1. .AI..;

2. Temas que trata la obra:
Sisternas de coordenadas
Grafica de una ecuacion y lugares geometricos
La linea recta
Ecuacion de la circunferencia
Transforrnacion de coordenadas
La parabola
La elipse
La hiperbola
Ecuacion general de segundo grado
Coordenadas polares
Ecuaciones parametricas
Curvas planas de grado superior
El punto en el espacio
El plano
La recta en el espacio
Superficies
Curvas en el espacio

3. GEOMETRI'A
ANALITICA

5. CHARLES H. LEHMANN
Profesor de Materniticas
The Cooper Union School of Engineering
E D I T O R I A L L I M U S A
MEXICO ESPANA VENEZUELA ARGENTINA
COLOMBIA PUERTO RlCO

6. Titulo de la obra en inglis:
ANALYTIC GEOMETRY
@ Copyright by John Wiley and Sons, Inc.,
de Nueva York, E.U.A.
Traduecion at espafiol:
Ing. Rafael Garcia h'az
Lapresentation y disppsicibn en conjunto de
GEOME TRIA ANALI TICA
son propledad del editor. Nlnguna parte de esta obra
puede set reproducida o transrniti'da, rnediante ningun sistema
o metodo, electr6nico o rnecdnico (incluyendo el fotocoplado,
ib grabacibn o cuoiquier sistenw de recuperocibn y almacenamiento
de /nFormod6n), sin consentimiento por escrito del editor.
Derechos reservados:
@ 1989, EDITORIAL LtMUSA, S. A. de C. V.
Balderas 95, Primer piso, 06040, MCxico, D. F.
Miembro de la C6mara Nacional de la
Industria Editorial. Registro Num. 121
Primera retmpresibn: 1980
Segunda reimpresibn: 1980
Tercera reimpressn: 1980
Cuarta reimpresibn: 1981
Quinta reimpresi6n: 1982
Sexta reimpresi6rr: 1982
Septirna reimpresibn: 1984
Octava reimpresi6n: 1984
Novena reimpresi6n: 1985
DBcima reimpresibn: 1986
Decimaprimera reimpresi6n: 1986
Decimasegunda reimpresibn: 1988
Decimatercera reimpresibn: 1989
Impreso en Mdxico
(7911)

7. El libro que presentamos constituye un curso de Geometria analiticn
plana y del espacio. Supone el conocimiento, por parte del lector, de
10s principios fundarnentales de Geonletria elelnental, Trigonoilletria
plana y Algebra.
En su prepumidn el autor se 1x1esforzado, principal~nente,en satis-
facer las necesidades de ri~aestrosy alalilnos. Una simple lectura del
indice mostrarQque 10s temas considerados son aquellos incluidos gene-
rallnente en 10s libros de tcxto de Geomctria analitica. Creeinos que el
iriaestro encontrari en cste libro todo el material que puede considerar
como esencial para un curso de ests materia, ya quc no tw conveniente,
por lo general, el tener que complenlcntar un libro dc texto con material
de otros libros.
El n16todo didictico etnpleado en todo el lihro consta de las siguien-
tcs partcs: orientaci6n, lnotivo, tliscusitin y cjen~plos,a la manera de
una lcccirin oral.
l'ara orientacicin dcl cstudiante, el autor ha usaclo el metodo dc pre-
sc~ntarpril~leroideas fa~i~iliarcsy pasar luego paulatinalnente y de una
n1anrl.a natural a nuevos conceptos. Por esta mzcin, cada capitulo co-
n~ienzncon un articulo preliminar. Este enlace dc 10s conocimientos
a~teriorrsdel estudiante con 10s nuevos conceptos de la Geometria ana-
litica es tle considerable in~portanciit,porque un ma1 entendimiento del
ir16todonnalitico en 10s principios conducid, inrvitablemente, a dificul-
tatlcs continuas en las pnrtes m6s nvanzadas.
En el desarrollo de 10s temm se ha pllesto cspecial cuidado en fijar el
motivo. Esto es necesario si se quiere que el alumno obtenga un conoci-
lniento bdsico de 10snGtodos analiticos y no haga una sinlple adquisicicin
de hechos geom6tricos. Se ha heello todo lo posible por encauzar el pro-
ceso de razonnmiento de tal mnnera que apsrte a1 estudiante de la :area
de nlemorizar.
En general, henlos resumido en fornla de teoreinas 10s resultados de
la discusidn de un problema o una proposicidn particular. Este proce-

8. dimiento no solamede sirve para llamar la ntenci6n sobre 10s resultndos
lmportnntes, sino catnbiQnclasiiica a dichos resultados para futura refe-
rencin.
El maestro verli que este libro se presta en sf a ser dividido en lecciones
para 1&?tareas diarias. El estudio de cada asunto va seguido usualnlente
de uno o mlis ejemplos y de un conjunto de ejercicios relacionados con la
teoria explicada.
Q~eremosahora llamar la atenci6n sobre algunas caracteristicas espe-
ciales del libro. El estudio de la ~eomkGiatibfditica no alcanza uno de sus
princ:ipsles objetivos si no da un anlilisis completo de cualquiera investiga-
cilh particular que se trate. El ser conciso en la presentaci6n no sejustifica.
siertamente si una conclusi6n estli basada en la discusibh:di?'dri"'~virios
onsos posibles. E s . p ~ resto pue la ~inveatigaci61i,de cada cuestidn sk ha
hecho tan,completa como ha sido posiblei; f !loicasos 'excep~ionalesno
han sido consideradoe. Algunos ejemplos de esto pueden verse en la dis-5
cusi6n de Ins posiciones relati~adde do; Wdtas it.."^); 1it"determina-
ci6n de la distancia de unarekta ti un pu'h'to dado (A&: 93) 'ji el &stu?fi&:
de las fanlilias o hrtces de cfrcunferencias (Art. 421.; ' , '
, ; , ; i ,
Otra partichlaridad de :ed& obra es el.dar en forriikde tabla o cbiidh'
sin6ptic0, un regumen d&;.CYrMulasyreswltados estreehamente rellcidl'
nados. .Una larga e~~riencia:"hk.~ciotitiehddoa1 iiitok"B'eiqu&'pa?u, . , 13'
estudiantes es una gr&ndpuda,,jj:figb:dbtales res~&-+s:" . ' t i ' !
:'- ' "' i
Se observarli que se han introducido varios t6rminos "iikddi' .P&'
ejemplo el eje focal y el eje. normal paka las se~ciorl&'kbhida'~i'(Xit.' 00),
el nombre indz'cador para el. ihvathibte' B2- 4AC dk'~&'~bilhbi6n,gkheril'
de segundo grado con dos variables (Art. 74) y el tQrrnino~~&~~h?i@&l'db'
coordenadas polares (Art. !8b).:.~~eernog~qd~;:i~-~isdd~:$~&,fe"r~riibdsy
el de 10s parentesis rectdfr&llii'& phfi:~nbei~l':ld'iifiiiiek+d'dire&di&!ddL
una recta en el espacio (Art. 1s1jSes.hhy'c-jfi+&fik!,$t&.' , ::'!' ! .'.": :. ;f:,:: : '
El desarrollo de In, ~eometria'analitie&'a?lr~~~d&i'b!'e$'~ofi6f~e'r&%?h:'-'
mente m& completo .que el que aparece e n ,1ti'ntijrbkg;Bd I'db 88tbi"iIk':
texto. Un buen fundament6 ijh ~66mitiiir';iti~liti'c&'d&~$$'#d~iili?Q'd@~@@:
valor phra estudios posteriireb'@LMatelri~kek~.~;Fciiej&:tn'fild~'ii.h.kbtb&d '
raz-onado de intersecci6n de khid&ifi$i&3&ii%$"in dl!&$$hhYda$Yd$'k '
gran ayuda para la compiensi'6n"&'ni~~h'6$~~~hi~~'d6 '&~~ii~o'?$fitiitksi-
mal. Creemos, tarribign, que se H a ific~ufdd"'sCifl~~~t:e'~d%ridba?b.'qc&'
el libro pu&a ser ficilmente.adaptg&d'&si'jciiik6~e.~&dddt~~'k~@~fib&'
, , : a ( . , i ,:.' . . , I ,;.:!,,!,!:; .>;:,< , : ' ; . ~ i ; .,,,
del eapacio.
Como es deseable que el istudiante enfticii~k~d'sit8fi6?&hi6bbf6'!u~ihi-
nirno de conceptos a la vez, se han agrupado 10s t e m e semejanies en
articulos y capituloi individudea. Esto evita l& dekentajas de la dis-
tracciijn causada por la-d?$eisi6n de 10s temas en todo el libro. Por

9. PROLOG0 VII
ejemplo, toda la parte fundamental sobre coordenadas polares estA con-
tenida en un solo capitulo. Esta concentracicin de material hace que el
libro sea ~nhs6til para consulta aun despue's qne el estudiante haya ter-
niinado su curso de Geometria analitica y este' dedicado a estudios mis
avanzados.
El libro contiene suficiente materia para un curso semestral de cinco
horas por semana pero es fitcilmente adaptable a cursos mis cortos. El
maestro puede tambie'n omitir ciertas partes de Geometria annlitica del
espacio y ver solamente aquellas indispensables para estudiar CBlculo
infinitesimal.
Se ha dado especial atencicin a 10s ejercicios, de 10s cuales hay 1920
ordenados en 71 grupos. Esto es mucho n1is de lo que normalmente
resuelven 10s alumnos en un curso, pero permite una variaci6n de tareas
de aiio a aiio. A1 final del libro se dan las soluciones a la magoria de
estos ejercicios. Ademis hay 134 ejen~plosresueltos completa~nente.
Se incluyen dos ap6ndices. El primer0 consiste en una lista resumen
de f6rmulas, definiciones y teoremas, de Geometria elemental, Algebra y
Trigonometria plana. El segundo apBndice consiste en una serie de
tablas nume'ricas para ser usndas en 10s c8lculos.
El autor desea expresar a su amigo y colega el profesor F. H. Miller
su sincera gratitud por el constante estimulo y valiosa cooeperacibn en Is
realizacibn de eu tarea. El profesor Miller ha leido el manuscrito com-
pleto cuidadosamente y ha contribuido mucho a1 valor del libro por sus
titiles augestiones y critica constructiva.
CHARLESH. LEHMANN

11. I N D I C E
GEOMETRIA ANALITlCA PLANA
C A P I T U L O P R I M E R 0
SISTEMAS DE COORDENADAS
Arilcnlo PAgina.
1. Introducci6n ....................................................................... I
2. Segmento rectilineo dirigido .................................................. 1
3. Sistema coordenado lineal ...................................................... 3
4. Sistema coordenado en el plano............................................... 5
5. Cardcter de la Geomettia analitica .......................................... 10
6. Distancia entre dos puntos dados ............................................ 11
7. Divisi6n de un segment0 en una raz6n dada............................... 12
8. Pendiente de una recta 16
9. Significado de la frase "condici6n necesaria y suficiente' '............ 19
10. Angulo de dos rectas.......................................................... 20
11. Demostraci6n de teoremas geomhtricos por el mhtodo analitico ...... 25
I2. Resumen de f6rmulas ............................................................ 30
C A P I T U L O I1
GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGAKES GEOMETlllCOS
Dos problemas fundamontales de la Geometria analitica................
Primer problema fundamental . Grafica de una ecuaci6n ...............
Intercepciones con 10s ejes .....................................................
Simetria .............................................................................
Extensi6n de una curva..........................................................
Asintotaa ...........................................................................
Construcci6n de curvaa .........................................................
Ecuaciones factorizables .......................................................
Intersecciones de curvar.........................................................
Segundo problema fundamental...............................................
Ecuaci6n de un lugar geomitrico .............................................

12. INDICE
CAPITULO 111
:ulo L A L I N E A R E C T A Pdginn.
Introduccidn ...................................................................... 56
Definicidn de linea recta ................................................. 56
Ecuacidn de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente
dada .............................................................................. 57
Otras formas de la ecuacidn de la recta .................................... 59
Forma general de la ecuacidn de una recta ................................. 65
Discusidn de la forma general................................................. 66
Posiciones relativas de dos rectas.............................................. 67
Forma normal de la ecuacidn de la recta .................................... 72
Reducci6n de la forma general de la ecuaci6n de una recta a la forma
normal ........................................................................ 75
Aplicaciones de la forma normal .............................................. 78
Area de un triingulo............................................................. 86
Ecuacidn de la recta que pasa por dos puntos, ,en forma de determi-
nante........................................................................... 88
Familias de lineas rectas ..................................................... 90
Resumen de resultados ........................................................ 96
CAPITULO IV
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
.......................................................................Introduccidn
Ecuacidn de la circunferencia; forma ordinaria ...........................
Forma general de la ecuacidn de la circunferencia ........................
Determinacidn de una circunforoncia sujeta a tres condiciones dadas.
Familias de circunferencias.....................................................
Eje radical..........................................................................
Tangente a una curva .......................................................
Tangente a una circunferencia.................................................
Teoremas y problemas de lugares geomktricos relatives a la circun-
frrencia..........................................................................
CAPITULO V
TRANSFORMACION DE COORDENADAS
Introducci6n ...................................................................... 133
Transforrnaciones .............................................................. 133
Transformacidn de coordenadas .......................................... 133
Traslaci6n de 10s ejes coordenados ........................................... 135
Rotacidn de 10s ejes coordenados .............................................. 139
.....Simplificacidn de ecuaciones por transformaci6n de coordenadas 143
CAPITULO V I
LA PARABOLA
Introducci6n ....................................................................... 149
Dcfiniciones ........................................................................ 149
Ecuacidn de la paribola de vhrtice en el origen y eje.ua eje coor-
denado.......................................................................... 150

13. Artlculo Pdgina.
56. Ecuaci6n de una paribola de vkrtice ( h , R J y eje paralelo a un eje
.......coordenado.............................................................. 154
57. Ecuaci6n de la tangente a una paribola ................................... 161
58. Lafuncibncuadritiea .......................;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
59. Algunas aplicaciones de la paribola ................................... 167
CAPITULO V11
60. Definiciones .................... ............................................ 173
61. Ecuacion de.la elipse de centrocenel origen y ejes de coordenadas 10s
ejes de la elipse ....... !...'..'..:':..'..:" ..........:............................... 174
62. Ecuaci6n de la elipse de centro ( h , k,) y ejes paralelos a 10s coor-
- I . . . .
denados ............................................................................ 180
63. Propiedades de la elipse......fi.'. ..'.:.. ...................................... 186
CAPITULO VIlIi
LA HIPERBOLA
64. Definicione~...................................................................
65. Primera ecuacion ordinaria de la hiperbola .......................... ....
66. Asintotas de la hipirbola ............................ ......................
67. Hipirbola equilltera o rectangular........... ..............................
68.': Hipirbolas conjugadas..........................................................
69. Segunda ecuacion ordinaria de la hipirbola ................................
70. 'Propiedades de la hiperbola .................... ...............................
71.. .Primer resumen relativo a las secciones cbnicas............................
CAPITULO IX
ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRAD0
72. Introducci6n ...................................................................212
73. Transformaci6n de la ecnaci6n general por rotaci6n de 10s ejes coor-
denados ........................................................................212
74. El indicador I = Ba .4AC.................................................... 215
............................. ...........75. Definici6n general de conica .... 220
..................................................76. Tangente a la c6nica general 226
.......................................77. Sistemas de c6nicas...................... 227
78. Secciones planas de un cono circular recto .................................. 233
CAPITULO X
COORDENADAS POLARES
79. Introducci6n: .................................................................... 237
80. Sistema de coordenadas polares ............................................. 237
81. Paso de coordenadas polares a rectangulates y viceversa ................. 239
82. Trazado de curvas en coordenadaa polates.................................. 244
83. Intersecciones de curvas dadas en coordenadas polares ................... 249

14. Arttcalo Pain..
....84. Formula de la distancia entre dos puntos en coordenadas polares 251
...........85. Ecuaci6n de la recta en coordenadas polares ................ ..... 253
86. Ecuacion de la circunferencia en coordenadas polares ................... 254
87. Ecuaci6n general de las conicas en coordenadas polares.................. 256
....88. Problemas relativos a lugares geometricos en coordenadas polares 261
CAPITULO XI
ECUACIONES PARAMETRICAS
89. Introduccion ...................................................................... 264
90. Obtenci6n de la ecuacion rectangular de una curva a partir de su re-
presentacion paramitrica .................................................... 2~
91. Grifica de una curva a partir de su representation paramhtrica ........ 267
92. Representaci6n paramhtrica de las chicas.................................... 269
93. La cicloide ..........................................................................272
94. Epicicloide e hipocicloide ...................................................... 274
95. Resolucidn de problemas de lugares geomhtricos por el mitodo para-
mitrico ............ .......................................................... 279
CAPITULO XI1
CVRVAS PLANAS DE GRAD0 SUPERIOR
Clasificaci6n de funciones ......................................................
Clasificacion de las curvas planas ...........................................
Algunas curvas planas algebraicas de grado superior ....................
Tres famosos problemas de la antigiiedad .................................
La sinusoide............................ ..... .................................
Otras curvas trigonomhtricas .................................................
Grificas de las funciones trigonomCtricas inversas......................
Curva logaritmica ................................................................
Curva exponencial .............................................................
Curvas compuestas ...............................................................
GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
CAPITULO XI11
Introduccion .....................................................................
Sistemas de coordenadas rectangulares en el espacio ......................
Distancia entre dos puntos dados en el espacio ............................
Division de un segment0 en el espacio en una razon dada ..............
Cosenos directorcs de una recta en el espacio...............................
Numeros directores de una recta en el espacio..............................
Angulo formado por dos rectas dirigidas en el espacio ..................
Numeros directores de una recta perpendicular a dos dadas ............

15. I N D I C E XkfL
C A P I T U L O X I V
iSrtlculo. E L P L A N 0 Bkgina.
114. I-ntroduccion...................................................................... 341
I15. Forma general d t la ecuaci6n del plano .................................. 341
116. Discusion &e la forma general ........................... ................. 344
117. Otras formas de la ccuacion del plano ....................................... 348
118. Posicioncs relativas de d o s planos ............................................ 350
119. Forma normal d e la ecuaci6n del plan0...................................... 356
I20. Aplic~cienesde la forma normal .............................................. 359
121. Famitias de planos ............................................................ 366
C A P I T U L O X V
LA RECTA E N E L ESPACIO
Introducci6n ....................................................................... 371
Forma general de Iaa ecuaciones de la recta ................................. 371
Forma s i m i t ~ i c ade las ecuaciones de la recta; ecuaciones de la resta
que pasa por dos puntos. y ecuaciones parametricas de la recta .. 372
Planos proycctantes de una recta ........................................... 377
..............Reducci6n de la forma general a la forma simitrica ........ 380
Posiciones do una recta y u n plano ......................................... 383
C A P I T U L O X V I
.....................................................................Introduction
Discusion de la ecuacion de una superficie ................................
................................................Construccion de una snperficie
......................Ecuaci6n de la superficie esfirica.......................
.............................................................Coordenadas esfericas
Ecuacion de u n s superficie cilindrica ......................................
Coordenadas cilindricas .........................................................
Ecuacion de una superficie c6nica ...........................................
........................................................Superficies do revolution
Superficies rcgladas .............................................................
Ttansformacion de coordenadas rectangulares en el espacio ............
Ecuacion general de segundo grado con tres variables ............ .......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cuidricas con cen tro
...........................................................Cuidricas sin centro
C A P I T U L O X V I I
C U R V A S E N E L ESPAClO
Introduction ................................................................... 440
Curvas planas en el esvacio .................................................. 441
Curva de interseccion de las superficies de dos c ~ ~ i n d r o srectos........ 443
Cilindros proyectantcs de una curva del espacio .......................... 444

16.