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𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 𝑥
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• La fuerza viscosa de amortiguación es proporcional a la
velocidad.
• 𝑐- coeficiente de amortiguación viscosa, 𝑁. 𝑠/𝑚 o 𝑙𝑏. 𝑠/𝑓𝑡.
• La ecuación de movimiento es
• Y la solución de la ecuación diferencial homogénea es
𝐹𝑥 = −𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 𝑥
𝑥 = 𝑒 𝜆𝑡
ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN
• Reemplazando en la ecuación original se llega a la expresión
de λ.
• Cuya expresión matemática es
• Con lo cual se abren tres posibilidades de movimiento.
• 1. Amortiguación crítica (cc)
−𝑘𝑒 𝜆𝑡 − 𝑐𝜆𝑒 𝜆𝑡 = 𝑚𝜆2 𝑒 𝜆𝑡
𝜆 = −
𝑐
2𝑚
±
𝑐2 − 4𝑚𝑘
4𝑚2
𝑐 𝑐
2
−𝑘
4𝑚2 =0 𝑐 𝑐 = 2𝑚
𝑘
𝑚
= 2𝑚𝜔 𝑜
• Lo que da como solución
• Sistema sobreamortiguado
𝜆1 = 𝜆2 = −𝜔 𝑜 𝑥 𝑡 = (𝐴 + 𝐵𝑡)𝑒−𝜔 𝑜 𝑡
𝜆1, 𝜆2; reales
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 𝜆1 𝑡
+ 𝐵𝑒 𝜆2 𝑡
𝑐
2𝑚
2
−
𝑘
𝑚
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• Sistema subamortiguado
• Las soluciones son imaginarias
𝑐
2𝑚
2
−
𝑘
𝑚
< 0
𝑥 𝑡 = 𝐷𝑒−
𝑐
2𝑚 𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜙
𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑜 1 −
𝑐
𝑐 𝑐
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Factor de amortiguación
GRÁFICA DEL PROCESO
EJERCICIO
• Un bloque de 0,800 kg de masa se suspende de un
resorte cuya rigidez es de 120 N/m. Si un amortiguador
genera una fuerza de amortiguación de 2,5 N cuando la
velocidad del bloque es de 0,200 m/s, determine el
periodo de vibración libre.
• Dos amortiguadores
idénticos se disponen
paralelos entre sí, como se
muestra. Demuestre que si
el coeficiente de
amortiguación 𝑐 < 𝑚𝑘 ,
entonces el bloque de masa
𝑚 vibrará como un sistema
sobreamortiguado.
EJERCICIO
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• Un oscilador armónico amortiguado aislado dejará de
moverse, pero podemos mantener una oscilación de amplitud
constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo
periódicamente, con un periodo definido.
• La solución de la ecuación es la expresión:
11/09/2016 Yuri Milachay 16
𝐹 𝑡 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡 𝐹 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 + 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡
𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜙
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𝑚
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OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA
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aplica a un oscilador armónico
amortiguado con constante de
fuerza k y una masa m . Si la
constante de amortiguación vale
b1, la amplitud es A1 cuando la
frecuencia angular impulsora es
(k/m)1/2. En términos de A1,
¿cuánto vale la amplitud con la
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EJERCICIOS
11/09/2016 Yuri Milachay 18
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+
𝑏1 𝜔 𝑑
𝑚
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𝐴1 =
𝐹max
𝑏1 𝜔 𝑑
𝐴2 =
𝐴1
3
𝜔0
2
=
𝑘
𝑚
;
La estructura de soporte que se
colocó a bordo de la estación
espacial actúa como sistema
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con constante de fuerza 2,10 x
106 N/m y masa 108 kg. Un
requisito de la NASA es que no
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frecuencia menor que 35,0 Hz,
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requisito? Es decir, ¿tiene
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vibración cuando el rotor gira
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amortiguación es 𝑐 = 0,15 𝑐 𝑐
EJERCICIO
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASREFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Hibbeler R. Mecánica para Ingenieros, Dinámica. Ed.
Prentice Hall. 12 edición. Cap. 22.
2. Gray. Dinámica. Ed. Mc Graw Hill. 3 edición. Cap.9

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Vibraciones libres y forzadas

  • 1. Física II VIBRACIONES Vibraciones libres amortiguadas. Vibraciones forzadas y resonancia
  • 2. CASO: PUENTE TACOMA NARROW 11/09/2016 Yuri Milachay 2
  • 4. ARCOS DE ALCONETAR SOBRE EL RIO TAJO https://www.youtube.com/watch?v=QTK7siHbAEk
  • 5. EL DESASTRE POTENCIAL DEL CITY CORP 11/09/2016 Yuri Milachay 5
  • 6. ¿POR QUÉ AMORTIGUADORES EN UN PUENTE? 6
  • 7. Disminuye las oscilaciones del muelle ¿QUÉ FUNCIÓN CUMPLEN LOS AMORTIGUADORES?
  • 8. OSCILACIONES AMORTIGUADAS • La fricción es una fuerza disipadora que mengua las oscilaciones. La disminución de la amplitud se denomina amortiguación y el movimiento que realiza se llama oscilación amortiguada. 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 𝑥
  • 9. VIBRACIÓN LIBRE VISCOSA AMORTIGUADA • La fuerza viscosa de amortiguación es proporcional a la velocidad. • 𝑐- coeficiente de amortiguación viscosa, 𝑁. 𝑠/𝑚 o 𝑙𝑏. 𝑠/𝑓𝑡. • La ecuación de movimiento es • Y la solución de la ecuación diferencial homogénea es 𝐹𝑥 = −𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 𝑥 𝑥 = 𝑒 𝜆𝑡
  • 10. ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN • Reemplazando en la ecuación original se llega a la expresión de λ. • Cuya expresión matemática es • Con lo cual se abren tres posibilidades de movimiento. • 1. Amortiguación crítica (cc) −𝑘𝑒 𝜆𝑡 − 𝑐𝜆𝑒 𝜆𝑡 = 𝑚𝜆2 𝑒 𝜆𝑡 𝜆 = − 𝑐 2𝑚 ± 𝑐2 − 4𝑚𝑘 4𝑚2 𝑐 𝑐 2 −𝑘 4𝑚2 =0 𝑐 𝑐 = 2𝑚 𝑘 𝑚 = 2𝑚𝜔 𝑜
  • 11. • Lo que da como solución • Sistema sobreamortiguado 𝜆1 = 𝜆2 = −𝜔 𝑜 𝑥 𝑡 = (𝐴 + 𝐵𝑡)𝑒−𝜔 𝑜 𝑡 𝜆1, 𝜆2; reales 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 𝜆1 𝑡 + 𝐵𝑒 𝜆2 𝑡 𝑐 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚 > 0
  • 12. • Sistema subamortiguado • Las soluciones son imaginarias 𝑐 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚 < 0 𝑥 𝑡 = 𝐷𝑒− 𝑐 2𝑚 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜙 𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑜 1 − 𝑐 𝑐 𝑐 2 Factor de amortiguación
  • 14. EJERCICIO • Un bloque de 0,800 kg de masa se suspende de un resorte cuya rigidez es de 120 N/m. Si un amortiguador genera una fuerza de amortiguación de 2,5 N cuando la velocidad del bloque es de 0,200 m/s, determine el periodo de vibración libre.
  • 15. • Dos amortiguadores idénticos se disponen paralelos entre sí, como se muestra. Demuestre que si el coeficiente de amortiguación 𝑐 < 𝑚𝑘 , entonces el bloque de masa 𝑚 vibrará como un sistema sobreamortiguado. EJERCICIO
  • 16. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA • Un oscilador armónico amortiguado aislado dejará de moverse, pero podemos mantener una oscilación de amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo periódicamente, con un periodo definido. • La solución de la ecuación es la expresión: 11/09/2016 Yuri Milachay 16 𝐹 𝑡 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡 𝐹 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 + 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑑 𝑡 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜙 𝜔0 = 𝑘 𝑚 𝐴 = 𝐹max 𝑚 𝜔 𝑑 2 − 𝜔0 2 2 + 𝑐𝜔 𝑑 𝑚 2
  • 17. • La frecuencia angular para la que la amplitud es máxima se llama frecuencia de resonancia. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA 11/09/2016 Yuri Milachay 17
  • 18. Una fuerza impulsora senoidal se aplica a un oscilador armónico amortiguado con constante de fuerza k y una masa m . Si la constante de amortiguación vale b1, la amplitud es A1 cuando la frecuencia angular impulsora es (k/m)1/2. En términos de A1, ¿cuánto vale la amplitud con la misma frecuencia impulsora y la misma amplitud de la fuerza impulsora Fmáx si la constante de amortiguación es 3b? Solución. EJERCICIOS 11/09/2016 Yuri Milachay 18 1b 𝐴1 = 𝐹max 𝑚 𝜔d 2 − 𝜔0 2 2 + 𝑏1 𝜔 𝑑 𝑚 2 𝐴1 = 𝐹max 𝑏1 𝜔 𝑑 𝐴2 = 𝐴1 3 𝜔0 2 = 𝑘 𝑚 ;
  • 19. La estructura de soporte que se colocó a bordo de la estación espacial actúa como sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza 2,10 x 106 N/m y masa 108 kg. Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35,0 Hz, ¿satisface el paquete tal requisito? Es decir, ¿tiene frecuencias naturales coincidentes? • Solución EJERCICIO 11/09/2016 Yuri Milachay 19
  • 20. • El motor eléctrico de 30 𝑘𝑔 está sostenido por 4 resortes, cada uno con una constante de 200 𝑁/𝑚. Si el rotor se desbalancea de modo que su efecto equivalga a una masa de 4 𝑘𝑔 situada a 60 𝑚𝑚 del eje de rotación, determine la amplitud de la vibración cuando el rotor gira a 𝜔 𝑜 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠. El factor de amortiguación es 𝑐 = 0,15 𝑐 𝑐 EJERCICIO
  • 21. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASREFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Hibbeler R. Mecánica para Ingenieros, Dinámica. Ed. Prentice Hall. 12 edición. Cap. 22. 2. Gray. Dinámica. Ed. Mc Graw Hill. 3 edición. Cap.9