Desarrollo del Taller # 7                                    Cálculo II.Ejercicios sugeridos:1.Primer bloque:Ejercicio # 1...
Ejercicio # 7:Ahora debemos hallar el área descrita entre las funciones de x=y2 y x=4, peroesta vez teniendo en cuenta que...
Ahora, vamos a evaluar los valores en la función (sabiendo lo que acontececuando evaluamos el cero) y obtendremos el valor...
Probados ya los puntos de corte, procedemos a estructurar la integral definidadel modo como lo hicimos en el ejercicio 8 d...
Ejercicio # 5:En este punto la gráfica a realizar está dada por las funciones y=2x2 y y=5x-3,y es la siguiente:Para hallar...
Ejercicio # 6:Este ejercicio es igual al anterior en cuanto al hallar los puntos de corte, por lotanto obviaremos esa part...
Para hallar los puntos de corte simplemente igualaremos las funciones comosigue y fácilmente (también para ahorrarnos trab...
Como podemos ver, en el II cuadrante solamente están presentes las funcionesy=x+6 y y=-x, y en I cuadrante únicamente inte...
2.Ahora haremos los ejercicios pedidos en la guía los cuales corresponden a laspáginas 74 y 75, en los cuales nos piden bo...
Ahora, haciéndole girar entorno al eje x obtendremos algo parecido a uncírculo, veamos:Ejercicio # 6:Por último tenemos qu...
Por fin terminamos los ejercicios de la tarea, pero como última ayuda quieromostrar la fórmula con la cual se hace el prim...
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Desarrollo taller 7

  1. 1. Desarrollo del Taller # 7 Cálculo II.Ejercicios sugeridos:1.Primer bloque:Ejercicio # 1:Nos piden el área descrita entre y=x3 y y=x en el intervalo [0,1], para el cualsabemos que la gráfica f(x)=x siempre está por encima de f(x)=x3, por lo tantohaciendo uso de la segunda definición del Teorema Fundamental del Cálculo,la integral definida para hallar aquella área está dada de la siguiente forma:Como podemos ver, ahora solo nos resta hacer la evaluación respectivamediante la cual obtenemos la dimensión exacta del área descrita entre las dosfunciones en cuestión; como sigue:Ejercicio # 4:Nos piden el área descrita entre y=x2 y y=-1 en el intervalo [-1,2], y comosabemos, la gráfica f(x)=x2 siempre está por encima de f(x)=-1 en cualquierintervalo, por lo tanto haciendo uso de la segunda definición del TeoremaFundamental del Cálculo, la integral definida para hallar aquella área estádada de la siguiente forma:Como podemos ver, ahora solo nos resta hacer la evaluación respectivamediante la cual obtenemos la dimensión exacta del área descrita entre las dosfunciones en cuestión; como sigue:Carlos Fernando Ceballos González Página 1
  2. 2. Ejercicio # 7:Ahora debemos hallar el área descrita entre las funciones de x=y2 y x=4, peroesta vez teniendo en cuenta que ellas están en términos de y, por lo tantotomaremos esa variable como el eje de nuestro plano para poder así definircuál es la más exterior, es decir, cuál está más a la derecha y proceder así, ahacer la integral definida, pero como vamos a tomar a y como el eje de nuestroplano debemos hallar primeramente los valores en los cuales las dos funcionesse cortan, es decir, los ceros de esas dos funciones, los cuales determinamosmediante una igualación de las mismas y despejando la variable y, de lasiguiente manera:Como ya sabemos los valores en los cuales las funciones se cortan, entoncesprocedemos a hallar la integral definida mediante el Teorema Fundamental delCálculo, la cual queda de la siguiente forma:Por último realizamos la evaluación de los valores en la función, para obtenerde esta manera el valor exacto del área descrita entre las dos primerasfunciones:Ejercicio # 8:En este ejercicio como en el anterior no nos dan un intervalo en el cual hallar elárea, por lo cual debemos determinar los puntos en los cuales se cortan las dosfunciones siguientes, todo como sigue:Teniendo ya los dos puntos en los cuales se cortan y sabiendo que f(x)=3x2 esla función que está por encima, procedemos a dar forma a la integral definidamediante el T.F.C, teniendo en cuenta que el área entre el I y IV cuadrante esigual al área entre el II y III cuadrante, por lo que solo hallaremos una de lasdos áreas y al final multiplicaremos el resultado por 2 para poder así ahorrartiempo en un examen:Carlos Fernando Ceballos González Página 2
  3. 3. Ahora, vamos a evaluar los valores en la función (sabiendo lo que acontececuando evaluamos el cero) y obtendremos el valor exacto del área en cuestión:Segundo bloque:En los siguientes ejercicios nos piden esquematizar las regiones acotadasentre las curvas dadas, yo utilicé Geogebra Portable (quien no lo tenga lo dejéen el blog del curso); y luego nos piden hallar el área acotada entre las curvasdadas, vamos a ver que tal.Ejercicio # 2:Nos piden el área acotada entre las funciones de x=0 y x=16-y2, para lo cualprimero debemos tener en cuenta que nuestro eje va a ser y. La grafica es lasiguiente:Ahora procedemos a hallar los puntos en los cuales las dos funciones secortan, que a simple vista podemos observar que son 4 y -4, más sin embargovamos a probarlo:Carlos Fernando Ceballos González Página 3
  4. 4. Probados ya los puntos de corte, procedemos a estructurar la integral definidadel modo como lo hicimos en el ejercicio 8 del 1er bloque:Ahora solo tenemos que evaluar los valores y obtenemos el valor del área encuestión, como sigue:Ejercicio # 3:Ahora las funciones a graficar son x=y2 y x=32-y2, las cuales son muyparecidas a las del punto anterior (puntos de corte y simetría entre valorespositivos y negativos).Hallando los valores donde se cortan dichas funciones, tenemos:Ahora utilizamos la 2da definición del T.F.C:Por último, acabamos de utilizar el T.F.C evaluando los valores (obviando elcero) y obtenemos el valor del área en cuestión:Carlos Fernando Ceballos González Página 4
  5. 5. Ejercicio # 5:En este punto la gráfica a realizar está dada por las funciones y=2x2 y y=5x-3,y es la siguiente:Para hallar los puntos de corte, procedemos a igualar las funciones,despejando luego la variable x y aplicando la fórmula de la ecuacióncuadrática, de la siguiente manera:De donde sabemos que:Ahora vamos a aplicar el T.F.C para dar forma a la integral definida yposteriormente hallar el valor del área correspondiente:Ahora, haciendo la evaluación de los puntos donde se cortan las funcionestenemos:Carlos Fernando Ceballos González Página 5
  6. 6. Ejercicio # 6:Este ejercicio es igual al anterior en cuanto al hallar los puntos de corte, por lotanto obviaremos esa parte, y entonces tenemos que las funciones de y=x2 yy=3+5x-x2 se cortan en los puntos:La siguiente es la gráfica correspondiente:Y la integral definida que describe el valor del área comprendida entre esas dosfunciones es la siguiente:Por último realizamos la evaluación correspondiente, la cual nos da el valorexacto del área entre las dos curvas:Ejercicio # 9:Ahora nos piden hallar el área descrita entre las curvas y=x3 y y=2x-x2, la cualestá representada en la siguiente gráfica:Carlos Fernando Ceballos González Página 6
  7. 7. Para hallar los puntos de corte simplemente igualaremos las funciones comosigue y fácilmente (también para ahorrarnos trabajo) mediante el método deensayo y error los obtenemos, todo así:Ahora haremos la integral definida desde -2 a 0 y desde 0 a 1, para luegosumarlas y obtener el área total entre las dos curvas, teniendo en cuenta que loharemos debido a que en el I cuadrante se producen un cambio en la posiciónde las mismas con respecto a su posición antes de cero; veamos:Luego terminamos de aplicar la 2da definición del T.F.C y obtenemos las áreaspor separado correspondientes a las dos regiones respectivamente según elgráfico, las cuales terminamos sumándolas para saber el valor total del áreaacotada entre las dos curvas, veamos:Ejercicio # 11:El último ejercicio de este primer punto de la tarea es hallar el área descritaentre las tres curvas y=x3, y=x+6 y y=-x, la cuales están representadas en lasiguiente gráfica:Carlos Fernando Ceballos González Página 7
  8. 8. Como podemos ver, en el II cuadrante solamente están presentes las funcionesy=x+6 y y=-x, y en I cuadrante únicamente intervienen las funciones y=x+6 yy=x3, por lo tanto dividiremos la integral en dos partes para luego sumar los dosvalores obtenidos y conocer el valor total del área, pero primero hallaremos losceros del modo como lo hicimos en el anterior ejercicio (ensayo y error)teniendo en cuenta la condición ya descrita, siendo estos x=-3 y x=2respectivamente.Ahora definiremos la estructura de la integral definida mediante a 2da definicióndel T.F.C, la cual queda de la siguiente forma:Seguidamente terminamos de aplicar el T.F.C (obviando los ceros) y sumamoslos valores correspondientes a las dos áreas, para obtener finalmente el valortotal del área descrita entre las curvas en cuestión:Carlos Fernando Ceballos González Página 8
  9. 9. 2.Ahora haremos los ejercicios pedidos en la guía los cuales corresponden a laspáginas 74 y 75, en los cuales nos piden bosquejar los sólidos descritos sinnecesidad (según la guía) de hallar el volumen de los mismos.Ejercicio # 1:El siguiente es el sólido generado por y=x2, y=0 y x=1 Girándolo entorno al eje x obtendremos la boca de una trompeta, veamos :Ejercicio # 3:El sólido que sigue es el descrito por y=Sen(x) en [0, π], y y=0,Carlos Fernando Ceballos González Página 9
  10. 10. Ahora, haciéndole girar entorno al eje x obtendremos algo parecido a uncírculo, veamos:Ejercicio # 6:Por último tenemos que bosquejar la gráfica descrita entre y=1-x2 y y=0,Ahora, haciéndolo girar sobre el eje x, obtenemos un sólido parecido al delejercicio anterior, aunque un poco más redondo:Carlos Fernando Ceballos González Página 10
  11. 11. Por fin terminamos los ejercicios de la tarea, pero como última ayuda quieromostrar la fórmula con la cual se hace el primer punto de los EjerciciosAdicionales de la guía correspondiente, el cual consta en hallar el valorpromedio de la función sobre el intervalo que ahí se da. La fórmula es lasiguiente:Carlos Fernando Ceballos González Página 11

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