TEMA 12 TRANSFORMADAS DE LA PLACE.pptx

1. transformadas de laplace UNIVERSIDAD NACIONAL SAN AGUSTIN DE AREQUIPA Dr. Alejandro N. Salas Begazo

2. TRANSFORMADA DE LA PLACE La Transformada de Laplace, es una técnica matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la Transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable Dr. Alejandro N. Salas Begazo

3. ¿PARA QUÉ SIRVE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE La Transformada de Laplace, puede ser usada para resolver: 1. Ecuaciones diferenciales 2. Lineales 3. Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Dr. Alejandro N. Salas Begazo

4. Dr. Alejandro N. Salas Begazo

5. TRANSFORMADAS DE LA PLACE Dr. Alejandro N. Salas Begazo

8. NOTAS  La letra “s” representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera una constante.  La transformada de Laplace convierte una función en la variable “s”  Condiciones para la existencia de la transformada de una función: a) De orden Exponencial b) Continua a trozos. Dr. Alejandro N. Salas Begazo

10. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA La Transformada Inversa de una función en “s” digamos F(s) es una función de “t” cuya transformada es precisamente F(s), es decir: 𝐋−𝟏 𝐅(𝐬) = 𝐟(𝐭) Si es que acaso: 𝐋 𝐟(𝐭) = 𝐅(𝐬) Esta definición obliga a que se cumpla: 𝑳 𝑳−𝟏 𝑭(𝒔) = 𝐅(𝐬) 𝑳−𝟏 𝑳 𝐟(𝐭) = 𝐟(𝐭) Dr. Alejandro N. Salas Begazo

11. FORMULAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE TEOREMAS 1. 𝑳 𝒌 = 𝒌 𝒔 3. 𝑳 𝒕𝒏 = 𝒏! 𝒔𝒏+𝟏 𝑳 𝒆𝒂𝒕 = 𝟏 𝒔 − 𝒂 𝑳 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕 = 𝒂 𝒔𝟐 + 𝒂𝟐 4. 5. 𝑳 𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒕 = 𝒔 𝒔𝟐 + 𝒂𝟐 𝑳 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕 = 𝒂 𝒔𝟐 − 𝒂𝟐 𝑳 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒂𝒕 = 𝒔 𝒔𝟐 − 𝒂𝟐 𝑳 ∝ 𝒇 ± 𝜷𝒈 =∝ 𝑭(𝒔) ± 𝜷𝑮(𝒔) 6. 2. 7. 8. 𝒕 ≥ 𝟎 𝑳 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒕 = 𝒆𝒕 + 𝒆−𝒕 𝟐 9. Dr. Alejandro N. Salas Begazo 𝒔 > 𝟎

12. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t( y g(t) son funciones que poseen la Transformada de Laplace. 1. LINEALIDAD La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican. 𝐋 𝐚 𝐟 𝐭 + 𝐛 𝐠(𝐭) = 𝐚 𝐋 𝐟(𝐭) + 𝐛 𝐋 𝐠(𝐭) Dr. Alejandro N. Salas Begazo

13. 2. PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable “s”. 𝑳 𝒇 𝒕 𝒆𝒂𝒕 = 𝑭(𝒔 − 𝒂) Donde:. 𝑳 𝒇 𝒕 = 𝑭(𝒔) Dr. Alejandro N. Salas Begazo

14. TEOREMA DE TRASLACIÓN 𝑳 𝒆𝟐𝒕 𝒕𝟑 Primero vamos a desarrollar la función 𝒕𝟑 𝑳 𝒆𝟐𝒕𝒕𝟑 = 𝟑! 𝒔𝟒 = 𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎! 𝒔𝟒 𝑳 𝒆𝟐𝒕𝒕𝟑 = 𝟔 (𝒔 − 𝟐)𝟒 El valor de “s” va a ser reemplazado por : (s-(exponente de “e” parte numérica, con su signo))

15. Ejemplo 𝑳 𝒆−𝟔𝒕 𝒕 Primero vamos a desarrollar la función t 𝑳 𝒆−𝟔𝒕 𝒕 = 𝟏! 𝒔𝟐 = 𝟏𝒙𝟎! 𝒔𝟐 El valor de “s” va a ser reemplazado por : (s-(exponente de “e” parte numérica, con su signo)) 𝑳 𝒆−𝟔𝒕 𝒕 = 𝟏 (𝒔 − (−𝟔))𝟐 𝑳 𝒆−𝟔𝒕 𝒕 = 𝟏 (𝒔 + 𝟔)𝟐

16. 3. TEOREMA DE LA TRANSFORMADA DE LA DERIVADA La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable “s”. 𝑳 𝒇′ 𝒕 = 𝒔𝑳 𝒇(𝒕) − 𝒇(𝟎)) Dr. Alejandro N. Salas Begazo

17. TRANSFORMADAS DE LA TRES PRIMERAS DERIVADAS 𝑳 𝒇(𝒕) = 𝑭(𝒔) 𝑳 𝒇′(𝒕) = 𝒔𝑭 𝒔 − 𝒇(𝟎) 𝑳 𝒇′′(𝒕) = 𝒔𝟐 𝑭 𝒔 − 𝒔𝒇 𝟎 − 𝒇′(𝟎) 𝑳 𝒇′′′(𝒕) = 𝒔𝟑 𝑭 𝒔 − 𝒔𝟐 𝒇 𝟎 − 𝒔𝒇′ 𝟎 − 𝒇′′(𝟎) Dr. Alejandro N. Salas Begazo 𝑳 𝒇(𝒕) = 𝒀(𝒔) 𝑳 𝒇′(𝒕) = 𝒔𝒀 𝒔 − 𝒀(𝟎) 𝑳 𝒇′′(𝒕) = 𝒔𝟐 𝒀 𝒔 − 𝒔𝒀 𝟎 − 𝒀′(𝟎) 𝑳 𝒇′′′(𝒕) = 𝒔𝟑 𝒀 𝒔 − 𝒔𝟐 𝒀 𝟎 − 𝒔𝒀′ 𝟎 − 𝒀′′(𝟎)

18. 4. TEOREMA DE LA TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL 𝑳 𝒔 𝒕 𝑳 𝒇(𝒕) 𝒅𝒕 = 𝟏 𝟐 𝑳 𝒇(𝒕) Dr. Alejandro N. Salas Begazo

19. 5. TEOREMA DE LA INTEGRAL DE LA TRANSFORMADA 𝑳 𝒇(𝒕) = 𝑳 𝒔 +∞ 𝑳 𝒇(𝒕) 𝒅𝒔 Siempre y cuando exista: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒕) 𝒕 t tiende a 0 Dr. Alejandro N. Salas Begazo

20. 6. TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA TRANSFORMADA 𝑳 𝒕𝒏 𝒇(𝒕) = (−𝟏)𝒏 𝒅𝒏 𝒅𝒔𝒏 𝑳 𝒇(𝒕) Dr. Alejandro N. Salas Begazo

21. 7. SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN 𝑳 𝒇 𝒕 𝑼𝒂(𝒕) = (𝒆)−∝𝒔 𝑳 𝒇(𝒕 + 𝒂) Dr. Alejandro N. Salas Begazo

22. TÉCNICAS PARA LA TRANSFORMADA INVERSA  Separación de Fracciones.  Primer Teorema de Traslación.  Fracciones Parciales.  Segundo teorema de Traslación  Convolución. Dr. Alejandro N. Salas Begazo

23. Dr. Alejandro N. Salas Begazo 𝑳 𝒆𝒂𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒕) = 𝒃 𝒔 − 𝒂 𝟐 + 𝒃𝟐 𝑳 𝒕𝒆𝒂𝒕 = 𝟏 𝒔 − 𝒂 𝟐 𝒔 > 𝟎 𝑳 𝒆𝒂𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒕) = 𝒔 − 𝒂 𝒔 − 𝒂 𝟐 + 𝒃𝟐

24. Ejercicios de Aplicación 𝟐 𝟒! 𝒔𝟒+𝟏 𝑳 𝟐𝒕𝟒 𝟐𝑳 𝒕𝟒 𝟐 𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎! 𝒔𝟓 𝟒𝟖 𝒔𝟓 Dr. Alejandro N. Salas Begazo

25. Ejercicios de Aplicación −𝟒𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎! 𝒔𝟐+𝟏 + 𝟏𝟔 𝒔𝟏+𝟏 + 𝟗 𝒔 𝑳 −𝟒𝒕𝟐 + 𝟏𝟔𝒕 + 𝟗 −𝟒𝑳 𝒕𝟐 + 𝟏𝟔𝑳 𝒕 + 𝑳 𝟗 −𝟖 𝒔𝟑 + 𝟏𝟔 𝒔𝟐 + 𝟗 𝒔 Dr. Alejandro N. Salas Begazo

26. Ejercicios de Aplicación 𝟖𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎! 𝒔𝟑+𝟏 − 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎! 𝒔𝟐+𝟏 + 𝟔𝒙𝟏𝒙𝟎! 𝒔𝟏+𝟏 − 𝟏 𝒔 𝑳 (𝟐𝒕 − 𝟏)𝟑 𝟖𝑳 𝒕𝟑 − 𝟏𝟐𝑳 𝒕𝟐 + 𝟔𝑳 𝒕 − 𝟏 𝑳 𝟖 𝒕𝟑 − 𝟏𝟐 𝒕𝟐 + 𝟔 𝒕 − 𝟏 𝟒𝟖 𝒔𝟒 − 𝟐𝟒 𝒔𝟑 + 𝟔 𝒔𝟐 − 𝟏 𝒔 Dr. Alejandro N. Salas Begazo

27. Ejercicios de Aplicación 𝑳 𝒆−𝒕 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒕 𝑳 𝒆−𝒕 ( 𝒆𝒕 + 𝒆−𝒕 𝟐 ) 𝟏 𝟐𝒔 + 𝟏 𝟐(𝒔 + 𝟐) 𝑳 𝒆−𝒕 𝟐 (𝒆𝒕 + 𝒆−𝒕 ) 𝑳 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝒆−𝟐𝒕 𝟏 𝟐 𝑳 𝟏 + 𝟏 𝟐 𝑳 𝒆−𝟐𝒕 𝟏 𝟐 𝟏 𝒔 + 𝟏 𝟐 𝟏 𝒔 − (−𝟐) Dr. Alejandro N. Salas Begazo

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