1. จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
1. ขอความใดตอไปนี้ไมจริง (คณิตศาสตร กข 28)
ก. ถา x เปนจํานวนตรรกยะ แลว จะไมสามารถหา x ซึ่งมีคานอยที่สุด โดยที่
ข. ถา x เปนจํานวนเต็มที่ไมเปน 0 แลว จะมีจํานวนเต็ม
p
และ q ซึ่ง
x <9
p ≠ a, q ≠ 0
และ
p
= a
q
ค. ถา a เปนจํานวนจริงที่ไมเปนจํานวนตรรกยะแลว จะเขียน a ไดในรูปทศนิยมไมซ้ํา
ง. ถา a เปนจํานวนจริง แลว n a n = a เมื่อ n = 2, 4, 6, K
2. ขอใดตอไปนี้ถูก (คณิตศาสตร กข 32)
ก. มีจํานวนตรรกยะ a ≠ 0 และจํานวนอตรรกยะ b ซึ่ง ab เปนจํานวนตรรกยะ
ข. ถา a, b เปนจํานวนตรรกยะบวกแลว a b เปนจํานวนตรรกยะเสมอ
ค. มีจํานวนอตรรกยะ a, b ซึ่ง a ≠ − b และ a + b เปนจํานวนตรรกยะ
ง. ถา a,
ก. 0
ง. -6
b
เปนจํานวนอตรรกยะ และ b
≠
1
a
แลว
ab
เปนจํานวนอตรรกยะเสมอ
3. กําหนดให I เปนเซตของจํานวนเต็ม และ * เปนโอเปอเรชันที่กําหนด
โดย a * b = a + b + 2 เมื่อ a, b ∈ I
จํานวนใดเปนอินเวอรสของ 4 ภายใตโอเปอเรชัน * (คณิตศาสตร กข 24)
ข. -2
จ. -8
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
ค. -4
-1-

2. 4. กําหนดให a * b = a + b − 8 ;
ขอใดตอไปนี้ถูก (คณิตศาสตร กข 31)
ก. (2 * 3) * 4 ≠ 2 * (3 * 4)
ค. อินเวอรสของ a สําหรับ * ใน I คือ −a
5. กําหนดให A = {x / x =
ขอใดตอไปนี้ผิด (คณิตศาสตร กข 32)
ก. A มีคุณสมบัติปด
ค. มีสมาชิกบางตัวของ
A
a, b ∈ I
ข. เอกลักษณของ * ใน I คือ 8
ง. * ไมมีคุณสมบัติการสลับที่
2k ; k
ที่ไมมีอินเวอรสใน
เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม
เปนจํานวนเต็ม } และโอเปอเรชันบน
ข. 1 เปนเอกลักษณใน
A
คือการคูณของจํานวนจริง
A
ง. อินเวอรสของ 2 คือ
A
1
2
6. ขอใดตอไปนี้ถูก (คณิตศาสตร กข 30)
ก. เซตของจํานวนเต็มกับการบวกมีเอกลักษณ แตมีสมาชิกบางตัวไมมีอินเวอรส
ข. เซตของจํานวนตรรกยะกับการคูณมีเอกลักษณ และสมาชิกทุกตัวมีอินเวอรส
ค. สําหรับทุกๆ a, b ∈ R กําหนดให a * b = (2 a )(2 b ) ดังนั้น R กับโอเปอเรชัน * ไมมีเอกลักษณ
ง. มีจํานวนตรรกยะ a และจํานวนอตรรกยะ b ซึ่ง a + b เปนจํานวนตรรกยะ
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
-2-

3. 7. พิจารณาขอความตอไปนี้
(1) ถาให A = {x / x = a n ; a ∈ R, a > 0 และ n เปนจํานวนเต็ม } แลว A จะมีคุณสมบัติปดของการคูณ
(2) ถาให A = {x / x = ab ; a เปนจํานวนตรรกยะ และ b เปนจํานวนอตรรกยะ }
แลว A จะเปนสับเซตของจํานวนอตรรกยะ
(3) ถาให A เซตของจํานวนเต็มลบ และกําหนด * บน A ดังนี้ x * y = − xy เมื่อ x, y ∈ A
แลว A จะมีเอกลักษณภายใต * เปน -1
(4) ถาให A เปนเซตของจํานวนตรรกยะ และกําหนด ∆ บน A โดย x ∆ y = y ( x − y ) เมื่อ x, y ∈ A
แลว ∆ จะมีคุณสมบัติการสลับที่
ขอใดตอไปนี้ถูก (คณิตศาสตร กข 29)
ก. ขอ (1) และขอ (3) เปนจริง
ข. ขอ (2) และขอ (4) เปนจริง
ค. ขอ (1) และขอ (4) เปนจริง
ง. ขอ (2) และขอ (3) เปนจริง
8. ให
ถา
ก.
ค.
y 1
<
x z
my
< mz
x
m, x, y
x
>z>0
y
และ z เปนจํานวนจริงที่ไมใชศูนย
แลว ขอใดตอไปนี้เปนจริง (คณิตศาสตร กข 38)
ข.
x > yz
ง.
mx
> mz
y
9. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงลบทั้งคู
ถา a < x < b แลว ขอใดตอไปนี้เปนจริง (คณิตศาสตร กข 34)
ก. x + a > 0
ข. x + b < 0
ค.
1
1
<
x
b
ง.
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
1 1
<
x a
-3-

4. 10. กําหนดชวง (a, b) และ (c,
ก. ถา a < c และ b < d แลว c < b
ค. ถา a > c และ b > c แลว d < a
d)
มีจุดรวมกัน แลว พิจารณาวาขอใดตอไปนี้ผิด (คณิตศาสตร กข 33)
ข. ถา a < c และ d < b แลว c < b
ง. ถา a > c และ b < d แลว b > c
11. ให a เปนจํานวนเต็ม ถา x − a หาร x 3 + 2 x 2 − 5 x − 2 เหลือเศษ 4
แลว ผลบวกของคา a ทั้งหมดที่สอดคลองเงื่อนไขดังกลาว เทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 38)
ก. -6
ข. -2
ค. 2
ง. 6
12. ให p เปนจํานวนเฉพาะบวก และ m, n เปนจํานวนเต็ม
ถา x + 3 หาร x 3 + mx 2 + nx + p ลงตัว และ x − 1 หาร x 3
แลว m และ n มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 37)
ก. m = 4, n = − 4
ข. m = 2, n =
ค. m = − 4, n = 4
ง. m = − 2, n = 2
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
+ mx 2 + nx + p
เหลือเศษ 4
−2
-4-

5. 13. พิจารณาขอความตอไปนี้
(1) 3 (a 4 + 2a 3 − a 2 − 2a) ทุกจํานวนเต็ม a
(2) {x ∈ I − / 6 x 3 + 17 x 2 + 14 x + 3 ≥ 0} มีสมาชิกเพียงตัวเดียว
ขอใดตอไปนี้ถูก (คณิตศาสตร กข 39)
ก. (1) ถูก และ (2) ถูก
ข. (1) ถูก แต (2) ผิด
ค. (1) ผิด แต (2) ถูก
ง. (1) ผิด และ (2) ผิด
14. ถา
เปนเซตคําตอบของอสมการ 3x 2
และ
แลว
A
B
เปนเซตคําตอบของอสมการ
( A ∪ B )′
+ 5x + 2 < 0
2x + 1
≥ 0
x−3
คือขอใด (คณิตศาสตร กข 30)
ก.
∅
ข.
2
[−1, − )
3
ค.
1
(− , 3]
2
ง.
2
1
(−∞, − 1] ∪ [− , − ) ∪ [3, ∞)
3
2
15. กําหนดให
แลว
ก. 2
ค. 10
a2 + 1
S
เปนเซตคําตอบของอสมการ
x −1
> 2
x+2
และ a เปนคาขอบเขตบนนอยสุดของ
S
เทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 38)
ข. 5
ง. 26
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
-5-

6. 16. ให
R
เปนเซตของจํานวนจริง
A = {x ∈ R / 3 x 2 + x − 2 > 0}
และ
B = {x ∈ R / 3 − 2 x ≤ 4}
จงพิจารณาขอความตอไปนี้
(1)
1 2
B − A = [− , )
2 3
(2)
1
2
A ∪ B ′ = (−∞, − ) ∪ ( , ∞)
2
3
ขอใดตอไปนี้ถูก (คณิตศาสตร กข 35)
ก. (1) ถูก (2) ถูก
ค. (1) ผิด (2) ถูก
ข. (1) ถูก (2) ผิด
ง. (1) ผิด (2) ผิด
17. กําหนดให
ก.
ค.
เปนเซตคําตอบของอสมการ
3− x
≥ 0
x+2
และ
( A − B )′
A
B
เปนเซตคําตอบของอสมการ
1 x
−
≤ 1
2 2
เทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 40)
(−∞, − 2) ∪ (−1, ∞)
(−∞, − 2] ∪ (−1, ∞)
ข.
ง.
(−∞, − 2) ∪ [−1, ∞)
(−∞, − 2] ∪ [−1, ∞)
18. เซตใดตอไปนี้เปนเซตอนันต (คณิตศาสตร กข 41)
x = x − 5}
ข. {x /
ก.
{x /
ค.
{x / x 2 − 2 x − 3 = 0}
ง.
{x /
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
x = x + 5}
x −1
x −1
=
}
x +1
x +1
-6-

7. 19. จํานวนจริง x ที่มากที่สุดที่สอดคลองกับอสมการ
(คณิตศาสตร กข 33)
ก. [−1, 0.5)
ค. [1, 1.5)
20. ให
ข.
ง.
A = {x ∈ R /
1
x + 4x + 4
2
2x 2 − 4
≥ 2x 2
3
เปนสมาชิกของชวงในขอใดตอไปนี้
[0.5, 1)
[1.5, 2)
≥ 1}
เปนจํานวนเต็มลบ ซึ่ง n ≤ −2}
ขอบเขตบนคานอยสุดของ A ∩ B เทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 39)
ข. -3
ง. -1
B = {n / n
ก. -4
ค. -2
21. เซตคําตอบของ
x −1
> 2
x−2
คือเซต หรือชวงในขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 41)
ก.
∅
ข.
(2, 3)
ค.
(−1, 2) ∪ (2, 7)
ง.
5
( , 2) ∪ (2, 3)
3
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
-7-

8. 22. กําหนดให
A = {x ∈ R /
เมื่อ R เปนเซตของจํานวนจริง แลว
ก. [−3, − 1] ∪ [1, 3]
ค. [−3, 3]
x −1
x −2
A′ ∪ B
≤ 0}
และ
B = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3}
คือเซตในขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 32)
ข. (−∞, − 2] ∪ [2, ∞)
ง. (−∞, ∞)
23. ให A เปนเซตคําตอบของสมการ x − 4 +
A จะเทากับเซตในขอใด (คณิตศาสตร กข 30)
x−3 = 1
ก.
{3, 4}
ข.
{x ∈ R / x −
ค.
(−∞, 4]
ง.
7
1
≤ }
2
2
[3, ∞)
24. เซตคําตอบของ
ก.
ค.
1
)
4
1
(−6, − 1) ∪ (0, )
4
(−6, − 2) ∪ (0,
3x − 2
x +1 −1
> 5
คือ (คณิตศาสตร กข 26)
1
)
4
ข.
(−6, − 2) ∪ (−1,
ง.
(−6, − 1) ∪ (−1, ∞)
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
-8-

9. 25. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด ซึ่งหาร 90 เหลือเศษ 6 และหาร 150 เหลือเศษ 3
แลว n หาร 41 เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 39)
ก. 5
ข. 6
ค. 18
ง. 20
26. ให a, b เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a < b 5 หาร a ลงตัว และ 3 หาร b ลงตัว
ถา a, b เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ และ ค.ร.น.ของ a, b เทากับ 165
แลว a หาร b เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 41)
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4
27. กําหนดให x และ y เปนจํานวนเต็มบวก โดยที่ x < y
ห.ร.ม.ของ x, y เทากับ 9
ค.ร.น.ของ x, y เทากับ 28215
และ จํานวนเฉพาะที่แตกตางกันทั้งหมดที่หาร x ลงตัว มี 3 จํานวน
คาของ y − x เทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 37)
ก. 36
ข. 45
ค. 9
ง. 18
28. ให x และ
ซึ่ง
y
เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 80
< x < 200
และ
x = pq
เมื่อ
p
และ q เปนจํานวนเฉพาะ
p ≠ q
ถา x และ y เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ และ ค.ร.น.ของ x , y เทากับ 15015
แลว ผลบวกของคา y ทั้งหมดที่สอดคลองเงื่อนไขทั้งหมดที่กําหนดใหเทากับเทาใด (คณิตศาสตร กข 38)
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
-9-

10. ก. 29
ค. 68
29. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธ คือ {x / x เปนจํานวนเต็มที่ไมใช 0 และ
ให A = {x / ห.ร.ม. ของ x กับ 21 เปน 3 }
จํานวนสมาชิกของ A เทากับขอใดตอไปนี้ (คณิตศาสตร กข 38)
ข. 34
ง. 58
−100 ≤ x ≤ 100}
30. จํานวนเต็มตั้งแต 0 ถึง 100 ที่ไมเปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธกับ 15 มีทั้งหมดกี่จํานวน (คณิตศาสตร กข 37)
31. ให n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง ห.ร.ม.ของ n และ 42 เทากับ 6
ถา 42 = nq0 + r0 ; 0 < r0 < n
n = 2r0 + r1 ; 0 < r1 < r0
และ r0 = 2r1 โดยที่ q0 , r0 , r1 เปนจํานวนเต็ม
แลว ค.ร.น. ของ n และ 42 มีคาเทากับเทาไร (คณิตศาสตร กข 40)

๑๒ สิงหาคม ร.ศ. ๒๒๒
จํานวนจริง และทฤษฎีจํานวนเบื้องตน คณิตศาสตร กข
- 10 -