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Dinámica para Ingeniería Civil
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Movimiento y sistemas de referencia. Cinemática del
movimiento rectilíneo. Coordenadas curvilíneas
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve analíticamente y gráficamente
problemas de movimiento rectilíneo,
además convierte las coordenadas del
sistema cartesiano al esférico o cilíndrico.
¿POR QUÉ SON IMPORTANTES LOS SISTEMAS
DE REFERENCIA?
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CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
• Trata de la determinación de las magnitudes
cinemáticas (posición, velocidad y aceleración) de
una partícula que se desplaza en línea recta.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO
RECTILÍNEO: POSICIÓN
• Posición. Está dada por el vector posición
𝑟 =
𝑟 = 𝑥 𝑖
𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗
𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘
• Pero en el movimiento rectilíneo, puede reemplazarse por una
magnitud escalar «s», la cual será negativa cuando represente
a un vector dirigido hacia la derecha y viceversa.
EL DESPLAZAMIENTO
• El desplazamiento está dado por el cambio en la
posición del móvil,
• ∆ 𝑟 = 𝑟´ − 𝑟
• En el caso del movimiento rectilíneo, este cambio
también se puede representar por
• ∆𝑠 = 𝑠´ − 𝑠
• Si una partícula se ha
desplazado en cierto intervalo
de tiempo, la velocidad
promedio es
𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆ 𝑟
∆𝑡
• Si el intervalo de tiempo
tiende a cero, se trata de la
velocidad instantánea,
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆ 𝑟
∆𝑡
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
RAPIDEZ PROMEDIO
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑣 𝑚 =
𝑠 𝑇
𝑡
RAPIDEZ PROMEDIO
• Tiene lugar cuando existe un
cambio en la velocidad del
móvil. En este caso, la
aceleración promedio es
𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆ 𝑣
∆𝑡
• Mientras que la aceleración
instantánea será
𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆ 𝑣
∆𝑡
𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
ACELERACIÓN
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON
ACELERACIÓN CONSTANTE
c
dv
a v
ds

0
t v
c
0 v
a dt dv  0 cv v a t  
 
0
s t t
0 c
s 0 0
ds vdt v a t dt     
2
0 0 c
1
s s v t a t
2
    
2 2
c 0 02a (s s ) v v  
¡LOS CUERPOS ACELERAN AL CAER!
dv
a
dt
 2
2
d s
a
dt

dv
a v
ds

¡LOS CUERPOS ACELERAN AL CAER!
GRÁFICOS S-T →V-T
• La pendiente del gráfico s-t es la velocidad, por lo
que podría predecirse el comportamiento del gráfico
v-t.
GRÁFICOS V-T → A-T
• La pendiente del gráfico v-t es la aceleración.
• El área bajo el gráfico v-t tiene
significado de desplazamiento
GRÁFICOS V-T
1t
0
x vdt  
• El área de la gráfica a-t
tiene significado de
variación de velocidad.
GRÁFICOS A-T
1t
0
v adt  
• El área bajo la curva a-s es la
mitad de la diferencia de los
cuadrados de la velocidad.
• En el caso del gráfico v-s, el
producto de la pendiente por el
valor de la velocidad es la
aceleración.
GRÁFICOS A-S Y V-S
 
1s
2 2
0
0
1
ads v v
2
 
dv
a v
ds

• Debe lanzar un juego de llaves
a un amigo que está en el
balcón de un segundo piso. Si
suelta las llaves a 1,50 m del
suelo, ¿qué velocidad vertical
se necesita para que lleguen a
la mano de su amigo, que se
halla a 6,00 m sobre el suelo?
EJERCICIO
2 2
c 0 02a (s s ) v v  
  2
02 9,80 (6,00 1,50) 0 v   
s
0
0s 1,50m
s 6,00m
v 0
0v ?
• La posición de un punto
durante el intervalo de tiempo
de t = 0 s a t = 6 s es 𝑠 =
−½ 𝑡3 + 6𝑡2 + 4𝑡 𝑚.
• (a) ¿Cuál es el desplazamiento
del punto durante este
intervalo de tiempo?
• (b) ¿Cuál es la velocidad
máxima durante este intervalo
de tiempo, y en qué momento
ocurre?
• (c) ¿Cuál es la aceleración
cuando la velocidad es
máxima?
EJERCICIO
s s(6) s(0) 132m   
23
v t 12t 4
2
   
3t 12 0  
1 2 3 4 5 6
10
12
14
16
18
20
22
24
(a)
(b)
• Los movimiento más
complejos suelen resolverse
con ayuda de gráficos x-t, v-t,
a-t, a-x.
• Este método consiste en
determinar la variación de las
demás magnitudes
cinemáticas a partir del
comportamiento gráfico de
una de ellas.
MOVIMIENTO ERRÁTICO
PREGUNTA DE APLICACIÓN
• Dado el gráfico v-s, ¿cómo determinar el valor de la
aceleración en s = 300 m?
EJERCICIO
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO HOY?
• Reconoce los sistemas coordenados curvilíneos y podemos
determinar sus vectores base.
• Verificado sus propiedades matemáticas más importantes.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. David K. Cheng, Fundamentos de electromagnetismo
para ingeniería. Addison Wesley (1997)
2. Harry F. Davis & Arthur David Snider, Análisis
Vectorial. McGraw-Hill (1992)
3. http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinate
s.html
4. ttp://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.h
tml

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  • 1. Dinámica para Ingeniería Civil MOVIMIENTO RECTILÍNEO Movimiento y sistemas de referencia. Cinemática del movimiento rectilíneo. Coordenadas curvilíneas
  • 2. LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve analíticamente y gráficamente problemas de movimiento rectilíneo, además convierte las coordenadas del sistema cartesiano al esférico o cilíndrico.
  • 3. ¿POR QUÉ SON IMPORTANTES LOS SISTEMAS DE REFERENCIA? • ¿Qué es un sistema de referencia? • ¿Con qué objeto físico se asocia el sistema de referencia? • ¿Porqué el sistema de coordenadas cartesiano no es aplicable a la Tierra en su conjunto?
  • 4. CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO • Trata de la determinación de las magnitudes cinemáticas (posición, velocidad y aceleración) de una partícula que se desplaza en línea recta. 
  • 5. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO: POSICIÓN • Posición. Está dada por el vector posición 𝑟 = 𝑟 = 𝑥 𝑖 𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘
  • 6. • Pero en el movimiento rectilíneo, puede reemplazarse por una magnitud escalar «s», la cual será negativa cuando represente a un vector dirigido hacia la derecha y viceversa.
  • 7. EL DESPLAZAMIENTO • El desplazamiento está dado por el cambio en la posición del móvil, • ∆ 𝑟 = 𝑟´ − 𝑟 • En el caso del movimiento rectilíneo, este cambio también se puede representar por • ∆𝑠 = 𝑠´ − 𝑠
  • 8. • Si una partícula se ha desplazado en cierto intervalo de tiempo, la velocidad promedio es 𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∆ 𝑟 ∆𝑡 • Si el intervalo de tiempo tiende a cero, se trata de la velocidad instantánea, 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑟 ∆𝑡 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑠 ∆𝑡 RAPIDEZ PROMEDIO 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡
  • 9. 𝑣 𝑚 = 𝑠 𝑇 𝑡 RAPIDEZ PROMEDIO
  • 10. • Tiene lugar cuando existe un cambio en la velocidad del móvil. En este caso, la aceleración promedio es 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∆ 𝑣 ∆𝑡 • Mientras que la aceleración instantánea será 𝑎 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑣 ∆𝑡 𝑎 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑣 ∆𝑡 ACELERACIÓN 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡
  • 11. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE c dv a v ds  0 t v c 0 v a dt dv  0 cv v a t     0 s t t 0 c s 0 0 ds vdt v a t dt      2 0 0 c 1 s s v t a t 2      2 2 c 0 02a (s s ) v v  
  • 12. ¡LOS CUERPOS ACELERAN AL CAER! dv a dt  2 2 d s a dt  dv a v ds 
  • 14. GRÁFICOS S-T →V-T • La pendiente del gráfico s-t es la velocidad, por lo que podría predecirse el comportamiento del gráfico v-t.
  • 15. GRÁFICOS V-T → A-T • La pendiente del gráfico v-t es la aceleración.
  • 16. • El área bajo el gráfico v-t tiene significado de desplazamiento GRÁFICOS V-T 1t 0 x vdt  
  • 17. • El área de la gráfica a-t tiene significado de variación de velocidad. GRÁFICOS A-T 1t 0 v adt  
  • 18. • El área bajo la curva a-s es la mitad de la diferencia de los cuadrados de la velocidad. • En el caso del gráfico v-s, el producto de la pendiente por el valor de la velocidad es la aceleración. GRÁFICOS A-S Y V-S   1s 2 2 0 0 1 ads v v 2   dv a v ds 
  • 19. • Debe lanzar un juego de llaves a un amigo que está en el balcón de un segundo piso. Si suelta las llaves a 1,50 m del suelo, ¿qué velocidad vertical se necesita para que lleguen a la mano de su amigo, que se halla a 6,00 m sobre el suelo? EJERCICIO 2 2 c 0 02a (s s ) v v     2 02 9,80 (6,00 1,50) 0 v    s 0 0s 1,50m s 6,00m v 0 0v ?
  • 20. • La posición de un punto durante el intervalo de tiempo de t = 0 s a t = 6 s es 𝑠 = −½ 𝑡3 + 6𝑡2 + 4𝑡 𝑚. • (a) ¿Cuál es el desplazamiento del punto durante este intervalo de tiempo? • (b) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo, y en qué momento ocurre? • (c) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima? EJERCICIO s s(6) s(0) 132m    23 v t 12t 4 2     3t 12 0   1 2 3 4 5 6 10 12 14 16 18 20 22 24 (a) (b)
  • 21. • Los movimiento más complejos suelen resolverse con ayuda de gráficos x-t, v-t, a-t, a-x. • Este método consiste en determinar la variación de las demás magnitudes cinemáticas a partir del comportamiento gráfico de una de ellas. MOVIMIENTO ERRÁTICO
  • 22. PREGUNTA DE APLICACIÓN • Dado el gráfico v-s, ¿cómo determinar el valor de la aceleración en s = 300 m?
  • 24. ¿QUÉ HEMOS APRENDIDO HOY? • Reconoce los sistemas coordenados curvilíneos y podemos determinar sus vectores base. • Verificado sus propiedades matemáticas más importantes.
  • 25. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. David K. Cheng, Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Addison Wesley (1997) 2. Harry F. Davis & Arthur David Snider, Análisis Vectorial. McGraw-Hill (1992) 3. http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinate s.html 4. ttp://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.h tml