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Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Movimiento en una dimensión
Movimiento en una dimensión: Definiciones generales.
MECÁNICA, OSCILACIONES Y ONDAS
Yuri Alexis Milachay Vicente
yur@upnorte.edu.pe
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 2
La física comenzó con el estudio del movimiento
Preguntas
1. ¿Qué objetos celestes fueron importantes en la antigüedad y por
qué?
2. ¿Qué clase de movimiento interesaba conocer a los antiguos?
3. ¿Cómo, según usted debía comenzar el estudio del movimiento?
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 3
Objetivo
1. Describe matemáticamente el movimiento rectilíneo y deduce sus
ecuaciones.
2. Describe matemáticamente el movimiento parabólico y deduce
sus ecuaciones.
3. matemáticamente el movimiento circular y deduce sus
ecuaciones.
4. Aplica lo aprendido en la resolución de problemas prácticos.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 4
La cinemática y el movimiento
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 5
La cinemática es la parte de la física que se encarga del estudio del
movimiento. Es decir, de la determinación de la posición, velocidad y
aceleración de un cuerpo.
Como todo movimiento implica un cambio de posición del móvil en
un determinado intervalo de tiempo, nuestro estudio del movimiento
comienza con la definición de posición.
1x 2x
La partícula pasa de la posición x1 a la posición x2
Movimiento de una partícula en una dimensión
Se denomina movimiento rectilíneo a aquel movimiento cuya trayectoria
es una línea recta.
El desplazamiento 6Δx en este movimiento está dado por el cambio en la
coordenada x en un intervalo de tiempo transcurrido Δt.
Desplazamiento x = x2 – x1
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 6
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 7
La posición como función del tiempo
x(t) x(t1) x(t2) x(t3)
Gráfica x-t
p1 p2
Velocidad media
oLa velocidad media es una
magnitud vectorial que se define
como la razón del desplazamiento
por unidad de tiempo
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 8
2 1
med
2 1
x x x m
v
t t t s
 
 
 
0 5 107
  

x 2,0 m
med
2,0m m
v 0,20
10,0 s s
 
t 10,0 s
x (m)
Velocidad instantánea
o La velocidad instantánea permite se
define como el límite de la velocidad
media.
o Que a su vez, matemáticamente, es
la derivada de la posición respecto
del tiempo.
o Ejercicio. Con ayuda del gráfico x-t
(a) determine la velocidad media
entre 0 s y 2 s. (b) Determine la
velocidad instantánea en el t = 0 s.
(c) ¿En qué instante la velocidad es
cero?
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 9
t 0
x
v lim
t 



dx
v
dt

Ejercicio
• Un Honda Civic viaja en línea recta en carretera. Su distancia x de un
letrero de alto está dada en función de t por:
• Donde a =1,50 m/s2 y b=0,0500 m/s3.
• Calcule la velocidad media del auto para los intervalos a) 0 a 2,00 s; b) 0
a 4,00 s; c) 2,00 s a 4,00 s.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 10
2 3
x(t) t t  
Aceleración media
La aceleración media es la tasa
media de cambio de la velocidad en
un intervalo de tiempo t.
v2– velocidad final
v1 – velocidad inicial
t – intervalo de tiempo
Se halla su valor calculando de la
pendiente de la gráfica velocidad-
tiempo del móvil.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 11
2x 1x
med x
2 1
v v
a
t t




Aceleración instantánea
• Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 12
x x
x
t 0
v dv
a lim
t dt 

 

Ejercicios
De los gráficos v en función de t representados en la figura ¿Cuál describe
mejor el movimiento de una partícula con velocidad positiva y aceleración
negativa?.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 13
Preguntas
En un intervalo de tiempo dado, un auto acelera de 15 m/s a 20 m/s
mientras que un camión acelera de 36 m/s a 40 m/s. ¿Cuál vehículo
tiene mayor aceleración media?
Solución
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 14
auto
20 15 5
a
t t

 
 
camión
40 36 4
a
t t

 
 
Preguntas
La figura muestra la velocidad de un
auto en función del tiempo. El
conductor acelera desde el letrero
de alto, viaja 20 s con rapidez
constante de 60 km/h y frena hasta
detenerse 40 s después de partir del
letrero. Calcule la aceleración media
para estos intervalos: de 0 s a 10 s;
de 30 s a 40 s; de 10 s a 30 s; d) de 0
s a 40 s.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 15
Problemas
3
0
3
1
x x t 4,40 t
6
1
x 1,40 4,40t 1,2 t
6
    
    
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 16
La aceleración de un camión está dada por ax(t)=at, donde a =1,2 m/s3. a)
Si la rapidez del camión en 1,0 s es 5,0 m/s, ¿cuál será en t=2,0 s? b) Si la
posición del camión en 1,0 s es 6,0 m, ¿cuál será en 2,0 s? Dibuje todas
las gráficas para este movimiento.
Solución
1 2 3 4
5
10
15
20
25
30
x
t
2 2
x x
1 1
v t C v 4,40 1,2 t
2 2
      
x(2) 10,4m
2 4 6 8 10
20
40
60
80
100
120
v
t
Movimiento rectilíneo uniforme
o Es aquel movimiento en el que la
velocidad del móvil en cualquier
instante permanece constante.
o Es decir, el móvil se mueve en
línea recta, en una sola dirección
y con desplazamientos iguales en
intervalos de tiempo iguales.
o Debido a que la velocidad no
cambia, la aceleración en este
tipo de movimiento es nula.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 17
x
dx
v
dt

xx v dt 
0 xx x v t 
Ejercicios
• Ejercicio. Un vehículo parte de la posición -25,0 metros. Al cabo de 70,0
s se encuentra en la posición 245,0 metros. ¿Cuál ha sido el valor de su
velocidad si se sabe que realizó un MRU?
• Solución
• x1 = -25,0 m
• x2 = 245,0 m
• t = 70,0 s
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 18
245,0 ( 25,0)m
v
70,0 s
 

m
v 3,86
s

Gráfico posición-tiempo
fx 2,0 5,0 t  
t (s) x(m)
0 2,0
1,0 7,0
2,0 12,0
3,0 17,0
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 19
o El gráfico posición-tiempo (x vs t)
se obtiene de tabular las
posiciones para instantes
determinados.
o La gráfica x vs t tiene el siguiente
aspecto:
x (m)
t (s)
2,0
7,0
12,0
17,0
1,0 2,0 3,0
Preguntas
o Del gráfico mostrado, ¿cuál es la
posición inicial del móvil?, ¿en
qué instante se encuentra en el
origen de coordenadas? ¿cuál es
su velocidad?
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 20
x (m)
t (s)
-
8,0
8,0
16,0
1,0 2,0 3,0
Gráfico velocidad-tiempo
o Como en el MRU la velocidad es
constante, la gráfica velocidad-
tiempo será una recta
horizontal, paralela al eje del
tiempo.
o De este tipo de gráfico puedes
obtener directamente el valor de
la velocidad, v = +5,0 m/s .
o También puedes obtener el
desplazamiento total del
móvil, calculando el “área”
comprendida entre el gráfico de
la velocidad y el eje del tiempo.
x =vt = +15,0 m
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 21
v (m/s)
t (s)
5,0
1,0 2,0 3,0
fx 2,0 t5,0  
Preguntas
• Para un móvil que realiza MRU: ¿en qué casos la velocidad es negativa?,
¿en qué casos la posición inicial es positiva?, y ¿cuándo el móvil se
desplaza en el sentido del semieje positivo?
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 22
x
t
vx
t
t
xvx
t
Movimiento con aceleración constante
o En el movimiento rectilíneo
uniformemente variado se
cumple que la aceleración es
constante.
o Integrando la aceleración se
obtiene la expresión de la
velocidad.
o Antiderivando la velocidad del
paso anterior se obtiene la
expresión de la posición
instantánea del móvil.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 23
0v v at 
0x (v at)dt 
2
0 0
1
x x v t at
2
  
0Si t 0, v v 
0Si t 0, x x 
3º ecuación del mrua
f ov v a t  
2
f o o
1
x x v t a t
2
    
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 24
o Se obtiene despejando el tiempo
de la primera ecuación del mrua y
reemplazando lo que resulta en la
segunda ecuación del mrua.
o Es una ecuación escalar y se debe
tener cuidado al utilizarla en el
cálculo de las velocidades, por
cuanto resultarán dos valores
siempre que exista solución; por lo
que deberá seleccionar el signo de
acuerdo con el movimiento que se
describe en el problema. 2 2
f o f iv v 2a (x x )   
Preguntas
• ¿En qué casos la aceleración es positiva? ¿En qué casos el móvil se
detiene en algún instante? ¿Es posible conocer la posición inicial del
móvil a partir de la información que proporciona el gráfico velocidad-
tiempo?
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 25
vx
t
vx
t
t
axvx
t
Ejercicio
o La gráfica de la figura muestra la
velocidad de un policía en
motocicleta en función del
tiempo. A) Calcule la aceleración
instantánea en: t =3 s, t = 7 s y t =
11 s. ¿Qué distancia cubre el
policía los primeros 6 s? ¿Los
primeros 9 s? ¿Cuál es el
desplazamiento del policía a los
13 s?
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 26
Caída libre
g g j
 
 
oEn el caso de la caída libre (caída
de un cuerpo cerca de la superficie
terrestre), se considera que
g = 9,8 m/s2
oEso significa que TODOS los
cuerpos, cerca de la superficie
terrestre, caen con la misma
aceleración.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 27
0v v at 
2
0
1
x x vt at
2
  
0v v gt 
2
0
1
y y vt gt
2
  
Ejercicios
• Se deja caer un tabique (rapidez inicial cero) desde la azotea de
un edificio. El tabique choca con el piso 2,50 s después. Se puede
despreciar la resistencia del aire, así que el tabique está en caída
libre. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene la
velocidad del tabique justo antes de tocar el suelo? c) dibuje las
gráficas ay-t, vy-t y y-t para el movimiento.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 28
2( 9,81)
0 H 0(2,50) (2,50)
2

  
y 2
o oy
a
y(t) y v t t
2
   H 30,7m
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 29
Posición de una partícula en el espacio
r x i y j z k
   
  
Desplazamiento en el espacio
2r

29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 30
1r

2 1r r r
 
  
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 31
Velocidad media de la partícula
med
r
v
t

 


r


Vector velocidad instantánea
2v

29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 32
1v

t 0
r
v lim
t


 



1v

2v

Aceleración media y aceleración instantánea
o La aceleración media se define
como el cambio de la velocidad
en la unidad de tiempo.
o La aceleración instantánea se
define como el límite de la
aceleración media cuando el
intervalo de tiempo tiende a
cero.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 33
med
v
a
t

 


t 0
v
a lim
t


 



Movimiento en dos dimensiones
x yr r i r j
  
 
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 34
x yv v i v j
  
 
o Las magnitudes relevantes de un movimiento en dos dimensiones se
expresan de manera general a través de dos componentes: x y y; como
se muestra en la figura.
Movimiento en dos dimensiones
a 0 i 9,81 j
  
 
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 35
o En el movimiento parabólico (sin tomar en cuenta la fricción del
aire), la aceleración que sufre el cuerpo, es debida exclusivamente a
la aceleración de la gravedad actuando sobre el eje y, siendo nula en
el eje x.
x
y
0v

Ecuaciones del movimiento parabólico
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 36
o Como las componentes pueden integrarse por separado, es
posible hallar expresiones para la velocidad y posición para las
proyecciones de la trayectoria de la partículas a los ejes x y y.
Movimiento
Horizontal (eje x)
Movimiento
Vertical (eje y)
Velocidad
Inicial
v0 x = v0 cos θ v 0y = v0 sen θ
Aceleración a x = 0 a y = -g
Velocidad v x = v0 cos θ v y = v0 sen θ – g t
Posición x = x0 + v0 cos θ t y = y0 + v0 sen θ t– g t2/2
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 37
Escriba las ecuaciones de movimiento
o Lanzamiento de proyectil desde el
suelo.
o Lanzamiento de un proyectil con
proyección horizontal.
o Lanzamiento de un proyectil con
proyección oblicua
2
0
1
y v sen t gt
2
  0x v cos t 
0x v t  2
0
1
y y gt
2
 
0x v cos t 
2
0 0
1
y y v sen t gt
2
   
Ejemplo
x 9,0 t 
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 38
Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justo en el
borde, su velocidad es horizontal con magnitud 9,0 m/s. Obtenga la
posición, distancia del borde y velocidad de la moto después de 0,50 s.
xv 9,0
0x v t  21
y gt
2
 
yv 9,81 t  
x 9,0 0,50 4,50m  
21
y 9,81 0,50 1,23m
2
    
xv 9,0m/s
yv 4,95m/s 
Respuestas
Dato de la
velocidad
Ecuaciones del movimiento parabólico del
motociclista
Ejemplo 3.9 página 63
oUn helicóptero deja caer un
paquete con suministros a las
victimas de una inundación que se
encuentran en una balsa. Cuando el
paquete se lanza, el helicóptero se
encuentra a 100 m por encima de la
balsa, volando a 25,0 m/s y
formando un ángulo de 36,9º sobre
la horizontal. a) ¿Durante cuanto
tiempo estará el paquete en el aire?
b) ¿Dónde caerá el paquete?
Solución. Ecuaciones en el eje x
o Ecuaciones en el eje y
o El movimiento termina cuando y
= 0
o Cuando el paquete llega al piso,
hallamos el valor de la
coordenada x
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 39
x(t) 0 25cos(36,9 )t  
xv (t) 25cos(36,9 )  
2
y(t) 100 25sen(36,9 )t 4,905t   
yv (t) 25sen(36,9 ) 9,81t   
2
0 100 25sen(36,9 )t 4,905t   
t 6,30s
x 25cos(36,9º) 6,30 
x 126 m
Cinemática Circular
Cada punto de un cuerpo que gira
respecto de un eje fijo se mueve en
una circunferencia cuyo centro está en
el eje de rotación, y cuyo radio es la
distancia de un punto de la trayectoria
al eje de rotación.
Desplazamiento angular
Cuando el disco se mueve una
longitud de arco S, comprende un
ángulo barrido llamado
desplazamiento angular θ medido
en radianes.
El tiempo que tarda el móvil en dar
una vuelta se llama periodo, T [s] .
o El número de vueltas por unidad de
tiempo se denomina frecuencia, f [Hz]
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 40
1
f
T
ds rd 
Cinemática Circular
Velocidad Angular
La variación del desplazamiento
angular respecto del tiempo se
denomina rapidez angular (ω).
Rapidez angular media
En una revolución, un punto barre
un desplazamiento angular de 2π en
un tiempo llamado periodo T
oAdemás, la rapidez tangencial y
rapidez angular están relacionadas
por:
Rapidez angular instantánea
•La rapidez angular instantánea se
define como el límite de la rapidez
angular media.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 41
t



2
2 f
T

   
t 0
d
lim
t dt 
 
 

s
v r r
t t
 
   
 
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Movimiento circular uniforme (MCU)
En el movimiento circular uniforme la
partícula se mueve con rapidez
angular constante. Es decir, la
partícula barre ángulos iguales en
tiempos iguales
De la definición de rapidez angular
Integrando finalmente obtenemos la
posición angular en función del
tiempo.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 42
t
t

    
0(t) t    
cte 
s
s
t
t


Barre desplazamientos
angulares iguales en tiempos
iguales
Problemas
oEjemplo 1
Los puntos periféricos de un disco que
rota uniformemente, se mueven a
40,0 cm/s. Si los puntos que se
encuentran a 2,00 cm de la periferia
giran a 30,0 cm/s, ¿qué diámetro tiene
el disco?
Solución
oEjemplo 2
Considerando que el período de la
Luna alrededor de la Tierra es 28 días.
Determinar la rapidez angular de la
Luna respecto de la Tierra en rad/h.
Solución
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 43
v r 
r
r 2
v r 40,0 r
v r 2 30,0 r 2
  
 
r 8,00 cm y D 16,0 cm 
r 2v (r 2)   
Luna
24h
T 28 días 672h
1día
 
3
Luna
2
9,35 10 rad/h
T

   
Velocidad media e instantánea en el movimiento
circular
t 0
r dr
v lim
t dt
 

 

 

29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 44
La rapidez (módulo de la
velocidad) y la rapidez angular

2r

1r
  
  2 1r r r
med
r
v
t

 


 d R
v
dt


v R 
Velocidad
media
Velocidad
instantánea
Aceleración media e intantánea en el movimiento
circular
t 0
v dv
a lim
t dt
 

 

 

29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 45
1v

2v

1v

2v

2 1v v v
  
  
med
v
a
t

 


El valor de la aceleración
y la aceleración angular
d
a R R
dt

  
Bibliografía
• Física, Conceptos y Aplicaciones. Tippens P. Ed. McGraw Hill. 7
ed, 2011. Páginas 111-150.
29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 46

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  • 1. Facultad de Ingeniería y Arquitectura Movimiento en una dimensión Movimiento en una dimensión: Definiciones generales. MECÁNICA, OSCILACIONES Y ONDAS Yuri Alexis Milachay Vicente yur@upnorte.edu.pe
  • 2. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 2 La física comenzó con el estudio del movimiento
  • 3. Preguntas 1. ¿Qué objetos celestes fueron importantes en la antigüedad y por qué? 2. ¿Qué clase de movimiento interesaba conocer a los antiguos? 3. ¿Cómo, según usted debía comenzar el estudio del movimiento? 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 3
  • 4. Objetivo 1. Describe matemáticamente el movimiento rectilíneo y deduce sus ecuaciones. 2. Describe matemáticamente el movimiento parabólico y deduce sus ecuaciones. 3. matemáticamente el movimiento circular y deduce sus ecuaciones. 4. Aplica lo aprendido en la resolución de problemas prácticos. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 4
  • 5. La cinemática y el movimiento 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 5 La cinemática es la parte de la física que se encarga del estudio del movimiento. Es decir, de la determinación de la posición, velocidad y aceleración de un cuerpo. Como todo movimiento implica un cambio de posición del móvil en un determinado intervalo de tiempo, nuestro estudio del movimiento comienza con la definición de posición. 1x 2x La partícula pasa de la posición x1 a la posición x2
  • 6. Movimiento de una partícula en una dimensión Se denomina movimiento rectilíneo a aquel movimiento cuya trayectoria es una línea recta. El desplazamiento 6Δx en este movimiento está dado por el cambio en la coordenada x en un intervalo de tiempo transcurrido Δt. Desplazamiento x = x2 – x1 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 6
  • 7. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 7 La posición como función del tiempo x(t) x(t1) x(t2) x(t3) Gráfica x-t p1 p2
  • 8. Velocidad media oLa velocidad media es una magnitud vectorial que se define como la razón del desplazamiento por unidad de tiempo 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 8 2 1 med 2 1 x x x m v t t t s       0 5 107     x 2,0 m med 2,0m m v 0,20 10,0 s s   t 10,0 s x (m)
  • 9. Velocidad instantánea o La velocidad instantánea permite se define como el límite de la velocidad media. o Que a su vez, matemáticamente, es la derivada de la posición respecto del tiempo. o Ejercicio. Con ayuda del gráfico x-t (a) determine la velocidad media entre 0 s y 2 s. (b) Determine la velocidad instantánea en el t = 0 s. (c) ¿En qué instante la velocidad es cero? 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 9 t 0 x v lim t     dx v dt 
  • 10. Ejercicio • Un Honda Civic viaja en línea recta en carretera. Su distancia x de un letrero de alto está dada en función de t por: • Donde a =1,50 m/s2 y b=0,0500 m/s3. • Calcule la velocidad media del auto para los intervalos a) 0 a 2,00 s; b) 0 a 4,00 s; c) 2,00 s a 4,00 s. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 10 2 3 x(t) t t  
  • 11. Aceleración media La aceleración media es la tasa media de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo t. v2– velocidad final v1 – velocidad inicial t – intervalo de tiempo Se halla su valor calculando de la pendiente de la gráfica velocidad- tiempo del móvil. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 11 2x 1x med x 2 1 v v a t t    
  • 12. Aceleración instantánea • Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 12 x x x t 0 v dv a lim t dt     
  • 13. Ejercicios De los gráficos v en función de t representados en la figura ¿Cuál describe mejor el movimiento de una partícula con velocidad positiva y aceleración negativa?. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 13
  • 14. Preguntas En un intervalo de tiempo dado, un auto acelera de 15 m/s a 20 m/s mientras que un camión acelera de 36 m/s a 40 m/s. ¿Cuál vehículo tiene mayor aceleración media? Solución 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 14 auto 20 15 5 a t t      camión 40 36 4 a t t     
  • 15. Preguntas La figura muestra la velocidad de un auto en función del tiempo. El conductor acelera desde el letrero de alto, viaja 20 s con rapidez constante de 60 km/h y frena hasta detenerse 40 s después de partir del letrero. Calcule la aceleración media para estos intervalos: de 0 s a 10 s; de 30 s a 40 s; de 10 s a 30 s; d) de 0 s a 40 s. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 15
  • 16. Problemas 3 0 3 1 x x t 4,40 t 6 1 x 1,40 4,40t 1,2 t 6           29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 16 La aceleración de un camión está dada por ax(t)=at, donde a =1,2 m/s3. a) Si la rapidez del camión en 1,0 s es 5,0 m/s, ¿cuál será en t=2,0 s? b) Si la posición del camión en 1,0 s es 6,0 m, ¿cuál será en 2,0 s? Dibuje todas las gráficas para este movimiento. Solución 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 x t 2 2 x x 1 1 v t C v 4,40 1,2 t 2 2        x(2) 10,4m 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 120 v t
  • 17. Movimiento rectilíneo uniforme o Es aquel movimiento en el que la velocidad del móvil en cualquier instante permanece constante. o Es decir, el móvil se mueve en línea recta, en una sola dirección y con desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales. o Debido a que la velocidad no cambia, la aceleración en este tipo de movimiento es nula. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 17 x dx v dt  xx v dt  0 xx x v t 
  • 18. Ejercicios • Ejercicio. Un vehículo parte de la posición -25,0 metros. Al cabo de 70,0 s se encuentra en la posición 245,0 metros. ¿Cuál ha sido el valor de su velocidad si se sabe que realizó un MRU? • Solución • x1 = -25,0 m • x2 = 245,0 m • t = 70,0 s 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 18 245,0 ( 25,0)m v 70,0 s    m v 3,86 s 
  • 19. Gráfico posición-tiempo fx 2,0 5,0 t   t (s) x(m) 0 2,0 1,0 7,0 2,0 12,0 3,0 17,0 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 19 o El gráfico posición-tiempo (x vs t) se obtiene de tabular las posiciones para instantes determinados. o La gráfica x vs t tiene el siguiente aspecto: x (m) t (s) 2,0 7,0 12,0 17,0 1,0 2,0 3,0
  • 20. Preguntas o Del gráfico mostrado, ¿cuál es la posición inicial del móvil?, ¿en qué instante se encuentra en el origen de coordenadas? ¿cuál es su velocidad? 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 20 x (m) t (s) - 8,0 8,0 16,0 1,0 2,0 3,0
  • 21. Gráfico velocidad-tiempo o Como en el MRU la velocidad es constante, la gráfica velocidad- tiempo será una recta horizontal, paralela al eje del tiempo. o De este tipo de gráfico puedes obtener directamente el valor de la velocidad, v = +5,0 m/s . o También puedes obtener el desplazamiento total del móvil, calculando el “área” comprendida entre el gráfico de la velocidad y el eje del tiempo. x =vt = +15,0 m 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 21 v (m/s) t (s) 5,0 1,0 2,0 3,0 fx 2,0 t5,0  
  • 22. Preguntas • Para un móvil que realiza MRU: ¿en qué casos la velocidad es negativa?, ¿en qué casos la posición inicial es positiva?, y ¿cuándo el móvil se desplaza en el sentido del semieje positivo? 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 22 x t vx t t xvx t
  • 23. Movimiento con aceleración constante o En el movimiento rectilíneo uniformemente variado se cumple que la aceleración es constante. o Integrando la aceleración se obtiene la expresión de la velocidad. o Antiderivando la velocidad del paso anterior se obtiene la expresión de la posición instantánea del móvil. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 23 0v v at  0x (v at)dt  2 0 0 1 x x v t at 2    0Si t 0, v v  0Si t 0, x x 
  • 24. 3º ecuación del mrua f ov v a t   2 f o o 1 x x v t a t 2      29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 24 o Se obtiene despejando el tiempo de la primera ecuación del mrua y reemplazando lo que resulta en la segunda ecuación del mrua. o Es una ecuación escalar y se debe tener cuidado al utilizarla en el cálculo de las velocidades, por cuanto resultarán dos valores siempre que exista solución; por lo que deberá seleccionar el signo de acuerdo con el movimiento que se describe en el problema. 2 2 f o f iv v 2a (x x )   
  • 25. Preguntas • ¿En qué casos la aceleración es positiva? ¿En qué casos el móvil se detiene en algún instante? ¿Es posible conocer la posición inicial del móvil a partir de la información que proporciona el gráfico velocidad- tiempo? 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 25 vx t vx t t axvx t
  • 26. Ejercicio o La gráfica de la figura muestra la velocidad de un policía en motocicleta en función del tiempo. A) Calcule la aceleración instantánea en: t =3 s, t = 7 s y t = 11 s. ¿Qué distancia cubre el policía los primeros 6 s? ¿Los primeros 9 s? ¿Cuál es el desplazamiento del policía a los 13 s? 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 26
  • 27. Caída libre g g j     oEn el caso de la caída libre (caída de un cuerpo cerca de la superficie terrestre), se considera que g = 9,8 m/s2 oEso significa que TODOS los cuerpos, cerca de la superficie terrestre, caen con la misma aceleración. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 27 0v v at  2 0 1 x x vt at 2    0v v gt  2 0 1 y y vt gt 2   
  • 28. Ejercicios • Se deja caer un tabique (rapidez inicial cero) desde la azotea de un edificio. El tabique choca con el piso 2,50 s después. Se puede despreciar la resistencia del aire, así que el tabique está en caída libre. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene la velocidad del tabique justo antes de tocar el suelo? c) dibuje las gráficas ay-t, vy-t y y-t para el movimiento. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 28 2( 9,81) 0 H 0(2,50) (2,50) 2     y 2 o oy a y(t) y v t t 2    H 30,7m
  • 29. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 29 Posición de una partícula en el espacio r x i y j z k       
  • 30. Desplazamiento en el espacio 2r  29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 30 1r  2 1r r r     
  • 31. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 31 Velocidad media de la partícula med r v t      r  
  • 32. Vector velocidad instantánea 2v  29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 32 1v  t 0 r v lim t        1v  2v 
  • 33. Aceleración media y aceleración instantánea o La aceleración media se define como el cambio de la velocidad en la unidad de tiempo. o La aceleración instantánea se define como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 33 med v a t      t 0 v a lim t       
  • 34. Movimiento en dos dimensiones x yr r i r j      29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 34 x yv v i v j      o Las magnitudes relevantes de un movimiento en dos dimensiones se expresan de manera general a través de dos componentes: x y y; como se muestra en la figura.
  • 35. Movimiento en dos dimensiones a 0 i 9,81 j      29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 35 o En el movimiento parabólico (sin tomar en cuenta la fricción del aire), la aceleración que sufre el cuerpo, es debida exclusivamente a la aceleración de la gravedad actuando sobre el eje y, siendo nula en el eje x. x y 0v 
  • 36. Ecuaciones del movimiento parabólico 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 36 o Como las componentes pueden integrarse por separado, es posible hallar expresiones para la velocidad y posición para las proyecciones de la trayectoria de la partículas a los ejes x y y. Movimiento Horizontal (eje x) Movimiento Vertical (eje y) Velocidad Inicial v0 x = v0 cos θ v 0y = v0 sen θ Aceleración a x = 0 a y = -g Velocidad v x = v0 cos θ v y = v0 sen θ – g t Posición x = x0 + v0 cos θ t y = y0 + v0 sen θ t– g t2/2
  • 37. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 37 Escriba las ecuaciones de movimiento o Lanzamiento de proyectil desde el suelo. o Lanzamiento de un proyectil con proyección horizontal. o Lanzamiento de un proyectil con proyección oblicua 2 0 1 y v sen t gt 2   0x v cos t  0x v t  2 0 1 y y gt 2   0x v cos t  2 0 0 1 y y v sen t gt 2    
  • 38. Ejemplo x 9,0 t  29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 38 Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justo en el borde, su velocidad es horizontal con magnitud 9,0 m/s. Obtenga la posición, distancia del borde y velocidad de la moto después de 0,50 s. xv 9,0 0x v t  21 y gt 2   yv 9,81 t   x 9,0 0,50 4,50m   21 y 9,81 0,50 1,23m 2      xv 9,0m/s yv 4,95m/s  Respuestas Dato de la velocidad Ecuaciones del movimiento parabólico del motociclista
  • 39. Ejemplo 3.9 página 63 oUn helicóptero deja caer un paquete con suministros a las victimas de una inundación que se encuentran en una balsa. Cuando el paquete se lanza, el helicóptero se encuentra a 100 m por encima de la balsa, volando a 25,0 m/s y formando un ángulo de 36,9º sobre la horizontal. a) ¿Durante cuanto tiempo estará el paquete en el aire? b) ¿Dónde caerá el paquete? Solución. Ecuaciones en el eje x o Ecuaciones en el eje y o El movimiento termina cuando y = 0 o Cuando el paquete llega al piso, hallamos el valor de la coordenada x 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 39 x(t) 0 25cos(36,9 )t   xv (t) 25cos(36,9 )   2 y(t) 100 25sen(36,9 )t 4,905t    yv (t) 25sen(36,9 ) 9,81t    2 0 100 25sen(36,9 )t 4,905t    t 6,30s x 25cos(36,9º) 6,30  x 126 m
  • 40. Cinemática Circular Cada punto de un cuerpo que gira respecto de un eje fijo se mueve en una circunferencia cuyo centro está en el eje de rotación, y cuyo radio es la distancia de un punto de la trayectoria al eje de rotación. Desplazamiento angular Cuando el disco se mueve una longitud de arco S, comprende un ángulo barrido llamado desplazamiento angular θ medido en radianes. El tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta se llama periodo, T [s] . o El número de vueltas por unidad de tiempo se denomina frecuencia, f [Hz] 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 40 1 f T ds rd 
  • 41. Cinemática Circular Velocidad Angular La variación del desplazamiento angular respecto del tiempo se denomina rapidez angular (ω). Rapidez angular media En una revolución, un punto barre un desplazamiento angular de 2π en un tiempo llamado periodo T oAdemás, la rapidez tangencial y rapidez angular están relacionadas por: Rapidez angular instantánea •La rapidez angular instantánea se define como el límite de la rapidez angular media. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 41 t    2 2 f T      t 0 d lim t dt       s v r r t t        
  • 42. Movimiento Circular Uniforme (MCU) Movimiento circular uniforme (MCU) En el movimiento circular uniforme la partícula se mueve con rapidez angular constante. Es decir, la partícula barre ángulos iguales en tiempos iguales De la definición de rapidez angular Integrando finalmente obtenemos la posición angular en función del tiempo. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 42 t t       0(t) t     cte  s s t t   Barre desplazamientos angulares iguales en tiempos iguales
  • 43. Problemas oEjemplo 1 Los puntos periféricos de un disco que rota uniformemente, se mueven a 40,0 cm/s. Si los puntos que se encuentran a 2,00 cm de la periferia giran a 30,0 cm/s, ¿qué diámetro tiene el disco? Solución oEjemplo 2 Considerando que el período de la Luna alrededor de la Tierra es 28 días. Determinar la rapidez angular de la Luna respecto de la Tierra en rad/h. Solución 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 43 v r  r r 2 v r 40,0 r v r 2 30,0 r 2      r 8,00 cm y D 16,0 cm  r 2v (r 2)    Luna 24h T 28 días 672h 1día   3 Luna 2 9,35 10 rad/h T     
  • 44. Velocidad media e instantánea en el movimiento circular t 0 r dr v lim t dt          29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 44 La rapidez (módulo de la velocidad) y la rapidez angular  2r  1r      2 1r r r med r v t       d R v dt   v R  Velocidad media Velocidad instantánea
  • 45. Aceleración media e intantánea en el movimiento circular t 0 v dv a lim t dt          29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 45 1v  2v  1v  2v  2 1v v v       med v a t      El valor de la aceleración y la aceleración angular d a R R dt    
  • 46. Bibliografía • Física, Conceptos y Aplicaciones. Tippens P. Ed. McGraw Hill. 7 ed, 2011. Páginas 111-150. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 46