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  INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II Profesor Ing. Carlos Javier Bolaños Diego  MATERIA Investigación de Operaciones II INTEGRANTES Figueroa Olaguez Melissa06210889 Montes Tenorio Crys06210923 Medina Estrella Victoria06210919 Valdez Reyes Herolinda06210955 TEMA Análisis de Decisiones TIJUANA, B.C. A 11 DE DICIEMBRE DE 2009 ANÁLISIS DE DECISIONES Muchas veces las decisiones deben tomarse en entornos con mayor incertidumbre. Por ejemplo: Un fabricante introduce un nuevo producto al mercado. ¿Cuál será la reacción potencial de los consumidores? ¿Cuánto debe producir? ¿Debe probar el producto en una región pequeña antes de decidir la distribución completa? ¿Cuánta publicidad necesita para lanzar el producto con éxito? Una empresa financiera invierte en certificados. ¿Cuáles son los mejores prospectos de certificados de sectores del mercado e individuales? ¿Hacia dónde  va la economía? ¿Cuáles son las tasas de interés? Un contratista del gobierno presenta una licitación.  ¿Cuáles serán los costos reales del proyecto? ¿Qué otras compañías están en la licitación? ¿Cuál es su presupuesto probable? El análisis de decisiones está diseñado para estudiar estos tipos de decisiones con una gran incertidumbre.  El análisis de decisiones proporciona un marco de trabajo y una metodología para la toma de decisiones racional cuando los resultados son inciertos. Una pregunta que surge con frecuencia es si tomar la decisión necesaria en este momento o primero hacer algunas pruebas (con cierto costo) para reducir el nivel de incertidumbre sobre el resultado de la decisión.  Por ejemplo, la prueba puede ser realizar una promoción de prueba de un nuevo producto para ver la reacción del consumidor antes de tomar la decisión de proceder o no con la producción y comercialización a gran escala del producto.  Se hace referencia a esta prueba como resultado de la experimentación. Entonces, el análisis de decisiones divide la toma de decisiones en los casos sin experimentación y con experimentación. Ejemplo Prototipo La Goferbroke Company es dueña de unos terrenos en los que puede haber petróleo.  Un geólogo consultor ha informado a la gerencia que piensa que existe una posibilidad de 1 entre 4 de encontrar petróleo.  Debido a esta posibilidad, otra compañía petrolera ha ofrecido comprar las tierras en $90,000.  Sin embargo, la Geoferbroke está considerando conservarla para perforar ella misma.  El costo de perforación es de $100,000.  Si encuentra petróleo, el ingreso esperado será de $800,000; así, la ganancia esperada para la compañía (después de reducir el costo de la perforación) será de $700,000.  Se incurrirá en una pérdida de $100,000 (el costo de barrenar) sino se encuentra petróleo. La tabla 15.1 resume los datos.  Sin embargo, antes de decidir si perforar o vender, otra opción es llevar a cabo una exploración sismológica detallada en el área para obtener una mejor estimación de la probabilidad de encontrar petróleo.  Esta compañía está operando sin mucho capital por lo que una pérdida de $100,000 sería bastante seria.   Toma de Decisiones Sin Experimentación Antes de buscar una solución al problema de la Goferbroke, se formulará un marco de referencia general para la toma de decisiones.  En términos generales, el tomador de decisiones debe elegir una acción de un conjunto de acciones posibles.  El conjunto contiene todas las alternativas factibles bajo consideración para las distintas formas de proceder en el problema en cuestión. Esta elección de una acción debe hacerse frente a la incertidumbre porque el resultado se verá afectado por factores aleatorios que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones.  Estos factores aleatorios determinan qué situación se encontrará en el momento en que se ejecute la acción.  Cada una de estas situaciones posibles se conoce como un estado de la naturaleza. Para cada combinación de una acción y un estado de la naturaleza, el tomador de deciones sobre cuál sería el pago resultante.  El pago es una medida cuantitativa del valor de las consecuencias del resultado para el tomador de decisiones.  Por ejemplo, muchas veces el pago se representa por la ganancia monetaria neta (utilidad), aunque también se puede usar otras medidas.  Si las consecuencias del resultado no son por completo ciertas aunque el estado de la naturaleza esté dado, el pago se convierte en un valor esperado (en el sentido estadístico) de la medida de las consecuencias.  En general, se usa una tabla de pagos para dar el pago de cada combinación de acción y estado de la naturaleza. El marco conceptual del análisis de decisiones se puede resumir como: El tomador de decisiones necesita elegir una de las acciones posibles. La naturaleza elegirá entonces uno de los estados de la naturaleza posibles. Cada combinación de una acción y un estado de la naturaleza da como resultado un pago, que está dado como uno de los elementos de la tabla de pagos. Esta tabla de pagos debe usarse para encontrar una acción óptima para el tomador de decisiones según un criterio adecuado. El tomador de decisiones casi siempre tendrá alguna información que debe tomar en cuenta sobre la posibilidad relativa de los estados de la naturaleza.  Es común que se pueda traducir esta información en una distribución de probabilidad, si se piensa que el estado de la naturaleza es una variable aleatoria, en cuyo caso esa distribución se conoce como distribución a priori.  Las distribuciones a priori con frecuencia son subjetivas en el sentido de que pueden depender de la experiencia o la intuición de un individuo.  Las probabilidades para los respectivos estados de la naturaleza se llaman probabilidades a priori. Formulación del ejemplo prototipo en este contexto Como se indicó en la tabla 15.1, la Goferbroke Co. debe considerar dos acciones posibles: perforar en busca de petróleo o vender el terreno.  Los estados posibles de la naturaleza son  que el subsuelo contenga petróleo y que no sea así, esto se designa en los encabezados de las columnas de la tabla 15.1 como petróleo y que no sea así, esto se designa en los encabezados de las columnas 15.1 como petróleo y seco.  Debido a que el geólogo consultor ha estimado que existe 1 oportunidad entre 4 de que haya petróleo (y por ende 3 oportunidades de 4 de que no lo haya), las respectivas probabilidades a priori son 0.25 y 0.75.  Por lo tanto, con las unidades de pago en miles de dólares de ganancia, la tabla de pagos mostrada en la tabla 15.1 se puede obtener directo en la tabla 15.2.   Se usará esta tabla de pagos para encontrar la acción óptima de acuerdo con cada uno de los tres criterios que se describirán.  En cada caso se empleará una plantilla de Excel, donde ésta acelera la introducción de una tabla de pagos en el formato de una hoja de cálculo y la aplicación del criterio. Criterio del pago máximo Si el problema del tomador de decisiones se viera como un juego contra la naturaleza, entonces la teoría de juegos diría que se seleccionara la acción de acuerdo con el criterio minimax. Desde el punto de vista del jugador 1 (tomador de decisiones), un nombre más adecuado para este criterio es criterio del pago máximo, como se resume. Criterio del pago máximo: para cada acción posible, encuentre el pago mínimo sobre todos los estados posibles de la naturaleza.  Después, encuentre el máximo de estos pagos mínimo.  Elija la acción cuyo pago mínimo corresponde a este máximo. La plantilla de Excel desplegada en la figura 15.1 muestra la aplicación de este criterio al ejemplo prototipo.  Entonces, como el pago mínimo por vender (90) es más grande que el de perforar (-100), se elegirá la segunda acción (vender el terreno).  El razonamiento para este criterio es que proporciona la mejor garantía del pago que se obtendrá.  Sin importar cuál sea el estado de la naturaleza verdadero para el ejemplo, el pago por vender el terreno no puede ser menor que 90, lo cual proporciona la mejor garantía disponible.   Así el criterio toma el punto de vista pesimista de que, sin importar qué acción se elija, es posible que ocurra el peor estado de la naturaleza para esta acción, así, debe elegirse la acción que proporcione el mejor pago para el peor estado de la naturaleza. Fig. 15.1    Criterio de la máxima posibilidad El siguiente criterio se refiere al estado más probable de la naturaleza, como se resume a continuación.   Criterio de la máxima posibilidad: identifique el estado más probable de la naturaleza (aquel que tiene la probabilidad a priori más grande).  Para este estado de la naturaleza, encuentre la acción con el máximo pago.  Elija esta acción. Al aplicar este criterio al ejemplo, la figura 15.2 indica que el estado Seco tiene la mayor probabilidad a priori.  En la columna Seco, el pago máximo corresponde a la venta, por lo que la elección es vender el terreno. Lo que más llama la atención de este criterio es que el estado más importante de la naturaleza es el que tiene más posibilidades de ocurrir, de manera que la acción elegida es la mejor para este estado más importante de la naturaleza. Basar la decisión en la suposición de que este estado de la naturaleza ocurrirá tiende a dar mejor posibilidad de un resultado favorable que la suposición de cualquier otro.  Más aún, el criterio no se basa en estimaciones subjetivas cuestionables de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza que no sean el hecho de identificar el estado más probable.   La mayor desventaja del criterio es que ignora por completo mucha información relevante.  No considera otro estado de la naturaleza distinto al más probable.  En un problema con muchos estados posible de la naturaleza, la posibilidad de que ocurra el más probable puede ser bastante pequeña, por lo que centrarse sólo en este estado de la naturaleza es bastante riesgoso.  Aun en el ejemplo, donde la probabilidad a priori del estado Seco es 0.75, este criterio ignora el atractivo pago de 700 que obtiene perforar y encontrar petróleo.  De hecho, el criterio no permite jugar con un pago alto que tiene una probabilidad baja, no importa qué tan atractivo sea tomar el riesgo. Fig. 15.2   Regla de Decisión de Bayes El tercer criterio que se usa con más frecuencia es la regla de decisión de Bayes, descrita como: Regla de decisión de Bayes: usando las mejores estimaciones disponibles de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza (en este momento las probabilidades a priori), se calcula el valor esperado del pago de cada acción posible.  Se elige la acción con el máximo pago esperado. Para el ejemplo prototipo, estos pagos esperados se calculan directamente en la tabla 15.2 de la siguiente manera: E [pago (perforar)] = 0.25 (700) + 0.75 (-100)         = 100. E [pago (perforar)] = 0.25 (90) + 0.75 (90)         = 90. Como 100 es mayor que 90, la acción seleccionada es perforar en busca de petróleo. Observe que esta elección es contraria a elegir la venta del terreno obtenida con los dos criterios anteriores. La figura 15.3 muestra la aplicación en Excel para la regla de decisión de Bayes en este problema.  La palabra Maximum en la celda 15 significa que debe elegirse la alternativa de perforar en el renglón 5 porque tiene el pago máximo esperado. La gran ventaja de la regla de decisión de Bayes es que incorpora toda la información disponible, incluso todos los pagos y las mejores estimaciones disponibles de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza. Fig. 15. 3   Análisis de Sensibilidad Es común usar el análisis de sensibilidad con varias aplicaciones de investigación de operaciones para estudiar el efecto si algunos números incluidos en el modelo matemático no son correctos.  En este caso el modelo matemático está representado por la tabla de pagos mostrada en la figura 15.3.  Los números de esta tabla más cuestionables son las probabilidades a priori en las celdas C10 y D10.  La suma de las dos probabilidades a priori debe ser 1, por lo que si se aumenta una de ellas, la otra debe disminuir de manera automática en la misma cantidad, y viceversa.  La administración de Goferbroke cree que la posibilidad ideal de encontrar petróleo en el área debe estar entre 15% y 35%.  En otras palabras, es posible que la probabilidad a priori verdadera de encontrar petróleo esté entre 0.15 y 0.35, de manera que encontrar que el terreno esté seco tendrá la probabilidad a priori entre 0.85 y 0.65. El análisis de sensibilidad comienza aplicando la regla de decisión de Bayes dos veces, una cuando la probabilidad a priori del petróleo está en el límite inferior de este intervalo (0.15) y la otra cuando está en el límite superior (0.35).  La figura 15.4 muestra los resultados de hacer esto.  Cuando la probabilidad a priori del petróleo es sólo 0.15, la decisión se inclina a la venta del terreno por un amplio margen (un pago esperado de 90 contra sólo 20 por la perforación).  Sin embargo, cuando esta probabilidad es 0.35, la decisión es perforar con un margen amplio (pago esperado= 180 contra sólo 90 por la venta).  Entonces, la decisión es muy sensible a la probabilidad a priori de encontrar petróleo.  Este análisis de sensibilidad revela que es importante hacer algo más, si es posible, para determinar cuál es el valor verdadero de la probabilidad de encontrar petróleo. Sea p= probabilidad a priori de encontrar petróleo,  el pago esperado de perforar para cualquier valor de p es   E [pago (perforar)] = 700p -100 (1-P)          = 800p - 100                   Figs. 15.4   Fig. 15.5  La línea inclinada en la figura 15.5 muestra la gráfica de este pago esperado cotra p, que es justo la línea que pasa por los dos puntos dados en las celdas C10 y H5 en las dos hojas de cálculo de la figura 15.4.  Como el pago por ventas sería 90 para cualquier p, la línea horizontal de la figura 15.5 da E [pago (venta)] contra p. El punto en la figura 15.5 donde se cruzan las dos rectas es el punto de cruce donde la deceisión cambia de una alternativa (vender) a la otra (perforar) cuando la probabilidad a priori aumenta.  Para encontrar este punto se establece Conclusión: se debe vender el terreno si p<0.2375, se debe perforar en busca de petróleo si p>0.2375. E [pago (venta) = E [pago (venta)]        800p – 100 = 90            p = 190/800 = 0.2375 Toma de decisiones con experimentación Es frecuente hacer pruebas adicionales (experimentación) para mejorar las estimaciones preliminares de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza dadas por las probabilidades a priori. Estas estimaciones mejoradas se llaman probabilidades a posteriori. No se dispone de datos previos.Las circunstancias varían constantementeLa decisión se toma en forma repetida. Se dispone de datos previosLas circunstancias no varían constantementeLa decisión se toma en forma repetida.Toma de decisiones con experimentación ÁRBOLES DE DECISIÓN Un árbol de decisión proporciona una forma para desplegar visualmente un problema y después organizar el trabajo de cálculos que deben realizarse. Los árboles de decisión son especialmente útiles cuando deben tomarse una serie de decisiones. Terminología. Nodo de decisión: Indica que una decisión necesita tomarse en ese punto del proceso. Está representado por un cuadrado Nodo de probabilidad: Indica que en ese punto del proceso ocurre un evento aleatorio (estado de la naturaleza) Está representado por un círculo Rama: Nos muestra los distintos posibles caminos que se pueden emprender dado que tomamos una decisión u ocurre algún evento aleatorio.  En resumen, los árboles de decisión proveen un método efectivo para la toma de decisiones debido a que: claramente plantean el problema para que todas las opciones sean analizadas. permiten analizar totalmente las posibles consecuencias de tomar una decisión. proveen un esquema para cuantificar el costo de un resultado y la probabilidad de que suceda. nos ayuda a realizar las mejores decisiones sobre la base de la información existente y de las mejores suposiciones. Ejemplo Suponga que el estado del tiempo es variable y puede que llueva o no. Usted tiene que tomar la decisión de llevar paraguas o no. Como se había mencionado anteriormente el árbol de decisión permite visualizar completamente el problema y los cálculos asociados a éste. Además ayuda a resumir las conclusiones obtenidas al desarrollar la política óptima. Por ello se realizan árboles de decisión sin hacer los cálculos y luego árboles de decisión con los cálculos incluidos. Se puede realizar una exploración sismológica para obtener una mejor estimación de la probabilidad de que haya petróleo. El costo de esta experimentación es de $30000. Árbol de decisión antes de realizar cálculos Veamos que la trayectoria seguida para llegar a cualquier pago (excepto la inferior) está influenciada tanto por la decisión tomada como por los eventos aleatorios que están por fuera del control del tomador de decisiones. El árbol de decisión con los cálculos incluidos nos muestra las probabilidades de los eventos así como los pagos asociados a cada acción. Para las ramas terminales que salen del nodo h se insertaron las probabilidades iníciales de los estados de la naturaleza P(q=qi). Para las ramas terminales que salen de los nodos f y g donde ya se realizó la experimentación se insertaron las probabilidades a posteriori P (q=qi|S=s). Para las ramas que salen del nodo b, que corresponden al sondeo sísmico que da como resultado S=0 o S=1, se insertaron P(S=0) = 0.7 y P(S=1) = 0.3 El procedimiento a utilizar para obtener la solución óptima es hacia atrás hacia el nodo de decisión a. Si el sondeo se realiza el pago esperado es $123000 Dado que el sondeo sísmico no se realice la decisión es perforar y el pago esperado es 100. Sólo falta tomar la decisión de realizar el sondeo o no. Política óptima Hacer el sondeo sísmico. Si el resultado es desfavorable (S=0), vender el terreno. Si el resultado es favorable (S=1), perforar en busca de petróleo. El pago esperado, incluyendo los costos de experimentación es 123 Teoría de Utilidad           Hasta ahora hemos supuesto que el pago esperado en términos monetarios es la medida adecuada de las consecuencias de tomar una acción. Sin embargo en muchas situaciones esto no es así y se debe utilizar otra escala de medida para las acciones que realizamos. Suponga que se le ofrece a una persona Ganar $40,000 fijos 50% de posibilidades de no ganar nada50% de posibilidades de ganar $100000 E {p (a₁, Ѳ)}= 0.5* $100000 + 0.5*0= $50000 E {p (a₂, Ѳ)}= 1* $40000 = $40000 Aunque la alternativa 1 tiene un pago esperado mayor, muchas personas preferirán los $40000 fijos          En muchas ocasiones los tomadores de decisiones no están dispuestos a correr riesgos aunque la ganancia esperada sea mucho mayor. Se pueden transformar los valores monetarios a una escala apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones, llamada función de utilidad del dinero. Diferentes individuos muestran distintas actitudes frente al riesgo, un inversionista conservador puede elegir invertir en  las acciones de B porque no quiere arriesgarse a perder y otro inversionista puede aceptar el riesgo de invertir en A porque tiene la posibilidad de obtener ganancias mayores. La Teoría de Utilidad, o función de utilidad del dinero es una manera de transformar los valores monetarios a una escala apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones. U(M) es la utilidad para la cantidad de dinero M Índice de Utilidad NEUMANN-MORGENSTERN  Pasos Establecer un evento E con máximo beneficio y probabilidad P Establecer un evento D con mínimo beneficio y probabilidad ( 1 – P ) Elegir un evento cualquiera A que esté entre E y D, su utilidad puede calcularse: U(A) = PA u [ E ] + (1 – PA) .u [ D ] Características de las funciones de Utilidad Indiferencia ante el riesgo: Indica la inexistencia de una actitud ante el riesgo, la función es lineal. Aversión al riesgo: Cuanto mayor sea el capital, menor será la utilidad del dinero. (utilidad decreciente) Propensión al riesgo: La utilidad del dinero es menor con relación a la indiferencia, valora poco lo que posee. Propiedad fundamental de las funciones de Utilidad:  Bajo las suposiciones de la teoría de utilidad, la función de utilidad para el dinero de un tomador de decisiones tiene la propiedad de que éste se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada. La determinación de la utilidad es subjetiva, depende de la actitud del tomador de decisiones hacia el riesgo.  Caso de X: Aversión al riesgo. Utilidad Marginal Decreciente para el dinero Caso de Y: Indiferente o neutral ante el riesgo Caso de Z: Propensión al riesgo. Utilidad Marginal creciente para el dinero Función de utilidad para el dinero Una función de utilidad para el dinero de este tipo nos muestra una utilidad marginal decreciente para el dinero. La pendiente de la función disminuye conforme aumenta la cantidad de dinero M. No todas las personas tienen una utilidad marginal decreciente para el dinero. Hay personas que tienen funciones de utilidad marginal creciente para éste.      El hecho de que distintas personas tienen funciones de utilidad diferentes para el dinero tiene una aplicación importante para el tomador de decisiones cuando se enfrenta a la incertidumbre Cuando una función de utilidad para el dinero se incorpora en un análisis de decisiones para un problema, esta función de utilidad debe construirse de manera que se ajuste a las preferencias y valores del tomador de decisiones. La clave para considerar que la función de utilidad para el dinero se ajusta al tomador de decisiones es la siguiente propiedad de las funciones de utilidad. Propiedad: Bajo las suposiciones de la teoría de utilidad, la función de utilidad para el dinero de un tomador de decisiones tiene la propiedad de que éste se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada. Ejemplo 1 Contrato A con $ 200.000 de inversión y resultados         N1 = Ganar $ 400.000         N2 o N3 = Perder todo Contrato B con $ 80.000 de inversión y resultados         N1 o N2= Ganar $ 140.000         N3 = perder todo Opción de no invertir Probabilidades, P(N1) = 0.50P(N2) = 0.10P(N3) = 0.40 VE(A) = 400000 * 0.50 + (-200000) * 0.10 + (-200000) * 0.40 = 100000 VE(B) = 140000 * .050 + 140000 * 0.10 + (-80000) * 0.40 = 52000  VE(C) = 0 * 0.50 + 0 * 0.10 + 0 * 0.10 = 0  La persona encargada de tomar la decisión dice que prefiere B, C y  A Resolución, aplicando el método de Von Newmann para definir una función de utilidad 1º)  Establecer un orden completo sobre los resultados de la matriz 400.000 > 140.000 > 0 > -80.000 > -200.000 2º) Determinar los valores extremos (máximo y mínimo) arbitrarios Máx = 600.000Mín = -300.000 600.000 > 400.000 > 140.000 > 0 > -80.000 > -200.000> -300.000 3º) Determinar los valores de Pj que hacen equivalente los contratos de referencia con cada activo equivalente cierto, y obtenemos la curva para un   tomador de decisiones indiferente al riesgo. Pj representa la utilidad subjetiva que equilibra un juego entre dos valores extremos.  400.000 = 600.000 * (p) – 300.000 * (1-p)                        //400.000 es el equivalente monetario cierto 400.000 = 600.000 * p – 300.000 + 300.000 * p 400.000 + 300.000 = 900.000 * p 700.000 /  900.000 = p 0.77 = p (400.000) Continua calculando para todos los valores p(400.000) = 0.77 p(140.000) = 0.48 p(0) = 0.33 p(-80.000) = 0.24 p(-200.000) = 0.11 Consultado el tomador de decisiones le asigna a cada una de las opciones: p(400.000) = 0.95 p(140.000) = 0.85 p(0) = 0.73 p(-80.000) = 0.64 p(-200.000) = 0.41 Comparando el valor obtenido para el juego equitativo con el resultado de la evaluación subjetiva del juego se observa que el que decide tiene aversión al riesgo, ya que 0.77 < 0.95 Matriz de utilidades para el tomador de decisiones:  Ejemplo: Suponga que alguien tiene esta función de utilidad Para construir una función de utilidad para el dinero se hace lo siguiente: Se le hace al tomador de decisiones una oferta hipotética de obtener una gran suma de dinero con probabilidad p o nada. Para cada una de las pequeñas cantidades se le pide al tomador de decisiones que elija un valor de p que lo vuelva indiferente ante la oferta y la obtención definitiva de esa cantidad de dinero. Cuando se usa la función de utilidad para el dinero, del tomador de decisiones, para medir el valor relativo de los distintos valores monetarios posibles, la regla de Bayes sustituye los pagos monetarios por las utilidades correspondientes. Por lo tanto, la acción (o la serie de acciones) óptima es la que maximiza la utilidad esperada. EJEMPLO GOFERBROKE COMPANY. En estos momentos la compañía no atraviesa por una situación financiera sólida y está operando con poco capital. Una pérdida de $100000 sería bastante seria. El peor escenario sería conseguir $30000 para el sondeo sísmico y después todavía perder $100000 en la perforación cuando no haya petróleo. Por otro lado, encontrar petróleo es una perspectiva interesante, ya que una ganancia de $700000 daría a la compañía una base financiera sólida. Para aplicar la función de utilidad para el dinero del tomador de decisiones es necesario conocer todos los pagos posibles. Veamos la manera como se obtuvo esta tabla El punto de inicio adecuado para construir la función de utilidad es considerar el peor y el mejor de los escenarios. ¿Qué valor de p haría que el tomador de decisiones fuera indiferente ante las dos alternativas? Suponga que la elección del tomador de decisiones es p = 1/5 4/5 u(-130) + 1/5 u(700) = 0 Uno de los valores de u(-130) y u(700) puede establecerse arbitrariamente, con la salvedad de que el primero sea negativo y el segundo positivo Suponga que seleccionamos u(-130) = -150 4/5 (-150) + 1/5 u(700) = 0 u(700) = 600 Para identificar u(-100), se selecciona un valor de p que haga que el tomador de decisiones sea indiferente entre un pago de -130 con probabilidad p o la de definitivamente incurrir en un pago de -100. Si p = 0.7 u(-100) = p u(-130) = 0.7(-150) = -105 Para obtener u(90) , se selecciona un valor de p que haga que el tomador de decisiones sea indiferente entre un pago de 700 con probabilidad p o la obtención de un pago definitivo de 90. Si p = 0.15 u(90) = p u(700) = 0.15 (600) = 90 Con estos valores se puede dibujar una curva suavizada. En resumen: Para f > 0 halle un valor de p tal que sea indiferente tener $700 con ese valor de p, o tener a la fija f y se plantea u ( f ) = u ( 700)* p + 0 * (1-p) u ( f ) = u ( 700)* p Se halla u(f) Para f < 0 halle un valor de p tal que sea indiferente tener -$130 con ese valor de p, o tener a la fija f u ( -130)* p = u(f) Se halla u (f) Observe que u(M) es en esencia igual a M para valores pequeños (positivos o negativos) de M, y después se separa gradualmente para valores grandes de M Esto es característico de una persona que tienen una aversión moderada al riesgo. Dada la función de utilidad para el dinero del dueño de la compañía, el proceso de toma de decisiones es idéntico al descrito en las secciones anteriores excepto que ahora se sustituyen las utilidades por los pagos monetarios. El uso de la teoría de la utilidad refleja la actitud del tomador de decisiones respecto al riesgo. La política global óptima sigue siendo la misma que la encontrada en la toma de decisiones con experimentación. Muchos tomadores de decisiones no se sienten suficientemente a gusto con la noción algo abstracta de la utilidad. En consecuencia, la teoría de la utilidad todavía no tiene una aplicación muy amplia en la práctica. CONCLUSIONES El desarrollo de árboles de decisión beneficia en dos formas. Primero que todo, la necesidad de describir condiciones y acciones llevan a los analistas a identificar de manera formal las decisiones que actualmente deben tomarse. De esta forma, es difícil para ellos pasar por alto cualquier etapa del proceso de decisión, sin importar que este dependa de variables cuantitativas o cualitativas. Los árboles también obligan a los analistas a considerar la consecuencia de las decisiones.  Se ha demostrado que los árboles de decisión son eficaces cuando es necesario describir problemas con más de una dimensión o condición. También son útiles para identificar los requerimientos de datos críticos que rodean al proceso de decisión, es decir, los árboles indican los conjuntos de datos que la gerencia requiere para formular decisiones o tomar acciones. El analista debe identificar y elaborar una lista de todos los datos utilizados en el proceso de decisión, aunque el árbol de decisión no muestra todo los datos.  Los árboles de decisión no siempre son la mejor herramienta para el análisis de decisiones. El árbol de decisiones de un sistema complejo con muchas secuencias de pasos y combinaciones de condiciones puede tener un tamaño considerable. El gran número de ramas que pertenecen a varias trayectorias constituye más un problema que una ayuda para el análisis. En estos casos los analistas corren el riesgo de no determinar qué políticas o estrategias de la empresa son la guía para la toma de decisiones específicas. Cuando aparecen estos problemas, entonces es momento de considerar las tablas de decisión.  BIBLIOGRAFÍA LIBERMAN, HILLER  “Investigación de Operaciones”   7ma Edición.  Capitulo 9
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Un contratista del gobierno presenta una licitación. ¿Cuáles serán los costos reales del proyecto? ¿Qué otras compañías están en la licitación? ¿Cuál es su presupuesto probable? El análisis de decisiones está diseñado para estudiar estos tipos de decisiones con una gran incertidumbre. El análisis de decisiones proporciona un marco de trabajo y una metodología para la toma de decisiones racional cuando los resultados son inciertos. Una pregunta que surge con frecuencia es si tomar la decisión necesaria en este momento o primero hacer algunas pruebas (con cierto costo) para reducir el nivel de incertidumbre sobre el resultado de la decisión. Por ejemplo, la prueba puede ser realizar una promoción de prueba de un nuevo producto para ver la reacción del consumidor antes de tomar la decisión de proceder o no con la producción y comercialización a gran escala del producto. Se hace referencia a esta prueba como resultado de la experimentación. Entonces, el análisis de decisiones divide la toma de decisiones en los casos sin experimentación y con experimentación. Ejemplo Prototipo La Goferbroke Company es dueña de unos terrenos en los que puede haber petróleo. Un geólogo consultor ha informado a la gerencia que piensa que existe una posibilidad de 1 entre 4 de encontrar petróleo. Debido a esta posibilidad, otra compañía petrolera ha ofrecido comprar las tierras en $90,000. Sin embargo, la Geoferbroke está considerando conservarla para perforar ella misma. El costo de perforación es de $100,000. Si encuentra petróleo, el ingreso esperado será de $800,000; así, la ganancia esperada para la compañía (después de reducir el costo de la perforación) será de $700,000. Se incurrirá en una pérdida de $100,000 (el costo de barrenar) sino se encuentra petróleo. La tabla 15.1 resume los datos. Sin embargo, antes de decidir si perforar o vender, otra opción es llevar a cabo una exploración sismológica detallada en el área para obtener una mejor estimación de la probabilidad de encontrar petróleo. Esta compañía está operando sin mucho capital por lo que una pérdida de $100,000 sería bastante seria. Toma de Decisiones Sin Experimentación Antes de buscar una solución al problema de la Goferbroke, se formulará un marco de referencia general para la toma de decisiones. En términos generales, el tomador de decisiones debe elegir una acción de un conjunto de acciones posibles. El conjunto contiene todas las alternativas factibles bajo consideración para las distintas formas de proceder en el problema en cuestión. Esta elección de una acción debe hacerse frente a la incertidumbre porque el resultado se verá afectado por factores aleatorios que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones. Estos factores aleatorios determinan qué situación se encontrará en el momento en que se ejecute la acción. Cada una de estas situaciones posibles se conoce como un estado de la naturaleza. Para cada combinación de una acción y un estado de la naturaleza, el tomador de deciones sobre cuál sería el pago resultante. El pago es una medida cuantitativa del valor de las consecuencias del resultado para el tomador de decisiones. Por ejemplo, muchas veces el pago se representa por la ganancia monetaria neta (utilidad), aunque también se puede usar otras medidas. Si las consecuencias del resultado no son por completo ciertas aunque el estado de la naturaleza esté dado, el pago se convierte en un valor esperado (en el sentido estadístico) de la medida de las consecuencias. En general, se usa una tabla de pagos para dar el pago de cada combinación de acción y estado de la naturaleza. El marco conceptual del análisis de decisiones se puede resumir como: El tomador de decisiones necesita elegir una de las acciones posibles. La naturaleza elegirá entonces uno de los estados de la naturaleza posibles. Cada combinación de una acción y un estado de la naturaleza da como resultado un pago, que está dado como uno de los elementos de la tabla de pagos. Esta tabla de pagos debe usarse para encontrar una acción óptima para el tomador de decisiones según un criterio adecuado. El tomador de decisiones casi siempre tendrá alguna información que debe tomar en cuenta sobre la posibilidad relativa de los estados de la naturaleza. Es común que se pueda traducir esta información en una distribución de probabilidad, si se piensa que el estado de la naturaleza es una variable aleatoria, en cuyo caso esa distribución se conoce como distribución a priori. Las distribuciones a priori con frecuencia son subjetivas en el sentido de que pueden depender de la experiencia o la intuición de un individuo. Las probabilidades para los respectivos estados de la naturaleza se llaman probabilidades a priori. Formulación del ejemplo prototipo en este contexto Como se indicó en la tabla 15.1, la Goferbroke Co. debe considerar dos acciones posibles: perforar en busca de petróleo o vender el terreno. Los estados posibles de la naturaleza son que el subsuelo contenga petróleo y que no sea así, esto se designa en los encabezados de las columnas de la tabla 15.1 como petróleo y que no sea así, esto se designa en los encabezados de las columnas 15.1 como petróleo y seco. Debido a que el geólogo consultor ha estimado que existe 1 oportunidad entre 4 de que haya petróleo (y por ende 3 oportunidades de 4 de que no lo haya), las respectivas probabilidades a priori son 0.25 y 0.75. Por lo tanto, con las unidades de pago en miles de dólares de ganancia, la tabla de pagos mostrada en la tabla 15.1 se puede obtener directo en la tabla 15.2. Se usará esta tabla de pagos para encontrar la acción óptima de acuerdo con cada uno de los tres criterios que se describirán. En cada caso se empleará una plantilla de Excel, donde ésta acelera la introducción de una tabla de pagos en el formato de una hoja de cálculo y la aplicación del criterio. Criterio del pago máximo Si el problema del tomador de decisiones se viera como un juego contra la naturaleza, entonces la teoría de juegos diría que se seleccionara la acción de acuerdo con el criterio minimax. Desde el punto de vista del jugador 1 (tomador de decisiones), un nombre más adecuado para este criterio es criterio del pago máximo, como se resume. Criterio del pago máximo: para cada acción posible, encuentre el pago mínimo sobre todos los estados posibles de la naturaleza. Después, encuentre el máximo de estos pagos mínimo. Elija la acción cuyo pago mínimo corresponde a este máximo. La plantilla de Excel desplegada en la figura 15.1 muestra la aplicación de este criterio al ejemplo prototipo. Entonces, como el pago mínimo por vender (90) es más grande que el de perforar (-100), se elegirá la segunda acción (vender el terreno). El razonamiento para este criterio es que proporciona la mejor garantía del pago que se obtendrá. Sin importar cuál sea el estado de la naturaleza verdadero para el ejemplo, el pago por vender el terreno no puede ser menor que 90, lo cual proporciona la mejor garantía disponible. Así el criterio toma el punto de vista pesimista de que, sin importar qué acción se elija, es posible que ocurra el peor estado de la naturaleza para esta acción, así, debe elegirse la acción que proporcione el mejor pago para el peor estado de la naturaleza. Fig. 15.1 Criterio de la máxima posibilidad El siguiente criterio se refiere al estado más probable de la naturaleza, como se resume a continuación. Criterio de la máxima posibilidad: identifique el estado más probable de la naturaleza (aquel que tiene la probabilidad a priori más grande). Para este estado de la naturaleza, encuentre la acción con el máximo pago. Elija esta acción. Al aplicar este criterio al ejemplo, la figura 15.2 indica que el estado Seco tiene la mayor probabilidad a priori. En la columna Seco, el pago máximo corresponde a la venta, por lo que la elección es vender el terreno. Lo que más llama la atención de este criterio es que el estado más importante de la naturaleza es el que tiene más posibilidades de ocurrir, de manera que la acción elegida es la mejor para este estado más importante de la naturaleza. Basar la decisión en la suposición de que este estado de la naturaleza ocurrirá tiende a dar mejor posibilidad de un resultado favorable que la suposición de cualquier otro. Más aún, el criterio no se basa en estimaciones subjetivas cuestionables de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza que no sean el hecho de identificar el estado más probable. La mayor desventaja del criterio es que ignora por completo mucha información relevante. No considera otro estado de la naturaleza distinto al más probable. En un problema con muchos estados posible de la naturaleza, la posibilidad de que ocurra el más probable puede ser bastante pequeña, por lo que centrarse sólo en este estado de la naturaleza es bastante riesgoso. Aun en el ejemplo, donde la probabilidad a priori del estado Seco es 0.75, este criterio ignora el atractivo pago de 700 que obtiene perforar y encontrar petróleo. De hecho, el criterio no permite jugar con un pago alto que tiene una probabilidad baja, no importa qué tan atractivo sea tomar el riesgo. Fig. 15.2 Regla de Decisión de Bayes El tercer criterio que se usa con más frecuencia es la regla de decisión de Bayes, descrita como: Regla de decisión de Bayes: usando las mejores estimaciones disponibles de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza (en este momento las probabilidades a priori), se calcula el valor esperado del pago de cada acción posible. Se elige la acción con el máximo pago esperado. Para el ejemplo prototipo, estos pagos esperados se calculan directamente en la tabla 15.2 de la siguiente manera: E [pago (perforar)] = 0.25 (700) + 0.75 (-100) = 100. E [pago (perforar)] = 0.25 (90) + 0.75 (90) = 90. Como 100 es mayor que 90, la acción seleccionada es perforar en busca de petróleo. Observe que esta elección es contraria a elegir la venta del terreno obtenida con los dos criterios anteriores. La figura 15.3 muestra la aplicación en Excel para la regla de decisión de Bayes en este problema. La palabra Maximum en la celda 15 significa que debe elegirse la alternativa de perforar en el renglón 5 porque tiene el pago máximo esperado. La gran ventaja de la regla de decisión de Bayes es que incorpora toda la información disponible, incluso todos los pagos y las mejores estimaciones disponibles de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza. Fig. 15. 3 Análisis de Sensibilidad Es común usar el análisis de sensibilidad con varias aplicaciones de investigación de operaciones para estudiar el efecto si algunos números incluidos en el modelo matemático no son correctos. En este caso el modelo matemático está representado por la tabla de pagos mostrada en la figura 15.3. Los números de esta tabla más cuestionables son las probabilidades a priori en las celdas C10 y D10. La suma de las dos probabilidades a priori debe ser 1, por lo que si se aumenta una de ellas, la otra debe disminuir de manera automática en la misma cantidad, y viceversa. La administración de Goferbroke cree que la posibilidad ideal de encontrar petróleo en el área debe estar entre 15% y 35%. En otras palabras, es posible que la probabilidad a priori verdadera de encontrar petróleo esté entre 0.15 y 0.35, de manera que encontrar que el terreno esté seco tendrá la probabilidad a priori entre 0.85 y 0.65. El análisis de sensibilidad comienza aplicando la regla de decisión de Bayes dos veces, una cuando la probabilidad a priori del petróleo está en el límite inferior de este intervalo (0.15) y la otra cuando está en el límite superior (0.35). La figura 15.4 muestra los resultados de hacer esto. Cuando la probabilidad a priori del petróleo es sólo 0.15, la decisión se inclina a la venta del terreno por un amplio margen (un pago esperado de 90 contra sólo 20 por la perforación). Sin embargo, cuando esta probabilidad es 0.35, la decisión es perforar con un margen amplio (pago esperado= 180 contra sólo 90 por la venta). Entonces, la decisión es muy sensible a la probabilidad a priori de encontrar petróleo. Este análisis de sensibilidad revela que es importante hacer algo más, si es posible, para determinar cuál es el valor verdadero de la probabilidad de encontrar petróleo. Sea p= probabilidad a priori de encontrar petróleo, el pago esperado de perforar para cualquier valor de p es E [pago (perforar)] = 700p -100 (1-P) = 800p - 100 Figs. 15.4 Fig. 15.5 La línea inclinada en la figura 15.5 muestra la gráfica de este pago esperado cotra p, que es justo la línea que pasa por los dos puntos dados en las celdas C10 y H5 en las dos hojas de cálculo de la figura 15.4. Como el pago por ventas sería 90 para cualquier p, la línea horizontal de la figura 15.5 da E [pago (venta)] contra p. El punto en la figura 15.5 donde se cruzan las dos rectas es el punto de cruce donde la deceisión cambia de una alternativa (vender) a la otra (perforar) cuando la probabilidad a priori aumenta. Para encontrar este punto se establece Conclusión: se debe vender el terreno si p<0.2375, se debe perforar en busca de petróleo si p>0.2375. E [pago (venta) = E [pago (venta)] 800p – 100 = 90 p = 190/800 = 0.2375 Toma de decisiones con experimentación Es frecuente hacer pruebas adicionales (experimentación) para mejorar las estimaciones preliminares de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza dadas por las probabilidades a priori. Estas estimaciones mejoradas se llaman probabilidades a posteriori. No se dispone de datos previos.Las circunstancias varían constantementeLa decisión se toma en forma repetida. Se dispone de datos previosLas circunstancias no varían constantementeLa decisión se toma en forma repetida.Toma de decisiones con experimentación ÁRBOLES DE DECISIÓN Un árbol de decisión proporciona una forma para desplegar visualmente un problema y después organizar el trabajo de cálculos que deben realizarse. Los árboles de decisión son especialmente útiles cuando deben tomarse una serie de decisiones. Terminología. Nodo de decisión: Indica que una decisión necesita tomarse en ese punto del proceso. Está representado por un cuadrado Nodo de probabilidad: Indica que en ese punto del proceso ocurre un evento aleatorio (estado de la naturaleza) Está representado por un círculo Rama: Nos muestra los distintos posibles caminos que se pueden emprender dado que tomamos una decisión u ocurre algún evento aleatorio. En resumen, los árboles de decisión proveen un método efectivo para la toma de decisiones debido a que: claramente plantean el problema para que todas las opciones sean analizadas. permiten analizar totalmente las posibles consecuencias de tomar una decisión. proveen un esquema para cuantificar el costo de un resultado y la probabilidad de que suceda. nos ayuda a realizar las mejores decisiones sobre la base de la información existente y de las mejores suposiciones. Ejemplo Suponga que el estado del tiempo es variable y puede que llueva o no. Usted tiene que tomar la decisión de llevar paraguas o no. Como se había mencionado anteriormente el árbol de decisión permite visualizar completamente el problema y los cálculos asociados a éste. Además ayuda a resumir las conclusiones obtenidas al desarrollar la política óptima. Por ello se realizan árboles de decisión sin hacer los cálculos y luego árboles de decisión con los cálculos incluidos. Se puede realizar una exploración sismológica para obtener una mejor estimación de la probabilidad de que haya petróleo. El costo de esta experimentación es de $30000. Árbol de decisión antes de realizar cálculos Veamos que la trayectoria seguida para llegar a cualquier pago (excepto la inferior) está influenciada tanto por la decisión tomada como por los eventos aleatorios que están por fuera del control del tomador de decisiones. El árbol de decisión con los cálculos incluidos nos muestra las probabilidades de los eventos así como los pagos asociados a cada acción. Para las ramas terminales que salen del nodo h se insertaron las probabilidades iníciales de los estados de la naturaleza P(q=qi). Para las ramas terminales que salen de los nodos f y g donde ya se realizó la experimentación se insertaron las probabilidades a posteriori P (q=qi|S=s). Para las ramas que salen del nodo b, que corresponden al sondeo sísmico que da como resultado S=0 o S=1, se insertaron P(S=0) = 0.7 y P(S=1) = 0.3 El procedimiento a utilizar para obtener la solución óptima es hacia atrás hacia el nodo de decisión a. Si el sondeo se realiza el pago esperado es $123000 Dado que el sondeo sísmico no se realice la decisión es perforar y el pago esperado es 100. Sólo falta tomar la decisión de realizar el sondeo o no. Política óptima Hacer el sondeo sísmico. Si el resultado es desfavorable (S=0), vender el terreno. Si el resultado es favorable (S=1), perforar en busca de petróleo. El pago esperado, incluyendo los costos de experimentación es 123 Teoría de Utilidad Hasta ahora hemos supuesto que el pago esperado en términos monetarios es la medida adecuada de las consecuencias de tomar una acción. Sin embargo en muchas situaciones esto no es así y se debe utilizar otra escala de medida para las acciones que realizamos. Suponga que se le ofrece a una persona Ganar $40,000 fijos 50% de posibilidades de no ganar nada50% de posibilidades de ganar $100000 E {p (a₁, Ѳ)}= 0.5* $100000 + 0.5*0= $50000 E {p (a₂, Ѳ)}= 1* $40000 = $40000 Aunque la alternativa 1 tiene un pago esperado mayor, muchas personas preferirán los $40000 fijos En muchas ocasiones los tomadores de decisiones no están dispuestos a correr riesgos aunque la ganancia esperada sea mucho mayor. Se pueden transformar los valores monetarios a una escala apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones, llamada función de utilidad del dinero. Diferentes individuos muestran distintas actitudes frente al riesgo, un inversionista conservador puede elegir invertir en las acciones de B porque no quiere arriesgarse a perder y otro inversionista puede aceptar el riesgo de invertir en A porque tiene la posibilidad de obtener ganancias mayores. La Teoría de Utilidad, o función de utilidad del dinero es una manera de transformar los valores monetarios a una escala apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones. U(M) es la utilidad para la cantidad de dinero M Índice de Utilidad NEUMANN-MORGENSTERN Pasos Establecer un evento E con máximo beneficio y probabilidad P Establecer un evento D con mínimo beneficio y probabilidad ( 1 – P ) Elegir un evento cualquiera A que esté entre E y D, su utilidad puede calcularse: U(A) = PA u [ E ] + (1 – PA) .u [ D ] Características de las funciones de Utilidad Indiferencia ante el riesgo: Indica la inexistencia de una actitud ante el riesgo, la función es lineal. Aversión al riesgo: Cuanto mayor sea el capital, menor será la utilidad del dinero. (utilidad decreciente) Propensión al riesgo: La utilidad del dinero es menor con relación a la indiferencia, valora poco lo que posee. Propiedad fundamental de las funciones de Utilidad: Bajo las suposiciones de la teoría de utilidad, la función de utilidad para el dinero de un tomador de decisiones tiene la propiedad de que éste se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada. La determinación de la utilidad es subjetiva, depende de la actitud del tomador de decisiones hacia el riesgo. Caso de X: Aversión al riesgo. Utilidad Marginal Decreciente para el dinero Caso de Y: Indiferente o neutral ante el riesgo Caso de Z: Propensión al riesgo. Utilidad Marginal creciente para el dinero Función de utilidad para el dinero Una función de utilidad para el dinero de este tipo nos muestra una utilidad marginal decreciente para el dinero. La pendiente de la función disminuye conforme aumenta la cantidad de dinero M. No todas las personas tienen una utilidad marginal decreciente para el dinero. Hay personas que tienen funciones de utilidad marginal creciente para éste. El hecho de que distintas personas tienen funciones de utilidad diferentes para el dinero tiene una aplicación importante para el tomador de decisiones cuando se enfrenta a la incertidumbre Cuando una función de utilidad para el dinero se incorpora en un análisis de decisiones para un problema, esta función de utilidad debe construirse de manera que se ajuste a las preferencias y valores del tomador de decisiones. La clave para considerar que la función de utilidad para el dinero se ajusta al tomador de decisiones es la siguiente propiedad de las funciones de utilidad. Propiedad: Bajo las suposiciones de la teoría de utilidad, la función de utilidad para el dinero de un tomador de decisiones tiene la propiedad de que éste se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada. Ejemplo 1 Contrato A con $ 200.000 de inversión y resultados N1 = Ganar $ 400.000 N2 o N3 = Perder todo Contrato B con $ 80.000 de inversión y resultados N1 o N2= Ganar $ 140.000 N3 = perder todo Opción de no invertir Probabilidades, P(N1) = 0.50P(N2) = 0.10P(N3) = 0.40 VE(A) = 400000 * 0.50 + (-200000) * 0.10 + (-200000) * 0.40 = 100000 VE(B) = 140000 * .050 + 140000 * 0.10 + (-80000) * 0.40 = 52000 VE(C) = 0 * 0.50 + 0 * 0.10 + 0 * 0.10 = 0 La persona encargada de tomar la decisión dice que prefiere B, C y A Resolución, aplicando el método de Von Newmann para definir una función de utilidad 1º) Establecer un orden completo sobre los resultados de la matriz 400.000 > 140.000 > 0 > -80.000 > -200.000 2º) Determinar los valores extremos (máximo y mínimo) arbitrarios Máx = 600.000Mín = -300.000 600.000 > 400.000 > 140.000 > 0 > -80.000 > -200.000> -300.000 3º) Determinar los valores de Pj que hacen equivalente los contratos de referencia con cada activo equivalente cierto, y obtenemos la curva para un tomador de decisiones indiferente al riesgo. Pj representa la utilidad subjetiva que equilibra un juego entre dos valores extremos. 400.000 = 600.000 * (p) – 300.000 * (1-p) //400.000 es el equivalente monetario cierto 400.000 = 600.000 * p – 300.000 + 300.000 * p 400.000 + 300.000 = 900.000 * p 700.000 / 900.000 = p 0.77 = p (400.000) Continua calculando para todos los valores p(400.000) = 0.77 p(140.000) = 0.48 p(0) = 0.33 p(-80.000) = 0.24 p(-200.000) = 0.11 Consultado el tomador de decisiones le asigna a cada una de las opciones: p(400.000) = 0.95 p(140.000) = 0.85 p(0) = 0.73 p(-80.000) = 0.64 p(-200.000) = 0.41 Comparando el valor obtenido para el juego equitativo con el resultado de la evaluación subjetiva del juego se observa que el que decide tiene aversión al riesgo, ya que 0.77 < 0.95 Matriz de utilidades para el tomador de decisiones: Ejemplo: Suponga que alguien tiene esta función de utilidad Para construir una función de utilidad para el dinero se hace lo siguiente: Se le hace al tomador de decisiones una oferta hipotética de obtener una gran suma de dinero con probabilidad p o nada. Para cada una de las pequeñas cantidades se le pide al tomador de decisiones que elija un valor de p que lo vuelva indiferente ante la oferta y la obtención definitiva de esa cantidad de dinero. Cuando se usa la función de utilidad para el dinero, del tomador de decisiones, para medir el valor relativo de los distintos valores monetarios posibles, la regla de Bayes sustituye los pagos monetarios por las utilidades correspondientes. Por lo tanto, la acción (o la serie de acciones) óptima es la que maximiza la utilidad esperada. EJEMPLO GOFERBROKE COMPANY. En estos momentos la compañía no atraviesa por una situación financiera sólida y está operando con poco capital. Una pérdida de $100000 sería bastante seria. El peor escenario sería conseguir $30000 para el sondeo sísmico y después todavía perder $100000 en la perforación cuando no haya petróleo. Por otro lado, encontrar petróleo es una perspectiva interesante, ya que una ganancia de $700000 daría a la compañía una base financiera sólida. Para aplicar la función de utilidad para el dinero del tomador de decisiones es necesario conocer todos los pagos posibles. Veamos la manera como se obtuvo esta tabla El punto de inicio adecuado para construir la función de utilidad es considerar el peor y el mejor de los escenarios. ¿Qué valor de p haría que el tomador de decisiones fuera indiferente ante las dos alternativas? Suponga que la elección del tomador de decisiones es p = 1/5 4/5 u(-130) + 1/5 u(700) = 0 Uno de los valores de u(-130) y u(700) puede establecerse arbitrariamente, con la salvedad de que el primero sea negativo y el segundo positivo Suponga que seleccionamos u(-130) = -150 4/5 (-150) + 1/5 u(700) = 0 u(700) = 600 Para identificar u(-100), se selecciona un valor de p que haga que el tomador de decisiones sea indiferente entre un pago de -130 con probabilidad p o la de definitivamente incurrir en un pago de -100. Si p = 0.7 u(-100) = p u(-130) = 0.7(-150) = -105 Para obtener u(90) , se selecciona un valor de p que haga que el tomador de decisiones sea indiferente entre un pago de 700 con probabilidad p o la obtención de un pago definitivo de 90. Si p = 0.15 u(90) = p u(700) = 0.15 (600) = 90 Con estos valores se puede dibujar una curva suavizada. En resumen: Para f > 0 halle un valor de p tal que sea indiferente tener $700 con ese valor de p, o tener a la fija f y se plantea u ( f ) = u ( 700)* p + 0 * (1-p) u ( f ) = u ( 700)* p Se halla u(f) Para f < 0 halle un valor de p tal que sea indiferente tener -$130 con ese valor de p, o tener a la fija f u ( -130)* p = u(f) Se halla u (f) Observe que u(M) es en esencia igual a M para valores pequeños (positivos o negativos) de M, y después se separa gradualmente para valores grandes de M Esto es característico de una persona que tienen una aversión moderada al riesgo. Dada la función de utilidad para el dinero del dueño de la compañía, el proceso de toma de decisiones es idéntico al descrito en las secciones anteriores excepto que ahora se sustituyen las utilidades por los pagos monetarios. El uso de la teoría de la utilidad refleja la actitud del tomador de decisiones respecto al riesgo. La política global óptima sigue siendo la misma que la encontrada en la toma de decisiones con experimentación. Muchos tomadores de decisiones no se sienten suficientemente a gusto con la noción algo abstracta de la utilidad. En consecuencia, la teoría de la utilidad todavía no tiene una aplicación muy amplia en la práctica. CONCLUSIONES El desarrollo de árboles de decisión beneficia en dos formas. Primero que todo, la necesidad de describir condiciones y acciones llevan a los analistas a identificar de manera formal las decisiones que actualmente deben tomarse. De esta forma, es difícil para ellos pasar por alto cualquier etapa del proceso de decisión, sin importar que este dependa de variables cuantitativas o cualitativas. Los árboles también obligan a los analistas a considerar la consecuencia de las decisiones. Se ha demostrado que los árboles de decisión son eficaces cuando es necesario describir problemas con más de una dimensión o condición. También son útiles para identificar los requerimientos de datos críticos que rodean al proceso de decisión, es decir, los árboles indican los conjuntos de datos que la gerencia requiere para formular decisiones o tomar acciones. El analista debe identificar y elaborar una lista de todos los datos utilizados en el proceso de decisión, aunque el árbol de decisión no muestra todo los datos. Los árboles de decisión no siempre son la mejor herramienta para el análisis de decisiones. El árbol de decisiones de un sistema complejo con muchas secuencias de pasos y combinaciones de condiciones puede tener un tamaño considerable. El gran número de ramas que pertenecen a varias trayectorias constituye más un problema que una ayuda para el análisis. En estos casos los analistas corren el riesgo de no determinar qué políticas o estrategias de la empresa son la guía para la toma de decisiones específicas. Cuando aparecen estos problemas, entonces es momento de considerar las tablas de decisión. BIBLIOGRAFÍA LIBERMAN, HILLER “Investigación de Operaciones” 7ma Edición. Capitulo 9