +∞                 x → –∞
           Asíntota horizontal cuando x → –∞: y = 0



38    Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f (x) sea continua
      en todo Á.
                      2
      a)     f (x) =  x – 4 si x ≤ 3
                      x + k si x > 3

                      6 – (x/2) si x < 2
      b)     f (x) =  2
                      x + kx si x ≥ 2

                      2
      c)     f (x) =  (x + x)/x si x ≠ 0
                     k          si x = 0


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas               28

      a) lím – f (x) = 5 = f (3)      
          x→3                         
                                         5=3+k → k=2
           lím + f (x) = 3 + k        
          x→3


                                           
      b) lím – f (x) = 5                   
          x→2                              
                                              5 = 4 + 2k → k = 1/2
           lím + f (x) = 4 + 2k = f (2)    
          x→2



                                  x (x + 1)
      c) lím f (x) = lím                    =1 → k=1
          x→0            x→0          x




39    Estudia la continuidad de estas funciones:

                  2 – x si x < 1
      a) f (x) = 
                  1/x   si x ≥ 1

                  –x – 1        si –1 ≥ x
                 
      b) f (x) =  1 – x 2       si – 1 < x < 1
                 x–1            si      x≥1
                 

                 
      c) f (x) =  1 – x si x ≤ 0
                        2
                    x+1
                 2       si x > 0

      a) lím – f (x) = lím f (x) = f (1) = 1 → Continua en x = 1
          x→1             x → 1+
         x ≠ 1 → Continua
         Es continua en       Á   .


      b) lím – f (x) = lím f (x) = f (–1) = 0 → Continua en x = 1
          x → –1           x → –1+

           lím f (x) = lím f (x) = f (1) = 0 → Continua en x = 1
          x → 1–          x → 1+
         x ≠ 1 y x ≠ –1 → Continua

         Es continua en       Á   .


      c) lím – f (x) = 1 ≠ lím f (x) = 2 → Discontinua en x = 0
          x→0                  x → 0+
         Si x ≠ 0, es continua.


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas        29
40    Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en x = 1:
                 x+1       si x ≤ 1                                   2
      a) f (x) =                                          b) f (x) =  (x – 1)/(x – 1) si x ≠ 1
                  4 – ax 2 si x > 1                                  a                si x = 1
                                         
      a) lím – f (x) = 2 = f (1)         
          x→1                            
                                             2=4–a → a=2
           lím f (x) = 4 – a             
          x→    1+
                                                           
                                    (x – 1) (x + 1)        
      b) lím f (x) = lím                            =2
         x→1                  x→1       (x – 1)            
                                                               a=2
                                                           
         f (1) = a                                         



41    En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes reali-
      zados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrena-
                                                       30t
      miento según la función M (t) =                      (t en días).
                                                       t+4
      a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Y el décimo?
      b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un
         mes.
      c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si nunca acabara el entrena-
         miento?
      a) M (1) = 6 montajes el primer día.
         M (10) = 21,43 → 21 montajes el décimo día.

      b) 25

          20

          15

          10

            5

                     5   10    15   20   25    30


      c) Se aproxima a 30 pues      (          lím
                                              t → +∞
                                                       30t
                                                       t+4
                                                           = 30 .)
Página 301
42    El gasto mensual en alimentación de una familia depende de su renta, x. Así:
                                         0,6x + 200                 si 0 ≤ x ≤ 1 000
                                g (x) = 
                                         1 000x/(x + 250)           si    x > 1 000


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                 30
donde los ingresos y los gastos vienen expresados en euros.
      a) Representa g (x) y di si es función continua.
      b) Calcula el límite de g (x) cuando x → + ∞ y explica su significado.
      a) 1 000

             800
                                                                 Es continua.
             600

             400

             200

                        1 000     2 000      3 000     4 000

      b) lím g (x) = 1 000.
            x → +∞
            Como máximo gastan 1 000 € al mes en alimentación.



CUESTIONES TEÓRICAS
43    ¿Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función
      no esté definida? ¿Puede ser la función continua en ese punto?
      Sí se puede calcular, pero no puede ser continua.


44    ¿Puede tener una función dos asíntotas verticales? En caso afirmativo, pon
      un ejemplo.
      Sí. Por ejemplo, f (x) =   1    tiene x = 0 y x = 1 como asíntotas verticales.
                               x – x2


45    El denominador de una función f (x) se anula en x = a. ¿Existe necesaria-
      mente una asíntota vertical en x = a ? Pon ejemplos.
                                 2
      No. Por ejemplo, f (x) = 3x + x                 en x = 0; puesto que:
                                  x
                                                           x (3x + 1)
                                          lím f (x) = lím             =1
                                       x→0             x→0     x


46    ¿Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales?
      Sí.


47    Representa una función que cumpla estas condiciones:
                         lím f (x) = + ∞,             lím      f (x) = 2,    lím     f (x) = 0
                        x→3                          x → –∞                 x → +∞
      ¿Es discontinua en algún punto?


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                   31
Sí, es discontinua al menos en x = 3.                                        Y

                                                                                       4


                                                                                       2


                                                                                                           X
                                                                –4        –2                   2       4




48    Representa una función que verifique estas condiciones:
         lím f (x) = 2                                               Y
       x → –∞
                                                                      4
         lím f (x) = 0
       x → +∞

        lím f (x) = + ∞                                               2
       x → 1–

        lím f (x) = – ∞                                                                            X
       x → 1+                                     –4       –2                      2       4

                                                                     –2


                                                                     –4




49    Si lím f (x) = 5, ¿podemos afirmar que f es continua en x = 2?
          x→2

      No. Para que fuera continua debería ser, además, f (2) = 5.


                                                                1/x si x ≠ 0
50    ¿Existe algún valor de k para el cual la función f (x) =                                                 sea
                                                               k    si x = 0
      continua en x = 0? Justifica tu respuesta.
      No, puesto que no existe lím f (x).
                                        x→0




PARA PROFUNDIZAR
51    Calcula los siguientes límites:

      a) lím
          x → +∞   √   x+3
                       x–2
                                                          b) lím
                                                                x → +∞
                                                                          √x + 1
                                                                               x


      c) lím
                   √x 2 + 1                               d) lím
                                                                         3x – 1
          x → –∞       x                                        x → + ∞ √x 2 + 4



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a) lím
         x → +∞    √   x+3
                       x–2
                           = lím
                            x → +∞         √    x
                                                x
                                                  = lím √ 1 = √ 1 = 1
                                                   x → +∞


      b) lím
                   √x + 1 =               √x =             1
                                                             =0
                            lím                lím
          x → +∞       x        x → +∞ x          x → + ∞ √x


      c) lím
                   √x 2 + 1 =              √x 2 =            x  = –1
                              lím                 lím
         x → –∞        x         x → –∞     x       x → –∞    x

                     3x – 1           3x            3x
      d) lím                 = lím         = lím        =3
          x → +∞    √x 2 + 4  x → + ∞ √x 2  x → +∞ x 



52    Puesto que           lím (x 2 – 3x) = + ∞ halla un valor de x para el cual x 2 – 3x
                       x → +∞
      sea mayor que 5 000.
      Por ejemplo, para x = 100, f (x) = 9 700.


                                                                   1
53    Halla un valor de x para el cual f (x) =                          sea menor que 0,001.
                                                                 3x – 5
      Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 0,00033.


54    Halla los siguientes límites:

      a) lím ( √ x – x)                                   b) lím (2 x – x 3)
          x → +∞                                             x → +∞

                x
      c) lím                                              d) lím 0,75 x – x
         x → +∞ ex                                           x → –∞

      a) –∞                                               b) +∞
      c) 0                                                d) +∞


55    ¿Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su límite
      cuando x → + ∞:
      a) y = log2 (x – 3)
      b) y = ln (x + 2)

      a) Asíntota vertical: x = 3
             lím f (x) = +∞
          x → +∞

      b) Asíntota vertical: x = –2
             lím   f (x) = +∞
          x → +∞


Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas                                 33
PARA PENSAR UN POCO MÁS
56    Raquel quiere subir en bicicleta al mirador de la montaña y luego bajar, de
      modo que la velocidad media con la que realice el recorrido de ida y vuelta
      sea de 40 km/h. Ya ha subido y lo ha hecho a 20 km/h. Se pregunta a qué ve-
      locidad deberá bajar para conseguir su objetivo.
      a) Halla la velocidad media final para velocidades de bajada de 60, 80, 100 y
         200 km/h.
      b) Halla la expresión de la velocidad media final, V, para una velocidad de
         bajada de x km/h.
      c) Comprueba que la velocidad media deseada, 40 km/h, es el límite lím V.
         ¿Qué significa esto?                                           x → +∞

      d) Vuelve sobre el enunciado razonando del siguiente modo: si la velocidad
         media en la subida es la mitad de la deseada es porque el tiempo emplea-
         do ha sido el doble, es decir, el tiempo que tardó en subir es tanto como
         tenía para subir y bajar. Se ha quedado sin tiempo. ¡Ha de bajar a veloci-
         dad infinita!
      a)
            VELOCIDAD DE BAJADA           60       80     100     200
            VELOCIDAD MEDIA FINAL         30       32    33,33 36,36

      b) Llamamos d = distancia que tiene que recorrer en la subida. Por tanto, entre la
         subida y la bajada recorre 2d.
                                                  espacio
           Recordamos que: velocidad =
                                                  tiempo
           El tiempo que tarda en total será el que tarda en subir (a 20 km/h) más el que
           tarda en bajar (a x km/h):
                                  d
                                  20
                                     +
                                       d
                                       x
                                         =d
                                             1
                                            20
                                               +
                                                 1
                                                 x (
                                                   =d
                                                      x + 20
                                                       20x       ) (    )
           La velocidad media final será entonces:
                    2d          2d           2 · 20x    40x              40x
              V=       =                   =         =        → V (x) =
                     t   d [(x + 20)/20x ]   x + 20    x + 20           x + 20

      c) Por tanto:       lím V (x) = 40
                        x → +∞

           Significa que, por muy rápido que baje, su velocidad media total no superará los
           40 km/h.




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  • 1. 11 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Página 272 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE 2 El valor de la función f (x) = x + 4x – 45 para x = 5 no se puede obtener directa- 2x – 10 mente porque el denominador se hace cero. Lo obtendremos por aproximaciones sucesivas, dando a x los valores 4; 4,9; 4,99; … I Comprueba que: f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995 I Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); … I ¿Te parece razonable afirmar que, cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x) se aproxima a 7? Lo expresamos así: lím f (x) = 7 x→5 x2 + 4x – 45 , entonces: I Si f (x) = 2x - 10 f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995 lím f (x) = 7 x→5 2 I Calcula, análogamente, lím x + 6x – 27 . x→3 2x – 6 I f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995 lím f (x) = 6 x→3 Problema 1 Representa gráficamente las siguientes funciones y di, de cada una de ellas, si es continua o discontinua: 4 x<0  2  a) y =  x + 3 x<1 b) y =  4 – x 0≤x≤5  5 – x2 x≥1  2x – 11  x>5  x2 x<0  —  c) y =  √x + 3 x<1 d) y =  2x 0≤x<3  2/x x≥1 x+2 x≥3  Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 1
  • 2. a) b) 6 6 4 4 2 2 –2 2 –4 –2 2 4 6 8 –2 –2 c) 6 d) 8 4 6 2 4 –4 –2 2 4 6 2 –2 –4 –2 2 4 6 Las tres primeras son continuas y d) es discontinua. Página 273 Problema 2 x 2 – 3x + 1 Vamos a comprobar que la gráfica de la función y = f (x) = se x–1 aproxima a la recta de ecuación y = x – 2. I Completa en tu cuaderno esta representación, obteniendo los valores de f (x) para los siguientes valores de x : 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 2
  • 3. Comprueba para valores muy grandes de x que la diferencia entre curva y recta llega a ser muy pequeña. x 50 100 1 000 y = f (x) y=x–2 DIFERENCIA De este modo se comprueba que la recta y = x – 2 es asintota de la función x 2 – 3x + 1 y= x–1 I Comprueba, mediante pasos similares a los anteriores, que la función x3 y= 2 tiene por asíntota a la recta de ecuación y = x + 2. x – 2x I x 5 6 7 8 9 10 11 10 f (x) 2,75 3,8 4,83 5,86 6,88 7,89 8,9 8 6 x 50 100 1 000 4 y = f (x) 47,98 97,99 997,999 2 y=x–2 48 98 998 DIFERENCIA 0,02 0,01 0,001 –2 2 4 6 8 10 –2 x3 10 I Para y = f (x) = x2 – 2x 8 x 50 100 1 000 6 y = f (x) 52,08 102,04 1 002,004 4 y=x+2 52 102 1 002 2 DIFERENCIA 0,08 0,04 0,004 –2 2 4 6 8 –2 Página 275 1. Explica por qué la función y = x 2 – 5 es continua en todo Á. Porque es polinómica. 2. Explica por qué la función y = √ 5 – x es continua en (– ∞, 5]. Porque (–∞, 5] es su dominio, y en él no hay ningún punto crítico. Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 3
  • 4. 3. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es con- tinua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta: x+2 2 2 a) y = b) y = x – 3x c) y = x – 3 x–3 x x  3x – 4, x < 3  3 si x ≠ 4 d) y = 1 e) y =  f) y =  x2  x + 1, x ≥ 3  1 si x = 4 a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical). d) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical). e) Salto en x = 3. f ) Salto en x = 4. Página 278 1. Calcula el valor de los siguientes límites: 3 a) lím b) lím (cos x – 1) x→0 x–2 x→0 3 a) – b) –2 2 2. Calcula estos límites: a) lím √ x 2 – 3x + 5 b) lím log10 x x→2 x → 0,1 a) √ 3 b) –1 Página 279  3 si x ≠ 3 sea continua en 3. Calcula k para que y =  x – 2x + k Á . 7 si x = 3  lím (x 3 – 2x + k) = 21 + k  x→3   21 + k = 7 → k = –14 f (3) = 7  Página 281 4. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del punto. Representa gráficamente los resultados. x3 a) f (x) = en –2, 0 y 2 b) f (x) = 4x – 12 en 2, 0 y 3 x2 –4 (x – 2)2 x 2 – 2x + 1 x4 c) f (x) = en 1 y –3 d) f (x) = en 0 y –3 x 2 + 2x – 3 x 3 + 3x 2 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 4
  • 5. a) f (x) = x3 (x + 2) (x – 2)  lím f (x) = –∞  x → –2–   No existe lím f (x) –2 2 3 f (x) = +∞ x → –2 lím  x → –2+ lím f (x) = 0 x→0  lím f (x) = –∞  x → 2–   No existe lím f (x) x→2 lím + f (x) = +∞  x→2 b) f (x) = 4 (x – 3) (x – 2)2 lím f (x) = – ∞ x→2 2 3 lím f (x) = –3 x→0 –3 lím f (x) = 0 x→3 c) f (x) = (x – 1)2 (x – 1) (x + 3) lím f (x) = 0 x→1 –3 1  lím f (x) = +∞  x → –3–   No existe lím f (x) f (x) = –∞ x → –3 lím  x → –3+ x4 d) f (x) = x 2 (x + 3) lím f (x) = 0 x→0 –3  lím f (x) = –∞  x → –3–   No existe lím f (x) f (x) = +∞ x → –3 lím  x → –3+ Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 5
  • 6. Página 282 1. Di el límite cuando x → + ∞ de las siguientes funciones dadas por sus gráficas: y = f4(x) y = f2(x) y = f3(x) y = f1(x) lím f1 (x) = –∞ lím f2 (x) = –3 x → +∞ x → +∞ lím f3 (x) = +∞ lím f4 (x) no existe x → +∞ x → +∞ Página 283 1. Di el valor del límite cuando x → + ∞ de las siguientes funciones: a) f (x) = –x 2 + 3x + 5 b) f (x) = 5x 3 + 7x c) f (x) = x – 3x 4 1 1 x3 – 1 d) f (x) = e) f (x) = – f ) f (x) = 3x x2 –5 a) –∞ b) +∞ c) –∞ d) 0 e) 0 f ) –∞ 2. Como lím (x 3 – 200x 2) = + ∞, halla un valor de x para el cual x 3 – 200x 2 x → +∞ sea mayor que 1 000 000. Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 800 000 000. 1 1 3. Como lím = 0, halla un valor de x para el cual sea x → +∞ x 2 – 10x x 2 – 10x menor que 0,0001. Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 0,00000101. Página 284 4. Calcula lím f (x) y representa sus ramas: x → +∞ 1 3 a) f (x) = b) f (x) = 3x x 1 c) f (x) = – d) f (x) = 3x – 5 x2 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 6
  • 7. a) 0 b) 0 c) 0 d) +∞ 5. Calcula lím f (x) y representa sus ramas: x → +∞ x3 – 1 x2 – 3 a) f (x) = b) f (x) = –5 x3 x3 1 – x3 c) f (x) = d) f (x) = x2–3 1 + x3 a) –∞ b) 0 c) +∞ d ) –1 –1 Página 285 1. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas: x 2 + 3x + 11 x 2 + 3x a) y = b) y = x+1 x+1  a) lím f (x) = – ∞  x → –1–   x = –1 es asíntota vertical lím f (x) = +∞  –1 x → –1+  b) lím f (x) = +∞  x → –1–   x = –1 es asíntota vertical lím f (x) = – ∞  x → –1+ –1 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 7
  • 8. 2. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas: x2 + 2 x2 + 2 a) y = b) y = x 2 – 2x x2 – 2x + 1  a) lím f (x) = +∞  x → 0–   x = 0 es asíntota vertical lím f (x) = –∞  x → 0+ 2  lím f (x) = –∞  x → 2–   x = 2 es asíntota vertical lím f (x) = +∞  x → 2+  b) lím – f (x) = +∞  x→1   x = 1 es asíntota vertical lím f (x) = +∞  1 x → 1+ Página 287 3. Halla las ramas infinitas, cuando x → + ∞, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a su asíntota: x x3 a) y = b) y = 1 + x2 1 + x2 a) lím f (x) = 0 → y = 0 es asíntota horizontal. x → +∞ b) y = x + –x → y = x es asíntota oblicua. 1 1 + x2 1 4. Halla las ramas infinitas, x → +∞, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a sus asíntotas, si las hay: x2 + 2 3 2 a) y = b) y = 2x – 3x + 7 x 2 – 2x x Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 8
  • 9. a) lím f (x) = 1 → y = 1 es asíntota horizontal. x → +∞ 1 b) grado de P – grado de Q ≥ 2 lím f (x) = +∞ → rama parabólica hacia arriba. x → +∞ Página 288 1. Halla lím f (x) y representa la rama correspondiente: x → –∞ f (x) = –2x 3 + 7x 4 – 3 lím f (x) = lím 7x 4 = + ∞ x → –∞ x → –∞ 2. Halla lím f (x) y traza las ramas correspondientes: x → –∞ a) f (x) = (x 2 + 3)/(–x 3) b) f (x) = –x 3/(x 2 + 3) x2 1 a) lím f (x) = lím = lím =0 x → –∞ x → – ∞ –x 3 x → – ∞ –x –x 3 b) lím f (x) = lím = lím –x = +∞ x → –∞ x → –∞ x2 x → –∞ Página 289 3. Halla las ramas infinitas, x → – ∞ de estas funciones y sitúa la curva respecto a las asíntotas: 1 x x2 x3 a) y = b) y = c) y = d) y = x2 +1 1 + x2 1 + x2 1 + x2 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 9
  • 10. a) lím f (x) = 0 → y = 0 es asíntota horizontal. x → –∞ b) lím f (x) = 0 → y = 0 es asíntota horizontal. x → –∞ c) lím f (x) = 1 → y = 1 es asíntota horizontal. 1 x → –∞ d) y = x + –x → y = x es asíntota oblicua. 1 1 + x2 1 4. Halla las ramas infinitas, cuando x → – ∞, y si tienen asíntotas, sitúa la curva respecto a ellas: x4 x2 + 2 2 3 2 a) y = b) y = c) y = x + 3x d) y = 2x – 3x x2 + 1 x 2 – 2x x+1 x a) grado P – grado Q ≥ 2 lím f (x) = +∞ → rama parabólica. x → –∞ b) lím f (x) = 1 → y = 1 es asíntota horizontal. 1 x → –∞ –2 c) y = x + 2 + → y = x + 2 es asíntota oblicua. 2 x+1 –2 d) lím f (x) = lím (2x 2 – 3x) = +∞ x → –∞ x → –∞ Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 10
  • 11. Página 297 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR 1 a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua? b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad. a) b) c) 2 2 –2 2 –2 2 –2 2 –2 –2 d) e) f) 4 4 4 2 2 2 –2 2 4 –2 2 –2 2 4 a) Solo la a). b) b) Rama infinita en x = 1 (asíntota vertical). c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical). d) Salto en x = 2. e) Punto desplazado en x = 1; f (1) = 4; lím f (x) = 2. x→1 f ) No está definida en x = 2. 2 Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a) y = 3 b) y = x x2 + x (x – 2)2 x–1 1 c) y = d) y = 2x + 1 x 2 + 2x + 3 e) y = 2 f) y = 1 5x – x 2 x2 – 2 a) 0 y –1 b) 2 1 c) – d) Continua 2 e) 0 y 5 f ) √2 y – √2 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 11
  • 12. 3 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x = 0 y en x = –2: 1 x a) y = b) y = √x x2 – 4 c) y = √ x 2 – 4 d) y = √ 7 – 2x a) No es continua ni en x = 0 ni en x = –2. b) Sí es continua en x = 0, no en x = –2. c) No es continua en x = 0, sí en x = –2. d) Continua en x = 0 y en x = –2. 4 Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones: x a) y = 5 – b) y = √ x – 3 2 c) y = √ –3x d) y = √ 5 – 2x a) Á b) [3, +∞) c) (–∞, 0] ( d) –∞, 5 2 ] 5 Calcula los siguientes límites: a) lím 5 – x→0 ( x 2 ) b) lím (x 3 – x) x → –1 1–x c) lím d) lím 2 x x→3 x–2 x → 0,5 e) lím √ 10 + x – x 2 f ) lím log2 x x → –2 x→4 g) lím cos x h) lím e x x→0 x→2 a) 5 b) 0 c) –2 d) √ 2 e) 4 f) 2 g) 1 h) e 2 6 Calcula el límite cuando x → + ∞ de cada una de las siguientes funciones. Representa el resultado que obtengas. a) f (x) = x 3 – 10x b) f (x) = √ x 2 – 4 3–x 2 c) f (x) = d) f (x) = x – 2x 2 –3 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 12
  • 13. ☛ Dale a x “valores grandes” y saca conclusiones. a) lím f (x) = +∞ b) lím f (x) = +∞ x → +∞ x → +∞ c) lím f (x) = –∞ d) lím f (x) = –∞ x → +∞ x → +∞ 7 Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x → – ∞ y representa la información que obtengas. a) lím f (x) = –∞ b) lím f (x) = +∞ x → –∞ x → –∞ c) lím f (x) = +∞ d) lím f (x) = –∞ x → –∞ x → –∞ 8 Comprueba, dando valores grandes a x, que las siguientes funciones tienden a 0 cuando x → +∞. a) f (x) = 1 b) f (x) = 100 x2 – 10 3x 2 –7 2 c) f (x) = d) f (x) = √x 10x 2 – x 3 Representa gráficamente su posición sobre el eje OX o bajo el eje OX. a) lím f (x) = 0 b) lím f (x) = 0 x → +∞ x → +∞ c) lím f (x) = 0 d) lím f (x) = 0 x → +∞ x → +∞ Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 13
  • 14. 9 Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas: a) lím (7 + x – x 3) b) lím x 2 – 10x – 32 x → +∞ x → +∞ 5 c) lím x → +∞ (– x3 4 + x 2 ) – 17 d) lím (7 – x)2 x → +∞ 10 Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando x → – ∞ y representa la información que obtengas. Resolución de los ejercicios 9 y 10: a) lím (7 + x – x 3) = –∞; lím (7 + x – x 3) = +∞ x → +∞ x → –∞ b) x 2 – 10x – 32 = + ∞ lím x → ±∞ 5 c) lím x → ±∞ ( –x 3 4 + x 2 ) – 17 = –∞ d) lím (7 – x)2 = + ∞ x → ±∞ Página 298 11 Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: a) lím 3 b) lím –2x 2 x → + ∞ (x – 1)2 x → +∞ 3 – x c) lím –1 d) lím 1 x → +∞ x2 – 1 x → +∞ (2 – x)3 e) lím 2x – 1 f ) lím x2 + 5 x → +∞ x + 2 x → +∞ 1 – x 2 – 3x 3 – 2x g) lím h) lím x → +∞ x + 3 x → +∞ 5 – 2x 12 Calcula el límite de todas las funciones del ejercicio anterior cuando x → –∞. Resolución de los ejercicios 11 y 12: Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 14
  • 15. a) 3 = 0; 3 =0 Y lím lím x → +∞ (x – 1)2 x → – ∞ (x – 1)2 4 2 X –4 –2 2 4 –2 –4 b) –2x 2 = + ∞; –2x 2 = –∞ lím lím x → +∞ 3 – x x → –∞ 3 – x Y c) –1 = 0; –1 = 0 4 lím lím x → +∞ x 2 – 1 x → –∞ x 2 – 1 2 X –4 –2 2 4 –2 –4 d) 1 = 0; 1 =0 lím lím x → +∞ (2 – x)3 x → – ∞ (2 – x)3 Y 2x – 1 2x – 1 4 e) lím = 2; lím =2 x → +∞ x+2 x → –∞ x + 2 2 X –4 –2 2 4 –2 –4 f) x 2 + 5 = –∞; x 2 + 5 = +∞ lím lím x → +∞ 1 – x x → –∞ 1 – x Y 4 2 – 3x 2 – 3x g) lím = –3; lím = –3 2 x → +∞ x+3 x → –∞ x + 3 X –4 –2 2 4 –2 –4 Y 4 3 – 2x 3 – 2x h) lím = 1; lím =1 2 x → +∞ 5 – 2x x → – ∞ 5 – 2x X –4 –2 2 4 –2 –4 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 15
  • 16. 2x 13 Dada la función y = , halla: 1–x 2x 2x a) lím – b) lím + x→1 1–x x→1 1–x 2x 2x c) lím d) lím x → +∞ 1–x x → –∞ 1–x Representa gráficamente los resultados obtenidos. a) + ∞ b) –∞ c) –2 1 d) –2 –2 14 f1(x) f2(x) –2 –2 Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones: 1 –1 f1 (x) = y f2 (x) = (x + 2)2 x+2 ¿Cuál es el límite de cada una de estas funciones cuando x → –2? ☛ Observa la función cuando x → –2 por la izquierda y por la derecha.  lím – f1 (x) = +∞  x → –2   lím f1 (x) = +∞ lím f1 (x) = +∞  x → –2 x → –2+  lím – f2 (x) = +∞  x → –2   No existe lím f2 (x) lím f2 (x) = –∞  x → –2 x → –2+ 15 Sobre la gráfica de la función f (x), halla: a) lím f (x) b) lím f (x) x → –3– x → –3+ –3 2 c) lím f (x) d) lím f (x) x→0 x → –∞ Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 16
  • 17. e) lím f (x) f ) lím f (x) x → 2– x → 2+ g) lím f (x) h) lím f (x) x → +∞ x → –2 a) + ∞ b) –∞ c) 2 d) 0 e) 0 f) 3 g) + ∞ h) 0 16 Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la expresión analítica y di si son continuas o discontinuas en x = 1. 2  a) f (x) =  1 – x si x ≤ 1 2  x – 1 si x > 1 –2 2  x + 2 si x < 1 2 b) f (x) =  3 si x > 1 –2 2  2 c) f (x) =  x si x ≠ 1 2  –1 si x = 1 –2 2 a) Continua b) Discontinua c) Discontinua  2 17 Dada la función f (x) =  x + 1 si x < 0 , halla:  x + 1 si x ≥ 0 a) lím f (x) b) lím f (x) c) lím f (x) x → –2 x→3 x→0 ☛ Para que exista límite en el punto de ruptura, tienen que ser iguales los límites laterales. a) 5 b) 4 c) lím – f (x) = lím f (x) = lím f (x) = 1 x→0 x → 0+ x→0 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 17
  • 18.  2 18 Comprueba si la función f (x) =  x – 1 si x < 0 es continua en x = 0.  x – 1 si x ≥ 0 ☛ Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que lím f (x) = f (0). x→0 lím f (x) = lím f (x) = lím f (x) = –1 = f (0) x → 0– x → 0+ x→0 Es continua en x = 0. Página 299 19 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican:  (3 – x)/2 si x < –1 a) f (x) =  en x = –1  2x + 4 si x > –1  2 b) f (x) =  2 – x si x < 2 en x = 2  (x/2) – 3 si x ≥ 2  3x si x ≤ 1 c) f (x) =  en x = 1  x + 3 si x > 1 a) No, pues no existe f (–1). b) lím – f (x) = lím + f (x) = f (2) = –2. Sí es continua en x = 2. x→2 x→2 c) lím – f (x) = 3 ≠ lím + f (x) = 4. No es continua en x = 1. x→1 x→1 PARA RESOLVER 20 Calcula los siguientes límites: 4x 2 a) lím b) lím 2x + 3x x → 0 x2 – 2x x→0 x 3 2 2 c) lím 3h – 2h d) lím h – 7h h→0 h h→0 4h ☛ Saca factor común y simplifica cada fracción. 4x x (2x + 3) a) lím = –2 b) lím =3 x→0 x (x – 2) x→0 x c) lím h2 (3h – 2) = 0 d) lím h (h – 7) =– 7 h→0 h h→0 4h 4 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 18
  • 19. 21 Resuelve los siguientes límites: 2 x3 + 1 a) lím x – 1 b) lím x→1 x – 1 x → –1 x 2 + x c) lím x+2 d) lím x2 – x – 2 x → –2 x 2 – 4 x→2 x–2 x+3 x4 – 1 e) lím f ) lím x → –3 x 2 + 4x + 3 x → 1 x2 – 1 (x + 1) (x – 1) a) lím =2 x→1 (x – 1) x3 + 1 2 3 b) lím 2 + x = lím (x + 1) (x – x + 1) = = –3 x → –1 x x → –1 x (x + 1) –1 (x + 2) 1 (x + 1) (x – 2) c) lím =– d) lím =3 x → –2 (x + 2) (x – 2) 4 x→2 (x – 2) e) lím (x + 3) =– 1 (x – 1) (x 3 + x 2 + x + 1) = 2 f ) lím x → –3 (x + 3) (x + 1) 2 x→1 (x – 1) (x + 1) 22 Resuelve los siguientes límites: 3x 2 a) lím b) lím 1 – (x – 2)2 x → + ∞ (x – 1)2 x → –∞ c) lím 1–x d) lím x3 + 1 x → + ∞ (2x + 1)2 x → –∞ 5x a) 3 b) –∞ c) 0 d) +∞ 23 Calcula el límite cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞ de las siguientes fun- ciones y representa las ramas que obtengas: a) f (x) = –1 b) f (x) = 10x – x 3 x2 2 1 – 12x 2 c) f (x) = x d) f (x) = x–1 3x 2 a) lím f (x) = 0; lím f (x) = 0 x → +∞ x → –∞ b) lím f (x) = –∞; lím f (x) = +∞ x → +∞ x → –∞ c) lím f (x) = +∞; lím f (x) = –∞ x → +∞ x → –∞ d) lím f (x) = –4; lím f (x) = –4 x → +∞ x → –∞ –4 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 19
  • 20. x2 24 Calcula el límite de la función f (x) = en x = 3, x = 0 y x = –1. x2 + x 3 lím f (x) = lím f (x) = 0 x→3 4 x→0 lím f (x) = +∞ lím f (x) = –∞ x → –1– x → –1+ 25 Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que anulan su denominador: 3x x–1 a) f (x) = b) f (x) = 2x + 4 x 2 – 2x x 2 – 2x t 3 – 2t 2 c) f (x) = d) f (t) = x2 – 4 t2 a) lím f (x) = +∞; lím f (x) = –∞ x → –2– x → –2+ x–1 b) f (x) = x (x – 2) lím f (x) = –∞; lím f (x) = +∞; lím f (x) = – ∞; lím f (x) = +∞ x → 0– x → 0+ x → 2– x → 2+ x (x – 2) c) f (x) = (x – 2) (x + 2) 2 1 lím f (x) = = ; lím f (x) = +∞; lím f (x) = –∞ x→2 4 2 x → –2– x → –2+ t 2 (t – 2) d) f (t) = ; lím f (t ) = –2 t2 t→0 26 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva con respecto a ellas: 2x x–1 a) f (x) = b) f (x) = x–3 x+3 1 1 c) f (x) = d) f (x) = 2–x x2 +9 e) f (x) = 3x f ) f (x) = –1 x2 –1 (x + 2)2 a) Asíntota vertical: x = 3 Asíntota horizontal: y = 2 2 3 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 20
  • 21. b) Asíntota vertical: x = –3 Asíntota horizontal: y = 1 1 –3 c) Asíntota vertical: x = 2 Asíntota horizontal: y = 0 2 d) Asíntota vertical: y = 0 No tiene más asíntotas. e) Asíntota vertical: x = 1, x = –1 Asíntota horizontal: y = 0 –1 1 f ) Asíntota vertical: x = –2 Asíntota horizontal: y = 0 –2 27 Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua. Hállala y estudia la posición de la curva respecto a ella: 2 2 a) f (x) = 3x b) f (x) = 3 + x – x x+1 x 2 2 c) f (x) = 4x – 3 d) f (x) = x + x – 2 2x x–3 2x 3 – 3 2 e) f (x) = f ) f (x) = –2x + 3 x2 – 2 2x – 2 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 21
  • 22. a) 3x 2 = 3x – 3 + 3 x+1 x+1 Asíntota oblicua: y = 3x – 3 1 –3 2 3 b) 3 + x – x = –x + 1 + x x 1 Asíntota oblicua: y = –x + 1 1 2 3 c) 4x – 3 = 2x – 2x 2x 1 Asíntota oblicua: y = 2x 1 2 10 d) x + x – 2 = x + 4 + x–3 x–3 4 Asíntota oblicua: y = x + 4 –4 2x 3 – 3 e) = 2x + 4x – 3 x2 – 2 x2 – 2 1 Asíntota oblicua: y = 2x 1 2 1 f ) –2x + 3 = –x – 1 + 2x – 2 2x – 2 –1 Asíntota oblicua: y = –x – 1 –1 28 Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ca- da una de ellas: 2 5x – 2 a) y = (3 – x ) b) y = 2x + 1 2x – 7 x2 c) y = x + 2 d) y = x2 – 1 x2 +x+1 x3 2 e) y = f ) y = 3x x2 –4 x+2 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 22
  • 23. 1 13 49/4 Y a) y = x– + 2 4 2x + 1 2 1 1 13 X Asíntotas: x = – ; y = x– –2 2 4 6 8 2 2 4 –2 –4 Y 5 7 b) Asíntotas: y = ; x= 4 2 2 2 X –6 –4 –2 2 4 6 –2 –4 Y c) Asíntotas: y = 0; x = ±1 4 2 X –6 –4 –2 2 4 6 –2 –4 Y d) Asíntotas: y = 1 4 2 X –6 –4 –2 2 4 6 –2 –4 4x Y e) y = x + (x + 2) (x – 2) 4 Asíntotas: y = x; x = –2, x = 2 2 X –6 –4 –2 2 4 6 –2 –4 Y 2 f ) Asíntotas: x = –2; y = 3x – 6 1 X –3 –2 –1 1 2 3 –1 –2 –3 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 23
  • 24. 29 Halla las ramas infinitas de estas funciones. Cuando tengan asíntotas, sitúa la curva: x4 – 1 (x + 3)2 a) y = b) y = x2 (x + 1)2 1 x2 – 1 c) y = d) y = 9 – x2 2x 2 + 1 2 x3 e) y = 2x f) y = x+3 2x – 5 a) lím f (x) = +∞; lím f (x) = +∞ x → +∞ x → –∞ Asíntota vertical: x = 0 b) Asíntota vertical: x = –1 1 Asíntota horizontal: y = 1 –1 c) Asíntotas verticales: x = 3, x = –3 Asíntota horizontal: y = 0 –3 3 1 1 d) Asíntota horizontal: y = 2 e) Asíntota vertical: x = –3 Asíntota oblicua: y = 2x – 6 –4 4 –6 f) lím f (x) = +∞; lím f (x) = +∞ x → +∞ x → –∞ 5 1 2 3 Asíntota vertical: x = 2 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 24
  • 25. Página 300 x2 – 4 30 Prueba que la función f (x) = solo tiene una asíntota vertical y otra x 2 – 2x horizontal. ☛ Al hallar lím f (x) verás que no es ∞. x→2 lím f (x) = 2; lím f (x) = –∞; lím f (x) = +∞; lím f (x) = 1 x→2 x → 0– x → 0+ x → ±∞ Asíntota vertical: x = 0 Asíntota horizontal: y = 1 31 Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas: x2 – x – 6 a) lím x → 3 x 2 – 3x x 2 – 3x + 2 b) lím x → 1 x 2 – 2x + 1 x2 – x – 6 (x – 3) (x + 2) 5 a) lím = lím = 3 x→3 x 2 – 3x x→3 x (x – 3) 3 2 1 1 2 3 x 2 – 3x + 2 (x – 2) (x – 1) x–2 b) lím = lím = lím x→1 x 2 – 2x + 1 x→1 (x – 1)2 x→1 x – 1 Calculamos los límites laterales: 1 x–2 x–2 lím = + ∞; lím = –∞ x → 1– x – 1 x → 1– x – 1 x 2 – 3x + 2 No existe lím x → 1 x 2 – 2x + 1 32 Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: x 2 – 2x a) lím x → 0 x3 + x2 x3 + x2 b) lím x → –1 x 2 + 2x + 1 x4 – 1 c) lím x→1 x – 1 2x 2 – 8 d) lím x → 2 x 2 – 4x + 4 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 25
  • 26. x 2 – 2x x (x – 2) x–2 a) lím = lím = lím x→0 x 3 + x2 x→0 x 2 (x + 1) x → 0 x (x + 1) Calculamos los límites laterales: x–2 x–2 lím = +∞; lím = –∞ x → 0– x (x + 1) x → 0+ x (x + 1) x3 + x2 x 2 (x + 1) x2 b) lím = lím = lím x → –1 x2 + 2x + 1 x → –1 (x + 1) 2 x → –1 x+1 –1 Calculamos los límites laterales: x2 x2 lím = –∞; lím = +∞ x → –1– x + 1 x → –1+ x + 1 4 x4 – 1 (x – 1) (x 3 + x 2 + x + 1) c) lím = lím =4 x→1 x – 1 x→1 x–1 1 2x 2 – 8 2 (x – 2) (x + 2) 2 (x + 2) d) lím = lím = lím x→2 x2– 4x + 4 x→2 (x – 2)2 x→2 x–2 2 Calculamos los límites laterales: 2 (x + 2) 2 (x + 2) lím – = –∞; lím = +∞ x→2 x–2 x→2 + x–2 33 Halla las asíntotas de las funciones: x3 3 a) y = b) y = x + 1 x2 – 1 x 2x 2 + 5 x2 + 1 c) y = d) y = x 2 – 4x + 5 (x 2 – 1)2 2 5 e) y = x – 5x + 4 f) y = x + 1 + x–5 x x a) y = x + b) Asíntota vertical: x = 0 (x – 1) (x + 1) Asíntotas verticales: x = –1, x = 1 Asíntota oblicua: y = x c) Asíntota horizontal: y = 2 d) Asíntota horizontal: y = 0 Asíntotas verticales: x = ±1 e) x = 5, y = x f ) Asíntota vertical: x = 0 Asíntota oblicua: y = x + 1 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 26
  • 27. 34 Representa las siguientes funciones y explica si son discontinuas en alguno de sus puntos:  2x – 1 si x < 3 a) f (x) =   5 – x si x ≥ 3 1 si x ≤ 0 b) f (x) =  2  x + 1 si x > 0  2 c) f (x) =  x – 2 si x < 2 x si x > 2 a) Discontinua en x = 3. Y 4 2 X 1 2 3 4 5 6 –2 b) Función continua. Y 8 6 4 2 X –4 –2 2 4 6 8 c) Discontinua en x = 2. Y 4 2 –1 1 X 2 3 4 5 –2 35 a) Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior en x = –3 y x = 5. b) Halla, en cada una de ellas, el límite cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞. a) lím f (x) = –7; lím f (x) = 0; lím f (x) = –∞; lím f (x) = –∞ x → –3 x→5 x → +∞ x → –∞ b) lím f (x) = 1; lím f (x) = 26; lím f (x) = +∞; lím f (x) = 1 x → –3 x→5 x → +∞ x → –∞ c) lím f (x) = 7; lím f (x) = 5; lím f (x) = + ∞; lím f (x) = +∞ x → –3 x→5 x → +∞ x → –∞ Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 27
  • 28. 36 Calcula los límites cuando x → + ∞ y cuando x → – ∞ de las siguientes fun- ciones: a) f (x) = 2x – 1 b) f (x) = 0,75x c) f (x) = 1 + e x d) f (x) = 1/e x a) lím f (x) = +∞; lím f (x) = 0 x → +∞ x → –∞ b) lím f (x) = 0; lím f (x) = +∞ x → +∞ x → –∞ c) lím f (x) = +∞; lím f (x) = 1 x → +∞ x → –∞ d) lím f (x) = 0; lím f (x) = +∞ x → +∞ x → –∞ 37 Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones exponenciales: a) y = 2 x + 3 b) y = 1,5 x – 1 c) y = 2 + e x d) y = e –x a) lím f (x) = +∞; lím f (x) = 0 x → +∞ x → –∞ Asíntota horizontal cuando x → –∞: y = 0 b) lím f (x) = +∞; lím f (x) = –1 x → +∞ x → –∞ Asíntota horizontal cuando x → –∞: y = –1 c) lím f (x) = +∞; lím f (x) = 2 x → +∞ x → –∞ Asíntota horizontal cuando x → –∞: y = 2 d) lím f (x) = 0; lím f (x) = +∞ x → +∞ x → –∞ Asíntota horizontal cuando x → –∞: y = 0 38 Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f (x) sea continua en todo Á.  2 a) f (x) =  x – 4 si x ≤ 3  x + k si x > 3  6 – (x/2) si x < 2 b) f (x) =  2  x + kx si x ≥ 2  2 c) f (x) =  (x + x)/x si x ≠ 0 k si x = 0 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 28
  • 29. a) lím – f (x) = 5 = f (3)  x→3   5=3+k → k=2 lím + f (x) = 3 + k  x→3  b) lím – f (x) = 5  x→2   5 = 4 + 2k → k = 1/2 lím + f (x) = 4 + 2k = f (2)  x→2 x (x + 1) c) lím f (x) = lím =1 → k=1 x→0 x→0 x 39 Estudia la continuidad de estas funciones:  2 – x si x < 1 a) f (x) =   1/x si x ≥ 1  –x – 1 si –1 ≥ x  b) f (x) =  1 – x 2 si – 1 < x < 1 x–1 si x≥1   c) f (x) =  1 – x si x ≤ 0 2 x+1 2 si x > 0 a) lím – f (x) = lím f (x) = f (1) = 1 → Continua en x = 1 x→1 x → 1+ x ≠ 1 → Continua Es continua en Á . b) lím – f (x) = lím f (x) = f (–1) = 0 → Continua en x = 1 x → –1 x → –1+ lím f (x) = lím f (x) = f (1) = 0 → Continua en x = 1 x → 1– x → 1+ x ≠ 1 y x ≠ –1 → Continua Es continua en Á . c) lím – f (x) = 1 ≠ lím f (x) = 2 → Discontinua en x = 0 x→0 x → 0+ Si x ≠ 0, es continua. Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 29
  • 30. 40 Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en x = 1: x+1 si x ≤ 1  2 a) f (x) =  b) f (x) =  (x – 1)/(x – 1) si x ≠ 1  4 – ax 2 si x > 1 a si x = 1  a) lím – f (x) = 2 = f (1)  x→1   2=4–a → a=2 lím f (x) = 4 – a  x→ 1+  (x – 1) (x + 1)  b) lím f (x) = lím =2 x→1 x→1 (x – 1)  a=2  f (1) = a  41 En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes reali- zados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrena- 30t miento según la función M (t) = (t en días). t+4 a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Y el décimo? b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes. c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si nunca acabara el entrena- miento? a) M (1) = 6 montajes el primer día. M (10) = 21,43 → 21 montajes el décimo día. b) 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30 c) Se aproxima a 30 pues ( lím t → +∞ 30t t+4 = 30 .) Página 301 42 El gasto mensual en alimentación de una familia depende de su renta, x. Así:  0,6x + 200 si 0 ≤ x ≤ 1 000 g (x) =   1 000x/(x + 250) si x > 1 000 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 30
  • 31. donde los ingresos y los gastos vienen expresados en euros. a) Representa g (x) y di si es función continua. b) Calcula el límite de g (x) cuando x → + ∞ y explica su significado. a) 1 000 800 Es continua. 600 400 200 1 000 2 000 3 000 4 000 b) lím g (x) = 1 000. x → +∞ Como máximo gastan 1 000 € al mes en alimentación. CUESTIONES TEÓRICAS 43 ¿Se puede calcular el límite de una función en un punto en el que la función no esté definida? ¿Puede ser la función continua en ese punto? Sí se puede calcular, pero no puede ser continua. 44 ¿Puede tener una función dos asíntotas verticales? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí. Por ejemplo, f (x) = 1 tiene x = 0 y x = 1 como asíntotas verticales. x – x2 45 El denominador de una función f (x) se anula en x = a. ¿Existe necesaria- mente una asíntota vertical en x = a ? Pon ejemplos. 2 No. Por ejemplo, f (x) = 3x + x en x = 0; puesto que: x x (3x + 1) lím f (x) = lím =1 x→0 x→0 x 46 ¿Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales? Sí. 47 Representa una función que cumpla estas condiciones: lím f (x) = + ∞, lím f (x) = 2, lím f (x) = 0 x→3 x → –∞ x → +∞ ¿Es discontinua en algún punto? Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 31
  • 32. Sí, es discontinua al menos en x = 3. Y 4 2 X –4 –2 2 4 48 Representa una función que verifique estas condiciones: lím f (x) = 2 Y x → –∞ 4 lím f (x) = 0 x → +∞ lím f (x) = + ∞ 2 x → 1– lím f (x) = – ∞ X x → 1+ –4 –2 2 4 –2 –4 49 Si lím f (x) = 5, ¿podemos afirmar que f es continua en x = 2? x→2 No. Para que fuera continua debería ser, además, f (2) = 5.  1/x si x ≠ 0 50 ¿Existe algún valor de k para el cual la función f (x) =  sea k si x = 0 continua en x = 0? Justifica tu respuesta. No, puesto que no existe lím f (x). x→0 PARA PROFUNDIZAR 51 Calcula los siguientes límites: a) lím x → +∞ √ x+3 x–2 b) lím x → +∞ √x + 1 x c) lím √x 2 + 1 d) lím 3x – 1 x → –∞ x x → + ∞ √x 2 + 4 Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 32
  • 33. a) lím x → +∞ √ x+3 x–2 = lím x → +∞ √ x x = lím √ 1 = √ 1 = 1 x → +∞ b) lím √x + 1 = √x = 1 =0 lím lím x → +∞ x x → +∞ x x → + ∞ √x c) lím √x 2 + 1 = √x 2 = x  = –1 lím lím x → –∞ x x → –∞ x x → –∞ x 3x – 1 3x 3x d) lím = lím = lím =3 x → +∞ √x 2 + 4 x → + ∞ √x 2 x → +∞ x  52 Puesto que lím (x 2 – 3x) = + ∞ halla un valor de x para el cual x 2 – 3x x → +∞ sea mayor que 5 000. Por ejemplo, para x = 100, f (x) = 9 700. 1 53 Halla un valor de x para el cual f (x) = sea menor que 0,001. 3x – 5 Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 0,00033. 54 Halla los siguientes límites: a) lím ( √ x – x) b) lím (2 x – x 3) x → +∞ x → +∞ x c) lím d) lím 0,75 x – x x → +∞ ex x → –∞ a) –∞ b) +∞ c) 0 d) +∞ 55 ¿Cuál es la asíntota vertical de estas funciones logarítmicas? Halla su límite cuando x → + ∞: a) y = log2 (x – 3) b) y = ln (x + 2) a) Asíntota vertical: x = 3 lím f (x) = +∞ x → +∞ b) Asíntota vertical: x = –2 lím f (x) = +∞ x → +∞ Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 33
  • 34. PARA PENSAR UN POCO MÁS 56 Raquel quiere subir en bicicleta al mirador de la montaña y luego bajar, de modo que la velocidad media con la que realice el recorrido de ida y vuelta sea de 40 km/h. Ya ha subido y lo ha hecho a 20 km/h. Se pregunta a qué ve- locidad deberá bajar para conseguir su objetivo. a) Halla la velocidad media final para velocidades de bajada de 60, 80, 100 y 200 km/h. b) Halla la expresión de la velocidad media final, V, para una velocidad de bajada de x km/h. c) Comprueba que la velocidad media deseada, 40 km/h, es el límite lím V. ¿Qué significa esto? x → +∞ d) Vuelve sobre el enunciado razonando del siguiente modo: si la velocidad media en la subida es la mitad de la deseada es porque el tiempo emplea- do ha sido el doble, es decir, el tiempo que tardó en subir es tanto como tenía para subir y bajar. Se ha quedado sin tiempo. ¡Ha de bajar a veloci- dad infinita! a) VELOCIDAD DE BAJADA 60 80 100 200 VELOCIDAD MEDIA FINAL 30 32 33,33 36,36 b) Llamamos d = distancia que tiene que recorrer en la subida. Por tanto, entre la subida y la bajada recorre 2d. espacio Recordamos que: velocidad = tiempo El tiempo que tarda en total será el que tarda en subir (a 20 km/h) más el que tarda en bajar (a x km/h): d 20 + d x =d 1 20 + 1 x ( =d x + 20 20x ) ( ) La velocidad media final será entonces: 2d 2d 2 · 20x 40x 40x V= = = = → V (x) = t d [(x + 20)/20x ] x + 20 x + 20 x + 20 c) Por tanto: lím V (x) = 40 x → +∞ Significa que, por muy rápido que baje, su velocidad media total no superará los 40 km/h. Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas 34